作者：严人觉
出版社：北京普华文化发展有限公司
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数独的逻辑—数独算法从入门到精通试读：
前言
数独是一种老少咸宜的九方格填字游戏。每个数独只有九个九方格 (又名井格)，需要我们在每个九方格内填入1、2…9 九个数字。游戏的要求很简单：每大格内、每小行内、每小列内务必九字俱全，不重不缺。这个要求看起来很简单，做起来却不容易，因为数独涉及许多代数里关于排列组合的知识，如果不能用算术语言把这些排列组合说得深入浅出，数独则难以在民间被普及推广。本书绕过了代数的暗礁，用直观易懂的通俗语言，乃至顺口溜，再配上多种图解，所使用的方法不过是算术里的乘除法，便把数独中的许多关键问题交代得一清二楚，使读者不但知其然还知其所以然。
作者煞费苦心，从眼花缭乱、错综复杂的众多数独中梳理出一套清晰的脉络来，并首创了“二同三不”总则、轮换手段、六种错开、八个标本、九套九同字阵式和避己法、模式法、拼列法、圈选清单法，这些都是高屋建瓴、别具匠心的构思。读者只要融会贯通了书中阐述的思路，便能在设计和求解数独时得心应手。若本书的问世能促进数独在我国的传播，使数独成为一项更为广泛流传的民间休闲活动，则作者幸甚。
本书的出版惠承人民邮电出版社各位编辑的精心指导，对全书的增删取舍提出了真知灼见。成书的过程中欣蒙北京师范大学王建平教授出谋划策、穿针引线，使本书得以付梓，在此一并表示谢忱。
此书纯系作者自撰，错误之处在所难免，敬希海内外贤达予以指正，不胜感激。严人觉于美国华盛顿第一章数独中的排列组合知识
数独的基石是排列组合。本章主要讲解代数中的排列组合，并以通俗直观的方式来解释数独所涉及的排列组合概念。即便读者未学过代数，只要细读本章也可以掌握数独中排列组合的要领。1.1排列组合的概念
例1，三人互通电话和三人相互握手有所不同。
三人通话与顺序有关。我打给你和你打给我各算一次，总次数涉及谁打谁接的顺序，故属于排列。
打电话发生在两人之间，即发话人与受话人之间，发话人是三人中之任一，受话人则是其余二人之任一，故发话有3方式，受话只有2方式，如图1-1所示。图1-1 打电话
按a×b×c法则得:
排列总数=3×2=6方式 (排列)
上式因子3、2不可颠倒，故6为排列数。6个排列 (排队列表法) 是1 2、1 3、2 1、2 3、3 1、3 2。
这6个排列是三人通话的次数和方式数。
三人握手与成分有关。只要两个人的手拉到一起，不管谁先伸手谁后伸手都只算一次，故握手总次数只与握手的两人有关，而与顺序无关，故握手总次数属于求组合。
由于握手也发生在两人之间，先伸手者可称为主动一方，后伸手者可称为被动一方，今三人参加则主动一方为三人中之任一，故有3方式，而被动一方则为三人中余下的两人之任一，故有2方式。
如果握手分主被动则应有 (a×b×c法则):3×2=6方式 (排列)
但握手不分主动和被动，每两次只算作一次，故实际握手次数是:
这3次组合 (排队列表法) 是：1 2、1 3、2 3。这3个组合是三人握手的次数或方式数。1.2排列组合的求法
1.2.1 a×b×c法则 (求答数用)
设每件事物各含3个成分，若完成第一成分则有a个方式，完成第二成分则有b个方式，完成第三成分则有c个方式，则全部完成3成分共有a×b×c个方式，这叫作a×b×c法则。故欲求得事物的总排列数或总组合数，或求得事物的总件数，则可按有几成分便设立几个小格，每小格算出其方式数，然后取各方式数连乘起来，其乘积便是总方式数或总件数。但是应当注意并不是所有组合都是直接由a×b×c法则求得的，有些组合应先求得排列总数，再求得每个组合的排列数，最后用排列总数除以每组合的排列数，方得出组合数，这便是公式的运用。
例1，2顶帽子3件衣服4条裤子可以搭配成几套?
用交叉线图表示如图1-2所示。图1-2 交叉线图
具体计算结果为:2×3×4=24套 (组合)
上式诸因子2、3、4的顺序可任意颠倒，故乘积为组合数。
例2，从1、2、3三数字任取两个数字，可得几个两位数 (见图1-3)?图1-3 两位数
因十位数可用1、2、3三个数字之任一，故有3方式，个位数只可用余下两个数字之任一，故只有2方式。
按a×b×c法则共有两位数的个数为:3×2=6方式 (排列)
上式中两因子先有3后有2，不可任意颠倒，故乘积属于排列数。6个排列是 (排队列表法):
1 2、1 3、2 1、2 3、3 1、3 2。
1.2.2 公式法 (求答数用)
1.2.2.1 排列公式是4物取2之排列，每个排列含2成分 (见图1-4)。图1-4 4 物取2 的排列
第一物可取4物之任一，故有4方式，轮到第二物仅余3 物之任一可取的有3 方式。按a×b×c法则，从4起连取2数相乘，总排列数=4×3=12个 (排列)。
1.2.2.2 组合公式为4物取2之组合，每组合含2成分(见图1-5)。
先求总排列数 (见图1-5)，总排列数=4×3=12方式 (排列)。图1-5 总排列数
再求每组合 (2 成分) 之排列数 (见图1-6)，每组合之排列数=2×1=2 方式 (排列)。图1-6 每组合之排列数
1.2.3 排队列表法 (求项目用)
可以用下面的口诀表示排队列表法:
最小先行(a)，依次递增(b)，
后满前涨 (c)，涨后复升 (d)，
如此反复 (e)，极大而终 (f)。
我们举例并运用图解来说明排队列表法的步骤。
例1，从 1、2、3、4 四个数字中任取两个数字作为两位数，共有哪些两位数? (见图1-7)图1-7 排队列表法图解
以上图解为排队列表法的用法，其中包含两个要点：(1) 记住口诀，(2) 弄懂步骤。一旦掌握这两点后，读者不难直接写出排队列表法的下列成果来 (并不一定要求读者仿上图写出具体步骤):
1 2、1 3、1 4、2 1、2 3、2 4、3 1、3 2、3 4、4 1、4 2、4 3。
必须指出：排队列表法和a×b×c法则一样，既可用来求排列也可用来求组合。当用于求排列时，成果表中的各项采用有升有降的顺序。
比如本例的12个排列的顺序便是有升有降:
这12项排列按总值均系由左到右、由小到大，按位值便是有升 (↗) 有降 (↘)。
反之，当用于求组合时则成果表各项采用光升不降的顺序。比如本例的组合数是6个，具体如下:
这6项组合按总值仍是后大于前，但按位值则是光升不降 (6项组合表是从12项排列表中摘取其中光升不降的顺序而得出的)。
排队列表法是任何书中都找不到的，是作者的首创，是一种直观易懂的通俗方法。作者根据排列公式(n物取r物的排列)，从n起连取r个数相乘，则一个井块 (九方格)若任意填入1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字，可得九字取九的排列数:=9×8×7×…×2×1=362880个排列。这36 万多个排列便可用排队列表法一个不漏地写出来 (详见1.2.3条)，可见排队列表法的神奇威力!
1.2.4 交叉线图 (求答数和项目用)
每件事物由哪几个成分组成便立几个栏目，标明每个栏目有哪些方式，然后各栏目之方式借用直线连接起来，便得出交叉线图。由交叉线图即可获得事物的总件数 (排列总数或组合总数)，也可获得排列组合成果表。
例1，设定以下一个大列首块。今欲由左至右从每列里各取一字组成一个三字正交线(正交线对大列而言是指由左至右沿横向扫描，从各列任取一字所得的三字线)。问可得多少根正交线? (见图1-8)图1-8 大列首块
今三字正交线是一个三位数，其成分有百位、十位、个位。百位可用3、6、9 三方式，十位可用2、5、8三方式，个位可用1、4、7，亦有三方式，于是可作出以下交叉线图 (见图1-9)。图1-9 三位数之交叉线图3×3×3 = 27个 (排列)
上式因子第一列指百位，第二列指十位，第三列指个位，不可颠倒，故27为排列数。那么欲得出排列成果表有何步骤呢?
用图解表示步骤如下 (见图1-10，表示头三步)。图1-10 三位数构成步骤
由此得以下成果序列 (见图1-11 )。图1-11 序列
故27个排列成果如下:321 324 327 351 354 357 381 384 387621 624 627 651 654 657 681 684 687921 924 927 951 954 957 981 984 987
由排队列表法所得出的排列成果表，各项务必通通是由小到大排列，这才能保证由交叉线图的摘取方法是正确的。
注意在引用排列组合方法时是单用一种方法的情况非常少。比如，用排队列表法时往往先用a×b×c法则求得答数，然后再用排队列表法求出答案来。采用交叉线图时，同时要用a×b×c法则和排队列表法。各种排列组合答数没有哪一个不是以a×b×c法则为基础的，求排列如此，求组合亦如此。但求排列时直接用a×b×c法则即可，而求组合时有的可直接运用a×b×c法则，有的得先用a×b×c法则求得总排列数和每组合的排列数，然后再取两排列数之商方得出组合数。
求排列组合时不是都可写出算式的，比如排队列表法就没有算式。又比如选连交叉线图 (非全连交叉线图) 求答数时也没有算式。
对于一个排列组合的问题，先要确定它是要求组合还是要求排列，然后酌情选用具体的方法。1.3数独中的排列组合
其实数独中的排列组合实例不胜枚举。这里仅举数例。其他一些实例分散在数独中的求解，设计和特性的章节中，请读者随时注意。
例1，大列首块一横条的错开 (参看4.1.1.2节的模式法)：欲使大列首块一横条321三字在中块内错开有几种方式?
错开乃是数独设计的精髓。数独大列首块一横条上三字如何在中块内错开，按数独的八个标本 (见4.1.1.4 ) 有两方式，一是三字分配到中块的横条的三格内，一格一字，这叫散开式。比如图1-12(a)。二是三字分配到中块的两格内，其中有一格两字龟缩到一起，这叫龟缩式，如图1-12(b) 所示。
欲求首块一横条三字如何在中块按散开式错开，须引用排列组合中的守位离位概念。横条三字321如原封不动叫守位，如果任一数字离开了原位叫离位。根据三字的守位离位情况即可摘出三字的两个错开方式。横条321三字有6个排列 (=3×2×1=6)，其成果表 (排队列表法) 如图1-13所示。图1-12 散开式(a) 与龟缩式(b)图1-13 三字守位与三字离位
其中只有0字守位才是对321的错开:
也可以运用以下思路得到上述结果 (见图1-14 )。图1-14 三字的散开式
再借以上的交叉线图即得321之两种错开方式:
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]