作者：慕容漪汐
出版社：中国纺织出版社
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越玩越聪明的999个数独游戏试读：
前言Preface数独的规则与元素每一行、每一列和每一个粗线宫格内都不重复、不遗漏的游戏就叫数独。例如图1，左边是初始状态，我们拿到一道题目的时候，盘面内有很多空格。我们需要的是合理地填补这种空格，让最终得到的答案完全符合规则。
什么是数独呢？
简单地说，填入不同的数字，使得数字1~9在
接下来看一看标准数独的元素。我们需要了解的元素有：行，列，宫，坐标等，这些对于理解数独的规则和阅读有关解题的方法都是必要条件。
观察图2。拿到一道数独题目，首先要有行、列（Row & Column）的概念。每道九宫标准数独题目，必然有从上到下的9行和从左到右的9列。对这9行和9列有很多种命名方式，本书中，我们规定从上到下的9行分别是A~I行，从左到右的9列分别是1~9列。图2 九宫标准数独的基础元素图示
在规定了行列的概念之后，我们对于盘面上的小方格进行观察，一共是9×9共81个小方格，这些小方格我们命名为单元格（Grid）。为了指出某一个特定的单元格，我们会使用“某一行第几个小方格”这样的表述，例如“第三行第四格”。同时，我们在之前对于行列进行了命名，所以我们也可以使用“C行（第三行）第四列（第四单元格）”这样的命名法，然后更加简化地称呼为C4格。这种字母加数字的命名法为本书中使用的主要命名法则。盘面内给出了很多数字作为线索，这些题目给定的数字我们称之为已知数。我们要做的事情就是通过给定的已知数，去探索空白单元格里应该填入哪些数字。
此外，盘面内有九个宫（Box），按照从左到右、从上到下的顺序，分别是第一～第九宫。第一章标准数独解法第1节 唯一余数法
我们来看看唯一余数法。
唯一余数法是指，一个单元格里面有8个数字都不能填的时候，这个单元格里一定是剩余的那个数字。观察图1，星格所在的行里有数字1、4、5、6，列里有2、3、7、8，因此这个单元格一定是数字9。第2节 排除法
按照规则，每行（列、宫）内数字不重复，意味着对于任何一个已经有确定数字的单元格而言，它所在的行（列、宫）内不会再次出现这一数字。
观察图2的左图，B2格内是数字1，那么根据规则，所有灰色单元格内都不能是数字1。这是最基础的排除法。在此基础上观察右图，右图里有4个已知的数字1，那么根据推理，图中灰色单元格内也都不能是1，进而可以发现，第三宫中，1只能填在一个地方，那么很显然，星格内一定是数字1。图2 排除法图示（左图），宫内排除法实例图（右图）
在数独实际题目中，宫内排除法是最常用的技巧。我们用线条来表示排除，用一道例题进行示意。观察图3的左图，是一道简单的九宫数独题目。我们可以选数字1作为观察对象。观察题目可发现，第三、四、五、七、八、九宫中都有数字1，所以我们要判断第一、二、六宫内的数字1能填在哪里，也就是在这些宫里面找数字1的宫内排除。先看第一宫，我们用线条表示排除法，经过排除可以知道，第一宫内只有星格可以填1，所以数字1一定填在那里，用坐标表示就是C3=1。
当然，举一反三，除了宫内排除法以外还有行列排除法。这一点请大家看图3右图，第七列的1只能在星格里，原理和宫排除法是一样的，只是观察对象转化为行列而已。图3 例题（左图），行列排除法（右图）第3节 区块法
首先我们来说明一下什么是区块。在某些单元格里必然存在某个数字，这些单元格就构成了关于该数字的区块。那么，区块有什么作用呢？实际上，区块有辅助观察排除和辅助获得唯一余数两种作用。
在图4所示的例题（左图）中，5对于第四宫进行排除，得到圆圈内（右图）有一个5的区块。这个区块里面一定有数字5，所以结合行列排除法可以排除C3的5，得到第一宫的5在星格里。图4 例题（左图），区块排除法（右图）
我们再来观察难度高一点的图5。在这里，第一列的5必然在圆圈的区块中（右图），排除第一宫其他位置的5，结合行列排除法得到第一行的5在星格。图5 例题（左图）， 行列区块排除法（右图）
再来看一个区块唯一余数的例子。观察图6例题（左图），可以发现第二宫的1区块，第八宫的2区块。结合第五宫里的已知数3、6和第六行的已知数4、5、7、8，能得到唯一余数E5=9。图6 例题（左图）， 区块唯一余数（右图）第4节 数对
观察图7，我们可以发现F6和F9都只能是4或8，因此这两个单元格必然是一个4和一个8，这样这一行其他格子里就没有4和8了。这样的观察方法我们叫作显性数对，意思是某两个格子里必然是某两个数。在这道题中，我们能够很明显地看到，星格原本是3、4、8三个可能，通过显性数对排除后，星格里只可能是3。图7 例题（左图）， 显性数对（右图）
有显性就必然有隐性，我们再来看看图8，在图中，第二行的4和5只能在B4和B6两个单元格里，这两个单元格的位置被占据了，就不能再填入别的数字，因此9不能填到这两个里，结合行列排除法得到第二行的9在星格里。图8 例题（左图），隐性数对法（右图）
数对法的核心在于，某两个单元格内只能是某两个数字（但是顺序未知）。这样，这两个单元格内就不能填进别的数字，这些单元格共同影响的区域里也不能再出现这两个数字。一句很简单的口诀是“隐性占位，显性删减”，大家可以自己体会一下。第5节 数组
数组实际上是数对扩展开到3个甚至4个的情况。
图9左图是显性3数组，删除C2的8，得到第一宫的8在星格。右图是隐性3数组，得到第六列8在星格。图9 显性数组（左图）和隐性数组（右图）
数组内也有区块。观察图10，大框内是5、6、7、8四数组，小框内是数组内部的6区块。排除后得到第四列的6在星格。图10 例题（左图），数组内区块（右图）第6节 唯一性解法
合格的数独只有一个解，基于这个规则，有一些相关的解法，在本书所涉及的内容中，我们只讲一下简单的UR解法。
UR的全称是Unique Rectangle（唯一矩形）。简要地说，就是当形成如图11中这种矩形结构的时候，左边的两个单元格是某两个数的数对，右边也是，在这种情况下，题目的这个局部会有两组解，从而产生局部多解。因为合格的数独只有唯一的解，而这个局部多解的产生，必然意味着题目另一处会有矛盾，导致题目无解。所以这种结构叫作致命结构，UR技巧就是在盘面内以各种方式避免致命结构的产生。图11
观察图12。左上角，第一宫是8、9数对，第二宫A4是7、8、9数对，B4是8、9数对。为了避免致命结构的产生，B4=7。七宫灰色区域为2、4数对，九宫的2和4只能在灰色区域里，若在上方两格，那么G2无数可填；若在右侧两格，那么形成致命结构；因此，2、4只能在左上和下方的两格里。图12
当然，唯一矩形也有拓展和误区。下面给出唯一矩形常见的两种拓展情况：
第一种：如图13左图，如果G7=6的时候，H7和H9形成7、9数对，所有灰色的部分形成一个大的致命结构，这就是致命结构的拓展情况之一。
第二种：如图13右图，第八宫圆圈里是4、5、6数组，C3～C6是3、4、5、6数组，如果星格为3，那么C4、C5、C63个单元格也是4、5、6数组，大家可以自己思考一下，这个结构也是一种更为复杂的致命结构。图13
与此同时，UR解法还存在着非常严重的使用误区，大家一定要明辨。在图14中，虽然看起来像是致命结构，但是它的4个角位于4个宫里，不能形成局部多解，所以也就不存在致命结构。UR解法在变形数独里也可以使用，但是还是要满足“形成局部多解”才能被叫作致命结构。总而言之，彻底掌握UR技巧需要大量的标准数独和变形数独的练习。在不局限于本书对于数独的理论技巧下进行进一步的研究，你会发现UR的情况之多，以及各种情况内部结构的复杂程度，远远超过你的想象。
图14 UR解法的误区，4个灰色单元格都是8和9，却不是致命模式第二章变形数独解法第1节 杀手数独
杀手数独是指在标准数独的基础上，有一些虚线框，框内数字不能重复，角标数字为框内数字之和。
技巧1：45法则
每行、每列、每宫填入数字1~9，意味着这一行、列、宫的和是45。然后可以通过运算得到一些特定单元格的值，例如图1的左图，第九行里有4个虚线框，它们的和是44，那么剩下一个星格里的数字必定为1。同理，可以得到另两个星格的数字。这个技巧比较简单，在99%的题目里，第一步需要观察的就是45法则。但是，45法则不仅仅是将框内数字加起来，也有很多的简化步骤。例如，图1左图的第九行，可以将12、15、12、5的个位数相加，发现和尾数是4，而总和是45，得到星格是1。这种在比较复杂的情况下会极大缩减计算量。例如，有的情况要计算两行甚至三行的和，与90或者135来进行比对，这种情况下只算尾数会简便很多。当然，尾数也有弊端。例如目标是某两个单元格的和，就不建议只计算尾数。如用尾数算出来两个单元格的和尾数是3，那么可能是3，也可能是13。这时，需要全部加一遍来计算。图1 45法则图示（左图），固定数字的拆分（右图）
关于45法则怎样计算也有讲究。图2是一道题目的半边，解题的时候可以使用45法则计算右边5列（图中未给出数值）的和，然后和225比对，也可以计算左边4列的和。而在这个图里，最佳的方法肯定是用45法则算出来每一列最下方的数字，然后利用15进行计算。图2 45法则如何优选
技巧2：数字的拆分
有一些组合有固定的拆分方法。我们把B个数字的和A这件事记作A[B]。很显然有3[2]=1+2、4[2]=1+3等组合。一个确定了拆分的虚线框，我们往往可以将其当作数对或者数组使用。当然更多的情况是结合45法则，排除某个单元格的候选等，对于一个拆分进行分组讨论。
比如，我们手里有一个7[2]的拆分，这两个单元格都不能是3，也都不能是1，那么3+4和1+6两种拆分法就否决了，所以这个拆分是2+5；或者，其中一个单元格只能是1或者6，那么这里也一定是1、6数对。
观察图1的右图，我们可以看见，4[2]的1和3构成了数对，对于3[2]的1和2进行了排除，得到四角星格是2。接下来观察15[5]，是1、2、3、4、5的组合，而10[4]是1、2、3、4的组合，能得到五角星格是5。还有一些固定数字的拆分大概如下所示：
3[2]，4[2]，5[2]，6[2]，14[2]，15[2]，16[2]，17[2]；
6[3]，7[3]，23[3]，24[3]；
10[4]，11[4]，12[4]，29[4]，30[4]；
15[5]，16[5]。
其中，有一些是必须要记住的，现在我们来找一找规律，看看要记住的是哪些：
①1+2+…+n 和 1+2+…+n+(n+2) 这两种，且都只有一种拆分法。
② 常见的两种拆分的有 5[2]、6[2]、14[2]，等等。
大家有没有发现我们没有讨论5个数以上的拆分？在5个数以上的时候，用45法则，讨论框里没有的数是怎样拆分呢？即反向拆分，从而获得虚线框的拆分。
技巧3：拆分必含
研究一个拆分8[3]，它必然有两种形式：8=1+2+5或者8=1+3+4。这样可以发现，拆分8必然含有数字1，这就是拆分必含。这种必含往往当作区块来使用。我们需要记住的必含包括：
8[3]、13[4] 必含 1；
12[4] 必含 1 和 2；
22[3]、27[4] 必含 9；
28[4] 必含 8 和 9。
技巧4：极值估算
换一个角度观察。我们研究一个拆分20[3]的时候，因为两个数相加的最大值是17，所以另一个数字最小也要是3，这种方法叫作极值估算。
继续说刚才的8[3]拆分，很明显，这种拆分里面不能含9和8，由于两个数的和最小也是3，所以第三个单元格里最大也只能是5了，这是另一种形式的极值估算。
极值估算有什么作用呢？观察图3左图，1不能在29[4]或者11[2]中，结合排除法，1在C3；右下角中，9不能在12[4]、9[2]或者8[2]中，那么也很容易得到第九宫的9在I7。图3 极值估算（左图），拆分冲突图示（右图）
技巧5：拆分冲突
观察两个拆分6[2]和5[2]。6[2]=1+5或者2+4，5[2]=1+4或者2+3。那么如图3右图所示，5和6在一个宫里会出现什么情况？5是1+4的时候6无法拆分，6是2+4的时候5无法拆分。这就是拆分冲突。最常见的拆分冲突就是5[2]和6[2]，还有14[2]和15[2]。图3中大家可以多多观察。
在图3右图左边第一列，10[2]不能是1+9或者2+8，所以只能是3+7或者4+6。同理，9[2]只能是3+6或者4+5。很明显，这里也有拆分冲突，10不能是4+6，9不能是3+6。
当然，更多的拆分冲突是只能否定一部分的可能性。例如5[2]和7[2]冲突的时候，5[2]不能是3+4。
技巧6：差值估算
观察图4左图，两个虚线框内数字相加和是37，而第五行一整行的和是45，这意味着星格比灰色格大8，那么显然，星格是9，灰色格是1。图4 差值估算（左图），虚线框限制（右图）
技巧7：虚线框限制
这是很少见的情况。观察图4右图，虚线框内很明显是除了2以外的8个数字，这8个数字都能影响E4，得到E4=2。
技巧8：虚线框内区块
观察图5，8必然在灰色部分，利用虚线框内数字不重复的规则，得到第九宫星格是8。图5 虚线框内区块第2节 锯齿数独
锯齿数独是指在标准数独的基础上，宫变成了不规则形状的数独。在这里不一定要遵守每个3×3标准宫的规则，粗线围成的就是宫，盘面内一共9个宫（如图6所示）。在排除唯一余数、区块、数对方面，其他都与标准数独一致，只是宫的形状有所变化。图6 锯齿数独基本图示
锯齿数独的基本技巧也不难，需要注意如下几个技巧：
技巧1：等价
观察图7，在左图中，A1和B2是等价的，A9和B8是等价的……在右图中，只画出了锯齿的一个宫，但是这个图很有代表性，F4格无论是几，这个数在锯齿宫中只能在E5格，这是另一种等价。图7 等价图示
技巧2：LoL
这个技巧实际上是等价的一种拓展使用。观察图8左图，画出了3个宫，左边也有3列，通过观察容易明白，圆形部分的两个单元格和菱形部分的两个单元格等价。右图是这种等价的另一种表示形式，图中也有3个宫，是3组1~9，下方两行是两组1~9，那么剩下的凸出的9个格便构成了一个额外区域，这个额外区域里也是一组1~9。这个技巧的名字叫LoL。图8 LoL图示
技巧3：特殊区块及共同影响区域
观察图9的图示。在这个画出的宫中，3只能在E6和F5。很显然，无论3在哪一个单元格，星格里都没有3，这就是基于锯齿数独特殊宫内结构的特殊区块。右图中，圆圈内是8和9，排除下方共同影响的位置的8和9。图9 特殊区块（左图），共同影响区域（右图）第3节 窗口数独
窗口数独是指在标准数独的基础上，四个额外的窗口宫内也是数字1~9不重复。
窗口数独的技巧主要是前文锯齿数独的LoL技巧，但是又略有不同。
技巧1：LoL及其推论
由前文锯齿数独相关技巧，3个椭圆形内是1组1~9。一道题目，有四个这样的宫。我们进一步观察，每道题目是九组1~9，四个窗口宫占据四组，四个LoL宫占据四组，还有一组额外宫，是剩下9个单元格组成的（图10右图所示）。在窗口数独里，一共有十八个宫。图10 LoL宫（左图），角宫（右图）
技巧2：共同影响区域删减
观察图11方形框里面的3个单元格，这3个单元格是7、8、9数组，删除共同影响区域的7、8、9数组。图11 共同影响区域删减第4节 无缘数独
无缘数独是指在标准数独的基础上，任意一个数，其周围8个数都不能与之相同，即对角相邻的数字也不能相同。无缘数独有一个特征就是针对于此规则，从斜向也可以进行一些排除，从而得到一些新的结论。与此同时，也出现了新的区块。
技巧1：特殊区块删减
观察图12左图，第一宫有个1的区块。按照无缘数独的规则，这个区块可以排除D2和E2两个单元格的1，原理大家可以考虑一下。这种特殊区块是无缘数独最常见的。右下角部分，框内的5区块也可以排除F8的5。仔细想一想也可以发现，就算没有G8=4这个条件，5在G7、G8和G9之中时候，F8都不能是5。图12 特殊区块删减图示（左图），共同影响区域图示（右图）
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