作者：（英）郑乐隽
出版社：中信出版集团股份有限公司
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逻辑的力量试读：
逻辑的力量[英]郑乐隽 著杜娟 译中信出版集团致我的父母他们教会了我逻辑和直觉序言如果每个人都能更加清晰地思考，辨别真实与虚假、真相与谎言，是否会更有益处呢？但是，什么是真相？真相与假象之间的差异总是那么容易区分吗？事实上，这两者之间的差异曾经容易区分过吗？如果容易区分，为什么人与人之间会产生如此多的分歧？如果不容易区分，为什么人们又会认同彼此？这个世界充满了可怕的言论、冲突、分歧、假新闻、受害者、剥削、偏见、偏执、责难、呐喊和博人眼球的噱头。当猫模因获得的关注比谋杀案更多时，社会丧失逻辑了吗？当耸人听闻的新闻标题如病毒般扩散时，理智变得无关紧要了吗？在我们所处的世界里，无尽的资源无休止地争夺着我们的注意力。很多时候，人们制造简单的夸大的言论，就是为了起到一些效果，产生一些影响，赢得一丝赞誉，攫取一些关注。但是，过度的简单化将我们推向了人造的非黑即白的境地，而事实上所有的真实事物都存在于无尽的灰色空间，或者多彩的空间。因此，我们的生活中总是充斥着无穷无尽的冷嘲热讽、争辩以及相互攻击。即便事实不是字面描述的这样，也相去不远。所有的希望都破灭了吗？我们难道注定要非此即彼，再也无法取得共识了吗？不是这样的。对于任何一个在现代世界的逻辑缺失中溺水的人来说，都存在一个触手可及的救生圈，这个救生圈就是逻辑。但是和其他救生圈一样，只有在我们正确使用它时，它才能帮到我们。这就意味着，我们不仅要更好地理解逻辑，还要更好地理解情感，最重要的是理解它们之间的相互作用。只有这样，我们才能在真实的人类世界中真正有效地使用逻辑。数学可以仔细打磨逻辑的技巧。作为一个数学学者，我有这方面的经验。我相信人们可以从数学的技巧和见解中学到知识。因为数学的实质就是构建逻辑缜密的论证，并说服其他人接受这些论证。数学不仅仅包含数字和方程——它是一门辩论的学问。它提供了一个论证的框架。这个框架非常成功，人们在数学领域中确实经常能就某些结论达成一致。人们普遍认为数学是关于数字和方程的学科，而且在我们能够使用到数字的所有地方数学都是有用的。这个观点的错误之处是它认为数学的重点就是将现实生活中的情景转化成方程，然后用数学来解决这些方程。这确实是数学的一个侧面，但也是一个极为狭隘和片面的观点，它并没有全面地回答数学是什么以及数学能做什么。从这个角度出发，人们把“纯数学”当作一个关于深奥符号的纯粹领域。它远离真实世界，只能通过一连串的介质与现实世界产生互动：相反，我们应该从对数学的狭隘的、线性的、不完整的看法中跳出来，从广义上理解数学，从而在更大的范围内使用数学。在学校里，数学可能主要是关于数字和方程的，但是更高层次的数学是关于如何思考的。因此，数学适用于整个人类世界，而不仅仅适用于涉及数字的部分。数学可以帮助我们更清晰地思考，但是不会告诉我们应该思考什么。这本书的目的也不是教人思考什么。与很多人的理解恰恰相反，数学并不是非对即错的，很多观点也不是非对即错的。数学告诉我们，事物的对与错是依赖于世界观的。人们彼此之间的不赞同，往往是由不同的根本理念引发的不同观点造成的，并不代表一方是正确的，而另一方是错误的。如果对你来说数学和逻辑的概念既遥远又抽象，那么你是正确的——数学和逻辑确实是既遥远又抽象的。但是我认为抽象是有目的的，更广泛的适用性就是其强有力的结果之一。数学的遥远也是有目的的，后退一步能够帮助我们专注于重要的原则，让我们在陷入烦琐的人为细节前更清晰地思考这些原则。之后我们会引入这些细节。我们将分析和阐明混乱的、有争议的、有歧义的问题，例如性别歧视、种族主义、特权、骚扰、虚假新闻等等。逻辑并不能解决这些问题，但是逻辑能理清我们应该讨论的条目。因此，我不会告诉你这些争论的结论应该是什么，但是我将会告诉你应该怎样进行争论。在本书中，我将展示逻辑的力量以及它的局限性，因此我们能够负责任地、有效地使用它的力量。在第一部分，我将介绍如何使用逻辑，通过建立清晰的、不可辩驳的观点来验证和确定真理。在第二部分，我将讨论逻辑会在何处崩塌，无法再为我们提供帮助。与对待其他工具的时候一样，我们不应该试图超越逻辑的极限来使用它。因此，在本书的最后一部分，我将阐明在逻辑之外我们应该做什么。最重要的是，我们还需要带入情感。首先找到通往逻辑的方法，然后将它传达给其他人。逻辑令我们观点缜密，而情感使这些观点具有说服力。在所谓的“后真相”的世界里，接近真理的方式更多地取决于情感而不是逻辑。这听起来似乎对理性不利，但是我认为只要让情感和逻辑相互协作而不是相互对抗，这就不是件坏事。情感和逻辑并不是敌人。逻辑在抽象的数学世界里完美运作，但是生活远比这复杂。生活涉及人类，而人类有情感。在我们这个美丽又烦琐的世界里，我们应该用情感支撑逻辑，用逻辑理解情感。我坚信，当我们同时使用情感和逻辑，并且发挥它们各自的优势而不超越它们的极限时，我们就能够更清晰地思考，更有效地沟通，并收获对人类同胞更深入、更富同情心的理解。这才是真正的逻辑的艺术。第一部分 逻辑的力量第一章 为什么要有逻辑？世界既广阔又复杂。我们如果想要理解它，就需要简化它。有两种方式可以让事物变得更简单，一种是忘记它的某些部分，另一种是让自己变得更加聪明。这样，原先看起来无法理解的事物对于我们来说就变得清晰明了了。本书论述了在理解的过程中，逻辑能够并且应该起到的作用；分析了逻辑如何帮助我们更加清晰地观察和理解这个世界；呈现了逻辑所闪耀的光芒。逻辑包含了让事物变得更简单的这两种方式。忘记细节是一个抽象化的过程，在这个过程中我们可以看到事物的本质，并且暂时将注意力集中在它身上。重要的是，我们一定不能忘记关键性的细节。如果忘记关键的细节，这个过程就会变成过度简化，不具有启发作用了。而且我们只是暂时这么做，所以我们并没有宣称已经理解了所有事物，而是认为自己理解了一个核心，所有进一步的理解都可以建立在这个核心上。在本章中，我们将首先讨论为什么逻辑是所有理解过程的良好基础，以及在一个不符合逻辑的人类世界中，逻辑可能发挥什么作用。获取真相所有研究和学习的领域都致力于揭示与世界相关的真相，内容可能包括地球、天气、宇宙、鸟类、电子、大脑、血液、数千年前的人类、数字或者其他事物。根据所学的内容，你需要用不同的方法来确定什么是正确的，并且说服其他人接受你的想法。任何人都可以宣称自己的想法是正确的，但是除非他们能以某种方式来支持自己的主张，否则没有人会相信他们是正确的。因此，不同的学科需要通过不同的方式来获取真相。科学真相是利用科学方法来确定的，科学方法是一个明确定义的框架，用来决定某件事物为真的可能性。它通常包括建立一个理论，收集证据，然后用证据来严格检验理论。数学的真理是通过逻辑来实现的。虽然我们可以利用情感去感受它，理解它，并且说服他人接受它，但是我们只能用逻辑来验证它。其中的差异是非常重要而且微妙的。在某种程度上，我们确实是通过情感来获取数学的真理的，但是在我们使用逻辑验证它之前，它都不能算是正确的。人们在分歧中有时会抛出“逻辑”这个词，试图给论点增添些分量。人们可能会说“在逻辑上，这是正确的”，或者“在逻辑上，这不可能是正确的”，或者“你就是不符合逻辑”。“从数学上讲”这种说法也常常会以这种方式抛出。比如，“从数学上讲，他们可能无法赢得选举”。不幸的是，这些用法常常是毫无意义的，这更像是人们试图支撑一个薄弱论点发出的最后一击。与此同时，人们对这些词语的滥用降低了它们的含金量，这令我感到悲哀。但我是一个乐观主义者，所以我也选择从中找到令人振奋的东西：我很高兴地认为，在某种程度上，人们知道逻辑和数学是不可辩驳的，所以它们的出现可以令人信服地结束一场争论。虽然人们用这类名词来击败对手是徒劳的，但是至少在某种意义上它们的力量是被公认的。我不是简单地哀叹人们对逻辑和数学的误解，而是选择解决这个问题，我希望它们的力量能被真正用于良好的目的。这就是我写这本书的原因。使用逻辑的优点利用一个明确的框架来获取真相，主要原因之一就是我们可以就某些事物达成一致。人们总是尽可能多地反对他人，并且沉醉于此，这似乎是非常激进的。在体育运动中就会出现这种情况，尽管裁判只是简单地运用了约定的规则，粉丝们还是会对裁判做出的裁决感到愤怒。记得有一年，我观看牛津—剑桥赛艇对抗赛。当赛艇发生危险的碰撞时，剑桥队被处罚了。作为一个剑桥人，我非常气愤，因为在我看来显然是牛津队蓄意转向剑桥队的，所以看起来应该是牛津队的错。我认为裁判与牛津队之间有阴谋，所以裁判故意偏袒牛津队。然而，我并没有一味地抨击这种猜测的阴谋，而是查阅了许多专家的评论，试图理解到底发生了什么。我了解到，在泰晤士河赛艇比赛中，人们会沿着河中心画出一条假想的分界线，每艘赛艇在自己这一侧河水中都具有优先权。这意味着一艘赛艇可以留下很多空间，也许在过弯道时，可以“引诱”其他赛艇越过这条线。接下来，拥有优先权的这艘赛艇就可以故意转向越线的赛艇，因为它们很清楚自己并不会受到惩罚。这在道德上是正确的吗？这到底是谁的错？我们将在第五章阐明责备与责任的问题。使用一个明确的框架来达成共识，这个观念也有点儿像医学诊断的工作原理。医学界试图制定一个清晰的检查表，以便做出的诊断是明确的，整个行业的不同人员都能够一致地做出这样的诊断。逻辑需要有明确的规则，以便不同的人能够明确地得出一致的结论。这在理论上是美妙的，也许这里的“在理论上”意味着在数学的抽象世界中。数学取得进展的能力是惊人的。哲学家迈克尔·达米特在《数学哲学》中写道：数学在稳步前进，而哲学则不停地挣扎在无穷无尽的困惑中，困惑于哲学一开始就面对的问题。为什么数学家能够就什么是正确的达成共识？为什么这些事物在几千年后仍然是正确的，而其他学科似乎在不断改进和更新它们的理论？我相信答案在于逻辑的稳健性。这是它巨大的优势。逻辑世界也存在一些缺点，其中一个就是只通过大声喊叫你是无法赢得争论的。当然，只有在你喜欢通过喊叫来赢得争论时这才是一个缺点。我通常不会这么做，但不幸的是，有很多人这样做，所以他们不喜欢逻辑世界。而且他们也不喜欢这个事实——在逻辑的世界中，他们无法在我这样一个不高大、轻声细语、不酷的人面前占上风。因为在逻辑的世界里，力量并不来源于大块儿的肌肉、大量的金钱或者过人的运动能力，而是来源于纯粹的逻辑思维能力。逻辑世界的另一个缺点是你不再真正地脚踏实地了，因为我们已经不在具体的世界里了。有时，你会感觉自己在四处飘荡。但我发现，一个人一旦习惯了这种状态，就会觉得这是一种非常愉快的感受。这就像把第一个人送入太空，其关键之处在于怎样使其回到地球上。在本书中，我们将在抽象世界中漂流，而这不仅仅是为了好玩儿。我们将回到地球上，使用强有力的逻辑技术，解决围绕社会状况的真实的、密切的、紧迫的争论。进入逻辑的抽象世界可以使我们在现实世界中走得更远，就像在天空中飞行可以使我们在现实生活中旅行得更远、更快一样。从本质上而言，这就是数学的全部意义。数学是什么，不是什么人们对数学有许多误解。这可能来源于数学在学校中被呈现的方式——作为一系列规则，你必须遵循这些规则才能得到正确的答案。在学校中，数学的正确答案通常是一个数字。当证明终于进入数学课堂时，它通常以几何学的形式出现。在几何学中，“逻辑论证”的构成是使用特定的事实来证明其他无意义的结果。例如，有一些已经被设定条件的直线，在不同的位置彼此相交，然后这里的一个角会与另一个地方的角相关。证明角A是角B的一半（注意：这个例子是一个恶作剧，是不可能被证明的。）然后，你会面临一系列的测试和考试，在限定的时间内做一整套无意义的练习。如果你克服了这些困难，仍然相信自己喜欢数学，那么你就可以进入大学继续进行数学的学习。这时，所有事情都有可能重演，除了难度——大学数学更难。如果你完成了这一切，并且仍然认为自己喜欢数学，那么你可以攻读博士学位，开始从事相关研究。到了这里，数学终于变成我心目中真正的数学的样子了。它不再是一连串需要跃过的障碍，不再是为了获得“正确答案”而做出的尝试，而是一个需要探索、发现和理解的世界——逻辑世界。在这一点上，许多人意识到，他们之前对“数学”的喜欢在于越过这些障碍，获取正确的答案。他们喜欢这种能够轻松地获得正确答案的感觉，所以一旦踏入这个探索性的数学世界，他们就逃跑了。其他人在经历了不幸的学校生涯后，仍然保持着对数学的热爱。因为他们认为，当自己开始做研究时，数学会变得越来越好，越来越让人兴奋。教育学家丹尼尔·芬克尔称这种现象是对学校数学课程的“免疫”。我的妈妈为我接种了数学课程的“疫苗”，她向我展示了一个比我们在学校里所学的丰富得多的数学世界。很多人都是通过一位优秀的数学老师对数学免疫的——有时，我们只需要一个老师、一堂课，就能产生免疫效果，并且使学生相信，无论这堂课前发生过什么，以及这堂课后会发生什么，只要他们追随数学足够长的时间，数学的世界就会向他们敞开大门，让他们着迷。那么，当我们开始研究时才会遇到的这个“真正的数学”是什么？什么是数学？许多人认为数学就是“对数字的研究”，但是它远不止于此。我曾经在芝加哥的一所小学做过一个关于对称性的讨论，一个小男孩后来抱怨道：“数字在哪儿呢？”我解释说数学不仅仅与数字相关，于是他哭叫道：“可是我想要让它与数字相关！”科学发现的规则包括实验、证据和可重复性。数学发现的规则不涉及以上任何一项，但它涉及逻辑证明。数学真理是通过构建逻辑论证来建立的，而且这就是全部。我最喜欢的思考数学的方式是：它是对事物如何运作的研究。但这并不是对任何已有事物如何运作的研究，而是对逻辑事物如何运作的研究。而且，这不是对逻辑事物如何运作的任何已有的研究，而是对逻辑事物如何运作的逻辑性研究。● 数学就是对逻辑事物如何运作的逻辑性研究。● 任何研究型学科都包含两个方面：（1）研究的是什么。（2）如何研究它。这两者是有联系的，但是在数学中，它们之间的联系具有周期性。通常，我们正在研究的对象决定了我们如何研究它们，但是在数学中，我们研究它们的方式也决定了我们能够研究什么。我们使用的方法是逻辑，所以我们可以研究任何按照逻辑规则运行的对象。但是这些对象是什么呢？这是本书第一部分的主题。规则不同的游戏和运动采用不同的规则，它们都以一种非常明确的方式决定谁是最好的。就我个人而言，我更喜欢那些可以非常清晰地判定结果的游戏和运动，比如谁第一个冲过终点线，或者谁在不碰掉横杆的情况下跳得最高。像体操或者跳水这样的运动，如果需要一组评委根据已经确定的标准来做出决定，就会显得更加复杂、混乱和模棱两可。标准的设定应该是明确的，并且将人类的判断从当前的情况中移除。但是，如果标准真的是明确的，那么裁判之间就绝对不会有分歧，我们也就不需要整整一组裁判员了。但是，即使是看起来很容易判定的运动也有很多规则。如果更仔细地观察100米短跑或者跳高，我们就会发现，还有许多关于抢跑、使用药物、谁被允许作为女人参赛、谁被允许作为体格健全的人参赛等规则。和运动一样，逻辑有一个问题：你如果非常不习惯规则，就会为之感到困惑。我就对美式足球（橄榄球）的规则感到非常困惑。美国人通常认为这是因为我是一个英国人，我已经非常习惯“英式”足球。但事实上，我对英式足球的规则也感到困惑。但是，英式足球至少是用脚来移动球的运动，所以我理解得更多一些。在真正开始从事运动之前，我们需要清楚地知道运动的规则是什么。在能够真正开始运用逻辑之前，我们也需要清楚逻辑的规则是什么。就像运动一样，我们越想取得进步，就越要深刻地理解这些规则以及它们的微妙之处。这是一件费力的事，但是对逻辑的基本原理了解得越多，我们越能得到更好、更富有成效的论点。争论的理论互联网是有缺陷论点的一个丰富的、无穷无尽的来源。与气候科学和疫苗接种一样，非专家逐渐将专家共识视为精英阴谋，这种情况已经出现了惊人的增长。很多人对某事达成共识并不意味着存在阴谋。很多人都赞同罗杰·费德勒在2017年获得了温布尔登网球锦标赛冠军。事实上，可能每一个关注比赛的人都会赞同这个结果。这并不意味着这是一场阴谋，而是意味着温布尔登网球锦标赛是有非常明确的规则的，很多人都看着他比赛，并依据规则证实他确实赢了。在这方面，科学和数学的问题在于它们的规则更难以理解，因此，非专家更难验证规则是否被遵守。但是，这种理解的缺乏可以追溯到一个更基本的层面：“理论”一词的不同用法。在某些用法中，“理论”只是对某些事物的一个建议性解释。在科学中，“理论”是一种解释，它根据明确的框架被严格检验，并且在统计学上很有可能是正确的。（更准确地说，如果没有正确的解释，那么在统计学上结果是不可能发生的。）然而，在数学中，“理论”是根据逻辑被证明是正确的一系列结果。这不涉及任何可能性，不需要任何证据，也没有任何疑问。当我们询问这个理论如何为周围的世界建模时，疑问和问题才会出现。但是，在这个理论中，正确的结论必须在逻辑上是正确的，并且数学家们都赞成它是正确的。如果数学家们质疑这个理论，那么他们必须在证明的过程中找到错误，仅仅是大声喊叫是不会被接受的。数学有一个显著的特点，数学家们非常善于就什么是正确的、什么是错误的达成一致。有一些开放性的问题，我们还不知道答案，但是2000年前的数学仍被认为是正确的，而且依然在被传授。这一点与科学不同，科学正在不断地被完善和更新。除了在科学史的课堂上，在其他任何场景中，我都不确定2000年前的科学是否依然在被传授。出现这种情况的主要原因是，在数学中，用来证明事物正确的框架是逻辑证明，这个框架足够清晰，数学家们能够对此达成一致。这并不意味着有一个阴谋正在酝酿。当然，数学不是生活。在现实生活中，逻辑证明并不是十分奏效。这是因为真实生活中的细微差异和不确定性远比数学世界中多。数学世界是专门为消除这种不确定性而建立的，但我们不能忽视现实生活中的这一方面。更确切地说，无论我们是否忽视这种不确定性，它都在那里。因此，在现实生活中支持某个事物的论证不会像数学证明那样清晰，很明显，这就是分歧的来源之一。然而，逻辑论证应该与数学证明有很多共同之处，即使它们没有那么清晰明确。在现实生活中，一些围绕论证的分歧是不可避免的，因为它来源于对世界的真实的不确定性。但有些分歧是可以避免的，我们可以通过使用逻辑来避免这些分歧。这就是我们要关注的部分。数学证明通常比普通生活中的典型论证更长，也更复杂。普通生活中的论证有一个问题，它们通常发生得非常快，所以没有足够的时间让人们形成一个复杂的论证。即使有充足的时间，注意力持续的时间也会变得非常短。如果你在一次重要的论证没有抓住重点，那么可能很多人都不会再关注你了。相比之下，数学中一个简单的证明可能需要书写10页，花费一年的时间来构建。事实上，在写这本书的时候，我所做的筹备工作已经进行了11年，我的笔记已经超过了200页。作为一名数学家，我非常擅长规划冗长而复杂的证明。对于日常生活中的争论而言，一个200页的论证确实太长了（尽管对于法律裁决而言可能并不罕见），然而280个字符太短了。解决日常生活中的问题并不简单，我们不能奢望在一句或者两句的论证中解决这些问题，或者直接通过直觉来做到这一点。我认为，建立、交流和遵循复杂逻辑论证的能力是聪慧、理性的人的一项重要技能。做数学证明就像运动员在非常高的海拔进行训练，这样，当他们回到气压正常的环境中时，就会感到做事更加容易了。但是，我们不是在训练自己的身体，而是在锻炼我们的逻辑思维，这些情况发生在抽象世界中。抽象世界大部分真实的对象并不依照逻辑来运作。如果你给小朋友一块饼干，然后再给一块，那么他会有多少饼干呢？可能会没有，因为他们会吃掉饼干。为了进入一个逻辑能够完美运作的世界，我们会在数学中忘记一些与情景相关的细节。因此，我们不再考虑一块饼干和另一块饼干，只需要考虑“1+1”，忘记“饼干”。只要我们注意处理饼干的方式是否符合逻辑，“1+1”的结果就适用于饼干了。逻辑是一个通过谨慎推理构建论证的过程。在复杂多变的普通生活中，我们可以尝试着这样做，因为正常生活中的事物在不同程度上是合乎逻辑的。我认为正常生活中的任何事物都不是完全合乎逻辑的。稍后我们将探讨事物是如何不符合逻辑的：或者因为情绪，或者因为我们有太多的数据要处理，或者因为太多数据的遗失，或者因为存在随机的因素。因此，为了从逻辑上研究事物，我们必须忘记那些令人讨厌的、从逻辑上阻碍事物运作的细节。在小朋友和饼干的案例中，如果允许他们吃饼干，那么情况的发展将不会完全符合逻辑。因此，我们需要强加一个条件，即不允许他们吃饼干。在这种情况下，研究对象可能不是饼干，而是任何不可食用的事物，只要它们能被分割成离散的小块。它们只是“事物”，没有任何可辨识的特点。这就是数字1的含义：它是一个清晰可辨的“事物”的概念。这一转变将我们从物质的真实世界带入想法的抽象世界。这会给我们带来什么呢？抽象世界的优点进入抽象世界，我们就处在一个所有事物行为均符合逻辑的地方。在抽象世界中，如果在完全相同的条件下一次又一次地计算“1+1”，我将始终得到2。（我可以改变条件，然后得到其他答案。但是接下来，在这些新条件下，我也总能得到相同的答案。）人们说，精神错乱就是一遍又一遍地做着相同的事，却期待着不同的事情发生。我认为逻辑（或者至少是一部分逻辑）就是一遍又一遍地做着相同的事，期待着相同的事情发生。拿我的电脑来说，它有时也会让我精神错乱。我每天都做相同的事情，然而我的电脑会周期性地拒绝连接无线网络。我的电脑是不符合逻辑的。抽象有一个很强大的功能，那就是当你忘记一些细节时，许多不同的情况就变得相同了。在抽象世界中，我可以把一个苹果和另一个苹果、一只熊和另一只熊、一名歌剧演员和另一名歌剧演员，以及所有这类情形都变成“1+1”。一旦发现不同的事物在某种程度上是相同的，我们就可以同时研究它们，这会更为高效。也就是说，我们可以研究它们的共同点，然后分别观察它们的不同之处。我们可以在不同的情况之间找到许多联系，这可能是出人意料的。例如，我已经发现，在巴赫的钢琴前奏曲和我们编头发的方式之间存在某种联系。在不同情况之间寻找联系，能够帮助我们从不同的角度理解它们。但从根本上讲，这也是一种求同的行为。我们可以强调差异，也可以强调相似之处。无论是在数学里，还是在生活中，我都热衷于寻找事物间的相似之处。数学是一个在科学的不同部分之间寻找相似性的框架，而我的研究领域（范畴论）是一个在数学的不同部分之间寻找相似性的框架。在第六章，我们将展示从关系的角度思考的有效性。在寻找事物之间的相似之处时，我们常常不得不放弃越来越多的外部细节，直到我们到达将事物结合在一起的深层结构。比如，从外表上看，我们每个人都并不完全相像。但是，如果我们将自己剥得只剩骨架，那么我们基本上是一样的。蜕去外壳，或者将争论归结为它的本质，有助于我们理解自己的想法，特别是有助于我们理解自己为什么不赞同其他人。抽象世界有一个格外有用的特点，即在你想起它的时候，它就存在。如果你有一个想法，而且你想要实施它，那么你可以立即行动起来。你不需要出去购买它（或者请求你的父母为你购买它，或者请求你的资助机构给你钱去购买它）。我希望我的晚餐在我一想到它时就会出现。但是，晚餐不是抽象的，所以它不会出现。更严肃地说，这意味着我们可以用自己对世界的想法进行思想实验，遵循逻辑推理，然后观察将会发生什么，而不需要为了获得这些想法，去做那些真实的、可能不切实际的实验。我们如何进入抽象世界？进入抽象的、逻辑的世界是通往逻辑思维的第一步。当然，在正常生活中，我们可能不需要如此明确地去往那里，以便逻辑地思考周围的世界。但是当我们试图在某种情况下找到逻辑时，这个过程仍然存在。最近，伦敦地铁推出了一个新体系。在这个体系中，站台的某些区域被涂上绿色的标记，指示车门将在那里开启。等候地铁的乘客按照指示站在绿色区域外，这样一来，那些想要下车的乘客就有空间下车，无须面对一排想要上车的人墙了。此举的目的是改善人流的移动，减少可怕的拥堵，特别是在高峰时段。这对我而言是个好主意，却遭到一些普通上班族的强烈抗议。显然，这个体系让有些人感到不安。他们经过多年的通勤和研究，掌握了车门将会在哪里开启，而这些标记破坏了他们积攒下来的“竞争优势”。那些从未来过伦敦的游客，现在也有了同样的第一个登上地铁的机会，这让上班族们感到非常难过。这些抱怨遭到了嘲笑，但我认为它提供了一个有趣的角度，让我们看到平权行动引起争议的一个方面：如果我们为那些弱势群体提供特别的帮助，那么某些没有获得这种帮助的人似乎会感到不公平。他们认为只有那些人得到帮助是不公平的。就像那些荒谬的、愤怒的上班族一样，他们很恼火自己失去了辛苦攒下的“竞争优势”，他们认为其他人也应该通过努力获得它。这不是一个明确的数学案例，但是这种进行类比的方法是数学思维的本质。在数学思维中，我们把注意力集中在一个情境的重要特征上，以阐明这个情境，并与其他情境建立联系。事实上，数学作为一个整体，可以被考虑成类比的理论。在整本书中，我们都将使用类比来串联明显不相关的情境，并将在第十三章详细分析类比的作用。要想找到类比，我们需要剥离一些与当前思考无关的细节，找到在核心处令其运作的想法。这是一个抽象化的过程，也是我们进入抽象世界的方式。在抽象世界里，我们可以更容易、更有效地应用逻辑，并在一种情况下检验逻辑。为了更好地执行这种抽象化，我们需要将固有的事物从偶然出现的事物中分离。逻辑上的解释来自事物深刻的、不变的含义，而不是来自事件的顺序或者个人的决定和品位。内在性意味着我们不应该依赖背景来理解事物。我们将看到，我们对语言的正常使用一直依赖于语境，因为同一个词在不同的语境中可能会有不同的意思。在正常语言中，人们不仅通过语境来评判事物，还会联系自己的经验来评判事物；而逻辑上的解释需要独立于个人的经验。理解一个情境中内在的东西，需要我们从根本意义上理解事情为什么会发生。这与一遍又一遍地询问“为什么”有很大的关系，这就像小孩子一样，不仅仅满足于眼前肤浅的答案。首先，我们必须非常清楚地知道自己在讨论什么。正如我们将要看到的，逻辑论证旨在揭示事物的真正含义，为了做到这一点，你必须非常深刻地理解事物的含义。这通常看起来像是在做一个围绕定义的论证。如果你尝试对“你是否存在”进行讨论，那么你可能会发现，这个话题很快就会退化成关于“存在”的意义的讨论。通常，我可能会选择一个意味着我的确存在的定义，因为比起说“不，我不存在”，这是一个更有用的答案。逻辑和生活我已经断言，世界上没有事物是完全依照逻辑运作的。那么，我们如何在周围的世界里使用逻辑呢？数学论证和辩解都明确而有力，但是我们无法使用它们来得出有关人类世界的、完全明确的结论。我们可以试着用逻辑来构建关于真实世界的论证。但是，无论我们构建的论证多么明确，如果从模棱两可的概念开始，我们就会得到模棱两可的结果。我们可以使用非常安全的建筑技术，但是如果使用用聚苯乙烯制成的砖块，那么我们永远无法得到一个非常坚固的建筑。然而，理解数学逻辑有助于我们理解歧义和分歧。它帮助我们理解分歧来自何处，是来自逻辑的不同用法，还是来自不同的构建单元。比如，两个人对医疗保险的意见不一致，他们可能对是否每个人都应该享有医疗保险有分歧，也可能对提供给每个人医疗保险的最佳方式有分歧。这是两种截然不同的分歧。如果他们之间的分歧属于后者，那么他们可能正在使用不同的标准来评估医疗保险体系，例如政府的成本、个人的成本、覆盖率或者结果。也许在一种体系中，平均保费增加了，但是更多的人可以获得保险。或者，他们可能正在使用相同的标准来评价不同的体系，例如，评估个人成本，一种方式是查看保费，另一种方式是查看在任何治疗中人们需要实际支付的金额。而且，即使我们只专注于保费，也有不同的评估方式，例如查看平均值、中间值，或者社会最贫困阶层的成本。如果两个人对如何解决问题意见不一致，那么他们可能对什么算是解决方案有分歧。或者说，他们虽然对什么算是解决方案意见一致，但是对如何执行解决方案存在分歧。我相信，理解逻辑可以通过帮助我们找到分歧的根源在哪里来消除分歧。在本书的第一部分，我们剖析了逻辑作为建立论证的准则、数学的一部分，它到底是什么。在第二部分，我们将看到逻辑的局限性。在第三部分，我们将看到，鉴于这种局限性，认真对待我们的情绪是多么重要。逻辑就像光源我们所做的一切都是为了照亮这个世界。如果过度使用逻辑，我们就有超越这个目标的风险，还有可能让自己面临迂腐的指责。不幸的是，数学家和极具逻辑性的人常常被非数学家和缺乏逻辑性的人视为迂腐的人。在这里，我冒着让自己显得很迂腐（以及变得非常自指）的风险，试着阐明迂腐和精准之间的差异。我认为，这两者的不同之处就在于阐释。我认为迂腐是以精准为特征的，但是在阐明一种情形时，精准度超出了必要的范围。我们有足够的精准度来阐明事物，这就像在使用定义建立论证前，我们要先知道正确的定义一样。然而，当额外的精准度对我们没有帮助时，我们就称之为迂腐。因此，从自指的角度来看，我对迂腐和精准的区分本身就是一个精准的例子，而不是迂腐的，因为我认为它阐明了情况。当然，人们可能会对这两者间的分界线在哪里产生分歧。一个人的精准可能是另一个人的迂腐。这取决于某人对精准的追求程度，以及他们对模棱两可的容忍程度。孩子在认知世界的过程中会遇到一个难点：如何处理语言的不确定性。他们更容易按照字面的意思待人接物，因为他们还没有学会使用情境来解释模棱两可之处，也没有培养出对细微差别的容忍（或者理解能力）。我的一个朋友讲述了一件趣事，她的小儿子正在吃一袋薯片，不一会儿小朋友说他吃饱了。我的朋友说：“你可以把薯片放在桌子上。”于是，小朋友听话地把薯片全倒在了桌子上。作为成年人，为了适应生活，我们培养出了更加轻松地应对比喻性语言的能力，以及更加轻松地应对事物所需精准程度的能力。例如，你在测量东西时需要怎样的精确度。当称量用于制作蛋糕的白糖时，我知道如果少称10克左右不会有太大问题。然而，当称量用于制作马卡龙的白糖时，我知道此时用量非常重要，所以我会利用电子秤来称取最接近标准用量的质量。如果有人在确定麻醉剂的剂量，以使某人处于全身麻醉状态，我格外希望他们能得到极为精确的结果。事实上，我有一次非常不安的经历，我需要在全身麻醉的状态下做一个膝盖手术。当麻醉师发现我是一名数学家时，她用非常欢快的口吻说：“哦，我的数学真糟糕！”当时，我一点儿也兴奋不起来。我承认，我常常发现自己会比其他人追求更高的精准度，而且确实有人指责我迂腐。但是我坚信，我只是单纯地想让情况更明朗一些。事实上，在实际生活中，我也更倾向于光亮。我喜欢书桌上明亮的灯光，也喜欢明亮的阳光，因为我喜欢把事物看得更清晰一些。在思考过程中，我也喜欢这样。有时，我们需要花费更长的时间来进行更全面的思考，撰写更大篇幅的解释，完成更多基础工作，以实现事物的精准度，但在如今这个充满花言巧语、模因和“扔麦”的世界里，这项工作常常是不受欢迎的。事实证明，说出有影响力的话往往比说出真话更重要。但是，应该存在一种方式，让我们在表达真相的同时不会牺牲影响力，在具备影响力的时候又不会牺牲真实性。在我们这个充满未知、情感、美好人类的复杂世界里，使用逻辑就是最好的方式。在我的想象中，有一束明亮的灯光正在照向我们试图理解的事物。如果我们把光源紧靠事物，光线就会很充足，但是照亮的区域很小。如果我们把光源移到更远的地方，就能照亮很大一片区域，但是光线会变得不那么明亮。最终，如果我们把光源放得太远，光线就会变得太分散，我们就看不到任何东西。但是，如果我们把光源恰好放在自己正在学习的事物上，那么我们同样无法看到太多东西。逻辑和抽象就像照亮事物的光源。当我们变得更加抽象时，光源就像从地面上升起一样。我们会看到更广阔的背景，但细节不再那么明显；然而，理解广阔的背景可以帮助我们理解细节。在所有的情况下，我们的目标都应该是各种形式的阐释。首先我们需要光源，然后我们可以决定让光照向哪里，以及如何去照亮那个地方。第二章 逻辑是什么？巧克力使你快乐？如果我吃巧克力，那么我会快乐。如果我在提到一些不祥的东西后摸一摸木头，那么我会感觉好很多。如果你乘飞机从芝加哥出发，在伦敦中转后飞往曼彻斯特，那么这会比你乘坐完全相同的航班只飞往伦敦，不再继续后面的行程还要便宜。如果你在大街上扔下一些钱，那么某些人可能会捡走它们。如果你是白人，那么你享有白人特权。这些事都符合逻辑吗？“如果”这个词看似无关痛痒，却包含了一系列略有差异的含义。其中一部分（并不是全部）囊括了逻辑论证最重要的结构单元——逻辑蕴涵。逻辑论证是一种方法，它可以用来证明或者检验你是正确的。在生活中，很多方法都可以证明你是正确的。其中一种是大声喊叫；还有一种是告诉那些不同意你的想法的人，他们是愚蠢的。虽然这些不是说服别人的最好方法，但不幸的是，这些方法却是最常见的。证明事物真假的科学方法包括仔细地收集证据，分析证据，然后完整地记录整个过程，我们只要按照相同的步骤去做，就能重现整个过程。重要的是，这样还能让我们发现自己的错误。数学是科学的核心，但数学与科学有一点不同。数学使用的是逻辑，而不是证据。数学使用逻辑判断何时事物为真，同时还使用逻辑检测何时事物为假。我们可以这样概括：逻辑之于数学正如证据之于科学。也就是说，逻辑在数学中的作用类似于证据在科学中的作用，但是逻辑和证据是完全不同的。不同于证据，逻辑告诉我们什么时候事物必须为真，这不取决于因果关系和可能性，也不取决于观察结果，而是取决于某些内在的、永远不会改变的事物。在本章中，我们将讨论建立逻辑论证的基本方法：运用逻辑蕴涵。逻辑蕴涵是你如何从一个真命题转移到另一个真命题。它并不会使更多事物变成真的，只是揭示出比我们之前见到的更多的真的事物。逻辑蕴涵表明，“如果”一个事物为真，运用逻辑后，“那么”另一个事物肯定为真。情况变得复杂了，因为在日常生活中，有些情况下我们说的“如果……那么……”是不合乎逻辑的。我们这么说，可能是出于个人的喜好，比如“如果我吃了巧克力，那么我会快乐”；可能是想表达一种威胁，比如“如果你再说一遍，那么我就大叫了”；可能是出于一种哄骗，比如“如果你吃了自己的那份西蓝花，那么你就可以吃冰激凌”；可能是想做出一个承诺，比如“如果你信任我，那么我保证不会告诉别人”；也有可能是想达成一个协议，比如“如果你帮我遛狗，那么我会付你20英镑”。有些情况下，它可能体现了一种因果关系，而不是逻辑，比如“如果你把杯子弄掉，那么它会碎”；也可能体现了一种规则，比如“如果你超过75岁，那么你在通过机场的安检时不需要脱掉鞋子”；也可能体现了一种对行为准则的个人看法，比如“如果你爱我，那么你不会说那些话！”这句话的真实意思是“我个人认为这不是一个爱我的人该说的话。”还有一个问题是，我们在日常对话中常常用“意味着”来表达“暗示”的意思，比如“你这么说意味着我很愚蠢吗？”我们将在本章中探讨这些例子，并且思考这些例子与真正的逻辑蕴涵之间的差异。在正常生活中，这些差异有一些模糊，但是通过思考这些例子，我们可以试着找出这些差异。正常生活中的实例正常语言比数学语言更含糊。因此，在正常语言中，“如果……那么……”可以表示一些其他的含义，就像我们上一段中描述的那样。所以，一个句子中包含“如果……那么……”，不一定意味着这个句子中存在逻辑蕴涵。正式的逻辑语言和非正式的现实世界语言之间存在差异，无论是在逻辑世界还是现实世界里，我们都经常遇见这些差异，它们是许多混乱的根源。正常语言主要用于交流，而逻辑语言可以消除歧义。二者之间并不是互相排斥的。我们想要尽可能地消除歧义，其实也是在试图更清晰地交流。但是，在使用正常语言进行交流时，我们还有语境、肢体语言、语调、人类认识等方面的帮助，而使用逻辑语言时就不具备这些事物的帮助，也不会产生困惑。因此，在逻辑语言中，“如果……那么……”只能表达一种含义，而在正常生活中，它的意思就取决于情境了。虽然“如果……那么……”的用法不都是严格符合逻辑的，但也不都是严格不符合逻辑的——它们不与逻辑矛盾，但也不受逻辑支配。在英语中似乎缺少表达这两者之间的差异的方法，所以我们可能会说“非逻辑的（non-logical）”（即使这有点啰唆），或者“无逻辑的（alogical）”，类似于无政治意义的（apolitical）、无性别的（asexual）。我会一直强调一点：你可以是无逻辑的，但是不能不符合逻辑。因为无逻辑确实是不可避免的，并且在某些时候是有益的，甚至是至关重要的，但是不符合逻辑是不可取的。有太多事物是不属于逻辑蕴涵的。那么，哪些算是符合逻辑的呢？“如果你有白人特权，那么你有特权。”这就是一个逻辑蕴涵，因为它来源于固有定义：白人特权是特权的一种特定形式。下面这个句子就存在更多争议了：“如果你是白人，那么你有白人特权。”如果我们承认白人特权的存在，那么我认为这句话是符合逻辑的。只不过，为了使它成立，我们可能需要更具体的背景：“在欧洲或者美国，如果你是白人，那么你有白人特权。”或者，我们可能需要让背景更笼统：“在有白人特权的地方，如果你是白人，那么你有白人特权。”你们可能认为最后一个解构变得毫无意义了，而你想做有意义的事。我们越接近纯粹的逻辑蕴涵，就越能看清逻辑蕴涵。这就是在逻辑论证里发现逻辑的目的——让逻辑更明显。然而，虽然很多人认为最后那句话的意思是显而易见的，但是这句话仍有争议。有些人声称白人特权并没有惠及他们，只是惠及了较富裕的白人。这些人正在使用不同意义上的“白人特权”。在第六章关于关系的讨论中，我们将探究在哪种意义上，所有白人都有特权，而在哪种意义上，一些白人仍会因为其他原因缺乏特权。因为语言可以以多种不同的方式被使用，所以其本身就是有问题的。我们如果继续使用正常的日常语言，就注定会有完全符合逻辑这样的困扰，因为我们使用的词语本身就不是完全从逻辑上来定义的。我们可以足够接近它，然后称其为逻辑之外的任何事物，但是在我看来这将是迂腐的，而不是精准的。现在，我们将尝试在一个不同的、有争议的论点中寻找逻辑蕴涵。社会福利一些人认为应该扩大社会福利，为弱势群体提供更多的帮助。另一些人认为应当缩减社会福利，以节省开支并且停止助长懒惰。这两种论点中都存在逻辑吗？逻辑更支持哪一种论点？一种合乎逻辑的方法是把这两种论点抽象成两个实质——错误否定和错误肯定。这个案例中的错误否定就是那些应该得到帮助的人没有得到帮助；错误肯定是不应该得到帮助的人得到了帮助。于是，下面的蕴涵就变得合乎逻辑了：● 如果你更关心错误否定而不是错误肯定，那么你就会支持扩大社会福利。● 如果你更关心错误肯定而不是错误否定，那么你就会支持削减社会福利。这是对论证的一种简化，但是在简化的过程中，我们更加明确了这些立场之间的差异。我们发现，更加关心错误否定的人不会轻易与更加关心错误肯定的人达成共识。在这种情况下，要想达成共识，关键是要改变某些人对核心原则的看法，而不是对其他部分的看法。错误肯定和错误否定是造成许多分歧的核心。所以在这种情况下，抽象不仅能澄清论证，还能帮助我们与其他论证建立联系。例如，生活中有一句励志名言：“你不会因为做某事失败了而后悔，却会因为不敢尝试、一无所知而悔恨。”这句话是在鼓励我们做一些自己本不应该做的事情（错误肯定），不是在鼓励我们放弃自己应该做的事情（错误否定）。事实上，我更喜欢“我们放弃了自己应该做的事情，却做了自己不应该做的事情。”这句话既包含了错误否定，又包含了错误肯定。这种抽象的方法还帮我解决了时差的问题：我发现，比起在完全清醒的时候睡觉（错误否定），我更擅长在困的时候保持清醒（错误肯定）。因此，对我来说，解决时差问题的良策就是让自己提前处于睡眠不足的状态。因为我知道，到达目的地后，我可以在必要的时候保持清醒，这样晚上会非常疲倦，我肯定能睡得着。然而，如果某些人不擅长这种错误肯定，那么他们最好先睡足觉，在到达目的地后他们可以睡得更多。这里的逻辑蕴涵如下所示：● 如果比起在不困时入睡，你更擅长在困倦时保持清醒，那么你应该在跨越时区前减少你的睡眠。● 如果比起在困倦时保持清醒，你更擅长在不困时入睡，那么你应该在跨越时区前睡足觉。解决时差的问题和解决社会福利的争论居然有一些相同之处，这看起来可能令人惊奇，但这还只是抽象力量的一个方面。抽象能够将看似没有关联的情况联系起来，并更高效地发挥我们有限的思维能力。在第十一章关于公理的讨论中，我们将探究如何使用抽象来揭示更多个人的、根本的信念。逻辑和发现如果一个命题遵循纯粹的逻辑，那么这个命题自然为真。将这个命题大声说出来并不会增加新的信息，但是会增加新的见解。这就是为什么在平常语言中，逻辑论证常常听起来有点儿愚蠢，因为即刻产生的新见解往往是非常显而易见的。例如，“如果你有白人特权，那么你有特权。”句子中“你有特权”这部分是逻辑推论，那么它自然为真。这部分没有增加任何新信息，但是针对同一个事物提供了不同的观点。在这个案例中，新观点拓宽了不同类型的特权的背景。通过这种方式，逻辑其实是将新的光芒照向了事物，而不是发现了新的事物。从某种程度上说，这与考古学家挖掘古代艺术品没什么区别。那些古物已经在那里了，只是需要人们挖掘才能重现天日。我们收获了新的见解，只是因为在此之前，我们有一点儿无知。如果我们挖出的是几百年前的陶罐或者几百年前建筑的地基，那么有可能某些人已经知道这些事物了，只不过他们已经去世很久了。在国外度假时，有时你会在后街“发现”一间可爱的咖啡馆。当然，你并没有真的发现新事物——很多人（店长和所有去过咖啡馆的人）都已经知道这家咖啡馆了。但是对你来说，它却是新事物。有时，某些人认为他们“发现”了令人惊叹的新歌手，但事实证明这些歌手已经非常有名了，只是对于那些刚刚发现他们的人来说，他们并不出名，于是其他人在听到这种感叹时翻起了白眼。逻辑推论并不是新的事实。比如，在白人认为他们“发现”了美洲新大陆之前，它已经在那儿了。无论人们是否注意到它，逻辑推论都是正确的。“如果你有白人特权，那么你有特权”这个推论是非常明显的，但是如果把一系列逻辑推论一个一个地串联起来，那么你渐渐会到达远离起点的某个地方，这时逻辑的力量就建立起来了。例如，我们可以将这些蕴涵串联起来：（1）如果你是白人，那么你有白人特权。（2）如果你有白人特权，那么你有特权。我们现在有了这样的蕴涵：“如果你是白人，那么你有特权。”有时，启示是突然发生的，这就像你一铲又一铲地挖着土，突然就碰到宝藏一样。有时启示又是循序渐进发生的，有一个著名的案例——一个人用一枚回形针渐渐交换到了一幢别墅。当一小步一小步累积时凯尔·麦克唐纳是一位互联网传奇人物，他为自己设置了一项挑战——用一枚回形针交换一套房子。他不是一次性交换完成的，而是通过与很多人进行一系列的交换完成的，这些人在交换过程中并没有觉得遇到不公平交易。确实，凯尔·麦克唐纳在开始时使用的回形针是相当大的（而且是红色的），它不只是一个平凡无奇的标准办公用回形针。这件事听起来完全让人难以相信，但是凯尔·麦克唐纳通过一系列交易确实达到了目的。每一次交易中，都有人觉得交易过程涉及的两件物品是等价的，是值得交易的。但是在这个过程中，凯尔·麦克唐纳距离最初的回形针已经越来越远了。抛开这些交易已经发生的事实，最令我着迷的事情是为什么涉及这些交易的人们都觉得公平。当凯尔·麦克唐纳用雪球交换与爱丽丝·库珀共处一个下午时，他已经在网上拥有了一大批追随者，这场交易引起了一些恐慌。但也许他知道自己在做什么——难道他知道电影导演柯宾·伯恩森正在收集这些东西，所以他可以与导演好好进行一场交易？最后一次交易发生了，因为吉卜林人决定让他们镇上的某个人参与电影的拍摄，所以在城镇里为麦克唐纳提供了一幢双层别墅。2006年秋天，麦克唐纳和他的女朋友搬进了别墅。这个故事有很多吸引我的地方，特别是它让我想起了那个互联网还没有被辱骂和欺凌所笼罩的时代。但是我真正着迷的是这种视觉错觉的心理层面，在这里你前进的一小步并没有很让人惊奇，但是到达某个地方后，那里距离你开始的地方已经远得惊人了。这就是逻辑的运作。你走出的每一步都应该完全由逻辑驱动，这意味着这些步骤有可能仅仅是某些定义的拆解，这看起来似乎显而易见，甚至毫无意义。但是，当你成功地将它们串联在一起时，你将会到达一个看起来全新的、距离你的起点非常远的地方。凯尔·麦克唐纳的一系列交易是精湛而巧妙的，一长串的逻辑蕴涵也是精湛而巧妙的，它们体现了数学的进步。之后我还会证明，它们是强大的智者应该具备的基本技能。建立一长串的逻辑蕴涵来到达某个新领域是逻辑证明的概念，也是数学中逻辑证明运作的方式。现实生活不是数学，但是，我们在现实生活中仍然应该以相似（并不是完全相同）的方式建立逻辑论证。论证中的每一步都应该是逻辑蕴涵。一长串的逻辑蕴涵还有一个更严肃的例子，那就是查尔斯·杜希格在《习惯的力量》中描述的关于婴儿为什么会有先天缺陷的研究。研究表明，先天缺陷是由母亲体内营养不良造成的。但这并不仅仅指怀孕期间——它是指长期的营养不良。研究发现，长期营养不良是由营养不足造成的，而营养不足又是由在校期间科学教育不足造成的。教育不足是由教师不具备足够良好的科学背景造成的。由此产生了一个惊人的推论：如果教师有更高水平的科学成就，那么最终会减少婴儿的先天缺陷。顺便说一下，杜希格写道，领导这项研究的人是年轻的保罗·奥尼尔，他后来成为著名的首席执行官，之后成了美国财政部长。这就是一个在现实生活中巧妙建立一长串逻辑蕴涵的案例。正式地蕴涵虽然我们的目标是在现实生活中更好地使用逻辑蕴涵，但是我认为，更多地了解在数学中如何使用逻辑蕴涵也是很重要的。数学语言是枯燥而又正式的，这使它看起来既格格不入，又令人敬而远之。但是，它的枯燥是有极为充分的理由的——让事物变得清晰明了，不拖沓模糊。数学语言的枯燥还有助于让事物更加简洁，从而帮助我们建立更庞大、更复杂的论证。它就像真空袋，你先把衣服放进真空袋里，然后用吸尘器把袋子里的空气抽走。这样，一整堆衣服就压缩成了一个坚实的方块。“如果……那么……”还有一个更简洁的说法就是“意味着”。所以，我们可以用“A意味着B”来代替“如果A，那么B”。数学家使用符号“”来表示“意味着”。那么上述蕴涵表明：只要A为真，B就绝对为真。当A为假时，蕴涵就不会告诉我们任何信息了。例如，“成为美国公民意味着你可以合法地在美国生活”，这句话表明任何一个美国公民都可以合法地在美国生活。但是，当某个人不是美国公民时，这个蕴涵并没有告诉我们任何关于他们的事情：这些人可能可以合法地在美国生活（比如，他们有签证或者永久居住权），或者他们可能不可以。不幸的是，有些人在这里失去了逻辑，他们认为任何一个非美国公民在美国生活都是非法的。我们将在下一章讲到这个严重的逻辑错误。证明基本上就是将一系列蕴涵串联在一起，如下所示：ABBCCD然后，我们可以得出AD。这是因为，在第一个蕴涵中，如果A为真，那么B也为真；在第二个蕴涵中，如果B为真，那么C也为真；最终，在第三个蕴涵中，如果C为真，那么D也为真。因此，整体的连锁效应就是，如果A为真，那么（经过一些思考）D也为真。这里的关键之处就是“经过一些思考”——比起单个蕴涵，一连串的蕴涵需要在遵循逻辑的过程中保持更高的关注度和控制力。遗憾的是，这些也是论证中常常会缺失的部分。这里有一些更长的蕴涵链，它们要遵循的不仅仅是一个基本的逻辑指令：（1）如果你说女性是低人一等的，那么你是在侮辱女性。（2）如果你认为用“女性化”形容一个男人是侮辱他的方式，那么你是在说女性是低人一等的。（3）因此，如果你认为用“女性化”形容一个男人是侮辱他的方式，那么你是在侮辱女性。还有一个例子：（1）如果你不支持那些受打压的少数民族，那么你就是在助长偏执。（2）如果你助长偏执，那么你就和偏执狂串通一气。（3）如果你和某些坏人串通一气，那么你就跟他们一样坏。（4）因此，如果你不支持那些受打压的少数民族，那么你就和偏执狂一样坏。值得注意的是，如果你不支持那些受打压的少数民族，那么上述推断就是正确的，但无论你是否支持少数民族，上述蕴涵都是正确的。我可能不知道你是少数民族的忠实盟友，所以我可能会对你说，“如果你不支持那些受打压的少数民族，那么你自己就和偏执狂一样坏”。即使你个人实际上并不是偏执狂，我这个命题仍然是真命题。这就是蕴涵的奇妙之处。无论实际上你是不是美国公民，或者无论你是否拥有永久居住权，命题“如果你是一个美国公民或者你拥有永久居住权，那么你需要有健康保险”都为真。蕴涵并没有告诉我们某些人是否需要健康保险，我们只知道如果他们是公民或者他们拥有居住权，那么他们肯定有健康保险。我们可以从逻辑蕴涵中建立庞大的论证，而且论证仍然具有这样的特征：只有在满足开放性条件时，推断出的命题才会被认定为真命题。但是，论证本身已经告诉我们，如果满足了开放性条件，那么推断出的命题是真命题，而且这个论证也往往是正确的。在数学中，这种类型的推理就是证明。我将更进一步证明，把长串的蕴涵串联在一起会赋予我们逻辑的力量。正是它使我们像凯尔·麦克唐纳一样，从显而易见的事情开始，努力去做一些复杂而又不明显的事情。构建和遵循如此复杂的论证是很困难的，但它能充分利用我们人类大脑的关键部分。我相信，正是这一点将我们与单纯的动物和幼小的孩子区分开，而他们只能处理眼前的需要，完成直接的观察。长串的蕴涵常常需要将许多相互关联的观点压缩成一个简单的单元，这样我们就可以更容易地在它上面构建论证了，就像对我们的衣服进行真空包装一样。在这个过程中，我们获得了新的领悟和更深的理解。证明是什么样子的？在进行数学证明之前，我们必须非常仔细地奠定基础，这就像为一项运动制订规则一样。这么做的原因有很多方面，我认为思考这些问题是具有启发性的。现实生活中，许多论证最终都走向了错误，不是因为论证本身有问题，而是因为论证的基础有问题。在现实生活中，我们常常在论证的最后阶段才意识到，我们使用了不同的定义或者假设。（1）我们应该仔细定义我们所讨论的概念。（2）我们应该仔细表述我们所做出的假设。（3）我们应该以一种明确的方式仔细地、精确地表述我们所要证明的内容。数学中的假设与生活中的假设有一点儿不同。在数学中，假设与我们决定工作的条件有关，或者与使结论成立的条件有关。所以，我们在运用结论时，首先应该检查我们将要运用结论的情境是否满足这些条件。例如，我们可以假设自己生活在一个球体的表面，然后证明在这个条件下，某些事物是正确的。关于我们是否真的生活在一个球体的表面，这里并没有传达任何判断。它只是说，如果我们确实生活在一个球体的表面，那么这件事是正确的。在生活中，人们也应该按照相似的方式运用假设。但不幸的是，人们往往不这么做。例如，在关于女性的平均收入为什么比男性低的争论中，有时人们会假设女性并不像男性那么在意收入的多少。现在，在这个假设下，女性的收入比男性少似乎是合理的结果。当我们把这个结论运用到现实世界中的时候，试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]