同步：秩序如何从混沌中涌现(txt+pdf+epub+mobi电子书下载)

作者：斯蒂芬·斯托加茨,张羿

出版社：四川人民出版社

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同步：秩序如何从混沌中涌现试读：

谨以此书献给阿瑟·温弗里，我的导师、精神领袖及至交好友。前言聆听同步的循环之声

宇宙的核心存在一种稳定、持续的搏动：同步的循环之声。它遍及自然界的每个尺度，小到原子核，大到宇宙。每个夜晚，沿着马来西亚的潮汐河流，成千上万只萤火虫聚集在红树林中，同步闪烁着，要知道，它们没有收到任何指挥或来自环境的暗示。上万亿个电子在超导体中步调一致地前进，使电流在零电阻的状态下流过。在太阳系中，引力同步可以将巨大的石块弹射出小行星带，飞向地球，这种流星产生的巨大影响被认为是恐龙灭绝的原因。甚至我们的身体本身也是一曲富有韵律的交响乐，通过心脏中成千上万的起搏细胞持续不断且协调一致的发射，维持着我们的生命。无论哪种情形，这些同步的壮举都是自发出现的，仿佛大自然对于秩序有一种怪异的向往。

于是，这些同步现象引发了一个深刻的思考：长期以来，科学家一直对宇宙中自发秩序的存在感到困惑。热力学定律似乎指向了对立的方向：大自然会无情地向更无序的状态、更高的熵值退化。然而，在周围环境中，我们看到的宏伟结构，如星系、细胞群、生态系统、人类，都以某种方式自组织。这个谜题困扰着今天几乎所有的科学研究。只有在少数情况下，我们才能清楚地理解秩序是如何自发产生的。第一个例子是物理空间中的一种特殊秩序，其中涉及完全重复的结构，即当温度下降到低于冰点的时候，数万亿个水分子会自发凝结成刚性、对称的冰晶。然而，要解释时间上的秩序则存在更多的疑问，即使是最简单的可能性，即相同的事情同时发生，也被证明是非常微妙的，我们把这种秩序称为同步。

乍看上去，似乎没有什么需要解释。你和朋友在餐厅约会，如果你们两人都准时到达，那么你们的到来就是同步的。一种类似的寻常的同步是由对相同刺激的反应所引发的：一群鸽子受到汽车爆胎声的惊吓一齐起飞，在短时间内，它们拍打翅膀的节奏几乎是同步的，这只是因为它们对相同噪音的反应相同。鸽子其实并未相互沟通拍打翅膀的节奏，并且最初的几秒过后，这种同步就会消失。其他类型的瞬态同步可能会偶然出现，比如在周日早晨，两座教堂的钟声可能会同时响起，并保持一段时间，然后分道扬镳。当坐在车里等红灯时，你可能会注意到，你的车和前车的信号灯以完美的时间间隔同步闪烁，并持续一段时间。但这种同步纯粹是巧合，几乎没有关注的价值。

引人注目的是持续的同步。当两件事情长时间同时发生的时候，同步或许就不是巧合了。这种持续的同步很容易出现在人类身上，而且不知何故，它常常给我们带来快乐。人们喜欢一起跳舞，一起合唱，共同组成一个乐队演奏。完美的同步十分壮观，例如“火箭女郎”（Rockettes）啦啦队的同步踢腿，以及花样游泳运动员合拍的动作。当观众不知道下一段音乐或下一个舞蹈动作会如何继续时，艺术感就会在瞬间倍增。因此，我们也将持续的同步解释为智慧、筹划和精心编排的一种体现。

当无意识的实体出现同步时，例如电子和细胞，它们看上去就像是奇迹。动物的协作也会让你十分震惊，如夏日的夜晚，成千上万只蟋蟀齐声鸣叫，以及鱼群优美地游动。但更令人震惊的是，一些无意识的群体也会自发陷入同步。这些现象令人难以置信，以至于一些评论家否认它们的存在，将其归于错觉、意外或知觉错误。还有一些观察者甚至利用神秘主义对其进行解释，将同步归因于宇宙中的超自然力量。

直到几年前，关于同步的研究还是一个单独分离出来的分支，生物学家、物理学家、数学家、天文学家、工程师和社会学家分别在各自的领域耕耘，通过看似独立的方法进行探索。渐渐地，同步科学开始整合从各学科中得到的见解，这一新科学的核心是对“耦合振子”展开研究。萤火虫、行星或起搏细胞群体，都是振子的集合。所谓振子，是指自动循环的实体以或长或短的规律性时间间隔一次次重复自己的行为，例如萤火虫的闪光、行星的公转以及起搏细胞的发射。对于两个或两个以上的振子，如果某些物理或化学过程使得它们相互影响，那么则称之为“耦合振子”。萤火虫用光交流，行星通过万有引力相互作用，心脏细胞来回传递电流，正如这些例子所暗示的，大自然在利用各种可能的渠道，使得它的振子相互交流。交流的结果经常是同步，所有振子开始整齐划一地运动。

我们这些在这个新兴领域中工作的人，经常会问这样一些问题：耦合振子究竟如何自发同步？在什么条件下同步？什么时候同步不可能出现，什么时候又不可避免？当失去同步时，会出现什么样的组织形式？我们正在努力学习的一切，其实际意义是什么？

这样的问题让我沉迷了20多年，最初，我是哈佛大学的一名研究生，后来成为麻省理工学院和康奈尔大学的应用数学教授。现在，我在康奈尔大学任教，从事混沌理论和复杂性理论的研究。我对于周期的兴趣甚至要追溯到更早的时候，可以说是源自我上高中一年级时的一次顿悟。在《科学Ⅰ》课程最初的一个实验中，迪柯西奥先生发给我们每人一块秒表和一个玩具钟摆。钟摆是一个复杂的带伸缩臂的小型装置，可以以离散的步数伸缩，类似于在海盗电影里看到的那种古老的望远镜。我们的任务是测量钟摆的周期，即它摆动一个来回花费的时长，分析摆动周期与摆长之间的关系：更长的摆臂会使得它摆动得更快还是更慢，抑或是保持不变？为了找出结果，我们将钟摆调整到了最短长度，测量它的周期，并将结果绘制在坐标纸上。然后我们又逐步增加摆长，重复实验，每次只将伸缩臂伸长一个格子。当我在坐标纸上画出第四个和第五个点时，我突然被它吸引住了，一种模式正在涌现：这些点落在了一条抛物线上。我在《代数Ⅱ》课程中学习的这些抛物线正在秘密地支配这些钟摆的运动。我感觉自己被一种惊奇和恐惧笼罩了，那一刻的启示，让我开始意识到一个隐藏的美丽世界，一个只有通过数学才能看到的世界。那一刻的感觉，我再未遇到过。

30多年后，我仍然迷恋自然中的数学，特别是物体的周期运动，例如钟摆的周期摆动。但我不再研究单一的周期，我的探索将我带到了对许多周期性物体同时工作，即对耦合振子的研究中。我开始制作简单的模型，以代替真实的萤火虫或超导体那令人迷惑的复杂性和丰富性，用理想化的方程组来模拟它们的群体行为。我尝试用微积分和计算机观察秩序如何从混沌中涌现。这些谜团的有趣之处是，它们位于我们已知的数学的边缘。研究两个耦合振子没有什么挑战性，早在20世纪50年代，人们就理解了它们的运动。但对于涉及成百上千个振子的问题，我们仍一无所知。具有如此多变量的系统的非线性动力学超出了我们的认知范围。即使在超级计算机的帮助下，巨大的振子系统的集体行为也仍然是一个令人敬畏的未知领域。

然而，在过去的10多年中，通过全世界的数学家和物理学家的共同努力，一个特殊的案例终于被解决了，由此打开了更深入了解同步的一扇大门。如果我们假设，一个给定群体中的所有振子几乎相同，而且彼此间的相互耦合也完全相同，那么其动力学特性在数学上就变得容易处理了。本书的第一部分和第二部分讲述了我和同事是如何解决这类理论问题的，以及他们的解决方案对于现实世界中的同步意味着什么：第一部分针对的是有生命的振子，如细胞、动物和人类；第二部分涉及无生命的振子，如钟摆、行星、激光和电子；第三部分涉及前沿的同步科学。我们抛开了先前的简化假设，因为这个领域现在仍有很多地方是未知的，包括振子被混沌系统取代时的情况，或振子以低对称方式耦合时的情况——它们的邻居位于三维空间中，或位于超越地形限制的复杂网络中。

同步是一次尝试，我们希望将跨越学科、大洲和几个世纪的科学家所构造的庞大知识体系融合到这个学科中。理解同步所需要的科学知识借鉴了一些20世纪最伟大的思想家的研究成果，这些名字中的许多都是家喻户晓的，其余的也应算作此类，他们是物理学家阿尔伯特·爱因斯坦、理查德·费曼、布赖恩·约瑟夫森（Brian Josephson）、藏本由纪（Yoshiki Kuramoto）；数学家诺伯特·维纳（Norbert Wiener）、保罗·厄尔多斯（Paul Erdös）；社会心理学家斯坦利·米尔格拉姆（Stanley Milgram）；化学家鲍里斯·别洛索夫（Boris Belousov）；混沌理论家爱德华·洛伦茨（Edward Lorenz）；生物学家查尔斯·切斯勒（Charles Czeisler）、阿瑟·温弗里（Arthur Winfree）。

我个人的研究贯穿整个故事的始末，这不是因为我对自己的历史地位有着任何幻想，而是因为我想让读者感受到，在科学的战壕中工作是怎样一种体验——曲折的探索、碰壁的苦楚、新发现的兴奋、从学生到同事再到导师的蜕变。为了向广大读者传达数学的魅力，我完全回避了方程式，转而用日常生活中的比喻和图像来阐述核心思想。

我希望，当你看到自然世界中同步的惊人多样性，以及如何用数学的力量来解释它时，我们可以一同分享其中的兴奋。同步既古怪又美丽。说它古怪，是因为它似乎违背物理学定律，但事实上同步经常以稀奇古怪的方式依赖物理学定律。说它美丽，是因为它奉献了一场宇宙的芭蕾，表演的舞台从我们的身体蔓延到整个宇宙。同样，它也非常重要。我们对同步的基本理解已经催生了诸多科技奇迹，例如全球定位系统、激光，以及世界上最灵敏的探测器。医生无须手术就可借助探测器确定癫痫患者大脑中的病变组织，工程师用它来检查飞机机翼上的微小裂缝，地质学家则用它来定位深埋地下的石油。通过研究同步消失时的现象，数学家正在帮助心脏病专家追踪肌纤维震颤的原因。要知道，每年都有成千上万人死于这种现象引发的心律失常，它发病突然，没有征兆，即使没有心脏病病史的人也会患病。这只是我们今天所能做到的一部分例子，都源自我们日益增长，但仍十分基础的同步知识。

在职业生涯中有机会与如此多才华横溢、富有创造力的天才合作，我感到非常幸运。这里记述的研究是我和他们共同努力的结果。他们是我的导师阿瑟·温弗里、理查德·克罗瑙尔（Richard Kronauer）、查尔斯·切斯勒、南希·科佩尔（Nancy Kopell），我的同事伦尼·米洛罗（Rennie Mirollo）、保罗·马修斯（Paul Matthews）、科特·威森弗尔德（Kurt Wiesenfeld）、吉姆·斯威夫特（Jim Swift）、凯文·科莫（Kevin Cuomo）、奥本海姆（Al Oppenheim）、蒂姆·福里斯特（Tim Forrest）；以及我先前的同事渡边真也（Shinya Watanabe）、邓肯·瓦茨（Duncan Watts）。感谢如此了不起的同伴，伴我走过探索同步的荒野之旅。

其他一些科学家也通过各种方式帮我改进了这本书。杰克·考恩（Jack Cowan）分享了他于20世纪50年代末在麻省理工学院对诺伯特·维纳的深情回忆，并讲述了双凹陷谱线背后的故事，这从未提过但很人性化的故事深深启发了我。卢·佩科拉（Lou Pecora）提供了极为详尽的关于他和汤姆·卡罗尔（Tom Carroll）发现混沌同步的记载。吉姆·索普（Jim Thorp）用他的智慧和幽默向我解答了关于电网的问题。锡德里克·朗伯瑞特（Cedric Langbort）友好地为我翻译了惠更斯关于钟摆同步的信件。乔·伯恩斯（Joe Burns）、埃里克·赫佐格（Erik Herzog）、克里斯·洛布（Chris Lobb）、查利·马库斯（Charlie Marcus）、拉贾什·罗伊（Raj Roy）、乔·高桥（Joe Takahashi）对早期的书稿提出了富有深刻见解的意见。玛吉·纳尔逊（Margy Nelson）用她的科学判断与艺术天赋的独特融合为此书制作了插图。我要特别感谢的是阿瑟·温弗里，感谢他富有感染性的快乐情绪以及他对同步的精通，总之，感谢他在最困难的情况下，凭借英勇、惊人的慷慨，努力地从头到尾通读了书稿。

感谢琳迪·威廉斯（Lindy Williams）、史蒂芬·田（Stephen Tien）、赫伯特·惠（Herbert Hui）、汤姆·季洛维奇（Tom Gilovich），以及所有在早期阶段深受我打扰的朋友们；感谢卡伦·达什夫·季洛维奇（Karen Dashiff Gilovich）帮我树立了信心；还有头脑风暴会议中非常有想法的同伴艾伦·阿尔达（Alan Alda），他教给了我许多获得创意的方法。虽然我并未遵循他关于如何一气呵成地完成初稿的最好建议，或许下次我会考虑。

感谢我在康奈尔大学的同事，特别是理查德·兰德（Richard Rand），还有我的系主任蒂姆·希利（Tim Healey），感谢他们在我写这本书的过程中提供的鼓励和支持，以及当我心不在焉时对我的宽容。感谢大家的理解。

我的出版经纪人卡婷卡·马特森（Katinka Matson）和约翰·布罗克曼（John Brockman）时时处处都给予了我热情的帮助。约翰在听了我的描述后，一秒钟就想出了书名。卡婷卡在写作过程中的各方面都给了我温和的指导，从方案制定一直到出版。

一名写作者不会遇见比亥伯龙图书出版团队再棒的出版人了。特别是，助理编辑基拉·赫福德（Kiera Hepford）总是亲切、乐观、高效。艺术总监菲尔·罗斯（Phil Rose）捕捉到了同步难忘而又美丽的精髓，设计了本书英文版本的封面。特别感谢我的编辑威尔·施瓦尔贝（Will Schwalbe），他目光如炬，品位优雅，语感超群，对此书做了多方面的改进，在我最需要鼓励的时候，他对此书永不消退的热情始终激励着我。

感谢家人对我的爱和鼓励，特别是我的父亲，他总是在我的身旁，静静地鼓励、鞭策着我。我的岳母令人难以置信的无私，让我可以长时间工作，无须对忽视我的两个宝贝女儿感到内疚。感谢我的女儿们，蹒跚学步的莉亚把我重新带回了现实，乔安娜出生得恰逢其时。我的妻子卡萝尔给了我无微不至的爱——倾听、阅读、安慰、宽恕，教给我如何创造，如何放松，如何忘记。她慷慨的精神给了我自由的空间，让我肆意徜徉在魂牵梦绕的科学世界中。

最后，感谢所有美国公民，感谢他们的信任和远见卓识。他们通过像国家科学基金会这样的机构支持美国的科研单位，这给了我们可以自由追寻想象力的机会。

我希望读者可以像我们一样，在我们的探索中享受到同样的快乐。01萤火虫闪烁：同步是必然发生的

20多年前，我认为自己发现了萤火虫同步闪烁的现象。我很难相信自己的眼睛，在我看来，这种发生在昆虫之中的现象必然是违背一切自然规律的。

上述文字摘自菲利普·劳伦特（Philip Laurent）于1917年发表在《科学》杂志上的文章，他参加了关于这个令人费解的现象的讨论。300年来，到东南亚旅行的西方游客返回之后都会讲述这样的故事：不计其数的萤火虫全都亮灭一致地闪烁着，绵延于河岸两旁数公里之长。这些趣闻总会受到旅行作家们的青睐，被冠以浪漫色彩，引发广泛质疑。成千上万只萤火虫如何能够在如此巨大的规模中精确地策划它们的闪光，使之成为和谐的交响乐？现在，劳伦特确信自己已经解开了这个谜题：“表面现象是由我眼睑的抽搐或突然的上下眨动引起的，与昆虫完全无关。”

1915—1935年间，《科学》杂志又发表了20篇关于这种神秘的集体同步现象的论文。有些论文认为这种同步仅仅是一个稍纵即逝的巧合，有些则把它归因于特殊的环境条件：独特的湿度、平静的天气，以及黑暗的环境，等等。有些还相信其中一定有一名指挥者：有一只萤火虫在向群体中的所有成员发送指示信号。正如乔治·赫德森（George Hudson）在1918年写道：“如果想要一群人以如此完美的节奏合唱或合奏，不仅需要一名指挥者，而且必须经过训练去遵守他的指挥……这些昆虫天生就拥有比人类完美得多的节奏感吗？”博物学家休·史密斯（Hugh Smith）1923—1934年间居住在泰国，曾无数次目睹了这种同步现象，他愤然写道：“一些已发表的解释比这一现象本身更为不可思议。”但他也承认自己无法给出任何解释。

几十年来，没有人能提出一个合理的理论。1961年，乔伊·亚当森（Joy Adamson）在她的书《生而自由》（Born Free）的续篇中，颇为感慨地描述了她在非洲看到的相同现象，这是这种现象首次在非洲大陆被发现。

这是一条巨大的光带，大约有3米宽，由成千上万只萤火虫组成，它们绿色的磷光在齐肩高的草丛上架起了一座光桥……这些微小的生物体组成的荧光带精确地同步闪亮和熄灭。人们疑惑于它们是以什么样的通信方式协调闪光的，仿佛被一台机械装置控制一般。

到了20世纪60年代末，萤火虫同步闪光的谜题开始浮现出些许头绪。几乎所有人都错过了一条十分明显的线索，即同步的萤火虫不仅一齐闪光，而且是以恒定的速率有节律地闪光，即使在彼此分离时，它们仍然保持着稳定的节奏。这意味着每一只萤火虫都必须有自己掌控时间的方法，即存在某种内部时钟。这个假想的振子在解剖学上仍来源不明，但被认为系于萤火虫微小的大脑中某处的一簇神经元。与人类心脏中的起搏细胞很像，振子重复地发射，产生有节律的电信号，传送到萤火虫尾部的发光器，最终触发周期性的闪光。

另一条线索来自生物学家约翰·巴克（John Buck）的研究成果，他对于萤火虫同步性的研究比其他人都更为科学可信。20世纪60年代中期，巴克和妻子伊丽莎白第一次去泰国，希望看到萤火虫同步闪光的壮观景象。在一次非正式但十分富于启发的实验中，他们沿着曼谷附近的潮汐河流捕捉了许多萤火虫，将它们放飞到黑暗的酒店房间中。起初，这些萤火虫焦急地飞来飞去，然后逐渐降落到墙壁和天花板上，彼此分开至少10厘米远。刚开始，它们的闪光毫无条理，在巴克满怀惊奇地默默注视之下，两只、三只开始一齐闪光……零星的同步继续出现并发展，直到多达10余只萤火虫完全同步地闪亮和熄灭。

这些观测表明，萤火虫必须通过某种方式调整自己的节奏，以响应其他萤火虫的闪光。为了直接验证这一假设，巴克和同事们进行了实验室研究，他们对一只萤火虫施以闪烁的人造光（模仿另一只萤火虫的闪光），然后观察它的反应。结果发现，单独的一只萤火虫会以持续、可预测的方式改变其随后的闪烁时间，改变的大小和方向取决于接收到刺激信号时的周期位置。对于某些个体而言，刺激信号总是超前于萤火虫的节奏，仿佛要调快它的时钟；对于其他个体而言，时钟不是延迟就是提前，这取决于萤火虫是即将闪光，或是处于两次闪光之间的间隔，等等。

以上两条线索表明：萤火虫的闪光节奏是被一个内部可重置的振子控制的。同时，这也暗示了一种可能的同步机制：在一群闪光的萤火虫中，每一只都在不停地发送和接收信号，并依次改变其他萤火虫的节奏，同时也被其他萤火虫的节奏改变。一阵喧嚣之后，同步不知何故就自发出现了。

由此我们想到了一种解释，这种解释在数十年前似乎还是不可想象的——萤火虫是自组织的。它们不需要指挥家，也不受天气的影响，同步是在彼此的暗示中出现的，同样，没有指挥者的管弦乐队也是通过相同的方式保持完美的节奏的。此处违反直觉的是，虫子不需要具有智能。它们具备所有同步必需的要素：每只萤火虫都有一个振子，这是一个小节拍器，它的时间可以自动调整，以回应其他萤火虫的闪烁。仅此而已。

但有一点，这种方案的有效性并不明显。完美的同步能够从成千上万个无意识的节拍器杂乱无章的喧嚣中产生吗？1989年，我和同事伦尼·米洛罗证明，这个问题的答案是肯定的。这种方案不仅有效，而且在特定条件下总是有效。◎　　◎　　◎

出于我们尚未了解的原因，宇宙中最普遍的一个规律就是不断趋于同步，从原子到动物，从人类到星球，皆是如此。女性和其他同性在一起相处久了之后，经常发现她们的生理周期逐渐趋于同一天。从不同方向游向卵子的精子，它们的尾巴摆动方式是一致的，这也是一种原始的同步现象。有时，同步可能是有害的，如癫痫病的病因就是数百万个脑细胞异常同步放电，从而引发的节奏性痉挛，最终导致癫痫病发作。甚至非生命体中也会出现同步。激光束惊人的相干性源于数以万亿计的原子一齐脉动，每个原子都发射出相同相位和频率的光子。在数千年的过程中，潮汐运动的力量将月球牢牢锁定在它的轨道上运行。如今，月球的自转速度与围绕地球公转的速度精确地一致，这也是为什么我们只能看到月球的一面，却从来看不到它黑暗的另一面。

从表面上看，这些现象似乎毫不相关。毕竟，驱动脑细胞同步和激光同步的力量完全无关。但从更深的层次看，它们之间确实存在着关联，这种关联超越了任何特殊机制的细节。这种关联是数学上的，所有例子都是同一个数学题目的变化，这个数学题目就是自组织，即秩序从混沌之中的自发涌现。通过研究简单的萤火虫模型以及其他自组织系统，科学家们开始揭开宇宙中这种眼花缭乱的秩序的谜底。

我和伦尼探索的自组织问题，最初是由纽约大学新闻学院的应用数学家查利·佩斯金（Charlie Peskin）提出的。佩斯金是世界上最富有创造性的数学生物学家之一。他谈吐优雅，留着修剪整齐的胡子，脸上总是带着轻松的笑容。佩斯金喜欢用数学和计算机探索生理奥秘，如人体的分子、组织、器官如何实现其精致的功能，视网膜如何探测到最微弱的光线，分子动力发动机如何产生肌肉力量。佩斯金多才多艺，愿意尝试探索一切需要探求真相的事物。如果他需要的数学不存在，他就自己发明；如果该问题需要超级计算机，他就自己编程；如果现有的程序太慢，他就设计更快的。

甚至佩斯金的数学风格也是灵活务实的。他最为著名的成就是心脏内血液流动的三维模型，模型中有逼真的解剖、瓣膜及纤维结构。对于复杂问题，他结合了用超级计算机模拟的蛮力破解方法，以及完全原创的巧妙的数值方法。然而，对于其他问题，他信奉爱因斯坦的名言：“一切都应该尽可能地简单，但不要太简单。”在面对同步问题时，他选择了一个极简的方法，忽略掉除真正重要的因素以外的所有生物细节。正是这种极简主义，让他构想了心脏起搏细胞如何自同步的示意模型。

心脏中的自然起搏器是进化的奇迹，也许是有史以来最令人印象深刻的振子。有近一万个细胞组成了窦房结，它的功能是产生电节律，控制心脏其余部分的跳动，它必须每分每秒都在稳定地工作。在人的一生中，它大概要跳动30亿次。与心脏中的大多数细胞不同，起搏细胞可以自动振荡：将它们单独放在培养皿中，它们的电压会以规则的节律升降。

以上内容引发的问题是：如果一个起搏细胞就可以完成这项工作的话，那么我们为何还需要如此巨量的细胞？或许是因为一个细胞不够稳定，可能出现故障或是死亡。所以，进化产生了一个更可靠、更民主的系统，由数千个细胞共同确立速率。当然，民主制也有着自己的问题：细胞必须通过某种方式协调它们的发射；如果它们发送相互冲突的信号，心跳就会紊乱。这也是困扰佩斯金的问题：这些细胞在没有指挥者和外界命令的情况下，是如何实现同步的？

这个问题与先前的萤火虫问题十分相似，两者都涉及大量有节律的个体，它们会触发脉冲信号来影响群体中其他个体的节律，根据特定的规则提高或降低它们的速度。两种情况都会不可避免地出现同步，我们面临的挑战便是解释这种现象的原因。

1975年，佩斯金基于简化模型的框架开始研究这个问题。每个起搏细胞都被抽象为一个振荡电路，相当于一个电容与一个电阻并联所组成的RC振荡电路（见图1-1）。（电容器是储存电荷的装置，在这里扮演类似于细胞膜的角色；电阻为电流流出细胞提供了通道，类似于细胞中所谓的泄露通道。）持续输入的电流使电容充电，电压稳步上升。同时，随着电压的上升，通过电阻泄漏的电流增加，因此电压升高的速率放缓。当电压达到阈值的时候，电容放电，电压立即下降到零。我们用这种模式模拟心脏起搏细胞的发射，以及恢复到零电位的过程。然后电压开始再次上升，进入一个新的周期。整个周期分为两个部分：先是一条平缓上升的充电曲线（一个像半拱的图形，上升但是向下弯曲），随后垂直下降到零位。图1-1　起搏细胞振荡电路图

接下来，佩斯金将心脏起搏器理想化为海量的这种“数学振子”的集合。为简化起见，他假定所有的振子都是相同的（因此全都遵循相同的充电曲线），每个振子和其他振子的耦合强度也相同，只有当振子发射的时候才互相影响。具体而言，当一个振子发射的时候，它会立即刺激其他振子的电压提高一个固定的量，如果有细胞的电压超过阈值便立刻发射。

对这个问题如此困惑的原因是：在任意时刻，不同的振子通常位于周期内的不同阶段，有的处于发射的边缘，有的处于充电曲线的中间部位，还有的仍在零电位上。当领先的振子到达阈值的时候，它会发射并刺激其他振子上升到充电曲线上的不同位置。发射的效应是混合的：接近阈值的振子被刺激后会更接近发射的振子，但那些接近零电位的振子被刺激后会更不同相。换句话说，一个振子的发射对于某些振子而言起到了同步的效果，对其他振子而言却是破坏同步的。而只借助常识，我们无法理解所有这些重新调整的长期结果。

与上述过程相似的更形象的图景是：将单个细胞类比为装满水的抽水马桶水箱。当水注入的时候，水箱中的水位就像细胞的电压一样稳步上升。假设当水位升到一定高度时，马桶就会自动冲水。突然的放水使水位瞬间回落到零位，此时水箱再次注水，从而形成一种自发的振荡。为了完善这个比喻，我们同样需要假设，水箱稍微有些漏水。水从水箱底部的一个小孔排出，水箱里的水越多，漏水速度越快，这意味着水位上升的速度越来越慢。这种泄露对振荡本身并不重要，没有它，装置依然可以运转。但事实证明，它对于多个振子的同步至关重要。最后，假设有一万个这样振荡的马桶组成的队列，我们通过管道系统把每个水箱都连接到一起，当任意一个马桶冲水的时候，就会同等地提高其余所有水箱的水位。如果上升结果使得任何水箱的水位超过了阈值，该水箱就会立刻冲水。

这是一个古怪的景象，一种水管工版本的鲁布·戈德堡机械，于是问题变成了：这奇妙的装置一旦启动后会如何？是永远混乱下去？还是分裂成为对立的派系，轮流排水？

佩斯金推测，系统总会同步：无论它如何开始，结果都是所有振子一齐发射。此外，他还猜想，即使振子并不完全相同，同步也会发生。但当他试图证明自己的猜想时，却遇到了技术上的障碍。并没有现成的数学方法可以处理由许多振子通过瞬时、不连续的脉冲耦合组成的庞大系统。所以他又回过头来研究最简单的情况：两个完全相同的振子的耦合。即便只有两个振子，在数学上也非常棘手。于是他进一步限制了这个问题，只允许极小的相互刺激，以及极小的漏电流流过电阻。现在问题变得简单了，在这种特殊情况下，佩斯金证明了同步发生的必然性。

佩斯金的证明是基于法国数学家、混沌理论的创始人亨利·庞加莱（Henri Poincaré）提出的一个想法。庞加莱的想法主要基于频闪摄影术的数学等效。具体来说就是，取两个完全相同的振子A和B，每当A发射的时候，就对它们拍摄快照，记录它们的变化。这一系列快照会是什么样子？振子A刚刚发射，所以A总是出现在零电位。相比之下，B的电压随着每一张照片变化。通过求解这个模型的方程，佩斯金发现了一个明确但混乱的关于B的电压随照片变化的方程。该方程表明，如果电压低于某一临界值，它会稳步下降到零电位，如果高于这一临界值，它则会稳步上升到阈值。不论发生何种情况，B最终都会与A同步。有一个例外情况是，如果B的电压刚好等于临界值，它便既不上升也不下降，停留在临界值处，两个振子的相位便相差半个周期。但这种平衡是不稳定的，即使是最轻微的扰动也会使系统趋于同步。

尽管佩斯金成功分析了双振子的情况，但是对于任意数量的振子的情况，在那之后15年内都未能得到证明。在此期间，佩斯金的成果并没有受到关注。它被深埋在一本不出名的专著中——这基本上是他讲稿的一个影印集，只有向他所在的部门申请才能借阅。◎　　◎　　◎

1989的一天，我正在翻阅一本叫作《生物时间的几何学》（Geometry of Biological Time）的书，该书的作者是理论生物学家，我心目中的英雄——阿瑟·温弗里。当时我在哈佛大学应用数学系做博士后，正在渴求一个新的研究课题。虽然在过去的8年中，我一直在钻研温弗里的书，但依然觉得很有兴味，从中可以获得源源不断的新思想与新灵感。它不仅是对先前生物振子研究的总结，也是猎人的狩猎图，是通往未来发现的向导。几乎在每一页上，温弗里都指出了对于那些富有价值、悬而未决的问题的解决方法，还有成熟问题的内幕消息。

其中便有一个我先前未曾留意的启示：书中有一段记述了振子通过有节律的脉冲进行通信，温弗里提到了佩斯金在他的专著中提出的心脏起搏细胞模型。虽然佩斯金已经成功分析了两个完全相同的振子的情况，但是温弗里写到，“多振子问题还有待解决”。

这句话激起了我的好奇心。对于这个已经存在多时的基本谜题，还有待解决的是什么？我当时从未听说过佩斯金的工作，但它听上去非同寻常。从未有人试图解决多振子“脉冲耦合”的数学问题，在这个问题中，振子的相互作用是通过瞬时的脉冲信号促成的。这是生物数学文献中的一个明显的空白，同时也是一个尴尬的问题，因为生物振子通过这种方式相互作用的例子极为普遍，萤火虫闪光、蟋蟀鸣叫、神经元发射电信号……全都是利用瞬时脉冲来通信的。然而，理论家出于数学上的原因常常回避脉冲耦合问题。脉冲会使得变量发生不连续的跳变，而利用微积分处理跳变比较困难，它最适合用于处理平滑变化的过程。但是，佩斯金却发现了一种分析两个不断重复互相作用的振子的方法。他是如何做到的？是什么阻碍了他解决多振子问题？

我们的图书馆中没有购置佩斯金的专著，他友好地将相关文献寄给了我。他的分析全面、清晰、直接，我很快就了解了为什么他停留在了双振子问题上：尽管他的分析十分简洁，但方程已经变得十分庞大。3个振子的情况更糟，对于n个振子则完全不可解。我也不知该如何展开他的论点或绕过这个难题。

为了更好地理解和体会这个问题的困难程度，我在计算机上用两种不同的方式运行了这个问题。第一种方法是向前再进一步，尝试三振子问题。我模仿佩斯金的策略，设置极小的刺激和漏电流，让计算机处理所有的代数问题。即使这样，得出的方程仍然十分恐怖——有些写满了好几页，在计算机的帮助下，我将它们简化到了可理解的程度。结果表明，对于3个振子的情况，佩斯金的推测可能是正确的。同时，结果也表明了这不是正确的处理方法。即便有计算机的帮助，这种代数问题也只会让人望而却步。

第二种方法是模拟。脱除公式，只是让计算机一步步推进系统的演化，然后观察会发生什么。模拟无法代替数学，因为它无法给出证明，但如果佩斯金的推测是错误的，这种方法则会揭露出反例，从而为我们节约大量时间。这种证据在数学上非常有价值。当你试图证明一件事的时候，它会帮助你了解事情正确与否，给予你坚持寻找严格证明的信心。

编程仿真很容易。当一个振子发射的时候，它会刺激其他所有振子的电压上升一个固定的量。如果任何被刺激的振子的电压超过了阈值，它就会发射，同样也会刺激其他振子。当振子处于发射间隔内的时候，使用佩斯金的公式，所有振子的电压都会朝向阈值增加。

我尝试了100个完全相同的振子的情形。它们的初始电压随机分布在零电位和阈值之间，我将它们描绘成一群朝向阈值运动的点，这些点沿着它们共同的拱形充电曲线上升（横坐标为时间，纵坐标为电压）。即便在计算机图形技术的帮助下，我仍无法在它们的集体运动中发现某种模式，只有一片喧嚣的混乱。

此时的问题在于信息太多。所以我开始认识到佩斯金的频闪法的另一个优势：它不仅简化了分析，而且是使系统的演化可视化的最佳方法。除了恰好在某一特定的振子发射的时刻，所有的振子都是不可见的。在这些时刻，一道假想的频闪光照亮了其余所有振子，显示出了它们的瞬时电压值。随后，整个系统陷于黑暗，直到那个特定的振子下次发射。佩斯金的模型具有一种特性，即振子是轮流发射的，没有哪个振子会插队，所以在下一次闪光之前，其他99个振子会在黑暗中发射。

在计算机上观察可以发现，这些计算十分迅速，以至于屏幕出现了闪烁，99个振子沿着充电曲线上蹿下跳，每次闪光时它们的位置都会发生改变。这种模式是不会错的。点聚集在一起，形成零星的同步，然后合并成为更大规模的同步，就像雨滴在玻璃窗上合流一样。

系统自发趋于同步，这简直不可思议。这是对菲利普·劳伦特和所有坚决认为萤火虫的同步在理论上不可能，并认为这种事情“必然是违背一切自然规律”的怀疑论者们的公然反对。计算机显示了一群没有意识的微小振子可以自动趋于同步，这种结果简直不可思议。人们不禁会认为这些振子是在有意识地配合，努力趋于有序，但它们并非如此。每个振子只是机械地响应其他振子发射的脉冲，完全没有目标。

为了确认我的第一次尝试并非侥幸，我重复模拟了很多次，每次都是随机的初始条件，以及不同的振子数目，但每次都会出现同步。佩斯金的猜想似乎是正确的，我现在面临的挑战是去证明它。只有确凿的证据才能证明同步是必然的，这种证明方法是计算机无法做到的。最好的证明将澄清为什么同步是必然出现的。我请教了我的朋友，波士顿大学的数学家伦尼·米洛罗。◎　　◎　　◎

我和伦尼已经相识10年了，在哈佛大学读研究生的时候，我们周末经常一起出去玩，凌晨两点一边用油腻的勺子吃炸薯条，一边以大致相同的观点谈论数学和女人。但那时我们从未一起工作过。他的研究方向是纯数学，而我是应用数学。我们可以互相理解，但并不能完全理解对方。

读博期间，伦尼研究了一个非常抽象的问题，希望以这一课题完成博士论文。他的直觉告诉自己某个理论一定是正确的，于是他花了三年时间试图证明它。但有一天，他意识到这个理论是错误的，因为他发现了一个反例可以摧毁一切。一切都已无法挽救。然而，他并没有沮丧，反而切换到数学领域的一个新分支，解决了其中的一个关键问题，完成了论文，所有这一切只用了一年时间。

1987年前后，我和伦尼开始一起工作。我们二人优势互补，通常由我提出问题，解释其科学背景，进行计算机模拟，提出直观论证。而伦尼会思考解决这个问题的策略，然后找到证明这一理论的方法。

当我告诉伦尼我对佩斯金的模型进行的计算机实验时，他最初很好奇。在理解了这个问题后，他就变得跃跃欲试起来，就像一位等待走上拳台的拳击手。他给了我几分钟时间来总结我所做的工作，但没过多久，他就坚持要用自己的方法来观察它。

伦尼毫不留情地简化了模型。对于佩斯金的原始电路模型中原有的电容、电阻、电压这些细节，他完全没有耐心。他猜测，这个模型唯一关键的特征是：每个振子都遵循一个缓慢上升的电压曲线，直至升到阈值，所以他从一开始就利用了这一曲线。他抛弃了电路，取而代之的是一个抽象的、类似于电压的变量，这个变量反复上升到阈值、发射，然后复位。然后他假想了n个完全相同的这种变量的集合，各个变量都像以前一样相互作用：当一个振子发射的时候，会刺激其他振子上升一个固定的数值，达到阈值的就会发射，而后者上升的数值稍小些。

伦尼的简化模型不仅清晰（减少了大量代数运算），而且适用范围更广。它不再只是电压形式的电气学解释，我们现在可以将变量当作测量任何准备发射的振子，无论是心脏起搏细胞还是蟋蟀，也无论是神经元还是萤火虫。

我们能够证明，对于任意数量的振子，无论它们如何启动，这个广义的系统几乎总是会达到同步。证明中一个关键的要素是“吸收”的概念，简单来说就是，如果一个振子刺激另一个振子超越了阈值，它们便会永远保持同步，仿佛一个振子吸收了另一个。在我的计算机实验中，吸收是显而易见的，振子会像雨滴一样融合。它们同样也是不可逆的：一旦两个振子一起发射，它们就再也不会自己分开，因为它们的动力学特性完全相同。此外，它们与其他振子的耦合也完全相同，所以即使被其他振子刺激，它们也会保持同步，因为它们受到的刺激是相同的。因此，吸收的作用就像棘轮，总是会把系统推向同步。

这个证明的核心是，一系列的吸收把振子锁在不断增长的集群中，直到它们最终凝聚成一个庞大的群体。如果你不是数学家，你可能会好奇如何去证明这样的东西。系统有着无穷多的不同的启动方式，如何才能包含所有的可能性？如何确保会发生足够多次的吸收，使系统一路走向最终的同步？

我会在下文概述原因，不必太担心具体的细节。这里只是想要给你一种如何建立这种证明的意识。现在你所期待的证明并不像你经历过的高中几何证明那样，经常以一种机械、专业的方式出现。完成一个数学证明实际上是一个非常具有创造性的过程，充满了模糊的想法和图景，特别是在证明的初期，而那些严谨的证明后来才会出现。◎　　◎　　◎

第一步是列出所有可能的起始状态。例如，让我们重新考虑两个振子的情形。由于有佩斯金的频闪方法，我们无须在所有时刻都观察振子，观察每个周期中的一个时刻就足矣。我们选择振子A发射后返回零位的时刻，那么振子B可能位于零电位与阈值之间的任意位置。将B的电压视为数轴上的一点，零电位是0，阈值是1，我们可以看到不同的可能性组成了一个线段。这个一维线段包括了系统所有可能的起始条件（因为我们知道A位于0点，刚刚释放回到零位；B的电压是唯一的变量，一定位于0和1之间的线段上的某个位置）。

3个振子创造了一个更大的概率空间。现在我们需要了解两个数字：鉴于A刚刚释放回到0点，我们仍然需要指定这一刻振子B和C的电压数值，我们要看到这两个概率的分布，即B和C电压的所有组合。与几何学上与一对数字对应相似，我们可以把它们看作二维空间中一个点的横纵坐标。

我们画出x、y平面，与高中数学类似，x轴为横坐标，代表A发射时B的电压。y轴为纵坐标，代表同一时刻C的电压。一对电压值便可表示为此平面中的一个点。

因为我们允许B和C的电压可以独立地在0和1之间自由变化（包含所有的可能性），相应的点便在一个正方形区域内移动。正如旋转蚀刻素描上的两个旋钮在正方形屏幕上移动机械笔。

3个振子的结果是，所有可能的初始条件构成了一个正方形区域：一个轴表示B，另一个表示C。在这里，我们不需要为A建立一个轴，因为A的起始位置总是在0点，通过我们对系统的定义便可以知晓（见图1-2）。图1-2　3个振子同步模拟示意图1-2　3个振子同步模拟示意（续）

模式变得清晰了。随着振子的增加，我们需要增加更多的维度来说明所有的可能性。4个振子需要一个立方体来表示初始条件，5个振子则需要一个四维超立方体来表示，而n个振子则需要n–1维的超立方体来表示。这听起来令人难以置信，但如果你尝试去描绘它的话，它确实如此。但是在数学形式上，处理所有维度的方法都是一样的，并不存在新的困难。所以，我选择了继续关注3个振子的情形，它包含了所有的主要思想。◎　　◎　　◎

下一步是将动力学状态（即系统随时间的演化）转化成为我们正在绘制的图形框架。我们的目标是预测系统在给定振子B和C的初始条件下，最终是否会同步。

你可以想象一下我们让系统运行后会发生什么。所有振子都朝向阈值上升，然后发射，最终回到零位；它们也同样会对其他振子的刺激做出反应。为了去除冗余的信息，我们再次利用频闪法，让系统在黑暗中运行，直到下一次振子A发射后回到零位，振子B和C做出反应。然后打开闪光灯，用照片记录下B和C的新位置。

在几何图形中看来，正方形中的旧点就像刚刚跳跃到了一个新点，即B和C更新后的电压。换句话讲，系统的动力学演化等同于一次转变，即把正方形中任意给定的点转移到新的一点，转移的依据是一些复杂的规则，取决于充电曲线的形状和刺激的大小。

这个过程是可以重复的，新点可以视为起始点，然后通过变换转移到其他位置，它一次次地重复，蹦蹦跳跳地从正方形中的一个点跳跃到另一个点。如果系统注定会同步，那么这个点最终会跳跃到正方形的左下角，即电压坐标为（0，0）的点，这意味着两个振子同时到达了零电位。为什么会是这个角落？因为这是振子A的位置。根据我们对频闪的定义，A刚刚发射并复位，所以它的电压为0。在同步状态下，其他两个振子的电压也是0。

原则上，针对每个初始点的情况，都可以计算出最终结果。如果所有振子最终都同步发射，那么我们就把这个初始点称为“好点”，否则就是“坏点”。我和伦尼从未找到一种方法来准确判断每个点的好坏，但我们设法证明了几乎所有的点都是好点。坏点虽然存在，但是数量很少而且十分稀疏，把它们集中起来并不占面积。换言之，如果你随机选取一个点，完全不可能选到坏点。

这听起来或许很荒谬：如果坏点存在，你或许认为运气总会让我选到它，但事实上并不会发生。这就像往圆靶上掷飞镖，并要求它精确地落在两个分数之间的分界线上，这已经非常不可能了，而现在我们知道分界线没有宽度（就像要求它没有面积一样），这时你就可以明白为什么随机的投掷永远不会满足要求了。

这是伦尼对于坏点的看法，虽然我们对好点更感兴趣。他的策略很容易让人联想到艺术设计中的负空间概念，即想要了解一个物体就要去了解物体周围的空间，特别是他找到了一种方法可以证明坏点不占面积。

为了表现出论证的风格，我们可以专注于坏点中的坏点，我将这些点称为“极坏点”。这些是抵抗同步趋势最强烈的点，它们从未经历过吸收。而当系统从极坏点启动的时候，没有任何一对振子会同步，更别说整个群体了。

为了了解为什么极坏点不占面积，我们把它们看成一个集合，进而检验当我们把变换应用到该集合中的所有点时，会发生什么。每个极坏点都会跳到其他地方，但变换后它仍是极坏点。这几乎是个无限循环：如果一点永远不会被吸收，那么经过一次变换后，它仍然永远不会被吸收。因此，新点还是极坏点。由于初始集合包括所有的极坏点（根据定义），所以这个新点必定潜伏在其中的某个地方，再从这里开始新的变换。

结论是，变换后的集合完全落在初始区域之内。更直观地讲，就像减肥广告中经常使用的“减肥前”和“减肥后”的对比照片那样。变换后的集合，即“减肥后”的照片，完全包含在了“减肥前”的照片之内，正如减肥广告所承诺的那样。

到目前为止，我们的论据中尚未使用任何关于充电曲线形状以及刺激大小的信息。当最终把这些细节考虑在内的时候，我们遇上了一个乍看上去似乎有些矛盾的问题，然而它实际上是论据的要点。我和伦尼能够证明“减肥前”和“减肥后”的变换有点像复印机的放大功能。任何一组点经过变换后都会放大，这与你选择的点的集合无关，就像与你放在复印机上的图片无关一样。而任何一组点的区域都会增大，特别是极坏点的集合也会放大。这里需要注意的是，这意味着极坏点的集合膨胀了，而不是收缩了，似乎与我们之前得出的结果相矛盾。更准确地说，变换后的极坏点的集合必须落在初始集合的内部，而现在它的范围却变大了，这似乎是不可能的。唯一让两个结论兼容的方法是：初始集合不占据任何区域，就像“减肥前”的照片是一根棍子的形象，这样就不存在矛盾了。当乘以一个大于1的数字时，它的面积仍然是0，所以变换后的集合可以位于初始区域内部。这正是我们想要展示的：极坏点不占据任何面积。所以如果你随机选取初始状态的话，那么你永远无法选取它们。这就是这个模型中同步一定会发生的原因。

同样的论据也适用于任意数量的振子，当有4个或更多的振子时，需要对模型进行轻微修改，用立方体或超立方体替换二维平面。在任何情况下，起始点位于坏点的概率总是0，因此佩斯金是正确的。在他的振子模型中，每个振子完全相同，并通过脉冲相互耦合，在这种情况下，每个振子最终都会一齐发射。

为了继续深入这个证明，我们发现佩斯金的漏电假设是非常关键的，否则从“减肥前”到“减肥后”的变换不会使区域扩大，而全部的论证都会崩溃。事实上，它必须崩溃，因为没有这个假设，这个理论就是错误的。如果充电曲线向上而不是向下弯曲，即如果电压加速上升到阈值，我们的模拟显示系统未必会同步，这些振子也可能会陷入一种随机混乱发射的模式。

当我第一次对我们的工作成果发表演讲的时候，这个微妙的漏电假设经常会让其他数学家犯错误。在我还未来得及解释的时候，一些质问者就会打断我，说这个理论毫无价值，振子毫无疑问会同步，因为它们完全相同且彼此之间的耦合完全一样。我还能期望什么呢？但这种反对太肤浅了，它忽略了充电曲线形状的微妙影响。只有当曲线朝正确的方向弯曲的时候，同步才必定会发生。用生物学术语讲，充电曲线的形状决定了刺激是在周期开始（靠近零电位）时更有效，还是在周期结束（靠近阈值）时更有效。当曲线如佩斯金的模型一样向下弯曲的时候，对于一个给定的刺激电压，曲线上靠近阈值的振子会移动更大的相位，从而确保系统走向同步。然而，想要了解其原因，就需要进行复杂的计算，而且一定不是显而易见的。

我们对佩斯金猜想的证明是首个对于多振子脉冲耦合问题的严格解释。然而，与真正的萤火虫或心脏起搏细胞相比，我们的模型是经过简化的。它假定，一个振子的发射总是刺激其他振子向阈值移动，从而超前它们的相位，而真正的生物振子通常会同时超前或延迟振子的相位。此外，泰国的萤火虫最为擅长同步，这个物种被称为屈翅萤（pteroptyx malaccae）。它们使用的是一种完全不同的策略，即通过不断调整自己的时钟频率，而不是调整相位，来响应接收到的闪光。换句话说，它们是在使自己的生物钟变快或变慢，而不是把分针前后拨动。通过进一步假设所有振子都是完全相同的，该模型忽略了任何真实的生物群体中所固有的遗传差异。最后，我们假定所有振子之间的相互影响是相同的，这对于心脏起搏细胞是一个粗略的近似假定，事实上，心脏起搏细胞主要影响的是与它邻近的细胞。鉴于分析中的各种局限，我们对它将要引起的反响毫无准备。◎　　◎　　◎

接下来的短短几年中，共有百余篇关于脉冲耦合振子的论文发表，这些科学家遍及从神经生物学到地球物理学的各个学科。在神经生物学中，研究神经网络的理论家已经开始对流行方法感到不耐烦。流行方法主要通过描述神经元的平均发射速率（每秒钟的尖峰个数）来粗糙地描述神经元，而不是根据尖峰自身的实际时间。这个脉冲耦合振子的新框架完全符合时代的情形和需要。

由于科学社会学发展中的一次意外，或是因为一种神秘的时代思潮，在20世纪90年代早期，其他领域的科学家也在思考这些系统。例如，加州理工学院的著名生物物理学家约翰·霍普菲尔德（John Hopfield）指出了脉冲耦合神经元与地震之间的关系。在简化的地震模型中，由于地壳板块不断相互拉扯，产生的应力不断增大，直到到达一个阈值，导致板块突然滑动，以一次大爆发释放积蓄的能量。整个过程很容易让人联想起神经元电压的逐渐上升和突然发射。在地震模型中，一个板块的滑移可能足以引发其他板块的滑移，正如神经元放电可以引发大脑中其他神经元发射的连锁反应。这种级联的传播便会引发地震或癫痫发作。根据系统中其他要素的具体配置，结果可能会是轻微的隆隆声，也可能是一场大地震。

相同的数学结构也会出现在其他交互系统模型中，从森林大火到大规模物种灭绝。每一种情况下，都会有某一个体受到越来越大的压力，逐渐趋向阈值，然后突然释放，并把压力传给其他个体，这有可能引发多米诺骨牌效应。在20世纪90年代早期，具有这种特征的模型风行一时。对这种连锁反应的统计分析结果多数微不足道，但也有一些是灾难性的。物理学家伯·巴克（Per Bak）和他的合作者就对统计结果，连同他们所谓的自组织临界性一起进行了理论研究。

霍普菲尔德的见解是，自组织临界性可能与脉冲耦合振子系统的同步密切相关。这两个领域之间可能存在的诱人关系催生了探讨其各种可能性的数十篇论文，其中的插曲也体现了利用数学揭示貌似毫不相关的现象之下潜在的统一方法。

我们的工作成果还引起了媒体的关注，很大程度上是因为它与萤火虫相关，这勾起了人们对于童年时代的回忆——在夏日的夜晚把这些发光的昆虫捉进玻璃瓶中。拜新闻报道所赐，我于1992年收到了一封来自田纳西州诺克斯维尔市的一名叫琳恩·福斯特（Lynn Faust）的女士寄来的信。她准备用一种优雅谦逊的方式，打破已经持续了几十年的萤火虫同步的神话。她在信中写道：

我确信你意识到了这一点，但是以防万一，在田纳西州埃尔克蒙特附近的大雾山国家公园中也存在一种群体同步的萤火虫。这种萤火虫在6月中旬的每晚10点左右“开始活动”。它们先是熄灭6秒钟；然后便是完美的同步，数千只萤火虫在3秒内迅速闪亮6次，随后又是6秒的黑暗。

我们在埃尔克蒙特有一间小屋（公园管理人员定于1992年12月将其拆除），据我们所知，只有在这一小片区域，才有这种特殊类型的群体同步的萤火虫存在。

它们十分美丽，与那些黄昏后就开始闪烁的普通萤火虫非常不同。

从那间小屋旁越过小溪，山坡上面的萤火虫会比山下的稍微提前一些开始它们的闪光周期，所以光点看上去就像“倾泻而下的萤火虫瀑布”。

琳恩写信给公园管理人员，表示对他们收回埃尔克蒙特居民房屋的计划非常担忧，因为这可能会在科学家研究这些萤火虫之前破坏它们的栖息地。这个奇观在公园的其他地方都未曾有过，就算在一公里之外都没有，这向琳恩暗示了当地居民一定做了使这种奇观成为可能

试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]

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