系庆
2018年9月中旬，清华大学计算机科学与技术系建系60周年系庆，也是老顾这一届入学29周年纪念。老顾从纽约飞回北京参加庆祝活动，见到了班主任黄连生老师和几位同班同学，有些同学已经数十载未见，当年的青葱少年都已步入不惑，令人感慨万千。黄老师依然身体健硕，神采奕奕，和大家抚今追昔，唏嘘不已。同学们天各一方，在不同的领域各有建树。由于所处的社会环境不同，人生阅历迥异，对于很多问题都有各自的理解和看法。大家旁征博引，唇枪舌剑，最终激烈的思想交锋为浓厚的同窗情谊所化解。在过去的30年间，计算机技术彻底革命了整个人类社会，中国也经济腾飞，一日千里。同学们无论在海内外，都顺应了时代的发展，在事业上不同程度地实现了当年的抱负。老顾年轻的时代，社会还没有开始商业化，价值观念多元。先知先觉者如蒋步星同学，身为中国第一届国际奥林匹克数学竞赛的金牌得主，却放弃学术坦途，矢志创业，在电子报表领域驱逐了国际公司，独步天下。斯坦福毕业的李晨同学却为了学术梦想，放弃了和师弟创建谷歌的机会，最终在数据库领域成为国际知名学者。活动中也见到了当年白衣胜雪的女生们，风华永驻，人生精彩。
在校园中怀旧漫步时遇到了理论组的戴一奇老师。当年理论班曾经学过两次抽象代数，一次在数学系，一次在计算机系。戴一奇老师讲解计算机科学中的代数结构，启发了老顾在抽象代数方面的蒙昧。当年戴老师潇洒倜傥，玉树临风，把抽象代数讲得非常令人神往。记得戴老师曾经提到过诺德定理(Noether's law)：物理中的每一种对称都对应着一个守恒律，而对称的精确描述就是群论。这种哲学层面的数学定理对于开启年轻人的心智起着不可估量的作用。与此类似的思想原则其实非常罕见，恰如爱因斯坦的广义相对论将物理几何化，人类逐渐建立了如此的信念：每一个深刻的物理定律后面都有一个精巧的几何结构。近些年来炙手可热的拓扑绝缘体的发现和发展，就是这一思想原则的再度实现。这次见面，戴老师鹤发童颜，精神矍铄，语言依然犀利诙谐，爽朗而豁达。
本想为老师们送上自己写的书，在海淀图书大厦中翻遍了数学书籍，也没有找到。老顾联系了高等教育出版社的编辑才知道所有库存都已售光。海淀图书城的数学专卖店“九章书店”早已被商业大潮淘汰，图书大厦的数学书籍柜台也在日渐缩小。丘成桐先生和老顾合著的英文版《Computational Conformal Geometry》实际上是一本非常专业的书籍，涉及很多拓扑和几何领域的现代理论，同时也涉及有限元和几何编程，阅读起来相对困难。很多学界朋友向老顾抱怨过这本书过于难读。为此，老顾和朋友们正在撰写一本中文版的《计算共形几何》，希望更加直观易懂。如此佶屈聱牙的英文数学书居然能够脱销，这令老顾倍感欣慰。最后，老顾挑选了一本丘成桐先生的演讲集，其中有关于老顾工作的近期总结，做为向班主任黄老师的汇报。
《在宇宙间不易被风吹散》
恰逢书店促销冯唐的新作《在宇宙间不易被风吹散》，老顾顺手购买了一本。老顾的同学们和冯唐差不多同龄，拜时代和时局所赐，大多都已经生活优渥，步入中年之后开始再度思考生命的终极意义。从书中可以看出，冯唐追求文章中那道看不见的“金线”，将推动现代汉语的演进作为生命的终极目的。他独创的“春水初生，春林渐盛，春风十里”早已脍炙人口，在这本书里他又创造出新的词汇，用以描绘北京的金秋：“秋光脆亮，秋云不动”。他提出如何才能让一个人的灵魂在宇宙间不易被风吹散，的确发人深省。在漫长的历史长河中，无数文人骚客耗费了毕生心血来追求千古名句。而中文诗词的独特美学价值很大程度上在于内在的对称性，有字形词意表面的对称，也有神韵意境内在的对称。例如形容顿悟的情景“山高月小，水落石出”，上下两句对称，每句之内也对称。对称的现代描述自然是群论，这句话对称中有对称，等价于其对称群中有子群。如此看来，诗词对称群的结构复杂性和其美学价值呈正相关性。
对于数学研究者而言，做到让灵魂在宇宙间不易被风吹散非常简单，那就是发现揭示自然结构和自然规律的定理。因为这些定理是宇宙的一部分，自然具有独立于人类的恒久价值。金钱财富和政治地位很快会随风而逝，数学定理会与世长存。虽然无数古人殚精竭虑地推敲语言中的对称，但是对于对称概念的精确描述——群论却是由法兰西的天才少年伽罗华所发现。当初卢开澄老师和戴一奇老师向大家传授了群论的概要，依随岁月流逝，老顾逐渐感受到了这一概念的深刻和精妙，很难想象如果没有群论语言，人类如何理解广袤深邃的自然现象和物理世界。现在，老顾一旦见到天资聪颖的中学生，总是忍不住对他说：“少年，看你骨相清奇，让我教你一点群论吧！”
老顾倾向于认为群论入门的一个好方法是研究魔方（请见魔方和群论I，魔方和群论II），而群论进阶的好方法是学习代数拓扑。人类的祖先并没有在树上栖息，而是走出树林，在平原上进化，因此人类大脑没有进化出对于复杂拓扑的空间想象能力。因此，很多拓扑图景非常难以想象，只能用相对容易计算的群论手段来辅助理解。代数拓扑就是将拓扑范畴的问题转化成代数范畴的问题，这种转化是“函子”的，即保持结构的，然后通过代数运算来解决拓扑问题，感知拓扑空间。一个空间的拓扑性质可以通过这个空间的内在对称性来获取，例如扭结的群论表示；两个空间之间的拓扑映射可以通过两个空间对称群之间的同态来刻画，例如覆盖空间理论。
扭结的表示
图1. 一个扭结在平面的投影。
扭结是单位圆环在三维欧式空间中的嵌入，
，如图1所示。扭结的结构比较复杂，无法用通常语言完整描述。给定两个扭结，如果我们将其中的一个在三维空间中逐渐形变成另外一个，形变过程中没有自相交，不需要将扭结剪断再重新链接，则我们说这两个扭结彼此同痕等价。判定两个扭结是否同痕，这是拓扑学中的一个基本问题，也是非常具有挑战性的问题。对于简单的扭结，人类的想象力可以解决；对于复杂的扭结，我们只能依靠现代的拓扑几何方法加以分析。
给定一个道路联通的拓扑空间
，固定一个基点
，我们考察
中所有经过基点的有向环路。首先将环路进行同伦分类，两条环路如果在空间
中能够从一个连续形变成另外一个，则它们彼此同伦等价。例如，如果一条环路可以逐渐缩成一个点，则它和基点同伦等价。两个环路首尾衔接形成更大的环路，这一操作定义了环路间的乘法。将一条环路的定向取反，则定义了环路的逆元。如此，所有环路的同伦等价类成群，称为空间
的基本群（Fundamental Group），记为
。
一个扭结的精确描述来自其补空间的基本群。我们在三维欧式空间中挖去扭结
，所得的补空间记为
，补空间的基本群为
。扭结理论的基本定理阐明：如果两条扭结彼此同痕等价，
，则它们补空间的基本群同构，
。
图2. 扭结群的生成元。
由此，问题归结为如何构造扭结补空间的基本群，和如何判定两个群同构。如图1所示，给定三维空间中的一条扭结，将其向
平面投影，投影曲线会出现自相交，在自相交点处，我们将下面的曲线断开，上面的曲线保持连续。图1中，4个红色圆圈显示了这种自相交点。这样，整条扭结就被分成几条曲线段，如图1中的
。在曲线段
的下面，我们画一条有向直线段
与每条曲线段
横截相交，使得
成右手系。我们将
的基点选在
轴正向无穷远处，从基点连接
的起点，经过
，再从
的终点返回基点，如此得到一条环路，依然记为
。那么这些环路
构成了
的生成元。
图3. 扭结群的关系式。
扭结的平面投影图上每一个自相交点都对应着一个关系（Relation），如图3所示，左侧的构型代表环路之间的同伦等价关系：
；右侧的构型代表关系
。图4给出了关系式的三维图解，每个红色矩形代表三维空间中的一个生成元环路，这些环路的复合自然满足关系等式。
图4. 关系式的三维图解。
如图1所示，4个自相交点代表了4个等价关系：
可以看出，第4条等价关系可以由前三条推出。由
和
，我们可以消去
和
，代入
，我们得到图1扭结群为：
。
由此可见，由扭结的二维投影写出扭结补空间的基本群并不复杂。但是不同的投影方向，会得出不同的基本群表示。扭结在三维空间中的不同嵌入方式也会影响基本群表示。验证两个群是否同构，这是非常困难的问题。
覆盖空间和群论
图5. 覆盖空间（Covering Space）。
图5显示了覆盖空间的一个例子。我们将一张无穷大的报纸卷成一个圆筒，报纸覆盖圆筒无穷多层；再将圆筒蜷曲成轮胎，圆筒又覆盖轮胎无穷多层。由此，报纸覆盖轮胎无穷多层。这里，小猫曲面和轮胎拓扑等价，报纸覆盖小猫无穷多层；换言之，我们将小猫在平面上周期性展开，红框显示了一个周期。报纸是小猫曲面的覆盖空间，从报纸到小猫的映射被称为是投影映射。假设
和
是拓扑空间，
是连续满射，对于任意一点
，存在一个开集
，使得
，满足
，同时映射的限制
是拓扑同胚，那么我们说
是一个覆盖映射，
是底空间，
是覆盖空间，
是投影映射。
映射提升 给定覆盖
和映射
，如果存在映射
，满足
，则我们说
是
的提升，即下面的图表可交换。
映射
可以被提升的充要条件是
。
提升具有唯一性，即两个提升
如果在某点
处取值相同，则两个提升重合。
图6. 环路的提升。
图6显示了提升的例子。在小猫曲面上的两条环路被提升为万有覆盖空间上的两条道路。如果道路起点相同，那么道路终点相同当且仅当两条环路同伦。
覆盖空间和子群我们取覆盖空间的基点
和底空间的基点
，满足
，投影映射诱导了单同态
，同态的像
是
的特征子群。反过来，给定底空间基本群
的任意子群
，则存在一个覆盖空间
，满足
的特征子群为
。
例如，单位元构成底空间基本群的一个子群，对应的覆盖空间为万有覆盖空间，万有覆盖空间是单连通的。万有覆盖空间可以如下构造：考察底空间从基点出发的所有路径，将这些路径关于同伦等价进行分类，所有道路同伦等价类
构成万有覆盖空间。
给定底空间基本群
的子群
，相应的覆盖空间
构造如下：万有覆盖空间
中的每一个点都代表一个道路同伦类
。两个同伦类
和
等价，如果它们满足下列条件：
那么覆盖空间
等于万有覆盖空间关于这一等价关系的商空间：
。
甲板映射群和商群 給定覆盖
，考察覆盖空间的拓扑自同胚，
，如果自同胚保持投影映射不变，
，即下面图表可交换，则我们说自同胚
是一个甲板映射。所有的甲板映射成群，记为
。
如果
的特征子群
是正规子群（normal subgroup），那么甲板映射群、底空间的基本群和特征子群之间满足关系：
。
如果
的特征子群不是正规子群，我们需要用到正规子的概念。假设
是一个群，
是
中的一个子集，
的正规子定义成
,
我们有
是
的一个子群，
是
的正规子群。
借助正规子的概念，我们可以证明覆盖空间的甲板映射群，特征子群和特征子群的正规子满足关系：
规则覆盖空间和正规特征子群 给定一个覆盖
，底空间基点
的原像为
,
被称为是基点
的轨道。对于轨道中的任意一点
，都存在一个甲板映射
，满足
，则我们说覆盖是规则（regular）的。
规则覆盖的充分必要条件是其特征子群
是正规子群。
给定群
中的任意子群
，我们定义子群的核（core）为
，
核是包含于
中的最大正规子群。
覆盖
的规则化（regularization）是指其特征子群
的核
对应的覆盖空间。
覆盖空间等价类和子群共轭类给定两个覆盖空间
，如果存在拓扑同胚
，满足
，即下列图表可交换，那么我们说这两个覆盖空间彼此等价。
可以证明
和
的特征子群彼此共轭，即存在
，满足
。
反之，我们可以证明覆盖空间等价类和底空间基本群的子群共轭类彼此一一对应。
单值同态和单值群假设覆盖空间
是
重覆盖。固定底空间上的基点
，其轨道为
。 给定底空间上过基点的一条环路
，将
提升为覆盖空间中的一条路径
，
的起点和终点都在轨道之中。
将起点映射到终点，由此同伦等价类
诱导了轨道到自身的一个排列。我们用
代表n阶对称群，任意一个同伦类
对应
中的一个排列，由此，我们得到从底空间基本群到对称群的一个同态，
被称作覆盖空间
的单值同态。单值同态的像
被称为是覆盖空间的单值群。
相反的，给定任意同态
，则存在一个
重覆盖空间
（不必连通），使得
。如果存在两个满足条件的覆盖空间，
，
，那么
和
是彼此同构等价的覆盖。如果我们在
中做共轭变换，那么对应覆盖空间的同构等价类不会发生变化。
特征同态假设
是规则覆盖，则存在一个满同态
，被称为是覆盖的特征同态。给定任意点
，令
是
中连接基点
和
的路径，
是其在
中的投影，我们有
，并且
。
对于任意
，
是一条环路，我们将
提升到
中，起点为
，终点记为
。我们记映射
为
，可以证明
的定义和
的选取无关。
反之，给定群
和满同态
，则存在一个规则覆盖
，满足
，这种覆盖空间彼此同构等价，群
等于覆盖的甲板映射群。注意，
等于
的特征子群。
小结
我们看到扭结论和覆盖空间理论基本上用群论语言来描述拓扑。大量的拓扑概念对应着群论概念，很多时候拓扑现象比较难以想象，反倒是群论表达更加直观，例如构造空间的覆盖空间只需找到相应子群即可。
三十年前，老顾和同学们在清华园追随卢开澄老师、戴一奇老师和黄连生老师研习群论和拓扑，那时并没有领悟这些科学理论的深刻性和永恒性。数十年后，计算机技术已经潮起潮落，多次更新换代。工程技术寿命有限，各领风骚十数年。但是这些代数拓扑理论却经受起时间检验，核心没有发生变化，启迪了一代又一代工程技术的发明。目前计算机科学和工程领域，代数拓扑讲授得很少，但是工程技术发展的前沿日益需要深刻的代数拓扑理论。我们相信，拓扑和群论描述了自然界的真理，具有恒久价值，近期内它们会进一步推动工程领域的迅猛发展。
清华计算机系理论组的老一辈师长虽然已经退休，但是他们传授的知识由弟子们传承，他们对于科学不懈追求的精神在宇宙中不易被风吹散！
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