作者：(法)让-保罗·德拉耶
出版社：人民邮电出版社
格式: AZW3, DOCX, EPUB, MOBI, PDF, TXT
玩不够的数学：算术与几何的妙趣试读：
序言
声称自己不喜欢数学的人往往是在自欺欺人，这源于他们对“数学”一词的狭隘理解。
数学，意味着一切通过推理或计算破解谜题的历程，但是，单纯对问题抽象结构进行思考，也是数学的一部分。这是一个尤其崇尚自由创造的领域。你在下西洋跳棋或者国际象棋时，就是在处理数学问题。棋子的形状或棋盘的材质都不重要。当一场棋局被登载在专业报刊上时，唯一重要的是用符号代码记录下游戏的一般几何状态。若这个状态出现在未来的棋局中，而你已经知道如何锁定胜局，那你就一定能再次获胜。
物理学也经常可以转化成类似的游戏形式。计算机科学也是一样的，连法律也不例外，一些基本法律原则就起着几何公理的作用。人际交往中有时也包含着策略性的因素，将人与人之间的关系转化为数学游戏。
不过，我们在学校学到的显然不是这些无处不在、充满创意的数学。这不能不令人倍感遗憾，否则，也不会有这么多人宣称不喜欢数学，或者对数学一窍不通了。任何勤奋的人只要愿意在数学上稍稍投入一点精力，在研习经济模型、统计数据、生命科学等领域时会更加得心应手。无论做何事，若想追求完美与成功，都需要运用到数学。数学能激发想象力和创造力，是拓展新知的最佳原动力。
本书前两章将介绍有限或无穷不可能图形，向读者举例说明数学可以既没有复杂公式也没有严密推理。的确，我们讲的是抽象形状与几何学，甚至在插图中给出了定理。但是，所有人都能理解主题，并从这些奇怪的图像中找到乐趣，无一例外。乍一看可能的图形，仔细看却显得不可实现，再次端详，努力忽略“视觉反射”后，最终才能看出端倪。
传说来自中国的七巧板能让四岁孩子爱不释手，魔方、垒砖块、切披萨、视觉编码、独特质数、蜥蜴数列……让人着迷，引发惊人的智力成就。数学探险中的趣题将向你一章一章地展开。这些主题出自《为了科学》杂志每月刊登的《逻辑与计算》专栏，内容彼此独立，你可以随意选取阅读。这些文章会让你了解广义上的数学世界，这也是数学的本来样貌。你将会看到数学如何带来乐趣、激发智慧、鼓励创造。
在本质上，数学世界是永恒且不随时间变化的：我们今天所讲的内容，若不包含错误，在一个世纪或千年之后还会被重复宣讲。然而，人类的知识在不断进步，即便在趣味课题方面，也不断有新的发现。数学有着惊人的生命力，新的想法一刻不停地涌现，并逐渐走向成熟。比如，人们也是刚刚才知道20步就可以还原一个颇为杂乱的魔方，刚刚才知道砖块堆叠能产生多大的最大悬空。
充满活力与趣味，供所有人之用，引发万千赞叹——对于愿意打开眼界和思维的人，这便是数学。让-保罗·德拉耶第一章平面上的几何艺术人们往往从悖论中获得思维的乐趣，而几何学的悖论就是不可能图形。如今我们已创造出数千种这样的二维图像，不断挑战我们的眼睛和思维。三角形、披萨饼、七巧板也蕴藏着无穷的变化和巧妙的发现。不可能！你确信吗？
人们从透视错觉得来灵感，创造了神秘的“不可能图形”。人类的视觉系统让我们觉得这样的图形很奇怪。然而这些图形确实是可行的，并为我们带来双重乐趣——先是惊奇，然后理解。
亚历山大·马赛，1829年生于法国坎佩尔。他在1872年发明了四眼纽扣的系衣服方法。相比其前身两眼纽扣，这个极其简单的物件具备不会因旋转而滑动的优点。四眼纽扣曾让其天才发明者变得富有，如今仍以数千亿的数量出现在一半以上的服装上。你也一定拥有几件配有四眼纽扣的衣服。然而，四眼纽扣也许应当早1000年就出现，甚至在古代就该问世。想象一下颇为有趣：伟大的亚里士多德或许忽略了这枚纽扣的存在，而他的生活质量本可以因此改善。
自行车、四色定理、整数和一条直线上的点之间双射的不可能性、康威生命游戏、便利贴、不可能图形，都是近来一些颇为简单的创意。很难解释它们为何这么晚才闪现在人类的脑海中。这些发现让人不禁自问，我们今天是不是也对身旁的一些想法视而不见——而我们的后代也许会对我们的盲目难以理解。罗特斯维尔德，别无他人！
不可能图形及其无穷的变化带我们从心理学迈入奇幻艺术与数学的世界，最终来到计算机图形学领域。最近的一些研究成果既展示了人们对不可能图形更深入的理解，也暴露出我们思维的欠缺。
仔细找找，我们会在古代绘画和版画中发现不可能物体的蛛丝马迹（参见“不可能图形的先驱”）。然而，我们并不确定作者是否刻意留下这样的踪迹，还是仅仅出于对透视法则的无知、粗心或者错用。在威廉·贺加斯的版画或马塞尔·杜尚的不可能床中，图画是刻意为之，但离纯粹的构思还相去甚远，并且没有一个早期不可能图画脱离了现实世界。画中错乱的现实世界，似乎是制造错觉不可或缺的源泉。
1 不可能图形的先驱。法王亨利二世收藏的一本早于公元1025年的《圣经》选读中有一幅圣母像（a），画像中装饰柱的位置不合常理。我们可以认为这个错误不是有意而为，而是源于对透视的理解不足。在勃鲁盖尔1568年的画作《绞刑架下的舞蹈》（b）中央有一具几何形状很奇怪的悬架——到底是艺术家有意在作品中安放这个奇怪的物体，还是在悬架透视效果上出了差错呢？威廉·贺加斯于1754年创作的版画（c）就是存心弄错的透视戏法。点烟斗的人在给他递火人的房子后面很远的山上。同样，羊群里最远的那头却画得最大！树也一样。马塞尔·杜尚在1917年根据一幅广告画画了一张不合常理的床（d）。
瑞典人奥斯卡·罗特斯维尔德（1915—2002）是不可能图形无可争议的发明人。1934年，年轻的奥斯卡在拉丁文课上百无聊赖。不知不觉间，他开始画出了像图A中那样摆放、位置不合常理的9个立方体。9个立方体连起来，就有了图B中著名的“不可能三角形”。不可能图形就是这样诞生的。当他意识到自己画了什么后，奥斯卡·罗特斯维尔德将毕生都投入到研究透视悖论的问题中。
20年之后，数学家罗杰·潘洛斯和他的父亲里昂内·潘洛斯重新发明的不可能三角形出现在《英国心理学期刊》（British Journal of Psychology）上的一篇科学文章中。今天，它被“不公正地”称为潘洛斯三角形，并有数不清的变化形式。
奥斯卡·罗特斯维尔德发明并且画了数百个不可能图形，为此，他的祖国瑞典在1982发行了一套印着其数百幅作品的邮票（见上图）以示纪念。莫里茨·科内利斯·埃舍尔用美妙的版画为这些令人困扰的几何物体带来巨大声誉，并首次将其置于复杂的图形创作中，彰显其魔幻般的美。
如今，其他艺术家继续着不可能图形和透视错觉的游戏，创造了引人思考的作品，个中玄妙力量可谓妙趣横生，令人啧啧称奇。其中最巧妙的艺术家包括我们认为堪称第一的桑德罗·德尔普雷特，以及冈萨尔维斯、尤斯·德梅、布拉多、莫莱蒂、恩斯特、福田繁雄、哈梅克斯、谢帕德、奥洛斯。
自1934年以来，悖论图形爱好者发明了各种令人难以置信的不可能物体，除此以外，数百篇针对不可能物体的文章也探讨了众多问题。这些让人称叹的小小图画引出了数不清的谜题，相关最新研究改变着人类对空间认知的理解，这至今仍是个挑战。不可能图形的定义
乍一看，一幅不可能图形所展现的好像是人们习以为常的三维物体。但仔细端详，便能看出其中的不可能性：任何对整幅图形的逻辑解释似乎都无法成立。不可能图形为我们的视觉系统设下了陷阱。
陷阱通常是这样的：图形的每一部分立即被我们的大脑理解为一个三维物体，只有从一部分看到另一部分，试图从整体协调不同部分时，图形中自相矛盾的地方才会显现。不同的图形有不同的矛盾之处：
两个远近不同的平面，本不该相交却相交了；
物体中的某一个平面，从不同角度观察，可以被认为是在上面或者在下面；
图画中的某一个区域，结合图画中不同部分，可以看成是空的或者满的；
两个平面相交的角，可以是“凹陷”或者“凸起”等。
同样令人惊讶的是，一切所谓的“不可能”图形都是可能的。为了证明这一点，我们提出一般性定理（参见“如何让它们变得可能？”），或者做出一些三维物体并对其拍照，以产生想要的图像。“一些不可能图形”中就有一系列例子。观察者认为来自图形本身的矛盾，其实源自思维所做出的简单假设，而这些假设又将思维带进了理解上的死胡同。
2．如何让它们变得可能？“可不可以让不合逻辑的图形变得可能？”有一个简单的答案：用铁丝做出结构，每条线段用一根铁丝！也有更好的方法，下面的定理指出对于很多轮廓图画（包括不可能图形），我们可以找出与之对应的多面体来呈现其图像。
定理：对任何由直线段组成并可分割成多边形集合的图形F，存1n1n在一系列多面体P，…，P和方向D，使得多面体P，…，P沿平行于D方向在与D垂直的平面上的投影为图形F。1n
换句话说，从无穷远的地方沿着D方向观察P，…，P，可以看到图形F。该定理对潘洛斯三角形和大部分相关物体都适用。它也可以推广到包含曲线的图，或用来研究其他类型的透视法。
该定理的证明很简单。假设图形F（a）可以分解成互不重合1n（某些线段在分解时可重复出现两次）的多边形A，…，A的拼接ii（b）。对分解的每一个多边形A生成一个多面体 P（c），使多面体两i个形状为 A的面垂直于D方向，并通过每一个顶点将两个面彼此相连iii（即：P是底面为A的柱体）。从远处沿着 D方向看（d），多面体 P呈ii现图像 A。对与 A相对应的不同多面体取不同的高度（使其每一条边都不会在多面体合并时消失），就得到了要找的多面体集合（e）。但我们注意到，该定理对不可能图形3g和3j 不适用，因为它们的轮廓图不能被分解成一系列多边形。
3．一些不可能图形
在大多数情况下，这些假设，例如“物体的限定面一定是平的”或“在图画中看起来是直的，在空间中就一定是一条直线”，可以使人快速并正确地理解现实世界的图像。但在观察不可能图形时，这些假设会引起大脑对面积和体积相对布局的想象，反而使图画的各部分之间无法匹配。被蒙蔽的视觉系统难以摆脱自己设下的局部理解，种种疑惑就会令视觉系统得出看似矛盾的结论。于是，思维开始原地打转，徒劳地寻找着对图像的整体理解——合理的阐释虽然存在，却永远找不到。不可能图形的实物化
长久以来，悖论图形的照片层出不穷。一开始，人们只能做出不可能图形的初级实物化作品，后来才令其愈加复杂。福田繁雄早在1982年就做出了埃舍尔版画《观景楼》的木头和塑料版本。
福田繁雄在1985 还实现了埃舍尔的作品《瀑布》。此作之后又被乐高积木爱好者安德鲁·利普森做成了乐高积木版本（http://www.andrewlipson.com/lego.htm），天才发明家詹姆斯·戴森又设法用真的水实现了一个模拟此作的喷泉，好像水可以不尽流淌（http://news.bbc.co.uk/1/hi/uk/3046791.stm）。
不可能三角形能够阐述明显矛盾的机理，并加以解释，这就需要做出一个实物，使其从合适角度看时呈现不可能图形。让我们来观察不可能三角形的两个角，遮住第三个（如图所示）。
人们一定将该图形理解为三根横截面为正方形的长条 A、B和C 两两垂直相交，在空间中构成折线形。当然，如果这样理解，长条 A和C 并不相连。于是，当 A和C的连接突然出现在完整的图画上时，视觉系统就判定这是不可能的。似乎三角形的任意两角总是可以相吻合，但三个角却不行。
不过，至少有三种方法可以让我们在空间中构造出一个图中三角形这样的物体。（a）第一种方法旨在不遵循我们视觉系统中的潜在假设：物体的限定面一定是平的。葛森·埃尔伯的摄影作品（http://www.cs.technion.ac.il/～gershon/EscherForReal/）实际的几何形体从1适当的角度（A）拍摄便可准确地与矛盾的三角形相吻合。当然，我1们从另一角度（B）就能看出端倪：真实物体的各个面实际上是复杂表面，而非某一平面的片段。（b）第二种方法旨在不遵循潜在的假设：“在图画中看起来是直22的，在空间中就一定是一条直线（A，B）。”（c）在让不可能图形变为可能的方法中，最有效的办法就是让实际物体两个不同的线段重合。我们的视觉系统假设看到的每一条线段都代表着三维物体的唯一线段S，于是，把物体在实际中并不相连33的部分看成是相互连接的（A，B）。
找出视觉系统所做的潜在假设，是实现人工视觉系统的关键。1972年发明并在1975年发表的Waltz 算法，如今是人工智能技术的必修课。该算法致力于以三维图景展现仅由直线段组成的轮廓图画。
Waltz 算法成立的条件是：图画所表现的物体不超出图画界限；相交于同一个点的线不多于三条；图画所表现的是多面体，是由平面和直棱边构成的。
应用在不可能物体上，会出现两种情况：
Waltz 算法找不出任何三维的解释，在某种程度上，这意味着它找到了一个不可能图形（在其自己的假设条件下）；
或者，该算法也像人类一样被蒙蔽，并给出一种解释，但仔细观察后发现，这种解释从整体上看并不成立。
例如，Waltz 算法可以检测到图中台阶的不可能性，却对不可能三角形无能为力。
自 1972年以来，人们对该算法不断加以完善；或者说，让它不断复杂化，以提高算法理解轮廓图画的能力，并弱化我们强加给它的视觉假设。然而直到今天，没有任何计算机程序能够得出完全令人满意的结果。三位计算机视觉专家——瓦利、马丁和铃木在一篇对该课题 30年研究成果的总结性文章中写下如下结论：“计算机是否能理解轮廓图画？在一定程度上，答案是肯定的，但计算机离拥有与人类思维等同的能力还有很大距离。通过不断改进方法，计算机程序能够恰当地理解越来越多的情况。但是，人类分析轮廓图形的能力因素仍未被集成到程序中，原因很简单，这些因素尚未被理解和发现。”
我们注意到，某些视觉失认症可导致患者无法辨别不可能图形。这些图形对他们来说并无矛盾之处。不是因为患者能找到复杂的理解方法，而是他们的视觉系统失去了察觉各部分之间不一致性的能力。可以说，我们的计算机已达到了这些视觉失认者的程度，但尚未达到健全人的水平。
一些数学方法试图描述这些矛盾图形的特征：罗杰·潘洛斯提出应用“上同调”的概念，而柯琳·瑟夫则提出用“辫子理论”的概念。这些方法似乎都不如 Waltz 算法及其变体强大。Waltz 算法及其变体是基于对一幅图画中2个或3个线段及其延伸线之间各种可能的连接类型的枚举。设计三维陷阱
我们在试图实现等同于人类三维分析能力的算法过程中，遇到了不少困难，这源于大脑一项微妙的技巧：善于采用假设（因为这些假设通常带来正确结果），并在必要时禁用。面对所谓的不可能图形——正如我们刚说过，从来没有完全不可能的情况，计算机正是因为不具备这样的假设技巧（尚未被发现）而遇到了困难！一幅简单的图像也能难住计算机，因为可能存在好几种正确的理解。像我们视觉系统那样仅仅采取最有可能的一种理解，恰恰是一件极其难处理的任务。
4 “你所看到的一切并非一定是现实。”版画作者桑德罗·德尔普雷特说。两列火车穿过扭曲的图画，却又是图的一部分，它们会相撞吗？
如果设计一个三维物体，使其从特定角度看呈二维图像，并且该物体有可能属于不可能图形。这里，拥有严苛逻辑的计算机能派上大用场。
吉列尔莫·萨夫朗斯基、丹·迪莫尔曼和克雷格·葛慈曼在1999年提出了一般理论，用以设计表面看来是不可能图形的三维物体。在计算机程序的辅助下，该理论已被系统地应用在一系列著名不可能图形的创作上，并复制出莫里茨·埃舍尔、桑德罗·德尔普雷特、奥洛斯和尤斯·德梅等人复杂作品的三维模型。
5 桑德罗·德尔普雷特的象棋版画（上图）是“方向既朝上又朝下”棋盘的不可能图形。葛森·埃尔伯却通过拍照证明了它的可能性（左图）。
所有物体都有一个特点：只有从唯一一个特殊角度，并用一只眼睛观看时，它们才会造成自相矛盾的效果。于是，就产生两个问题：是否可以设计对双目视觉有效的视觉陷阱，即通过一对立体图像能否让矛盾物体产生立体感（例如不可能三角形）？是否可以设计能够旋转，并继续产生矛盾图像的视觉陷阱？这两个问题的答案都是肯定的。
一方面，唐纳德·希玛尼可早在1998年就成功制出对应不可能三角形的不同立体视觉图像。人们观察这幅图像时，会感觉看到了具有立体感的不可能图像。另一方面，契·柯和彼得·克韦希也成功针对一些具有对称中心的矛盾物体创作了图形动画。物体自身可以旋转（假设物体是多面体，且每一刻都保持其矛盾性）。但是，物体只能被连续形变。我们可以在http://www.csse.uwa.edu.au/～pk/Impossible/impossible.html欣赏这样的动画。
矛盾，是刺激数学逻辑推理的动力。同样，图形矛盾除了周身萦绕的神秘色彩及其带给人们的视觉乐趣之外，对于只能用双眼视觉系统看到两幅二维图像，并希望以此来探求和认知三维世界的人来说，在很长的时间内，这一矛盾都会不断地焕发思考与研究的热情。无穷与不可能
在一幅图画中展现无穷的不可能图形，看起来可能有些无聊。然而，这却能产生令人困惑的图像，让眼睛面临艰巨的考验。
如果物质世界里不存在无穷，既没有无穷大也没有无穷小，那么任何的无穷图形都将不存在。两条铁轨在地平线相交的景象，“科赫雪花”在任意尺度截取的轮廓，只会是近似描绘现实世界中缺失的数学无穷结构——对无穷的任何图形描述都会是幻想。
然而，物理学与宇宙学都没能确定地回答无穷是否实际存在。这个问题或许压根就不属于科学领域。若我们假设无穷在物理上是存在的，比如，因为空间本身并不是有界的或者封闭的（与球体表面相反），那么两条平行铁轨在无穷远相交便是可能发生的情景。
目前，我们仍然对最终的物质现实和物理上的无穷一无所知，因此，数学无穷结构的表现形式算不上荒谬。于是，我们可以放手设计一些抽象物体，它们除了具有无穷的属性，还因自身结构而成为不可能。
看到这儿，无穷似乎是一个无缘无故的数学游戏。然而近来，若干研究贡献使无穷不可能这门艺术变得更加有趣。这才是本章的主题。
最初，创造无穷不可能图形需要从有限不可能图形开始，例如潘洛斯三角形（不在同一平面的三条边看起来相连，构成一个不可能三角形），将其各部分相连，并规律地填满纸面上的空间，赋予图画表面上的一致性。不可能图形的无限重复
根据特定的不可能三角形图形，我们可以演化出多种无穷不可能的排列方式。工程师兼艺术家乔斯·莱思就创作了众多精美的版本（参见图1）。
1 乔斯·莱思的无穷不可能图形。由重复的不可能图案沿两个方向铺满平面而得到，这些无穷不可能图形造成没有深度的奇特三维空间感。
每一幅图像都让人困扰，惊人程度远远超过了基础结构中的不可能图形。请看“乔斯·莱思的无穷不可能图形”图b，我们的第一印象是，这是一张无限的三维网络，好似空心立方体堆砌而成，图形填满了三维空间。然而，我们很快发现图像整体存在严重的违和感，这下有些令人不舒服。在图像试图展示的假想空间中，每一个角落都充斥着不一致。随着对图画的观察，我们意识到，图画到处是谬误和无穷的自相矛盾。
乔斯·莱思将矛盾阶梯图样在单一的方向上平移，得到另一幅无穷不可能图形，这幅画略简单一些。阶梯设计将两个样本头对头放置，完美相接后，最终得到一个无穷阶梯。人们沿着阶梯下降的方向却总是越走越高（参见“要上去，只需向下走”）！我们在乔斯·莱思的网站上可以找到他创作的此类图像：http://www.josleys.com/show_gallery.php？galid=232。
长期以来，我们注意到只有在一定条件下，潘洛斯三角形或疯狂阶梯才是不可能的，即人眼将可见的直线理解为实际的直线，并且用最简单的方式理解组成部分之间的相对位置。
众多互联网网站都提供了奇妙的视觉骗局装置，试图实现几何上的不可能图形。有时，图形构造方式需要通过计算机模型加以描述和表达（参见《不可能！你确信吗？》）。Escher方式的永恒运动
人们甚至还录制了一些相关短片，其中最特别的就是荷兰艺术家莫里茨·埃舍尔著名版画《瀑布》的实物展示影片，如同永恒运动的运转方式，不禁让人信以为真（参见https：//www.youtube.com/watch？v=0v2xnl6LwJE）。
两位艺术家曾将这些荒谬的几何游戏应用在大型雕塑上——他们竟然能卖得出去，还成功地安放在公共场所。其中，离荷兰马斯特里赫特不远处的比利时村庄奥否汶矗立着一座比利时艺术家马修·哈梅克斯的雕塑作品，就采用了扭转的方法：潘洛斯三角形的三边不再是直的，但透视法造成了幻觉，使人眼看到恰恰相反的景象。
另一个三角形大型创作位于澳大利亚珀斯市，是布莱恩·麦克凯和阿马德·阿巴斯在1999年创作的作品。该作品采用断裂的方法：在特定角度，人眼将实际不相连的部分视为相连，认定看到了不可能雕塑。“无穷不可能”是否可能？
我们可能会问：乔斯·莱思提出的无穷图样到底是怎么回事儿。能不能设计一些“真正”会占据整个空间的三维物体，当从特定视角观察时，会产生无穷不可能图形？
我虽然不知道针对每一种三维物体的答案，但是，将某些物体转化成自相矛盾的无穷几何图形，还是很容易的。
以“乔斯·莱思的无穷不可能图形”图c为例，它是由一组7个立方体（即6个立方体围着一个中心立方体）在无穷次重复后组合而成的。单看这7个立方体并没有什么矛盾，多个7个立方体组的相对摆放位置才使图形在表面上产生了不合逻辑之处。为了形成这样的排列，只需让每一组东南方向和西南方向的两个立方体在实际上呈L形，即将立方体分解成“无穷不可能图形变成可能”右图中的样子。
另一个将无穷不可能图形变成现实的例子：请看一条由方形环按直线排列而成的无限链条（参见“无穷不可能图形变成可能”右图）。为了在空间内展示这条无穷的矛盾链条，可在每一枚方形环的适当位置截去一段，就会产生方形环后方的边穿过环到达前面的错觉。
里尔大学的弗朗塞斯科·德柯米特将这个想法变成了动画（这次采用圆锥透视法，而非散点透视法），可以在网页上看到：http://www.flickr.com/photos/fdecomite/sets/72157626054113902/。
2 不合常理的图画变成现实。站在马斯特里赫特附近的奥否汶村广场上，只要角度适当，就可以看到潘洛斯三角形（左图）。走动一下改变视角，就可以理解错觉的原因：我们发现不可能三角形的边其实是弯曲的（中图）。澳大利亚艺术家也在珀斯竖起另一座吊诡雕塑。不可能的分形图
一个图形若能变为无穷，可能是因为它（有潜力）凭借自身的重复性结构而无限延伸，说得专业一点，因其在一个或两个方向上具有平移不变性。两千多年里，几何学已使我们习惯了这种无穷大。但除此之外，另一种几何无穷也已显现，那就是无穷分形图。
伯努瓦·曼德勃罗（1924—2010）在1974年创造的这个概念泛指任何可被无穷切割或分裂的图形或物体。这些结构通常具有内部的对称性——我们可以在其自身内部找到它们的整体形状，只不过更小一些，就像俄罗斯套娃。说得专业一点，它们具有位似不变性。
其实，分形最早出现在一个多世纪以前，数学家们试图阐明连续统（即几何直线）的精细结构。康托尔在1870年左右发现了今天所称的“康托尔三分点集”或“康托尔尘”：取一条线段，去掉中间三分之一，剩下两条线段，再去掉它们各自中间三分之一，剩下四条线段，以此类推。
人们曾认为拓扑异常是不可能实现的，但皮亚诺曲线（1890）及科赫雪花（1905）却将拓扑异常可视化，如：遍历实心正方形上每一个点的曲线、没有切线的曲线、能够限定一个有界面的无穷长度曲线，等等。
3 无穷不可能图形变成可能。
对“爱思考的眼睛”来说，无穷不可能图形c（参见“乔斯·莱恩的无穷不可能图形”）变得可能。如图所示，将一组7个立方体中的两个立方体切割，所得到的结构就可以在实际中排列成多个无限长的柱子，这些无限长的柱子又可以并排放置。这样就正好得到了乔斯·莱思图像的“墙纸”。此外，相互嵌套的环状无穷不可能图形也可以通过经典的切割技术变成现实（右图）。
在经典几何学里，我们把物理空间看作实数对的集合（对于平面）或实数三元组的集合（对于空间）。这种构想不但实用，而且能帮助我们理解连续、速度、加速度、连通性等概念。
然而，量子物理学，以及在实践中无法深入探究无穷小的问题，使人们对基于实数建立的空间模型的有效性产生了怀疑——分形几何中无限分割的物体有着无限的精细度，因此，它们或许只是理论上的错觉。我们暂不考虑这个异议，仅承认经典空间模型与实际物理世界的模型相符，而且，分形在物理上也是可能的。
那么，难道就不存在有界尺寸的无穷不可能物体吗？无穷不可能结构将不再像乔斯·莱思的图像那样源自无限延伸的特性（纸张只能勉强呈现部分图像），而是源自其矛盾结构的无限精细度。
伦敦帝国学院的卡梅隆·布朗借助计算机程序得到的若干图像，为这一问题找到了肯定的答案。在这些生成图像中，他将分形及位似不变性物体的无穷分割与潘洛斯三角形一类图形的不可能性结合了起来。
以下展示了科赫雪花的构造过程，一个内部完全是空的，另一个具有内部支撑杆。布朗在每一步构造中所用的图样都是一幅不可能图形。此系列中的有限图形就是不可能图像一步步积累而成的分形图。
3 不可能图形的极限。将不可能图形的图示和科赫雪花的构造算法相结合，计算机图形学专家卡梅隆·布朗获得（至少乍一看）收敛至科赫雪花的无穷序列（A）。然而在数学家的欧几里得空间里，无需任何技巧即可实现雪花图形。另一个可能存在极限的不可能图形序列则以正方形为基础（B）。
有趣的是，图画的极限不是别的，就是雪花本身（或具有内部轮廓的变体）。一系列不可能图像由此诞生，而且可能拥有极限。随着无穷不可能的不断积累，荒诞之处也消失不见，如同在接近极限的过程中被吞噬。
两头或三头叉子，以及“恶魔音叉”都是不可能图形的代表图案。卡梅隆·布朗借此采用“康托尔尘”设计了多个无穷版本（参见“卡梅隆·布朗”中的图a）。康托尔的不可能叉子
这一次，极限图形每一步构造中的不可能性并没有被画出来，但我们却不难想象。其实，随着我们远离实心部分（上面），物体的截面变得越来越镂空：去掉中间的三分之一，再分别去掉剩下两部分中间的三分之一，如此重复。然而，物体最下端（下面）却又被填满了。由此，我们知道在接近极限的过程中，分形图可以保持不可能性。“卡梅隆·布朗”中图b的图形源于皮亚诺曲线。布朗将创作不可能图形的经典过程用于构想皮亚诺曲线，又一次绘制出可能存在极限的不可能图形。
5 要上去，只需向下走。乔斯·莱思的无穷不可能图形是由埃舍尔的矛盾阶梯不断重复拼接而成。这样得到的图形虽是规律排列的上升阶梯，其真实方向却反而下降。其实，路易十四的宠臣富凯的纹章最适合采用无穷阶梯图案：“上升止于何处？”（Quo non ascendet？）富凯自以为皇恩日盛，实则走了下坡路。
6 卡梅隆·布朗将康托尔三分集（a图右上）和恶魔音叉（a图左上）相结合，又运用皮亚诺曲线（b）构建不可能图像（c）。c图的两个图形在任何尺度都是不可能图形。
但图c中的极限图形依然存在不可能性。这两个图形都是真正的分形图：它们具有非整数的维度。正如布朗所说，这些图画在任何尺度都是不可能图形。潘洛斯三角形的每个部分皆可能实现（无需任何技巧）。相反，图c中的图形即便在十分接近顶部时依然保持着几何不可能性，即在任何放大级别都保留着不可能性。
对经典不可能图形的分析指出：如果将图形分割为有限数量区域的集合，我们得到的每一个区域都呈现为一个可能实现的物体。针对乔斯·莱思提出的不可能图形，若找不到如“无穷不可能图形变成可能”所示的方法，则需要分割出无穷个区域。每个区域的面积则要大于一个对整幅图画都适用的常数。对布朗的最后两幅图画，这种“可能区域”分割方法需要无穷个区域来实现。而且，当接近最大边界时，无穷区域的直径趋于0，而最大边界的分形维度大于1。这一精彩的设想会引出一个新问题：能否设计一些更疯狂的图像，让不可能性在平面上的一个二维区域内累加？
希望读者为我们提供其他无穷不可能的构图。我有一个建议：结合门格海绵与不可能立方体，肯定会缔造一个相当别致的矛盾结构。三角形几何学远未消亡！
点在图形内部的最优分布是一个基础几何学问题，却引出了不少有趣的研究。
在21世纪初的今天，一本三角形几何学著作的问世引来各大数学杂志关注，纷纷为此撰文。这难道不让人感到惊讶吗？三角形几何学的复苏不仅展现了数学独特的革新能力，而且预示着，仍有可能找出与几何学最简单结构相关的未知问题，没准还会相当复杂。
几部专著重拾三角形几何学经典主题，希望进行一番回顾总结，其中包括：法国Hermann出版社1997年出版的伊温妮·索泰和勒内·索泰共同撰写的《三角形几何学》（La géométrie du triangle）；2005年，Pole出版社的数学趣味杂志《切线丛书》（Bibliothèque Tangente）中登载一篇题为“三角形：就这三个点”（Le triangle：trois points c'est tout）的文章；以及美国科罗拉多大学亚历山大·索佛的新作《如何分割三角形？》（How Does One Cut a Triangle），这本书完全致力于讨论三角形的分割问题。《如何分割三角形？》一书详细描述了该课题的最新发现，呈现无比简单的问题如何找到令人叫绝的解答，挥洒非凡的数学智慧。该书1990年第一版未能解答的一些问题已在2009年新版中一一作答，其他问题则仍然悬而未决。
然而，我们也会看到，数学家们能够取得一些相对轻松的进展，是因为他们借助了计算机科学……这一章将讲解亚历山大·索佛书中的一个问题。如今，这还是一个范围很小却十分活跃的研究领域，尚未经过全面的探索。点的分布难题
请先看第一个断言A：
在单位面积三角形内任意画出9个点，即可找到其中3个点，使其构成的三角形的面积小于或等于1/4。
构成面积小于或等于1/4的三角形的3个点必然相互靠近。这里确定了一种具有明显“定性规则”的特殊形式：在图形内放置很多点，其中一些必然相互靠近。这里，“很多”就是9个，“相互靠近”即意味着“其构成的三角形的面积小于或等于1/4”。
该结果的证明过程展现了一种推理方法——鸽笼原理，有时也叫作“狄利克雷抽屉原理”。如果在黑暗中从放着红色和黑色袜子的抽屉里找出一双相同颜色的袜子，取出三只袜子就足够了，其中两只一定拥有相同颜色。
该原理的一般表述如下：将nm＋1只鸽子放进m个笼子里，至少有一个笼子里有n＋1或以上只鸽子。将9只鸽子放进4个笼子里，不可避免有一个笼子里有3只或3只以上的鸽子。
证明十分简单。设nm＋1只鸽子放在m个笼子里，若m个笼子中的每一个均包含n只或n只以下鸽子，则总共包含nm只或nm只以下的鸽子，这与假设不符。因此，必有一个笼子里包含n＋1只或n＋1只以上的鸽子。当n等于1，若将m＋1只袜子放进m个抽屉里，其中一个抽屉必定会包含两只或更多的袜子。
现在来证明断言A。
将三角形各边中点两两相连，三角形被分割成4个相等的三角形，且面积均为1/4（参见“三角形的S（T）常数”）。若将9个点放在单位面积的大三角形里，四个面积为1/4的三角形的其中一个就包含至少3个点（若每一个小三角形最多只包含2个点，则总共只有8个点）。于是，这3个点限定了一个三角形，其面积小于其所在面积为1/4的三角形。
9个点太多了。我们拿8个，甚至7个点，能得到一样的结论吗？答案是肯定的：7个点（8个点也可以）能足够保证面积小于或等于1/4的三角形的存在。这就是断言B：
在单位面积三角形内任意画出7个点，即可找到其中3个点，使其构成的三角形的面积小于或等于1/4。
1．鸽笼原理
若将k个物体放在m个抽屉中，且k＞nm，那么至少有一个抽屉包含多于n个物体。当n＝1时，我们得出结论：若将n＋1个或者更多物体放在n个抽屉里，其中一个抽屉必然包含最少两个物体，如同图中格子里的鸽子。这个原理虽然简单，却常常很有用。
若13人相遇，最少两个人是同一个月份出生；若25人相遇，最少三个人是同一个月份出生。12910
若取1到100之间十个不同的整数n，n…，n，n，则存在10个127349数字的两个子集，其中数字之和相等（例如n+n+n=n+n+n）。10为了进一步说明，我们注意到10个数字有2＝1024种方法取其子集。每个子集的和都小于1000（因为求和的数字小于10个，每个数字又小于或等于100）。根据抽屉原理，就有两个子集得出同样的求和结果。
证明参见图2。我们注意到，断言A和断言B，甚至所有将要考虑的断言都和三角形的形状无关。等边三角形、直角三角形、等腰三角形……只要是单位面积三角形即可。
回到断言B。它固然优于断言A，但我们还能进一步优化吗？就像从9到7，还能到6、5，甚至到4吗？到了4就行不通了，因为4个点中前3个放在三角形的3个顶点上，第四个放在三角形的重心（中线的交点），得到的三角形面积都不会小于1/4，而是等于1/3或1。
最终的答案是5。亚历山大·索佛是这条定理的发现者，他将其命名为“五点定理”，即断言C：
在单位面积三角形内任意画出5个点，即可找到其中3个点，使其构成的三角形的面积小于或等于1/4。
我们在此不给出该结果的证明过程了，因为三页纸也写不完。五点定理最著名的三种证明来自亚力山大·索佛（五页）、罗伊斯·彭（三页）和塞西尔·卢梭（三页）。这条定理美丽又非同寻常，而探索并非到此为止。我们将要详述其中两个部分，通过实例展示一个问题如何带来另一个问题，数学家们如何不停地发掘新难题，直至抵达逻辑推理的尽头。
2．三角形的S（T）常数
单位面积三角形的S（T）常数是所需点数量的最小值，使得任意S（T）个点满足存在以其中3个点为顶点构成的三角形的面积小于或等于1/4。
该常数小于9，如果有9个点，则必有3个点在面积为1/4的三角形内（a）。
S（T）常数大于4，因为可以像图（b）那样放置4个点。
我们来证明“若单位面积三角形内有7个点，存在其中3个点构成的三角形的面积小于或等于1/4”。
首先需要证明“面积为1/2的平行四边形内的3个点A、B、C可限定一个面积小于或等于1/4的三角形”。图c可以解释这个性质。
再来看将单位面积三角形分割成四个面积为1/4的小三角形（d）。中间的小三角形分别和其他三个相连，都构成一个面积为1/2的平行四边形。设想三角形中有7个点，若其中3个在同一个小三角形中，它们就构成了一个面积小于或等于1/4的三角形。证明完毕。
假设换一种情况。至少有一个点在中间的小三角形里。如果有2个点，那么把中间的小三角形和另一个包含一个点的小三角形相连（这样的小三角形必然存在），我们就有一个包含3个点且面积为1/2的平行四边形，即有一个面积小于或等于1/4的三角形。
如果中间的小三角形里只有一个点，那么就是其他的小三角形每个包含2个点（我们已经假设没有一个小三角形包含超过2个点，且除了中间小三角形里的点之外还有6个点）。无论选这3个小三角形中的哪一个和中间的小三角形相连，我们都会得到一个包含（开始给出的点中）3个点且面积为1/2的平行四边形，即有一个面积小于或等于1/4的三角形。
实际上，亚历山大·索佛证明了S（T）等于5。
要知道，索佛不仅因解答了众多数学难题而闻名于世，更是自创难题的高手。他曾和保罗·埃尔德什、约翰·康维等颇具名望的数学家一起发表过文章（因此，索佛的“埃尔德什数”就是）。他主张：“我们总有自由向自己提出自创的数学问题，并尽力深入研究。”索佛更愿意把数学看作一门艺术，而非一门应用科学。他参与奥林匹克数学竞赛组织，炮制拥有精妙解法的新谜题。他酷爱那些看似平凡，却会在非凡创意下绽放光彩的谜题。对索佛来说，一位优秀的数学家并不需要具备很多的数学知识，而仅需在面对像我们今天提出的这种小问题时，能设想出进攻得胜的策略。这些策略的优美程度与破题效果同等重要，一波三折最终意外取胜，反而更加有意思。
首先，我们会很自然地想到将这一原理推广至三角形之外的其他图形。例如取单位面积正方形或五边形，思考需要放多少个点才能确保其中3个点能限定一个面积小于或等于1/4的三角形。
索佛提出引入记号S（F）来表示对于几何形状F的最小整数m，以此保证在给定单位面积的图形F内放置的m个点，其中有3个点组成一个面积小于或等于1/4的三角形。
对于三角形T，我们知道S（T）=5（4个点不能保证面积小于等于1/4的三角形存在，而5个点可以）。对于正方形C，S（C）=5（试着证明一下该结果）。对于五边形P，S（P）=6（参见“多边形的索佛函数”）。
从形状F经过仿射变换（例如变换f（x，y）=（ax+by+c，a'x+b'y+c'））得到另一个形状F'，S（F）的值不变，因为此类变换保持面积的比例关系。
在S函数的相关证明中，有以下两个结果。
对任意整数m，有形状F使S（F）＞m（参见“无量大数”）。
若F是凸图形C（即只要该形状包含点A和点B，则一定包含整条线段AB），则S（C）=5或S（C）=6。证明这条特性尤其困难，恐怕要占用十来页才能说清。索佛悬赏100美元，看谁能分别针对S（C）=5的凸图形或S（C）=6的凸图形，提出有意义的特征描述。
3．多边形的索佛函数
单位面积图形F的索佛常数S（F）是最小的整数m，满足只要图形F内有m个点，其中一定有3个点组成一个面积小于或等于1/4的三角形。
对于三角形，m等于5：如果给定单位面积的三角形中有5个点，其中有3个点可以确定一个面积小于或等于1/4的三角形。这个五点定理目前还没有已知的简单证明（a）。
对于正方形，m还是等于5并且很容易根据图2的结果证明：“面积为1/2的平行四边形内的三角形面积必然小于或等于1/4”（b）。
对于正五边形（c），m等于6。只要将5个点放在单位面积正五边形的顶点，我们发现所有能找到的三角形面积都大于（因为这是图中所画三角形的面积）。这意味着，5个点还不足以保证面积小于或等于1/4的三角形的存在，即S（五边形）大于5。
对于平面上的凸图形F，S（F）常数等于5或6；但我们还不能用有意义的方法归纳出哪些凸图形的常数为5，哪些为6。有人能解开这个谜题吗？
4．无量大数
从图中可以看出平面几何图形的索佛常数S（F）可以要多大有多大。12m
实际上，设想图A中有m个辐条的“太阳”。v，v，…，v这m1个点中的3个点可能组成的最小面积三角形是3个连续的点（例如v，23v和v）组成的三角形。
我们可以在保持总面积为单位面积的同时，任意拉长辐条的长123度。选择足够细长的辐条，三角形v，v和v的面积就会超过1/4。这就证明，对某些“太阳”形状F，m个点无法保证在任意m边形中存在面积小于或等于1/4的三角形，换句话说，S（F）大于m。同样的推理对图B也适用。对1/4的改进
然而，任何知道五点定理的人都会想到一个比索佛的假设更简单的问题。既然单位面积三角形内的5个点可以保证存在一个从5个点得出的面积小于或等于1/4的三角形，也许5个点能保证存在一个面积小于或等于1/5的三角形，甚至一个面积小于或等于1/6的三角形，或者其他什么三角形？
三角形中的5个点能保证存在一个从5点得出的面积小于或等于α的三角形，那么α的最小值是什么？五点定理为我们保证α≤1/4。α的确定值是多少且相应的五边形（我们称为“最优五边形”）是什么？
显然，“最优五边形”的问题还可以推广为：“最优六边形”是什么？相应的α是什么？“最优七边形”是什么？相应的α是什么？“最优n边形”是什么？相应的α是什么？我们将m边形的α记作mα。
到目前为止，计算给出两类结果：一个猜想和已证明的上限。
猜想：
上限：
猜想：
上限：
猜想：
上限：
对m=6和m=7猜想的最优m边形画在图5中。超过7，目前还没有准确且简单的猜想结果。
工作还在艰难地继续。为了找出最优n边形，并证明出能够证实猜想的上限，需要进行越来越大量的运算。另外，对猜想的最终证明需要新办法，但目前尚无人知晓。
人类的逻辑推理和决策，对于解决几何学最简单的问题，甚至设计自动推理方法（实际上从来都算不上完全自动）似乎都是不可或缺的。计算机作为数学家的助手，无疑会在数学研究中扮演越来越核心的角色。
将来，很难想象一个数学家若没有这个技术助手会怎样工作。计算机服务于主人的愿望，对证明的不同组合部分加以运算和组织，这样才能让主人游览根本无法独自探索的数学处女地。
5．最优m边形
按照定义，单位面积三角形PQR内的最优m边形是m个满足下述条件的点的分布：从m个点中取3个点组成的三角形中，最小三角形的面积应尽可能大。可以理解为：要求m个点最大程度展开。m34
最优m边形的最小三角形面积记作α。α=1，α=1/3这两个结果m很容易理解。当m大于等于5时，很难确定α。迄今只有几个已知的值，且还没有得到最终证明。
当m=5时，我们猜想。最优五边形（图A）由德柯米特计算得出：法国里尔基础计算机科学实验室通过5自动证明方法证实了α≤121/625=0.1936。并且，若我们承认最优五5边形的所有点都在三角形PQR的边上，则有α≤0.175。6
当m=6时，我们猜想α=1/8=0.125。奇怪的是，最优六边形为具有两种不同形状的德柯米特六边形（图B、图C）。自动证明方法证6明了α＜2/15=0.13333…。7
当m=7时，我们猜想α=7/72=0.0972222…且最优七边形（图D）7是德柯米特七边形。自动证明方法给出α≤0.115。
这些结果包含好些尚未破解的奇怪内容。首先，计算得到的分布无法预测：我们每次猜测计算结果时都猜不对。其次，所得分布比预期更加不对称。例如m=7时，理应在高度上形成对称分布，然而计算结果却不是这样。
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]