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作者：（美）马里奥·利维奥（Mario Livio）

出版社：人民邮电出版社有限公司

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最后的数学问题试读：

版权声明

第二版编者按

第一版译者序

序言

第 1 章　未解之谜

那么追求严谨真理的人就需要记住他所使用的每个名称的含

义，并把它们放于相应的地方，否则他会发现自己困于文字

的纠缠中，就好像一只被抹了胶的树枝粘住的小鸟，越挣扎

越不能自拔。因此，在几何学（这是迄今为止唯一令上帝满

意并恩赐给人类的学问）中，人们首先确定名称的含义（他

们把确定含义称为‘定义’），并把它们作为认知的起点。”

33霍布斯，1651 年。上千年来，令人印象深刻的数学研究和广博的哲学思考都没有真正解释清楚数学力量的奥秘，甚至可以说，在某种意义上，数学的这种神秘感又加剧了。比如，著名的英国牛津大学数学物理学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）意识到，人类周围不仅有一个世界，而应该有三个神秘世界。按彭罗斯的划分，这三个世界是：意识感知的世界、4物理现实的世界和数学形式的柏拉图世界。 第一个世界是我们所有精神影像的家园，包括我们看到自己孩子笑脸时的欢欣愉悦，欣赏落日余晖壮美景色时的心旷神怡，或者观察怵目惊心的战争场面时的恐惧和憎恶。在这个世界中还包括爱、忌妒、偏见、害怕，以及我们欣赏音乐、闻到美食时的感觉。第二个世界就是我们日常所提到的物理现实世界，包括鲜花、阿司匹林药片、白云、喷气式飞机，还有星系、行星、原子、狒狒的心脏和人类的大脑，这些真实存在的东西构成了这个世界。第三个世界是数学形式的柏拉图世界。这里是数学的家园，对彭罗斯而言，这个世界和精神世界与物理世界一样，也是真实存在的，在其中有自然数 1, 2, 3, 4,…，欧几里得几何学中的所有图形和定理，牛顿运动定律、弦论、突变论以及研究股票市场行为的数学模型等。彭罗斯还观察到了这三个世界之间神秘相连的三种现象。首先，物理世界的运行似乎遵循着一定的法则，而这些法则真实存在于数学世界中。这也令爱因斯坦感到困惑。诺贝尔物理学奖得主尤金·维格纳（Eugene Wigner，1902—1995）也有同样的疑惑：4彭罗斯在《皇帝的新想法》（Emperor's New Mind）和《通往现实之路》（Road to Reality）等书中对这三个世界有非常精彩的讨论。“数学语言适于表达物理法则，这种奇迹是上天赐予我们的

绝妙礼物。事实上，我们并未真正理解这份礼物，同时也受

之有愧。我们应当感谢这份礼物，希望它在未来的研究中仍

然有效，而且可以给予我们欢乐，抑或困惑——无论是好5

还是坏——以及广泛的学问。”5维格纳，1960 年。在本书中，我会多次引用这篇文章。其次，人类感知心智（perceiving mind）本身——这是我们主观认知能力的源泉——似乎来自物理世界。心智究竟是如何从物质中产生的？我们是否能够将人类意识的工作机制上升为一种理论，令其如同今天的电磁场理论那样条理清晰、令人信服？最后，这三个世界神秘地联到一起，形成了一个闭合的圆。通过发现或创造抽象的数学公式和概念，并将它们清晰地表达出来，感知心智才得以奇迹般地进入数学王国之中。彭罗斯并未给出任何关于这三个世界神秘现象的解释。实际上，他的结论非常简洁：“毫无疑问，并不真正存在三个世界，而是只有一个世界。并且直到目前为止，对于这个真实世界的本质，我们对它的认识甚至连肤浅也谈不上。”英国作家艾伦·贝内特（Alan Bennett）创作的戏剧《四十年来》（Forty Years On）中的那位教师也回答过类似的问题，与之相比，彭罗斯的回答可谓谦逊而坦白。下面就是那位教师的回答。

福斯特：先生，我对（圣父、圣灵、圣子）三位一体的说法

仍然有点困惑。

教师：三合为一，一分为三，简单明了。对此有任何疑问，

就去请教你的数学老师。这个谜题甚至比我刚才提到的那个问题更错综复杂。利用数学成功解释我们周围的世界（维格纳称之为“数学无理由的有效性”），实际上可以从两个方面去认识，它们都同样令人惊奇。第一，是其“主动”的一面。当物理学家在自然的迷宫里迷失方向时，数学会为他们照亮前方的道路，他们使用和创造的工具、建立的模型，以及他们所期望得到的解释，所有这些都离不开数学。显然，这本身就是一个奇迹。牛顿观察到了落地的苹果、月亮和海滩上的潮汐（我不是很确信他是否真正看见了），不过他所看到的可都不是数学方程式。但是牛顿却从这些自然现象中抽象并总结出了清晰、简洁、精准的数学规律。同样，苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831—1879）在 19 世纪 60 年代拓展了经典物理学范畴。他仅仅使用 4 个数学公式，就解释了所有已知的电磁学现象。可以想象，电磁学和光学实验通常充斥着大量细节性信息，数据量十分巨大，以前都需要用大量篇幅才能归纳和解释所有这些现象和结论，但现在只需要 4 个简洁的方程式就够了！爱因斯坦的广义相对论更令人惊叹，它是数学理论中极度精确与自相一致的一个完美范例，这个理论揭示的正是如时空结构一类的基础事物。除了“主动”的一面之外，数学的神秘效应还包括“被动”的一面，让人意想不到的是，后者甚至会令前者黯然失色。当数学家研究、探索数学概念以及各种概念之间的关系时，有时仅仅出于理论研究的目的，绝对没有考虑过理论的实用性问题。但是在几十年后（有时甚至是几百年后），人们突然发现，他们的理论出人意料地为物理现实问题提供了解决方案。你可能要问，这怎么可能呢？那位行为古怪的英国数学家戈弗雷·哈罗德·哈代（Godfrey Harold Hardy，1877—1947）的例子就十分有趣。哈代为他的纯理论数学研究感到非常自豪，他曾断言：“我的发现今天没有、将来也不会给世界带来丝毫影响——无6论这种影响是直接还是间接的，有益抑或有害的。” 猜猜结果如何？7他错了！他的一项研究成果被命名为“哈代 – 温伯格定律”，这是以哈代和德国物理学家威廉·温伯格（Wilhelm Weinberg，1862—1937）的名字命名的，该定律是遗传学家研究人口进化的基础。简单地说，哈代 – 温伯格定律认为：如果一个基数很大的人口群体随机婚配（没有人口迁移、基因突变和选择性婚配），基因构成将保持恒定，而且不因世代变化而变化。表面上，哈代研究的是抽象的数论——一门研究自然数的学科，但人们出乎意料地发现其研究成果能解决现实问题。1973 年，英国数学家克利福德·柯克斯（Clifford 8Cocks）利用数论在密码学领域取得了突破性进展。 柯克斯的研究成果再次证明了哈代的言论已经过时。哈代在其 1940 年出版的那本著名的著作《一个数学家的辩白》中声称：“还没有人发现数论能被用于战争目的。”很明显，他又错了！在现代军事信息传递中，密码学绝对不可或缺。因此，尽管哈代是最有名的实用数学批判论者，可是最终还是被“拽去”研究具有实用价值的数学理论了——如果他还在世的话，一定会对此高声抱怨。6哈代，1940 年。7关于哈代 - 温伯格定律的详细讨论，请参阅赫德里克（Hedrick）在 2004 年的一个例子。8柯克斯早在 1973 年就发明了著名的 RSA 加密算法，但在当时，这是英国的国家机密，未予发表。在此之后不久，这一算法又被美国麻省理工学院的里弗斯特（R. Rivest）、沙缪尔（A. Shamir）和阿多尔曼（L. Adleman）独立地研究了出来，请参阅这三人在 1978 年的著述。这只是冰山一角。开普勒和牛顿发现了太阳系行星运行轨道是椭圆形的，而古希腊数学家门奈赫莫斯（Menaechmus）在两千年前，即大约公元前 350 年就已经研究过这条曲线了。波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann，1826—1866）在 1854 年的一次经典演讲中概括了几门新兴几何学的主要内容，它们恰好是爱因斯坦解释宇宙结构时所必需的工具。还有一门叫作“群论”的数学“语言”，它是由年轻的数学天才伽罗瓦（Evariste Galois，1811—1832）创建的。起初，群论仅仅用来判别代数方程式的可解性，但今天，它已经被物理学家、工程师、语言学家甚至人类生态学家们广泛使用，用来研究几乎所有9的对称性问题。 此外，数学上的对称概念在某种程度上还颠覆了整个科学的研究过程。几个世纪以来，科学家认识宇宙的第一步都是在反复实验和试错后，收集汇总数据和结果，再从其中归纳出通用的自然规律。这种梳理过程从局部观察开始，之后像拼图一样，观察结果被一块块地拼接起来。进入 20 世纪后，人们认识到条理清晰的数学设计并描述了亚原子世界的基础结构，于是，当代物理学家们开始反10其道而行之 。他们把数学的对称性置于第一位，坚持认为自然法则和构成事物的基本要素应当遵循某种特定模式，并根据这种要求，推演出通用规律。自然界是如何知道应当遵循数学上的对称原理呢？9对称、群论以及相关理论发展过程中的种种纠葛，参见作者在另一本书《无法解出的等式》（The Equation That Couldn't Be Solved，2005）中的讨论。斯图尔特（2007）、洛南（Ronan，2006）和杜·索托伊（Du Sautoy，2008）的著述也有讨论。10指不必像过去一样先观察现象，后总结规律。——译者注在 1975 年的某天，年轻的数学物理学家米奇·费根鲍姆（Mitchell Feigenbaum）在美国洛斯阿拉莫斯国家实验室利用他的 HP - 65 便携11式计算器演算一个简单的方程式。他渐渐注意到，计算器上的数 越来越接近一个特定的数：4.669...。他惊奇地发现，在演算其他方程式时，这个神奇的数再次出现了。费根鲍姆虽然还不能解释其中的原因，但他很快就得出结论，自己发现的这个数似乎标志着从有序到混沌过渡时的某种普遍性规律。你大可不必对此感到惊讶，物理学家们在一开始时都是怀疑论者。究竟是什么原因导致那些看起来差异极大的系统行为背后拥有相同的数学特征呢？专家经过半年的评审，还是将费根鲍姆就此专题撰写的第一篇论文退稿了。不久之后，实验证明当液态氦从底部开始加热时，其变化过程同费根鲍姆的通用解决方案的预测结果恰好一样。人们发现不仅这一种体系会如此表现。费根鲍姆发现的这一令人惊讶的数不但出现在流体从有序流向紊乱的转换过程中，也会出现在水龙头滴水的过程中。11格雷克（Gleick，1987）对混沌理论的有过非常精彩的描述。尔后人们才证实了，很多学科研究都需要数学的“预言”，这样的情况仍在不断上演。数学世界和真实（物理）世界之间那种神秘的、意想不到的相互影响，在纽结理论（这是一门研究绳结的学科）中得到了生动体现。数学上的“纽结”与现实中绳索上的结十分类似，只不过，这根绳索的头与尾必须连接在一起。也就是说，数学上的纽结位于一条闭合的、没有自由活动绳端的曲线之上。说来奇怪，创建纽结理论的主要起因是 19 世纪发展起来的一种错误的原子结构模型。这个模型在提出 20 年后就被证明是错误的了，但是，纽结理论作为一门相对难以理解的理论数学分支，却在不断发展演化。出人意料的是，数学家在纽结理论领域所做的抽象探索，突然间在现代科学研究中有了十分广泛的应用。其应用范围涵盖脱氧核糖核酸（DNA）分子结构、12弦论（弦论试图将亚原子世界和引力统一起来 ），等等。我们将在第 8 章详细讨论这个不同寻常的故事，因为这段“循环”的历史也许是一个最好的例证，充分说明了数学各分支如何在人类试图解释物理现象的过程中产生，随后如何进入数学的抽象王国，并在其中发展，最终又如何出人意料地回到了物理世界的起点。12量子力学和引力理论在表面上完全不同，但它们在本质上都是场论。弦论认为世界是由非常细小的弦组成。从纽结理论的观点看，可以把弦视为三维空间上的弦，所以，上述两种理论可以放在一起研究。——译者注发现还是发明？我上面讲述的这些简短的故事已经充分证明，我们所处的世界受数学支配——至少认识、分析世界的过程深受数学的影响。正如本书将要展现的，大多数（也许是全部）人类活动似乎源于数学，对此，人类自己甚至根本没有意识到。让我们再用一个金融领域的例子来证明：13布莱克 – 斯科尔斯期权定价模型 为其发现者们赢得了诺贝尔经济学奖——奖项最终授予了迈伦·斯科尔斯（Myron Scholes）和罗伯特·卡哈特·默顿（Robert Carhart Merton），因为费歇尔·布莱克（Fischer Black）在获奖前就已经去世了。模型中的关键平衡等式能帮助人们理解如何确定股票期权价格。（期权是一种金融工具，投资者共同商定在未来一个特定日期的股票价格，并以此价格买入或卖出股票。）令人难以置信的是，该模型的核心问题——布朗运动，此前已经被物理学家研究了几十年了。布朗运动描述了微粒不规则、无休止的运动状态，我们可以从水中悬浮的花粉粒子和空气中烟尘粒子的运动中观察到这种状态。同样的方程式也可以描述星团里无数个恒星的运动。这是不是有点像《爱丽丝梦游仙境》中所说的“神奇啊，太神奇了”？不管宇宙如何运行，商业和经济毕竟是人类思维主导创造的世界。13布莱克和斯科尔斯，1973 年。让我们再来看一个在电路板制造或计算机设计中的常见问题。这些领域都可能要利用激光在平板上钻出数以万计的小孔。为了节约成本，设计人员不希望“钻孔”是一种随机行为，就像“随意的旅行者”一样乱走。他们希望能在钻孔前找出最短“路径”，让每个孔都被“光顾”到，而且只被“光顾”一次。其实从 20 世纪 20 年代起，数学家们就开始研究这个“旅行商问题”了。简单地说，假设有一位商人或者一位参加竞选的参选人，他想要以一种最经济的方式访问给定数量的所有城市，其中任意两座城市之间的旅行花费是已知的。他的问题就是如何找出一条能访问所有城市，并且最后回到原始出发点的、最便宜的那条路线。1954 年解决了美国 49 个城市的“旅行商问题”，142004 年给出了瑞典 24 978 个城镇的解决方案 。也就是说，电子工业、发送包裹的物流公司，甚至制造弹珠游戏机（手指需要击打数千次）的日本厂商都要依赖于数学解决类似钻孔、调度或计算机物理设计这样的简单问题。14阿普尔盖特等人（Applegate et al.，2007）对这一问题给出过精彩而专业的解答。数学还进入了一些在传统上与之联系并不十分紧密的学科领域。例如，有一本期刊名叫《数理社会学杂志》，所谓的数理社会学，就是通过数学工具来研究和分析复杂的社会结构、组织和非正式群体。该杂志中文章的主题覆盖面很广，包括预测公众观点的数学模型、预测社会群体中某些交互行为的数学模型，等等。让我们换个方向，把目光从数学转向人文学科，来看看计算语言学。这门学科起初只涉及计算机科学家，但今天，它已经发展为一门跨学科的研究领域，将语言学家、认知心理学家、逻辑学家和人工智能专家集中在一起，共同研究自然进化语言的复杂性。这难道是捉弄我们的恶作剧吗？人类试图领会和理解世界奥秘的所有努力，最终却将他们引入了越来越精细、复杂的数学领域。然而，这个领域正是宇宙，甚至人类所有行为的基础。难道数学就是老师们隐藏的秘籍吗？（为了防止“教会徒弟，饿死师傅”，老师通常会把书上的知识藏起来一部分，不教给学生，这样一来，老师总显得比学生高明。）或者，借用《圣经》上的一个隐喻：数学是智慧之树结出的最终果实吗？正如我在本章开始时介绍的，数学无理由的有效性产生了许多有趣的问题：数学是一种完全独立于人类心智的存在吗？换句话说，我们是否只是发现了本已存在的数学真理，恰如天文学家发现先前未被人类观察到的星系那样？如若不是，难道数学仅是人类的一项发明？如果数学真实存在于某个抽象世界之中，那么这个神秘的世界与物理现实世界之间是什么关系？仅掌握有限知识的人类如何才能超越时空的限制，进入这个永恒不变的神秘殿堂？另一方面，假如数学仅是人类的发明，并且只存在于人类心智中，那么我们又如何解释，自己“发明”出来的如此之多的数学真理，为何会如神迹一般地准确预言了几十年甚至几百年之后才出现的宇宙和人类生活中的某些问题呢？这些问题并不简单。正如我在书中反复讲到的，即使在今天，数学家、认知学家和哲学家对此还存在分歧。1989 年，法国数学家阿兰·孔涅（Alain Connes），这位赢得了数学界最负盛名的两项荣誉（1982 年的菲尔兹奖和 2001 年的克拉夫德奖）的数学家清晰地表达了自己的观点：“根据我的观察，质数（仅能被 1 和自己整除的自然数）组

成的世界，远比我们周围的物质世界稳定。数学家的工作可

以与探险家发现世界相媲美。他们都是从经历中发现基本事

实。举例来说，通过简单的计算，我们发现质数的序列似乎

永无穷尽。那么，数学家的任务就是证明存在无穷多的质数，

当然，这是欧几里得提出的一个古老结论。这个论证中最有

趣的一个推论就是，如果某一天有人宣称他发现了最大的质

数，很容易就能证明他是错的。对任何其他论证来说同样如

此。由此可见，我们面对的数学现实与物理现实一样无可争15

议。”15尚热、孔涅，1995 年。知名而多产的数学科普作家马丁·加德纳（Martin Gardner）支持“数学是一种发现”的观点。对他来说，无论人类认识与否，数与数学都是独立于人类认知存在的，这一点毫无疑问。他曾风趣地评论：“如果森林中有 2 只恐龙与另外 2 只恐龙相遇，不管周围是否有人类在16观察，那儿都会有 4 只恐龙。但是，愚蠢的熊却不会知道。” 正如孔涅所强调的，“数学是一种发现”（这也是柏拉图的看法）的支持者认为，一旦人们理解了某个数学概念，如自然数 1, 2, 3, 4,…，那么就会面临一些无可争议的事实，如，这与人们如何看待它们的关系并无关联。至少，这会给我们留下一种印象：我们接触的就是存在的真实世界。16加德纳，2003 年。当然，不是所有人都这么认为。在为孔涅的一本书（在该书中，孔涅表达了他的上述观点）撰写评论文章时，英国数学家迈克尔·阿蒂亚爵士（Michael Atiyah，他在 1966 年获得了菲尔兹奖，在 2004 年获得阿贝尔奖）写道：“每一位数学家都会支持孔涅。我们都感到整数、圆在某种

抽象意义上是真实存在的，并且柏拉图的观点十分有吸引

力。（我会在本书第 2 章详细讨论。）但是，我们真的能支

持它吗？假如宇宙是一维空间，或者甚至是离散的，很难想

象几何学在这个一维空间中是如何孕育发展的。对人类来说，

我们对整数似乎更在行，计数是真正的原始概念。但是想象

一下，如果文明不是出现在人类之中，而是出现在潜藏于太

平洋深处、独居并与世隔绝的水母之中，情况又会如何？水

母不会有个体的体验，只会感觉到周围的水。运动、温度和

压力将给它提供基本的感知经验。在这样的环境中，就不会

出现离散的概念，也不需要计数。”阿蒂亚确信：“通过理想化和抽象物理世界中的那些基本要素，人类17创造了数学。” 语言学家乔治·莱考夫（George Lakoff）和心理学家拉斐尔·努涅斯（Rafael Núñez）也持同样的观点。二人在合著的《数学从哪里来》一书中总结道：“数学是人类天性的一部分，它源于我们的身体、大脑，以及我们在这个世界中每天的经历。”17阿蒂亚，1995 年。阿蒂亚、莱考夫和努涅斯的观点又引出了另一个有趣的问题：如果数学完全是人类发明，那么它真的具有普遍性吗？想象一下，假如外星文明真的存在，它们是否也会发明出与我们相同的数学呢？卡尔·萨根（Carl Sagan，1934—1996）曾认为，答案是肯定的。当他在《宇宙》一书中探讨智能文明会将哪种讯息传播到外空间时，萨根提出：“任何自然的物理进程都不可能只传播仅包括质数的无线电信息。假设接收到这样的信息，我们就能推断出那里存在一个至少喜欢质数的文明。”但这如何确定呢？数学物理学家史蒂芬·沃尔夫拉姆（Stephen Wolfram）在《一门新科学》一书中提到，他认为这种称为“人类的数学”的智慧，也许仅代表盛开在数学之树上的众多不同“花朵”中的一朵。假如不使用基于数学公式的法则来描述自然的话，人类也可以使用其他类型的法则，比如，在简单的计算机程序中所体现的法则。另外，一些宇宙学家已经开始讨论，我们身处的宇宙可能是多元宇宙（众多宇宙的集合体）的一个组成部分。如果多元宇宙真实存在的话，其他宇宙空间中发展出的数学与我们的数学一致吗？有些分子生物学家和认知学家基于对大脑功能的研究提出了另外一种观点：数学与语言的区别不大。换句话说，基于这种“认知”，无数世代的人类在注意自己的双手、双眼、两腿后，数字“2”的抽象定义就慢慢形成了。同样，“鸟”这个字的概念也是这样形成的——人们逐渐认识到，这个字代表有两只翅膀，并能够飞起来的动物。正如法国神经系统学家让 – 皮埃尔·尚热（Jean - Pierre Changeux）所说的：“对我而言，公理化方法（欧几里得几何学就建立在几条公理之18上）就是与使用大脑相关的脑功能的表现。” 但是，如果数学算作另外一种语言的话，我们又该如何解释，孩子为何在学习语言时相对比较轻松，而相当一部分孩子在学习数学时却倍感吃力呢？苏格兰天才儿童玛乔丽·弗莱明（Marjory Fleming，1803—1811）就用一种极无奈的语气描述了她在面对数学时的痛苦。弗莱明不到 9 岁就夭折了，她的日记中留下了 9000 多字的散文和 500 多行的诗歌。在一篇日记中，她曾抱怨道：“我要告诉你的是，乘法表带给我无尽的痛苦和烦恼。你可能难以想象。最难对付的就是 8 乘 8 和 7 乘 7，这真是19让人无法忍受。”18尚热、孔涅，1995 年。19华勒钦斯基和华莱士（Wallechinsky and Wallace，1975 ～ 1981）对玛乔丽·弗莱明的生平简述。这个问题很难回答。如果考虑其他一些因素的话，它可能就会转变成另一个问题：与其他表现人类思维的方式（如美术和音乐）相比，数学和它们有什么本质上的不同？如果没有什么本质上的不同，那么，数学为什么会表现出一种不可思议的逻辑性和自洽性？而这些特征为什么是其他任何一种人类创造都不具备的？比如，欧几里得几何学虽然是在公元前 300 年创立的，但直到今天，它依然是正确的（当然要看它的应用领域），我们仍要服从它表达的“真理”。相比之下，今天，我们既无法强迫现代人喜欢古希腊人所听的音乐，也无法继续支持亚里士多德“幼稚”的宇宙模型。在科学研究的各个领域中，人们很少会继续沿用 300 年前的思想和概念。然而，最新的数学研究既有可能参考去年甚至上周才发表的数学定理，也有可能引用公元前 250 年阿基米德所证明的球表面积公式。19 世纪的原子结构模型的理论仅存在了 20 年就被抛弃了，那是因为有新的发现证明该理论的基本原理有错误，这也是大多数科研发展的一般过程。牛顿对历史上的巨人不吝溢美之词，因为他站在了巨人的肩上（也许没有，参见第 4 章），才能看得更远。但同时，牛顿也许应该向巨人们道歉，因为他的工作让他脚下很多巨人的理论过时了。然而，这不是数学理论发展的路线图，尽管用来证明某些结论的形式已经改变，但数学结论本身却始终没有什么差别。事实上，正如数学家及作家伊恩·斯图尔特（Ian Stewart）曾经指出的：“在数学领域里，谬误一词表示先前以为是正确的、而后来却发现有错误并被纠正20的结论。” 这些结论之所以被证明是谬误，也不是因为其他学科领域有了新的发现，而是人们更仔细、更严格地参考了那些同样古老的数学真理才证实了的。难道数学真的是上帝的语言吗？20斯图尔特，2004 年。如果你认为弄清数学究竟是一种“发现”还是一种“发明”无关紧要，那么请想想这两个词之间的差异在下面这个问题里的深长意味：“上帝是一种发现还是一种发明？”或者另一个更刺激的问题：“上帝是按自己的模样创造了人，还是人类按自己的形象创造了上帝？”在本书中，我将和大家一起探寻这一问题和其他问题的答案。我们将回顾历史上以及当今最伟大的数学家、物理学家、哲学家、认知学家和语言学家在各自领域中做出的卓越贡献，以及在其研究过程中体现出的远见卓识。书中还要回顾一些近代思想家们的观点、警句和他们对相关问题持有的保留意见。让我们先以早期哲学家们的某些开创性观点为起点，开始这段激动人心的旅程吧。

第 2 章　神秘学：数字命理学家和哲学家

数量的概念相分离，而数量是证明的对象……而且，由于所

有自然现象都可以用这种方式来解释，因此我不认为除此之

外，还有其他任何准则可以在物理学中被接受或令人满2

意。”2笛卡儿，1644 年。有意思的是，笛卡儿把“思考和心智”范畴从他那伟大的科学畅想中剔除出去了。按他的观点，前者与能用数学来解释的物质世界无关。毫无疑问，笛卡儿是过去 4 个世纪以来最有影响力的思想家之一（第 4 章会再次讨论他）。但是，笛卡儿并不是第一个以数学为研究中心的人。数学渗透并主宰整个宇宙，这种一概而论的观点在两千多年前就有人提过了，尽管当时它带有强烈的神秘色彩，但在某种意义上，比笛卡儿的想法更深刻：当人们进行纯理论数学研究时，人类的灵魂就如同沉浸“在音乐中”。传说，提出这一观念的人就是毕达哥拉斯。毕达哥拉斯毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前 572—前 497）既是具有深刻影响力的自然哲学家，又是富有个人魅力的精神哲学家——他或许是人类历史上的第一人。他是科学家和宗教思想家的统一。事实上，在西方，有人认为是毕达哥拉斯创造了“哲学”和“数学”这两个词。3 其中，“哲学”的字面意思是智慧之爱，而“数学”的字面意思是学习的学科。今天，尽管毕达哥拉斯的手稿已经荡然无存（就算这些手稿曾经确实存在过，也只是口口相传的），我们能看到的关于毕达哥拉斯的个人传记一共仅有四本。有三本详细的传记大约在公元 3 4世纪左右成书（可能只有部分内容真实可信），第四本由一位匿名作者撰写，是从拜占庭主教和哲学家佛提乌斯（Photius，约 820—891）的著作中保留下来的。如果想评价毕达哥拉斯的个人贡献，最主要的困难在于，他的信徒和追随者组成了所谓的“毕达哥拉斯学派”，他们都将自己的研究成果归功于毕达哥拉斯。因此，即使是亚里士多德（Aristotle，公元前 384—前 322）也很难辨别出在毕达哥5拉斯学派的哲学中，究竟哪一部分才是属于毕达哥拉斯本人的。 因此，亚里士多德笼统地将其称为“毕达哥拉斯学派”或“所谓的毕达哥拉斯学派”。由于毕达哥达斯在后人中的崇高声望，因而大家通常公认，他至少是某些毕达哥拉斯学派理论的创始人。柏拉图，甚至哥白尼，都从毕达哥拉斯学派的理论中受益良多。3亚姆利库，大约公元 300 年；加思里，1987 年。4拉尔梯乌斯（Laertius），约公元 250 年；波尔菲里（Porphyry），约公元 270 年；亚姆利库，约公元 300 年。5亚里士多德，约公元前 350 年；伯克特（Burkert），1972 年。毫无疑问，毕达哥拉斯大约在公元前 6 世纪早期出生在爱琴海东部、距今天土耳其海岸不远的萨摩斯岛（Samos）。早年他曾经四处游学，足迹遍布古埃及，也许还去过古巴比伦——他的数学知识至少有一部分是从那里学来的。后来，毕达哥拉斯移居古希腊的克罗顿（Croton，今意大利南端附近）。在那里，他的周围迅速聚集了一大批热情的学生和追随者。古希腊的历史学家希罗多德（Herodotus，约公元前 485—前 425）6认为，毕达哥拉斯是“所有希腊人中最有才干的”。 前苏格拉底派的哲学家、诗人安培多克莱（Empedocles，约公元前 492—前 432）对毕达哥拉斯更加推崇：“但在他们之中，有一个人把其他所有人都远远抛在了身后。他学识渊博、见解深刻，几乎精通所有的科学领域，并在各个领域都做出了杰出贡献，足以被称为大师。在任何时候，只要他全身心地投入，就能轻易发掘并分辨出所有真相。他似乎有十个7人，不，是二十个人的智慧。” 当然，并不是所有人都欣赏他。据说，爱菲索斯的哲学家赫拉克得特（Heraclitus，约公元前 535—前 475）与毕达哥拉斯之间有一些私人恩怨，因此，他虽然承认毕达哥拉斯学识广博，但同时又用轻蔑的口吻评价道：“多学习并不能产生智慧，否则，就能教会赫西奥德（Hesiod，古希腊诗人，生活在约公元前 700 年）和毕达哥拉斯了。”6希罗多德，公元前 440 年。7波尔菲里（Porphyry），约公元 270 年。毕达哥拉斯和早期的毕达哥拉斯学派在他们生活的那个时代里，既不是严格意义上的数学家，也不是纯粹的科学家。事实上，数的含义所构成的形而上哲学，才是他们理论和教义的核心。对于毕达哥拉斯学派来说，数不仅是有生命的实体，而且是宇宙运行的法则，贯穿于一切事物，无论是天国，还是人类的道德，概莫能外。换句话说，在毕达哥拉斯学派眼中，数有两种截然不同却又紧密相关、互为补充的含义。一方面，数有明确的物理存在形式；另一方面，它们又是抽象的89法则，基于这种法则才能形成万事万物。例如，单子 （数字 1）被视为所有其他数的基数，和水、空气、火（当时被认为是构成物质世界最基础的要素）一样，是独立存在体。同时，单子也被认为是一种思想，代表所有创造之源的形而上统一。英国哲学史学家托马斯·斯坦利（Thomas Stanley，1625— 1678）曾用优美的文字（这种优美仅针对 17 世纪的英文而言）描述过毕达哥拉斯学派与数联系在一起时有两种特点：8关于毕达哥拉斯学派观点，请参阅斯特罗迈耶（Strohmeier）和韦斯特布鲁克（Westbrook）在 1999 年的讨论。9代表不可再分的最简单的客观实体。——译者注“数有两种类型，知性的（或者说是无形的）和知识的。知

性的数讲的是数的永恒本质。毕达哥拉斯在一次有关上帝的

演讲中宣称，这种知性是天堂、人间，以及两者之间的自然

界中最神奇的一条法则……这也被称为所有事物的法则、根

源、基础……知识的数被毕达哥拉斯定义为本源的行为拓展10

和产物，这种本源存在于单子及单子自身的累积之中。”10斯坦利，1687 年。因此，数不仅是用来表示量的工具。事实上，数的发现是必然的，因为它们是自然界中万物形式上的代表。宇宙中的所有东西，从物质的实体（例如地球），到抽象的概念（例如正义），都是数。11有人认为，数令人迷恋 ，这也许并不奇怪。即使在日常生活中，我们每天都会遇到的那些最普通的数也有一些有趣的特性。例如，一年有 365 天，365 是 3 个连续的自然数的平方之和（），而 365 又是两个连续的自然数的平方和（）。让我们再以 2 月的天数 28 为例。28 是自己所有的约数（可被其整除的数）之和，28 ＝ 1 ＋ 2 ＋ 4 ＋ 7 ＋ 14。具有这种特性的数被称为完全数（最小的 4 个完全数是 6、28、496、8128）。注意，28 还是最小的两个奇数的立方和，。还有 100，它在今天这个十进制的世界里得到了广泛应用，而且也具独特的性质，如。11威尔斯（Wells）在 1986 年编写了一个小册子，对数的那些令人着迷的特点进行了专门分析。从以上这些数的特点中我们可以看出，数的确迷人。也许有人会问，毕达哥拉斯学派中数的教义的起源是什么？究竟是什么原因，令毕达哥拉斯学派认为不仅万事万物都包含数，而且宇宙万物的本质也全部都是数？毕达哥拉斯没有任何文字形式的著作留存下来——就算曾经有过，可能也早已被湮灭在历史的长河中了，今天如果想准确回答这个问题，十分困难。现存的有关毕达哥拉斯本人学说的资料，主要来自前柏拉图时期的一些只言片语的记载，以及后期一些可信度不高、主要源于柏拉图和亚里士多德学派的相关哲学讨论。综合历史上所有有关的线索来看，数之所以令人困惑，又使人着迷，其根本原因或许在于毕达哥拉斯学派重视音乐的体验和对星空的观察。这两种活动尽管表面上毫无关联，但按照毕达哥拉斯学派的观点，它们都与数学紧密联系。若想理解数、星空和音乐之间神秘的联系，我们就不得不从毕达哥拉斯学派利用小卵石、圆点来计数的趣事说起。例如，毕达哥拉斯学派把自然数 1, 2, 3, 4, ... 个卵石排列成三角形，摆成如图 2-1 所示的形状。特别是，图中第 4 个三角形由前 4 个整数构成（由 10 块卵石排列而成，每行卵石的块数代表一个整数），它被称为“四元体”（Tetraktys，意思是 4 或四进制）。在毕达哥拉斯学派的观念中，四元体是完美的代表，并且是构成事物的基本要素。有关毕达哥拉斯和四元体的故事，在历史上也有流传。古希腊讽刺作家卢西恩（Lucian，12约公元前 120—前 80）就曾记录，毕达哥拉斯有一次请某人计数 ，当这个人数着“1, 2, 3, 4”时，毕达哥拉斯打断了他：“看到没有？你把 10 当成了 4，这是一个完美的三角形，也是我们的誓约符号。”新柏拉图派哲学家亚姆利库（Iamblichus，约公元 250—325）认为，毕达哥拉斯学派的誓约是真实存在的，内容如下：12引自希思（Heath）的著述，1921 年。“我以发现四元体的名义宣誓，

它是我们所有智慧的源泉，13

也是自然之源永恒的根基。”13亚姆利库，约公元 300 年；加思里，1987 年。图　2-1毕达哥拉斯学派为什么会如此推崇四元体？这也许是因为在公元前 6 世纪的毕达哥拉斯学派眼中，四元体似乎体现了整个宇宙的全部本质。在几何学中（这是古希腊时期划时代思想革命的踏板和起点），数字 1 代表点，数字 2 代表线，数字 3 代表面，数字 4 代表三维14四面体。以这种观点分析，四元体包含了空间中所有可见的维度 。14毕达哥拉斯学派认为，点的流动产生了线，线的流动产生了平面，平面的运动产生了立体，这样就产生了可见的世界。——译者注但这只是开始。在研究音乐时，四元体也呈现出了惊人的一面。人们普遍认为，毕达哥拉斯和毕达哥拉斯学派发现了，用连续整数分割弦可以产生谐音及协和音程。这个奥秘在任何一首弦乐四重奏表演中都有所体现。当两根相似的弦被同时弹响时，如果弦的长度比呈单比例，15就会发出令人愉悦的动听声音。 例如，长度相等的弦（此时比例为 1∶1），产生的是同音；当比例为 1∶2 时，产生的是八度音程；当比例为 2∶3 时，发出的是纯五度音程；当比例为 3∶4 时，产生的是纯四度音程。除了这种“包含一切”的空间属性外，四元体还被视为构成和谐音阶的数学比例的典型代表。空间和音乐之间这种奇妙的联系，赋予毕达哥拉斯学派一个强有力的标志，让他们感觉到“科斯摩斯”（kosmos，意为“万物秩序之美”）的“哈尔摩尼亚”（harmonia，意为“合为一体”）。15斯特罗迈耶和韦斯特布鲁克，1999 年；斯坦利，1687 年。那么，天空和数的关系又是怎样的呢？毕达哥拉斯和毕达哥拉斯学派在历史上又扮演了天文学家的角色。这个角色并不十分关键，但决非无足轻重。毕达哥拉斯学派是支持地球是球形这一观点的先驱之一——也许是因为他们认为球形在数学上是最美的形状。或许，也是他们第一个宣称，行星、太阳和月亮都各自独立地、自西向东地运动，这与它们每日绕恒星运动的（表观）方向相反。这群喜欢夜晚星空的人肯定不会错过恒星星座最明显的两个特征——星座的形状和组成星座的恒星数量。事实上，人们正是通过星座包含的恒星数量，以及这些恒星形成的几何图案来区分、认知星座的。这两个特征也是毕达哥拉斯学派关于数的绝对本质的教义的核心部分，四元体就是一个典型例子。几何图形、天空星座和音乐的和音都取决于数，这让毕达哥拉斯学派感到欣喜若狂，因此，他们确信数是组成宇宙最基础的因素，而且还是隐藏于宇宙背后的主宰法则。难怪，毕达哥拉斯的座右铭被定为“万物皆数”。今天，我们可以从亚里士多德的两条评论中看出毕达哥拉斯学派是如何把这条座右铭奉为圭臬的。第一条是在亚里士多德编集的专著《形而上学》中，他写道：“毕达哥拉斯学派致力于研究数学，正是他们让这门科学第一次得到了真正的发展。他们通过研究，逐渐形成一种观念：数学规律也是宇宙万物的规律。”在另一段中，亚里士多德生动地描述了毕达哥拉斯学派对数的崇拜，以及四元体在其学说中担负的重要角色：“欧律托斯（Eurytus，毕达哥拉斯学派学者菲洛劳斯的学生）解决了什么物体有什么样的数的问题（例如，这是人的数，那是马的数）。在他们把数引入三角形或正方形结构之后，他利用小卵石模仿生物的外形。”最后一句“三角形或正方形”既暗指四元体，也暗指毕达哥拉斯学派中另一个令人着迷的结构——磬折形16（gnomon）。16在几何学中，指自平面四边形的一角除去一个相似形后所余的图形。——译者注Gnomon 一词的原意为“标记”，进而表示“日晷”——这是一种起源于古巴比伦的时间测量仪器，主要用于天文学观测，与日晷极为相

17似。 这种仪器似乎是由毕达哥拉斯的老师，自然哲学家阿那克西曼德（Anaximander，约公元前 611—前 547）引入古希腊的。毫无疑问，学生在几何学上深受老师的学术思想的影响，并最终将老师的研究成果应用于宇宙学，即从整体上研究宇宙的学问。后来，gnomon 一词代表了一种绘制角度的工具，有点像木匠使用的直角尺。继而，它被用来表示直角图形，即磬折形：每增加这样一个图形，就会形成一个更大的正方形（图 2-2）。值得关注的是，如果用 7 块卵石在一个 3×3 的正方形上增加一个磬折形，就会得到一个由 16 块卵石（4×4）组成的正方形。这个过程直观、形象地说明了以下特性：在由奇数 1, 3, 5, 7, 9, ... 构成的数列中，任何一组连续的数（从 1 开始）之和都会是一个平方数。例如，，，，。毕达哥拉斯学派认为，磬折形与其“包含”的正方形之间的紧密联系代表着总体上的知识，其中，正在认知的“包围”着已知的。因此，数不仅可以被用来描述物理世界，也被当作人类精神和情感过程的基础。17希思在 1921 年对这个词在不同历史时期的确切含义进行了详细分析。士麦那（Smyrna，古代小亚细亚西海岸城市，现为土耳其伊兹密尔）的数学家赛翁（Theon，约公元 70—135）在《数学，理解柏拉图的关键》（Mathematics，Useful for Understanding Plato，130）一书中对这个词有十分形象和生动的描写。图　2-2与磬折形相关的平方数或许是大名鼎鼎的毕达哥拉斯定理的前身。这条著名的定理讲的是，在任何一个直角三角形中（图 2-3），如果分别以三角形的三条边为边长作正方形，那么以斜边为边长的那个正方形的面积是以直角边为边长的两个正方形的面积之和。漫画作品《弗兰克和欧内斯特》（Frank and Ernest）用黑色幽默展现了这条定理（图 2-4）。回想一下图 2-2 中的那个磬折形，在一个 4×4 的正方形中增加一个平方磬折数，就会得到一个新的 5×5 的正方形，结果怎么样？，数字 3、4、5 可以代表直角三角形的边长。事实上，凡是具有这种特征的整数（例如对于 5、12、13 来说，有）都被称为“毕达哥拉斯三元数组”。图　2-3图 2-4　Hypotenuse（斜边）在英语中的发音就像“high on pot(enuse)”，意为“吸食大麻乐翻天”很少有数学定理能像毕达哥拉斯定理那样以发现者的名字命名。在 1971 年，尼加拉瓜共和国挑选了 10 个公式，以“改变世界面貌的 10 个数学公式”作为一组纪念邮票的主题，毕达哥拉斯定理就出现在其中的第二张邮票上（如图 2-5 所示，该组邮票的第一张上绘制的是“1＋1＝2”）。图　2-5你也许会有疑问，毕达哥拉斯是否真的是第一个明确描述这条定理的人？一些早期希腊历史学家的确这么认为。欧几里得（Euclid，约公元前 325—前 265）的《几何原本》在几何学领域和数论领域都具有非常巨大的影响力。古希腊哲学家普罗克洛斯（Proclus，约 411—485）在评论这本书时曾写道：“如果我们听到有人详细叙述古代历史，就会发现人们把这条定理归功于毕达哥拉斯本人，并称他专门献18祭了一头公牛，以庆祝这条定理的发现。” 然而事实上，毕达哥拉斯三元数组早在古巴比伦的楔形文字泥板书上就已经出现了。这块名为“Plimton 322”的泥板现存于美国哥伦比亚大学，其历史大约可以追溯到汉谟拉比王朝时代（约公元前 1900—前 1600）。除此之外，以毕达哥拉斯定理为基础的几何学在古印度建造祭坛时也有应用。古印度的圣典《百道梵书》清楚地介绍了这些建筑结构，其成书时间至19少要比毕达哥拉斯早几百年。 但是，无论是不是毕达哥拉斯本人第一个发现了这条定理，毫无疑问的是，在人类发现了把数、形状和万物编织在一起的复杂联系后，毕达哥拉斯学派才得以从细节上更深入地研究次序的形而上哲学。18读者也许已经注意到了，普罗克洛斯在评论中并没有提到他本人是否相信这一定理确实由毕达哥拉斯第一个发现。关于献祭公牛的故事出现在拉尔梯乌斯、波尔菲里和普鲁塔克等历史学家的笔下。这个故事来自阿波罗多罗斯（Apollodorus）的诗歌。然而，这些诗歌只提到了“那条著名的命题”，并没有说命题是什么。拉尔梯乌斯，公元 250 年；普鲁塔克，公元 75 年。19勒农和菲利欧扎（Renon and Felliozat），1947 年；范·德·瓦尔登（Van der Waerden），1983 年。在毕达哥拉斯学派的世界里，另一个居于核心地位的观念是“宇宙对立”。对立的形式是早期爱奥尼亚（Ionian）科学传统中的基础准则，因此，迷恋次序的毕达哥拉斯学派很自然地吸纳了这种思想。亚里士多德曾提到，甚至有一位名叫阿尔克梅翁（Alcmaeon）的医生也认为万物都是成对出现，而且两者之间处于一种神奇的平衡。他与毕达哥拉斯是同时代的人，当时也居住在克罗顿，而毕达哥拉斯那所著名的学校就坐落于此。最重要的一组对立是由奇数代表的有限和由偶数代表的无限。有限是一种力量，把次序与和谐引入无序、放纵和

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