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华东师范大学数学系《数学分析》（第4版）（下册）笔记和课后习题（含考研真题）详解试读：
第12章 数项级数
12.1 复习笔记
一、级数的收敛性
1．相关定义（1）给定一个数列{u}，对它的各项依次用“＋”号连接起来的n表达式u＋u＋…u＋… （12-1）12n
称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数），其中u称为n数项级数（12-1）的通项或一般项．
数项级数（12-1）也常写作或简单写作∑un．（2）数项级数（12-1）的前n项之和，记为 （12-2）
称它为数项级数（12-1）的第n个部分和，也简称部分和．（3）若数项级数（12-1）的部分和数列{S}收敛于S（即n），则称数项级数（12-1）收敛，称S为数项级数（12-1）的和，记作或S＝∑u．n
若{S}是发散数列，则称数项级数（12-1）发散．n
2．重要定理（1）级数收敛的柯西准则
级数（12-1）收敛的充要条件是：任给正数，总存在正整数N，使得当m＞N以及对任意的正整数p，都有 （12-3）
由定理（1），立即可得如下推论，它是级数收敛的一个必要条件．（2）若级数∑u与∑v都收敛，则对任意常数c，d，级数∑（cu＋nnndv）亦收敛，且n（3）去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性．（4）在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和．
二、正项级数
1．正项级数收敛性的一般判别原则（1）正项级数∑u收敛的充要条件是：部分和数列{S}有界，即存nn在某正数M，对一切正整数n有S＜M．n（2）比较原则
设∑u和∑v是两个正项级数，如果存在某正数N，对一切n＞N都nn有u≤v nn
则
①若级数∑v收敛，则级数∑u也收敛；nn
②若级数∑u发散，则级数∑v也发散．nn（3）设 （12-4） （12-5）
是两个正项级数．若 （12-6）
则
①当0＜l＜＋∞时，级数（12-4）、（12-5）同时收敛或同时发散；
②当l＝0且级数（12-5）收敛时，级数（12-4）也收敛；
③当l＝＋∞且级数（12-5）发散时，级数（12-4）也发散．
2．比式判别法和根式判别法（1）达朗贝尔列别法，或称比式判别法
设∑u为正项级数，且存在某正整N及常数q（0＜q＜1）．n0
①若对一切n＞N，成立不等式0
则级数∑u收敛．n
②若对一切n＞N,成立不等式0
则级数∑u发散．n（2）比式判别法的极限形式
若∑u为正项级数，且n
则
①当q＜1时，级数∑u收敛；n
②当q＞1或q＝＋∞时，级数∑u发散．n（3）比式极限不存在时的判别法
设∑u为正项级数．n
①若，则级数收敛；
②若，则级数发散．（4）柯西判别法，或称根式判别法
设∑u为正项级数，且存在某正数N及正常数l，n0
①若对一切n＞ N，成立不等式0
则级数∑u收敛；n
②若对一切n＞N，成立不等式0
则级数∑u发散．n（5）根式判别法的极限形式
设∑u为正项级数．且n
则
①当l＜1时，级数∑u收敛；n
②当l＞1时，级数∑u发散．n（6）根式极限不存在时的判别法
设∑u为正项级数，且n
则当
①l＜1时级数收敛；
②l＞1时级数发散．
3．积分判别法
设f为[1，＋∞）上非负减函数，那么正项级数∑f（n）与反常积分同时收敛或同时发散．
4．拉贝判别法（1）拉贝判别法
设∑u为正项级数，且存在某正整数N及常数r，n0
①若对一切n＞N，成立不等式0，
则级数∑u收敛；n
②若对一切n＞N，成立不等式0，
则级数∑u发散．n（2）拉贝判别法的极限形式
设∑u为正项级数，且极限n
存在，则
①当r＞1时，级数∑u收敛；n
②当r＜1时．级数∑u发散．n
三、一般项级数
1．交错级数（1）若级数的各项符号正负相间，即n＋1u－u＋u－u＋…＋（－1）u＋…（u＞0，n＝1,2，…）， 1234nn（12-7）
则称（12-7）为交错级数．（2）莱布尼茨判别法
若交错级数（12-7）满足下述两个条件：
①数列{u}单调递减；n
②，则级数（12-7）收敛．（3）若级数（12-7）满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数（12-7）的余项估计式为
2．绝对收敛级数及其性质（1）若级数 （12-8）
各项绝对值所组成的级数 （12-9）
收敛，则称原级数（12-8）为绝对收敛级数．（2）绝对收敛级数一定收敛．（3）绝对收敛级数的性质
①级数的重排
设级数（12-8）绝对收敛，且其和等于S，则任意重排后所得到的级数也绝对收敛，且有相同的和数．
②级数的乘积
设有收敛级数 （12-10） （12-11）
把级数（12-10）与（12-11）中每一项所有可能的乘积列成下表 （12-12）
若级数（12-10）、（12-11）都绝对收敛，则对（12-12）中所有乘积uv按任意顺序排列所得到的级数∑w也绝对收敛，且其和等于ijnAB．
3．阿贝尔判别法和狄利克雷判别法（1）分部求和公式，也称阿贝尔变换
设∑，v（i＝1,2，…n）为两组实数，若令ii
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]