作者：赵涛
出版社：电子工业出版社
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区间二型模糊系统的分析及控制试读：
前言
模糊控制可以处理复杂非线性系统，并已成功地应用到了许多工业领域。T-S 模糊模型是由非线性模糊权重将一系列线性子模型光滑连接而成的全局模型，它可以在凸紧集内以任意精度逼近任意光滑非线性函数。近年来，基于T-S模型的非线性系统控制得到了极大的关注与发展。传统的T-S模糊控制通常假定模糊权重不包含不确定性信息，进而通过并行分布补偿策略设计反馈控制器，在此基础上，利用李雅普诺夫稳定性理论推导反馈控制器存在的充分条件。然而，在实际应用中，非线性系统常常伴随着不确定性，例如，具有不确定参数、包含不可测变量，以及/或具有未知扰动。于是，当用传统的T-S模糊模型表示具有参数不确定性的非线性系统时，可能导致T-S模糊模型的模糊权重包含不确定性信息，此时并行分布补偿策略将会失效。相对一型模糊集，二型模糊集具有更强的处理不确定性能力，将二型模糊逻辑推广到 T-S 模糊模型会增强系统处理不确定性和非线性的能力。本书利用区间二型 T-S 模糊模型表示具有参数不确定性的非线性系统，进而设计区间二型模糊反馈控制器，在此基础上，利用李雅普诺夫稳定性理论推导控制器存在的充分条件。首先，提出了新的区间二型模糊状态反馈控制方法，并且所获结论比现有文献的类似结论具有更少保守性；然后，针对实际系统的状态通常无法直接量测，本书对输出反馈控制进行了深入研究，分别得到了静态输出反馈控制器、动态输出反馈控制器和基于观测器的状态反馈控制器设计算法。本书的主要工作包括以下几个方面。
第1章，概述区间二型模糊系统产生的背景及相关研究现状，对本书的主要研究内容进行简要说明。
第2章，提出了区间二型T-S模糊系统的区间二型模糊域值切换控制方法。提出的控制器依据系统状态值进行切换，相对单一全局控制器，提出的控制器具有更强的补偿非线性能力。通过考虑上、下隶属函数的形状信息，给出保证闭环系统渐近稳定的线性矩阵不等式条件。提出条件比文献中存在条件具有更少的保守性。
第3章，提出了新的区间二型模糊状态反馈控制器综合区间二型T-S模糊系统。通过使用模糊李雅普诺夫函数，给出了基于线性矩阵不等式的隶属函数形状依赖镇定条件。将上、下隶属函数微分信息整合到推导过程，获得了比文献结果更加放松的线性矩阵不等式条件。
第4章，提出了区间二型T-S模糊系统的静态输出反馈控制方法。通过使用普通二次李雅普诺夫函数，给出了基于线性矩阵不等式的隶属函数形状独立镇定条件。利用上、下隶属函数的形状信息，获得了具有较少保守性的隶属函数形状依赖镇定条件。在此基础上，给出了区间二型模糊静态输出反馈H控制器的线性矩阵不等式设计方∞法。
第5章，提出了区间二型T-S模糊系统的动态输出反馈H控制方∞法。为了获得基于线性矩阵不等式的镇定条件，将区间二型闭环系统表示为开环广义系统形式。通过李雅普诺夫稳定性理论，给出了保证闭环系统渐近稳定且满足给定H性能的隶属函数形状独立镇定条∞件。基于上、下隶属函数交叉乘积的界信息，定义了松弛矩阵变量，从而获得了更加放松的线性矩阵不等式条件。
第6章，提出了基于观测器的区间二型T-S模糊系统H控制方∞法。将区间二型T-S模糊系统表示的被控对象、区间二型模糊观测器，以及基于观测器的区间二型模糊控制器连接形成区间二型模糊闭环系统。利用李雅普诺夫稳定性理论和矩阵不等式技术，给出了保证闭环系统渐近稳定且满足给定H性能的隶属函数形状独立镇定条件。通∞过划分前提变量域，并且在每个子域内考虑上、下隶属函数的局部界信息，获得了更加放松的隶属函数形状依赖镇定条件。
第7章，做了结论性的评价，并对今后的工作方向进行了展望。
本书所涉及的科研成果主要在西南交通大学完成，并得到了四川省科技厅基金、国家自然科学基金、西南交通大学校内基金及四川大学科研启动基金的资助，作者在此一并致以诚挚的谢意。
本书可以作为控制类各专业高年级学生和工科类专业研究生的教材，也可供广大工程技术人员和其他大专院校师生自学时参考。
限于水平，书中难免存在不足和错误之处，敬请读者不吝指正。
作者
2017年7月
第1章 绪论
1.1 区间二型模糊系统的产生背景
[1]自L.A.Zedeh教授在1965年提出模糊集的概念起，经过几十年的发展，模糊集及系统的研究取得了长足的进步。模糊理论已经广泛[2～10]地应用于系统控制、模式识别、信号处理及决策分析等领域。模糊理论诞生之初，人们并未发现它在系统控制领域的作用。直到20世纪70年代，Mamdani成功地将模糊逻辑应用到锅炉和蒸汽机的控[11～13]制，模糊控制理论才逐渐被认识和研究。由于Mamdani模糊控制方法简单、易理解、易实施，它很快被工程师所接受。当前，Mamdani模糊控制方法已成功地应用到了工业领域，如污水处理[14][15]、水泥窑炉控制等。在实际应用中，Mamdani模糊控制方法通常可达到满意的控制性能，但闭环系统的稳定性分析一直无法得到很好的解决。模糊闭环系统的稳定性分析是一个重要的课题，但Mamdani模糊控制方法缺乏坚实的理论基础，并且也缺乏合适的数学[16]工具进行控制器性能的分析。Mamdani 模糊控制方法完全是基于启发式规则的语义表达，并且没有任何模型描述，这或多或少被认为[17，18]是导致上述问题的根本原因。为了解决Mamdani模糊控制方法所遭遇到的困难，基于模型的模糊控制方法在过去20年得到了广泛的研究和发展。
特别地，T-S模糊控制是基于模型的模糊控制的重要方法，并且[19]已经成为处理非线性系统稳定性分析及控制器综合的有力工具。[20，21]Takagi 和 Sugeno 在20世纪80年代提出了T-S模糊模型。最初，T-S模糊模型仅仅被用于非线性函数的近似，因此它在形式上还不是[20，21]一个动态系统。后来，Cao等人为了实际应用的需要，将原始[22～24]的T-S模糊模型扩展到动态模型，并用于近似非线性动态系统（下文所指的 T-S 模糊模型就是被 Cao 等人所扩展的动态模型）。自此，基于T-S模糊模型的稳定性分析和控制器设计得到了广泛的关注和发展。T-S 模糊模型是由非线性模糊权重将一系列线性子模型光滑连接而成的全局模型，在任何凸紧集内，T-S 模糊模型能够以任意精[23，25～29]度逼近任意光滑非线性函数。该理论结果保证了T-S模糊模型能够用来表示非线性动态系统。T-S 模糊模型本质上是非线性系统，但每条规则的后件又是线性系统，这种半线性化的特征使得稳定性分析和控制器综合能够方便地实施。近20年来，T-S 模糊控制已经逐渐成为学术研究的热点问题，并且成为非线性系统控制的重要方法。
传统的T-S模糊控制通常假定模糊权重不包含不确定性信息，并通常采用并行分布补偿（Parallel Distributed Compensator，PDC）策略设计反馈控制器，最后利用李雅普诺夫（Lyaounov）稳定性理论推导控制器的存在条件。在实际工业应用中，非线性系统常常伴随着不确定性，例如，具有不确定参数、包含不可测变量，以及/或具有未知扰动。于是，当用传统的T-S模糊模型去近似具有参数不确定性的非线性系统时，可能导致其模糊权重包含不确定的参数，此时 [30，31]PDC 策略不能直接用来设计模糊反馈控制器。非并行分布补偿（non-Parallel Distributed Compensator，non-PDC）策略能够处理具有不确定隶属函数的T-S模糊系统。由于non-PDC策略不要求模糊控制器与模糊系统分享相同的前提隶属函数，且 non-PDC 策略不能有效利用隐藏在隶属函数中的不确定性信息，于是其分析结果常具有[32]保守性。因此，提升系统处理不确定性的能力，并且保留T-S模糊模型的良好性质，是研究具有参数不确定性非线性系统的重点问题。
事实上，随着科技的进步和社会的发展，研究的系统越来越复杂并且通常具有不确定性，用一个确定隶属度值描述某个对象隶属于某个模糊集的程度显得越来越困难。特别是在高度不确定性环境中，传统模糊集（L.A.Zedeh 在1965年提出的模糊集称为传统模糊集，也称为一型模糊集）往往不能获得较好的效果。为了提高系统处理不确定[33]性的能力，L.A.Zedeh在1975年提出了二型模糊集的概念。二型模糊集的隶属度不再是确定值，而是表现为一型模糊集。从空间维数来看，一型模糊集可以用二维空间描述（对象和隶属度），而二型模糊集必须用三维空间描述（对象、主隶属度及次隶属度），因此二型模糊集大大地增加了设计的自由度，在高度不确定场合，二型模糊集往[34～38]往可以获得比一型模糊集更好的效果。相对一型模糊集，二型模糊集被更多的参数描述，因此计算复杂度也会相应地增加。由于二型模糊集的计算代价太大，并且研究者将更多的关注放在了一型模糊集上，二型模糊集在提出之初并未得到太多的重视。直到 Mendel 等[39～42]人提出了二型模糊集的简化计算，二型模糊集及系统才得到了学者们的极大关注。特别是在近10多年来，二型模糊集及系统理论[43，44]已经逐渐成为学术界的热点研究问题。
近年来，二型模糊集理论得到了极大的发展。然而，基于二型模糊逻辑的系统控制理论还研究得不多。特别地，关于二型模糊系统稳定性分析及镇定控制的报道还很少。正如前述，T-S 模糊模型具有逼近任意光滑非线性函数的良好能力，并且具有局部线性化的性质，而二型模糊集可以提高处理不确定性的能力。因此，将二型模糊逻辑推广到T-S模糊模型会增强系统处理不确定性和非线性的能力。二型T-S模糊系统正是在此背景下诞生的。目前，二型T-S模糊系统已经用来表示具有参数不确定性的非线性系统，但关于二型T-S模糊系统稳[32，45～52]定性分析及控制器综合的文献屈指可数。这些文献主要关注二型T-S 模糊系统的状态反馈控制，并且现有的状态反馈控制方法具有一定的保守性。获得较少保守性的设计条件可以扩大提出方法的应用范围，因此减少设计条件的保守性是T-S模糊控制领域的重要研究课题。此外，实际系统的状态通常无法直接量测，研究输出反馈控制问题具有重要的应用价值，然而据作者所知，二型T-S模糊系统的输出反馈控制仍然处于空白领域。因此，基于二型T-S模糊模型示具有参数不确定性的非线性系统，并设计二型模糊状态反馈控制器和输出反馈控制器，在此基础上，基于李雅普诺夫稳定性理论推导较少保守性的设计条件具有重要的理论意义和实际应用价值。
1.2 一型T-S模糊控制研究现状
一型T-S模糊系统是表示光滑非线性系统的有力工具。一般地，[18，19]两种方法可以获得一型T-S模糊模型。第一种方法主要基于系统的输入-输出数据，并运用系统辨识算法获得一型T-S模糊模型。当无法获得非线性系统的数学模型，而系统的输入-输出数据又可以获得时，主要采用这一方法。第二种建模方法主要适合于非线性系统数学模型已知的情形。当非线性系统的数学模型已经被建立时，运用扇区非线性法或局部近似方法可以获得期望的一型T-S模糊模型。一般地，一型T-S模糊模型可以通过如下的规则描述。
系统规则 i：如果是，且……，且是，则
式中，为相关于函数的一型模糊集， a=1，2，…，Ψ， i=1，2，…， p；为状态向量；为控制输入向量；为前提变量。
经过单点模糊，乘积推理，加权平均去模糊化可得全局模型为
其中
式中，为隶属度，为模糊权重。
针对已经建立的一型T-S模糊模型，PDC策略常常用来设计各类模糊反馈控制器（如状态反馈控制器、静态输出反馈控制器、动态输出反馈控制器、基于观测器的状态反馈控制器）。PDC 策略的主要思想就是模糊控制器与模糊系统分享相同的前提隶属函数。基于PDC策略，一型T-S模糊状态反馈控制器可以定义如下。
控制器规则 i：如果是，且……，且是，则
式中，（j=1，2，…， p）为控制器的反馈增益。
于是，全局的PDC状态反馈控制器可定义为
结合式（1-2）和式（1-6），在 PDC 策略下，一型 T-S 模糊闭环系统可以定义为
接下来，很多文献就是致力于找到反馈增益矩阵G（j=1，2，j[53～59]…， p），使得一型T-S模糊闭环系统式（1-7）渐近稳定。
然而，当一型T-S模糊系统的模糊权重包含不确定信息时，PDC策略将失效。文献[30，31，60～62]提出了基于non-PDC策略的模糊状态反馈控制器。本书所指的 non-PDC 策略不要求模糊控制器与模糊系统分享相同的前提隶属函数，因此non-PDC策略比PDC策略具有更大的设计自由度。基于non-PDC 策略，一型T-S模糊状态反馈控制器可以定义如下。
控制器规则 j：如果g （θ（t））是，且……，且g（θ（t））1Ψ是，则
于是，全局的non-PDC状态反馈控制器可定义为
其中
类似地，表示隶属度，h（θ（t））表示模糊i权重。在non-PDC技术下，模糊控制器的模糊权重与模糊系统的模糊权重不相同，即，i=1，2，…， p。结合式（1-2）和式（1-9），在non-PDC策略下，一型T-S模糊闭环系统可以定义为
因为前提变量θ（t）可以自由选择，式（1-9）中的 non-PDC 控制器比式（1-6）中的PDC控制器具有更强的鲁棒性。然而，non-PDC策略不再具有PDC策略的某些优点，特别是很多减少保守性的方法不能用于non-PDC策略。于是，基于李雅普诺夫稳定性理论寻找式（1-12）中的G（ j=1，2，…， p），通常具有较多的保守性。j
无论是对于PDC策略还是non-PDC策略，如何减少设计条件的保守性，成为当前研究的重要课题。到现在为止，主要有三种方法减少
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