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考研数学（一）历年真题与模拟试题详解试读：
第一部分 历年真题及详解
2008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解
一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）
1设函数
则f′（x）的零点个数为（ ）。
A．0
B．1
C．2
D．3【答案】B【考点】函数求导公式22【解析】由题意得f′（x）＝2xln（2＋x），且ln（2＋x）≠0，所以x＝0是f′（x）的唯一零点，故应选B项。
2函数f（x，y）＝arctan（x/y）在点（0，1）处的梯度等于（ ）。→
A．i→
B．－i→
C．j→
D．－j【答案】A【考点】梯度的定义和求法【解析】由梯度定义得x
3在下列微分方程中，y＝Ce＋Ccos2x＋Csin2x（C，C，12312C是任意常数）为通解的是（ ）。3
A．y‴＋y″－4y′－4y＝0
B．y‴＋y″＋4y′＋4y＝0
C．y‴－y″－4y′＋4y＝0
D．y‴－y″＋4y′－4y＝0【答案】D【考点】齐次线性微分方程的特征多项式、特征值、通解x【解析】因为y＝Ce＋Ccos2x＋Csin2x（C，C，C是任意常数）123123为通解，所以微分方程的特征值为1，±2i，于是特征多项式为（λ－1）32（λ－2i）（λ＋2i）＝0，即λ－λ＋4λ－4＝0。故微分方程为y‴－y″＋4y′－4y＝0。
4设函数f（x）在（－∞，＋∞）内单调有界，{x}为数列，下列n命题正确的是（ ）。
A．若{x}收敛，则{f（x）}收敛nn
B．若{x}单调，则{f（x）}收敛nn
C．若{f（x）}收敛，则{x}收敛nn
D．若{f（x）}单调，则{x}收敛nn【答案】B【考点】极限收敛的单调有界定理【解析】对于B项，若{x}单调，而由题设函数f（x）在（－∞，＋∞）n内单调有界知，{f（x）}单调有界，从而收敛。故选择B项。n3
5设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A＝O，则（ ）。
A．E－A不可逆，E＋A不可逆
B．E－A不可逆，E＋A可逆
C．E－A可逆，E＋A可逆
D．E－A可逆，E＋A不可逆【答案】C【考点】矩阵可逆的定义及矩阵的运算法则332【解析】由A＝O得，A＋E＝E⇒（A＋E）（A－A＋E）＝E，所以A332＋E可逆。由A＝O得，A－E＝－E⇒（E－A）（A＋4＋E）＝E，所以E－A可逆。因此，选择C项。
6设A为三阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图1所示，则A的正特征值的个数为（ ）。
图1
A．0
B．1
C．2
D．3【答案】B【考点】考查双叶双曲面，特征值与标准型的关系【解析】图1为双叶双曲面，其方程的标准型为
在题设条件下，矩阵A的正特征值的个数就是标准方程中正项的项数，故A的正特征值的个数为1。
7设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F（x），则Z＝max{X，Y}的分布函数为（ ）。2
A．F（x）
B．F（x）F（y）2
C．1－[1－F（x）]
D．[1－F（x）][1－F（y）]【答案】A【考点】分布函数的定义与求法，相互独立的随机变量的性质【解析】由X，Y独立同分布知，Y的分布函数也为F（x）。记Z的分布函数为F（x），则Z
F（x）＝P{max{X，Y}≤x}＝P{X≤x，Y≤x}＝P{X≤x}P{Y≤x}（X与Z2Y独立）＝F（x）
8设随机变量X～N（0，1），Y～N（1，4），且相关系数ρ＝1，XY则（ ）。
A．P{Y＝－2X－1}＝1
B．P{Y＝2X－1}＝1
C．P{Y＝－2X＋1}＝1
D．P{Y＝2X＋1}＝1【答案】D【考点】考查相关系数的相关概念【解析】方法一：已知1＝ρ，则X，Y正相关，排除A、C两项。由XY题意知EX＝0，EY＝1，又E（ax＋b）＝aEx＋b＝1，1＝2×0＋b＝1，可得b＝1，因此排除B项。因此，选择D项。
方法二：由X～N（0，1），Y～N（1，4）知EX＝0，DX＝1，EY＝1，DY＝4。由于ρ＝1，所以存在常数a，b，使得P{Y＝ax＋XYb}＝1，从而EY＝aEX＋b，得b＝1。而
得a＝2，因此，选择D项。
二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在题中横线上。）
9微分方程xy′＋y＝0满足条件y（1）＝1的解是y＝______。【答案】1/x【考点】用分离变量法求解微分方程【解析】xy′＋y＝0⇒y′/y＝－1/x，两边积分得y＝C/x，C为任意常数。将y（1）＝1代入得C＝1，故y＝1/x。
10曲线sin（xy）＋ln（y－x）＝x在点（0，1）处的切线方程是______。【答案】y＝x＋1【考点】切线方程的求法及隐函数的求导【解析】在sin（xy）＋ln（y－x）＝x两边对x求导，将y看成x的函数，得cos（xy）（y＋xy′）＋（y′－1）/（y－x）＝1。则y′（0）＝1，所以在点（0，1）处切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1。
11已知幂级数在x＝0处收敛，在x＝－4处发散，则幂级数的收敛域为______。【答案】（1，5]【考点】考查幂级数的收敛域及级数的收敛性【解析】因为幂级数在x＝0处收敛，在x＝－4处发散，则级数收敛，发散，从而幂级数的收敛域为（－2，2]。故幂级数的收敛域为（－2＋3，2＋3]，即（1，5]。
12设曲面∑是的上侧，则______。【答案】4π【考点】考查高斯公式的条件和利用高斯公式求曲面积分222【解析】添加曲面∑：z＝0，x＋y≤4，取下侧，记D＝{（x，y）|x12＋y≤4}，则可应用高斯公式
13设A为二阶矩阵，α，α为线性无关的二维列向量，Aα＝0，121Aα＝2α＋α，则A的非零特征值为______。212【答案】1【考点】相似矩阵的性质：相似矩阵具有相同的特征值【解析】已知Aα＝0，Aα＝2α＋α，则1212
令P＝（α，α），因为α，α线性无关，所以P可逆，故1212
即A，B相似。故A与B有相同的特征值，易求出B的特征值为0，1，所以A的非零特征值为1。2
14设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P（X＝EX）＝______。【答案】1/（2e）【考点】泊松分布的定义，期望的性质【解析】因为随机变量X服从参数为1的泊松分布，则X的概率分布为－2221P（X＝i）＝e/i!，则EX＝DX＋（EX）＝1＋1＝2，故P{X＝EX}－1＝P{X＝2}＝e/2＝1/（2e）。
三、解答题（15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15（本题满分9分）
求极限【考点】考查洛必达法则，等价替换
解：
16（本题满分9分）
计算曲线积分，其中L是曲线y＝sinx上从点（0，0）到点（π，0）的一段。【考点】曲线积分的求法公式及定积分的求法
解：
17（本题满分11分）
已知曲线
求曲线C上距离xOy面最远的点和最近的点。【考点】考查点到直线的距离公式，函数的极值
解：设曲线上的任意一点为（x，y，2z），则（x，y，z）到xOy面的距离为|z|，等价于求函数H＝z在条件222x＋y－2z＝0与x＋y＋3z＝5下的最大值点和最小值点。2222
设F（x，y，z，λ，μ）＝z＋λ（x＋y－2z）＋μ（x＋y＋3z－5）。
由
解得
或
根据几何意义得，曲线C上存在距离xOy面最远的点和最近的点，因为点（－5，－5，5）和（1，1，1）到xOy面的距离分别为5和1。所以，（－5，－5，5）为最远点，（1，1，1）为最近点。
18（本题满分10分）
设函数f（x）连续，（Ⅰ）利用定义证明函数可导，且F′（x）＝f（x）；（Ⅱ）当f（x）是以2为周期的周期函数时，证明函数也是以2为周期的周期函数。【考点】可导的定义、周期函数的定义
解：（Ⅰ）证明：对任意x，由于函数f连续，所以
其中ξ介于x与x＋Δx之间。由
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]