作者：霍格尔·丹贝克,达纳·麦肯齐
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扔课本系列02：拯救数学(高效理解数学思维！0压力玩转数学！)试读：
前言
Vorwort本书在我脑海里已经酝酿有一段时间了。我在《明镜》网络版开设的《分子》专栏上定期写有关数学的专题，已逾五年。其中，大部分是关于现代科学的问题，例如：“谷歌如何计算搜索的命中列表？”其实，它采用了由数十亿个方程组成的系统。专栏里还有日常生活中的问题，比如用数学缩短超市排队时间的技巧。
我从点击率统计结果中了解到，很多人都对数学很感兴趣，多数文章的点击量都有近20万。但我也知道，没有其他学科能像数学这样，把人分成了两类：一类人被它征服，另一类人努力征服它。这是为什么呢？为什么经验丰富的记者同事们会羞怯地来问我如何计算百分比，难道他们对数字毫无感觉吗？
对此，我自己没想到任何有说服力的答案，所以我就开始专心研究。我阅读了数十本数学家和教育学家的专著和专业论文。渐渐地，我总结出了不少中心论点，写于本书。
本书分为三部分。第一部分（前三章）的主题是“有多少数学藏在我们的生活当中”。大自然为我们带来了很多很多数学——数量远远超出你的想象！还有，为什么数学计算对大脑是一项要求很高但也被高估了的任务？
第二部分（第四章）要讨论的是，尽管我们有这么好的先天条件，为什么仍会出现“数学恐惧症”。你可能会想，这很大程度上归因于小时候的数学老师教得不好。但也有可能归因于你父母潜移默化的影响。其实，学数学的关键是要有创新的能力，还要选择适合自己的方式。如果学生的思维都被固定了，也就失去了思考的乐趣。
第三部分（后五章），我会带你踏上一段美妙的数学之旅，这些在学校里可不一定教。哪些技巧能解答看似无解的问题？我会邀请你和爱因斯坦一道，发掘清晰思维的魅力与力量。我也会邀请你把学数学看成体验艺术——而不是用陌生的思维工具做出公式化的解答。不仅如此，我还发现了一个天大的误解，用医学术语说，这种可悲的误解已变成一种“慢性病”。因为本书里所讲的“数学”，跟你们很多人理解的“数学学科”真的没太大关系。
你肯定听说过一种普遍观点：数学不过是计算，将数字代进公式里，然后解答应用题。甚至，很多数学老师都不知道，数学不是将单调的数字代入鲜少有人理解的公式。他们对这一学科的理解，和许多“数学受害者”一样：有题目，有固定的解法，只要将所有数字正确代进去，就能得到正确答案。
很多老师、学生和家长似乎掉进了一种恶性循环。成年人让孩子们害怕数学，孩子们长大了，也对自己的孩子这样做。只有一部分人能努力在几何、二项式公式中成功突围，开辟出一条数学道路，而大多数人，哪怕面对再简单的数学，也没能真正理解。
糟糕的是，有些老师和教育专家仍然将数学看成一种残酷的标准，用它把学生分成先进和后进。在德国，数学和德语一样是主课，谁要是能学好数学，将来就能发展得更顺利，而其他学不好数学的学生，必须多努力一倍才能避免被淘汰。德国传统的教育就是这样的。数学成绩不好，可能会导致学生无法被推荐进入重点高中，或者高中毕业会考成绩平平。
我想大多数人在数学上都遇到过巨大的障碍，但我们德国人从不反思可能是数学教育出了问题，反而觉得，这恰恰说明不是人人都适合数学。这简直大错特错。
本书德文版的题目是《孔洞越多，奶酪越少》（Je mehr Löcher，desto weniger Käse）。没错，数学的道理确实就像“气泡多，奶酪就少”这么简单。这句谚语人人皆知，但是哪怕数学问题再怎么复杂，只要巧妙应对，也一样简单。你将会在第五、六章里看到很多有趣的例子。
我希望，你会在冥思苦想中明白：这本书里的数学，可能和在学校里教的数学有很大的区别。书后部分有40道精挑细选的各种难度的测试题，你尽管尝试。一些题是我自己设计的，另一些是我在专业书或奥数题库里发现的。每道题旁边用星号“*”标明了难易程度，一星代表“简单”，四星就表示你得多费些工夫才能解开。你可不要太早放弃，也不要立马去瞧答案！你每次独立完成一道题，自信心就会增加一分。
无论你对数学抱持过怎样的看法，作者都坚信你在读完本书后会有所收获。学数学就像踢足球，像听音乐，像下棋：有明确的规则，你可以完全按照规则行事，但如果你真想从中获得乐趣，那就尽情挥洒创意吧！
祝你在阅读、思考、钻研和发现中找到乐趣！霍格尔·丹贝克一、我们天生的数量感几个月大的婴儿就已经能做简单的加法了。宝宝的计数和运算能力令人惊讶，而且确实是与生俱来的。那么，我们人类的数量感到底从何而来？我们身上到底隐藏了多大的数学潜力？
木偶动画《芝麻街》有一集介绍了集合论：厄尼坐在一个盘子前，盘子里装着属于伯特的5块饼干。厄尼负责看管饼干，因为饼干怪会来抢走并吃光它们，但厄尼对这些甜甜的饼干馋得不行。最后他拿起了其中一块，说：“我就啃一小口，伯特肯定不会发现。”
于是，贪心的念头变成了现实。厄尼先啃了一小口，又啃了一小口——这块饼干只剩一半了。然后，他又小心地把饼干再啃成一个圆形。糟糕，这块饼干比其他饼干小太多了。为了掩盖“罪证”，厄尼决定让这块饼干彻底消失——用嘴销毁证据。
过了一会儿，伯特来了，说道：“我现在想吃我的5块饼干了。”说着将饼干逐一清点。“1、2、3、4——厄尼，我这只剩4块了。”“你确定？”“是，确定。”厄尼陷入了麻烦，但他又有了个鬼点子：“等会儿，让我把这些饼干在盘子上移动一下。”他移动了饼干，改变了排序。“看，又是5块了。”他说道。
靠移动饼干来改变数量，当然会失败。数学家称之为“数量守恒”现象：无论饼干如何排列，数量都不会改变。令人惊讶的是，婴儿和幼儿早已知晓了这种现象。虽然孩子们带给我们吵闹的印象，很难让我们想到这一点，但我们也很清楚，厄尼移动饼干的把戏永远都不会成功。
婴幼儿也可以计算——这一惊人的发现距今不过短短30年。根据瑞士发展心理学家让·皮亚杰（Jean Piaget，1896—1980）的理论，儿童最早要到5岁才能形成对数量的感知。他曾以一个实验来证明，其中使用了共计6个瓶子和杯子，接近《芝麻街》里的饼干数量。
他先把玻璃杯和瓶子分别排成行。2行彼此平行，2个瓶子和2个杯子之间的距离相同。实验者问几个4岁儿童：是瓶子更多还是杯子更多？所有孩子都回答“一样多”。很明显，他们对这2行瓶子和杯子建立了“1∶1”的匹配关系。皮亚杰的错误
实验者将这些玻璃杯移动，使它们之间的距离更远，玻璃杯这一行也因此变得更长了，另一行的瓶子则保持原状。当被问到现在杯子多还是瓶子更多时，许多孩子都回答“杯子多”。于是，皮亚杰得出结论：孩子在4岁时尚未形成数量感，没有“数量守恒”的概念，因为他们不能理解：无论怎么移动物体，其总数并不会改变。
当然，身为心理学家，皮亚杰不仅对数量理解力感兴趣，还对儿童的学习过程、语言和运动能力颇为精通。皮亚杰的研究促进了一场心理学的革命，因为这些研究都以实验为基础，部分实验对象还是他自己的孩子。但可惜的是，正如我们现在所知，他的部分实验是有缺陷的——结论也是错误的。在移动玻璃杯这个实验里，皮亚杰没有考虑到实验员和孩子间的对话可能会影响实验结果。因为这些4岁孩子会认为被移动过的玻璃杯的总数一定发生了改变——不然，为什么这个实验员会特意针对这种改变提问呢？
鉴于这些问题，让婴儿来参与实验似乎是不可行的。那我们究竟如何能知道婴儿脑袋里都想了什么？就连新手父母都经常无法正确理解子女的哭声，那么研究者又该如何了解这些小家伙感知到了什么，正在思考些什么？
1980年，心理学家普伦蒂斯·斯塔基（Prentice Starkey）找到了新的思路——如果婴儿不能说出他们看到、感受、思考的东西，那我们至少可以观察他们是否对某个东西感兴趣。斯塔基的想法是，习以为常的东西会让人觉得无聊，而出乎意料的东西会令人兴奋，那么这也应该适用于婴儿的行为。
他将72个16—30周大的婴儿带进了费城大学的实验室。宝宝们会在一块屏幕上看到一些点点。起初，屏幕总是只显示两个点，不过它们的排列顺序会发生变化。斯塔基测试了每个孩子盯着显示屏上的两个点有多长时间，答案是——平均2秒。
接着，他引入新的变化：当从一张图像变为另一张图像时，不仅点的排列发生了变化，还会有新增的第三个点。这显然引起了婴儿们的注意，多看了0.5秒。斯塔基据此总结，婴儿们注意到了从两个点到三个点的变化，所以，他们在会说“1、2、3”之前，就已经对数量有了基本的感知。婴儿不仅会哭，还会计算
在我们发现这第一个惊喜之后不久，其他惊喜也接踵而至。1992年，心理学家凯伦·温（Karen Wynn）在《自然》期刊上发表了关于婴儿令人惊讶的计算能力的文章，在此之前，我们从不敢相信婴儿也会运算。这位女科学家将5个月大的孩子们放在木偶戏台前。在戏台的一侧，有两个玩偶相邻并藏在幕后。不久，温将幕布拉开到一边，让孩子们可以看见这两个玩偶。在自然面前，数学就像福尔摩斯眼前的证物。这位虚构的侦探可以从烟头推断出吸烟者的年龄、职业和财务状况。——伊恩·斯图尔特，英国数学家
研究人员一次次地重复这个实验。有时如他们预料的那样，幕布后面有时有两个玩偶，有时却只有一个。因为在部分实验里，温将其中一个玩偶拿走了。我们通过分析监控记录得知，在只有一个玩偶时，婴儿们比看到两个玩偶时盯着戏台的时间长了整整一秒。
很明显，婴儿们已经知道：一个玩偶加上一个玩偶等于两个玩偶。当他们发现在幕布后面只有一个玩偶时，就成了意外的结果，所以他们盯看的时间就延长了。进一步实验表明，婴儿还能发现减法错误。例如，当幕布后面有两个物体时，让婴儿们明显看到其中一个物体被拿走，他们会认为幕布后面必定还剩一个物体。
凯伦·温进一步反驳了皮亚杰在20世纪50年代所做的婴儿学习实验。皮亚杰将一个立方体藏在毯子下面，观察孩子们是否会伸手去抓它。结果是，婴儿没去抓毯子。皮亚杰因此得出结论：小于10个月的婴儿，认为他们周围的物体不是独立的物体。因此，对于婴儿而言，一个立方体被推进毯子下面，它就不存在了。
但是，凯伦·温的研究表明，即使物体隐藏在毯子下或遮盖物后面，婴儿也显然知道物体仍在那里。心理学家称这种心理为“物体恒存”效应。皮亚杰完全忽略了一个事实——那么小的婴儿根本无法充分调动胳膊和手去抓开毯子。
婴儿能掌握“1+1=2”，就已经让学界跌破眼镜了，但事实证明，婴儿的运算能力比这更复杂、更精确。1995年，心理学家托尼·西蒙（Tony Simon）在一项对5个月婴儿的研究里证明了这一点。他重复了温的玩偶实验，让这些玩偶藏在遮盖物后面消失不见，然后掀开遮盖物。但是，他的团队改变了一个细节：除了孩子们预期的两个玩偶之外，有时戏台上还会出现两个球。不过，婴儿们并不感到惊讶，毕竟两个球也是两件。但如果遮盖物后面只出现了一个球，孩子们仍会感到惊讶。
西蒙的实验，不仅证实了婴儿掌握了基本的算术技能，还说明了他们有惊人的抽象能力。两个球和两个玩偶的共同点：都是两个物体。
多亏了现代的大脑研究，我们才能知道，当婴儿发现运算错误时，他们是在使用与成年人相同的大脑区域。2006年，以色列心理学家安德烈娅·伯杰（Andrea Berge）重复了温的实验，但她另外还借用了脑电图（EEG）来测量脑电波。孩子们被戴上头罩，头罩上装了许多小型传感器，用以测量脑电波。
伯杰记录到了6—9个月大的测试对象的额叶活动明显增加，也就是与成年人在发现错误、表现失望和解决矛盾时活跃的脑部区域一致。
又是一个惊人的结论！在婴儿还不会说话时，他们脑中用于基本运算的组织就已经形成并开始活跃了。大于“5”的困难
早在1871年，英国经济学家威廉姆·斯坦利·杰文斯（William Stanley Jevons）就已经观察到，我们成年人可以轻松理解较小的数量。在著名的“豆子实验”中，他让测试对象们迅速地看一眼装有豆子的盒子，然后让他们说出盒子里豆子的数量。测试对象们在盒子里有1—4颗豆子时都能答对，当豆子大于或等于5颗时，就出了问题。显然，在不一一清点的情况下，仅凭直观来感知数量，我们人类最多只能感知到4。研究人员在动物中也观察到了类似的现象，具体将在下一章细说。
尽管如此，人类已经找到了一种方法来弥补我们在快速计算大于5的数量时的缺陷。古罗马人，还有中美洲的玛雅人，都为大于5的数字专门设计了新的符号。数字1、2、3、4在古罗马写作I、II、III、IIII，而玛雅人写作、、、。让古罗马人一眼区分出II和III并不难，但怎么区分IIIII和IIII呢？所以，他们没有采用很难分辨的5条竖线，而是用了一个新符号“V”来表示5；而玛雅人将数字写作：
显然，人类在识别大于4的数字时所遇到的困难，促使了古代数字系统的产生。我们至今仍在使用着古罗马人和玛雅人的技巧，当计数时，我们会画4条相邻的竖线，不会再画第五条竖线，而是穿过4条竖线画一条横线。这样我们一眼就能看出这是5了。
那我们如何面对更大的数量和数字呢？小孩子们只会数“1、2、3、4……”但大多数成年人也没有比小孩好多少，还好成年人已经学会了估算。例如，站在站台上，我们可以肯定地说：“有四五十个人在等火车。”但是，只有当我们真的清点人数时，才会知道正好有48个人。很多人理解不了世界上大多数的事情，因为这些人没有学过数学。——阿基米德，古希腊数学家
心理学家已经仔细研究了人类如何估算较大数量，以及是哪些因素导致了估算结果跟实际结果出现较大偏差。例如，当面对一些均匀分布的点时，我们会倾向于高估数量；相反，不均匀分布的点会让我们低估数量。
另外，有意思的是，我们可以通过一个简单技巧来提高我们的估算准确性：在我们估计总数量后，只需要在过程中时不时地获知确切点数（人数）。假如结果错得离谱，我们下次就不会犯同样的错误了。我们的估算机制，必须时不时地重新校准——就像天平需要校准一样。用估数代替数数
当我们比较两组数量时，会出现两个有意思的现象。请观察下图里左边和右边的点。
哪边的点更多？经过你的比较，下图里哪一边的点更多，是左边还是右边？
第一幅图相对容易些。左边明显比右边更多：左边有15个点，右边只有11个。第二幅图的情况更困难一些。很可能你会猜两边点数相同，但这肯定不对。在这幅图里，右边比左边多四个点。不过，当比例为50∶54时，我们几乎无法感知其中的差异。这就是心理学家所说的“范畴大小”效应。当我们比较数量时，数量越大，反应时间就越长。
为了识别第二幅图里左右两边的差异，点数的差距必须进一步加大，例如50∶65。科学家们称之为“距离大小”效应。两个数值相距越大，我们就越容易区分它们。
令人意外的是，除了点数，印刷体数字也会让我们产生这种效应。1967年，有两位心理学家罗伯特·莫耶尔（Robert Moyer）和托马斯·兰道尔（Thomas Landauer）对此进行了实验。他们向几个成年测试对象展示了一对大小不同的个位数，如3和5。测试对象必须马上判断两个数字中哪一个更大，并按下相应按钮。实验者不断重复地给测试对象看新数字对，并持续监测他们的反应时间。
你觉得实验结果如何？他们对所有数字对的反应时间都一样？至少我们原本的预期是这样，毕竟我们都知道9大于8，也大于2，因此，在9∶8和9∶2这两种情况下的反应时间肯定是相同的。
但事实如何呢？当两个数字相差较大时，测试对象需要约0.5秒做出决定。他们在面对9∶2这种组合时几乎不会犯错，但当他们在面对5∶6这种相邻数字对时，结果完全不同，他们不仅经常犯错，平均反应时间也比9∶2这种数字对的反应时间长了0.1秒。恼人的数字对
法国科学家斯坦尼斯拉斯·狄昂（Stanislas Dehaene）试图在实验中通过有针对性的训练来消除这种距离效应。为了能更好地进行训练，他的测试与莫耶尔和兰道尔的测试类似，但更简单。计算机显示屏显示出4个数字1、4、6、9中的一个。测试对象是来自俄勒冈大学的一批学生，他们只需要按下按钮来决定被显示的数字是大于5还是小于5。
狄昂认为，这个过程非常简单：“你想不到比这更简单的了：当你看到‘1’或‘4’时，就按左边的按钮；看到‘6’或‘9’，就按右边的按钮。”测试对象们练习了很多天，总共完成了多达1 600轮测试。
但是最后，在看到与5相邻的数字4和6时，大学生们的反应时间始终比看到1和9时要长。虽然反应时间随着实验的进程都更短了，但将4∶6、1∶9进行比较时，反应时间的变化并不明显。
狄昂反复思考，到底该如何解释这个结果。最后他得出的结论是：当比较两个数字时，大脑显然没有使用已经存储的表格，比如说，在这张表格里写着：6＞5。在这种情况下，决策时间长短将不取决于数字间的差距。唯一合理的解释是：人脑里有一种数轴。狄昂猜想，在大脑的犁沟和褶皱的某处，一定有某种模拟的阿拉伯数字。
你可以把数轴想象成裁缝的一卷旧卷尺，要确定9是不是大于1，快速看一眼位置就够了，但遇到5和6就得更仔细，到底哪个数字在卷尺上更靠右——在某些情况下你也不能很快判断。小幽默 一个数学家教育他的孩子们懂礼貌：“我告诉过你们n次了，我告诉过你们n+1次了……”
还有一个实验为数轴的存在提供了确凿的证据。这次，测试对象们会看到31—99之间的某些两位数，他们必须判断一个数字是大于65，还是小于65。结果证明：数字越接近65，被测试者的反应时间就越长。
同时，对判断起到关键作用的可能是十位上的数？这一假设并未得到证实。其实，当他们看到71和65时，会比面对69和65时更快地判断；当看到79和65时，反应时间还会更短。这确实证明，不是十位上的数字，而是与65的距离，才是影响判断时间的最关键因素。
我们脑海里的数轴还有一个有趣的特征：这个数轴的量表，不像人们所想的那样是呈线性的，而是呈对数的。也就是说，1—10的距离与10—100的距离没什么区别。
因为，在看到较大数值时，我们脑海中的量表整个被压缩了，所以，我们无法绝对感知数字之间的距离，而是只能相对感知。因此，我们会觉得1和2之间的距离大于11和12之间的距离，尽管两者间的距离都是1。
这个原则也有助于我们比较更大的数量。如果我们能感知到10只绵羊和13只绵羊之间的差别，那么扩大20倍的羊群，即200只绵羊和260只绵羊之间的差别，我们也能成功感知到。天生的对数
德国生理学家恩斯特·海因里希·韦伯（Ernst Heinrich Weber，1795—1878）在170多年前发现了上文这种联系，即“韦伯定律”：“人类以对数的方式感知世界。”这不仅适用于点的集合或者绵羊群，也适用于人的感官，例如感受压力差或温差。
举例说明：假设你有两块重量不同的巧克力，一块重100克，另一块重103克。你有可能确实能感知到3克的差别。接着，你又得到了两个分别为1 000克和1 003克重的砝码。这时，你就感知不到什么差别了，你会觉得两个砝码一样重。现在，将1 003克的砝码换成一个1 030克的砝码。瞧，你就又能感知到差别了。
我们内心的对数性量表，也在一个简单的思想实验中有所显露。在1—2 000的数字空间中，随机数生成器分两次各择出10个数字。在1—2 000的区间中，这两行中的哪一行的数字分布得更均匀？
A：868、7、456、1 089、667、1 433、1 988、232、1 678、1 266
B：4、155、345、599、19、1 566、1 067、66、733、1 988
由于你觉得B行的数字似乎分布得更均匀，所以B行就是正确答案？在A行中，好像大数字太多了，但这种直观印象是错的。在A行中，数字间的差距约为200。我们将这些数字根据大小排序就能发现这一点：7、232、456、667、868、1 089、1 266、1 433、1 678、1 988。
在B行中，数字主要集中在1—100、1—1 000的区间里，只有三个大于1 000的数字。所以，明显A行分布得更均匀。
狄昂对此有一个精简的解释：我们更喜欢B行数列，是因为它更适合我们脑海中那个被压缩的数轴，即对数数轴。位于数轴前端的较小的数字，比起较大的数字更显眼。
另一个实验的结果，为根植于我们脑海的对数提供了鲜明的证据，它选取了分别来自美国和南美亚马孙雨林的儿童和成年人进行研究。南美洲原住民蒙杜鲁库人只知道基本数字系统，没有接受过任何现代数学教育。
研究人员在显示屏上为测试对象显示了数量在1—10之间的点。然后，测试对象必须通过控制器在一条量表线上调准，并标出相应点数的位置，这条线轴只有左边标有1，右边标有10，其余刻度并未标注。
美国的测试对象们干得怎么样？如预期一样，他们做到了：他们标出的5几乎正好在中间，而9非常靠近10，2在1的右边一点点。现在我们将前面通过控制器调准标注的距离绘制在一张图表里，就会得到一条近似直线。
那么蒙杜鲁库人呢？他们的操作很神奇。面对较小的数字，他们移动控制器标出的数字更靠右一些，1几乎到了2的位置，2则几乎到了4的位置。他们标出的小数字间的距离，大于直线量表上的小数字间的真实距离。而面对7、8、9这些较大数字则恰好相反，他们标出的间距缩小了很多。
因此，在上图中，蒙杜鲁库人标出的数字不是呈直线，而是呈对数曲线。科学家在早期对美国儿童进行的实验中也观察到了这种曲线。但是，只有当这些儿童没有在幼儿园和小学学过数学时才会发生。因此，对数性量表显然是与生俱来的，线性量表则是通过学习获得的。
就连完全没学过对数的人都会感到惊讶，原来他们早在上学前就知道对数了。后来在学校里，老师想教他们如何求对数，他们反而不会了。
本章中的许多例子足以说明：不管是婴儿、幼儿还是成年人，当人类在面对数字时，都具备惊人的天赋，但只有极少数人发现了这一点。这真是太可惜了！我们甚至还能利用这种天生的数量感来理解更多像对数一样复杂的现象。习题习题1*
两个自然数之和为119，它们的差为21。请问：这两个数分别是多少？习题2*
池塘里长了一片睡莲，它们覆盖的区域每天会翻一倍。60天后，池塘里全部铺满了睡莲。请问：池塘被睡莲覆盖一半要多少天？习题3**
桌子上有9个球，其中一个比其他球都重一些。你有一台带两个托盘的传统天平，但你只能使用它两次。请问：如何找出较重的那一个球？习题4**
如果你只有10分、5分和2分的欧元硬币，如何才能正好付给别人31分？请找出所有可能性！习题5***
有个学者想进行6天的徒步旅行穿越沙漠。他和他的几个搬运工每人只能携带足够一个人用4天的水和食物。请问：这个学者必须带几个搬运工？二、动物们的数学天赋猩猩、鹦鹉、蜜蜂，甚至连老鼠都会数数，它们甚至还会计算。这种能力是动物们物竞天择的优势，例如，在觅食时的优势。动物的数学天赋已经被科学家研究过很多次了，每次结果都很有趣。
知道有多少敌人在对你虎视眈眈，这总是好事。这不仅适用于住在山洞里的原始人，也适用于动物，他们不知道自己能不能打得过灌木丛后面的敌人。
尽可能准确地掌握对手的数量，这对动物也很重要。谁若是低估了敌方数量，有时就会付出生命的代价。因为计数中的一个小小错误，可能会带来致命的后果。那么，动物是如何获知同类的数量的呢？
1994年，剑桥大学的动物学家在坦桑尼亚的塞伦盖蒂公园对狮子进行了一项有趣的研究。凯伦·麦库姆（Karen McComb）和她的同事们想知道母狮子的计数能力有多好。大自然中常常有多达20头的母狮子群居，狮群之间通常井水不犯河水，都有自己的领地。然而，狮群之间总是不期而遇，甚至会有激烈的战斗。多数时候数量较多的狮群会获胜。
吼声在狮子的交流中起着重要的作用。狮子会单独吼叫，也会成群吼叫，它们一头接一头地轮流发出狮吼，类似合唱团唱歌。麦库姆和她的同事们录下了1头狮子的吼声和由3头狮子组成的小群体的吼声。之后，研究人员们通过扬声器将录下的吼声播放给200米外的母狮群听。母狮们就会不断地听到陌生的狮子的吼声。上帝只创造了整数，其他所有数都是人创造的。——利奥波德·克罗内克，德国数学家
扬声器的小伎俩开始起作用了：这些大型猫科动物听得非常认真，然后根据自己狮群的大小来决定是否接近这些“入侵者”。如果扬声器发出1头狮子的吼声，那么由3头或更多母狮组成的狮群，每10次中有7次会进攻，也就是攻击概率为70%。
但如果咆哮声是由3头狮子发出来的，这些母狮子就明显更加谨慎了。它们自己的狮群要达到5头以上，才会冒着70%的风险发动攻击。塞伦盖蒂的扬声器实验表明：狮子会通过吼声来识别出有多少敌人。它们敢不敢攻击入侵者，取决于对手的狮群大不大。它们会比较双方参与战斗的狮子数量，只有当己方占优势时，才会发起进攻。动物王国里的集合论
科研人员还在其他各种实验中观察到，动物可以很好地获知数量，并比较数量。其中一个很著名的实验是用老鼠进行杠杆测试：将老鼠放进装有两根杠杆的箱子中，只有当老鼠多次按压第一根杠杆再按压第二根杠杆时，它们才会得到奖励。
老鼠在实验开始时并不清楚这个机制。它们只是尝试，看按压杠杆会发生什么。随着时间的推移，它们领会到自己需要按压第一根杠杆的次数视实验条件而定。它们会分别按压4次、8次甚至12次，并且几乎不会犯错。
在类似实验中，其他脊椎动物，例如猿猴、海豚和鸽子也都已证明了它们的计数本领。蜜蜂甚至掌握了基本的集合。维尔茨堡的研究人员让蜜蜂在两块相邻的黑板上飞行。一块黑板上画了两个物体，另一块只画了一个物体。在画有两个物体的黑板后面隐藏着奖励：一小碗糖水。蜜蜂很快就知道了食物的位置，并且从此总是飞向正确的黑板。
接下来是实验最有趣的部分。研究人员改变了黑板的排列，以及上面所画的物体的数量、颜色和形状。这样蜜蜂会如何反应呢？它们仍然毫无失误。不管画了两个物体的黑板放在哪儿，无论画的东西是红苹果还是黄点点，蜜蜂总是能找到通往食物的路。
科学家们进一步丰富了实验。他们在两块黑板上分别画了两个和三个物体来训练蜜蜂，之后又分别画了三个和四个物体。蜜蜂们总是很快就能发现要飞往的地方。直到要区分四个和五个物体时，蜜蜂才失败了。“这是我们第一次证明：无脊椎动物也具备计数能力。”维尔茨堡养蜂组的于尔根·陶茨（Jürgen Tautz）说道。
蜜蜂实验，证明了动物的抽象能力可以如此优秀，这是一项令人印象深刻的科学成果。两个苹果和两个点，对它们来说是相同的，因为都是两个。就像我们在第一章看到的，婴儿也一样能抽象思考。一个玩偶和另外一个玩偶，“唰”的一下变成了两个球，而他们一点儿也不惊讶，跟蜜蜂一样，对于婴儿来说两个物体仍然是两个。聪明的黑猩猩
动物的抽象能力远远不止于此。它们不仅可以统计物体个数，还能比较数量，甚至还能对闪光和声音等刺激进行统计和比较。这个实验是由罗素·切尔西（Russell Church）和沃伦·梅克（Warren Meck）完成的。研究人员让老鼠听到2次声响时按两根杠杆中左边的那一根，听到4次声响时按下右边的杠杆。之后，这些啮齿动物就学会了，在有2次和4次闪光的时候，它们也必须按下相应按钮。
研究人员提出的问题如下：老鼠的大脑分别存储了声音和闪光出现的规律？或者说，它们将刺激的次数抽象化，并从中推导出了普遍规律？
为了找到答案，科学家用一个新的实验来测试老鼠：两次声响之后，接着又是两次闪光。老鼠们完美地完成了任务。它们毫不犹豫地按了正确的杠杆，就像在面对4次声响或4次闪光时一样。老鼠不仅可以将物体抽象化，还能将声音和闪光抽象化。
不过，动物王国中最伟大的数学天才，是人类最亲近的灵长类“亲戚”——黑猩猩。1981年，盖伊·伍德拉夫（Guy Woodruf）和戴维·普雷马克（David Premack）在《自然》上发表的一篇论文引起了轰动。这两位研究员报告说，黑猩猩不仅能知晓数量，甚至还能做分数计算。
在实验中，研究人员会向一头成年黑猩猩先展示一件物品，再展示两件，如果它能从后面两件物品中选出与前面所展示的一样的物品，它就会得到奖励。这个实验听起来比之前的实验更容易。在黑猩猩面前有一个装有有色液体的半满玻璃杯，它必须在半个苹果和3/4个苹果中进行选择，与相应的杯子匹配。您瞧好了，黑猩猩的抽象能力足以使其辨识出：半满的玻璃杯与半个苹果是匹配的。
最后，伍德拉夫和普雷马克想知道黑猩猩是否能进行分数加法计算。他们稍微改变了实验条件，没有向黑猩猩展示半满的玻璃杯作为原始刺激物，而是用一个苹果和半杯牛奶。接着，黑猩猩要从一个完整的圆和3/4个圆中做出选择。黑猩猩真的在头脑中将1/4和1/2合并成3/4了！因为它在已完成的测试中多次选择了3/4个圆。这就意味着灵长类动物掌握了基本的分数加法计算——这谁能想到呢！
除此之外，黑猩猩的实验也表明：灵长类计算数字的原则，与我们人类完全相同。1987年，有一对学者夫妇苏·鲁博（Sue Rumbaugh）和杜安·鲁博（Duane Rumbaugh）的实验，完全是靠“巧克力的诱惑”。他们在黑猩猩面前放了两个抽屉，每个抽屉里都放了几块巧克力。研究人员假设，这些动物会主动伸手抓向装有最多块巧克力的抽屉。一旦它们决定了一个抽屉，另一个抽屉就会被迅速撤回，它们就无法拿到被撤回的抽屉里的巧克力了。
研究人员想在实验中同时发现灵长类加法水平究竟如何，他们就在抽屉里将巧克力分为两小堆。例如，在一个抽屉中，将4块巧克力堆在一起，还有一块巧克力是单独放的；在另一个抽屉中分为两堆巧克力，各有3块。事实上，黑猩猩通常会选择放着最多巧克力的抽屉——太优秀了。
但是，黑猩猩也会犯错误，我们人也一样会犯这种错误。如果被比较的两个数字相距较远，例如2∶6，那么黑猩猩就几乎不会犯错，因为两个数字间差异较大，这对黑猩猩而言也很明显。然而，随着两个数字间的差距减小，错误率就会提高。你已经从上一章学到了，这就是“距离效应”。
研究人员也观察到了“范畴大小”效应。当两个数字仅仅相差为1时，正确率会随着巧克力数量的增加而降低，如下表所示。两头黑猩猩选择的正确率
此外，两头黑猩猩“奥斯汀”和“谢尔曼”的计算技能远远高于人类幼儿。但是，在此还必须考虑到这两只灵长类动物不是普通黑猩猩。饲养员进行了长期训练，以确保它们掌握一种象征性语言。例如，一旦它们学会每一份大餐都相对的象征符号，就可以通过按按钮来表达自己的食物偏好。玩触摸屏的黑猩猩
经过相应的培训，黑猩猩甚至可以在运算时战胜成年人类。日本京都大学灵长类动物研究所的研究人员为此提供了惊人的证据，有一头名叫“艾”（Ai）的雌性黑猩猩在那里接受训练。这头在非洲出生的母猩猩于1977年一岁时就来到了日本。
多年以来，日本科学家松泽哲郎（Tetsuro Matsuzawa）和他的同事们都在教艾阅读数字和文字。这些科学家当时就已经用上了罕见的计算机键盘和触摸屏，不像现在，我们早就对这些设备习以为常了。艾在5岁时，就已经能通过点击跟物品颜色、数量和种类对应的符号按钮来描述自己所看到的物体。追寻简单的事物，并且怀疑它。——阿尔弗雷德·怀特海，英国数学家、哲学家
松泽哲郎教艾学习如何阅读0—9的阿拉伯数字。在视频中艾演示了它如何在一瞬间识别出屏幕显示出的点的总数，并点击触摸屏上正确的数字。整个过程如此之快，以至于观众无法一下检验结果。为了增加任务难度，需要点击的数字0—9总会以不同的方式排列出来。你最好自己去看看视频，在网上搜索“松泽哲郎”就能找到。
京都的研究人员还教会了15头黑猩猩如何按大小排列数字。当触摸屏以随机顺序显示0—9的数字时，猩猩们就开始点击0、1、2……仿佛真从0数到了9一般。当然，它们数的速度也快得令人称奇。
在另一个实验中，这些年轻的黑猩猩还证明了它们具备某种照相式记忆。在这个实验里，显示屏上随机排列地显示出1—9当中的几个数字，但只有很短的时间。之后，显示屏上的数字就被白色方块遮住了。黑猩猩要做的就是以正确的顺序来点击方块，从1、2、3开始，依此类推。
这些黑猩猩极其迅速地解答了这道9个白色方块的数字记忆题。研究人员还让几个大学生同样使用触摸屏参与实验，与黑猩猩的记忆能力进行比较。
就错误率而言，人与黑猩猩之间几乎没有任何差异，但在快速记忆方面，年轻的黑猩猩遥遥领先于人类大学生。为了获知短期记忆的极限，黑猩猩跟人类一样，在数字被白色方块遮盖之前，只有零点几秒来观看。
当有0.7秒的时间观看5个数字时，大学生和猩猩的命中率都达到了80%。当数字只显示0.2秒就消失时，黑猩猩“阿玉木”（艾的儿子）的命中率仍然是80%。而在这么短的显示时间里，大学生的命中率只有40%。你最好也去网上看看阿玉木的视频，它对数字的快速捕捉太令人震撼了。
松泽哲郎说：“许多人包括生物学家，都认为人类在认知能力的各个方面都优于黑猩猩。”但没人能想到，一头5岁的黑猩猩能比人类更好地解决数字记忆题。世界上最聪明的鹦鹉
在对黑猩猩进行了上面这些神奇的实验后，我们可能会以为，它们就是动物王国中最伟大的数学天才了。确实它们有可能是冠军。但是，我还想补充两只非常特殊的动物的故事，它们同样也取得了令人瞩目的成就。
首先是灰鹦鹉亚历克斯（Alex），它生于1976年，由美国人艾琳·佩珀伯格（Irene Pepperberg）教它说人话。每当佩珀伯格想喂亚历克斯吃东西时，她就问它：“你想要吗？”当鹦鹉不喜欢这个食物时就会说：“我要胡萝卜。”当亚历克斯口渴时，它就会说：“我想喝水。”
这只鹦鹉还学会了不同材料的名称，而且能分辨材料。佩珀伯格向鹦鹉展示1块木头和1个羊毛线团，并问它这是什么材料。佩珀伯格用简单语言跟亚历克斯交流——“什么材料？”鹦鹉会回答“羊毛（Wool）”或“纸（Paper）”。我同样建议你去看一下亚历克斯的视频，网上都能搜到。
众所周知，鹦鹉能完美地模仿声音和音调，但亚历克斯并不是简单重复它从教练那儿听到的东西。“它真的能明白这些问题的意思。”佩珀伯格说。此外，它的计算能力也让人印象深刻。
例如，佩珀伯格向亚历克斯伸出两把钥匙，问道：“有多少把？”亚历克斯很快回答：“两把。”它的计算能力还不止如此。佩珀伯格向它展示了一个托盘，托盘上有2个绿色、5个蓝色的立方体，还有几辆绿色和蓝色的玩具车。然后，她问道：“有多少个绿色方块？”虽然亚历克斯是第一次看到以这种组合放置的物品，但它依然给出了正确答案：“2。”
2006年，佩珀伯格发表了关于亚历克斯计算能力的研究成果。在实验中，亚历克斯面前有两个倒扣的不透明塑料杯，下面藏着坚果或糖。只有当实验者抬起其中一个杯子时，亚历克斯才能看到它下面有多少坚果。之后，实验者再抬起第二个杯子。亚历克斯每次有10—15秒来得知每个杯子下的物体数量。
接着，实验者试着与鹦鹉进行目光接触，并问道：“总共有多少坚果？”这时，鹦鹉已经看不见杯子下面的坚果了。如果亚历克斯没有回答，问题就会在5秒后重复一次。为了尽量减少对鹦鹉的干扰，实验由6个不同的实验者来进行。我们必须学数学，因为它能让我们的思想井井有条。——米哈伊尔·罗蒙诺索夫，俄罗斯博物学家
亚历克斯要算出的坚果总数从1到6不等。在总计48次单独实验中，鹦鹉一共犯了7次错误。它的大多数错误（即4次）都发生在坚果总数为5时。亚历克斯在计算3+2和5+0时各出了两次错。鹦鹉究竟是如何进行计算的，为什么它总是在和为5时出错，而不是和为6时出错？可能它的教练也没能搞清楚吧。不过，不可否认，鹦鹉亚历克斯能做简单的加法。柯基犬也会函数求导
在这章结束前，我想介绍最后一只天赋惊人的动物，名叫埃尔维斯（Elvis），是一只威尔士柯基犬。埃尔维斯之所以能成为科学出版界的宠儿，得感谢它的主人蒂姆·彭宁斯（Tim Pennings）。彭宁斯住在美国的荷兰镇，就位于密歇根湖湖畔，他是镇上霍普学院的数学老师。
彭宁斯会定期和埃尔维斯一起出去溜达，在宽广的密歇根湖边惬意地散步，与此同时，他总是会带上狗狗最爱的玩具：一个网球。彭宁斯通常沿着水位线在沙滩上散步，把球斜着扔进水里（参见第42页的图表）。此时，这位数学老师发现，埃尔维斯从来没有直接游向它最喜欢的球，而是在沙滩上跑了几米之后才一个急转弯，跳进水里游完最后几米。
数学家的直觉，让彭宁斯开始思考为什么埃尔维斯没有走直线。很快，一切真相大白：狗狗会在沙滩上跑一段距离，因为它奔跑比游泳快得多，这样它就能花比直线游泳更少的时间去拿到球。小狗埃尔维斯在密歇根湖边玩耍（彭宁斯 摄）
彭宁斯分析了这个问题，并指出：要找出最快的路径，你必须掌握微分学，因为求相同时间下最短的路径就等于求一个函数的最小值，而没有人可以立马说出这个最小值。
简单而言，在彭宁斯所做的35次试验里，埃尔维斯几乎每次都会选择非常接近最优解的路线。但是，这就等于埃尔维斯真能区分出或计算出函数曲线上升或下降的趋势吗？
这就有点儿让人难以置信了。不过，有可能确实是这样，埃尔维斯只是对如何以最快速度拿到心爱的网球有一种良好的直觉。它经常在沙滩上嬉戏，在水里游泳，它就在这当中获得了经验。但也许，这也是某种来自演化与遗传的数学直觉，可以帮它们更有效率地移动。埃尔维斯会做微分吗？埃尔维斯站在A点，网球在水里漂向了B点。为了计算出埃尔维斯要用多少时间才能拿到球，我们必须知道它走过的路程、奔跑的速度和游泳的速度。它在沙滩上从起点A点跑到D点，这条路线的距离是z-y。然后，它从D点游到B点，根据勾股定理，这段距离的长度是。我们把奔跑速度设为g，游泳速度设为s。根据时间=距离/速度，就得到了计算总时间的公式：我们要求这个函数的最小值，就要求它的一阶导数：函数的最小值为T（y）= 0。最后，我们就得到了答案：彭宁斯已经指出，埃尔维斯以6.4米/秒的速度奔跑，并以0.9米/秒的速度游泳。由此得出y = 0.14x。这就是说，狗狗在沙滩上跑了很长一段时间，突然转一个直角，最后游完剩下的路程。
动物具备基本的数学意识，这也使得埃尔维斯总能以最快时间找到球。同样，我们人类也要将天生的数量感归功于演化遗传。动物能做到的事，比如把物体抽象化，人类婴儿也能做到。但是，在某些挑战上，我们甚至还不如黑猩猩！我觉得特别有趣的一点是，当动物面对1—4的较小数字时，和我们一样老练，而数字一旦大于5就不行了。这恰好是我下一章要说的问题。习题习题6*
你有两个容器，一个容器可以装3杯水，另一个可以装5杯水。请问：如何用这两个容器量出4杯水？*习题7
已知下面三个孩子里有一个在说谎。到底是哪个在说谎？
马克斯说：本在说谎。
本说：汤姆在说谎。
汤姆说：我没有说谎。习题8**
一个盒子里有30个红色、30个蓝色和30个绿色的球，它们重量相同、触感相同。你要取出12个颜色相同的球。在取球时，你必须全程闭眼，取完球后才能再次睁眼。你至少需要从盒子里取出多少个球，才能确保拿到12个颜色相同的球？习题9**22
已知等式：4-3=4+3=7。此等式也适用于数字11和10，即2211-10=11+10。还有其他更多这样的数字组合吗？习题10***
妮娜和莉莉在玩一个骰子游戏：
每个玩家有两个普通骰子。两人轮流掷骰子，每个玩家在掷骰子时可以决定自己掷两个还是一个骰子，接着，把掷骰子得到的点数相加，谁首先达到总数30，谁就获胜。谁要是超过30，就必须从0开始。妮娜开始时总是扔两个骰子，现在她获得了25点。在下次掷骰子时，她应该再次用两个骰子还是一个骰子来掷出30点？三、生活中的逻辑技巧人的大脑其实不适合快速计算，但是有种技巧可以让我们走捷径——聪明的缩写，但不幸的是，德语里没有采用它。
如果没有语言，世界会变成什么样？那样，就不会有文学了，也不会有历史学——我们必须手舞足蹈地来沟通。正因为这样，许多科学家认为语言是我们祖先最重要的发明。多亏语言，我们才能为事物命名，与其他人交流，甚至谈论抽象和虚构的事物。
心理学家和大脑研究者总是提出一些激动人心的问题：语言和思想的联系到底有多紧密？我们的大脑是以文字还是以图片的形式来思考的，或者是以其他完全不同的形式？当我们在做算术或几何题时，大脑里发生了什么？如果没有文字，数学思维还存在吗？
对于爱因斯坦来说，这些问题非常简单：“文字和语言，无论是书面的还是口头的，在我的思维过程中似乎没有起什么作用。”这位相对论的创始人如此说道：“作为我思想基石的心理对象，是那些明确的、大致清晰的符号和图像，我可以将它们进行再生产，并重新联结起来。”
许多数学家描述的经验与爱因斯坦非常类似，当他们为证明而烦恼时，他们几乎没有用文字来进行思考。然而，一旦涉及数字和孩子们在小学要学的乘法表时，语言就突然发挥了重要作用。但语言有时候也会阻碍我们计数和计算，即使成年人也是如此。
心理学家在研究我们的短期记忆时发现，当我们的嘴里嘀咕着数字时，就会意识到数字和语言在心算时的联系了。法国数学家斯坦尼斯拉斯·狄昂在其著作《数感》（The Number Sense）中描述了一个简单的实验。请你尽可能快地大声读以下数字：9、5、3、1、4、7、2
现在，请闭上眼睛，试着在20秒内记住这排数字。如果你跟我一样是德国人，那么你就有50%的概率能完成挑战。相对地，中国人则几乎全都能背出来，因为中国人平均能瞬间记住9个数字，而德国人只能记住7个。
为什么？不是因为两国人大脑结构不同，也不是因为中国学校训练更多，而是在于我们短期记忆运作的方式与方法。我们通过一遍遍地重复诵读来记住数列。我们头脑里的短期记忆只能存储约2秒的声音记忆。这就是说，我们只能记住自己在2秒里能背出来的数字。说话快的人有优势
比起我们德国人，中国人有一个明显的优势：他们的数词明显短于我们的数词——请参阅第53页的表格——中文能在2秒记忆存储中嵌入更多的数字，心理学家也将这种短期记忆存储机制称为“语音环路”。
另外，语音环路也能解释说话快的人为何能更好地记住更长数字组合，因为他们在2秒短期记忆中能存储更多数字。
数词会对说德语、法语和英语的儿童造成困难，不仅仅是因为词条的长度。多少个世纪以来，产生了像einundzwanzig（德语的21）或quatre-vingt-douze（法语的92）这样非常烦琐的长词，导致我们获取数字信息相当困难。
美国研究员凯文·米勒（Kevin Miller）在1995年与他的中国同事一起做了一项惊人的研究。科学家们要求被测试的美国和中国儿童大声地数数，尽可能多地数。研究人员发现：两国的三岁儿童几乎没有差异，通常都能数到8或9。但接下来就有区别了：美国的四岁儿童很难数到15，而中国的四岁儿童则能数到40或50。
研究人员用中文数词严格的逻辑规则来解释这种明显的差异。美国人的eleven（11）和twelve（12）跟我们德国人的elf（11）和zwölf（12）一样，都把其作为完全独立的词，孩子们等于要学一个新词。相反，中国人则把“十”与“一”“二”组合起来，形成类似的数词。11在中文里读作shi yi，12则读作shi er。
在13—19区间，德语跟英语一样遇到一个问题——数词开始不合逻辑了，人们几乎都没有注意到这点。当我们说出英语的thirteen（13）、fourteen（14）以及德语的dreizehn（13）、vierzehn（14）时，首先说出的是个位数，接着才是十位数，但我们又得以相反的顺序写下来。中国人的优势：数字系统的比较
从21开始，英语国家的情况能好点儿：数词又有逻辑基础了（21是twenty-one而不是one twenty），相反，德语仍然把个位数放在前面（21是einundzwanzig）。孩子的大脑总是反复被这个颠三倒四的结构折腾，有时他们会把32说成dreiundzwanzig（“3和20”，即德语的23），或者，他们听到的是zweiundfünfzig（“2和50”，即德语的52），却写成了25。中国孩子的数学优势
在中国的学校里就没有这些问题。13在中文里读作shi san，21读作er shi yi。例如，我们从数字21就能看出，中文没有用德语那样的独立单词表示20、30，中国孩子也因此受益。一个人要表达20，就直接说er shi，要表达30，就直接说san shi。我跟数学家的观点不一致。我认为，多个0的总和是一个危险的数字。——斯坦尼斯洛·勒克，波兰诗人“中国人的数字表达方式，在逻辑上是通顺的。”波鸿的数学教授洛塔尔·格里岑（Lothar Gerritzen）说道，“对于较小的孩子来说，这是一个巨大的优势。”他长期致力于德语数词改革。他的目标就是让zwanzigeins（21）取代einundzwanzig（1-20）。格里岑的“Zwanzigeins（21）”协会致力于在德语里采用不颠倒的数字说话方式，虽然迄今为止只是徒劳。也许这是因为协会并没有努力去实现目标？毕竟，他们协会叫作Zwanzigeins（21），而不是Zwei-zehn-eins（2-10-1），而后者明显更容易理解。
不过话又说回来，他们计划要废除不符合逻辑的数词，我完全感同身受。这样我们就能减轻刚走进数学大门的孩子们的负担。不过，我对德国能否真正进行如此彻底的改革抱持怀疑态度。“我也是这么学过来的，”长辈会对孩子们说，“你们还是得努力学。”保守派的力量很大，即使它们挺不合逻辑的。眼下，这场关于德国正字法改革的争论就足够说明这一点了。
德国小学生们在继续跟烦琐的数词做斗争的路上，又遇到了新的困难：乘法表。他们要花好几个月练习乘法，考试时，他们必须解答出5×6、9×7之类的乘法。我们成年人在生活中也会经常跟乘法打交道。
然而，尽管做过许多练习，我们的计算技巧仍然很平庸。像6×8这类题，一个好的心算者也需要约1秒时间来做出反应。除去输入时间的话，用计算器明显会更快些。另外，我们总是会算错。我偶尔也会搞错：7×8是等于54还是56来着？
心理学家会仔细研究我们在什么时候算错，为什么算错。我们犯的错，揭示了我们的大脑是如何存储乘法表的。我们再次以7×8来举例。如果有人没有回答56，而是说出了一个错误的答案，那这个数字通常就是48、49或54，也许还有63、64。但是，基本没有人会回答47、51、59、61。这又是为什么呢？这些数字的区别是什么？乘法表的小秘密
其实想解释这点并不难：数字48、49、54、63和64都在乘法表中，因此，我们将它们作为乘法计算的答案存储在脑海中。当我们想要7×8的答案时，大脑就会在乘法表中进行搜索，有时会碰到错误的行或列。与此相反，47、51、59、61要么是质数，要么像51那样是17和3的乘积。这些数字都不在乘法表中，所以我们很难一下找到答案。模式识别大师
加拿大认知科学家乔安妮·莱夫维尔（Jo-Anne LeFevre）在一项简单实验中研究了这种“无意识”的计算。她向成年测试对象展示电脑屏幕上显示的两个数字，例如2和4。之后，这对数字就消失了并出现第三个数字，例如3、4、6。测试对象必须尽可能快地判断出，前面两个数字中是否含有第三个数字。
研究人员记录了测试对象的反应时间并发现，当第三个数字恰好是前两个数字之和时，他们需要更多时间来下判断。例如，当前面出现的数字是2和4，第三个数字是6时就会出现这样的情况。显然，当我们看到两个数字时，会立刻下意识将这两个数字相加，再花较长的时间思考这对数（2、4）中是否含有6。如果第三个数是9，就没有这种问题了。
从这些发现中我们可以得出什么结论呢？我们的大脑不太适合精确计算。关联式思维可以帮助我们处理模糊和不完整的信息，但是对数字却没什么用。
由于我们的大脑结构并不适合乘法表，那么未来的数学老师应该抛弃乘法表吗？毕竟我们用计算器也能得出6×8的答案。
我的回答是否定的。不管乐不乐意，包含了1—10的所有乘积的小小乘法表，是我们在学校里绝对应该掌握的东西。德语正字法也是我们应该学的，它在逻辑一致性方面，比我们的数词dreizehn（13）或者einundzwanzig（21）能暴露出更多问题。
在数学上，我们总是会需要用到这张小小乘法表，比如，当我们求解含有一个或多个未知数的方程组的时候，或者计算函数的求导的时候。在生活中，我们也经常会遇到计算题：餐桌上坐有5个人，每个人要吃3片面包，我应该切多少片面包？这时，你会想拿计算器来算吗？我可不会！
不过，要背诵包含1—20的大乘法表，我觉得还是算了吧。遇到这样的问题，我也会迅速拿出计算器。但是，那些与较大数字频繁打交道的人，还可以用比计算器更快的办法。我在这儿有很多非常巧妙的办法，可以帮你解决麻烦的数字。乘以11
不可否认，我们很少有机会要算一个两位数乘以11的积。但假如，未来某一天你真要计算，你就可以走捷径了。很简单：32和11的乘积是一个三位数，它的首位是32的3，末位是32的2。中间的数字是3和2之和，即5。下面是更详细的计算过程：
32 × 11 = 3（3 + 2）2 = 352
这个方法非常奏效，请你试着解答下面4道题：
45 × 11 =
72 × 11 =
18 × 11 =
36 × 11 =
然而，我们还必须注意那些两个数字之和大于9的两位数，即它们的和也是两位数，例如85。如果按照这个规则计算，乘积就会太大。
85 × 11 = 8 （8 + 5） 5 = 8 135 （错了吧!）
不过，这个诀窍仍然可以用。8和5两个数字的和13，构成了答案的中间数字，我们必须注意正确排列。13中的“3”是在中间，但剩下的“1”必须加到第一个数字“8”后面去。正确的计算过程是：
85 × 11 = 8（8 + 5）5 = 8（13）5 = （8+1）35 = 935
请你用这个窍门解答下面4道题：
47 × 11 =
59 × 11 =
77 × 11 =
89 × 11 =
另外，还有个问题：为什么这个“乘以11”的窍门是有效的呢？
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]