作者：秦赟,闫森
出版社：安徽人民出版社
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数学教学的趣味奥秘设计试读：
前言
数学是一门逻辑性非常强且非常抽象的学科，要让数学教学变得生动有趣，关键在于教师要善于引导学生，精心设计课堂教学，提高学生的学习兴趣。在数学教学中，教师应当采取多种方法，充分调动学生的好奇心和求知欲，使学生在每一节课中都能感受学习的乐趣、收获成功的喜悦，从而提高学生自主学习和解决问题的兴趣与热情。只有这样，才能使学生愉快轻松地接受数学知识，并取得良好的教学效果。
有人说，数学枯燥、乏味，学习时没有意思，其实，这是对数学的误解。只要你真正懂得了数学，你就会知道，数学是一个最富魅力的学科。它所蕴含的美妙和奇趣，是其他任何学科都不能相比的。茫茫宇宙，滔滔江河，哪一种事物能脱离数和形而存在？是数、形的有机结合，才有这奇奇妙妙千姿百态的大千世界。数学的美，质朴，深沉，令人赏心悦目；数学的妙，鬼斧神工，令人拍案叫绝！因为它美，才更有趣；因为它有趣，才更显得美。当然，这种美的感觉，只有当你真正认识它后才能理解。懂得了这个道理，你才会有学习数学的动力，才会走进数学爱好者的行列。
为此，我们特地编写了这套“数学教师的趣味教学设计与创新”丛书，包括《数学教学的趣味奥秘设计》、《数学教学的趣味数独设计》、《数学教学的趣味故事设计》、《数学教学的趣味运用设计》、《数学教学的趣味题型设计》、《数学教学的趣味之谜设计》、《数学教学的趣味知识设计》、《数学教学的趣味名人设计》、《数学教学的趣味现象设计》、《数学教学的趣味游戏设计》共10册，丛书一方面分别对相关数学基础知识的趣味教学设计与创新进行了全面指导，另方面进行了举例示范，目的是使广大师生在理论指导下进行教学和运用，逐步提高数学知识素养与兴趣。因此具有很强的系统性、实用性、实践性和指导性，不仅是广大师生教学指导的最佳读物，也是各级图书馆珍藏的最佳版本。
第一章 数学教学的趣味奥秘运用
1.数学奥秘与数学教学的关系
探索式讨论教学是培养学生创造能力和独立解决问题能力的有效手段，有助于知识正迁移，促进学生智力的发展。丰富多彩的生活中蕴藏着大量的数学知识，教师们只要善于让学生发现这些知识，并用来解决实际问题，学生将品味到数学“妙趣横生，其乐无穷。”
例如，在概率教学中可以引导学生实验：一个袋子里放入10颗黑色的棋子和10颗白色的棋子，搅拌均匀，让几个学生从袋子中随意抓出一些棋子，分别数一数白子和黑子的颗数，并记录下来，几次以后，学生自己就发现了规律。
再如，在对学生进行角度教学时出示课件，一个学生正在聚精会神地打台球，从而探讨：打台球需要精确地掌握击球的角度。打台球是一项常见的运动，学生一般都有打台球的经验。即使没有打过台球，总是有踢足球、打篮球的经验的。而足球射门和篮球投篮都与角度有关。这样就自然而然地把学生对球类运动的关注引导到对角度的关注上来。
一、归纳整理
教师要巧妙地引导学生或运用图表或采用押韵对偶句的形式等完成对重点知识的概括和再现，以便学生理解和记忆。主要是让学生对有关知识进行有序化、系统化处理，找出共性问题，分析其差异，进而归纳整理，教师要加以定向调控和条件限制，通过反馈、调节、控制、协调、平衡等手段，促进学生对所学知识的掌握，培养学生创造性思维能力和发现问题的综合能力。“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”数学充满数字、定理、公式、图形等等，既抽象又枯燥。但学生的思维比较具体、形象，自主能力较差，同时又活泼好动，心理素质还很不成熟，他们对数学学科的兴趣在很大程度上还取决于教师所创设的教学情境。教师只有依据学生的认知规律及年龄特征，精心设计和组织教学，激发学生学习数学的兴趣，充分调动学生的学习积极性，才能使学生自觉主动地学习，从而达到好学、乐学的境界。
创设好的情境，能激发学生的学习热情。而源于生活的教学情境，能使学生置身于日常生活当中。看到、听到、想到的都是平时熟悉的事物，更能很快将学生的思维调动起来，进入参与学习的状态。如：激趣导入中，教师创设了和妈妈上水果市场买东西的生活情境，学生对这既是熟悉，又感觉亲切，很快就使学生把注意力集中起来，更引发了他们对新知识“吨”的求知欲望。因此，教学时教师可从学生生活实际出发，创设生活情境，提出问题，点燃学生探究学习的热情，给思维以动力。这样安排，将数学与生活、学习有机地联系起来，使学生感受到今天就学的知识来源生活，有利于激发学生认知的兴趣和情感，唤起学生探究学习的欲望。
二、探究数学知识
心理学研究表明，当学习内容和学生熟悉的生活背景越贴近，学生自觉接纳知识的程度就越高。教师要勇敢地从教科书里跳出来，把教材内容与生活实践结合起来，在更广阔的天地间开展数学活动，让学生通过主动积极地获取知识，将感性的实际活动与内心的感受、体验结合起来。在教学“吨”这个单位时，由于“吨”在日常生活中学生很少接触，远远脱离了学生的生活实际。怎样将“吨”这个抽象的事物，以具体的、可感知的形象呈现在学生的面前，从而拉近“吨”与学生之间的距离。因此，教师在设计时充分考虑学生的生活实际，从学生常见的，能感受到的事物中选取事物。例如：通过“选大力士提水”、“同学互相背一背”的活动，利用学生已有的生活经验和课堂内能提供的条件来感知体验一吨。把教材内容与生活情景结合起来，使数学知识成为学生看得见、摸得着、听得到的现实。教师要善于挖掘数学内容中的生活情景，让数学贴近生活，学生就会真正体会数学原理的奥秘就是对生活的感悟。生活有趣，数学更有趣。
三、联系生活实际
在学会了新知以后，学生就会产生应用知识，解决实际问题的欲望，以获得成就感。否则就会产生知识无用的想法，对学习失去兴趣。因此，教师要紧紧地把握好这一大好时机，设计出贴近生活，使学生感兴趣的练习，满足学生的愿望。如在练习中教师设计了一篇有趣而又贴近学生生活的数学日记，由于是单位的错用闹出了一系列的笑话，这样的练习既有趣又联系生活，同时也巩固了新知识。在拓展应用的练习中，更体现了把数学知识生活化，把现实问题数学化，让学生体会对数学从生活中来，又到生活中去，数学知识能够在生活中发挥威力。这集基础性、应用性、趣味性、开放性相结合的数学问题，不但巩固了简单的基本方法，提高了学生参与生活的能力。更重要的是培养了学生的创新意识和创造性解决实际问题的能力。让学生在日常生活和社会生活中运用数学的“本领”，使他们认识到“数学是生活的组成部分，生活离不开数学”。调动他们主动学习数学、创新性运用数学的积极性。
总之，教师要将数学知识与生活实际紧密联系，将书本知识活学活用。使小小的课堂走向更广阔的生活天地，激起学生对数学的兴趣。数学必须贴近生活，变抽象为具体，变无味为有趣。让数学生活化、情境化、趣味化，让学生在生活中感悟数学、运用数学，让数学课富有生活气息，让学生体会数学与生活同在的乐趣。让学生不但学到知识，还能掌握解决实际问题的技能，胜任社会的需要。
2.数学教学与趣味奥秘
兴趣在学生数学学习中起着十分重要的作用。在数学教学中，教师要利用各种途径营造教学情境，努力激发学生的学习兴趣，从而使学生好学、乐学数学。
一代数学大师陈省身在2002年国际数学家大会上曾为青少年数学爱好者题词：“数学好玩。”要使学生学好数学，首先要使学生喜欢数学。作为数学教师，根据学生好动、好玩的特点，能否在课堂教学中加点“盐、油、酱、醋”，使数学内容吸引更多的学生，从而让学生主动学数学、达到“数学好玩”的这种境界呢？
数学的趣味性以其稚趣的形式“娱人”，以其丰富的内容“引人”，以其无穷的奥秘“迷人”，以其潜在的功能“育人”。将趣味数学引入数学课堂教学，可使课堂教学更活跃，更能激发学生对数学的兴趣。常言道，兴趣是最好的老师。笔者结合教学理论和教学实践，尝试从以下几个方面将趣味性引入数学课堂教学，从而让“数学更好玩”。
一、引入趣味奥秘，激发学生的兴趣
趣味数学奥秘是数学宝库当中的一朵奇葩，如果能将生动有趣的奥秘引入数学教学中，将收到事半功倍的效果。
例如由国际象棋的奥秘引入等比数列。教师可以向学生讲述有关国际象棋的奥秘：国际象棋起源于古代印度，关于国际象棋有这样一个传说。国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求。发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，在第二个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，依此类推，每个格子所放麦粒都是前一个格子里所放麦粒的2倍，直到64个格子都放满，请给教师足够的粮食来实现上述要求。”国王觉得这并不是很难办到的事，就欣然同意了他的要求。但结果国王将全国上下的麦子都给了他也无法满足发明者的上述要求。听了这个奥秘，学生会觉得很惊讶和不可思议。根据学生好奇心强等心理特点，可引起学生更多的注意力。接下来教师便可以在黑板上分析由棋盘所放麦粒个数形成的数列的特点，从而引入等比数列课程的讲解。
出人意料的数学结论能给学生极大的心灵震撼。有些学生由于缺乏较强的数学意识，得到的结果往往是错误的，有时还会产生“不可思议”的感觉。
例如，A、B、C三人进行100米比赛，当A到达终点时，B离终点还有1米，C离终点还有2米，则当B到达终点时，C离终点还有多少米？（假设各人的速度保持不变）
错解与诊断：许多学生误认为C离终点还有1米，其实不然。因为在A到达终点时，B、C两人各跑了99米和98米，这说明B、C的跑速是不同的。而要实现当B再跑1米到达终点时，C距终点还有1米，则B、C的速度必须相同，与题目条件矛盾，所以答案“1米”肯定是错误的。
通过解决问题，许多学生认识到原来数学是如此的生动有趣和丰富多彩。原来看上去很简单的问题竟有如此不同的结论，以前自己对数学和数学方法的理解太片面、太狭窄，使学生感受到数学的奥妙与神奇，从而对数学学习更有兴趣。
二、押韵的口诀让数学变成跳动的音符
数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的一门科学，数学的研究对象决定了它有抽象性和严谨性、系统使用符号和广泛应用等特征。所以，记忆起来枯燥乏味、难记易忘，但如果将数学知识编成有趣的押韵的口诀，不仅易于记忆，更增添了一分童趣。
例如：（1）圆的辅助线口诀：“三圆和两圆，圆心紧相连，两圆紧为伴，心连玄切线；两圆扣成环，以连公共弦。”（2）特殊角30°、45°、60°的三角函数值记忆的口诀：“一二三，三二一，三九二十七。”（见下表）。（3）任意角三角函数值符号的记忆口诀：“一齐全，二正弦，三双切，四余弦。”
三、学生成为主角，课堂便会妙趣横生
新一轮课程改革提出数学课程的基本理论之一：数学教学应致力于学生学习方式的转变，引导学生积极主动、勇于探索，指出“有效的数学学习不应只限于接受、记忆、模仿和练习”。数学课程应当通过以主动探索、动手实践、合作交流、阅读、自学等学习方式，让学生通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学的“再创造”过程以及数学发现的历程，发展他们的创新意识，让学生的数学学习活动成为一种主动的、生动活泼的和富有个性的过程。如果在教学中要求学生以讲课的形式将前面学过的数学知识讲解给同学或教师听，并力求用各种方法讲解以求达到使人听懂的目的，这样学生就成为了主角，不仅能体现上述数学教学的基本理念，更能使课堂妙趣横生。
如在四边形的内角和教学中可以引入奥秘进行讨论：正好读初二的小刚家有个木材加工厂，他看到很多丢弃的形状和大小都完全相同的四边形边角废料，就想：如果能把这些废料拼成地板，不是既环保又赚钱吗？工人师傅都说他异想天开。那么，你认为小刚的想法能实现吗？
3.在趣味教学中探索数学的奥秘
六七岁的儿童刚刚跨入学校的大门，对一切都存在着好奇心和新鲜感。从心理特点看，他们渴望学习知识，但感觉与知觉的无意性和情绪性很明显，极易被感兴趣的、新颖的内容所吸引，从年龄特点看，因年龄尚小，注意力不易稳定、集中，意志力比较薄弱，往往凭兴趣去认识事物，感兴趣的，全神贯注，不感兴趣的则心不在焉。总之，兴趣对低年级儿童学习的积极性、主动性起着决定性的作用。然而，学生对学习有无兴趣与教师的启发、诱导有关，教师的教学艺术直接影响着学生的学习效果。因此，教师从低年级儿童的年龄特点出发，注意课堂教学的趣味性，寓学习于游戏之中，“寓教于乐”、“教学有方”、“开窍有术”，竭力唤起学生的学习兴趣，使之保持旺盛的求知欲和比较持久的注意力。
一、让童话走进课堂
低年级的孩子纯真无邪，他们是听着童话奥秘，伴着小白兔、小狗熊长大的，童话中的人物对他们来说是那么亲切。就为了帮助一只叫“史奴比”的玩具狗，就连平时语言表达不够理想的孩子也会把几加几的算理讲得那么清晰、有条理，还热心地介绍其中口算的小窍门，那种助人为乐的热情真叫教师感动。
课本上印了很多色彩鲜艳的图片和可爱的小动物，还有很多需孩子们填写的（）和□，“括号先生”和“方框先生”的美名让孩子们在有亲近感的同时，还有责任感。可你千万要认真做题，填错了“括号先生”和“方框先生”可就拉肚子了，学习图画和表格应用题，孩子们热心地称“？”为“问号先生”。两手放背后，煞有其事地提出问题，长者风范，稚气语调，争相表演，真叫人感叹可爱。
二、让歌谣快乐课堂“情感是学生行为的动因，它能直接转化为学习的动机；学习兴趣则是小学生最现实、最活跃的学习动机，情感过程与认知过程的相互交织，相辅相成，推动了学生主动学习的过程。”教师要让学生上教师的课，感到快乐，渴望教师的到来。低年级数学中的概念、算理和思维过程的理解，离不开直观的有形记忆，如：“1象小棒111；2象小鸭222；3象耳朵333……”把10以内的数形象、愉快的记住。又如一年级上“0的认识”的时候，教师用儿歌引出课题：“圆圆的，长长的，说它有它没有，说它没有它又有，它是教师们的好朋友。”学生一下子就很有趣地投入学习。
在学习0的字形，0与已学数的大小比较，以及0的用处时，教师又用儿歌来小结：“0字像个蛋，排在1前面；0的用处大，可以作起点；车儿到终点，乘客全下来，车上没有人，写个0来代。”通俗的语言，形象的表述，不仅使学生感到有趣，而且使学生较快掌握“0”的有关知识。
三、让游戏兴奋课堂
儿童注意的特点是无意注意占优势，容易为一些新奇刺激所吸引。而新颖的、活动的、直观形象的刺激物，最容易引起儿童大脑皮层有关部位的兴奋，形成优势的兴奋灶，从而使儿童更好地建立暂时联系。低年级儿童往往继续表现出学前儿童所具有的那种对游戏的兴趣和运动的要求，他们能一连几小时地玩，却不能长时间地、一动不动地坐在一个地方。一般情况下，低年级学生只能连续集中注意15分钟左右。在教学中，教师经常组织学生通过灵活多变的游戏活动来学习数学知识，让他们对学习产生浓厚的兴趣，把注意力长时间地稳定在学习对象上来，使教学收到良好的效果。
教师经常采用的游戏活动有点鞭炮，、青蛙找妈妈、海尔小英雄、开小小运动会、打数学扑克、评选优秀邮递员、猫捉老鼠、夺红旗、一把钥匙开一把锁、开数学医院、放风筝、摘苹果、开火车、接力赛等数十种。为了使游戏更有趣味性，教师制作了几十种小动物头饰，做游戏锂，让同学戴在头上。无论是一面红旗，一个头饰，还是一幅色彩鲜艳的图画，都增添了练习的趣味性，使学生兴趣盎然，争先恐后地做数学游戏。
四、让语言、手势、图形点缀课堂
陶行知说：“人生两个宝，双手与大脑”。“动手”是激发学生兴趣的好方法。如教师教给学生“用一双手学习数学”的方法，使学生兴趣大增。原来一年级要花几节课才能学会的“20以内的进位加法”，教师让学生用一双手做“破10法”、“两5凑10法”的手势，用一节课就学会了。有了兴趣，再加上学得得法，计算正确率也明显提高。有的学生回到家里很高兴地和父母进行“20以内的进位加法”比赛，父母都感到新鲜、有趣。
在一个学期的实践中，教师常常体会到：从激发学生的学习兴趣入手，就会使学生不仅爱学、会学，而且学得生动活泼，在趣味中积极探索数学王国的奥秘。
4.从未解开的数学趣味奥秘
数学的确提出了大量问题。事实上，数学和问题是分不开的。历史证明，数学概念成了数学问题的催化剂，数学问题又激发了许多数学概念和数学发现。古代三大不可能作图题①、柯尼斯堡桥问题②和平行公设问题③是历史上已经得到解决并在解决过程中激发数学思维、概念和发现的典型问题。提出数学问题，思考数学问题，细阅答案证明，是推动数学家前进的动力。
一、未解决的素数问题
有没有一个公式或一种试验方法可用来确定一个给定数是否素数？是否有无穷多对孪生素数？一对孪生素数是一对相邻素数，它们的差是2。例如3和5，因为5－3＝2。还有如5和7，11和13，41和43。
奇完满数之谜。如果一个数等于它的全部真因数的和，则这数称为完满数，真因数即除本身以外的因数。6是偶完满数的例子，因为6＝1＋2＋3。其他例子有28、496和8128。约公元前300年，欧几里得证明，如果2n－1是素数，则2n－1（2n－1）是完满数。然后在18世纪，伦哈德·欧拉证明任何偶完满数必然符合欧几里得的式子。例如8128＝26（27－1）。
但是奇完满数仍是一个谜。至今为止，没有人发现过一个奇完满数，也没有人证明所有完满数都是偶数。
二、哥德巴赫猜想
每一个大于2的偶数都是两个素数的和吗？
1742年，德国数学家克里斯琴·哥德巴赫（1690～1764）给伦哈德·欧拉（1707～1783）写了这样一个猜想：除2以外的每一个偶数都是两个素数的和。例：4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，10＝5＋5，12＝7＋5。虽然哥德巴赫的这一猜想被相信是对的，但是还没有人作出过证明。至今为止，已获得了下述成果：1931年，苏联数学家施尼雷尔曼思路清晰地证明了任何偶数可被写成不多于300000）个素数的和——这与两个素数离得太远了；伊凡M.维诺格拉多夫（1891～1983）证明所有足够大的奇整数都是三个素数的和；1973年，陈景润证明每一足够大的偶数都是一个素数与一个或是素数或是仅有两个素因数的数之和。
三、费马大定理
在17世纪，皮埃尔·德·费马（1601～1665）在他的一本书的边上写道：
把一个立方数分成两个立方数，把一个四次方数或一般地任何超过二的高次方数分成两个同次方数，都是不可能的，对此教师肯定已经获得一个绝妙的证明，但是边上地位太窄，写不下。
这定理可重述为：如果n是大于2的自然数的话，不存在任何正整数x、y、z能使xn＋yn＝zn。费马的注成了一个挑战。几世纪以来，甚至最卓越的数学家都没能作出证明或反证。
研究尚未解决的数学思想，与探讨已知的东西同样有趣。这里不过是数学的未解之谜中的一点小小的样品。虽然有些问题很简单，可以讲给没有数学背景的人听，但它们的解却是难以捉摸的。
1.只许用直尺和圆规求解的古代三大不可能作图解是：三等分一个角（把一个角分成相等的三个角）、倍立方（作一立方体，使它的体积是一给定立方体的两倍）、化圆为方（作一正方形，使它的面积与一给定圆相等）。由这三个问题刺激发展起来的几个发现是尼科米兹的蚌线、阿基米德的螺线和希庇亚斯的割圆曲线。
2.柯尼斯堡桥问题的要求是找出一条通过柯尼斯堡七座桥的路线，其中任何一座桥都只许经过一次。欧拉在解这问题时发展了网络的概念。
3.平行公设涉及的是确定欧拉的第五公设究竟是不是公设而非定理。试图证明这一公设的各种努力，导致了非欧几何的发现。
5.数学教学中的趣味奥秘应用
一、首先要使学生喜欢学数学
教师在长期的数学教学实践中悟出一个道理：“要使学生学好数学，首先要使学生喜欢学数学”。许多青年教师经常问教师：“数学教师怎样才算成功呢？”教师的回答是：“如果全班学生都喜欢上你的课，你就成功了；如果学生都讨厌上数学课，甚至见了你就头疼，你就失败了。”记得有一位外国著名数学教育家说过：“数学教师最大的失败，就在于把学生都教得讨厌数学。”这句话讲得非常深刻，数学教师最大的失败为什么不是把学生教得都考“零”分呢，因为考“零”分还会有挽回的可能，换一位老师可能会有所改变。如果“讨厌数学”了，他看到数学书就头疼，见到数学符号就害怕，还怎么继续学习中学数学和高等数学呢！这就害了孩子的一生，这种心理上的阴影是很难消除的。
其实，心理学家早就做过“学习兴趣与学习成绩相关性”的实验研究，结果是兴趣最高的那门学科成绩最好，最讨厌的那门学科成绩最差。因为在心情愉快、精神放松的状态下学习，能有效地提高学习效率，人的潜能得到充分的开发。许多大学问家的名言也证明了这一点。爱因斯坦说：“热爱是最好的老师。”中国教育学会会长顾明远教授说：“没有爱就没有教育，没有兴趣就没有学习。”
怎样培养学生学习数学的兴趣？可从外在和内在两方面进行：
外在方面，主要凭借教师采用一定的教学方法和教学手段进行。如在课堂教学设计中恰当地采用愉快教学法、情境教学法、游戏教学法以及多媒体辅助教学等。特别重要的是多采用赞赏、激励的办法，使学生树立学习的信心。你的—声激励的话，一个赞赏的眼光，都能温暖孩子的心，使他的心灵产生涟漪，甚至终生难忘。可是现在有些评课专家把这些做法贬为“廉价的表扬”、“助长孩子骄傲自满”，殊不知他自己也是爱听表扬的，领导表扬他一次，他可三天睡不着觉呢。
内在方面，主要是依靠数学本身的魅力吸引学生，使学生从中产生兴趣。在练习设计中，配合课本尽可能采用趣味题、游戏题、智力题和思考题，使学生在“练中生趣”。由此发生的兴趣，使学习数学成为学生自身的需要，从而持久下去。“一日一题”活动，每天布置一道趣味题让学生回家思考，把正确答案交给教师的前10个同学会获得一张小书签，积10张小书签可换一份小礼物。趣味题诸如：“大杯可以盛9升水，小杯可以盛4升水，杯上没有刻度，怎样可以倒出6升水？”这次活动把学生积极性都调动起来了，回家都积极思考，有的连家长也参与进来了，乐此不疲，其乐无穷。
强调激发学生的兴趣，使学生愉快地学习，同时又要重视培养学生勤奋刻苦的学习精神。学习是一种复杂的脑力劳动，不可能事事都愉快，有的时候甚至是艰难而痛苦的过程，有的时候难免枯燥乏味，需要一定的克制力和意志力。
勤奋刻苦的学习精神，是中国教育的优良传统。正由于这种教育的影响，在历史的长河中勤奋刻苦的学习精神，逐渐成为中华民族的优良品质之一。中国人缺乏创新精神这是事实，但绝不是勤奋刻苦学习而造成的；当今科技发展已达到很高的水平，再要前进一步有所创新绝非易事，必须脚踏实地、刻苦钻研，需要的正是勤奋刻苦的精神。现在学校里蔓延着一种不良风气，学习怕苦怕累，做事拈轻怕重，浮躁虚夸，急于求成，缺少的正是中国人引以为荣的勤奋刻苦的精神，这很值得教师们深思。
二、打好基础永远是最重要的
教师历经各次教学改革，经受了正反两方面的经验教训，有一句话深深印在教师的心里：“打好基础永远是最重要的。”
学生处于长身体、长知识和养成良好行为习惯的关键阶段，是一个人成长的奠基时期，他们学习数学的主要任务是掌握人类长期积累又经过不断提炼的最基本的数学知识。所以对小学生来说，打好基础永远是最重要的，这是讨论“双基”教学问题的出发点。
现在有人不赞成提“加强‘双基’”，担心会阻碍学生思维能力和创新能力的发展，这种担心是没有根据的。一个人的思维能力从哪里来？不能凭空而来，不是教师嘴巴上讲出来的，而是从学生学习基础知识和解题过程中获得的，练的过程中才会促使学生思考，不练无从想起。
其实，早在30年前，中国数学教育界已经着手研究和解决“加强‘双基”’和“发展思维”的关系问题。由上世纪80年代提出，90年代逐步得到完善的一个提法：“在加强‘双基’的同时，培养能力和发展智力。”这个提法，言简意赅，特别是“同时”这两个字用得好，把“双基”教学和能力智力的关系以及解决的办法说得一清二楚。正由于在这种指导思想下，当时的数学教育质量和数学教学研究都达到相当高的水平。这是用中国人的智慧解决了国际数学教育界难以解决的问题。
张奠宙先生提出：“在良好的数学基础上谋求学生的数学发展。”以此来概括中国数学教育的特色，教师是十分赞同的。这句话同八九十年代提出的“在加强‘双基’的同时，培养能力和发展智力”是一脉相承的，而且更贴近数学教育，更为简练，把“基础”与“发展”辩证地统一起来。这也显示了中国人的智慧，应该引起中国数学教育界的高度重视。有些人把应试教育所造成的“题海战术”、“机械训练”的罪名强加到“双基”教学的头上，这是不公平的。这里有必要指出：加强“双基”需要必要的重复，也需要多做题目。教师从事小学数学教学与研究的经历认识到，小学生必须经过一定量的练习才能掌握数学基础知识，不练或少练就能掌握那是空话。教师们应该把“必要重复”与“机械训练”区别开来，“多做题目”与“题海战术”区分开来。其关键在于一个“度”，需要多少练习量才是适宜的、科学的，这正是需要教师们调查和研究的课题。
有人认为数学“双基”教学不是中国数学教育的优良传统，重视“双基”是从苏联学来的，因为苏联的《数学教学大纲》中有“基础知识和技能技巧”的提法，而当时中国的数学教学大纲是参照苏联的。
这里必须区分两个概念：一个是数学“双基”本身，一个是数学“双基”教学。数学“双基”本身是指数学基本知识和数学基本技能，它属于知识概念，这样的提法不仅苏联有，世界许多国家的数学课程标准中都有。而数学“双基”教学是一个特定的教育概念，它不但包含着“双基”的各自教学问题，更重要的在于如何处理“双基”教学的关系问题，如何达到“双基”之间互相促进和互相提高，如何通过加强“双基”促进人的全面发展。这里面既有教学方法问题也有教育思想问题。这是中国教师的创造，凝聚了千千万万数学教师（包括数学教育理论工作者）的劳动和智慧，并非舶来品。
新中国成立后数学“双基”教学的形成和发展的过程，教师是亲身经历并参与的。上世纪50年代主要强调加强基础知识教学，注意讲清概念，注意直观教学，注意复习巩固等。当时提出的口号是：“为使儿童获得牢固的、深刻的算术科学知识而努力。”
通过教学实践发现，单单是加强基础知识教学，强调讲清概念还是不够的，还必须加强基本能力的训练，知识才能巩固和熟练掌握。1960年，辽宁省黑山县北关小学对小学算术和教法进行全面改革，提出了“精讲多练”的教学方法。上海等地首先提出了“加强‘双基’教学”，并认为基本知识教学和基本技能训练是相互联系、相辅相成的。基本技能训练应以掌握基础知识为前提，基本技能训练又能促使基础知识的加深和巩固。
教师在1962年写成的论文《试谈算术教学中的基本训练的问题》提出五方面的基本技能训练：计算技能的训练；运用计算工具技能的训练；计量、测量和绘图技能的训练；逻辑思维能力的训练；良好作业习惯和学习方法的训练。
三、四则运算能力是小学数学中的重要能力。
教师对小学数学教学的研究是从口算教学开始的。上世纪50年代教师当农村小学教师的时候，遇到一个头痛的问题，学生经常算错，考试成绩很差。教师一再告诫学生不要粗心，不能做错，可是学生还是经常算错。教师冥思苦想也想不出什么原因。
四、课堂教学改革的关键在于抓先练后讲、练在当堂。
课堂教学是教学的基本形式，它是教学工作的中心环节。先进的教育理念和教学方法都必须通过课堂教学来体现。教师赞成这样的观点：“教改的关键在教师，教改的核心在课堂。”探索儿童学习数学的奥秘，应该把课堂教学研究作为重点。
探索儿童学习数学的奥秘，必须深入课堂，亲自给学生上课，才能有真切的体悟，才能探索奥秘。教师能亲自给小学生上课，成了教师得天独厚的条件。教师到全国各地作报告，都是先讲理论，再借班上示范课，大受教师欢迎。许多人听教师的报告还是模模糊糊，将信将疑，看了教师的示范课才真正明白了，下定决心搞尝试教学法实验。大家都把教师当成小学数学名师，为此教师倍感荣幸。
一个人遇到问题，首先要有敢于试一试的精神，先看书或上网查找资料，再向别人请教，然后积极思考自己去解决。这是学习的本来面目，也是一个人终身学习的方法。所以，“先练后讲，先学后教”的尝试学习方法，就是还学习的本来面目、教人以终身学习的方法。因为只有当一个人的已有知识无法解决当前问题的时候，真正的学习才会发生。
五、数学教育研究必须走中国化道路。
前一段时间流行“中国数学教育悖论”——中国在教育投入不足、班额大、经济相对贫困的情况下，数学教学成绩却能达到世界一流水平，优于许多发达国家，国际数学教育界由此心生疑问：为什么中国学生能够在国际测试中领先于欧美国家，但看起来他们的教学方法又如此的陈旧？
其实，这个悖论是不成立的，中国学生优异成绩的取得，主要得益于数学教学工作者根据中国的国情和中国教育的优良传统不断努力，不断探索，逐步创建的具有中国特色的教学方法。中国虽然是个大国，但由于种种原因，在教育上教师们也缺少话语权，另外，教师们对外的正面宣传太少。外国人对中国教育的了解还停留在数十年甚至一百年前。
6.数学教学中趣味奥秘的运用
数学世界魅力无穷，趣味浓厚，它会激发你对数学的好奇心，拓宽你的思路，对日后的考试及一生的发展更是一种积累。
经常听到学生抱怨：“数学真没意思。”数学真的没意思吗？教师不以为然。教师倒觉得学数学是一件很快乐的事，数学世界里不乏趣味，只是教师们缺乏用心去发现、去寻找。数学的趣味表现在多种方面，现在教师们就一起去探寻吧。
一、数学的趣味表现在它能够锻炼教师们的逻辑思维
教室的钥匙被弄丢了，笑笑、淘气、青青三位小朋友每人说了一句话：笑笑说：教师没有说谎。淘气说：笑笑在说谎。青青说：淘气和笑笑都在说谎。聪明的小朋友，你知道他们中间谁一定在说谎吗？
看了这道题，同学们是不是认为很简单呢？其实，这是一道很有趣的题目。再仔细地想一想，是不是挺有趣啊？一个说自己没说谎，一个说别人在说谎，一个说两个人都在说谎，到底谁在说谎呢？思维混乱了吧？让教师们来分析分析：笑笑说，教师没有说谎。淘气说，笑笑在说谎。到底笑笑和淘气谁在说谎呢？教师们不得而知。但青青说，淘气和笑笑都在说谎。这可能吗？不可能。所以青青一定在说谎。怎么样？逻辑思维有没有得到提高？感悟到此题的趣味性了吗？
二、数学的趣味表现在它有着无穷的奥秘
今年小红和小林的年龄之和比爸爸小16岁，过四年后，小几岁？
看了这道题，很多同学会不加思索，脱口而出：“当然还是16岁喽，这有什么难的？”那你就错啦！数学是很奇妙的。四年后，爸爸一个人长4岁，而小红和小林两个人都在长，分别长4岁，一共长了8岁，比爸爸多长了4岁，所以他们两个年龄之和比爸爸小（16－4）岁，真正的答案是12，而不是16。怎么样，够奇妙了吧？很有趣吧？其实像这种题目还有很多，它们都等着教师们去探寻呢。
三、数学的趣味表现在它具有浓厚的生活气息
每年新春之际，行走在繁华的大街上，随处可见商家打出的“满400送400”，“满300送300”的促销招牌。消费者觉得捡了一个大便宜，纷纷掏钱购买。难道真的捡了一个大便宜吗？
假如教师买了410元的一件衣服，获得400元的券。教师买鞋子花费了180元的券，买裤子花费了220元的券和20元现金。到底便宜了多少？现在教师们来算一下教师总共花了（410＋20＝430）元，原来不打折时需要花的钱是（410＋180＋240＝830）元，430/830≈0.52，所打的折扣大约是五二折，所以，这也算不上什么大便宜。俗话说：只有买亏，没有卖亏，“满400送400元券”只是商家的一种促销手段，其中暗藏着数学问题，暗藏着商业机密，暗藏着许多玄机。不仅充满着浓厚的生活气息，而且充分体现了数学的奥妙。商品标价和促销中有数学，购物消费中有数学，装修房子有数学，织毛衣中有数学……总而言之，数学在现实生活中无处不在！
数学可以锻炼人的逻辑思维能力，增强人缜密思考，对一切学问都是有用的。数学奥妙无穷，变幻莫测。教师们的生活也离不开数学。数学是研究其它科学的必要学科，物理，化学都离不开数学，教师们付钱的时候，也用到数学知识。一个国家发达，数学好也是十分重要的。
第二章 数学教学的趣味奥秘推荐
1.数学的起源
数学是研究客观世界数量关系及空间形式的科学。
数学起源于人类文明的创始阶段。
大约在300万年前，人类还处于茹毛饮血的原始时代，以采集野果、围猎野兽为生。这种活动是集体进行的，所得“产品”也平均分配。这样，古人渐渐产生了数量的概念。他们可以用一块石子代表一只野兽，或用绳子打一个结代表一头捕获的猎物，或打一个大结代表一头大兽，打一个小结代表一头小兽，如此等等。数量的观念就是在此过程中，逐渐发展起来的。古埃及数字
在距今大约五六千年以前，在非洲尼罗河流域出现了一个伟大的文明国家——埃及。埃及人是世界上较早从事农业生产活动的。由于尼罗河定期泛滥，淹没大片农田，埃及人通过长期的观察，发现每年7月尼罗河定期泛滥，11月份洪水逐渐退落，而且这种现象大约365天重复一次。这样，埃及人就选择洪水退落后，在淤泥上播种，在6月洪水来临前收割，以此获得好的收成，这是通过天文观测和水文观测来实现的。另外，古埃及的农业制度，是把同样大小的正方形土地分配给每一个人，承租人每年将收成的一部分交给土地所有者——国王。如果洪水冲垮了他们分得的土地，国王便派人前去丈量受灾的土地面积，适当减少交租的数量。这种土地丈量的方法，为几何学的诞生奠定了基础。数学正是从打结记数、天文和水文观测、土地测量的实际需要逐渐发展起来的。继埃及而崛起，世界上还有巴比伦、印度、中国等几个伟大的文明古国雄踞于亚洲，它们分别都产生了各自的记数法和最初的数学知识。在距今两千多年以前，古希腊人也积累起较为丰富的数学知识，并将数学发展成为一门系从出土的甲骨上来看，中国古代统的理论科学。“数学”的希腊文原意就早就发明了记数符号是“科学或知识”的意思。他们特别注意“论证”在数学中的应用，因此欧几里得的几何学几乎成了希腊数学的代表。古希腊文明被毁灭后，阿拉伯人又继承了他们的文化，后又传回欧洲，使数学重新繁荣，并最终导致了近代数学的创立。
2.数的来历
原始社会，人类在狩猎、种植、捕鱼、采集等活动中，要与野果、鱼、木棒、石头等打交道，久而久之，人们便有了多少、数量的意识。这种对数的认识往往与实物联系在一起，如用“月亮”代表“1”，用“眼睛”、“耳朵”、“鸟的翅膀”代表“2”。这是由于只有一个月亮，人有两只眼睛两只耳朵、鸟有两只翅膀的缘故。原始人还认识到一个苹果和一头羊各是一个个体，三棵树和三把石斧都是三个个体的一堆等，这就是最初的数的概念。
最早用来计数的是手指、脚趾，或小石子、小木棍等。表示1，2，3，4个物体，就分别伸出1，2，3，4个手指，遇到5个物体便伸出一只手，10个物体伸出两只手。当数目很多时，就用小石子来计数，10颗小石一堆就用大一些的一颗石子来代表。中国古代用的是木、竹或骨子制成的小棍，称为算筹。但是，大多数的原始人遇到大一些的数目，往往无法区分。
用手指、脚趾、石子、小木棍等来计数，难以长时间记录一个数字。因此，古人发明了打绳结来记数的方法，或者在兽皮、树木、石头上刻划记数。这些记号，慢慢就变成了最早的数字符号（数码）。
现在通用的数码是印度—阿拉伯数码，用十进位制来表示数。用0，1，2，…9十个数码可表示任数，低一位的数满10后就进到高一位上去。这种十进制，现在看来简单而平常，可它却是人类经过长期努力才演变成的。如在古埃及，数码记号是这样的：古埃及3，4，5的写法
一个数中若某位数超过1时，就要将它的符号重复写若干次。如345就要写成如下图，写更大的数则是一大串符号了，这样运算当然十分困难。古希腊人也需要27个字母互相组合，才能表示100以内的数目，非常不便。算筹最初是用树枝做成的，后来用竹棍做，也有用象牙制成的
除了十进制以外，还有五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十二进制、十六进制、二十进制、六十进制等。经过长期实际生活的应用，十进制终于占了上风。
数的概念和数码、进位制的出现和发展，都是人类长期实践活动的结果。
3.我国数的概念起源
数的概念是人们长期在数目观念的基础上所产生的认识上的飞跃，因此数的概念的起源是相当早的。（1）最早的数目观念
数的概念在我国的起源，可以追溯到原始社会。当时人们对数目的认识，最初是从“一”和“多”开始的，后来才逐渐有“二”、“三”等数目观念。
在出土的原始社会文物中，我们可以看到一些与数目有关的内容，例如河姆渡的骨耜有两个孔，半坡的尖底提水器有两个耳。在其他陶器上有两耳或三足，在河姆渡的陶钵底上刻着四叶，这是形成“二”、“三”、“四”等数目的观念的依据。半坡的陶器上有整齐排列的点点，由一个到八个或到九个，可以说是“八”和“九”的反映。还有一些陶器上有近似等份圆周形的刻纹，很规则，有的正好为八十等份，如河北磁县下潘汪村出土的四五千年前的陶器上就有这种例子。至于是否有意识地进行等份和有较大的数目观念，不好确定。（2）原始记数法《易·系辞传》上说：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”，说明结绳记数和刻划记数是当时带有普遍性的记数方法。至于中国的结绳起源于何时，很难回答，有些古籍上说轩辕（黄帝）、伏羲、神农等很长一段历史传说时代都是“结绳而用之”，或说伏羲“结绳而治”。如果说结绳是我国新石器时代广泛使用的记数方法的话，恐怕是不会错的。三国时吴人虞翮在所著《易家九义》中引汉郑玄的话说：“事大，大结其绳；事小，小结其绳，结之多少，随物众寡。”这里把结绳的用法说得很清楚。现已找不到早期结绳的实物资料。
刻划记数在我国也起源于原始社会。根据现有考古发掘资料，最早可以追溯到一万多年前的“山顶洞人”。在“山顶洞人”的遗址中出土了四个带有磨刻符号的骨管，可能是一种刻划记数的实物。
这四个骨管上的符号为横向磨制，形状多数是圆点形，有两个长圆形。其中有一个围着骨管形成半圆，展开成平面，则为一长条形。骨管A，相对的两个侧面分别有一各圆点和两个圆点，共三个；骨管B，相对的两个侧面，一面三个圆点，一面两个，共五个；骨管C，相对的两个侧面，一面两个，一面一个，在另外一侧又加一个长圆点，共四个；骨管D，只有一个长条形的符号。从这些符号的排列方式，我们可以推测出“山顶洞人”对于数目的一些观念。“山顶洞人”最基本的数目是一，用一个圆点表示，两个圆点并列的是二，三个圆点并列的是三。同时可以看到，骨管对应两侧的符号带有累计的意义。一个加两个是三个，两个加三个是五个。长圆形可能是代表：“十”。
刻划记数的方法沿用了较长时期。到了原始社会末期，甚至到了奴隶社会和封建社会，都可以找到这方面的资料。例如在青海省乐都县柳湾原始社会末期的遗物中有带刻口的骨片四十件。在骨片的中部一侧或两侧刻有三角形小口，其中的三十五件上各有一个，三件上各有三个，两件上各有五个，被认为“大约是用作记事、记数或通讯联络用的”。这样解释有道理。刻口的排列方式和山顶洞人的骨管刻划非常相似：三个口的是在骨片的一侧有一个口，另一侧有两个口；五个口的是一侧有两个，另一侧有三个，这么多带刻口的骨片，说明它们不但用于记数，而且有可能用于简单的计算，由一到五十四之间的任何一个数都可以用这些骨片迅速地摆出，比如“四”用一个带三个口的和一个带一个口的骨片代表，“十五”用两个带五个口的、一个带三个口的和两个带一个口的代表等等。把这种骨片看作是一种原始的计算工具是并不过分的。（3）数目字的出现
在结绳和刻划的基础上，进而形成数目字。在半坡出土的陶器上刻划的符号中就包含了数目字，计有“×”（五）、“∧”（六）、“＋”（七）、“）（”（八）、“｜”（十）、“｜｜”（二十）。在陕西姜寨出土的陶器上也有数字符号，比半坡的多“——”（一）、“｜｜｜”（三十），而少“）（”。这也是一种十进制系统，与前面的记数法完全相同。在距今四千年前的上海马桥遗址出土的陶片上有“X”、“｜”和“＋”相当于五、一（或十）和七。年代与马桥差不多或稍晚的山东城子崖出土的陶片上刻有五个数目字即相当于七、十、十二、二十、三十，后三个数是合书。
事实说明，约四千年前我国的数字写法发生了一次重大变化，如“×”变成了“X”，“｜｜”变成了“∪”，十的倍数采用“合书”形式，对后世影响很大，很显然，这种改变有明显的道理，因为原来的写法容易发生混淆，如，“×”与“＋”，“｜”、“｜｜”、“｜｜｜”与“一”、“—”、“≡≡”孤立来看就分不清了。通过长期实践，当人们发现这种混淆时，必然要想到改变写法。城子崖的数目字与甲骨文早期为近，和殷文化是一个系统。但是比甲骨文早数百年到一千年。
4.浅近的几何知识
几何的起源，在我国同样很早，它萌芽于旧石器时代，或许比数目观念的起源还要早。因为人们在从事生产或其他活动中，自然界一些物体的形状、大小和位置关系逐渐反映到人的头脑中来，人们通过不断地思考、抽象，便有了形的初步观念。（1）石器工具的几何形状
原始人制作石器的目的是把它作为工具使用，制造时必然要考虑大小和形状。形状思想的产生和数目观念一样，要有个过程。以自然的形状为模特儿，经过反复观察、思考而形成某些简单形状的观念。如观察一些圆形水果可以产生球的观念，观察一些平展植物叶子和平静的水面容易形成平面的观念，观察一些直的树干和直的树枝容易形成圆柱或直线的观念，等等。从观察自然物产生的简单几何观念用来考虑石器的形状，再根据要制作的石器的功能确定采取什么形状和大小。用于砍削的石器要做得平一些，象石刀、石斧等属于这一类。它们的每一个面都是近似的平面。北京猿人使用的石器中有很多片状的，还有考古学上称为尖状器的石器，从几何形状来说，是一种近似的锥体。在山西省襄汾县丁村发现了一批几万年前原始人制造的球形工具。其中最大的重量在1500克以上，最小的在200克左右，可能是用于打猎的武器，可见早在几万年前，我们的祖先已经有了球的观念。考古工作者还发现时代较晚的许多棒状石器，如在黑龙江省巴尔虎左旗和吉林市郊头砬子等地新石器遗址发现的石棒状物，有扁的也有圆的，比较规则，说明柱体观念已有了进步。
从发掘的石器上还可了解到原始人的其他几何观念。例如1974年在云南省云县忙怀新石器时代遗址中发现的一百多件石器中，有一件圆饼状的石钻，在另一件石器的平面上有纵横交叉的方格纹，说明在五、六千年前人们已经有了圆、平行和垂直等几何观念。
从各种不同形状的石器中，反映出原始社会随着社会生产的发展，人们逐渐有了平面、球、圆、柱、锥、平行、垂直等许多初等几何观念，是几何在我国萌芽的一种表现。（2）陶器形状特征
陶器在新石器时代占重要地位。石器的形状在陶器上有了发展，多数器物的水平截面基本都是圆形的，口和底也多为圆形。如河姆渡出土的陶器大都是这种形状，有的敛口釜的外沿呈现多边形。
半坡新石器遗址出土的陶器，其几何形状丰富多采。三足陶器，除了反映出“三”这个数目外，还说明当时人们发现三足具有稳定性的特点，这是一个很重要的发明。在半坡遗址出土的大批陶器中，最简单的是纺轮。光是这种遗物就有50个，还有两个用石头磨成的。它们中间都有从两面钻成的小圆孔，大多数两面是平面；个别的只有底面是平的。侧面的几何形状有的是圆柱，有的是圆台。与此相近的是一大批圆环。除了多数呈同心圆外，还有三个外圈带齿的特别形状，其中一个有六齿外突，一个有三十四个齿，一个有二十八个齿，齿距虽不是绝对均匀，但大体差不多，说明那时已经有了等份圆周的思想。还有一大批大小不等的陶球，都很规则，说明球的观念已完全形成。
在一些陶器上具有等份圆周的特点，如河北磁县下潘汪新石器时代遗址出土陶器的口沿不仅是规则的圆形，而且底周外缘有花牙子，牙距比较均匀，明显地反映出等份圆周思想。
在四川、湖北一带新石器时代遗址中先后发现不少空心陶球，制作精致，非常规则。由实心球到空心球在几何认识上是一个很大进步。这些空心陶球的特点是：都有镂孔，孔与孔之间用实线或虚线连接，球壁厚度均匀，外面的连线都具有规律性。比如在桂花树出土的陶球中有一个画着六条经线和一条纬线。经线基本上构成三个大圆，交于两个镂孔上，经纬线的交点上也是镂孔。还有一个以一个镂孔为中心画出“米”字型的双虚线。毛家山出土的也有一个与此相似，每个上面有六孔，三对，每对正好是一个直径的两个端点。大溪的陶球也与此类似，也是六个孔，只是外面的连线稍有差别。很显然，三个直径是互相垂直的。
这些空心球说明早在五六千年以前，我们的祖先就已经有了不少有关球和球面几何的知识。（3）花纹中的标准图形
新石器时代遗留下来的陶器很多。这些陶器上的花纹和图案，对研究古代几何的起源非常有用（花纹和图案的做法有两种：一种是在陶器的表面上刻划；另一种是用不同的颜色描绘）。河姆渡的彩陶上有明显的平行线和不太规则的正方形。半坡出土的彩陶上提出了几何图形来源的一种途径：由某种自然物（如鱼）的形状逐渐演变成几何图案。有人作过这种演变的推测，看来是合乎实际的。即由鱼形演变成不规则的棱形或菱形、三角形等，再变成比较规则的几何形。而且可以从实物上较清楚地看到：有上下两条鱼，头朝一侧；还有的两头相对、沿着两个方向进行。
西安半坡出土的彩陶上的几何图案有平行线、折线、三角形、菱形、圆、长方形等等。三角形又可细分为任意三角形、直角三角形、等腰三角形。这些事实说明，早在六千年以前，我们的祖先已能够绘制初等平面几何中的大多数直线图形。
从稍晚期的新石器时代遗址出土的陶器花纹来看，人们的几何知识有了发展。比如在下潘汪遗址出土的陶盆上有很多几何图案，圆弧形和其他曲线形图案有了显著的增加，盆口沿上的花纹表现出准确的等份圆周图形。甘肃省景泰县张家台出土的新石器时代的彩陶罐上有很规则的平行线、三角形、圆弧等几何图案。
5.数的演进
人们在从事生产或其他活动中，数目多次反映到人的头脑中来，再通过长期思考，进一步抓住它的特性，从感性认识上升到理性认识，从而形成了数的概念。（1）十进位制
数的概念形成于新石器时代末期，完成于奴隶社会初期的商代。商代是我国奴隶制经济发展时期，科学、文化都达到了较高水平：当时已能大规模地炼铜；已经发明了车子；有了历法；农业生产技术也有了很大提高。特别是甲骨文和金文的出现标志着我国的文字从简单的象形逐渐发展到成熟的阶段。所有这些技术和文化成就对于数学的发展都起了推动作用。
在甲骨文中许多数目字，其中最大的数目字已经达到“三万”。现举百以上的例子如下：
二百：“二百人王”
三百：“左右中人三百”
四百：“四百”
九百：“乎……九百人”
一千：“丁未卜……王登千人”
五千：“五千”
八千：“口人八千在驭”
一万、三千：“登妇好三千、登旅万”
三万：“癸卯卜……其口三万”
甲骨文的字形有些和现代文字不同，但是我们可以清楚地看出：后来汉文中的数目字是从甲骨文演变来的。甲骨文中的数目是十进位的，是以前不完善十进制的完善化和必然的发展。从1到10的每个数都有文字表示，还有“百”、“千”、“万”等也都有相当的文字符号。
在一片甲骨文上有由1到10的全部十个自然数，没有和实物连在一起，说明商代已经有了抽象的自然数概念。
在商代的记数法中还有一种六十循环的办法，这就是主要用在历法上的所谓“天干地支”。天干有十个，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二个，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。从干、支的头一个字甲、子开始依次各取一各，配成甲子、乙丑、丙寅……干或支完了接着再取，直到癸亥，共取六十次。以后又是甲子等出现了循环。在一片甲骨上就有一个完整的甲子表，至于零散的甲子纪年纪日的甲骨就更多了。这种干支纪年法后来一直沿用，现在农历还在使用。
商代至少应有加法、减法和乘法运算，只是没有明确的记载。实际上，甲骨文只能记录结果，而不能记载算法和运算过程。但是通过一些实例可看出其算法。在一片甲骨上，记载了如下的数字：
五十犬，五十羊，五十豚，
三十犬，三十羊，三十豚，
二十犬，二十羊，二十豚，
十五犬，十五羊，十五豚。
全是5的倍数，而前三排又都是10的倍数。
周以后有了运算记载，例如在周代的一件铜器上有“东宫乃曰：偿禾十秭，遗十秭为廿秭。（如）来弗偿则倍秭。”秭是后来的大多数名称，指万亿，这段文字是说偿还奴隶主乃庄稼（禾）十秭，同时要送给他四十秭。实际上这已包括10＋10＝20和20×2＝40两种算法——加和乘。
战国时，李悝倡“尽地力之教”，他算了一笔账：“今一夫挟五口，治田百亩，岁收亩一石半，为粟百五十石（1.5×100＝150），除十一之税十五石（150÷10＝15），余百三十五石（150－15＝135）。食：人月一石半，五人终岁为粟九十石（1.5×12×5＝90），余有四十五石（135－90＝45），石三十〔钱〕，为钱千三百五十（45×30＝1350），除社闾尝新春秋之祠用钱三百，余千五十（1350－300＝1050）。衣：五人终岁用千五百，不足四百五十（1050－1500＝－450）。……”这里已讲到了减法、乘法和除法，特别是最后的一次计算出现了不足，用现代的观点来看就是有了负数。李悝未必懂这个意义，但是却为负数概念的出现提供了来源。
由于重复计算的需要，我国古代早已出现了乘法口诀，但是直到春秋战国时代的文献中才有了不完全的记载；而且次序与现代不同，由“九九八十一”开始，因此又称这种口诀为“九九”。（2）分数应用
至迟在春秋战国时代我国已经有了分数的概念。在春秋战国（特别是战国）的著作中记载了许多分数及其应用的例子。当时社会上思想活跃，生产活动的范围有所扩大，技术水平也有提高，实践中提出了许多新的数学问题。比如不够一个整体的物体就不能用自然数表示其数量，而必须创造新数。在《墨子》、《管子》和《商君书》等书中所记载的分数大都是由于分配而引起的。例如《墨子》讲到食盐的分配时就有“二升少半”和“一升大半”的记载。其中“少半”和“大半”即1/3和2/3，还有“半”为1/2，都是当时分数上专门的名词。《管子》在讲土地种植的分配时有“十分之二”、“十分之四”、“十分之五”、“十分之六”、“十分之七”等份数。在另一处也讲到了“五升少半”、三升少半“。在《商君书》中有这样的记载：“地方百里者，山陵处什一，薮泽处什一，溪谷流水处什一，都邑蹊道处什一，恶田处什二，良田处什四”，就是说一百平方里的地面上各种地貌所占的比例，前四种都是1/10，后两种各为2/10和4/10，加起来为10/10（＝1）。战国时代在制造量器“商鞅量”时也用到了分数，规定“积十六尊五分尊一为升”。“尊”就是寸，这句话是说（立方）寸。
在《考工记》中记载了由于制造各种器具和器具规格的需要而大量使用了分数，特别是有了分数运算。例如“六分其轮崇，以其一为牙围，三分其牙围漆其二”，这里说的是1牙围＝1/6轮崇；一牙围的2/3要上漆。《考工记》中还记载了一种叫做殳的竹制兵器的规格，“凡为殳五分其长以其一为之被而围之，叁分其围去一以为晋围，五分其晋围以其一为首围”。意思是说1围＝1/5长，，1首围＝1/5晋围。这些事实有力地说明了我国早在公元前四、五世纪就已建立了分数概念并有了广泛的应用。
春秋战国时由于制造衡器和乐器的需要，也用到了其他一些数学知识。例如战国墓葬中出土的天平砝码的重量以1、2、4、8……递增，相当于以等比数列20、21、22、23……递增。这种数列的出现，显然是当时以十六两为一斤的规定而来的。在乐律研究中有“三分损益法”，用到分数运算。在《管子》一书中有“先主一，而四之三开，4以合九九”的记载，相当于1×3＝9×9＝81，这已有了指数的初步观念。
6.实用数学
和数的概念一样，形的概念在我国奴隶社会也有新的发展。为适应各种社会活动（特别是生产实践活动）的需要而大大丰富了几何知识的内容。在夏商时代已开始兴修水利工程，传说夏禹曾领导治水，甲骨文有了“正河”的记载。“正河”就是兴修水利。当时城堡、房屋建筑的规模也很大，所有这些工程都要用到测绘和几何学知识。（1）测绘工具的发明
土木工程和工具的制造等都需要测量，而测量又需要一定的几何知识和必要的工具。例如在河南偃师二里头发掘出来的早商时代宫殿遗址，规模宏伟，光是台基面积就约有一万平方米，墙基很直，柱孔排列整齐，分布均匀。这样的大型建筑，必须通过测量才能办到。
早在商代已经有了“规”、“矩”二字的象形文字，那么规矩的发明可能还要早得多。在汉代的许多画面上常有“伏羲手执规，女娲手执矩”的图象，规是两脚状，和现在的圆规相似，矩是一直角拐尺形。
公元前二世纪成书的《周髀算经》卷上记载：“……故折矩以为句广三，股修四，径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘，得三、四、五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所由生也。”这是在禹治天下时有了“勾三股四弦五”这个勾股定理的特例。
商代已普遍使用车子，仅在河南安阳殷墟就几次发现车子的遗迹。制造车子需要用到几何知识。轮是圆的，而辐有毂向外射出把圆周角等份，也把圆周形的轮等份。1972年挖掘出来的车轮有22根圆柱形的辐，排列整齐。车的轮牙一般是由几块弧形构件合成，这就产生了用几段圆弧合并成圆的概念。要做到这一点，事先必须作精细的测绘和必要的计算。但是显然应当使用测绘工具，否则车轮是做不成的。（2）几何测绘方式
西周以后的春秋战国时代由于战争和生产的需要，各地修建了不少堤防和水利工程。为了使各项工程合乎需要，必需进行测量和计算。早在两千四、五百年前，水利工程中要进行距离、高低、厚薄、土方等测量，同时还包括工程期限、劳力多少和分配、所需粮食、材料等方面的计算。很显然，在这类工程中会遇到大量的几何问题，必需运用几何知识才能解决。如计算土方实际上就是体积计算。最简单的立体是立方体，稍复杂一点的是正四棱台，都应当有计算法则。城墙的修筑，同样需要几何知识，《墨子》中有关于城墙、城门、垛口、城楼等一系列的计算问题，都与立体几何有关系。
春秋时期，在一些经济发达的地区已经有了封建生产关系的萌芽。公元前594年鲁国（今山东南部）开始实行“初税亩”制度，不论公私田地要按亩纳税。这就要求人们去研究面积的计算问题。虽然在当时的书籍上还没有找到有关面积计算的记载，但是估计当时对于正方形、长方形、三角形、梯形、圆等的面积计算法则已相继产生了。
在春秋战国之际的遗物中，有各种形状的磨制品，其中最引人注意的是1971年在山东临溜郎家庄出土的约公元前500～400年的殉人墓中水晶珠。这种水晶珠呈简单的半正多面体形状，通过观察，可知其磨制过程：先把水晶块磨成正六面体，再磨去八个角（有一定要求），便成为一种半正多面体。它的表面由六个相等的正方形和八个相等的正三角形构成，并且所有的二面角都相等。在同一殉人墓中出土的一件漆器上画有很规则的同心圆、正方形、平行线、三角形、平行四边形、菱形、长方形等各种几何图形。
战国时期已经有了很好的技术平面图，例如在一些漆器上有船只、兵器、建筑等图形，其画法符合正投影原理。在河北省出土的战国时中山国墓中的一块铜片上有一幅建筑平面图，表现很高的制图技巧和几何水平。
当时，在制造各种工具、器械、乐器过程中，常常会遇到需要把两个棒形物曲折相接，或者是将金属板、木板作成多边形，这就要用到角的概念。在《考工记》一书中有不少这方面的记载。这本书对于角和几种特殊角都有专门名称，把非直角的角叫着“倨句”，“倨”是钝角，“句”是锐角。直角叫做“倨句中矩”或简称“一矩”，例如“磬氏为磬：倨句一矩有半”。“磬”是古代的一种石制乐器，常把大小不等的几个磬按大小次序为一组吊起来敲打发声。“磬氏”是指制造石磬的工匠。“倨句一矩有半”是指石磬背部的折角的规格，其大小是一个直角（矩）再加上半个直角，相当于。90°＋×90°＝135°。在同一书中还有关于车辆规格的记载，包括一些构件角度大小的规定，并且把不同角度的构件取了专门名称。《考工记》还记有“筑氏为削：合六而成规；天子之弓，合九而成规；诸侯之弓，合七而成构；大夫之弓，合五而成规；士之弓，合三而成规。”是说制造弓的规格，每张弓都成一圆弧形状，使几张弓合在一起构成圆周。但是要根据当时的社会等级的要求去制弓。一般人用的弓六张合在一起为一圆周，天子用的弓九张合在一起为一圆周，等等。这里已经包含着明确的等份圆周概念。如果把弓上弦联在一起考虑，就构成了圆内接正六边形、正九边形、正七边形、正五边形、正三角形。
在春秋战国时代的文献上常常把测量和绘图记载在一起。实际上，两者之间有密切的关系。当时测量的内容已经比较齐全，包括直线测量、水准测量、垂直测量等，分别叫做“绳墨”（或“准绳”），“水”和“悬”等。“绳墨”就是打墨线以取直，“水”是以水平面为标准测量坡度和高程，“悬”是用悬垂的线以定垂直。
由此说明，春秋战国时代，由于社会生产的发展以及兼并战争的需要，已经积累了较为丰富的几何知识。
7.泥版上的记数符号
巴比伦数学的知识，见于泥版的文书中。这些泥版是在胶泥尚软时刻上字然后晒干的。因而那些未被毁坏的就能完整保存下来。这些泥版的制作大抵在两段时期，有些是公元前二千年左右的，而大部分是公元前600年到公元300年间的。较早的泥版对数学史来说重要性更大些。
巴比伦文化中发展程度最高的算术是阿卡德人的算术。
巴比伦数系的突出之点是以60为基底并采用进位记号。
起初巴比伦人没有用什么记号来表示某一位上没有数，因此他们写的数是意义不定。他们往往空出一些地方来表明那一位上没有数，但这当然还会引起误解的。在塞流卡斯时期他们引入了一种特别的分开记号来表示那一位上没有数。但即使在这段时期也还未采用一个记号来表明最右端的一位上没有数，如同我们今日所记的20那样。在这两段时期，人们都得依靠文件的内容，才能定出整个数的确切数值。
巴比伦人也用进位记法来表示分数。他们数学系统的混淆不清比上面所指出的还要历害。
少数几个分数有其特定记号。这些特殊分数1/2、1/3和2/3，对巴比伦人来说，在量的度量意义上是作为“整体”看待的，而不是一的几分之几，虽则它们是从量的度量（同另一量相比有这相应关系）所得出的结果。例如把一角钱与元对比时我们可以把1角钱写成1/10，但又把这1/10本身看成是一个单位。
实际上巴比伦人并不到处都用60进制。他们以60，24，12，10，6，2混合进位制写出的数，表示日期、面积、重量、钱币，正如我们今日的钟点数用12进位，分、秒数用60进位，英寸数用，12进位而普通计数则用10进位一样。巴比伦人的数制也象今日所用的一样，是由许多历史条件和地区习惯形成的混合数制。不过在数学和天文上，他们则是一贯用60进制的。
关于进位计数法的来源有两种可能的解释。在较早的记数法中，他们用较大的代表1乘60而以较小的这种记号代表1。在写法简化以后的外形减小了但仍放在代表60的那个位置上，因而所在的位置就变成代表60的倍数记号。另一种可能的解释来自币制。正如我们所写1.20中的1代表100分那样。于是记钱数的写法就采用到一般算术上来。
8.巴比伦算术
在巴比伦记数制中，代表1和10的记号是基本记号。从1到59这些数都是用几个或者更多一些基本记号结合而成的。因此这种数的加减法就不过是加上或去掉这种记号就是了。巴比伦人把数字合在一起用来表示相加。
巴比伦人也做整数除以整数的运算。由于除以一个整数a就是乘以倒数1/a，这就涉到分数的运算。巴比伦人把倒数化成六十进制的“小数”，而除了上面指出的几个分数以外，不用分数的特殊记号。他αβγ们有数字表，可以查出1/a形式的数（其中a＝235）怎样写成有限位的六十进制“小数”。有些数表给出1/7，1/11，1/13等的近似值，因为这些分数所化成的六十进制小数是无限循环的。在一些老问题里所出现的分数中，如果分母里含有2，3或5之外的因子，分子里也有这种因子，那就彼此约掉。
巴比伦人完全靠倒数表来作计算。他们也有表示平方、平方根、立方和立方根的数表。当方根是整数时，给出的是准确值。对于其他的方根，相应的六十进制数值只是近似的。无理数当然是不能用有限位的十进制或六十进制小数来表示的。不过，没有事实可以证明巴比伦人懂得这一点。他们很可能相信，只要用足够多的位数，就可用六十进制小数准确表达无理数。巴比伦人给出的2近似值是1.414213……而不是1.14214……。
9.代数技巧
从载有数字表的文件中，可以获得巴比伦人的数系和数字运算方面许多知识。还有一些文件与此不同，它们是处理代数与几何问题的。早期巴比伦代数的一个基本问题，是求出一个数，使它与它的倒数之和等于已给数。这就是说巴比伦人实际上知道二次方程根的公式。有些别的问题，如给定两数之和与两数之积而求出这两数，也可化为上述问题。由于巴比伦人不用负数，故二次方程的负根是略而不提的。虽然他们只给出具体例题，但好些问题是打算说明二次方程的一般解法的，他们用变量置换把更为复杂的代数问题化成较简的问题。
巴比伦人能解出含五个未知量的五个方程这类个别的问题。在校正天文观测数据而引起的一个问题中，包括含十个未知量的十个（大多数是线性的）方程。他们用一种特殊的方法结合各个方程，最后算出了所有未知量。
他们的代数方程是用语文叙述并用语文来解出的。他们常用长，宽和面积这些字来代表未知量，并不一定的因为所求未知量确实是这些几何量，而可能是由于许多代数问题来自几何方面，因而用几何术语成了标准做法。
巴比伦人有时也用记号表示未知量，但这种记法只是偶尔用之。在有些问题里，他们用两个苏默文字表示两个互为倒数的未知量。又因这两个文字在古苏默文里是用象形记号的，而这两个象形记号当时已不流行，所以结果就等于用两个特殊记号来表未知量。他们反复运用这些记号，因而虽不懂这两个记号在阿卡德文里的读法，我们也可以认出它们来。
10.几何概念
几何在巴比伦人的心目中是不重要的。几何并不是他们一门独立的学科。关于划分土地或计算某项工程所需砖数之类的问题很易于化为代数问题。面积和体积的一些算法是按固定法则或公式给出的。不过，那些说明几何问题的图画得很粗，所用的公式也可能不正确。例如在巴比伦人计算面积的问题里，我们分不清其中的三角形是否为直角三角形，也不知其四边形是否为正方形，因而不知其对有关图形所用的公式是否正确。不过，毕达哥拉斯定理中的关系，三角形的相似以及相似三角形对应边成比例的关系他们是知道的，他们似用（其中c表圆周长）这个法则得出圆面积。在这个法则里，他们等于用3代替了π。不过，在他们给出正六边形及其外接圆周长之比时，其中的结果说明他们用作为π值。在计算一些特定物理问题时，他们算出了一些体积，有些算对了，有些算的不对。
除了计算一个给定的等腰三角形的外接圆半径之类这一些特殊的实际知识外，巴比伦人的几何内容只是收集了一些计算简单平面图形面积和简单立体体积的法则，而平面图形中则包括正多边形。他们并不专为几何而研究几何，总是在解决实际问题时才去搞几何。
11.阿拉伯数码的故乡
阿拉伯数码是现在国际通用的数码，不论你走到哪个国家，随便翻开一本数学书，你也会在完全陌生的文字中，看到一连串你非常熟悉的数字符号“0、1、2、3、4、5、6、7、8、9”。印度阿拉伯很多人都以为阿拉伯数码是阿拉伯人发明的，其实这是个历史的误会，阿拉伯数码主要是古代印度人民的天才创造。早期的阿拉伯数字古代印度创造过灿烂的文化，对人类文明史有很大的贡献。印度数学广为人知的成就是创造了现代的10进位制记数法，这种记数法所用的数码就是现在被称为“阿拉伯数码”的通用数码。
古印度数码由于每笔均可以一笔连书，便于书写，因此，当公元6世纪印度确立了使用这种数码的10进位制记数法后，很快便传入了阿拉伯地区。印度数码传入阿拉伯后，并未及时被阿拉伯数学家所注意，在较长一段时间里，他们用阿拉伯字母代替希腊字母，采用希腊记数法记数，到了12世纪前后，印度记数法才被阿拉伯普遍使用，并发生了形体变化。
与此同时，印度记数法通过阿拉伯人而传入西班牙、意大利、法国和英国。欧洲人以为它是阿拉伯人发明的，于是就称它为阿拉伯数码。
12.古希腊辉煌的数学成就
提到古代数学，就要提到古希腊。《几何原本》就诞生在古希腊。这部雄视数学界两千多年的巨作让古希腊当之无愧地成了“几何学之母”。除此之外，它还使得算术从几何学中分离出来成为独立的数学学科，同时解决了大量的代数方程问题，高等数学也开始萌芽了。
为什么古希腊会取得如此辉煌的数学成就呢？
首先，哲学的发展使人们渐渐不满足于了解事物是“怎么样”的，而更希望知道“为什么”。一些人开始提出这样的问题：“为什么等腰三角形两底角相等？”“为什么圆的直径将圆二等份？”虽然通过简单的折纸实验就能证实这些论断，但是人们渴望得到更进一步的逻辑论证。这样一来，古希腊数学在逻辑体系上就有了全新的发展，从而推动了几何学的巨大进展。
第二，任何学科的发展都离不开交流。古希腊的数学也是吸收了他人所长，从而得到进步和创新的。被公认为希腊几何学鼻祖的泰勒斯就曾在埃及居住和学习。他回到故乡后建立学校，传授带回来的数学和其他学科的知识。他和他的一些学生很快赶超了埃及的水平，在古希腊的数学发展中起到了极大的推动作用。
第三，社会生产和实际向来都是科学发展的主要动力。在当时的古希腊已经有了比较雄厚的国力和比较先进的科学技术，航海与商业的发展也不断向数学提出新的研究课题，而数学又在不断应用中得到了新的发展。
古希腊数学成就的取得和人的因素是分不开的。许多数学问题的解决往往都凝聚着几代人的心血，最终的突破性进展通常由一个或几个人完成。在古希腊的科学文化中心——亚历山大博学院，集中着一大批优秀人才，为数学突破提供了必要的条件。毕达哥拉斯、希波克拉底、海伦、丢番图等在史书上被永远铭记的数学家都是古希腊数学成就的缔造者。
在现今的中国，科技的发展对数学提出了崭新的要求，对外开放和综合国力的增强为学习和发展提供了良好的机遇，能否创造中国数学的辉煌，就在于我们每个人的探索与追求。
13.远古时期人类是怎样记数的
随着商品经济活动的复杂化，人们开始利用手指来数数。有时物体的数目比人的手指的数目还要多，用手指数数解决不了问题，人们又开始利用周围的物体来做计数的工具。如在小棍子上画记号，放牧时利用石子记数，在绳子上打结等等。直至今天，在欧亚非大陆的某些地方，仍然有一些牧人用在棒子上刻痕的方法来计算他们的畜群数。
14.常用的数学符号是谁创造出来的
人们会计算加法、减法、乘法和除法已经有好几千年的历史了。
但是使用＋、－、×、÷等数学符号却是近几百年的事。那么，这些符号是由谁创造出来的呢？
加、减号（＋、－），是15世纪德国数学家魏德曼首创的。他在横线上加一竖，表示增加、合并的意思；在加号上去掉一竖表示减少、拿去的意思。
乘号（×），是17世纪英国数学家欧德莱最先使用的。因为乘法与加法有一定的联系，所以他把加号斜着写表示相乘。后来，德国数学家莱布尼兹认为“×”易与字母“X”混淆，主张用“·”号，至今“×”与“·”并用。
除号（÷），是17世纪瑞士数学家雷恩首先使用的。他用一道横线把两个圆点分开，表示分解的意思。后来莱布尼兹主张用“：”作除号，与当时流行的比号一致。现在有些国家的除号和比号都用“：”表示。
等号（＝），是16世纪英国学者列科尔德创造的，他用两条平行而又相等的直线来表示两数相等。
中括号（［ ］）和大括号（｛ ｝），是16世纪英国数学家魏治德创造的。
大于号（＞）和小于号（＜），是17世纪的数学家哈里奥特创立的。
这些数学符号既简单，又方便。使用它们，是数学上的一大进步。
15.常用的速算方法与技巧有哪些
1.凑整法：根据运算定律和运算性质，把算式中能凑成整数（特别是整十数、整百数等）的部分合并或拆开，然后求得结果。
例如：8＋4.1＋2＋5.9
＝（8＋2）＋（4.1＋5.9）
＝10＋10
＝20
例如：1.25×18
＝1.25×（10＋8）
＝1.25×10＋1.25×8
＝12.5＋10
＝22.5
例如：78×98
＝78×（100－2）
＝78×100－78×2
＝7800－156
＝7644
2.变化法：适当转变运算方法，即以加代减，以减代加，以乘代除，以除代乘；或改变运算顺序，或利用约分、加减进行化简等。
例如：4.7×0.25＋7.3÷4
＝（4.7＋7.3）×0.25
＝3
例如：3÷4－0.5÷0.7－0.3÷0.4＋5÷7
＝（3÷4－0.3÷0.4）＋（5÷7－0.5÷0.7）
＝0
例如：3.25×0.8×0.125÷（0.1253）
＝3.25÷（0.1253）×0.8×0.125
＝1
3.特性法：利用“0”与“1”在运算中的特性，进行简便运算。
例如：（1.9－1.9×0.9）÷（3.8－2.8）
＝（1.9×（1－0.9））÷1
＝0.19
4.常用数据法：利用一些常用数据，通过数的等值变形而使计算简便。
常用数据如：25×4＝100；125×8＝1000；＝0.25＝25%；＝0.75＝75%；＝0.8＝80%；＝0.04＝4%等等。同学们可自己再列出一些，把它们熟记在心。
我们前面所举的例子已对此有所运用，同学们可对照着看一下。
16.哪个国家最早使用小数
我国汉朝以前的数学书《孙子算经》中就有了十进单位，到了公元3世纪，刘徽在《九章算术》中，指出开方开不尽时，用十进分数（小数）来表示。我国元朝刘瑾在公元1300年左右著的《律吕成书》中把小数部分降低一格来写，这是世界上最早的小数表示法。而欧洲到了16世纪末期，才掌握了小数的性质和运算方法。这些事实，充分说明了我国是世界上最早使用小数的国家。
17.“等号”为什么这样写
我们都知道等号是表示两个数量相等的符号，记做“＝”，读做“等于”。
人类虽然有数千年文明史，然而数学中使用等号只不过400多年，它是16世纪英国学者列科尔德发明的。列科尔德认为，世界上再没有比两条平行而又相等的线段更相同的东西了。所以用“＝”来表示两个数相等既合理又十分简便。
18.什么是数学奥林匹克
数学竞赛与体育比赛在精神上有许多相通之处，因此国际上把数学竞赛叫做数学奥林匹克。最早的数学竞赛是匈牙利于1894年举办的，从此以后，许多国家争相仿效举办了全国性的数学竞赛。1902年，罗马尼亚首次举办数学竞赛；1934年，前苏联首次举办“数学奥林匹克”。以后保加利亚于1949年，波兰于1950年，捷克斯洛伐克于1951年，南斯拉夫、荷兰于1962年，蒙古人民共和国于1963年，英国于1965年，加拿大、希腊于1969年，西德、奥地利于1970年，美国于1972年……也都举办了数学竞赛。
1956年，著名的数学家华罗庚教授等倡导的高中数学竞赛，先后在北京、天津、上海和武汉四大城市举行，从而揭开了我国数学竞赛的序幕。
国际性的数学竞赛活动，是从1959年开始的。这一年，罗马尼亚数学学会首先发出倡议，在布加勒斯特举行了第一届“国际数学奥林匹克”，得到了东欧七国的积极响应。此后，世界上每年举行一次国际性的数学竞赛活动。1985年，我国首次派代表参加了第26届国际数学奥林匹克。
19.算术和数学是一回事吗？
你也许听过爸爸妈妈把“数学”说成“算术”。那么，算术和数学是一回事吗？
实际上，算术和数学既有联系，又有区别。
算术包括整数、小数、分数的加减乘除法和它们在日常生活、生产中的应用。算术里不讲负数，也不讲用字母组成的代数式的运算。如果讲到负数、方程，那就是代数的内容了；如果讲到有关图形的许多性质，则是几何的内容了。算术、代数、几何都是数学的一门学科。数学还有很多分支学科，如微积分、数论、集合论、概率论等等。
现行小学数学课本中除了算术外，还有代数、几何等方面的初步知识，所以小学课本不叫算术，而叫数学。
20.各式各样的数学题
泥板上的古代巴比伦王国的位置，在西亚底格里斯河和幼发拉底河的中下游地区，现在的伊拉克境内，巴比伦国家建立于公元前19世纪，是世界四大文明古国之一。
巴比伦人使用特殊的楔形文字，他们把文字刻在泥板上，然后晒干，泥板晒干后和石头一样坚硬，可以长期保存。
从发掘出来的泥板上，人们发现了3000多年前巴比伦人出的数学题：“10个兄弟分100两银子，一个人比一个人多，只知道每一级相差的数量都一样，但是究竟相差多少不知道，现在第八个兄弟分到6两银子，问一级相差多少？”
如果10个兄弟平均分100两银子，每人应该分10两，现在第八个兄弟只分到了6两，说明老大分得最多，往下是一个比一个少。
按着题目所给定的条件，应该有以下关系：
老二得到的是老大减去一倍的差，
老三得到的是老大减去二倍的差，
老四得到的是老大减去三倍的差，
……
老十得到的是老大减去九倍的差。
这样，老大与老十共得银两
＝老二与老九共得银两
＝老三与老八共得银两
＝老四与老七共得银两
＝老五与老六共得银两
＝20两
已知老八得6两，可求出老三得20－6＝14两，老三比老八多得14－6＝8，另一方面，老三与老八相差7－2＝5倍的差，因此，
差＝8÷5＝1.6（两）
答：一级相差1.6两银子。
巴比伦的数学和天文学发展很快，他们除了首先使用60进位制外，还确定一个月（月亮月）有30天，一年（月亮年）有12个月亮月，为了不落后太阳年，在某些年里用规定闰月的办法来纠正。
巴比伦人了解行星的存在，他们崇拜太阳、月亮、金星，把数3看作是“幸福的”，晚些时候，他们又发现了木星、火星、水星、土星，这时数7被看作是“幸福的”。
巴比伦人特别注意研究月亮，把弯月的明亮部分与月面全面积之比，叫做“月相”，在一块泥板上记载有关月相的题目：“设月亮全面积为240，从新月到满月的15天中，头5天每天都是前一天的2倍，即5，10，20，40，80，后10天每天都按着相同数值增加，问增加的数值是多少？”
月亮全面积为240，第五天月亮面积为80，后10天月亮共增加的面积为240－80＝160。
因此，每天增加的数值为160÷10＝16。
答：增加的数值为16。纸草上的《兰特纸草书》是4000年前古埃及人的一本数学书，上面用象形文字记载了许多有趣的数学题，比如：
在7，7×7，7×7×7，7×7×7×7，7×7×7×7×7，……
这些数字上面有几个象形符号：房子、猫、老鼠、大麦、斗，翻译出来就是：“有7座房子，每座房子里有7只猫，每只猫吃了7只老鼠，每只老鼠吃了7穗大麦，每穗大麦种子可以长出7斗大麦，请算出房子、猫、老鼠、大麦和斗的总数。”
奇怪的是古代俄罗斯民间也流传着类似的算术题：“路上走着七个老头，每个老头拿着七根手杖，每根手杖上有七个树杈，每个树杈上挂着七个竹篮，每个竹篮里有七个竹笼，每个竹笼里有七个麻雀，总共有多少麻雀？”
古俄罗斯的题目比较简单，老头数是7，手杖数是7×7＝49，树杈数是7×7×7＝49×7＝343，竹篮数是7×7×7×7＝343×7＝2401，竹笼数是7×7×7×7×7＝2401×7＝16807，麻雀数是7×7×7×7×7×7＝16807×7＝117649。总共有十一万七千六百四十九只麻雀，七个老头能提着十一万多只麻雀溜弯儿，可真不简单啊！若每只麻雀按20克算，这些麻雀有2吨多重。《兰特纸草书》上在猫吃老鼠、老鼠吃大麦的问题后面有解答，说是用2801乘以7。
求房子、猫、老鼠、大麦和斗的总数，就是求和7＋7×7＋7×7×7＋7×7×7×7＋7×7×7×7×7＝7＋49＋343＋2401＋16807＝19607。这同上面2801×7＝19607的答数一样，古代埃及人在4000多年前就掌握了这种特殊的求和方法。
类似的问题在一首古老的英国童谣中也出现过：“我赴圣地爱弗西，途遇妇子数有七，一人七袋手中提，一猫七子紧相依，妇与布袋猫与子，几何同时赴圣地？”
意大利数学家斐波那契在1202年出版的《算盘书》中也有类似问题：“有7个老妇人在去罗马的路上，每个人有7匹骡子；每匹骡子驮7只口袋，每只动袋装7个大面包，每个面包带7把小刀，每把小刀有七层鞘，在去罗马的路上，妇人、骡子、面包、小刀和刀鞘，一共有多少？”同一类问题，在不同的时代、不同的国家以不同的形式出现，但是，时间最早的还要数古埃及《兰特纸草书》。
古埃及还流传着“某人盗宝”的题目：“某人从宝库中取宝，另一人又从剩余的宝中取走，宝库中还剩宝150件，宝库中原有宝多少件？”
这个问题的提法与现行教科书上的题目很相像，可以这样来解：
设宝库中原有宝为1，则第一人取走，第二人取
宝库最后剩下。
因此，宝库原有宝。
列出综合算式为。《兰特纸草书》还有这样一道题：“有物品若干件，其三分之二，其一半，其七分之一及其全部，共33件，求物品的件数。”
用算术法来解，可设全部为1，则物品的件数为
答案是唯一的，但是纸草书上的答案却是14，，，，，，，。这是怎么回事？难道这道题有八个答案吗？
原来纸草书上用古埃及分数的形式给出答案，意思是。不妨算出来看看：
这和我们算得的答案相同。诗歌中的
希腊是世界文明古国之一，它有着灿烂的古代文化，在《希腊文集》中有一些用诗歌写成的数学题。
在“爱神的烦忧”中，爱罗斯在古代希腊神话中的爱神，吉波莉达是塞浦路斯岛的守护神，九位文艺女神中，叶芙特尔波管音乐，爱拉托管爱情诗，达利娅管喜剧，特希霍拉管舞蹈，美利波美娜管悲剧，克里奥管历史，波利尼娅管颂歌，乌拉尼娅管天文，卡利奥帕管史诗。“爱罗斯在路旁哭泣，泪水一滴接一滴。吉波莉达向前问道：‘是什么事情使你如此悲伤？我可能够帮助你？’爱罗斯回答道：‘九位文艺女神，不知来自何方，把我从赫尔康山采回的苹果，几乎一扫而光。叶芙特尔波飞快抢走十二分之一，爱拉托抢得更多——七个苹果中拿走一个。八分之一被达利娅抢走，比这多一倍的苹果落入特希霍拉之手。美利波美娜最是客气，只取走二十分之一。可又来了克里奥，她的收获比这多四倍。还有三位女神，个个都不空手：30个苹果归波利尼娅，120个苹果归乌拉尼娅，300个苹果归卡利奥帕。我，可怜的爱罗斯，爱罗斯原有多少苹果？还剩50个苹果。’”
这首26行的诗，给出了一道数字挺多的数学题，题目中原有苹果数不知道，经过九位文艺女神的抢劫，爱罗斯只剩下50个苹果，是“知道部分求全体类型”的数学题。
设爱罗斯原有苹果数为x。
依题意，得
整理，得
∴x＝33600（个）
下面的“独眼巨人”中给出了另一种类型的数学题：“这是一座独眼巨人的铜像，雕塑家技艺高超，铜像中巧设机关：巨人的手、口和独眼，都连接着大小水管，通过手的水管，三天流满水池；通过独眼的水管——需要一天；从口中吐出的水更快，五分之二天就足够，三处同时放水，水池几时流满？”
设水池的容积为1，三管同开流满水池所需时间为x天，则
∴
下面是我国的一首打油诗：“李白提壶去买酒：遇店加一倍，见花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。
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