趣味代数学(世界经典青少年科普读物，全世界销量超过2000万册，人大附中等名校教师推荐必读课外书)(txt+pdf+epub+mobi电子书下载)

作者：雅科夫·伊西达洛维奇·别莱利曼

出版社：中国妇女出版社

格式: AZW3, DOCX, EPUB, MOBI, PDF, TXT

趣味代数学(世界经典青少年科普读物，全世界销量超过2000万册，人大附中等名校教师推荐必读课外书)试读：

作者简介

雅科夫·伊百达洛维奇·别莱利曼( 1882-1942 )

出生于俄国格罗德省别洛斯托克市，享誉世界的科普作家、趣味科学的奠基人。1959年,“月球3号”无人月球探测器传回了世界上第一张月球背面图，其中拍的一个月球到哪山就被命名为"别莱利曼"环形山，以纪念这位科普大师。

别莱利曼从17岁时开始在报刊上发表文章。1909年大学毕业后，开始全力从事科普写作和教育工作。从1916年开始，他用了3年时间，创作完成了其代表作《趣味物理学》 为以后一系列趣味科普读物的色时信奠定了基础。别莱利曼一生共创作了105部作品，其中大部分是趣味科普读物。他的作品被翻译成数十种语言，对世界科普事业作出了非凡的贡献。

别莱利曼的趣味科学系列丛书既妙趣横生又立论缤密，是最受加盟、最适合青少年阅读的科普书。一些在学校里让学生感到难懂枯燥的科学问题，在别莱利曼的笔下，翻政变了呆板面目，显得和蔼可亲了。

编者的话

由于写作年代的限制，本丛书还存在一定的局限性。比如，作者写作此书时，科学研究远没有现在严谨，书中存在质量、重量、重力混用的现象；有些地方使用了旧制单位；有些地方用质量单位表示力的大小，等等。而且，随着科学的发展，书中的很多数据，比如，某些最大功率、速度等已有很大的改变。编辑本丛书时，我们在保持原汁原味的基础上，进行了必要的处理。此外，我们还增加了一些人文、历史知识，希望小读者们在阅读时有更大的收获。

在编写的过程中，我们尽了最大的努力，但难免有疏漏，还请读者提出宝贵的意见和建议，以帮助我们完善和改进。—— Chapter 1 ——第五种数学运算第五种运算-乘方

我们都知道，代数运算一般有4种：加、减、乘、除。但是，你知道吗？代数又被称为“具有7种运算的算术”，这是因为，除了以上4种运算外，还有乘方及其两种逆运算。

下面，我们就来说一下乘方运算，我们把它称为“第五种运算”。

需要说明的是，这一运算也是从实际生活中应运而生的。而且，在我们的日常生活中经常会用到它。回想一下，在计算面积、体积的时候，我们经常要用到二次方或者三次方。此外，在物理学中，万有引力、电磁作用以及声、光的强弱，都跟距离有关：强度大小与距离的二次方成反比；在太阳系中，行星围绕太阳转动的周期的二次方与它和太阳之间间距的三次方成正比，卫星围绕行星转动时也是如此。

上面提到了二次方和三次方，在实际生活中，我们有可能还会遇到更高次的乘方。比如说，工程师在计算材料强度的时候，经常会用到四次方；计算蒸汽管的直径用到的则是六次方。

在研究水流对石头的冲击力量时，也要用到六次方。假设一条河的水流速度是另一条河的4倍，那么，水流速度快的河流对河床上石6头的冲击力就是水流速度慢的河流的4=4096倍。在本系列丛书中《趣味力学》chapter9中，对这一问题有详细的说明。

在研究灯泡钨丝的亮度与温度的关系时，我们会遇到更高次的乘方运算。这里有一个公式，当物体在白热状态时，总亮度增加的倍数是绝对温度（即从－273℃起算的温度）增加倍数的12次方倍；而赤热状态时，这一倍数高达30次方。例如，如果物体的绝对温度从2000K升高到4000K，即温度增加为原来的2倍，那么它的亮度就增加12为原来的2=4096倍。在后面的章节中我们会讲到，这一理论在灯泡的制造中具有重要意义。乘方带来的便利

在天文学中，第五种运算的应用是最为广泛的。在研究宇宙的过程中，经常要用到非常巨大的数，即天文数字——它们只有一两位有效数字，后面跟着一长串0。按照普通的记数方法，天文数字的书写和运算都极不方便。以地球到仙女座星云的距离为例，如果用普通的方法来写，即

95000000000000000000千米

这个数的单位是“千米”，而在天文计算中，经常需要换算成厘米，这就需要在上面的数后面再加5个0，即

9500000000000000000000000

这个数已经很大了，但恒星的质量比这个数还要大得多。例如，用克来表示太阳的质量就是下面这个数：

1983000000000000000000000000000000

很显然，如果用这种记数方法来进行运算，非常容易弄错后面0的个数。更何况，有时候遇到的数比这还要大得多。

此时，第五种运算就显示出了优越性。我们知道，对于1后面跟着一些0的数，通常用10的若干次方来表示，如：1234

10＝10，100＝10，1000＝10，10000＝10，…

按照这种方式，前面提到的两个数就可以用下面的形式表示：23

9500000000000000000000000＝95×1030

1983000000000000000000000000000000＝1983×10

这样，在进行计算的时候，不仅方便书写，而且运算起来也非常容易。比如说，要想用这两个数进行乘法运算，就可以写成下面的式子：233023+30（95×10）×（1983×10）＝95×1983×10（）=188385×5310

如果不运用乘方运算，那么这两个数相乘得到的数后面会有53个0！这样不但书写起来非常麻烦，而且可能会漏写0而发生错误。地球质量是空气质量的几倍

下面再来举一个例子，通过这个例子，我们可以对乘方在“天文数字”运算中的作用有更深刻的认识。比如，计算一下地球的质量相当于它周围空气质量的多少倍。

首先，地球表面每平方厘米所受到的空气压力大约是1千克，即地球表面每平方厘米支撑的空气柱的质量约等于1千克。这样的话，就可以把地球周围的空气看成是由很多个这样的空气柱组成的。只要算出地球的表面积，就可以知道一共有多少个这样的空气柱，从而得到地球周围空气的总质量。通过查阅资料，可以很容易得到，地球的7表面积大约是51000万平方千米，即51×10平方千米。

我们知道，1千米等于1000米，而1米等于100厘米，也就是说，552101千米等于10厘米；那么，1平方千米就等于（10）＝10平方厘717米。由此，我们可以得到地球的表面积为51×10×10=51×10（平方厘米）

这个数值就是地球周围空气的质量，单位是千克，如果换算成吨，1721就是51×10÷10=51×10吨，而地球的质量约为6×10吨。那么，它们两个的比值就是21146

6×10，÷51×10≈10

也就是说，地球的质量是它周围空气质量的一百万倍。换言之，地球周围的空气质量只有地球质量的百万分之一。没有火焰和热也可以燃烧

我们知道，木头或者煤炭只能在比较高的温度下才能燃烧，化学家告诉我们，这是因为碳元素跟氧元素发生了化合反应。其实，这种化合反应在任何温度下都能进行，只不过常温下反应速度比较慢而已，以至于我们几乎观察不到。化学反应定律是这么说的：温度每降低10℃，反应速度就会减缓。

根据这一定律，我们可以对木头与氧气发生化合反应的过程进行研究。我们假设当火焰的温度为600℃时，烧掉1克的木头需要花费1秒钟。那么，当温度为20℃的时候，烧掉同样重量的木头需要多少秒呢？此处温度从600℃降到20℃，下降了580℃，也就是下降了10℃的58倍，所以，反应速度就是原来的，也就是说，烧掉这158克木头需要2秒。

这段时间到底有多长呢？其实，不用真的把这个数计算出来，我们可以粗略估算一下。我们知道23

103=1024≈10

所以7

而一年的时间大概是3000万秒，也就是3×10秒，所以

即100亿年！也就是说，在20℃的温度下，要烧掉1克的木头需要的时间大概是100亿年。

这么慢的反应速度，难怪我们感觉不到。但是，如果采用取火工具，则可以把这个缓慢的过程加快上万倍，甚至更多。天气变化的概率【题目】假设我们在讨论天气的时候，只用有没有云来区分，也就是说，只分为晴天和阴天两种情况。那么，你认为会在多长时间内，天气变化情况完全不重复？

粗略估计一下，这个值应该并不大，最多经过两个月，所有的晴天和阴天的组合应该都有了，在后面的时间里，这些组合中总有一个会重复出现。

但是，真的是这样的吗？下面，我们就借助第五种数学运算来计算一下，看在这种分类方法下，究竟有多少种不同组合。【解答】首先，在一个星期内有多少种不同的阴晴组合形式呢？

第一天可能是晴天，也可能是阴天，因此有2种可能。2

同样，第二天也有2种可能，因此前两天共有2种可能的组合，即

那么，前三天呢？由于第三天也有2种组合，所以，跟前两天所2有可能的组合结合起来，前三天所有可能的天气变化组合数为2×3342=2。依此类推，前四天所有可能的天气变化组合数为2×2=2；前567五天共有2种组合；前六天共有2种组合；一个星期一共有2=128种组合。

也就是说，最多经过连续128周，天气变化情况会完全不同。在128周之后，128种组合中总有一种会再次出现。当然，也许在128周之前就已经出现了重复的情形，这里的128周只是一个最长的期限，超过这个期限，重复是肯定会发生的。但是，也有可能在这128周中完全没有重复的情形，只是这种概率是很小的。破解密码【题目】某个单位保险柜的密码被忘记了，只有钥匙没有密码是无法将它打开的。保险柜的门上有一个密码锁，它是由5个带有字母的圆环组成的，每个圆环上面有36个字母，只有把这5个圆环上的字母组成一个单词，才能把锁打开。要想打开这个密码锁而不破坏保险柜，就必须把圆环上所有的字母组合都尝试一遍，假设每尝试一个组合所花的时间是3秒钟。

如果计划用10个工作日把这把锁打开，可能做到吗？【解答】我们先来计算一下，这些字母所有可能的组合共有多少种。

先看两个圆环的情况。每个圆环上都有36个字母，从这两个圆环上各取一个字母，所有可能的组合情况有2

36×36=36（种）

上面的任一种都可以跟第三个圆环上的任一个字母搭配，得到所23有可能的组合情况有36×36=36（种）4

依此类推，4个字母所有可能的组合是36种，5个字母所有可能5的组合是36=60466176种。由于尝试每个组合需要的时间是3秒钟，所以，要把所有的组合都尝试一遍，需要的时间就是

3×60466176=181398528（秒）

把上面的数换算成小时，就是

181398528÷3600=50388（小时）

如果每天工作8小时，大概需要

50388÷8=6300（天）差不多有20年。

结论是，想用10个工作日打开这个密码锁，机会太渺茫了，它的概率只有，也就是，太小了。碰上“倒霉号”的概率【题目】有个迷信的人

买了一辆自行车，他特别忌

讳数字“8”，生怕自己的自

行车牌里面出现“8”这个倒霉的数字。他一直在盘算：车牌上所有的数字都包含在0，1，2，…，9这10个数字当中。在这些数字中，只有一个是“8”，因此碰上“倒霉数”“8”的可能性只有。

请问，他的想法正确吗？【解答】自行车牌的号码一共有6位，每位都有0，1，2，…，9共610种可能，共有10种组合，除去000000不能做为车牌号，剩下的号码一共是999999个，即

000001，000002，…，999999

现在来计算一下一共有多少个“幸运号”，也就是不带数字“8”的号。第一位数字可能是除了“8”之外的9个数字中的任何一个，即0，1，2，3，4，5，6，7，9；第二位数字也是一样。所以，前两2位数共有9×9=9种“幸运数”组合。如果再加上一位数，由于新加23上的这个数也有9种可能，所以，前三位的“幸运数”有9×9=9种组合。6

依此类推，6位车牌号所有可能的“幸运号”个数是9个。这些号码中包含了000000，它不能作为自行车的车牌号码。所以，所有6的“幸运号”共有9－1＝531440个。在上面的999999个数之中，这些“幸运号”所占的比例只比53％多一些，因此，“倒霉号”所占的比例将近47%，远远高于买车人认为的10%。

如果车牌号不是6位，而是7位，那么，在所有的车牌号码中，“倒霉号”甚至比“幸运号”还要多，读者可以自己证明一下。用2累乘的惊人结果

用2累乘一个很小的数，就可以把这个数变得非常大，而且累乘的次数不需要太多。下面，我们举一个大家不太熟悉的例子。【题目】草履虫每隔一定的时间就会由一个分裂成两个，这个时间大概是27小时。假设通过这种方法分裂出来的草履虫都能存活，那么，大概需要多长时间，一只草履虫分裂出来的所有后代的体积才能跟太阳的体积一样大？

假设每次分裂的后代都存活，已知一只草履虫分裂40代之后，27它所有的子孙所占的体积大概是1立方米，而太阳的体积大概是10立方米。【解答】根据已知条件，题目实际上就是问：用2累乘1立方米，27要累乘多少次才会得到10立方米？1027

我们知道，2≈1000，所以10可以表示成下面的式子：273910990

10=（10）≈(2)=2

也就是说，在分裂40代的基础上，只要再分裂90次，就可以达到太阳的体积那么大。如果从第一代开始算起，要分裂40+90=130次才能达到太阳那么大的体积。很容易计算出，分裂到130代大概需要147天，过程如下：

27×130＝3510（小时）

3510÷24＝146.25（天）≈147（天）

据说，曾经有一位微生物学家，从草履虫第一次分裂开始观察，一直观察到它分裂了8061次。感兴趣的读者朋友可以自己计算一下，如果这些草履虫一只也没有死掉，经过这么多次分裂以后，所占的体积是多少？

其实，对于这个问题，我们还可以换一种说法：

假设太阳也进行分裂，第一次分裂成两个，每一半又分裂成两个，并一直分裂下去。那么，经过多少次分裂之后，最终形成的粒子和草履虫的体积一样大?

当然，答案也是130次，但是，你可能会觉得不可思议，怎么才这么少的次数？是真的吗？当然是真的。

类似的问题还有很多，比如：把一张纸对半剪开，剪出来的半张纸再对半剪开，这样一直进行下去。那么，剪多少次之后（假设可以一直剪下去），得到的粒子跟原子大小一样?

我们假设一张纸的质量是1克，原子的质量我们取克这243810880

10=(10)≈(2)=2

所以，一共要剪80次。很多人以为需要剪几百万次，实际上根本没有那么多。快100万倍的触发器

有一种电子装置叫触发器，它主要由两个电子管组成，这种电子管跟收音机里的电子管差不多。通过触发器的电流必定会通过其中一个电子管，可能是左边的，也可能是右边的。在触发器里有两个接触点，用来接收外部的短暂电信号（脉冲）；还有另外两个接触点，用来输出触发器的回答脉冲。在外面输入脉冲的瞬间，触发器就会转变状态，即进行“翻转”，这时，原来导通的电子管变成闭合状态，电流转而进入另一个电子管。当右边电子管闭合、左边电子管导通的时候，触发器就会瞬间输出回答脉冲。

现在，我们给触发器连续不断地输入几个电脉冲，看看它是怎样工作的。我们不妨根据右边的电子管来确定触发器所处的状态：当右边的电子管闭合，我们规定触发器处于“0状态”；当右边的电子管导通，我们规定它处于“1状态”。

假设触发器的初始状态是“0状态”，即左边的电子管导通，如图1所示。输入第一个脉冲后，右边闭合的电子管变成导通状态，也就是触发器翻转成“1状态”。此时触发器不输出回答脉冲，因为只有右边的电子管处于导通状态时，才输出回答脉冲。图1

接着输入第二个脉冲，这时，左边的电子管变成导通状态，触发器又翻转到“0状态”，此时触发器输出回答脉冲。

在输入两个脉冲之后，触发器又回到了初始状态。所以，

继续输入第三个脉冲后，触发器处于“1状态”；输入第四个脉冲后，触发器又处于“0状态”，并输出回答脉冲，依次不停地循环下去。也就是说，每输入两个脉冲，触发器的状态就会重复一次。

假设现在有很多个这样的触发器，给第一个触发器输入脉冲信号后，把它输出的回答脉冲加到第二个触发器上，第二个触发器的回答脉冲再加到第三个触发器上，依次类推。如图2所示，把它们顺次连接起来。现在，我们来看一下这些触发器会如何工作。图2

假设一共有5个触发器，它们的初始状态都是“0”。这样的话，我们就可以把它们的初始状态记为“00000”。输入第一个脉冲后，最右边的那个触发器就会转变成“1状态”，由于此时并没有输出回答脉冲，所以，后面的4个触发器仍然处于“0状态”，也就是说，现在的状态是“00001”。接着，我们输入第二个脉冲，这时，最右边的触发器就会翻转，变成“0状态”，并输出回答脉冲加到第二个触发器，使得第二个触发器发生翻转，变成“1状态”，而其他的触发器仍然处于“0状态”，所以，现在的状态变成了“00010”。接着，再输入第三个脉冲，这时，第一个触发器又会发生翻转，但不输出回答脉冲，所以其他的触发器状态都不会变化，这样的话，总体状态就是“00011”。接着，输入第四个脉冲，第一个触发器继续翻转，并输出回答脉冲，这个回答脉冲会使第二个触发器发生翻转，也输出回答脉冲，从第二个触发器输出的回答脉冲使得第三个触发器发生翻转，所以，这时的状态就变成了“00100”。

这样一直进行下去，我们就会得到下面的状态：

输入第1个脉冲后00001

输入第2个脉冲后00010

输入第3个脉冲后00011

输入第4个脉冲后00100

输入第5个脉冲后00101

输入第6个脉冲后00110

输入第7个脉冲后00111

输入第8个脉冲后01000

……

由此可见，这些连接起来的触发器，可以对外面输入的脉冲进行“计数”，并且是以一种特殊的“计数”方法来表示这些脉冲信号的。通过观察不难发现，这种“记录”脉冲信号次数的方法，就是二进制计数法。

在二进制中，用“0”和“1”表示所有的数。跟十进制不一样，二进制后面一位上的1是前面一位上的1的两倍，而不是10倍。二进制数转化成十进制数时，首先从右至左用二进制的每个数分别乘012以2的相应次方数，即2，2，2，……然后再把所得的数相加即可。012比如，二进制数“10011”转化为十进制数为1×2＋1×2＋0×2＋0×342＋0×2＝19。

连接起来的触发器就是用这种方式对输入信号进行计数并记录的。需要注意的是，触发器每翻转一次，也就是每输入一个脉冲信号，大概只需要一亿分之几秒的时间。现代计数触发器在1秒钟的时间里，可以“计算”1000多万个脉冲。一般来说，即便你的眼睛可以辨别得非常快，也大概需要0.1秒才能识别出这个变换的信号，所以，跟人相比，它快了差不多100万倍。

假如把20个触发器按照以上的方式连接起来，也就是说，这一串触发器可以用20位的二进制来表示输入的脉冲信号，那么，它可20以“计数”到2-1，这个数比100万还要大。而如果是64个触发器连64在一起，则可以用它来“计数”著名的“象棋数字”（即2）了。

用触发器可以在1秒钟的时间里“计数”几百万个信号，这在核物理的研究中具有十分重要的意义。例如，原子在裂变时会释放出大量的粒子，这个数目非常大，就可以用这一方法来计数。计算机的计算原理

除此之外，我们还可以利用触发器来进行数的运算。下面，我们就来看一下，它是如何实现两个数相加的。

如图3所示，把3排触发器按图中的样子连起来。第一排触发器用来记被加数，第二排用来记加数，最后一排记二者加起来的和。当上面的两排触发器的状态为“1”时，会向第三排的触发器输出脉冲信号。图3

从图中可以看出，上面两排触发器分别记着二进制数101和111。最后一排的第一个触发器从上面两排的第一个触发器各得到一个脉冲信号，即共得到两个脉冲信号。根据前面的分析，此时最下面的第一个触发器仍然处于“0状态”，同时会给第二个触发器发送一个回答脉冲。另外，第二个触发器还会从第二个二进制数那里得到一个脉冲信号。也就是说，这个触发器共得到了两个脉冲信号，因此，该触发器也处于“0状态”，并且，它还会向第三个触发器发送一个回答脉冲。除了得到这个回答脉冲之外，第三个触发器还从上面的两个触发器中得到了两个脉冲。也就是说，该触发器共得到3个信号，结果变成“1状态”，同时输出一个回答脉冲。第四个触发器得到了这个回答脉冲，并且再没有其他脉冲信号输入，因此第四个触发器的状态为“1”。以上的过程实现了两个二进制数的加法运算，即

如果换算成十进制的数，就是5+7=12。在图3中，最下面一排触发器输出的回答脉冲，就相当于我们在用“竖式”进行加法运算时的进位。如果每排触发器不是4个，而是20个甚至更多，我们就可以进行百万甚至千万级的数的加法运算。

需要指出的是，借助触发器进行加法运算的实际装置，要比图中的情况稍稍复杂。在实际的装置中，我们还需要考虑信号的“延迟”，通过一些装置来实现这一功能。具体地讲，在图3中，在接通装置的瞬间，上面两排触发器输出的脉冲同时加在最后一排的第一个触发器上，两个信号很容易混合在一起，被误认为接收到的只有一个信号。为了避免这种现象发生，必须让上面的两个信号分先后到达，即后一个信号要比前一个信号“延迟”到达。如果加上这一延迟装置，两个数相加的时候，就会比触发器单纯计数花费的时间要多一些。

将上面的设计方案稍加改造，就可以进行减法运算，甚至乘法运算、除法运算。事实上，乘法运算就是连续的加法运算，因此，花费的时间就会比加法运算多很多。

以上过程即是现代计算机的计算原理。应用这一装置的计算机每秒可以运算1万甚至10万多次，未来每秒运算速度甚至会达到上百万次、上亿次。读者朋友，你可能会觉得，这么快的运算速度有什么用处呢？在很多人看来，要计算一个15位数的平方，用秒的时间来计算跟用秒的时间来计算，好像没有什么太大的差别，都是一瞬间而已嘛。

其实不然。我们不妨先来看一个例子：一个非常优秀的象棋选手，在下每一步棋的时候，落子之前往往要考虑几十甚至上百种可能的情况。假设他考虑一种情况需要花费几秒，上百个方案就要花费几分钟甚至几十分钟。这样的话，在复杂的棋局中，棋手就会感到时间不够用，因为思考的时间可能会占用整个比赛所规定的绝大部分时间，导致最后只能匆忙落子。但是，如果把分析走棋方案的工作交给计算机来做，会怎么样呢？计算机每秒能进行上万次的运算，它分析完所有的走棋方案只需要一眨眼的工夫，当然不会出现时间不够用的情况。

你可能会说，计算是计算，下棋是下棋，它们是不一样的。棋手下棋的时候，可不是在计算，而是在思索，计算机怎么可能会下棋呢？你无须疑惑，我们在后面的章节中会对这一问题再进行详细的分析。共有多少种可能的国际象棋棋局

在本节中，我们就来粗略计算一下，在国际象棋的棋盘上，一共可能会出现多少种不同的棋局。我们只是想让大家知道这个数目会有多大，非常精确的计算没有太大意义，因此我们只是进行一种估算。有一本书，叫《游戏的数学和数学的游戏》，里面有这样一段文字：

由于白方的每个卒都可以向前走一个格或者两个格，一共有8个卒，共有16种走法；而2个马又分别有2种走法，共有4种走法。所以，白方的第一步一共有16＋4＝20种走法。同样地，黑方的第一步也有20种走法。白、黑两方各走第一步之后，会出现20×20=400种不同的棋局。

走了第一步后，后面的走法就更多了。比如说，如果白子第一步走的是e2-e4，那么，第二步就会有29种走法。再走第三步，可能的走法还会更多。以王后为例，假设它本来在d5格中，且它所有的出路均为空格，那么它可能的走法就有27种。不过，为了计算更简单，我们不妨取它们的平均数：

在双方的前5步中，假设每步的走法都是20种，在以后的每一步中，假设每步的走法是30种。另外，假设在比赛中双方各走了40步。这样，我们就可以计算出，在这盘比赛中，所有可能的棋局数目是535（20×20）×（30×30）

为求出上式的近似值，我们不妨对上式进行一些变形：5351070107080370（20×20）×（30×30）＝20×30＝2×3×10≈10×3×80837010＝10×3103103

在上式中，用2来代替10，因为2≈1000=10。70

对3可以进行下面的近似：

进而5358333116（20×20）×（30×30）≈10×2×10＝2×10在传说中，赏给6418象棋发明人的麦粒数是（2－1），这个数大概是18×10，象棋的棋局数可比这个数大多了。假如地球上所有的人每天24小时都在下棋，假设每走一步只需1秒，那么，要想把这些棋局全部实现，所需100要的时间大概是10个世纪！自动下棋机中隐藏的秘密

出现了能够自动下象棋的机器，你一定会觉得很神奇。棋子在棋盘上的不同组合非常多，甚至可以说有无限多个。如果告诉你，历史上曾出现过能够自动下棋的机器，你一定觉得不可思议，怎么可能制造出可以自动下棋的机器呢?

事实上，这只不过是人们的美好愿望罢了，并非真的出现过自动下棋机。匈牙利有一位名叫沃里弗兰克·冯·坎别林的机械师，因为发明了一种可以自动下棋的机器而声名远扬。据说，他在皇宫中展示过这一机器，继而又在巴黎和伦敦进行公开展览。甚至连拿破仑都想跟这台机器进行较量，并坚信自己可以取胜。后来，这台机器于19世纪中叶被带到了美国，不幸在费城的一次大火中化为灰烬。

据说当时还出现过一些别的自动下棋机，只不过，不像上面的这台那么有名。但是，人们并没有因此而灰心，一直致力于发明一种可以进行有效运算的机器。

事实上那时候发明的这类机器都无法真正实现自动运算。很多时候，在机器的内部有一位棋手隐藏在里面，他在不停地移动棋子。虽然这种机器看起来非常逼真，但事实上它们只不过是内部空间很大，且装着一些复杂机械零件的箱子而已。箱子里装着棋盘和棋子，棋子的移动是通过一个木偶的手来实现的。在下棋之前给我们展示的时候，箱子里面仅有一些机器零件。其实里面的空间是很大的，完全能够装下一个个子比较小的人。著名的棋手约翰·阿尔盖勒和威廉·刘易斯都曾扮演过这个角色。当展示箱子的其中一部分时，藏在里面的人就偷偷地向其他位置移动。所以，这个箱子里面的机械只是道具而已，在下棋的时候，它们并没有真正发挥作用。

综上所述，我们可以得出这样的结论：棋子间的组合不计其数，并不存在真正的自动下棋机，那些所谓的机器不过是某些机械师骗人的伎俩罢了。所以，根本没有必要对这种所谓的自动下棋机心存恐惧，或者感到神奇。

不过，随着科技的发展，现在已经造出了这种可以自动下棋的机器，这就是计算机，它可以在1秒的时间里运算几千次，甚至更多。在前面我们已经提到过这种机器，那么，它究竟是如何工作的呢？

其实，计算机所有的工作都基于运算，除此以外它什么都不会。但是，我们可以事先编一些程序，让计算机按照一定的步骤进行运算。

数学家就是根据下棋的一些战术来编写的程序。这些战术都是根据走棋的规则来制定的，根据这些规则，每个棋子对应的每个位置都有唯一的最佳路线。上页的表格就是一种下棋的战术，其中，对每个棋子都规定了一定的分值。

另外，在编写程序的时候，还按照一定的原则来衡量棋子所处位置的优劣，比方说，棋子是在中间还是在边上，棋子的灵活度如何，等等。位置的优劣也占有一定的分值，一般来说，这个分值不到1分。最后，把白方和黑方的总分相减，所得的差就代表了双方棋局上的优劣。如果是正的，就代表白方占优；如果是负的，则代表黑方占优。

计算机在计算的时候，一般只计算三步之内的差数，并且判断如何让这个差数的改变值最大，从而在这三步的所有组合中选择一个最1优的方案，并在卡片上打印出来，这就算走完了一步计算机的运算速度非常快，根本不会出现时间不够用的现象。

话说回来，如果一个机器只能“想出”后面紧跟着的三步棋，它2并不能算是一个好的“棋手”不过，随着计算机技术的发展，计算机“下”棋的技术肯定会越来越高超的。

本书不可能详细地描述这类下棋的程序。在下一章中，我们会介绍几个比较简单的运算程序。用3个2写一个最大的数【题目】大家肯定都知道如何用3个数写出一个尽可能大的数来。例如，给出3个9，写成如下形式：

所得的数就是9的第三级“超乘方”。

那么，这个数到底有多大呢？可以说，根本找不到一个东西，可以用来帮助我们理解这个数字到底有多大。在宇宙中，哪怕是把所有的电子加起来，得到的数字跟它比起来也不值一提。

下面，我们来看这样一个问题：不使用运算符号，把3个2摆成尽可能大的数。【解答】有了前面3个9的例子，很多读者朋友第一个想到的肯定是下面的摆法：

实际上，得到的结果可能会令你失望，因为它其实并不大，甚至4比222要小得多，它是2，也就是16。

实际上，要想用3个2摆成一个最大的数，这个数不是222，也不222是22＝484，而是2＝4194304

这个例子非常有意思。它说明了一个道理：如果用类推法去尝试解决数学问题，很有可能得到错误的推断。用3个3写一个最大的数【题目】有了前面的经验，在计算下面的题目时，读者朋友会觉得并不困难：

不使用运算符号，把3个3摆成尽可能大的数。【解答】如果还是用三级“超乘方”的方法来摆放，得到的数并不是最大的，这是因为：3333

这个数比3要小。所以，3才是正确答案。3个4【题目】不使用运算符号，把3个4摆成尽可能大的数。【解答】在这个题目中，如果你按照3个3的经验来处理的话，就又错了，因为44

4

比下面的三级“超乘方”444

要小。因为4＝256，所以，它显然大于4。3个相同的数字排列的秘密

通过前面的几个例子，读者可能会产生这样的困惑：为什么有些数字用三层的摆法最大，而有些数字就不是呢？下面，我们就来深入讨论一下这个问题，先来看一般的情形。

不使用运算符号，用3个相同的数摆出一个尽可能大的数。用字母a表示一个数，下面的摆法：示一个数，下面的摆法：223344

2，3，4

就可以表示为10a+a11a

a＝a

a的三级“超乘方”则可以表示为11a

问题的关键在于，当a取何值时，用三层摆法得到的数比a11a大。与a是以同一个数作为底的乘方，由于又都是整数，所以只需要比较它们指数的大小就可以了，指数大的，得到的数就大。上面的问题归结为求解下面的不等式：a

a＞11a

不等式两端都除以a，可以得出：a-1

a＞11a-1

通过代入法，我们可以得到，当a＞3时，a＞11成立。例如，当a=4时，4-1

4＞113－12－1

显然是成立的，而3，2都比11要小。11a

由此，得出结论：当这个数为2或者3的时候，用a的形式摆出的数最大；而当这个数大于等于4时，用三层摆法得到的数最大。用4个1写一个最大的数【题目】不使用运算符号，把4个1摆成尽可能大的数。【解答】我们很容易想到的数字是1111，但是，这个数并不是正确的答案。因为下面这个数11

11

比1111大多了。要想亲手计算出这个数值，可以把11连续累乘10次，只要耐心一些就可以了。其实，还可以通过查阅对数表的方法得到这个数的近似值。

实际上，这个数比2850亿还要大，也就是说，它比1111大25000万倍还要多。用4个2写一个最大的数【题目】把上面的题目扩展一下，来看看4个2的情形。

不使用运算符号，把4个2摆成尽可能大的数，该如何摆放呢？【解答】4个2所有可能的摆法一共有8种，即

在这几个数中，到底哪个数最大呢？

首先来看最上面的4个数，也就用两层摆法得到的数。

很明显，第一个数字2222，比后面的3个数都要小。先比较一下2222222后面的两个数：222和22。22

把22 进行如下变换：222×1121111

22=22=(22) =48421122

与222比，484的底数和指数都要大得多，所以，22＞222。2222222

再来比较22 和第一行的第4个数2。我们取一个比22更大的2222222数32，下面就来证明，即使是32，也比2小。

实际上，22522110

32=(2) =2222

这个数比2小多了。

也就是说，在第一行的4个数中，2222 最大。

再来看第二行中的几个数：

显然，最后一个数等于216，它肯定不是最大的，直接淘汰掉。224420而第一个数22 ＝22 ，它小于32＝2， ，也就是说，这个数也比中间的两个要小。所以，最后就变成比较这3个数的大小：

这三个数都是以2为底的指数，所以，只需要比较下面3个指数22

222，484和2

的大小即可，指数最大的对应的数就最大。22

很显然，2比222和484都要大得多。

因此，用4个2摆成的最大的数是。来估算一下这个数有多大。

由于103

2≈1000=10

而2210226

2＝（2）×2≈4×10

所以

也就是说，这个数的位数比100万还要多。

试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]

下载完整电子书