作者：隋永枫
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透平机械转子动力学求解新体系及其数值计算方法试读：
内容简介
本书基于哈密顿力学对偶体系的辛数学方法，结合透平机械陀螺转子动力学特点，从本征值、模态综合方法、时间有限元方法及本征摄动法四个方面展开研究，构建了透平机械转子动力学求解新体系，并提出了相应的数值计算方法。
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图书在版编目（CIP）数据
透平机械转子动力学求解新体系及其数值计算方法/隋永枫著.—北京：电子工业出版社，2019.5
ISBN 978-7-121-35951-4
Ⅰ.①透… Ⅱ.①隋… Ⅲ.①透平机械—转子动力学—研究 Ⅳ.①TK14
中国版本图书馆CIP数据核字（2019）第015369号
策划编辑：胡辛征
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北京市海淀区万寿路173信箱 邮编100036
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版 次：2019年5月第1版
印 次：2019年5月第1次印刷
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序言
透平机械广泛应用于人类的生产生活中，是机械行业学者研究的热点，特别是透平机械中转子动力学的研究获得了较大发展，成为机械振动领域的一个重要部分，国内外也陆续出版了较多专著和论文。20世纪90年代，钟万勰院士创造性地建立了哈密顿力学对偶体系，应用辛数学方法对振动问题进行求解。本书在此基础上继承了哈密顿力学对偶体系的辛数学方法，结合透平机械中陀螺转子动力学自身的特点，构建了基于辛空间的陀螺转子动力学求解新体系，并提出了相应的数值计算方法。这一套方法与传统的陀螺转子动力学方法不同，从一个全新的角度研究了陀螺转子动力学问题，为陀螺转子动力学的研究开辟了一条新的思路。考虑本书具有交叉学科的特点，希望读者在学习本书前能够先学习转子动力学基础理论和哈密顿力学对偶体系的相关知识，具体可参考书后文献，本书只简要介绍这两个学科的部分知识，而将介绍的重点放在两个学科交叉部分的研究成果，以便更好地为读者展现基于透平机械陀螺转子动力学的一种全新的求解体系，全书共分为6章，具体如下。
第1章绪论，介绍了透平机械转子动力学及哈密顿力学对偶体系关键问题的发展现状。
第2章陀螺系统概述及哈密顿体系，介绍了转子动力学和哈密顿力学基本原理。
第3章陀螺系统本征值问题，它是本书的重点，针对陀螺转子动力学系统本征值问题提出了独到的方法，详细介绍了哈密顿体系下陀螺转子动力学问题，介绍了一种新型的正定陀螺系统特征值的算法和陀螺系统辛子空间迭代法，之后又阐述了适合于不正定陀螺系统的辛子空间迭代法，并介绍了一种能够有效计算不正定陀螺系统本征值问题的方案，最后提出了一种基于哈密顿矩阵的S_Lanczos方法。
第4章大型陀螺系统的模态综合方法，首先举例说明了在动力转子系统中陀螺效应对实际模型的影响。分析了转子陀螺效应对进动角速度、振型及临界角速度的影响；然后提出了大型陀螺系统的模态综合方法，介绍了基于陀螺转子动力学系统辛子空间迭代法，在哈密顿框架下提出了陀螺系统的模态综合方法（MSMGS）；最后，探讨了应用精细积分方法对陀螺阻尼转子系统进行不平衡响应分析的处理方法。
第5章陀螺系统的时间有限元方法，提出了陀螺转子动力学系统的时间有限元方法，详细阐述了将保辛的时间有限元方法应用于陀螺转子动力学，给出了陀螺系统时间有限元方法的形函数矩阵、时间单元刚度阵列式和非齐次外力的表达式，并详细论述了精度更高的时间有限元内点法，并将无内点时间有限元法及其内点法应用于一般非线性陀螺转子系统，对非线性转子系统进行了计算，通过多方法比较，详细论述了该方法的优越性。
第6章一般线性哈密顿动力系统的摄动问题，提出了基于转子动力学体系的线性哈密顿动力系统的摄动计算方法、基于线性哈密顿动力系统的本征方程及其辛正交条件，借鉴一般固有振动系统摄动方法的思想，提出了一般线性哈密顿动力系统的本征问题摄动法，导出了本征问题的二阶摄动解。
本书的工作是在作者博士导师钟万勰院士的研究成果基础上进行的，结合了钟院士建立的哈密顿力学对偶体系和转子动力学两个学科的特点，开辟了一种不同于传统转子动力学的求解思路和方法，需要说明的是，基于哈密顿力学对偶体系的透平机械陀螺转子动力学的求解方法和所涉及的领域远不止这些内容，需要相关研究人员长期不断地开拓研究，逐步完善哈密顿力学对偶体系下的陀螺转子动力学各类关键问题的求解方法。
非常感谢钟万勰院士在作者攻读博士期间的培养，使得作者能够进入这个领域并开展深入的研究工作，非常感谢大连理工大学的姚伟岸教授对作者的关怀和培养，感谢高强教授对本书的大力支持和帮助，同时作者还得到王承强、刘靖华、张兵茹、姚征、房桂祥、谭述君等人的协助，在此表示深切的谢意。本书还获得了“杭州市50MW功率F等级分布式能源燃气轮机研制”“国家自然科学基金NFSC-浙江两化融合联合基金：工业燃气轮机在线监测及安全运行关键技术研究”“浙江省科学技术厅优先主题重大工业项目：100MW等级超大型工业汽轮机系列技术开发与应用”“杭州市科学技术委员会杭州市重大科技创新专项：先进50MW等级燃气轮机数字样机设计（20172011A02）”等基金项目的支持，在此一并对相关人员表示感谢。
因作者水平所限，书中难免会有一些不足或疏漏，恳请广大读者批评指正。作 者第1章 绪论1.1 引言
在人类的生产生活中，透平机械已经广泛应用于包括蒸汽轮机、燃气轮机、航空发动机、工业压缩机及电动机等重要装置中。在电力、[1]航空、机械、化工、纺织等国民经济领域中起着非常重要的作用。
在转子动力学中，由于陀螺效应的存在，使得问题变得复杂，特别是在高转速情况下，转子的陀螺效应不能忽略，这就引出了陀螺转[2]子动力学系统的诸多课题。钟万勰院士根据结构力学与控制理论的[3]模拟关系，将对偶变量理论体系引入到陀螺系统中，形成了新的陀[4]螺系统求解理论，该方法显示出状态空间法、对偶空间、哈密顿体系方法论等特色。本书正是在这套方法论基础上，将哈密顿力学对偶体系中陀螺系统的诸多理论和求解方法引入到陀螺转子动力学中，并结合转子动力学学科的自身特点，从一个全新的角度研究了陀螺转子动力学问题，这为陀螺转子动力学的求解提供了一种新的思路。1.2 转子动力学若干问题的发展现状
随着大工业的发展和科技的进步，旋转机械已经深入到人类的生产活动中，转子动力学就是研究旋转机械动力学问题的一门学科，它是一门既有理论深度又有很强的实践性的应用基础学科。自1869年[6]Rankine发表的题为《论旋转轴的离心力》一文以来，一直使用的最简单的转子模型是由一根两端刚支的无质量的轴和在其中部的圆盘组成的，这种转子模型后被称为“Jeffcott”转子，它是由Foppl在[7]1895年提出的，而由Jeffcott 教授在1919年首先解释了这一模型的[8]转子动力学特性。他指出在超临界运行时，转子会产生自动定心现象，因而可以稳定工作。这一结论使得旋转机械的功率和使用范围大大提高了，许多工作转速超过临界的涡轮机、压缩机和泵等对工业革命起了很大的作用。但是随之而来的一系列事故使人们发现转子在超临界运行达到某一转速时会出现强烈的自激振动并造成失稳。这种不[9]稳定现象首先被Newkirk发现是由油膜轴承造成的，从而确定了稳定[10]性在转子动力学分析中的重要地位。
近几十年以来，电力、航空、机械和化工等行业的迅猛发展极大地推动了转子动力学的研究。发电机组的单机容量从几万千瓦发展到了上百万千瓦。旋转机械的转子越来越柔、功率越来越大、转速越来越高、结构越来越复杂，向高速轻质重载和日趋复杂的方向发展，这[11，12]为转子动力学的研究提出了一系列的研究课题。
复杂转子系统和多自由度转子系统是近代转子动力学的主要研究[14，15]对象。高转速是近代高速旋转机械的一个重要特征，特别是在航空领域旋转机械的转速一般都是在超临界甚至超过二三个临界转速的状态下运转的，此时在低转速时可视为“刚体”的旋转部件都应视为弹性部件参与耦合振动，从而构成了复杂的柔性旋转系统。柔性支撑和柔性基础的采用是使转子超临界运行安全可靠的有效设计途径。这种方法主要是使柔性支撑和柔性基础伴随着柔轴一起振动，达到减少转子振幅的目的。降低支撑刚度和实施轻基础设计是近代高速旋转机械设计思想上的一个飞跃。这就要求在进行转子动力分析时必须同时考虑转子—支承—基础系统耦合的整体系统，增加了分析的难度。这是近代转子动力学一个非常重要的研究课题。
高转速带来了另一重要效应—陀螺效应。在低转速时，转子的运动方程常被简化为质量—刚度振动方程，在结构动力学中对其已经有了很成熟的研究。但在高转速下，陀螺力的存在使系统振动方程多出了一个保守的陀螺力项，这就使得陀螺转子系统的分析求解变得困难，这一方面的研究已经开展起来但并不完善。
以下分别介绍陀螺转子动力学若干问题的发展现状。1.2.1 陀螺系统本征值问题的发展现状
陀螺系统本征值问题一直是转子动力学提出的典型数学问题。经[2]过多年的努力，发展出一系列快速有效的求解方法。但这些算法通常是基于系统的刚度矩阵正定时的情况。对于不对称转子的情况，特别是在高转速情况下，由于采用相对坐标系，经常会出现系统刚度矩阵不正定的情况，特别是在自由度较多的情况下，其本征值问题是很难进行求解的。本书第3章针对此种情况提出了陀螺系统的辛子空间迭代法和不正定陀螺系统的求解方案，比较好地解决了当系统刚度矩阵不正定（即对应哈密顿函数不正定）时陀螺系统的本征值问题。以下介绍陀螺系统本征值问题的发展概况。[16]
1971年，Paardekooper首先提出了反对称阵的Jacobi方法，它与求解对称阵的本征根的Jacobi方法类似，也是通过反复实施二维旋转变换，以消除反对称矩阵的全部非对角子阵，把反对称矩阵化为典则型。这种方法虽然可以证明是收敛的，但其精度较低，特别是它只能无选择地算出全部的本征值，这对于高阶矩阵来讲很多时候都是没有必要的，所以这种方法主要适用于低阶反对称矩阵。后来发展的三[17]维旋转法虽然加快了收敛速度，但也没有克服这个缺点。
1974年，Meirovitch提出了把陀螺本征值问题转换成对称阵本征[18]值问题的方法，这种方法最大的优点是把反对称阵的本征值问题化为了对称正定阵的本征值问题，使得很多现成的标准程序能够直接应用。虽然Meirovitch方法克服了Jacobi方法和三维旋转法只能无选择地算出全部本征值的缺点，使得可以在感兴趣的频段上寻找所需的本征解，但这种方法也有缺点，就是在化为对称阵的过程中必须要对矩阵求逆，这不仅影响了计算效率，而且常常会因此带来误差。基于以上的工作，1997年，Meirovitch将保守陀螺系统的理论做了进一步的发展，在文献[19]中，通过一组变换将陀螺系统本征值问题化为一对称矩阵的本征值问题，并给出了离散陀螺系统的瑞莱商定理、最大最小定理和包含定理。[20]
中国学者张文，包华丽在1989年提出了一种求解大型正定陀螺系统本征值问题的高效算法，这种方法先通过平面镜像变换，把反对称阵化为缩聚后的三对角形式的反对称阵，再利用这个特殊形式的反对称阵，把问题化为三对角正定对称阵的普通本征值问题，然后对[21]其进行求解，很好地解决了大型正定陀螺系统的本征值问题。
陀螺系统的Lanczos方法也是一种常用的本征值计算方法。这种方法的发展要追溯到1950年由Cornelius和Lanczos提出的一种方法[22]，这种方法是通过一系列迭代过程将矩阵化为一个三对角矩阵，这个三对角矩阵的本征值能比较好地逼近给定的本征值，这就是对称矩[23，24]阵本征值的Lanczos方法的思想。这种方法就是利用正交矩阵的相似变换，实现了大型稀疏对称阵的缩聚，从而解决了大型稀疏对称矩阵的本征值问题。1986年，Bunse等人将这种思想引入到求解哈密顿矩阵本征值的过程中，他们利用变换成功地将哈密顿矩阵化为J_三[25][26]对角阵型，后来Ferng W R等人又对这个算法作了发展，这种方法至今仍是一种求解陀螺系统本征值问题的常用方法。另外比较常用[27，28]的方法还有Arnoldi方法。近些年来，郑兆昌、任革学等对求解[29，30]大型陀螺本征值问题的Arnoldi方法作了系统的研究。陀螺系统的Lanczos方法和Arnoldi方法是两种应用广泛的方法，它们计算速度快，很好地解决了大型陀螺系统的本征值问题，但是，在有些工程问题中Lanczos方法和Arnoldi方法都存在稳定性弱的问题，在计算机速度飞快发展的今天，计算速度相对较慢而稳定性很好的辛子空间迭代[31，32]方法则有很好的应用前景，这方面的工作请参见第3章内容。[4]
钟万勰经过近些年来的开创，提出了基于变分原理的本征值理论，进一步得出了对偶空间内的本征值最大最小定理和包含定理。同时针对陀螺系统可化为反对称矩阵的特点，提出了反对称矩阵辛本征[33]问题的算法，丰富了陀螺系统的基本理论。另外还有其他一些方法，[34][35，36][37]如Gupta，Wittrick-Williams方法及瑞莱商方法。这些方法各有其优缺点，对待具体问题应具体加以分析。
但就如前面指出的那样，以上这些算法虽然已发展很多年，但大多都是基于系统刚度矩阵为正定的情况，所以本书第3章对不正定陀螺系统的本征值问题的研究是很有必要的。1.2.2 转子系统模态综合方法的发展现状
众所周知，有限元模型对复杂结构的动力分析往往会导致大型广义本征值问题，但本征值问题的求解是非常费时费力的，而对于一个拥有成百上千自由度的复杂结构模型，虽然理论上存在与自由度数目相同的固有频率，但工程界关心的往往只是较少的低阶频率及其模态，这不仅因为外激励力一般不会达到这么高的频率，而且高阶本征值问题自身的精度也是值得怀疑的。因此，从实际情况来看，只能把握前面的低频率段。然而，用一个上千自由度的有限元计算模型去分析前几阶或十几阶固有频率和振型，显然是极不经济的，在这一背景下，[38，39]在结构振动分析中发展出了模态综合法。利用该方法，我们可以大幅度地缩聚复杂结构的自由度数目，同时又可以很好地保持了低阶频段的精度，因而得到了广泛的应用。
随着工程技术的发展，转子系统已经日趋复杂且对精度要求越来越高。由于陀螺本征值问题的处理常常需要在状态空间中进行，矩阵的阶数要扩大一倍，因此计算费用问题更为尖锐。从20世纪70年代中后期开始，国内外相继开始把模态综合法的思想应用到复杂转子系[40～43]统上来，近些年来已经取得了很多重要成果。
本书第4章主要在第3章提出的陀螺系统辛子空间迭代法基础上，发展出相对应的状态空间内的模态综合法，可以看到与传统的陀螺系统模态综合法不同，本书提出的模态综合法是基于哈密顿框架下的，具有保持哈密顿框架的特点，使得本书所提出的理论与计算方法能够很方便地应用。1.2.3 转子动力学数值分析方法与计算方法的发展现状
1.转子动力学数值分析方法的发展现状
在转子动力学中，数值分析方法通常采用传递矩阵法和有限元法。传递矩阵法在20世纪50年代中期被应用于转子系统的分析和临界转[44，45]速的计算，直到现在仍是转子动力学的主要分析手段之一。这一方法的特点是：矩阵的阶数不随系统的自由度数增大而增加，因而编程简单，内存用量小，运算速度快，特别是用于像转子这样的链式系统，但其不足之处在于考虑支承系统等转子周围结构时分析较困难。[46]转子动力学的有限元分析方法始于1970年，由Ruhl把有限元方法用到转轴系统中，最开始他采用的是简单的工程梁模型，仅仅计入了转[47]轴弯曲变形能和平动动能。Nelson和McVaugh计入了转轴的陀螺效应和转动惯量，导出了Rayleigh梁-轴模型下的有限元刚度阵和质量阵[48][49]。之后，Nelson又推导了Timoshenko梁-轴的有限元公式。本书第2章介绍了集总质量模型、Rayleigh梁-轴模型和Timoshenko梁-轴模型。
转子有限元方法表达形式简洁规范，在求解转子和周围结构一起[47]组成的大型复杂系统的问题时，有很突出的优点。虽然在系统复杂时转子有限元分析方法会导致系统自由度数特别大，耗费时间，但是随着数字计算机的发展使得对大型问题进行数值计算成为可能。故在近十几年来，利用有限元方法解决转子的临界转速、不平衡响应及稳定性问题等方面取得了很好的结果。
转子有限元模型能够很全面地考虑各种因素，是一个比较精确的模型。和传递矩阵法相比，有限元方法占用更多的计算机存储和机时，程序比较复杂。但是计算结果精度较高，而且可以避免传递矩阵法中可能出现的数值不稳定现象。这种方法已经越来越受到重视，并已广泛地应用于工程问题中。本书就是采用这三种转子模型对陀螺转子系统进行分析的。[50]
2.转子动力学数值计算方法的发展现状
数值计算方法的发展主要是从20世纪50年代计算机问世开始的，而之后计算机的快速发展和普及为直接数值积分提供了条件，同[51～54]时出现了大量的直接数值积分方法，其中比较成熟并被人们普遍使用的数值积分方法有：Euler法、Runge-Kutta法及其各种扩展方法、Adams线性多步法等。它们同计算机相结合，开辟了现代数值计算技术的新天地，解决了大量生产和科学技术中的常微分方程初值问题。
对于机械系统动力学问题的求解，一般可归结为二阶常微分方程组的求解，它通常有两条途径：直接数值积分法和降为一阶微分方程组后再做数值解法。二阶常微分方程初值问题的直接积分法有中心差分法、Houbolt法、威尔逊法和纽马克法等。一阶微分方程的初值问题数值积分法有泰勒展开法、Runge-Kutta法和亚当斯多步法等，求解边值问题可用打靶法。
除了上述说到的几种常用的数值计算方法，还有几种比较有特色和前途的数值计算方法，这些方法正在逐步地被接受，有的已经被应用于解决实际的问题了。以下着重介绍几种与转子动力学相关的数值计算方法。
1984年冯康首次提出了哈密顿系统辛几何算法，开创了一个有[55，56]广阔应用前景的全新的研究领域。他和他的课题组成员经过十多年的努力，提出了哈密顿系统的辛几何算法的完整的框架理论，并取得了许多重要成果。在已有的数值计算方面，他提出了保辛的差分格式（如保辛的Runge-Kutta法），保持了保守体系结构的特性，在空间结构对称性和守恒性方面优于传统的算法，更好地逼近真实情况。[57]特别在稳定性和长期跟踪能力上具有独特的优越性。
自20世纪50年代空间有限元方法发展以来，时间域的有限元法也紧随产生了。时间有限元方法是指在时间域内采用的有限单元离散的方法。这种方法的根本思想就是将时间区域离散化，在各个子域内进行插值，然后通过哈密顿原理，加权残值近似或直接对运动方程导[58，59]出逐步的递归方案。Zienkiewicz在文献[60]中证明了许多广泛适用的有限差分表达式，它们都不过是时间有限元的特殊情况，而时间有限元可以导出更多的形式。另外以哈密顿原理为基础的时间有限元[61，62]法也同样得到了发展。
虽然Zienkiewicz提出的时间有限元法应用已经很广泛，但它并未要求保辛。正如前面文献[57]介绍的，保辛算法有其独特的优越性，所以时间有限元方法也应该保辛。钟万勰在文献[63]中证明了有限元法是自动保辛的。在此背景下，钟万勰根据结构力学与最优控制的模拟理论，基于动力学作用量的变分原理，提出了保辛的时间有限元方[64]法，可以证得导出的时间有限元单元矩阵具有对称性，从而达到了保辛。本书第5章将保辛的时间有限元方法应用于陀螺转子的线性/非[65]线性系统，算例验证了在数值计算过程中本方法具有精度高和稳定性好的特点。
另外，近年来钟万勰提出了一种求解线性常微分方程的精细积分[66，67]方法，这种方法可用于特别密的积分步长而不致发生数值病态。如果在积分步长之内载荷是严格线性变化的，或按简谐规律或多[68]种其他规律变化，该积分格式总是能算出与计算机精度相当的数值解。这种方法已经日益引起多个领域学者的重视，并得到了多方面的[68～78]应用和发展。本书第4章将精细积分方法应用于求解转子多自由度系统的时程响应分析，取得了很好的效果。另外可以看到精细积分方法可以与转子模态综合法相结合，更好地发挥精细积分方法的优势。1.2.4 保守体系本征摄动问题的发展现状
在结构和机械系统设计中，动态特性的预测和改进越来越受到重视，以便尽早发现和预防可能出现的有害振动问题，进而实现系统动态特性的最优设计。因此在系统的设计阶段进行结构修改并采用有限[79]元模型等进行结构动态特性重分析往往是必不可少的。但是，随着工程技术的发展，模型的精确化、复杂化往往使系统的有限元模型具有成千上万个自由度，这就使得结构的动态设计将要耗费大量的计算时间、经费和人力，因此要实现反复多次的结构修改重分析更是困难。[38]因此发展结构修改后快速而有效的重分析技术是十分有必要的。
结构动力学的矩阵摄动理论是结构动力学领域的一个重要分支，它主要研究结构参数有效变化时结构的固有特性和响应特性的变化。因此矩阵摄动理论是解决结构动态设计修改中的两个基本问题（灵敏[80]度分析和快速重分析）的有力手段。传统的自伴随系统的矩阵摄动法，主要是将离散化的系统化为对称矩阵或是广义对称矩阵的本征值问题，然后对其进行摄动分析求解，这种摄动方法现已基本成熟，专[79，38]著进行了系统的介绍。
随着工程实际问题的深入，矩阵摄动理论扩展到了复模态领域，形成了复模态矩阵的摄动理论。它应用更为广泛，能够很好地解决诸如一般非比例阻尼系统、控制系统及结构耦合等问题，近些年来已经[81～90]有了一定的发展，取得了很多理论成果。但是由于复模态矩阵摄动理论处理的有关系数矩阵不再是对称的，所以它将涉及一般非对称矩阵本征问题的求解，对于多自由度系统而言，这将是个麻烦的问题。
但是，另一方面，在自然科学及工程实际中，存在着大量的另一类系统，它介于上述两种系统之间，虽然属于非自伴随系统，但同时系统却是保守的，如陀螺系统，由于这类系统的本征问题较一般非对称系统本征问题的求解要容易得多，所以有必要建立基于保守系统的矩阵摄动理论。[2]
一般保守系统（如陀螺系统）的矩阵摄动理论近些年来虽有一些发展，但并不尽如人意，其主要的工作在文献[80]中已经做了系统的介绍。其一个重要的原因就是一般的保守系统有时无法或者很难化为对称矩阵或是广义对称矩阵的本征值问题。但是，由文献[4]可以看到，一般线性保守系统能够很方便地导入哈密顿体系，即一般线性[4]保守系统的本征问题很容易转化为对应哈密顿矩阵的本征问题。针对这种情况，本书第6章借鉴已有方法的思想，利用哈密顿算子辛自[91]共轭的性质，在辛空间内对保守系统进行摄动。即在哈密顿辛子空间迭代法的基础上发展了线性哈密顿矩阵本征值问题的摄动方法，本方法可以避免每次都求解大型哈密顿矩阵的本征值问题，只需在已有的工作基础上进行简单的模态修正即可。作为实际工程的一个应用，可以看到，这种方法很好地解决了陀螺转子系统的本征摄动问题，是一种经济适用、具有广阔应用前景的数值分析方法。1.3 哈密顿力学的发展与现状
经典力学有牛顿力学、拉格朗日和哈密顿力学三种表示形式，它们是对同一物理规律的不同数学表示形式，其表示在数学形式上是等价的，但是它们给出了解决问题的不同途径，在具体的实践中，应灵活运用。
哈密顿体系的理论模式是由哈密顿本人从几何光学着手创建的，而后才转向与光学相距甚远的力学。1834年，哈密顿曾说：“这套思想与方法业已应用到光学与力学，看来还有其他方面的应用，通过数学家的努力还将发展成为一门独立的学问。”但是这仅仅是他本人的期望。虽然这套理论已经比较完整，但同时代的人并未给予重视，许多人则持怀疑态度，认为这套理论“漂亮而无用”，著名数学家Klein在对哈密顿体系的理论给予很高评价的同时，对其实用价值亦持怀疑态度，但这种怀疑，至少就物理学的范畴而言，是被随后的历史发展所完全否定了。20世纪20年代量子力学正是在哈密顿形式的框架下建立、发展起来的。正如冯康、秦孟兆在文献[57]中所指出的，哈密顿体系是普遍的、普适的，具有能将不同物理规律纳为统一数学形式的优点。因此有理由认为，对于哈密顿体系进行计算方法的系统性研究，如果能取得成功，则将会有极其宽广的应用。再看看有关哈密顿方程计算方法的现状。哈密顿体系，包括有限或无限维的都是特定形式的常或偏微分方程。对于微分方程的计算方法的研究从18世纪起，迄今已有异常丰富的积累，专著、论文卷帙浩繁，无论是通用的、普适的方法，还是针对特定类型的方法都是这样。但是我们发现针对哈密顿类型方程的计算方法都基本阙如。这一空白贫乏的现状与哈密顿体系的重要性和普适性形成了尖锐的对比，是令人费解的。因此对这片未开垦的处女地进行探索与开辟是值得进行的，是很有吸引力的。当代计算方法研究的一条不成文的基本法则是，问题原型的基本特征[92，93]在离散后应该尽可能地得到保持。根据这一思想，则必须找到[57]能保持该体系的基本特征的算法，即哈密顿算法。冯康在论文中已经说明了辛几何就是哈密顿体系的数学框架。
弹性力学传统的求解方法是建立在拉格朗日体系下的，铁木辛柯在文献[94,95]中做了系统的概述，但其求解方法仍以半逆凑合法为主，这使得弹性力学的分析求解具有很大的局限性。钟万勰根据结构力学[3]与控制理论的模拟关系，将对偶变量理论体系引入到弹性力学，导出一套新的基本方程，建立了弹性力学辛求解方法。这种方法改变了[96]以往弹性力学求解中大量运用半逆凑合法的传统，而导向了理性的求解方法。这样就可以求得许多以往半逆凑合法无法导出的结果。钟万勰所创的弹性力学辛求解方法完成了从拉格朗日体系向哈密顿体系的过渡，其意义在于从传统的欧几里得型的几何形态进入到辛几何形态之中，突破了传统观念，具有一定的普遍意义和重要的方法论意义[5]。
之后，钟万勰又将这套辛求解方法应用于振动理论，结合已有的研究成果，建立了振动理论的哈密顿辛求解体系，并在此基础上发展[4]出一系列的适用于振动系统的数值计算方法。本书的工作正是基于此而开展的。第2章 陀螺系统概述及哈密顿体系2.1 引言[3]
根据结构力学与控制理论的模拟理论，可以将由原变量和对偶变量组成的混合变量引入到振动理论中，从而形成求解振动问题的一[4]个全新体系，它与弹性力学求解辛体系一样，是一个别开生面、统一的方法论。振动理论的求解辛体系完成了从拉格朗日体系向哈密顿体系的过渡，其意义在于从传统的欧几里得型的几何形态进入到辛几何型的形态之中，突破了传统观念，进一步扩大了混合变量方法的应[5]用领域。
本章首先介绍了哈密顿体系的自身特点及哈密顿矩阵的性质。然后简要叙述了转子动力学的有限元方法，给出了离散化后的基本列式。最后介绍了陀螺系统的辛求解方法。2.2 辛空间定义及其基本性质
定义2.1 设是实数域上的一个维相空间，对中的任意两个向量依一定法则对应着一个实数，这个数称为辛内积，记为，并且辛内积运算满足下列4个性质：
●；
●为任意实数；
●，是中的任意向量；
●若向量对中任一向量均有，则。
则称定义有这样辛内积的相空间为辛空间。
由以上4个性质可知，任一向量与其自身的辛内积一定是零，即对任意向量有（2.2.1）
对任意向量，，定义辛内积（2.2.2）
其中（2.2.3）
可称为单位辛矩阵，简记为，为维单位阵。容易验证式（2.2.2）满足辛内积的4条性质，于是就构成一个维辛空间。
单位辛矩阵的行列式值是，且有如下性质：（2.2.4）
定义2.2 若向量的辛内积，则说与辛正交；否则，则说与辛共轭。
于是由辛内积的4条性质可知，任一非零向量一定存在与其辛共轭的非零向量。事实上，若，则与一定是辛共轭的。
若向量组的向量满足（2.2.5）
则称向量组是共轭辛正交向量组；若式（2.2.5）中的，则称向量组是标准共轭辛正交向量组。
定理2.1 共轭辛正交向量组是线性无关向量组。
定理2.2 设是维辛空间，为一组标准共轭辛正交基，则中任意一个向量在基下的坐标为：（2.2.6）
设向量在基下的坐标为，则与的辛内积为（2.2.7）
其中（2.2.8）
即通过一组标准共轭辛正交基，维辛空间的辛内积运算可转化为普通向量（矩阵）间的矩阵运算。
定义2.3 如矩阵满足
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