作者：刘崇琪 吕淑媛 谢东华 李晓莉 罗文峰
出版社：人民邮电出版社
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光纤光学与技术试读：
前言
光纤光学这一名称始于20世纪50年代，是光学的分支之一。光纤光学是研究光波在光导纤维中传输的一门技术，在通信和传感领域得到了广泛的应用。随着光纤技术的发展，光纤光学研究的内容仍在不断丰富，应用范围仍在不断扩展。光纤的有些特性目前仍处于研究之中，以光纤为基础的新型光器件也随之不断出现。光纤光学这门课程是光学工程、光信息科学与技术、光电信息工程、光电子技术、通信技术、测控技术等专业的一门重要的专业基础课。
本书是在作者多年从事教学工作的基础上，依据教学需要编写而成的。其内容既注重了系统、深入的理论描述，同时也力求反映技术研究领域的最新成果，使之不但可作为工科大学本科生和研究生教材，而且也可作为有关领域技术人员的参考书。
本书共5章，参考教学时数为48学时。它以经典电磁场理论和近代光学为基础，系统论述了光纤光学的基本原理、传输特性及主要应用。第1章介绍光纤光学的基本理论，包括光的射线理论基础和波动理论基础。第2章运用射线理论和波动理论对阶跃光纤、渐变光纤等进行了分析。第3章围绕光纤的传输特性，重点分析光纤的损耗特性和色散特性的产生原因、分类及其对通信质量的影响，并且以基带特性模型分析了色散对脉冲展宽的影响。第4章从射线理论和波动理论两个方面研究平面光波导的特性。第5章介绍了光波导的数值计算方法，包括时域有限差分法、光束传播法和有限元法，并在有限元法中给出了Comsol软件的使用方法和应用实例。
本书由刘崇琪、吕淑媛、谢东华、李晓莉和罗文峰共同编写。其中第1章由罗文峰编写；第2章由刘崇琪编写；第3章由谢东华编写；第4章由李晓莉编写；第5章由吕淑媛编写。全书由刘崇琪统稿。
感谢梁猛老师在本书编写过程中提供了部分资料并给予许多有益的建议，感谢研究生邢竹艳提供了Comsol软件的应用实例。
由于编者水平有限，书中难免存在疏漏之处，热切希望读者指正。编者2015年1月
第1章 光波导基础理论
本章首先基于麦克斯韦方程组讨论了光波导中电磁场求解的一般方法，然后阐述了射线光学理论，最后讨论了平面光波在介质表面的反射和折射现象。
1.1 概述
光纤是光纤通信的传输介质，要传输的信号被调制在光载波上由光纤传输后被解调恢复。能使光信号按照一定的方向传输的装置被称为光波导，光纤是一种圆柱型的能导光的玻璃纤维，又称光导纤维。分析研究包括光纤在内的光波导的基础理论有两种:一种是电磁场理论，另一种是射线理论。射线理论即几何光学。几何光学分析研究光波导简单、直观，可以给出清晰的物理概念，但其分析结果略显粗糙。光是电磁波，所以可以用电磁理论分析研究其在光波导中的行为，分析的结果较为精确，但其分析过程较为复杂烦琐。两种理论各有其优点，因此，在分析研究光波导时，依据需要可同时应用两种理论，发挥各自的优点。电磁理论仅对简单的边值问题能求解出精确的解析解，对于较为复杂的边值问题很难求出解析解。在实际中，大量应用电磁理论的数值方法解决复杂边值问题。无论解析方法还是数值方法，经典电磁理论是基础，电磁理论即麦克斯韦方程组。
1.2 麦克斯韦方程组
电磁场的基本规律由麦克斯韦Maxwell方程组来表征，其微分形式为
其中，D，E，H，B，ρ，J分别为电位移矢量、电场强度、磁场强度、磁感应强度、自由电荷密度和介质中的传导电流密度。其中，D，E，H，B是描述电磁场的物理量，而且都是矢量。式(1.1)表示变化的磁场是电场的旋度源，其感应的电场的电力线是闭合的；式(1.2)表示传导电流和位移电流均为磁场的旋度源，磁力线是闭合的；式(1.3)表示磁场没有散度源，即磁场不能终止于磁荷，所以至今也没有发现磁荷；式(1.4)表示电荷是电场的散度源，电场终止于负电荷。
▽为矢性算符，在不同坐标系下的表达式分别为
直角坐标系，其中，i，i，i为直角坐标系单位矢量；xyz
圆柱坐标系，其中，i，i，i为圆柱坐标系单位矢量；rφz
球坐标系，其中，i，i，i为球坐标系单位矢量。rθφ
▽·和▽×分别表示散度和旋度，运算符合标量积和矢量积规则。【例1.1】给定电场强度E＝iE＋iE＝iy＋ix，求其散度和旋xxyyxy度。
解:【例1.2】求柱坐标系下标量函数的梯度和拉普拉斯表达式，矢量函数的散度和旋度表达式。
解:设标量函数u，矢量函数A＝iA＋iA＋iA，则rrφφzz
若电磁场随时间做简谐变化，即时间因子为exp(jωt)，则可得到复数形式的麦克斯韦方程组▽·D＝ρ (1.5)▽×E＝－jωB (1.6)▽×H＝J＋jωD (1.7)▽·B＝0 (1.8)
式(1.5)～式(1.8)中的所有物理量都是复数。在光纤光学中，通常处理的都是简谐电磁场问题，所以复数形式的麦克斯韦方程组就是电磁理论分析光波导的基础。
麦克斯韦方程组中，D和E，H和B之间的关系与电磁场存在空间的介质有关。在均匀、各向同性介质中，它们的关系为D＝εE＝εεE (1.9)0rB＝μH＝μμH (1.10)0r
其中，ε和μ为介质的介电常数和磁导率，ε和μ为真空中的介电00常数和磁导率，ε和μ为介质相对于真空的相对介电常数和相对磁导rr率。式(1.9)、式(1.10)由介质决定，所以称为物质关系。
在实际问题中，电磁场存在于不同介质组成的空间中，即存在两种介质的边界，所以需要把麦克斯韦方程组应用到两种介质的边界，得到所谓的边界条件。
对两个理想介质的分界面，边界条件为n·(D－D)＝0⇒D＝D (1.11)121n2nn×(E－E)＝0⇒E＝E (1.12)121t2tn·(B－B)＝0⇒B＝B (1.13)121n2nn×(H－H)＝0⇒H＝H (1.14)121t2t
其中，n为两介质分界面法线方向的单位矢量，电磁场量带下角标“1”代表介质1的电磁场量，带下角标“2”代表介质2的电磁场量，电磁场量下角标带“n”和“t”分别表示电磁场量的法向分量和切向分量。
1.3 亥姆霍兹波动方程
由复数形式的麦克斯韦方程组可以得到亥姆霍兹波动方程。通过解亥姆霍兹方程，并利用边界条件可以求出电磁场。
对式(1.6)两边分别取旋度，并利用式(1.7)、式(1.9)和式(1.10)有
▽×(▽×E)＝－jω▽×B＝－jωμ▽×H＝－jωμ(J＋jωD)＝－jωμ(J＋jωεE)
对无源区域，J＝0，则2▽×▽×E＝ωμε E (1.15)
再利用矢量恒等式2▽×▽×E＝▽(▽·E)－▽E (1.16)
可得22▽(▽· E)－▽E＝ωμε E (1.17)
对无源区域，ρ＝0，由式(1.4)可知▽·E＝0，代入式(1.17)得22▽E＋ωμε E＝0 (1.18)
同理可得22▽H＋ωμε H＝0 (1.19)2
式(1.18)和式(1.19)分别为电场和磁场的亥姆霍兹方程.算子▽＝▽·▽，方程中的场量为矢量，所以称为矢量亥姆霍兹方程。直接求解矢量亥姆霍兹方程并不容易，一般是将矢量亥姆霍兹方程转化为标量亥姆霍兹方程，然后进行求解。
在直角坐标系中，E＝iE＋iE＋iE，由于i，i，i为常矢量，xxyyzzxyz2即大小和方向均不变，算子▽对其作用结果为零，所以有2222(i▽E＋i▽E＋i▽E)＋ωμε(iE＋iE＋iE)＝0xxyyzzxxyyzz
因此有2▽2 E＝ωμε E＝0 (1.20)xx2▽2 E＋ωμε E＝0 (1.21)yy2▽2 E＋ωμε E＝0 (1.22)zz
式(1.20)～式(1.22)为电场的三个分量满足的方程。这些方程的形式与矢量亥姆霍兹方程一样，唯一不同的是其中的场量为标量，所以是标量亥姆霍兹方程。
对磁场的三个分量，同样有22▽H＋ωμε H＝0 (1.23)xx22▽H＋ωμε H＝0 (1.24)yy22▽H＋ωμε H＝0 (1.25)zz
在圆柱坐标系中，由于只有i是常矢量，所以只有E和H满足标zzz量亥姆霍兹方程。
在球坐标系中，所有的坐标方向单位矢量都不是常矢量，所以所有场分量都不满足标量亥姆霍兹方程。【例1.3】在各向同性均匀介质中，某电场在直角坐标系中只有x分量，且只是z的函数，即E＝iE(z)xx
求电磁场E和H。
解:由标量亥姆霍兹方程2▽2E＋ωμεE＝0xx2
将算子▽在直角坐标系的表达式和E＝iE(z)代入可得xx
解得其通解E＝Aexp(－jkz)＋Bexp(jkz)x
其中，，第一项表示沿＋z方向传播的均匀平面波，第二项表示沿－z方向传播的均匀平面波。
假定B＝0，则E＝Aexp(－jkz)x其相位随z周期性变化，k称为相位常数.相位变化一个最小周期对应的长度称为波长λ，即
因此，k又称为波数，即2π长度上可容纳的波长数。
由式(1.6)可得
从例1.3可以看出，各向同性均匀介质中的均匀平面波，电场、磁场和传输方向三者符合右手定则。
1.4 光波导电磁场求解的一般方法
通常，把能够导引电磁波按照一定的方向进行传播的装置，称为波导。由金属材料构成的波导称为金属波导；由介质材料构成的波导称为介质波导。导引光的光波导一般是介质波导。例如，介质平面光波导、光纤等都是介质波导。
能够独立存在于波导中的电磁场结构被称为模式。波导中实际存在的电磁场结构可以看作是这些模式的线性叠加.因此求解波导中的电磁场解可以转化为求解波导中的模式的场结构。电磁场模式通常按照电磁场传输方向的场分量(称为纵向场分量)是否为零对模式进行分类，假定传输方向为z方向，则根据E，H是否为零进行分类:若E＝zzzH＝0，则称为横电磁模，即TE M模式；若E＝0，H≠0，则称为横zzz电模，即TE模式；若H＝0，E≠0，则称为横磁模，即TM模式；若zzH≠0，E≠0，则称为混合模，即EH或HE模式。zz
在直角坐标系下，所有的场分量都满足标量亥姆霍兹方程，所以可以求出所有场分量，即使这样，求解每一场分量所满足的亥姆霍兹方程仍然过于烦琐，况且，若是在圆柱坐标系下，仅有E，H这样的zz纵向场分量满足标量亥姆霍兹方程可供求解，其他横向的场分量并不能通过解亥姆霍兹方程来求得。因此，只有通过麦克斯韦方程组找到横向场分量和纵向场分量的关系，所有的场分量才能得到求解。
在无源区域，重写麦克斯韦方程组式(1.5)～式(1.8)
假定电磁场沿z轴方向(纵向)传输，把场和算子写成纵向矢量和横向矢量相加形式
其中下标T代表横向场，代入式(1.6)和式(1.7)，有
由式(1.27)和式(1.29)，并利用公式▽×(iE)＝－i×▽E和▽×TzzzTzT(iH)＝－i×▽H，可得zzzTz
i×分别作用于式(1.30)和式(1.31)，可得z作用于式(1.32)后，与式(1.33)联立，消去，可得22
其中k＝ωμε。
同理可得
若电磁波沿z轴方向传播，不计损耗，则所有场量随z有相位变化－jβz因子e，β为传输方向的相位常数，因此有
应用式(1.36)后，式(1.34)和式(1.35)变为
式(1.37)和式(1.38)给出了纵向场和横向场的关系。若纵向场分量被确定，则可求出横向场.因为纵向场分量在直角坐标系和圆柱坐标系下均满足标量亥姆霍兹方程，所以可以通过解标量亥姆霍兹方程求出纵向场分量，然后再利用纵向场和横向场的关系求出横向场。
除了TEM模式外，所有的模式都可以采取先求纵向场，再求横向场的方法。【例1.4】某波导中电磁场的纵向场分量
试求其横向场分量E，E，H和H。xyxy
解:在直角坐标系下，，所以将，H＝0代z入可得所以
1.5 射线光学基础
用射线分析光波导具有直观形象、概念清晰、方法简便的优点，射线光学是一种电磁理论的短波长近似.当波长远小于系统尺寸时，可以忽略光波的衍射效应，而把光的传播作为直线或曲线处理。在该理论中，光线传播的方向就是光波的能流方向，它的每一点的切线方向与光波等相位面正交。
程函方程是射线光学的基本方程，是描述光线相位特性的方程，适用于单色光的Maxwell方程的约化形式▽×E＝－jωμ H (1.39)▽×H＝jωε E (1.40)
在均匀介质中式(1.39)和式(1.30)存在平面波特解j ωt
在特解表达式中已省略了固定的时变因子e，振幅E(r)和H(r)00均为r的函数，－kφ(r)代表相位延迟，k＝2π/λ，φ(r)为光程。000
在几何光学近似下，λ→0时，波矢项k数值很大，式(1.41)右边00第一项可以忽略，这时式(1.41)简化为
代入式(1.39)，可得k[▽φ(r)×E(r)]＝ωμ H(r) (1.43)000
同理可得k[▽φ(r)×H(r)]＝－ωε E(r) (1.44)000
电场和磁场的关系式用矩阵表示为
要使电场和磁场有非零解，式(1.45)中系数行列式应该为零。
对于各向同性介质，经计算可以得到相应的程函方程为
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