作者：蒋守成
出版社：电子工业出版社
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神机妙算试读：
前言
怎样才能把大脑的潜能充分发掘出来？这就需要同学们进行有针对性的智力训练，但是，训练往往是一个枯燥而乏味的过程，有没有既有趣又有效的训练方式？有没有更快乐的方式呢？基于此，编者向小朋友们奉献了《小学数学思维拓展》丛书，以最有效的方式开发同学们的潜能，以最轻松的训练开启智慧的法门。翻开此书，也许你成不了爱因斯坦，但你可以像爱因斯坦那样思考，发现数学的魅力。
本套丛书是专门为小学生设计编写的思维拓展类图书，丛书共4册，每册按内容划分为神机妙算、图形王国、应用问题和解题策略四大板块，内容丰富多彩，语言生动通俗，排版灵活多变，给读者带来全新的视觉享受。书中一个个精心设计的思维拓展题，引导孩子打破固有的思维模式，充分调动脑细胞的活力，开发深层潜能，全面提升学生各方面的能力和素质，让孩子不断超越自我，逐渐走向成功。
本书的目的是使学生学会学习，就是学会思考、学会推理，在深层次的思考中感受到数学的魅力。编者试图从运算、图形、问题解决与策略4个方面进行较为系统的训练，以发展学生的思维能力，提高智力水平，促进智力的发展。全书在基础知识、基本技巧、基本思想方法方面做了全面的、详细的诠释。本书遵循循序渐进的学习方式，通过引入、解析、拓展、提高逐渐提升，让学生真正地体验学习的乐趣。
本丛书编写力求体现以下特点。（1）“各个击破”在计算、图形、解决问题、解题策略四个方面，从基础知识、基本技巧、基本思想方法方面做了全面的、详细的诠释。（2）例题经典、新颖独特，覆盖面广，具有代表性，有启迪作用。（3）“思维点拨”深入浅出，通俗易懂，深入浅出，引人入胜。
本丛书并不仅仅是为了学会做几道数学题，更重要的是学习观察生活，不断地去发现、去思考、去解决数学问题，如果能够这样做，你就会发现数学无处不在，数学问题无处不在，并且在尝试着用数学解决问题的过程中感受到数学的魅力和研究数学的乐趣，那样，学习数学就变成了一件尽管辛苦但有着无穷乐趣的事情，乐在其中的好事，我们何不试着去做一做呢？
只要同学们掌握了正确的思维方法，就如同插上了一对强壮而有力的翅膀。小朋友们，还等什么，赶快挥动翅膀，飞翔在思维的天空中吧！编者 1 整数加减法的巧算
在计算整数加减法时，为了又快又正确，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一些巧算方法。在加减法速算中，经常使用的运算定律有加法结合律、加法交换律和一些基本的运算技巧。灵活地应用这些定律和技巧，就可以达到巧算与速算的目的。在进行运算时，一定要仔细观察、认真思考，抓住题目中数学的特征，采取合理、灵活的方法，使问题得到快速解决。【典例精讲】◆用凑整法计算
例1 计算：364+97+636+1803
思维点拨：
认真观察算式，发现算式中364和636、97和1803可以分别凑成整千数和整百数。因此，需要交换97和636的位置，然后分别对364和636、97和1803进行求和，再把两个得数相加，这样就可以达到速算的目的了。
解：
364+97+636+1803
=（364+636）+（97+1803）
=1000+1900
=2900【牛刀小试】
计算下列各式。
1. 125+78+75+222. 182+45+67+18+553. 95+234+466+105+75【典例精讲】
例2 计算：（1）9999+998+97+9（2）68+78+88+98
思维点拨：
观察算式（1）中的4个数，发现它们分别接近10 000、1000、100和10，因此可以给每一个数字补上一个数凑整，再从“和”中减去所补的数。算式（2）中的每一个数都是一个整十数与一个一位数的和，所以可以利用拆数的方法，将算式中的每一个数写成一个整十数与一个一位数的和，再利用加法的交换律与结合律将整十数与一位数分别加起来求和。
解：（1）9999+998+97+9
=10 000+1000+100+10-1-2-3-1
=11 110-7
=11 103（2）68+78+88+98
=60+70+80+90+8×4
=300+32
=332【牛刀小试】
计算下列各式。
4. 9+97+996+99955. 299+398+105+4026. 97+87+107+57+47【典例精讲】
例3 计算：901+902+905+898-907+908-896
思维点拨：
这道题有加数也有减数，它们之间不能直接凑整。通过观察可以发现，这些数都接近于某个整十、整百数。所以计算时可将它们拆成两部分，整十、整百数与那些拆出来的“零头数”分别相加减，再把两部分的结果进行运算即可。
解：
901+902+905+898-907+908-896
=（900+1）+（900+2）+（900+5）+（900-2）-（900+7）+（900+8）-（900-4）
=（900+900+900+900-900+900-900）+（1+2+5-2-7+8+4）
=2700+11
=2711【牛刀小试】
计算下列各式。
7. 402+203-197-98+968. 9997+2596+74079. 709+308-294-92+98【典例精讲】
例4 计算：60+62+57+65+58+70
思维点拨：
观察上面的算式，发现算式中的几个加数都接近60，可以将60作为基准数，再减去多加的数，加上少加的数。
解：
60+62+57+65+58+70
=60×6+2-3+5-2+10
=360+12
=372【牛刀小试】
计算下列各式。
10. 43+39+38+40+39+4111. 89+87+85+79+76+8212. 987+1003+986+1009【典例精讲】
例5 计算：19 999+1999+199+19+4
思维点拨：
上面算式中的前4个数都距某个整十、整百数很近，给它们分别加上1就可以构成一个整十、整百的数。总共需要4个1，而最后的数4正好可以拆成4个1。这样就把上面的几个数变成了整十、整百的数，再计算就会很简便。
解：
19 999+1999+199+19+4
=（19 999+1）+（1999+1）+（199+1）+（19+1）
=20 000+2000+200+20
=22 220【牛刀小试】
计算下列各式。
13. 8+98+998+9998+99 99814. 5+95+995+9995+99 995+2515. 19 999+1999+199+19+9【典例精讲】◆带符号搬家
例6 计算：198+188-98
思维点拨：
算式中198与98的尾数相同，如果能够先从198中减去98，就可以使计算简便。因此，可以利用“带符号搬家”，将“-98”与“+188”交换位置，这样的计算结果不变。
解：
198+188-98
=198-98+188
=100+188
=288【牛刀小试】
计算下列各式。
16. 565+992-16517. 632+589-33218. 325+46-125+54【典例精讲】
例7 计算：98+104+101+97+96+102+104+95+100+105
思维点拨：
仔细观察上题中各个加数的特点，每个加数都非常接近100。在计算时，可以把每个数都拆分为100与一个一位数的和或差，再通过“带符号搬家”，把10个100的和运用乘法计算，其他的加数或减数能抵消的先抵消，不能抵消的再计算，从而使计算更简便。
解：
98+104+101+97+96+102+104+95+100+105
=100×10+4+1+2+4+5-5-2-3-4
=1000+5-5+4-4+2-2+4+1-3
=1000+5-3
=1002【牛刀小试】
计算下列各式。
19. 30+34-32+28-33+3620. 87+96+91-92-93+9521. 56+52-49+55-56+60【典例精讲】◆添括号和去括号
例8 计算：（1）986-65-135（2）654-（54+38）
思维点拨：
我们知道从一个数中分别减去几个数时，等于从这个数中减去这几个减数的和。反之，从一个数中减去几个数的和，等于从这个数中分别减去这几个数。
解：（1）986-65-135
=986-（65+135）
=986-200
=786（2）654-（54+38）
=654-54-38
=600-38
=562【牛刀小试】
计算下列各式。
22. 655-78-2223. 956-（654+56）24. 632-（132+525）【典例精讲】
例9 计算：（1）654+（146-125）（2）564-（264-158）
思维点拨：
算式（1）是一个数加上括号中两个数的差，可以先加上括号中的被减数，再减去括号中的减数。算式（2）是从一个数中减去两个数的差，可以先减去括号中的被减数，再加上括号中的减数，这样的计算结果不变。
解：（1）654+（146-125）
=654+146-125
=800-125
=675（2）564-（264-158）
=564-264+158
=300+168
=468【牛刀小试】
计算下列各式。
25. 785+（215-564）26. 875-（175-99）27. 452-（152-87）【典例精讲】◆配对求和
例10 计算：1+2+3+4+5+…+12
思维点拨：
这是一个等差数列，每两个数之间的差都是1，我们可以把这12个数首尾结合，每组两个数相加的和都是13，那么它们的和就有6个13（见下图）。其中，13是这组数中第一个数与最后一个数的和，6是用它们的个数除以2得到的。
解：
1+2+3+4+5+…+12
=（1+12）×12÷2
=13×12÷2
=78【牛刀小试】
计算下列各式。
28. 1+2+3+4+5+…+2029. 1+2+3+4+…+5030. 1+2+3+4+…+100【典例精讲】
例11 计算：18+20+22+24+26+28+30+32+34+36
思维点拨：
观察上式，可以发现这是一个等差数列，每相邻两个数相差2，首项是18，末项是36，项数是10。我们可以把它们首尾结合，组成5组，每组的和都是18+36=54，因此这个数列的和为54×5=270。
解：
18+20+22+24+26+28+30+32+34+36
=（18+36）×10÷2
=54×10÷2
=540÷2
=270【牛刀小试】
计算下列各式。
31. 3+6+9+12+15+18+21+24+27+30+33+3632. 8+12+16+20+24+28+32+36+40+4433. 202+204+206+208+210+212+214+216参考答案
1. 125+78+75+22=（125+75）+（78+22）=200+100=300
2. 182+45+67+18+55=（182+18）+（45+55）+67=200+100+67=300+67=367
3. 95+234+466+105+75=（95+105）+（234+466）+75=200+700+75=900+75=975
4. 9+97+996+9995=10+100+1000+10 000-1-3-4-5=11 110-13=11 097
5. 299+398+105+402=300+400+100+400-1-2+5+2=1200+4=1204
6. 97+87+107+57+47=90+80+100+50+40+7×5=360+35=395
7. 402+203-197-98+96=400+2+200+3-200+3-100+2+100-4=（400+200-200-100+100）+（2+3+3+2-4）=400+6=406
8. 9997+2596+7407=10 000-3+2600-4+7400+7=（10 000+2600+7400）+（7-3-4）=20 000
9. 709+308-294-92+98=700+9+300+8-300+6-100+8+100-2=（700+300-300-100+100）+（9+8+6+8-2）=700+29=729
10. 43+39+38+40+39+41=40×6+6-1-2-3=240
11. 89+87+85+79+76+82=80×6+9+7+5-1-4+2=480+18=498
12. 987+1003+986+1009=1000×4-13+3-14+9=4000-15=3985
13. 8+98+998+9998+99 998=（98+2）+（998+2）+（9998+2）+（99 998+2）=100+1000+10 000+100 000=111 100
14. 5+95+995+9995+99 995+25=（5+5）+（95+5）+（995+5）+（9995+5）+（99 995+5）=10+100+1000+10 000+100 000=111 110
15. 19 999+1999+199+19=20 000-1+2000-1+200-1+20-1=（20 000+2000+200+20）-（1+1+1+1）=22 220-4=22 216
16. 565+992-165=565-165+992=400+992=1392
17. 632+589-332=632-332+589=300+589=889
18. 325+46-125+54=（325-125）+（46+54）=200+100=300
19. 30+34-32+28-33+36=30+34+28+36-32-33=30×4-30×2+（4-2+6-2-3）=30×2+3=60+3=63
20. 87+96+91-92-93+95=87+96+91+95-92-93=90×4-90×2+（6-3+1+5-2-3）=90×2+4=180+4=184
21. 56+52-49+55-56+60=56+52+55+60-49-56=50×4-50×2+（6+2+5+10+1-6）=50×2+18=100+18=118
22. 655-78-22=655-（78+22）=655-100=555
23. 956-（638+56）=956-56-638=900-638=262
24. 632-（132+325）=632-132-325=500-325=175
25. 785+（215-564）=785+215-564=1000-564=436
26. 875-（175-99）=875-175+99=700+99=799
27. 452-（152-87）=452-152+87=300+87=387
28. 1+2+3+4+5+…+20=（1+20）×20÷2=21×20÷2=210
29. 1+2+3+4+…+50=（1+50）×50÷2=51×50÷2=2550÷2=1275
30. 1+2+3+4+…+100=（1+100）×100÷2=101×100÷2=5050
31. 3+6+9+12+15+18+21+24+27+30+33+36=（3+36）×12÷2=39×（12÷2）=39×6=234
32. 8+12+16+20+24+28+32+36+40+44=（8+44）×10÷2=52×10÷2=520÷2=260
33. 202+204+206+208+210+212+214+216=（202+216）×（8÷2）=418×4=1672 2 整数乘除法的巧算
在乘法、除法的速算中，我们经常用到的有乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律以及一些基本的运算技巧，还有积与商的变化性质等。灵活地运用这些定律和性质，就可以达到巧算与速算的目的。在实际计算时，要根据题目自身的特点，选用灵活的方法解决问题，在计算时无论题目是否要求简算，都应尽可能地使计算简便。【典例精讲】◆运用运算定律巧算
例1 计算：25×125×32
思维点拨：
观察算式中相乘的三个数，32可以写成8×4，而25与4的乘积是100，125与8的乘积是1000，这样可以先把32写成8×4，再利用乘法交换律和结合律，把25与4，125与8先分别相乘，使计算简便。
解：
25×125×32
=25×125×8×4
=（25×4）×（125×8）
=100×1000
=100 000【牛刀小试】
计算下列各式。
1. 25×125×642. 75×45×83. 250×16×125【典例精讲】
例2 计算：399×25
思维点拨：
观察399×25，如果用竖式很难计算出结果，但是399和400只相差1，可以考虑将399写成400-1的形式，再利用乘法分配律，使计算简便。
解：
399×25
=（400-1）×25
=400×25-25×1
=10 000-25
=9975【牛刀小试】
计算下列各式。
4. 98×9985. 501×196. 250×38【典例精讲】◆活用乘除法的运算定律
例3 计算：3100÷25÷4
思维点拨：
当用一个数连续去除几个数时，可以用这个数去除以另外几个数的乘积，结果不变。这个算式中用3100连续除以25和4这两个数，而25与4的乘积正好是100，因此可以使计算简便。
解：
3100÷25÷4
=3100÷（25×4）
=3100÷100
=31【牛刀小试】
计算下列各式。
7. 48 000÷125÷88. 450÷3÷59. 4200÷14÷3【典例精讲】
例4 计算：（360-108）÷36
思维点拨：
观察算式可以发现，括号里面的两个数都是36的倍数，可以像乘法分配律那样，先用这两个数分别除以36，再把除得的商相减，使计算简便。
解：（360-108）÷36
=360÷36-108÷36
=10-3
=7【牛刀小试】
计算下列各式。
10.（225-75）÷2511. 12÷5+9÷5-6÷512. 2436÷12【典例精讲】
例5 计算：920×8÷40
思维点拨：
在乘除混合运算中，也可以根据“搬家”的性质，把乘和除互换位置，计算的结果不变。在这个算式中，发现920正好是40的整数倍，如果利用“搬家”的性质，把“×8”和“÷40”互换位置，则可以使计算简便。
解：
920×8÷40
=920÷40×8
=23×8
=184【牛刀小试】
计算下列各式。
13. 7200×8÷6014. 81 000×7÷90015. 7700×3÷7【典例精讲】◆分拆叠数，凑公因数
例6 计算：9999×2222+3333×3334
思维点拨：
观察上面的算式，叠数AAA…A都可以分拆成A×111…1的形式，9999=3×3333，这样就凑出了一个公因数3333，同时，3×2222与3334也可凑整，这样就可以利用乘法分配律使计算更简便了。
解：
9999×2222+3333×3334
=3333×3×2222+3333×3334
=3333×（6666+3334）
=3333×10 000
=33 330 000【牛刀小试】
计算下列各式。
16. 6666×2222+4444×666717. 2666×222-444×33318. 9999×2222+3333×3334【典例精讲】◆“同补”速算法
例7 计算：（1）76×74（2）31×39
思维点拨：
本例两题都是“头相同、尾互补”类型。由算式结构形式可以看出，在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如1×9=09），积中从百位起前面的数是被乘数（或乘数）的十位数与十位数加1的乘积。“同补”速算法简单来说就是：积的末两位是“尾×尾”，前面是“头×（头+1）”。
解：（1）由乘法分配律和结合律，得到
76×74
=（70+6）×（70+4）
=（70+6）×70+（70+6）×4
=70×70+6×70+70×4+6×4
=70×（70+6+4）+6×4
=70×（70+10）+6×4
=7×（7+1）×100+6×4
=5624
于是得到下面的速算式：（2）与（1）类似可得到下面的速算式：【牛刀小试】
计算下列各式。
19. 33×3720. 59×5121.（1）702×708（2）1708×1792【典例精讲】
例8 计算：（1）78×38（2）43×63
思维点拨：
本例两题都是“头互补、尾相同”类型。在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如3×3=09），积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数（或乘数）的个位数。“补同”速算法简单来说就是：积的末两位数是“尾×尾”，前面是“头×头+尾”。
解：（1）由乘法分配律和结合律，得到
78×38
=（70+8）×（30+8）
=（70+8）×30+（70+8）×8
=70×30+8×30+70×8+8×8
=70×30+8×（30+70）+8×8
=7×3×100+8×100+8×8
=（7×3+8）×100+8×8
=2964
于是得到下面的速算式：（2）与（1）类似可得到下面的速算式：【牛刀小试】
计算下列各式。
22. 76×3623. 62×4224. 2865×7265参考答案
1. 25×125×64=（25×4×2）×（125×8）=200×1000=200 000
2. 75×45×8=（75×2）×（45×4）=150×180=27 000
3. 250×16×125=（250×2）×（8×125）=500×1000=500 000
4. 98×998=98×（1000-2）=98×1000-98×2=98 000-196=97 804
5. 501×19=（500+1）×19=500×19+19=9500+19=9519
6. 250×38=250×（40-2）=250×40-250×2=10 000-500=9500
7. 48 000÷125÷8=48 000÷（125×8）=48 000÷1000=48
8. 450÷3÷5=450÷（3×5）=450÷15=30
9. 4200÷14÷3=4200÷（14×3）=4200÷42=100
10. （225-75）÷25=225÷25-75÷25=9-3=6
11. 12÷5+9÷5-6÷5=（12+9-6）÷5=15÷5=3
12. 2436÷12=（2400÷12）+（36÷12）=200+3=203
13. 7200×8÷60=7200÷60×8=120×8=960
14. 81 000×7÷900=81 000÷900×7=90×7=630
15. 7700×3÷7=7700÷7×3=1100×3=3300
16. 6666×2222+4444×6667=3333×4444+4444×6667=4444×（3333+6667）=4444×10 000=44 440 000
17. 2666×222-444×333=1333×444-444×333=444×（1333-333）=444×1000=444 000
18. 9999×2222+3333×3334=3333×6666+3333×3334=3333×（6666+3334）=3333×10 000=33 330 000
19. 积的末尾两位数是两个乘数的个位相乘的结果（不够10，用0补足）；十位数乘本身加1的积写在两个个位数积的前面，即：
20. 两个乘数的个位相乘的结果是9，不够10，即不足两位数时用0补足，作为积的末两位数。
21. 在计算多位数的“同补”型乘法时，例题的方法仍然适用。
计算多位数的“同补”型乘法时，将“头×（头+1）”作为乘积的前几位，将两个互补数之积作为乘积的后几位。注意：互补数如果是n位数，则应占乘积的后2n位，不足的位补“0”。
22. 因为因数“76”和“73”的尾数相同，都是“6”；首数7+3=10，所以，7×3+6=27，27作为积的前半部分；6×6=36，36作为积的后半部分。
因此，76×36=2736。
这个过程可以直接操作为
23. 因为因数“62”和“42”的尾数相同，都是“2”；首数6+4＝10，所以，6×4+2=26，26作为积的前半部分；2×2=4，4不足两位数字，前面添0补足成04，04作为积的后半部分。因此，62×42=2604。
这个过程可以直接操作为
24. 在计算多位数的“补同”型乘法时，如果“补”与“同”，即“头”与“尾”的位数相同，那么例8的方法仍然适用；如果“补”与“同”的位数不相同，那么例8的方法不再适用。 3 复杂小数加减法的巧算
同学们，在计算比较复杂的小数加减法时，若直接进行计算，则计算量不但很大，还容易出现错误，这时就要对小数加减法进行巧算。巧算的主要方法是熟记和运用加减法的运算规则、运算律，并在计算中巧妙运用凑整的技巧，凑整是小数加减法中常用的一种方法，在计算时注意看小数的末位，千万注意“小数点”要对齐。【典例精讲】◆运用运算律
例1 计算：21.49+52.37-0.4+5.51-11.37-6.6
思维点拨：
通过观察，根据数字特点，运用加法交换律与结合律进行简算。
解：
21.49+52.37-0.4+5.51-11.37-6.6
=（21.49+5.51）+（52.37-11.37）-（0.4+6.6）
=27+41-7
=（27-7）+41
=20+41
=61【牛刀小试】
计算下列各式。
1. 3.71-2.74+4.7+5.29-0.26+6.32. 12.34+23.55+34.56+45.67+56.78+67.89+78.91+89.12+91.233. 1+0.99-0.98-0.97+0.96+0.95-0.94-0.93+…+0.08+0.07-0.06-0.05+0.04+0.03-0.02-0.01【典例精讲】◆分组凑整法
例2 计算：91.5+88.8+90.2+270.4+89.6+186.7+91.8
思维点拨：
这个算式都是加法，观察算式中的几个数，把能“凑整”的数先加在一起，再加上其他数。
解：
91.5+88.8+90.2+270.4+89.6+186.7+91.8
=91.5+（88.8+90.2）+（270.4+89.6）+（186.7+91.8）
=91.5+179+360+278.5
=91.5+278.5+179+360
=909【牛刀小试】
计算下列各式。
4. 2006+200.6+20.6+2.006+994+99.4+9.94+0.9945. 0.1875+0.25+0.3125+0.375+0.4375+0.5+0.5625+0.625+0.6875+0.75+0.81256. 11.7+22.9+33.3+47.1+52.8+62.2【典例精讲】
例3 计算：56.43+12.96+13.57-4.33-8.96-5.67
思维点拨：
题中既有加法又有减法，在计算时采用“凑整”的方法，在凑整的过程中需要移动数据的位置，在移动位置的同时一定要“带着前面的符号移动”。
解：
56.43+12.96+13.57-4.33-8.96-5.67
=（56.43+13.57）+（12.96-8.96）-（4.33+5.67）
=70+4-10
=64【牛刀小试】
计算下列各式。
7. 2.54-1.25+3.46-2.75+4.87+5.138. 3.17+7.48-2.38+0.53-3.48-1.62+5.39. 1+0.99-0.98-0.97+0.96+0.95-0.94-0.93+…+0.04+0.03-0.02-0.01【典例精讲】◆加补凑整法
例4 计算：0.9+9.9+99.9+999.9+9999.9
思维点拨：
观察算式中的每个数，发现它们与1、10、100、1000、10 000分别相差0.1，因此可以先把它们都看做1、10、100、1000、10 000来计算，再减去5个0.1即可。
解：
0.9+9.9+99.9+999.9+9999.9
=（1-0.1）+（10-0.1）+（100-0.1）+（1000-0.1）+（10
000-0.1）
=（1+10+100+1000+10 000）-0.5
=11 111-0.5
=11 110.5【牛刀小试】
计算下列各式。
10. 1.996+19.97+199.811. 0.7+9.7+99.7+…+999 999 999.712. 9.996+29.98+169.9+3999.5【典例精讲】◆转化法
例5 计算：124.68+324.68+524.68+724.68+924.68
思维点拨：
算式中的几个数的十位、个位和小数点后面的数都相同，都是24.68，可以先把24.68前面的数相加，再加上5个24.68，即可求出结果。
解：
124.68+324.68+524.68+724.68+924.68
=（100+300+500+700+900）+24.68×5
=2500+123.4
=2623.4【牛刀小试】
计算下列各式。
13. 325.24+425.24+625.24+725.24+525.2414. 68.75+168.75+1068.75+10 068.7515. 1234.5+8834.5+2334.5+7734.5+3434.5+6634.5参考答案
1. 3.71-2.74+4.7+5.29-0.26+6.3=（3.71+5.29）+（4.7+6.3）-（2.74+0.26）=9+11-3=17
2. 12.34+23.55+34.56+45.67+56.78+67.89+78.91+89.12+91.23=（12.34+34.56）+（45.67+91.23）+（56.78+89.12）+（67.89+78.91）+23.45=46.9+136.9+145.9+146.8+23.55=47+137+146+147+23.05=500.05
3. 1+0.99-0.98-0.97+0.96+0.95-0.94-0.93+…+0.08+0.07-0.06-0.05+0.04+0.03-0.02-0.01=1+0.01-0.01+0.01-0.01+…+0.01-0.01=1
4. 2006+200.6+20.6+2.006+994+99.4+9.94+0.994=（2006+994）+（200.6+99.4）+（20.06+9.94）+（2.006+0.994）=3000+300+30+3=3333
5. 0.1875+0.25+0.3125+0.375+0.4375+0.5+0.5625+0.625+0.6875+0.75+0.8125=（0.1875+0.8125）+（0.25+0.75）+（0.3125+0.6875）+（0.375+0.625）+（0.4375+0.5625）+0.5=1+1+1+1+1+0.5=5.5
6. 11.7+22.9+33.3+47.1+52.8+62.2=（11.7+33.3）+（22.9+47.1）+（52.8+62.2）=45+70+115=230
7. 2.54-1.25+3.46-2.75+4.87+5.13=（2.54+3.46）+（4.87+5.13）-（1.25+2.75）=6+10-4=12
8. 3.17+7.48-2.38+0.53-3.48-1.62+5.3=（3.17+0.53）+（7.48-3.48）-（2.38+1.62）+5.3=3.7+4-4+5.3=3.7+5.3=9
9. 1+0.99-0.98-0.97+0.96+0.95-0.94-0.93+…+0.04+0.03-0.02-0.01=1+（0.99-0.98-0.97+0.96）+（0.95-0.94-0.93+0.92）+…+（0.07-0.06-0.05+0.04）+0.03-0.02-0.01=1
10. 1.996+19.97+199.8=（2-0.004）+（20-0.03）+（200-0.2）=（2+20+200）-（0.004+0.03+0.2）=222-0.234=221.766
11. 0.7+9.7+99.7+…+999 999 999.7=（1-0.3）+（100-0.3）+…+（1000 000 000-0.3）=1111 111 111-0.3×10=1111 111 111-3=1111 111 108
12. 9.996+29.98+169.9+3999.5=（10-0.004）+（30-0.02）+（170-0.1）+（4000-0.5）=（10+30+170+4000）-（0.004+0.02+0.1+0.5）=4210-0.624=4209.376
13. 325.24+425.24+625.24+725.24+525.24=（300+400+500+600+700）+25.24×5=2500+126.2=2626.2
14. 68.75+168.75+1068.75+10 068.75=（100+1000+10 000）+68.75×4=11 100+275=11 375
15. 1234.5+8834.5+2334.5+7734.5+3434.5+6634.5=（1200+8800）+（2300+7700）+（3400+6600）+34.5×6=30 000+207=30 207 4 小数乘法的巧算
小数乘法运算是小数运算的重要内容之一，也是难点之一，其中运用乘法分配律能使某些小数乘法运算计算简便。在计算时观察数字特点是关键点。一看有没有特殊数字（0.25、12.5等）；二看因数是否接近整十、整百、整千……前者想方设法运用乘法结合律；后者把数拆成整十数、整百数或整千数加一位数（的形式），然后运用乘法分配律计算。【典例精讲】◆运用乘法分配律
例1 计算：2003×0.999-2004×0.998
思维点拨：
2003×0.999与2004×0.998都可利用乘法分配律进行计算。
解：
2003×0.999-2004×0.998
=2003×（1-0.001）-2004×（1-0.002）
=（2003-2.003）-（2004-4.008）
=2003-2.003-2004+4.008
=2003-2004-2.003+4.008
=1.005【牛刀小试】
计算下列各式。
1. 9.94×2011-9.93×20102. 7.68×998-7.67×9993. 20.1×2013-19.8×2015【典例精讲】
例2 计算：26.39×36+2.639×830-263.9×1.9
思维点拨：
根据“一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，得数不变”，可以把“2.639×830”转化为“26.39×83”，把“263.9×1.9”转化为“26.39×19”，这样乘法计算部分就有了共同的因数“26.39”，创造出了可以应用乘法分配律的条件。
解：
26.39×36+2.639×830-263.9×1.9
=26.39×36+26.39×83-26.39×19
=26.39×（36+83-19）
=26.39×100
=2639【牛刀小试】
计算下列各式。
4. 2.89×2.58+2.58×6.11+2.585. 75×4.7+15.9×256. 172.4×6.2+2724×0.38【典例精讲】◆等积变形
例3 计算：2.013×460+20.13×23+2013×0.31
思维点拨：
当多个部分积相加的时候，一般可以利用乘法分配律进行巧算，但各部分积中必须有相同因数，当没有相同因数时，可以利用积的变化规律“制造”出相同因数，从而达到巧算的目的。2.013、20.13、2013虽然不相等，但只是小数点的位置不同，可以将它们扩大或缩小以变成相同的因数，但在这个过程中要注意与原式保持结果一致。例如，2.013×460可以变成20.13×46（一个因数乘10，另一个因数同时除以10，积保持不变），2013×0.31可以改写成20.13×31，这样三部分积中就有了相同的因数20.13，可以利用乘法分配律进行简算。
解：
2.013×460+20.13×23+2013×0.31
=20.13×46+20.13×23+20.13×31
=20.13×（46+23+31）
=20.13×100
=2013【牛刀小试】
计算下列各式。
7. 3.45×0.16+264×0.0345+5.2×3.458. 19.98×37-199.8×1.9+1.998×8209. 33.3×6.66+99.9×7.78【典例精讲】◆凑整或分解
例4 计算：0.125×0.25×0.5×64
思维点拨：
利用凑整的方法，可以使运算简便。为了凑整，要根据算式中数的特征，利用分解的方法，将一个数适当地分解为几个数。本题在计算时，可以把64分解为2×4×8，然后根据乘法的交换律和结合律来简化计算。
解：
0.125×0.25×0.5×64
=0.125×0.25×0.5×（2×4×8）
=（0.125×8）×（0.25×4）×（0.5×2）
=1×1×1
=1【牛刀小试】
计算下列各式。
10. 0.5×0.8×0.04×1.25×0.2×0.02511. 8.88×1.2512. 1.25×0.25×32【典例精讲】◆巧用换元法
例5 计算：（7.88+6.77+5.66）×（9.31+10.98+10）-（7.88+6.77+5.66+10）×（9.31+10.98）
思维点拨：
这个算式很长，数据很多，但通过观察发现括号中有重复的数据，因此可设7.88+6.77+5.66=A，9.31+10.98=B，算式就简化为A（B+10）-（A+10）B，由此将算式整理计算即可。
解：设7.88+6.77+5.66=A，9.31+10.98=B原式=A（B+10）-（A+10）B=AB+10A-AB-10B=10（A-B）=10×[（7.88+6.77+5.66）-（9.31+10.98）]=10×0.02=0.2【牛刀小试】
计算下列各式。
13.（2+3.15+5.87）×（3.15+5.87+7.32）-（2+3.15+5.87+7.32）×（3.15+5.87）14.（1+0.123+0.1234）×（0.123+0.1234+0.12345）-（0.123+0.1234）×（1+0.123+0.1234+0.12345）15.（1+0.23+0.34）×（0.23+0.34+0.65）-（1+0.23+0.34+0.65）×（0.23+0.34）参考答案
1. 9.94×2011-9.93×2010=2011×（10-0.06）-2010×（10-0.07）=20 110-120.66-20 100+140.7=10+140.7-120.66=30.04
2. 7.68×998-7.67×999=7.68×（1000-2）-7.67×（1000-1）=7680-15.36-7670+7.67=10+7.67-15.36=2.31
3. 20.1×2013-19.8×2015=2013×（20+0.1）-2015×（20-0.2）=40 260+201.3-40 300+403=403+201.3-40=564.3
4. 原式=2.58×（2.89+6.11+1）=2.58×10=25.8
5. 原式=25×3×4.7+15.9×25=25×（14.1+15.9）=750
6. 原式=1724×0.62+（1724+1000）×0.38=1724×0.62+1724×0.38+1000×0.38=1724×（0.62+0.38）+1000×0.38=2104
7. 原式=3.45×0.16+2.64×3.45+5.2×3.45=3.45×8=27.6
8. 原式=19.98×37-19.98×19+19.98×82=19.98×100=1998
9. 原式=33.3×6.66+33.3×23.34=33.3×30=999
10. 原式=（0.5×0.2）×（0.8×1.25）×（0.04×0.025）=0.1×1×0.001=0.0001
11. 原式=8×1.11×1.25=8×1.25×1.11=10×1.11=11.1
12. 原式=1.25×0.25×4×8=（1.25×8）×（0.25×4）=10×1=10
13. 设3.15+5.87=A，2+3.15+5.87=B.原式=B×（7.32+A）-（B+7.32）A=7.32×B+BA-BA-7.32A=7.32（B-A）=7.32×2=14.64
14. 设0.123+0.1234=A，0.123+0.1234+0.12 345=B原式=（1+A）B-A（B+1）=B+A×B-A×B-A=B-A=（0.123+0.1234+0.12 345）-（0.123+0.1234）=0.123 45
15. 设A=0.23+0.34，B=0.23+0.34+0.65原式=（1+A）×B-（1+B）×A=B+A×B-（A+A×B）=B+A×B-A-A×B=B-A=0.23+0.34+0.65-（0.23+0.34）=0.65 5 小数除法的巧算
计算小数除法时，有时数值比较大，直接计算太麻烦，还容易出错，这时可以采用一些巧妙的方法使计算更简便。计算时要熟记乘除法之间的关系，熟练运用商不变的规律：“被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变”。注意：计算结果千万别忘记小数点。【典例精讲】◆约分法巧算
例1 计算：（4.8×7.5×8.1）÷（2.4×2.5×2.7）
思维点拨：
这道题可以直接用小数乘法法则计算，先分别算出两个括号中的积，再求商。但是也可以根据商不变的规律来做。先把被除数和除数同时扩大10×10×10倍，变成整数后除以整数，然后用约分的方法进行简算。【牛刀小试】
计算下列各式。
1.（0.39×0.7）÷（0.56×3.9）2. （4.5×7.5×4.8）÷（1.5×2.5×2.4）3. 3.65×2.75×0.5÷0.25÷36.5÷27.5【典例精讲】◆根据除法的性质简算
例2 计算：4.92÷0.25÷0.4
思维点拨：
观察算式的后两个数是0.25和0.4，我们知道0.25×0.4=0.1，根据除法的性质，连除等于除以两个数的积，可以先计算0.25×0.4，再用4.92除以它们的积。
解：
4.92÷0.25÷0.4
=4.92÷（0.25×0.4）
=4.92÷0.1
=49.2【牛刀小试】
计算下列各式。
4. 3.46÷1.25÷85. 5.1÷0.15÷0.176. 5.25÷13.125÷4【典例精讲】
例3 计算：0.525÷13.125÷4×85.85÷1.01
思维点拨：
乘除法混合在一起的时候，也可以改变运算的先后顺序。将所有相乘的因数结合在一起，利用除法的性质，除以所有除数的积，再利用商不变的性质，或将算式改写成分数形式，利用约分的原理进行简便运算。在没有括号的乘除混合运算中，移动因数或除数的位置时，必须连它前面的乘号或者除号一起移动。
解：
0.525÷13.125÷4×85.85÷1.01
=（0.525×85.85）÷（13.125×4×1.01）
=（52.5×0.01×85×1.01）÷（52.5×1.01）
=0.85
或者：【牛刀小试】
计算下列各式。
7. 5.1×39.1÷1.78. 7.2×4.5×5.2÷（1.8×1.5×2.6）9. 4.8×7.5÷2.7÷2.4÷2.5×8.1【典例精讲】◆运用运算定律巧算
例4 计算：12.9÷0.72+43.5÷3.6
思维点拨：
可以将第一个除数0.72变成和3.6相同的形式，需要扩大5倍，变成64.5÷3.6+43.5÷3.6，这里两个数都除以3.6，再把商相加，可以像运用乘法分配律一样来计算，先把6.45和43.5相加，再用它们的和除以3.6。
解：
12.9÷0.72+43.5÷3.6
=64.5÷3.6+43.5÷3.6
=（64.5+43.5）÷3.6
=108÷3.6
=30【牛刀小试】
计算下列各式。
10. 117.8÷2.3-4.88÷0.23蒋守成11. （10.5+420+20.5）÷512. 34.5÷4+656÷40-0.1×【典例精讲】◆找规律巧算
例5 计算：2×0.3×5×7×1.1×1.3×1.7×1.9÷3.8÷0.51÷6.5÷7.7
思维点拨：
算式中的数比较多，如果直接计算太复杂且容易出错。这时需要认真观察算式，算式中的2×1.9等于3.8，与后面的一个除数相同；0.3×1.7=0.51，与后面的一个除数相同；5×1.3=6.5，与后面的一个除数相同；7×1.1=7.7，与后面的一个除数相同。可以先计算出与后面除数相同的算式，再除以后面的除数。
解：
2×0.3×5×7×1.1×1.3×1.7×1.9÷3.8÷0.51÷6.5÷7.7
=（2×1.9）×（0.3×1.7）×（5×1.3）×（7×1.1）÷3.8÷0.51÷6.5÷
7.7
=（3.8÷3.8）×（0.51÷0.51）×（6.5÷6.5）×（7.7÷7.7）
=1【牛刀小试】
计算下列各式。
13. 9.8×54×0.3×0.2÷1.96÷16.214. 2.4×1.3×0.8×2×3×4÷9.6÷3.9÷1.615. 4.5×5.6×6.7×2×0.1×0.2×0.3÷1.35÷1.12÷0.67参考答案
4. 3.46÷1.25÷8=3.46÷（1.25×8）=3.46÷10=0.346
5. 5.1÷0.15÷0.17=5.1÷0.17÷0.15=30÷0.15=200
6. 5.25÷13.125÷4=5.25÷（13.125×4）=5.25÷52.5=0.1
7. 5.1×39.1÷1.7=5.1÷1.7×39.1=3×39.1=117.3
8. 7.2×4.5×5.2÷（1.8×1.5×2.6）=（7.2÷1.8）×（4.5÷1.5）×（5.2÷2.6）=4×3×2=24
9. 4.8×7.5÷2.7÷2.4÷2.5×8.1=（4.8÷2.4）×（7.5÷2.5）×（8.1÷2.7）=2×3×3=18
10. 117.8÷2.3-4.88÷0.23=117.8÷2.3-48.8÷2.3=（117.8-48.8）÷2.3=69÷2.3=30
11. （10.5+420+20.5）÷5=10.5÷5+420÷5+20.5÷5=2.1+84+4.1=90.2
12. 34.5÷4+656÷40-0.1×=34.5÷4+65.6÷4-0.1÷4=（34.5+65.6-0.1）÷4=100÷4=25
13. 1
14. 1
15. 2 6 巧比分数的大小
分数比较大小的技巧非常多。最基本的方法是通分母或者通分子，但是当数目比较大时，必须运用一些方法和技巧，下面是常见的一些方法。（1）参照法，如与1或者比较。一般分数都不会正好等于1或者，但当分数比较接近1或者时，可以比较它们与1或者的差距。（2）比倒数。两个数互为倒数，它们的乘积为1，原数越大，则倒数越小；原数越小，则倒数越大。（3）交叉相乘。对于分数和，如果ad>cd，那么>。（4）两数相除。对于分数和，如果÷>1，则>；如果÷<1，则<。
比较分数大小的方法有很多，同学们可根据要比较的分数的特点，选择适当的方法进行比较。下面向同学们介绍几种比较分数大小的方法。【典例精讲】◆通分后比较大小
例1 将下列分数从小到大排列。
思维点拨：
观察到这些分数的分子和分母都不相同，需要找到分母的最小公倍数作为分数的公分母，通分使分数的分母相同，再比较分子的大小。【牛刀小试】
1. 比较的大小。2. 将下列分数从小到大排列。3. 将下列分数从大到小排列。【典例精讲】◆化为分子相同的分数
例2 将下列分数从小到大排列。
思维点拨：
这五个分数的分母都不相同，并且两两互质，通分后分母较大，计算起来比较麻烦，通过观察可以发现分子2、5、15、10、12的最
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]