作者：宋斌
出版社：清华大学出版社
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巴黎期权的定价模型与数值方法研究试读：
前言
现代衍生金融工具的发展已经有一百多年。伴随着期权交易所和现代期权定价模型的出现，衍生品市场的发展呈现指数级增长的趋势。这种迅猛发展一方面体现在场内外天文数字的交易金额上；另一方面体现在衍生工具种类的复杂多样性上。在众多衍生品中，期权由于其定价的复杂性而成为衍生品研究中最核心的内容。可以肯定的是，期权已经走出经典时代而进入奇异期权时代，从而需要更为复杂的定价模型以及与之相应的数值计算方法。
通过梳理有关文献，我们发现期权定价的研究工作大致从以下几个方面着手：（1）对Black-Scholes定价模型的推广，这一领域主要是根据所研究标的资产的随机变化的特点，选择合适的随机过程，如均值回复过程、带跳跃的扩散过程以及levy过程。由于波动率微笑问题的存在，还可以引入随机波动率模型。除此之外，还有很多在此基础上发展起来的多因素模型。（2）学者和业界结合市场实际情况开发设计出了很多奇异期权，这些期权多半是路径依赖型的。在这类奇异期权中，一类在期权的触发方面设置一定的条件，如障碍期权和巴黎期权等；一类在期权的支付方面有别于经典期权，如亚式期权、回望期权、重置期权、俄罗斯期权等；还有一类是在期权的实施方面，如美式期权及百慕大期权。（3）从随机博弈的角度出发提出博弈期权的概念。在博弈期权中期权的买方和卖方均有权利，卖方可以取消期权，但需要支付一定的惩罚费用。博弈期权的提出扩展了欧式期权和美式期权。欧式期权成为到期才能支付的美式期权，而美式期权是一个退化的只有买方才能实施权利的博弈期权。博弈期权的引入将随机最优控制和随机微分博弈带入了期权定价研究领域。（4）研究不完全市场中的期权定价、套期保值以及最优消费——投资组合问题。（5）研究带“摩擦”的金融市场中的期权套期保值。这里所指的摩擦包括交易费、税收、买卖价差和各种约束条件。（6）带违约风险的期权定价问题。
全书从概率和偏微分方程（以下简称PDE）方法两条主线相继研究巴黎期权的定价方法，通过以上两种方法分别得出巴黎期权的定价方程，再通过不同的数值计算方法对定价方程进行数值求解，最终得出巴黎期权的价格。全书共分七章：第1章主要阐述研究的背景和意义；第2章将详细介绍巴黎期权的概念以及巴黎期权的种类，以便后文进行详细分析；第3章从概率定价方法出发，为巴黎期权定价；第4章推导巴黎期权定价的PDE，运用隐性差分的方式对PDE进行求解，并与显性差分比较优劣；第5章用标准蒙特卡罗和多层蒙特卡罗方法对巴黎期权进行研究，并详细探讨多层蒙特卡罗方法的优势；第6章通过停时模拟的方法研究移动窗口巴黎期权的定价，解决移动窗口巴黎期权定价困难的问题；第7章研究巴黎期权在高管期权中的应用。
作者多年从事复杂衍生品定价和数值计算方面的研究工作，十几年来一直密切跟踪国际相关领域最新研究成果并不断推进研究的深度，近年来先后在国际自然基金项目、教育部人文社会科学一般规划项目、北京市哲学社会科学项目的支持下，不断深入开展资产定价、倒向随机微分方程在金融中的应用等研究工作，本书就是对这些研究进行阶段性总结的成果。
由于作者水平有限，书中难免存在疏漏之处，敬请广大读者谅解并批评指正。宋斌 郭冬梅 张冰洁2016年2月于中央财经大学第1章导论1.1研究背景
2010年4月16日，股指期货经历了漫长的仿真交易之后开始在中国金融期货交易所正式挂牌交易，重新开启了我国内地场内金融期货交易。2010年11月5日，以银行贷款风险为标的的信用风险缓释合约正式签署，开启了内地信用衍生品的场外交易之路。2011年4月1日，场外人民币外汇期权交易正式启动。这些重大事件都标志着我国内地金融衍生品市场正在进入一个快速发展阶段。无论是新出现的场外期权还是之前已经出现的认股权证，包括带有期权性质的混合金融工具，都对我国内地期权定价的研究和实践提出了新的挑战。中国金融期货交易所于2013年11月8日启动沪深300股指期权合约仿真交易，场内期权交易提上议事日程。2015年2月9日，我国首个场内期权产品——上证50ETF期权正式上线交易。这意味着我国金融衍生产品体系继股指期货、国债期货之后再次实现重大突破，资本市场风险管理工具体系得到进一步完善。场内交易的高度流动性和众多的投资者必然会对期权的定价和对冲提出更高的要求，因此结合各种期权的特点深入研究定价模型和数值计算方法就显得尤为必要。
与其他衍生工具相比，期权（options）是一种特殊的金融衍生工具，从字面上来看，“期”是未来的意思，“权”是权利的意思，期权是指一种能在未来某一特定时间以特定价格买入或卖出一定数量标的资产的权利。期权不是免费的，买方需向卖方支付一定的期权金，因此期权被戏称为合理合法的“权钱交易”。由于期权是一种未来到期支付确定而目前权益不确定的工具，因此期权也被称为“未定权益”。未定权益的性质导致了期权定价问题的复杂性，因此期权定价理论是现代数理金融理论的标志之一，是金融资产定价理论的重要组成部分。
期权有很多种分类形式，按标的资产可以分为股票期权、外汇期权、利率期权及期货期权等。本书仅研究股票期权和外汇期权。此外一般还将期权分为经典期权和奇异期权。经典期权包括美式期权和欧式期权，其中欧式期权是最经典的期权。由于有Black Scholes定价公式的存在，欧式期权得到了广大期权交易者的广泛认同。但是欧式期权有其固有的局限性：一是因为标的资产的随机过程并不是几何布朗运动，从而出现波动率微笑问题；二是欧式期权执行日只有到期日当天，如果期权的卖方在最后一天操纵股价，很容易使期权持有者的期权从实值状态转向虚值状态，使期权投资者蒙受损失。
为了避免市场价格操纵导致的不公平现象，业界和学界推出了障碍期权。因为加入了障碍这一触发条件，障碍期权的价格要低于相应的经典欧式期权。障碍期权在一定程度上解决了欧式期权的操纵问题，但交易者可以通过价格操纵来影响障碍期权的敲入或敲出，因此并没有完全解决价格操纵问题。此后，学者们又改进了障碍期权的触发条件，加入持续时间这一要求，创造出了巴黎期权。
一家澳大利亚银行和一家法国银行之间完成了第一笔巴黎期权场外交易，其目的就是防止交易方对某些流动性较低的标的资产进行价格操纵，从而导致瞬间障碍敲入或敲出的现象。巴黎期权在障碍期权的基础上，附加了窗口期这一条款，该条款使得操纵股价的成本上升，极大地保护了投资者的利益。巴黎期权的通常定义如下：在期权到期日之前，如果标的资产价格在某个给定的价格水平（障碍价）之上或之下连续或累计停留一段预先约定的时间（期权窗口），期权买方可以以预先约定的价格（行权价）买入（看涨）或者卖出（看跌）标的资产。巴黎期权是障碍期权的自然扩展。它要求标的资产价格有一定的徘徊时间，确保了其价格不易被操控。而障碍期权属于特殊的巴黎期权，其窗口期为瞬间。
虽然巴黎期权多在场外交易，但现在很多场外衍生品交易所如欧洲证券市场、伦敦国际金融期货与期权交易所和欧洲期货交易所或是CME等都要求做市商迅速给予报价，因此这些做市商迫切需要一个巴黎期权的准确且快速的定价方法。1.2研究意义
巴黎期权在很多领域有着广泛的应用，常见于场外期权交易和嵌入期权的混合金融工具的交易，近年来还不断应用于寿险精算、违约风险度量、抵押贷款支持证券（MBS）和基于实物期权的投资决策等领域。（1）在外汇期权方面，运用巴黎期权可以较大地降低汇率瞬间变动对期权价格的影响，从而在某种程度上避免汇率操纵。目前我国已经在银行间外汇市场开展外汇期权，虽然目前还仅仅是经典欧式期权，随着人民币汇率市场化的逐步推进，汇率操纵问题终将凸显。因此研究巴黎期权的定价，找到相对合理的定价理论和方法，对未来维护我国金融市场稳定、促进衍生品市场发展有一定的实践价值。（2）在可转换债券定价方面。目前国内外很多可转债都具有赎回、回售和转股向下修正条款，而这些条款都带有明显的巴黎期权特征。由于没有有效的处理方法，业界和学术界上在定价时忽略这些条款或将这些条款作一些简化处理，从而造成一定程度上的定价偏差。而引进有效的巴黎期权定价方法，无疑对改进可转债的定价有很大帮助。（3）近年来，我国很多公司包括上市公司不断推出期权激励计划。这些期权被称为“高管期权”。高管期权合约多半采取奇异期权条款，主流的期权合约一般是亚式期权、障碍期权和巴黎期权。这些期权合约中又以巴黎期权合约为主。推出期权激励计划的公司多半使用经典欧式期权定价公式来计算期权激励的价值，从而造成高管期权价值的定价偏差。这样一来，难免会影响到激励的效果，与期权激励的初衷相背离。（4）在公司理财领域，巴黎期权也有重要的应用。一旦公司宣布破产，法律上会给予公司一个宽限期。在宽限期内公司可以尝试跟债权人商讨能否继续经营。如果公司没能在宽限期恢复，则会进入破产清算的地步。这个宽限期类似于巴黎期权的窗口期，从而可以引入巴黎期权的理念和研究方法。（5）在基于实物期权的投资决策方面，巴黎期权也有重要的应用。例如投资决策中的延期期权，它一般需要企业在某个经济变量超过一个预先给定的值时才能实施，从而可以看成是障碍期权。然而正如某些学者指出的那样，很多情况下投资决策是一个持续和缓慢的过程，不会达到障碍值就立即实施，因此更符合巴黎期权的特征。投资者投资决策的时间就是巴黎期权的窗口期。
从以上的讨论可以看出，巴黎期权的应用非常广泛，因此，研究巴黎期权的定价方法显得尤为必要。目前，学界对巴黎期权的定价主要沿袭两条思路，一条是概率方法求解，一条是建立巴黎期权定价的PDE，进而对其进行数值计算。第2章巴黎期权的概念和类型
为了更好地引出巴黎期权，本章先研究巴黎期权的前身——障碍期权。2.1障碍期权2.1.1 障碍期权的定义
障碍期权（barrier options）是指期权的支付（payoff）依赖于标的资产的价格是否高于或低于某个特定水平（临界值），这个临界值就叫作“障碍”水平。通常有许多不同的障碍期权在场外市场进行交易，它们一般可以归为以下两种类型：（1）敲出障碍期权（knock-out options）：当标的资产价格达到一个特定的障碍水平时，该期权作废（即被敲出）。（2）敲入障碍期权（knock-in options）：正好与敲出期权相反，只有资产价格在期权有效期内达到障碍水平，该期权才得以存在（即敲入），敲入后其支付与相应的普通欧式期权相同。
当标的资产价格高于障碍水平时，叫作向上障碍期权，标的资产价格低于障碍水平时叫作向下障碍期权，再结合看涨、看跌属性，有八种障碍期权，分别是向上敲出看涨、向上敲出看跌、向下敲出看涨、向下敲出看跌、向上敲入看涨、向上敲入看跌、向下敲入看涨、向下敲入看跌。
图2-1清楚地说明了向下敲出看涨期权的特征。图2-1 障碍期权定义示例
图2-1模拟了某股票第0天到第500天的价格，假设初始价格S＝20，期权存续期t＝500天。我们考虑两个障碍水平：第一个B＝15，通过图2-1可以看出，当t＝40天时，股价触及15并在之后低于15，此时障碍期权敲出，期权价值为零；第二个B＝10，期权存续期内，股价始终没有达到该障碍水平，此时障碍期权不敲出，期权价值等于普通的欧式期权。2.1.2 障碍期权的种类
以上分析得出了八种障碍期权，下面逐一探讨其终端支付的数学表达式。
敲出期权：其中：I为示性函数，S为股价；K为障碍水平。
以向上敲出看涨和向上敲入看涨为例，两者终端支付为和，将其相加就为（S-T＋K），与普通欧式期权的终端支付条件一致，即一对同型敲出和敲入期权的组合即为普通欧式期权。其中：UO为向上敲出；UI为向上敲入；DO为向下敲出；DI为向下敲入。2.2巴黎期权的基本概念
如果障碍期权的卖出者在标的资产价格即将触及障碍水平B时操纵股价，使得期权敲出，就会给期权的持有者利益带来损失。为规避这种风险，巴黎期权应运而生。2.2.1 巴黎期权的定义
仍以向下敲出为例，当标的资产价格下跌到B时，并不立即敲出，而是进入一个期权失效的倒计时阶段，一旦倒计时达到D时，期权才敲出，这就是巴黎期权。即在障碍期权的基础上再附加一个倒计时条款，倒计时达到D时，期权才敲出。我们把D叫作持续时间。可知，D≤T。2.2.2 巴黎期权的种类
根据计时方式的不同，巴黎期权分为两种：一种是标的资产价格在B下方连续徘徊时间达到D时，期权敲出；一种是标的资产价格在B下方累计徘徊时间达到D时，期权才敲出。前一种叫连续型巴黎期权，后一种叫累计型巴黎期权。如果引入变量τ表示徘徊时间，图2-2清晰地说明了两种计时方式之间的区别。图2-2 巴黎期权两种计时方式
图2-2中左图为连续计时方式，即在标的资产价格在B＝0.5之下时τ开始计时，S＞B，τ立刻清零，到下一次S≤B时τ重新计时；而右图中在S≤B时计时，S＞B时不清零，原来时间保留，在下一次S≤B时继续累计时间。接下来的分析中首先对连续型巴黎期权进行建模定价，后对累计型巴黎期权进行建模定价。
在连续和累计型巴黎期权的基础之上，学者们推出了移动窗口巴黎期权，具体是指标的资产的价格在预先设定好的一段时间（即窗口）内累计有一段时间（即持续时间）高于或低于障碍值，期权才得以敲入和敲出。由此可见，对于敲出型期权，连续巴黎期权触发条件最为严苛（不容易敲出），累计巴黎期权的触发条件相对宽松（容易敲出），移动窗口巴黎期权是这两者的折中。
在接下来的章节中，我们将详细研究不同的巴黎期权的定价模型以及相应的求解方法。第3章概率方法——欧式巴黎期权3.1文献综述
目前在期权定价上主要采用连续时间模型和离散时间模型。连续时间模型又分为概率和PDE两种方法。鉴于概率方法和PDE方法很多时候很难有封闭解，因此实际计算时多采用相应的近似解、数值解。离散时间模型主要有树形图方法、有限差分和蒙特卡罗方法，这三种方法也被称为期权定价的数值方法，其中有限差分方法和PDE有密切联系，而蒙特卡罗方法也可以归纳为概率方法的一种。吴承伟在前人的基础上，提出了巴黎期权的二叉树改进算法，并结合蒙特卡罗与并行计算理论加快了定价的收敛速度。姜礼尚推导出巴黎期权的有限差分形式，并使用特征线差分法求解三维的PDE。Avellaneda和Wu提出了基于三叉树原理的巴黎期权定价栅格法。
巴黎期权的概率解析定价方法最先由Chesney和Yor提出，采用概率积分变换的方法，通过拉普拉斯变换得出巴黎期权价格的拉普拉斯变换形式，但没有给出相应的逆拉普拉斯数值解法。Labart和Lelong主要遵循Chesney的方法，给出了巴黎期权逆拉普拉斯数值变换，并给出计算误差。Labart和Lelong最近又推导出双障碍巴黎期权的拉普拉斯变换定价。Anderluh也讨论了双障碍巴黎期权的定价理论，并且讨论了“隐含障碍”的概念。还有众多学者讨论了巴黎期权所需的数学基础，K．L．Chung讨论了布朗徘徊（Brownian Excursion）过程，Revuz和Yor以及Borovkov进行了推广研究。3.2巴黎期权的定价模型
我们着重关注向下敲入看涨巴黎期权。其他形式的巴黎期权可以通过一系列的平价关系得出。首先给出本节所用到的大部分符号，并介绍一系列关于布朗运动的停时，为后续巴黎期权的定价做准备。然后转入向下敲入看涨巴黎期权的理论定价，给出其拉普拉斯变换形式。最后通过巴黎期权与欧式期权的初始价格给出任意时刻的巴黎期权价格。3.2.1 符号假设与定义
本节主要会运用到下列符号：
S：标的资产价格过程；
K：行权价格；
T：期权到期日；
L：标的资产价格S的障碍价格；
D：期权的窗口期；
D′：期权在t时刻时于障碍价格单边的累计徘徊时间；
x：标的资产价格S的初始价格；
r：无风险利率，假设为常数；
δ：股票的分红率或外汇无风险利率；
σ：波动率，假设为正常数；
k：；
b：，即布朗运动的障碍水平；
λ：拉普拉斯参数，为一个复值变量；
θ：；
d：；
m：。
假设巴黎期权的定价可以在无套利均衡条件下进行，从而可以直接定义风险中性测度下的标的资产价格。设标的资产的价格S＝{S，tt≥0}在风险中性测度下服从几何布朗运动dS＝S［（r-δ）dt＋ttσdW］，S＝x，其中W＝{W，t≥0}为一个-布朗运动，根据伊藤公
t0t式可写出。为了计算方便，采用Chesney等人的参数变换
并根据Girsanov定理，可由通过定义的概率测度使得Z＝{Z＝W＋mt，0≤t≤T}为一个-布朗运动。则在测度下tt。可以看出，新定义的概率测度消除掉资金的时间价值，从而使得在计算上免除反复考虑贴现值的烦琐性。如果没有特别提出，本章讨论的标的资产的价格S＝{S，t≥0}以及布朗运动Z＝{Z，ttt≥0}都在风险中性测度下。
下面定义一些与布朗运动相关的停时。b的符号定义了标的资产初始价格和障碍价格的关系，下面将通过b来定义与计算。
定义1：对于常数b，定义关于S的“末达时”过程过程
注意：若采用S和L的形式，的形式应写为。可以看出，t描绘了t时刻资产价格S在L的单边区域“徘徊”的时间长度，是关于t的随机过程，并且关于F-可测，从而是一个停时。t
利用可以定义一个与巴黎期权直接相关的停时。
定义2：对于以及常数D，定义与为
注意：虽然没有写出显式，但与同样是一个F-可测的停时，t可以把与看作布朗运动首达时T＝inf{t＞0｜Z＝b}的一个拓bt展，它要求布朗运动在最近一段时间内连续低于某一个常数。3.2.2 向下敲入看涨巴黎期权（PDIC）
本节我们深入探讨向下敲入巴黎期权的定价，首先以拉普拉斯变换形式给出巴黎期权在初始时刻的价格，并在此基础上给出任意时刻的巴黎期权价格。1．巴黎期权的初始价格
本节研究向下敲入看涨巴黎期权的定价方法，其他形式的巴黎期权可以通过巴黎期权与标准欧式期权之间的平价关系进行推导。记Ft＝σ（Z，s≤t）为由布朗运动Z＝{Z；t≥0}生成的σ-代数流，可以通过st
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