作者：单壿
出版社：上海辞书出版社
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单墫初中数学指津——数的故事与灵活策略试读：
前言
这几本课外读物，是提供给初中同学学习数学用的.
五十多年前，我也是中学生. 当时有几本小册子，如许莼舫的《几何定理和证题》，刘尼的《因式分解》等，都写得很好.
可惜这些书，现在都见不到了.
目前充斥市场的是各种练习册、习题集.
学数学，不是为了当熟练的“操作工”、“模仿秀”，而是为了学会思考.
大量重复的练习，不利于培养学习的兴趣，甚至会弄坏了学习的“胃口”.
因此，上海辞书出版社向我约稿时，我承诺写几本有助于培养学习兴趣的书. 但现在年事渐高，体力与精力大不如前，花了一年时间才写成三册.
如果同学们能够耐心地阅读这几本书，并觉得对启迪思维有些帮助，那么我就心满意足了.单墫2014年5月
第一章 数的故事
这本小册子向初中同学介绍组合数学与数论初步.
组合数学不需要多少预备知识，而是需要逐步地在数学方面成熟起来. 所谓成熟，简单说就是两个字：“会想”. 想问题，想解法.
数论，与组合数学相比，需要略多一些预备知识. 但最重要的也是“会想”这两个字.
海阔凭鱼跃，天空任鸟翱. 想象就是少年人的翅膀. 祝愿同学们凭借想象的翅膀，在民主的数学共和国里自由地翱翔.
本章介绍自然数的产生，自然数的基本知识.
1. 自然数
自然数1，2，3，…是自然产生的.
在人类的原始时代就出现了自然数.
那时候，一位小猎手猎到一只黄羊，非常高兴. 他妈妈说：“记下来！”
用什么东西记啊？那时候没有笔，更没有纸. 但已经有了绳子（最初是藤，后来用植物的纤维搓成）. 小猎手取过一根绳子，在上面打了一个结.
过了几天，小猎手又猎到两只黄羊，他在绳子上又打了两个结.
日积月累，绳子上打了很多结.
两只羊，两个结，三只羊，三个结. 如果是两只野猪，那么小猎手还是打两个结，只是结大一些.
这样，猎物的个数与绳结的个数，互相对应. 一切与两个绳结相对应的猎物个数，具有同样的特性，这个特性就是它们的个数都是2.
于是，自然数1，2，3，…就自然而然地产生了.
很多人认为自然数并不是人类的发明，它原来就存在于自然界，人只是把它发现了. 所以叫做自然数，名副其实.
数学家克罗内克（L. Kronecker，1823—1891）说：“上帝创造了自然数，其余的都是人工.”
其实，上帝何尝不是人创造出来的.
2. 自然数数列
上个世纪初，有位记者探访一个原始部落，问当地的女孩多大年龄，回答是：“我七岁.”“你姐姐呢？”“她八岁.”“你妈妈呢？”“九岁.”“你的祖母呢？”“她和这棵椰子树一样大.”
可见，她已经有了自然数的概念. 知道7、8、9，而且知道8比7大，9比8大，但她不知道有比9更大的数，不知道自然数可以排成一个无穷的数列.
公元前221年秦王嬴政统一了中国，自称“始皇帝”，也就是第一代皇帝. 他规定接下去是二世、三世、……、万世不绝. 这可能吗？他不懂“君子之泽，五世而斩”的道理. 能传到第五代的贵族非常之少，依仗暴力统治的秦帝国更是只传到二世就灭亡了.
当然，秦始皇对自然数的了解比那位原始部落的女孩多得多.
自然数的一个重要特性就是它可以数（shǔ）：扳着指头一个接一个数下去，按照大小排成一个数列：1，2，3，…（1）
每一个自然数都有一个“后继”——紧接着它、比它大一的数，所以自然数数列是无穷数列.
3. 进位制
上一节，我们说到数（shǔ）数（shù）可以扳着指头一个接一个数下去. 可是我们只有十个手指头. 超过十，要继续数下去就得扳脚指头了. 但手指、脚指合在一起也只有二十个，要不断地数下去就得动脑筋，想办法了.
对古代人来说，这并不是一件容易的事，前面那位女孩就不能数（shǔ）十以上的数（shù）.
过了很多很多年，人们想出进位的办法. 在这方面，中国人是领先的，很早就有进位的概念，而且使用十进制，即十个一为十，十个十为百，十个百为千，十个千为万. 接下去是十万、百万、千万、万万（亿）等等. 这与现在国际通行的进位法则完全一致. 只不过中国的数是竖写的，如十一、十二、十三等等，写成
一除了十进制，还有其他的进位制. 玛雅人就用二十进制（大概他们爱用脚指头数数）. 英国有采用十二进制的，如1打=12只. 他们的度量衡中还有很多极为复杂的进制，但坚持不改，认为这是英国文化的一个组成部分. 中国过去也有不用十进制的，如1斤=16两，1亩=60平方丈，但后来大都废除了，通常使用十进制.2
十进制的数，如394，就是3×10+9×10+4. 五进制的数，如（324）（我们加一个足标5表明是五进制，以免与普通十进制的数52相混），就是3×5+2×5+4. 所以其他进位的数化为十进制非常容易. 如2（324）=3×5+2×5+4=75+10+4=89.5
反过来，十进制化其他进制，需要用除法，通常用所谓的“短除法”. 以394化为五进制为例，算式如下：即从394开始，除以5，商写在下面，余数写在右面“…”的后面. 再用商除以5，继续这一过程，直至商小于5. 这时得出394=（3 034）5（注意上面的算式中不要漏去余数0）.
如果采用g进制，而g>10，那么就要补充几个“数字”. 如g=12时，12进制中不仅有0到9这10个数字，还要补充表示10与11的数字，例如，用t表示10，e表示11.
4. 数字
十进制中用10个数字0，1，2，…，9. 这些数字是印度人发明的. 后来传到阿拉伯，再传到欧洲，乃至全世界. 通常称为阿拉伯数字，其实应当称为印度数字. 至少应当称为印度阿拉伯数字.
不少国家或地区有自己的数字. 罗马帝国曾经非常强大，它采用的数字也颇有影响，下面是罗马数字的1～12Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ其中1是一竖，2是二竖，3是三竖（中国是一横、二横、三横），但5是专用符号Ⅴ. 4是Ⅰ写在Ⅴ的左边，表示5-1. 而6则是Ⅰ写在Ⅴ的右边，表示5+1. 7、8分别是5+2、5+3. 10又用一个符号Ⅹ. 9是Ⅰ写在Ⅹ左边，表示10-1. 11又是Ⅰ写在Ⅹ的右边，表示10+1. 等等.
显然，罗马的记数法不及印度阿拉伯数字方便（也不如中国记数法方便）. 现在已很少用到.《笔算数学》书影
中国的记数法也不如印度阿拉伯数字方便. 在1892年邹立文与狄考文合译的《笔算数学》中，首次将印度阿拉伯数字引入中国. 这本书的第一章第六款“数目字的样式”中指出：“大概各国有各国的数目字，但于笔算上不能处处都合式，现在天下所行的笔算，大概都是用阿拉伯数目字……，这种字容易写，于笔算也很合用，看大势是要通行天下万国的……”
但这本书的书写却横、竖并用. 现在看来，竖写的算式颇为滑稽. 但当时仍有人坚持，不肯接受“要通行天下万国的”横写格式. 直到1905年以后，算式横写与印度阿拉伯数字在中国才被普遍接受. 可见能认识“大势”，学习国际上普遍认同的价值并不是一件容易的事情.
5. 零
印度有位数学家写过一首诗：“这个数很奇妙，
有它不多，
无它不少.
不要去惹它，
你要想乘它，除它，
你就变成了它.”
这个数是什么？
当然是零了（注意：其中除它是指用零作被除数，而不是用零作除数. 零是不能作除数的）.
0（零）真是一个很特别的数.
一方面，它表示没有. 另一方面，它却时常出现在我们面前，并不化为“没有”.
它虽然表示没有，但它在任一个数的右边一站，这个数立即“身价十倍”.
著名数学家哈代（G. H. Hardy，1877—1947）有一句很俏皮的话：“印度人对数学的贡献是零.”
如果将这话理解为印度人对数学没有贡献，那当然大错特错了. 这句话只能理解为“印度人发明了零，这是他们对数学的贡献.”
零（当然还有发明它的印度人）对数学的贡献极大.
平时我们习惯有0存在，不一定觉得它有多么重要. 可以设想一下：“如果没有0，……”
0不是自然产生的. 它的出现远远晚于自然数1，2，…. 恐怕也只有印度这样善于冥思的民族，才能对“空”、“无”等概念深入思考，无中生有地想出一个0来. 所以自然数并不包括0. 如果将0放到自然数里，那么后面将要说到的算术基本定理，也就是质因数唯一分解定理，就被破坏. 自然数的分类，也被破坏. 所以本书遵照国际数学界通行的做法，不将0纳入自然数中. 这样，0既不是正整数（自然数），也不是负整数. 它是正数与负数的分界.
6. 乘法
在《哈哈镜王国历险记》一书中，国王与财政大臣为下面的问题大伤脑筋：“王宫有100间房间，每间房间需要100块玻璃. 一共需要多少块玻璃？”
国王与财政大臣都只会加法，他们100+100=200，200+100=300，……加了半天，头都搞大了，还没有得出结果. 于是决定成立一个“全面深入研究玻璃计算委员会”，专门解决这个问题.
站在一旁的小女孩，学过乘法，她说：“100×100=10 000，很容易啊！”
的确，“累加为乘”，许多同样的数相加，用乘法比加法方便多了.
不仅如此，自然数中，有了乘法运算，内容大大丰富起来.
如果两个整数b、c相乘，积为a，即a=bc，（1）那么我们就说a是b（也是c）的倍数，b（或c）是a的约数（或因数）.
我们知道，在（1）成立时，a÷b的商就是c（余数为0）. 所以b是a的约数也可以记为b｜a，读作“b整除a”或“a被b整除”. 例如2｜6，（-3）｜9等.
0是一切整数的倍数（0=b×0）.
b｜a与｜b｜|｜a｜是一回事. 所以为方便起见，我们通常不讨论负整数的整除问题.
显然，数的整除有以下性质（i）若c|b，b|a，则c|a.
证明 因为c｜b，所以有整数d，满足b=cd；（2）同样，有整数e，满足a=eb.（3）
由（2）、（3）得a=eb=ed·c，（4）所以c｜a.（ii）若b|a，k为整数，则b|ka.（iii）若c|b，c|a，则c|（a±b）.（iv）若c|a，c|b，k、h为整数，则c|（ka±hb）.
性质（ii）、（iii）、（iv）请读者自己证明.
例 在100以内的7的倍数有多少个？
解 100÷7=14……2，所以100以内被7整除的数，也就是7的倍数有14个.
不难写出这14个7的倍数，即7×1，7×2，…，7×14（=98）.
一般地，在1，2，…，n这前n个自然数中，被自然数a整除的数，也就是a的倍数，有个. 这里［x］表示实数x的整数部分，更确切地说，是不超过x的最大整数. 例如，.
7. 质数与合数
自然数分为三类.
第一类称为“单位”，只有1个数，就是1. 1之所以被称为单位，是因为“一乘如不乘”——任何数乘以1，积仍是这个数，没有丝毫改变.
如果我们讨论的范围扩大到整数，那么“单位”就有两个：1与-1. 任何数乘以-1，只改变符号，但绝对值不变. 如果讨论的范围再扩大一些（这或许是很多年以后的事情），那么“单位”会更多一些，它们都是“模”（类似于绝对值）为1的一些小精灵.
大于1的自然数又分为两类.
一类称为“质数”或“素数”. 这些数除了1与本身外，没有其他的约数. 依大小顺序写出来，2，3，5，7，11，13，17，…都是质数.
另一类称为“合数”. 这些数除了1与本身外，还有其他的约数. 依大小顺序写出来，4，6，8，9，10，12，14，15，…都是合数.
正偶数中只有2是质数. 换句话说，质数中只有2是偶数，其余的都是奇数.
怎样寻找质数呢？
一位白胡子的希腊老爷爷埃拉托色尼（Eratosthenēs，约前275—前194）笑嘻嘻地说：“请用我的筛子”. 他将整数1到100放入筛子中，先筛去1，留下2，筛去2的倍数（即在下表中将它划去）. 留下3，筛去3的倍数. 留下5，划去5的倍数，留下7，划去7的倍数. 剩下的数，即
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97.
这些就是全部小于100的质数，共25个.“为什么这些剩下来的数都是质数呢？”“哈哈！这正是我希望你们自己思考的问题.”* * * * * * *
前人栽树，后人乘凉. 早就有人制作了质数表，供人使用. 下表中有10000以内的全部质数.
8. 质数的问题
数学中，有无数的问题. 一个老问题解决了，往往又产生许多的新问题. 在一定程度上可以说，问题是数学发展的动力.
关于质数的问题就非常之多.
首先：“质数的个数是有限的，还是无限的？”
又一位希腊老人欧几里得（Euclid，约前330—前275）站出来说：“我可以告诉你，质数是无限的，证明就在我写的书《原本》（Element）之中.”
自然数个数无限很容易证明，因为每个自然数“后继有人”，将一个自然数加上1，就得到一个比它大的自然数. 同样的办法可以证明奇数是无限的（奇数加上2，就得到更大的奇数），偶数也是无限的（偶数加上2，就得到更大的偶数）.
这个证法对于质数并不适用. 大于2的质数加上1，肯定不是质数，加上2也不能肯定仍然是质数.
但由已知质数产生新质数的想法，仍是很好的想法. 设已经有的质数是p、p、…、p，那么考虑12kn=pp…p+1.12k（1）
p除n余1，所以p不是n的因数. p、p、…、p也都不是n的因1123k数.
如果n是质数，那么它就是与p、p、…、p都不相同的质数.12k
如果n是合数，那么n有大于1而不同于n的因数. 设这种因数中，p为最小. p一定是质数，否则它有更小的大于1的因数，而这因数也是n的因数，与p最小矛盾. p与p、p、…、p都不相同.12k
因此，总有与已有质数不同的新质数，从而质数是无限的.
第二个问题是：“质数间的间隔有多大？”换句话说：“连续的合数有多长？”
这个问题比较容易，对上面（1）中给出的n，显然（n-1）+p是1合数，（n-1）+p，…，（n-1）+p都是合数. 不过这些合数并非连续2k的. 制造连续的合数也不困难，稍加修改即可. 对任意自然数m，令m！=1×2×3×…×m.则在m>1时，m！+2是合数（被2整除），m！+3是合数（被3整除），……，m！+m是合数（被m整除）. 于是得到m-1个连续的合数. 所以质数之间的间隔可以任意地大.
我们把3与5，5与7，11与13，……这样的质数对，称为孪生素数. 即差为2的两个质数.
第三个问题就是：“孪生素数的个数是否无限？”
这个问题至今仍无答案. 中国数学家张益唐在2013年证明了“弱孪生素数猜测”，即存在一个常数C，使得p-p≤C的素数对（p，p）有无限多.n+1nnn+1
C可取为7 000万. 陶哲轩等已将7 000万改进为5 000.
如果能证明C可以取3，那么孪生素数就有无限多.
还有许多关于质数的问题.
比如，我们看到7=2+2+3，9=3+3+3，11=3+3+5，13=3+5+5，……
于是，一位德国驻彼得堡的公使哥德巴赫（C. Goldbach，1690—1764）猜测：“每个大于5的奇数都可以写成3个质数的和.”他写信去请教大数学家欧拉（L. Euler，1707—1783）. 欧拉回答说：“你的猜测可由下面的猜测推出：每一个大于2的偶数都可以写成两个质数的和.”
这就是著名的哥德巴赫猜想. 关于奇数的部分已被维诺格拉多夫（I. Vinogradov，1891—1983）等人解决. 关于偶数的部分至今仍未解决，我国数学家陈景润（1933—1996）等对这个问题有重大贡献.
9. 质因数分解
盖房子，需要砖.
如果将自然数比作房子，那么质数就是构建房子的砖（质数之称为“质”或“素”，就由此而来）.
将几个（多于1个）质数（可以相同）相乘便得到合数. 而且用这种做法，能得出全部合数.
事实上，设n为合数，则n有大于1而小于n的约数，这种约数中最小的一个，一定是质数（上一节已经说过），记为p，则1n=np，11（1）其中n是大于1的自然数，小于n（因为p>1）.11
如果n为合数，对n进行同样的讨论，又有11n=np，122（2）其中p是质数，n是大于1的自然数，小于n.221
依此类推. 由于n>n>n>…，所以上述过程至多n步就一定结束，12即最后有n=npk-2k-1k-1，（3）其中p是质数. n也是质数，可改记为p. 于是k-1k-1kn=pp…p.12k（4）其中p、p、…、p都是质数，它们是n的质因数.（4）称为n的质因12k数分解. 所以每一个合数都是若干个质数的积.
在（4）中，质因数p、p、…、p可能有相同的，相同的质因数12k的积可以写成幂的形式. 我们有以下定理：算术基本定理（唯一分解定理） 每一个不等于1的自然数n都可以写成质数的乘积，即其中，p、p、…p是质数，且p 在t=1，α=1时，n是质数. 其他情况n都是合数.1 例1 分解（1）72，（2）667为质因数的乘积.32 解 （1）72=2×3. 这种简单的分解应当通过心算完成. 复杂一点的，需要通过试除完成.（2）用2、3、5、7、11、13、17、19、23逐个试除，直至得出667=23×29. 例2 求一个最小的立方数，被2 160整除.43 解 2 160=2×3×5. 在n为立方数时，它的分解式（5）中，α、α、…、α都必须是312t的倍数. 因此被2 160整除的立方数是63332×3×5×m，633其中最小的是2×3×5=216 000. 唯一分解定理的用途极广. 不过，上面我们只证明“分解”，还没有证明“唯一”. 这件事将延缓到本章第14节再完成.2 例3 如果大于1的自然数n 证明 若n是合数，则由唯一分解定理其中，p、p、…、p都是质数，且p 因此，即n必有小于a的质因数. 与已知矛盾. 所以n为质数. 例3表明第7节用“筛法”得到的数全是质数，因为它们都小于2100，当然更小于11，而且不被小于11的质数2、3、5、7整除. 10. 除法、小数 设a、b为两个自然数. b可能小于a，但b，2b，3b，…（1）中必有一个大于a，即有非负整数q，使得qb≤a<（q+1）b，（2）q就是a÷b所得的商. 记a-qb=r，则r也是非负整数，而且0≤r 于是，我们有a=qb+r，0≤r 在余数r=0时，（3）即a=qb，表明a被b整除，b是a的约数. r≠0时，a不被b整除，记为. 用分数形式来写，（3）就是 如果继续用r除以b，那么就产生小数. 这也是大家熟悉的.n 由此可见，如果可化为n位的有限小数，那么b一定是10的约αβ4数，即b=2·5，α、β中较大的就是n（例1中，16=2） 余数永不为0时，除法将无限地进行下去. 但由于余数一定小于除数b（现在b=7），所以有限次除法（至多b-1次）后必出现重复的余数，这时就出现循环的情况. 在本题中，142 857将循环出现，称为循环节. 循环节的首末两个数字上面各加一点表示. 反过来，一个无限循环小数可以化为分数.所以6（10-1）x=142 857， 由此可见，纯循环小数（循环节从小数第一位开始）化分数时，分母是99…9，9的个数与循环节的长度相同（可以约分时当然还要约t分）. 而且循环节的长度t就是使得10-1被b整除的最小的t. 由此可见，混循环小数化分数时，分母是99…900…0，9的个数与循环节的长度相同，0的个数与不循环部分的长度相同；分子是第二个循环节前形成的数（本题是32 158）减去混循环部分形成的数（本题是32）. 11. 同余 设b是大于1的自然数. 如果自然数a、c，除以b，所得余数相同，那么就说a、c mod b（读作“模b”）同余. mod b就是除以b的意思. 在不致混淆时，我们也说a、c同余. 显然a、c mod b同余时，a-c被b整除. 更一般地，对两个整数a、c，如果a-c被b整除，那么我们就说a、c mod b同余，并记为a≡c（mod b）.（1） 显然有以下（i）反身性 性质：a≡a（mod b）.（2）（ii）对称性若 a≡c（mod b），则c≡a（mod b）.（3）（iii）传递性若a≡c（mod b），则c≡d（mod b），则a≡d（mod b）.（4） 性质（iii）可以证明如下： 因为a-c，c-d都是b的倍数，所以a-d=（a-c）+（c-d）也是b的倍数. 我们可以将整数分为b类，第一类中的数与1同余，第二类中的数与2同余，……，第b类中的数与b同余（在b=2时，整数分为2类，一类是奇数，一类是偶数）.1，2，…，b-1，b是这b个类的代表（每类各有1个代表）. 通常将第b类的代表取作0，称第b类为第0类，即改以0，1，2，…，b-1为代表. 形如（1）的式子称为同余式. 它与等式类似，可以加、减、乘、乘方. 即若a≡c（mod b），d≡e（mod b），则有：（i）a+d≡c+e（mod b）.（ii）a-d≡c-e（mod b）.（iii）ad≡ce（mod b）.nn（iv）a≡c（mod b），n为自然数. 以（iii）为例，证明如下：ad-ce=ad-ae+ae-ce=a（d-e）+e（a-c），因为d-e，a-c都被b整除，所以ad-ce被b整除，即（iii）成立. 由（ii）可推出：在a+f≡c（mod b）时，两边同时减去f得a≡c-f（mod b）.即“移项法则”：f可以从一边移到另一边，但符号需要改变，变成-f. 注意除法不能随便进行. 例如24≡3（mod 9），（5）但8≡1（mod 9）（6）却不成立. 即不能在（5）的两边同时除以3. 同余式如何进行除法，请参见第二章第4节. 同余在整除的判别中作用极大. 例1 判定自然数何时被9整除.2n 解 因为10≡1（mod 9），10≡1（mod 9），…，10≡1（mod 9），所以 9改为3，结论同样成立.2n 解 因为10≡-1（mod 11），10≡1（mod 11），…，10≡（-1）n（mod 11），所以即用奇数数位的数字和减去偶数数位的数字和，如果差被11整除，那么这个数就被11整除. 12. 《一千零一夜》 这本书最初译作《天方夜谭》，天方就是阿拉伯，谭就是谈（谈话）. 书中宰相的女儿山鲁佐德每夜讲一个故事给国王听，一直讲了一千零一夜. 1 001这个数表面看与其他数大同小异，但它颇为奇特，将它分解得1 001=7×11×13，（1）即1 001是3个连续质数的积. （1）很容易记住，因为质数数列2，3，5，7，11，13，…（2）的前3个数显然都不是1 001的因数，接下去3个质数都是1 001的因数. 由于（1），一个数能被1 001整除，与这个数能被7、11、13整除是同一件事. 怎样判别一个数能否被1 001整除呢？ 例1 判断55 311能否被1 001整除. 解 55 311=55×1 000+311=55×1 001+311-55=55×1 001+256. 因此55 311除以1 001，余数是256，不能被1 001整除. 注意在这个例子中，余数可由末三位所成的数311减去55得到，而55是由55 000得到的. 这里的1 000在除以1 001时，相当于-1. 于是，我们得到下面的法则：将一个整数从右到左，每三位一节. 用第一节的三位数减去第二节的三位数，加上第三节的三位数，减去第四节的三位数，……直至减去或加上最后一节的数（可能不足三位）. 如果所得结果被1 001整除，那么原来的数就被1 001整除（如果所得结果除以1 001余a，那么原来的数除以1 001余a）. 例2 判断2 146 455 311能否被7，11，13整除. 解 311-455+146-2=0，所以2 146 455 311被1 001整除，因而被7，11，13整除.a+b+b+a+a+b+b+a+a+b+b+a=6a+6b91×3=273，所以a=7，b=3. 13. 最大公约数
设a、b为自然数. 如果d是a的约数，也是b的约数，那么d就称为a、b的公约数. 公约数中最大的，称为最大公约数，记为GCD（a，b），或更简单地，记为（a，b）.
例如（120，150）=30.
例1 求（60，108）.
解 将60、108分解为质因数的乘积.222
60=2×3×5，108=2×3.2（60，108）=2×3=12.
一般地，设，，p、p、12…、p为不同质数，α、α、…、α、β、β、…、β为非负整数（某k12k12k个α或β为0时，表明相应的质数p不在a或b的分解式中出现），则iii其中r是α、β中较小的（i=1，2，…，k）.iii
不妨设a≥b，因为a、b的公约数都是a-b，b的公约数，a-b、b的公约数也都是a、b的公约数，所以
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]