作者：邵强进 编著
出版社：复旦大学出版社
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逻辑与思维方式试读：
第一章 绪 论
1.思维与逻辑
1.1 思维
20世纪80年代，我国著名科学家钱学森教授提出，一般人类的思维活动有三种基本形式，即形象思维(直觉)、抽象思维(逻辑)、灵感思维(顿悟)，人们要思维都必须采取以上三种形式。虽然思维活动形式上划分为三种，但实际上人的每一个思维活动过程都不会是单纯的一种形式在起作用，往往是两种甚至三种先后起作用。
1.1.1 形象思维
所谓形象就是反映于人脑中的思维对象的映象，这种映象可以物化的形式再现出来，被人感知。比如观念形象，红旗象征为革命流血奋斗，橄榄枝、鸽子象征和平；还有艺术形象，如包公、堂吉珂德，《三国演义》中的曹操、诸葛亮；最常见的形象就是视觉图形、手势姿态等等。
形象思维是人类最早使用的思维活动形式，在语言未产生之前，原始人交流思想靠的就是形象思维，或者说脑中的某种意向，比如他们对鬼神的想象、对图腾的崇拜、对禁忌的规约。这一点在没有学会讲话的孩子身上及没有语言习得能力的聋哑人身上都能感受到。
形象思维普遍存在，而并非画家、诗人、小说家等艺术创作者的专利，它在科学中也常应用。例如，电在18世纪以前一直被看作神灵或妖魔一般的东西，后来富兰克林把它设想成像水一样的电流体，许多电学现象立刻获得了科学的说明。在体育赛场上，有经验的射手能对来球运行路线做出全面的估计，考虑风向、风力等因素，并赶到最佳位置起脚射门。我们不知道他们是怎么做到的，他们自己也不一定知道，他们只是这样做了。
1.1.2 灵感思维
灵感思维也不难理解，灵感常见的有两种：一种是联想型，另一种是直接捕捉型。它也普遍存在于艺术创作、科学发现、发明及日常生活中。
比如施耐庵的《水浒传》中写武松打虎，他没看过人打虎，也没法自己去以身犯险，正冥思苦想，忽然听到外面有狗狂吠，出来一看，一个醉汉正与一条恶狗搏斗，只见那醉汉躲来闪去，不一会抓住狗的颈皮往上一提，举起铁拳捶它一顿，往地上一扔，恶狗就直挺挺不动了。这一场景启发了作者的创作灵感，于是武松打虎的情节顺畅地从他的笔下滑出来，这即是形象思维，同时又夹杂了灵感思维。由打狗联想到打虎，正是从日常生活中捕捉创作灵感的好例子。
再比如，在科学发现中，沃森谈及如何发现遗传物质DNA的双螺旋结构。他说：“一次，我的手指冻得没法写字，只好蜷缩在炉火边，突然我想到一些DNA怎样美妙地蜷缩起来，而且可能以很科学的方式排列起来。”在探索DNA化学组成的三维空间的精确排列过程中，其灵感思维的闪烁无疑起过作用。有人把沃森和克里克发现的DNA结构和达尔文的物种起源相提并论，至少可以说，它是达尔文之后生物学中最重大的事件。像这样的例子实在不胜枚举。
1.1.3 逻辑思维
然而，人们最常用、最有效，也是最为人熟知并得到深入研究的思维活动形式却是抽象(逻辑)思维。形象思维一般只能反映客观对象的一个点或一个断面，只能作为一种完整、系统思维的前哨。灵感思维只是在遇到思维难点时起到一种辅助性的推动、突破作用。要达到系统思维只能通过抽象(逻辑)思维。三种思维中，逻辑思维的适应性最为广阔，任何对象的最后理解，必须通过抽象(逻辑)思维。我们常说思维能力的训练，主要也就是抽象(逻辑)思维能力的训练。(1)
研究表明，灵感是人脑基于逻辑和实践经验的一种机能。人们掌握了各种逻辑思维方法与技巧并且反复地使用后，有时甚至无需意识控制也能自如地运用。因此当遇到问题情景时，主体头脑中形成一个优势兴奋中心，存储在主体头脑中的知识、经验和逻辑思维方式、方法等以潜意识或显意识的形式不断进行活动，有时它们与待解决的问题形成新的暂时神经联系，巴甫洛夫等人认为，这种新的暂时神经联系可以在大脑优势兴奋中心的边缘抑制区以“突然拓通”的方式形成，在这种情况下，主体就可能没有意识到形成的过程，而“突然”颖悟了结论，即产生了灵感。
爱因斯坦发现光速不变原理可以说是灵感的推动，但更多的是靠理性分析的积累，他曾指出，作为一名科学家，他必须是一个“严谨的逻辑推理者。科学家的目的是要得到关于自然界的一个逻辑上前后(2)一贯的摹写。逻辑对于它，有如比例和透视规律对于画家一样”。
抽象思维首先以“语言”为基本工具。思维是语言的内容，语言是思维的表现形式。科学的抽象就是抽去某类现象具体的、非本质的、次要的方面，引出其固有的本质特征，达到科学的认识。
古埃及人只懂得测量个别物体的运动问题，测量圆周和体积，解决一个个具体的问题。希腊人则潜心研究，抽象地提出了“点”、“线”、“面”、“角”等概念，并进而引出了能计算一系列具体问题的运算公式，形成并推导了比较系统、完整的几何学体系，成为西方自然科学传统的真正开端，这里就显示出了抽象的创造力量。
中世纪哲学泰斗托马斯曾说：“应该从逻辑开始，因为其他科学(3)都需要它，它教给我们在一切科学中进行思考的方法。”因为逻辑是人类理性的象征，是人类科学与文明的思维基石，诚如恩格斯所说：(4)“一个民族想要站在科学的最高峰，就一刻也不能没有理论思维。”
1.2 思维方式
思维方式是体现一定思想内容和一定思考方法的思维模式。也就是说，一个思维方式包括思维内容和思维方法两方面。例如，著名数学家华罗庚发明的优选法，其思想内容就是为获得生产工艺、操作、配方、配比等最优参数，它包含的思考方法就是一种数学思维方法，它具有数学模型这样的模式。
思维内容因思维的领域不同、对象不同而异。可以说，各行各业都有特定的思维方式。农民有农民的思维方式，商人有商人的思维方式；一般来说，农民大抵淳朴忠厚，而商人大多狡诈。将帅指挥官有军人的思维方式，文学家、画家、诗人、哲学家都有各自的思维方式，或者说某种职业思维习惯、思维定式。甚至强盗、小偷也都有他们的思维方式，如“不偷白不偷，不抢白不抢”等。
思维模式则是人们的思维所遵循的某种用法和格式。中国古代的算卦，就是《易经》阴阳八卦的运用。阴阳八卦也就是中国古代的一种思维模式。有的人喜欢把一切社会实践活动都比作打仗，用军事术语来说明各种实践活动。比如说，人生就是战场，牢牢把握思想战线，筑起反对资产阶级自由化的思想长城，过高考关，打一个漂亮仗，体育比赛是和平时期的战争，诸如此类。军事行动就成了他们的一个思维模式。
对于思维方式，我们还可以换一个方式来说明。思维方式就是指人们在思考某种问题时的一条基本思路。打个比方，到商店里买东西，人们脑子里都全有一个概念，那就是“把好东西买回来”，至于怎样才能做到这一点，各人有各人的思路。有人认为，价钱越贵东西就越好，因而就专挑价格高的买；有人认为，大家都抢着买的东西就是好的，于是一哄而上；有的认为，商标品牌越是新奇，商品越好，因而专买新牌子；有的则随大流，大家说什么好就买什么。当然还有许多其他的思路，但以上四种思路也就是选购商品的基本思维方式。
思维方式体现着思想内容和一定的思维方法，如果不进行严密的推敲，它和思维方法没什么两样，但如细细分辨，两者还是有区别的。思维方法是比较一般的东西，而思维方式是比较具体的东西。某一个人认识某一个对象的某个思路就是一种思维方式，它与特定的内容相关。如“改革是摸石子过河，走一步看一步”，是邓小平对建设有中国特色社会主义的一条思路，但这不能称作一种思维方法。许多人在对许多对象进行认识的过程中，不断重复使用的某种思路才是一种思维方法。如：比较的方法，分析、综合的方法，归纳、演绎的方法，数学的方法等等。
思维方法有科学、非科学，正确、错误之分。正确的科学思维方法乃是根据事实材料，遵循逻辑规律、规则而形成概念、做出判断、进行推理的方法。就此而言，思维方法也就是逻辑方法，而逻辑方法正是在理性抽象思维过程中被人们所普遍遵守并普遍有效的方法。同时，思维在逻辑方法上的运用有时也被称为逻辑思维方式，这时思维方式就获得了一种普遍的意义。
1.3 逻辑
1.3.1 逻辑的词义分析
逻辑一词译自英文 Logic，源于希腊文λóγοs，原意是指思想、言辞、理性、规律性等。古代西方学者用“逻辑”指的是研究推理、论证的学问。我国首次使用“逻辑”一词，见于近代启蒙思想家严复的《穆勒名学》——译自System of Logic，日本学者把逻辑学译为“论理学”，国父孙中山曾译为“理则学”。作为一门专门研究推理论证的学问，中国先秦、印度都有，先秦是名辩，印度是因明，它们与古希腊亚里士多德的逻辑学并称为世界三大逻辑发源。
在现代汉语中，逻辑一词有多重含义，正如皮尔士所说：“对逻辑所下的定义近乎一百个。”
例如：
(1)历史的发展有它自己的逻辑。这里的逻辑指客观事物发展变化所呈现出来的历史规律。
(2)美国经常借口人权、民主问题压制中国发展，这是美国“世界宪兵”的冷战思维形成的霸权逻辑。这里逻辑指的是某种特殊的理论、观点和看问题的方法，也可以说是特定的思维方式。
(3)说某人心神错乱、思维不清、语无伦次，或者荒唐可笑，犯了逻辑错误。这里的逻辑指的是人们的思维的规律、规则等等。
(4)德国哲学家黑格尔写有《逻辑学》、《小逻辑》的著作。在他那里，逻辑代表着一种系统的思辨哲学理论。
(5)我国大学里普遍开设了普通逻辑课程。本句中的逻辑则指一门训练并提升学生抽象思维能力、形式思维能力的学科。
1.3.2 思维科学体系
逻辑是一门研究思维的规律、规则的学问，若把这作为“逻辑”的定义是不科学的，因为其他学科，如哲学认识论、心理学、神经学、语言符号学、计算机智能学等也都研究思维的规律、规则。实际上它们与逻辑学都有密切的关系，并共存于一个统一的思维科学体系中。如图1-1所示。图 1-1
要特别指出的是，语言符号是逻辑研究的基本工具，两者的关系尤为密切。思维离不开语言，同样，逻辑在一定意义上也是语言的逻辑。
另外，现今逻辑学界对辩证逻辑是否属于逻辑尚有争议，一般情况下，我们把辩证逻辑划归于哲学认识论之下。这样，我们这里的逻辑学就专指形式逻辑。 通常说逻辑是形式的，这是仅就思维形式而言，而不管我们思维的各种特殊对象，那么什么是思维形式呢？
1.4 思维形式结构
思维形式有两层意思：一指我们前面所提到的概念、命题、推理等，它们是在思维过程中用以反映对象的形式；另一层意思是思维的形式结构，具体指每种不同类型的判断和推理本身所共同具有的思维要素之间的联系方式。人们通常在后一种意义上使用这一术语。例如下面四个语句：
(1)所有帝国主义都是纸老虎。
(2)所有战争都是阶级斗争。
(3)所有恒星都是发光的。
(4)所有大学生都是知识分子。
如果我们用大写的英文字母A、B分别代表上述各句子中的“帝国主义”、“战争”、“恒星”、“大学生”以及“纸老虎”、“阶级斗争”、“发光的”、“知识分子”，那么这四个句子所反映的命题(或判断)的形式结构就是：所有A都是B。这就撇开了每一命题中涉及的特定对象，也即思维内容。
再比如：
(1)如果天下雨，那么地上湿。
(2)如果孔子是人，那么他会死。
(3)如果罗素活到一百岁，那么他肯定不只有一个太太。
(4)如果语言能够生产物质财富，那么夸夸其谈者就会成为世界上最富的人。
如果我们分别用小写的英文字母p 、q分别代替上述命题中如果——，及那么——后面的部分，那么这四个句子所反映的命题所共同具有的结构就是:如果p那么q。当然这是仅就形式而言，并不涉及具体内容。
再来看推理：
(1)如果天下雨，那么地上湿。
(2)如果天下雨，那么地上湿。
(3)如果1+1=2，那么2+3=5。
(4)如果1+1=2，那么2+3=5。
(5)如果他得了阑尾炎，那么他肚子痛。
(6)如果他得了阑尾炎，那么他肚子痛。
推理(1)、(3)、(5)及(2)、(4)、(6)分别共有的形式结构是：
如果p，那么q。
如果q，那么p。
要分析这两个推理的形式，我们必须涉及真和有效性问题。一个命题的真假是由事物的客观实际情况决定的，逻辑并不从具体内容上判断命题的真假。逻辑只考虑当一个或一些命题为真或假时，另一些命题是真，或是假。这就是有效性问题。
我们说，前一个推理形式是有效的，后一个推理形式是无效的。对于前一个推理形式，只要两个前提是真的，结论必定是真的，而且不论以哪些句子代入，它都具有这个性质。
后一个推理形式，在它两个前提都真的情况下，得出的结论却不必然是真的，比如说，第二个推理中的“地上湿”，也可以是由于撒了水。第六个例子中的“他肚子痛”，可能是因为他吃错了药、胃溃疡什么的。虽然第四个例子前提、结论都真，但从逻辑的角度，仅从形式上分析，这个推理形式还是无效的。
一个推理形式的有效性由形式逻辑所提出的规律和原则所保证。无效，即前提到结论背离了逻辑规律和原则。前面两个推理形式的有(5)效与无效，我们在以后讲到假言推理时还要具体分析。
形式逻辑作为研究推理论证的学问，其主要目的就是要区分有效的推理形式和无效的推理形式，给出有效推论所必须遵守的规律、规则，并为人们的思维提供普遍一般的方法指导，促进科学、正确的思维方式的形成。
2.形式逻辑发展简史
要了解一门科学，最重要的是考察它的历史，只有熟悉它的起源、(6)发展历程，才可能更深刻地理解它的现状。
2.1 古希腊逻辑
西方逻辑发展史经历了四个阶段：古希腊、中世纪、近代、现代。古希腊逻辑的核心是由亚里士多德(公元前384—前322年)所创立的逻辑理论，亚里士多德作为古希腊逻辑的集大成者，他的逻辑著作由弟子汇编成《工具论》。这部著作的内容构成并涉及了其后两千多年的逻辑发展史，是人们公认的一部权威性逻辑学经典。《工具论》中包含了下面六个部分：《论辩篇》，研究辩证哲理，研究与哲学和辩论有关的理论和技术；《辩谬篇》，研究对话和辩论中的各种谬误及其反驳方式；《范畴篇》，研究各类词、范畴及其意义；《解释篇》，研究语言(名词、动词、语句)和思想之间的关系，研究各种命题之间的关系；《前分析篇》，研究正确推理的普遍形式，包括直言三段论和模态三段论；《后分析篇》，研究科学中的推理和构造科学理论的方法。另外，亚里士多德在《形而上学》中讨论了逻辑规律，这些就构成了我们所谓的传统逻辑的主要内容。
亚里士多德被称为“逻辑学之父”、“逻辑学的鼻祖”，但他之所以能够创建逻辑学说，也是有一定前提的。大致有以下三点。
2.1.1 智者对论辩术的发展
论辩术至今仍以某种形式存在，如国内流行的港台剧中的法庭辩论、大学间的辩论赛等等。而在古希腊时期，论辩术也有如下数个存在领域。
首先是哲学的不同派别、观点之间的争论。比如，泰勒斯认为，水是万物的本源；阿那克西曼德说，一个什么都不是的“无限者”是世界的始基；阿那克西美尼则认为，气是宇宙的始基。谁是谁非，就得进行一番论证，每个人都必须为自己的观点辩护。
其次，人们在日常生活中，对某人某事的不同看法和意见也引起辩论，如，这个说该对象是真、善、美，另一人则称其是伪、恶、丑，于是口头冲突就发生了。
最引人注目的还是在法庭诉讼及政治生活中的论辩、演说术。古希腊政治比较民主，设立有人民大会并制定了一部民主宪法，古希腊公民要想获得官职，乃至实施自己的政治主张，需要有说服打动代表的技巧。在这些场合，一篇在形式、内容上别出心裁的讲话能决定提案、候选人的命运，或者特定事件的结果。
罗素曾指出，雅典法庭中法官、行政官都是通过抽签的方式从一些普通公民中选出来的，因而都带有各自特殊的偏见，缺乏职业意识。那时没有律师，原告与辩护人，起诉与被告都亲自出席，胜败取决于陈述和辩论时迷惑、说服法官、陪审员的技巧。
于是，智者学派应社会需要而出现，就像当今中国经济纠纷案件增多，律师特别吃香一样。智者，sophist，本指教人以智慧和美德的教师，特别擅长演说术、论辩术。摆在智者面前的问题是，怎样博得信服，怎样使论断有力，如何证明，如何反驳，如何诡辩和玩弄歧义，如何识别和揭露诡辩，如何给定概念的定义，如何下定义，如何归纳等等。
哲学史上著名的普罗泰戈拉就是一位大智者，他也像孔子周游列国一样，巡回希腊各城邦。据说，他曾收了一位弟子叫欧勒提斯，为了吸引更多的学生学习法律，两人签订了合同，规定学费分期上交：欧勒提斯在毕业时付普罗泰戈拉一半学费，另一半学费在欧勒提斯第一次出庭打赢官司时付清。
然而，欧勒提斯毕业后，存心想赖账，一直不出庭打官司。普罗泰戈拉经济意识较强，一份劳动得一份报酬，于是他就向法庭提出诉讼，并做出如下推理：
如果欧氏这次官司打胜，那么，按合同，他应付我另一半学费；
如果欧氏这次官司打败，那么，按法庭判决，他也应付我另一半学费；
欧氏这次官司或者打胜，或者打败；
总之，他应付我另一半学费。
欧勒提斯看穿了老师的这一套把戏，有其师必有其弟子，而弟子又更出于蓝，他也来了一个推理，用以反驳：
如果这次官司我打胜，那么，按法庭判决，我不应付另一半学费；
如果这次官司我打败，那么，按合同，我也不应付另一半学费；
我这次官司或者打胜，或者打败；
总之，我不应付另一半学费。
这就是逻辑史上有名的半费之讼。关于它的具体形式的分析和应(7)对办法，以后我们将会作进一步的分析。
可以看出，智者所关心的是一种说服的艺术，这与后来亚里士多德所致力的证明的理论不同。说服的理论是根据心理规律性，并利用能够影响信念这种心理状态的一切条件，包括一定的逻辑手段；证明的理论则依据逻辑规律和客观的分辨真假的方法，证明的理论需要有一定的真前提，同时还要有有效的形式。而说服可以用假前提、玩弄言辞技巧等迷惑人心。于是智者在后期大都流于一种诡辩的形式。在英文中，sophist同时也兼具诡辩家的意思。
有人称智者那些演说术中的花言巧语是可耻的夸夸其谈，智者不过是批发和零售灵魂，专门以是非为业者。亚里士多德称他们进行的是无聊的论证，令人讨厌。虽然智者们没有创建逻辑科学，但至少提出了这门科学的任务。
亚里士多德所称道的、真正的论辩术的创始人是爱利亚的芝诺。芝诺是著名哲学家巴曼尼德的学生。在哲学观上，他与毕达哥拉斯学派是对立的。在辩驳中，他发现了一种“归于不可能”的方法，逻辑(8)学称之为归谬法。具体地说，就是以子之矛攻子之盾，从对方的假设出发，用演绎辩论去指出这个假说将引出不可能的结果，于是原来的假设不攻自破。
比如说，毕达哥拉斯认为，数由单元构成，而单元用小点来表示，并假定其具有空间上的尺寸大小。按照这种观点，点是具有位置的一个单元，也就是说，它具有某种大小尺寸，而不论这个大小是什么。这种数的理论对有理数是完全够用的，一旦遇上无理数就不行了。芝诺认为，这种单元论不能解释运动，为此，他提出了四个著名的论证，其中一个就是阿基里斯永远追赶不上乌龟。
阿基里斯是希腊神话中跑得最快的人。论证的题目是阿基里斯与乌龟赛跑，假设乌龟先跑了一段距离，阿基里斯永远不能追上并超过他的竞争对手。因为，当阿基里斯跑到乌龟的起点时，乌龟已经又向前跑了一些，阿基里斯跑到这个新的位置时，乌龟又已达到自己稍微前方的一点，每次当阿基里斯逼近乌龟的前一位置时，这只慢吞吞的家伙却已跑开了。阿基里斯当然会一点一点地靠拢乌龟，却永远不能赶上它。
这一论证直接指向毕达哥拉斯。芝诺采取的是他的假设，一条线是由单元或点构成，因此结论就是，乌龟跑得再慢，它在跑完全程以前，已经跑了无限长的距离，而这是不可能的，于是也就否定了毕达哥拉斯的单元论。这种反驳方法非常有效，但必须指出，芝诺的这种论辩术和亚里士多德的论辩术有所不同。亚里士多德把它做了意义上的推广，对他来说，论辩术不是研讨某一特定问题的论辩方法，而是对我们今天称为逻辑的东西的全面探讨。
2.1.2 希腊演绎几何学的研究
亚里士多德创建逻辑的另一个前提是希腊演绎几何学的研究。
公元前5到前4世纪，是希腊科学的繁荣时期，数学、物理学、天文学、生物学、医学都有新的发展，各种门类的科学迫切需要人们整理、总结、系统化。
但是，正如莱辛巴赫所指出的，没有数学的帮助，一门科学永远摆脱不了幼稚的命运。恩格斯也曾说过，一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。这是因为科学需要逻辑，而数学则是逻辑的完美体现。
欧几里得几何学正是希腊科学的代表。我们在初中学的平面几何就基本上是欧几里得几何学的内容。学习几何的重要目的之一就是，训练大脑的抽象逻辑思维能力。因为在一定意义上，它比任何一门科学都迫切需要证明的严格性。
几何学，本用于丈量土地，最初是由埃及僧侣发明的一项实用技术，只是传到希腊后才成为一门学问。据说，西方第一个哲学家泰勒士最早开始了对几何命题的证明。而罗素则认为，数学作为证明式的演绎推论意义上的科学是从毕达哥拉斯开始的。毕达哥拉斯发现并证明了直角三角形两边平方之和等于斜边平方这一几何基本定理，也就是中国古人所说的勾股定理。古希腊思想史中的三大伟人之一——柏拉图也非常重视几何学，在他创立的学园门口有块牌子，上面写着“不懂几何者，不得入内”。
欧氏几何的基本精要，就是一种证明的科学、演绎的科学，是一个基于几个不证自明的公理，由此推出一系列定理而构成的命题系统。欧氏几何与论辩术也有关系，西方学者的研究表明，在欧几里得时代，公理一如公设，是指交互批评的对话中虚伪的命题要由推断来检验，而并不是指已被讨论参加者认之为真的命题。据说，欧几里得之所以陈述明显的引理不过是要叫“冥顽不化的诡辩家”服气。他敦促同行别这么干，免得模糊了证明，搞烦了读者。因此，欧氏才设定一系列的几何推理规则，供人们遵守。
据说亚里士多德的数学学习得不是很好，似乎还有点不喜欢柏拉图学园。但希腊几何学决定了亚里士多德的科学观，他认为建立一门科学最重要的就是建立起这门科学中一系列的证明。证明是建立科学的方法，逻辑则是关于证明的科学。亚里士多德最重要的逻辑著作——《分析前篇》、《分析后篇》，就是对证明和证明中使用的推理形式的分析。
2.1.3 前亚氏思想家对逻辑问题的研究
许多重要的思想家并不一定都是逻辑家。作为一名逻辑家必须运用逻辑形式与规律，掌握逻辑理论；但作为思想家则有可能在逻辑性思维中反映出逻辑问题。
有人称巴曼尼德——芝诺的老师——创造了“逻辑”，其实他只不过提出了一种形而上学的论证形式，或者说他创造的是基于逻辑的形而上学。巴曼尼德关于“存在”的讨论——非存在就是存在，而不是什么不存在，无意中也蕴涵了对逻辑同一律的运用。
但是，亚里士多德本人推崇的还是苏格拉底。他曾写道：两件大事均可归之于苏格拉底——归纳推理与一般定义的形成，两者均有关一切学术的基础。
苏格拉底是柏拉图的老师，而亚里士多德的思想就源自柏拉图，他们是古希腊最有影响的三位思想家。正是苏格拉底提出了“认识你自己”的口号。据说，他曾到处寻找比他更有智慧的人，或以智慧出名的人。有政治家、诗人，也有工匠，但得到的都是失望。因为，只有苏格拉底承认自己一无所知，神谕示说，只有像苏格拉底那样知道自己的智慧是毫无价值的人才最有智慧。
柏拉图作为一位大思想家，他的理论在西方的影响深邃而久远。作为一位逻辑思想家，他在一生中进行了探索，并是一位起了铺路作用的逻辑学奠基者。但是，柏拉图只是讨论了部分逻辑形式、原则与方法，并且只是在需要的时候才零敲碎打地说明它的原则，而并未试图去把这些原则、方法彼此联系起来，结合成一个系统。
古希腊逻辑的真正集成、总结、奠基的系统化的人物是被马克思称为“古代最伟大的思想家”的亚里士多德。亚氏是第一个像教授一样著书立说的人。他的论述较有系统，他的讨论也分门别类。亚里士多德创建的逻辑学是一门关于正确的思维形式和思维规律的学问，一(9)般称为“形式逻辑”，它的核心内容是关于推理的学说。
亚里士多德的逻辑涉及的范围很广，包括关于一般语词(范畴)的论述，有关谓词的论述，关于命题的论述，关于直言三段论的论述，关于模态三段论的论述，此外还有关于谬误的论述，关于证明的论述，关于矛盾律、排中律等逻辑规律的论述，以及关于关系推理、关于归(10)纳法的论述，等等。
亚里士多德去世后，他的逻辑学说由德奥弗拉斯特和欧德漠斯等漫步学派学者继承并作了补充。正是漫步学派开始使用“逻辑”(λογικη)这一术语，在阿佛罗狄西亚的亚历山大时期才流行开来，并基本上具有了今天这样的含义。
2.2 亚里士多德以后逻辑发展的主要线索
亚里士多德以后，逻辑学渐次从哲学中脱离出来，成为一门独立的学问，并在不同的时期得到深入的研究，这里简单提供一个线索。参见图1-2。
从莱布尼茨开始，逻辑开始向数理逻辑发展。到今天，数理逻辑、形式逻辑、符号逻辑成了同一个术语，它们都是指现代逻辑。
数理逻辑的产生是在逻辑中应用数学方法，主要是代数方法的结果。莱布尼茨的目的是设计一个演算，它能使所有的推理的错误都只成为计算的错误，这样当争论发生的时候，两个哲学家就像两个计算家一样，用不着辩论，只要把笔拿在手里计算一下就可以了。沿着这个思路，数理逻辑经由布尔的逻辑代数、德摩根的关系逻辑、皮亚诺的人工语言、弗雷格的谓词演算，一直到罗素、怀特海的三卷本巨著《数学原理》问世，现代逻辑形式化系统便基本完成了。图 1-2
此后在20世纪三四十年代，数理逻辑在开关线路、自动化系统、计算机科学和技术等方面得到了广泛的应用。目前现代逻辑正向哲学逻辑、应用逻辑(伦理逻辑、法律逻辑、命令逻辑、条件逻辑、模态逻辑等自然语言中的逻辑)发展。总之，只要有人在思维，只要人类还在使用语言交流，逻辑就存在，它就会发展。逻辑学在现代的各发展分支可参见图1-3。(11)N．Rescher——逻辑图图 1-3
2.3 逻辑与其他科学
通过对上述逻辑发展的历史考察，我们发现逻辑与其他许多学问有着密切的联系。
2.3.1 逻辑与哲学
逻辑孕育于哲学之中，而后又独立于哲学，并成为哲学不可或缺的工具。在现代西方英美分析哲学占了很大市场，而且分析哲学的基本方法在于语言的逻辑分析，不懂现代逻辑就根本不懂分析哲学，目前更有许多人在研究逻辑哲学、哲学逻辑，并做出了许多成果。
2.3.2 逻辑与数学
逻辑与数学的关系在亚里士多德之前就有表现，许多数学方法直接就是逻辑方法。现代逻辑产生后，许多人在进行把数学化归于逻辑的工作，致力于数学与逻辑的联姻，虽然后来因为悖论问题碰瘸了腿，但数学与逻辑的密切关系仍然存在。
2.3.3 逻辑与语言学
逻辑理性思维的一个最重要的特征就是使用语言。研究逻辑首先就得研究语言。我们经常说的汉语、英语等各民族语言都是日常语言，或者说是自然语言；而逻辑学家们则为现代逻辑研究创立了一套人工符号语言，也就是人工语言。它以精确、无歧义为准则。创立人工语言是逻辑形式化、系统化的必要前提。
逻辑和语法相类似。语法研究各类词的用法及其组成形式，不问具体每个词的意思，而逻辑只问形式不问内容。斯大林曾说，语法的特点在于它得出词的变化的规则，但这不是指具体的词，而是指没有任何具体性的一般的词，它得出造句的规则，但这不是指某些具体的句子，例如具体的主语、具体的谓语等，而是指任何的句子，不管某个句子的具体形式如何。
语言学的进一步研究，比如语义学、语用学、语形学(语法结构)，无一不对逻辑研究产生重大影响。例如，乔姆斯基转换生成语法使语言逻辑和语法进一步得到沟通，从而建立了自然语言逻辑。
2.3.4 逻辑与自然科学
这里的自然科学是指物理学、生物学、化学等学问，逻辑研究是直接与科学方法论的发展联系在一起的，一门科学若不能成为一个理论系统，也就是若它缺乏逻辑的严格性，它很难成为一门真正的科学，而更易为人们所驳倒，有人曾给自然科学下定义：科学=逻辑理性+经验事实。爱因斯坦还从更广泛的意义上指出：西方科学技术发展是以两个伟大的成就为基础的，那就是：希腊哲学家发明形式逻辑体系(在欧几里得几何学中)，以及(在文艺复兴时期)发现通过系统的实(12)验可能找出因果关系。
3.学习逻辑的作用
逻辑在西方向来很受尊崇，1974年联合国教科文组织列出的相对于技术科学的七大基础科学中，逻辑排在第二位，即数学、逻辑学、天文学和天体物理学、地球科学和空间科学、物理学、化学、生命科学。而1977年版的大英百科全书，把逻辑列为知识五大分科之首：逻辑、数学、科学(自然、社会、技术)、历史学、人类学(主要指语言文字、哲学等等)。在美国大学里，逻辑学是每个专业的必修课，文、理、工、医各科专业都必修，并且任何专业的研究生都要考这门(13)课程的有关知识，并将它作为一项重要的考核指标。
3.1 逻辑与真理
形式逻辑是由已知到未知的认识方法，是一门求真的科学，能给人们追求探索新知识提供必要的逻辑工具。
让我们先来看一个简单的游戏。今有甲、乙、丙三人，他们具有相同的推理能力。令他们三人按前后的顺序坐在椅子上，另一个人丁拿了三顶白帽子和两顶红帽子，给甲、乙、丙三人看过后，为他们三人头上各戴一顶帽子，余下的帽子是什么颜色的都不让他们知道。甲、乙、丙也不知道自己头上戴的帽子是什么颜色，但坐在后面的人可以看见前面的人头上戴的帽子是什么颜色，前边的人则不能回头看后面的人戴的帽子是什么颜色。
丁先问坐在最后面的丙：你知道你头上戴的帽子是什么颜色吗？回答：不知道。问乙也说不知道。最后问甲，甲说他知道是白色的。甲没看见自己头上及乙、丙的帽子的颜色，但是他通过乙、丙的回答可以推理得出。即：
若甲、乙为红帽子，则丙知道自己头上为白帽子，因为只有两顶红帽子，丙说不知道，则甲、乙两人戴的不都是红帽子，也即，甲、乙头上至多只有一顶是红色的，或者说至少有一顶是白色的。这样，如果甲头上的帽子是红色的，那么，有相当推理能力的人就能推出自己头上的帽子颜色是白色的。乙回答不知道，则知道乙所看见的甲头上戴的帽子不是红帽子，所以甲肯定自己头上的帽子是白色的。
还有，就这个游戏来说，不论丙和乙的回答是知道还是不知道，甲总能根据丙和乙的回答知道，或者说推断出自己头上的帽子的颜色。而当甲头上戴的是红帽子时，不论丙怎样回答，乙总能知道自己头上帽子的颜色。
从这个简单的游戏就能看出人们经过推理能够从已知获得未知。其他如数学及各种科学，包括社会科学、哲学都有应用逻辑推理从已知推出未知的例子。列宁曾说过，任何科学都是应用逻辑，这也是逻辑成为基础科学的缘由。
3.2 逻辑与思想表达
形式逻辑是论证思想和表达思想的必要工具，遵守逻辑规律的要求是正确地进行思维的必要条件。
学习逻辑，能够大大提高逻辑思维能力，使人的思维精确化、严格化、理性化，提高我们的思维效率。计算机叫电脑就是因为模拟人脑中的逻辑思维，在速度、记忆容量上取得了优越性，而且最初的电脑专家很多都是逻辑学家。
学习逻辑能帮助人们应用适当的逻辑形式，以使理性清晰，拥有健全的自省能力，合乎逻辑地表述和论述思想，达到概念明确、判断恰当、推理有逻辑性，使人们说话、写文章中心明确、条理清楚、结构严密、有说服力，达到有效地思想交流和辩论。毛泽东就曾指出，写文章要讲逻辑，就要注意整篇文章、整篇讲话的结构，开头、中间、尾巴要有一种关系，要有一种内在的联系，不要互相冲突。
学习逻辑有助于我们分析各种思想、理论，乃至各门科学的理论结构，使我们更容易学习领会并掌握这些知识。许多人虽然没有专门学过形式逻辑，但是却能很好地进行推理和证明，正如许多人没有学过语法学，说话很合乎语法一样，这是因为逻辑规律与语法规则相类似，有很大的自发性，但仅仅依靠这种自发性是不够的。自发性只能处理比较简单的问题，当遇到比较复杂的问题时，就很难处理；或者很容易违反逻辑规律的要求，这样的思维容易产生错误。比如，有人提出如下推理：
所有的人都是能制造劳动工具的生物。
猿猴不是人；
所以猿猴不能制造工具。
包含在这个推理中的每一个命题都是真的，但整个推理却不能成立，缺乏逻辑训练，就不容易看出这个推理的错误。我们可以把上述推理按其形式换一个内容，比如：
所有的马都能跑；
狗不是马；
所以，狗不能跑。
这样，其错误就很明显，掌握了形式逻辑以后，就不必找这种例子而直接从形式构成上分析其他类似的例子的错误，就会明白上述推(14)理的形式错误所在。
3.3 逻辑与谬误
形式逻辑是分析谬误、揭露诡辩的重要武器。
人们在说话、论证时，有时不自觉地会犯一些错误，这在所难免。有了形式逻辑就可以对它做出分析指正。例如，古希腊有个著名的说谎者悖论，它的构成是这样的：
希腊有一个岛，叫“克里特岛”，岛上有一个叫爱匹曼尼德的人说：“所有克里特岛人都是说谎者。”如果爱匹曼尼德说的是真的，那么说“所有克里特岛人都是说谎者”是真的，爱匹曼尼德自己也是克里特岛人，那么他在说谎，所以爱匹曼尼德说的是假的。如果爱匹曼尼德说的是假的，那么说“所有克里特岛人都是说谎者”是假的，那么克里特岛人没有说谎，既然没有说谎，爱匹曼尼德说的就是真的。这在苏格拉底的“我在说谎”中表现得更为突出，读者可对此试作思考。
类似地，罗素于1918年提出理发师悖论。其内容是：塞维利亚村里有个理发师，他宣称，他给也只给那些不给自己刮脸的人刮脸。现在的问题是，这位理发师是否给自己刮脸？如果他不给自己刮脸，则他属于那些自己不给自己刮脸的人，因而就应给自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他不属于自己不给自己刮脸的人，这样他就不应给自己刮脸。
如果不具备一定的逻辑分析能力，对此类悖论就会感到十分困惑(15)。
学习形式逻辑，能够帮助我们体认思想陷阱，避免踏入思维混乱、不确定的误区。但如果在思维过程中，故意违反形式逻辑规律的要求，做出一些似是而非的论证，这就是诡辩。前面我们说过的一些智者就曾有大量诡辩的例子。
有位智者叫欧底姆斯，曾问一位来求教的青年：“你学习的是已经知道的东西，还是不知道的东西？”青年回答说：“学习的是不知道的东西。”欧底姆斯又问：“你认识字母吗？”答曰：“我认识。”
欧氏：“所有的字母都认识吗？”
青年：“是的。”
欧氏：“教师教你的时候，不正是教你认识字母吗？”
青年：“是的。”
欧氏：“如果你认识字母，那么，他教你的不就是你已经知道的东西吗？”
青年：“是的。”
欧氏：“或者你并不在学，只是那些不识字母的人在学吧？”
青年：“不，我也在学。”
欧氏：“那么，如果你认识字母，就是学你已经知道的东西了。”
青年：“是的。”
欧氏：“那么你最初的回答就不对了。”
这个青年被智者弄得昏头昏脑。但学过逻辑，我们马上就可以指出智者的诡辩在于偷换概念。因为“学”是一个歧义概念，它既可指“理解知识的运用”，也可指“获得知识”。教师教你认识字母时，是获得知识；认识字母后再学，则学的是对字母认识后的应用。
此外，“教师教你的时候”这个复合词所表示的时间概念，既可以指谈话时的“过去”，也可以是谈话时的“现在”，甚至“未来”，而当欧底姆斯向这位青年提问“教师教你的时候，不正是教你认识字母吗？”，其中“教你的时候”指的是“过去”或表示“过去”这一时间概念，而当他向青年提问时说：“如果你认识字母，那么，他教你的不就是你已经知道的东西吗？”这时，其中“教你的时候”(在文中省略)指的则是“现在”或“未来”，即表示的是“现在”和“未来”的时间概念，但这位青年没有觉察到这一点，因此被弄得昏头昏脑了。
本章思考与练习:
1.谈谈你过去对逻辑的认识。
2.试举例比较形象思维、灵感思维和逻辑思维的异同。
3.试举例说明思维方式的地域、民族或文化差异。
4.试分析逻辑学在思维科学体系中的地位。
5.试结合本专业谈谈学习逻辑的作用。
6.试分析一两个你在日常生活中遇到的逻辑问题。
7.一个老师为了试一下A、B两个学生哪一个更聪明，把他们带到一个伸手不见五指的黑房子里，老师打开灯说：“这张桌子上有五顶帽子，两顶是红色的，三顶是黑色的。现在，我把灯关掉，并把帽子的顺序搞乱，然后，我们三人每人摸一顶戴在头上。当我把灯打开时，请你们尽快说出自己头上戴的是什么颜色的帽子。”然后老师把灯关掉了，三个人都摸了一顶帽子戴在头上；同时，老师把另外两顶藏起来了。电灯打开后，那两个看到老师头上戴着是顶红色的帽子，过了一会儿，A喊到“我戴的是黑帽子”，请问A是如何推理的？
8.在太平洋的一个小岛上生活着土著人，他们不愿意被外人打扰。一天，一位探险家到了岛上，被土著人捉住，土著人的头领告诉他，“你临死前可以有个机会留下一句话，如果这句话是真的，你将被烧死；如果是假的，你将被五马分尸。”可怜的探险家说什么才能活下来？
9.村子里有50个人。每个人都有一条狗，在这50条狗中有病狗(这种病不传染)，于是人们要找出病狗。每个人可以观察其他49条狗，以判断它们是否生病，但只有自己的狗不能看，观察后得到结果不能交流，也不能通知病狗的主人，主人一旦推算出自己的狗有病时，就必须在一天内将其枪毙，而且只有权利枪毙自己的狗，没有权利打死其他人的狗。第一天大家全看完了，但枪没响，第二天枪也没响，第三天才传来枪响。问：村里共有几条病狗？如何推算出来的？
10.《吕氏春秋·审应览第六·淫词》：空雄之遇，秦、赵相与约。约曰：“自今以来，秦之所欲为，赵助之；赵之所欲为，秦助之。”居无几何，秦兴兵攻魏，赵欲救之。秦王不悦，使人让赵王曰：“约曰：‘秦之所欲为，赵助之；赵之所欲为，秦助之。’今秦王欲攻魏，而赵因欲救之，此非约也。”赵王以告平原君，平原君以告公孙龙。公孙龙曰：“亦可以发使而让秦王曰：赵欲救之，今秦王独不助赵，此非约也。”
试从逻辑应用的角度对此故事进行分析。【注释】(1)参见孙伟平:《论逻辑思维的功能与局限性》,载《北方工业大学学报》1994年第4期,第1—6页。(2)参见《爱因斯坦文集》第一卷,商务印书馆1994年版,第304页。(3)肖尔兹:《简明逻辑史》,张家龙译,商务印书馆1977年版，第87页，注释49。(4)《马克思恩格斯选集》第三卷，人民出版社1972年版，第467页。(5)参见本书第六章1.1.2。(6)如前所述，世界逻辑有三大发源，限于篇幅，这里仅介绍西方逻辑发展简史。(7)参见本书第六章4.4.2.2。(8)参见本书第六章3.3.3。(9)亚里士多德本人没有使用“逻辑”一词指谓他建立的这门关于推理的思维科学，而是用了“分析学”一词(注：亚里士多德在《形而上学》1005b2中批评一些人未曾研究逻辑公理就企图讨论真理及相关词项，表明他们“缺乏分析学的学养”)。公元前3世纪斯多亚派创始人芝诺说“逻辑”包括辩证术和修辞学；公元前1世纪罗马的西塞罗最早用“逻辑”一词表述推理学说；公元2世纪注释家阿佛罗狄西亚的亚历山大注释《论题篇》(74·29)，最早在学科意义上使用“逻辑”一词，指出“逻辑学在哲学中占有一种工具的地位”。见格思里(W.K.C.Guthrie)《希腊哲学史》第6卷，剑桥大学出版社1981年版，第135—136页。(10)参见邵强进：《亚里士多德逻辑学的创建》，载黄颂杰、章雪富：《古希腊哲学》，人民出版社，2009年版，第221—248页。(11)Nicholas Rescher， Topics in Philosophical Logic， D.Reidel Publishing Company，Dordrecht-Holland，1968， pp.6-9.(12)爱因斯坦:《西方科学的基础和中国古代的文明——1953年给J·E·斯威策的信》,参见《爱因斯坦文集》第1卷,商务印书馆1994年版,第574页。(13)如哈佛大学早就规定,大学生入学后都要学习“七艺”,即文化、逻辑、修辞、几何、天文、数学、音乐、语文、人文、社会和自然。(14)参见本书第六章3.3.3中的分析。(15)参见本书第三章1.1.1、2.2.3、2.2.4中的相关分析。
第二章 概 念
概念是思维的“细胞”，是组成判断的基本要素，是理解命题和推理的基础。本章我们考察概念的逻辑性质，以及明确概念的基本方法，包括定义、划分、限制和概括等等。
1.概念的概述
1.1 语词与概念
逻辑是语言的逻辑，语言是一种特殊的指号系统，要了解语言的性质，我们必须先了解指号的性质。
1.1.1 指号
一个事物a是另一个事物b的指号，当且仅当事物a表示事物b。一个人脸上出现某种红斑，就表示他患麻疹；公路边的路标牌上的“ㄣ”，就表示前面有弯路。“脸上的红斑”这些声音或笔画和“弯路”这些声音或笔画，就分别表示不同的客观存在的事物，即“脸上的红斑”和“弯路”。
事物a表示事物b，或事物a是事物b的指号，并不仅仅涉及事物a和事物b之间的关系，只有当一个解释者给予事物a一个解释，事物a才能表示事物b，a才能是事物b的指号。
对于一个毫无医学知识的人，脸上的某种红斑就不是麻疹的指号；对于一个毫无交通规则知识的人，路标牌上的“ㄣ”就不是前面有弯路的指号。对于一个不懂汉语的人，“脸上的红斑”和“弯路”就不是指号，而只是一些声音或笔画。
因此，一个事物a成为事物b的指号，必须有一个解释者对事物a做出解释，因此，事物a表示事物b，或a是b的指号，就不仅仅是a和b这两个项之间的关系，而且至少是a、b和解释者及其解释这三项之间的关系。
美国哲学家C.S.Peirce根据指号的性质(和存在)是被指号所表示的对象的性质(和存在)这两者之间的关系，把指号分为图像指号(icon)、指引指号(index)和符号(symbol)。
图像指号和它所表示的对象在性质上有某种相似性，如路标“ㄣ”为图像指号，但当它出现(存在)时，被表示对象不一定出现(存在)指号。
指引指号和它所表示的对象并无性质上的相似性，但它的出现(存在)却和它所表示的对象的出现(存在)有客观上的必然联系。一个人脸上的某种红斑是他患麻疹的指引指号，某山上有烟是此山有火的指引指号，室内温度表的水银柱上升是室内温度上升的指引指号。
1.1.2 符号
符号是这样的指号，它和它所表示的对象既没有性质上的相似性，也没有客观上的必然性。“脸上的红斑”，这些声音或笔画就是一些符号。“烟”、“弯路”这些声音或笔画也是符号。人们手臂上戴的黑纱是表示哀伤事情的符号，黑纱和哀伤事情之间没有性质上的相似性，也没有客观上的必然联系。
注意：一个事物是哪种指号，决定于这个事物解释者对这个事物采取什么解释。同一个事物，由于对它采取的解释不同和它所表示的对象不同，就可以是不同种类的指号。
1.1.3 语言系统
人类的语言是一个复杂的符号系统。它由基本符号、语形规则和语义规则三个部分或因素组成。一种语言的基本符号，也就是这种语言的语词，如人、跑步、刀子，等等；语形规则是关于词组组合的规则，它规定什么样的语词组合是合式的(或合乎语法的)，如人跑步，什么样的语词组合是不合式的，如步跑人；语义规则，就是对这个语言系统中的语词、合式的词组和合式的语句的解释。这种解释规定了这个合式的词组表示什么对象，一个合式的语句的解释，规定了这个合式的句子表示什么事态(或事物情况)。
同时，这种解释也就形成了这个语词、词组及语句的意义。一个语言形式(即通常说的语言表达式)的意义就是，根据语形、语义和语用规则和交际语境，语言的使用者应用这个语言形式所表达和传达的思想感情。
根据语法，一般语词有两类：实词和虚词。实词指谓事物或对象，包括一个对象，一类对象，对象的属性，或对象属性的属性。“孔子”这个语词指谓一个特定的对象，“人”这个语词指谓一类对象，“红色”指谓一个属性。一个语词之所以能指谓对象，是由语言的使用者对这个语词有一个解释，这个解释规定了这个语词表达某个概念，而这个概念描述了这个语词所指谓的对象的属性。
从最广泛的意义上说，赋予一个语词以意义，一般是被反映对象的某种属性，就形成了这个语词所表达的概念。
概念属于语言使用者的思想方面，它和语词和该语词指谓的对象有所区别。比如说：“人”这个语词，将它解释成“有理性、能制造劳动工具的动物”。赋予它意义就形成人这个概念，而人这个概念就反映了对象，一个个具体的人(张三、李四)所共同具有的属性。所以，概念和语词，既相统一又相区别。语词是概念表达的语言形式，是我们发明用来装载内心意义的舟车。概念是语词的思想内容。这里必须看到，概念和语词并非一一对应。
首先，同一个概念可用不同的语词来表达。比如说孔乙己偷书挨打被人奚落嘲笑，于是他说：“窃书不能算偷，窃书！……读书人的事，能算偷吗？”窃和偷两个语词实在表达的是同一个概念，孔乙己再狡辩也没有用。
其次，同一个概念在不同的语言系统中用不同的语词来表示。比如说汉语中的“我”，英文是“I ”，德文为“Ich ”。正因为它们表达同样的概念，所以才能使不同语种之间的翻译、思想交流成为可能。
再次，同一个语词，在不同的语境中可表达不同的概念。古时候，郑国人把未经雕琢的玉称为璞，周人把未腊干的老鼠也叫璞，郑人怀璞问周人买不买，周人说买，拿出来一看却是老鼠，只得谢绝，交易当然做不成。
在汉语中，有叔叔、伯伯、舅舅等不同的称呼，可算有不同的概念，但在英文里通通用“uncle”，这也表明中国人的人情味及封建宗法观念的强烈。在汉语中，还有“妈妈、母亲、娘”等各地不同的称呼，它们都带有不同的感情色彩，但在形式逻辑看来，它们表达的是同一个概念。
再比如，商店里挂出“意大利真皮沙发”的牌子，它就可以有不同的解释。首先是完全从意大利原装进口的沙发；其次还可以解释为意大利款式的沙发，在中国制造的；还可以理解为，用意大利的真皮在中国制造的沙发。有的顾客买了还以为真是进口货，有的厂家坑害顾客，把真皮甚至理解为究竟是真猪皮、真羊皮、真牛皮也不得而知了。
再如，有的商品标价牌上厂家只注明“合资”，有的以为是中外合资，可偏偏它只是国内两个小厂合资的，时下这种情况非常多。我们要注意分析，以免一时被迷惑。
最后，并不是所有语词都表达概念，一般只有实词才表达概念，虚词一般不表达概念，但有时，虚词和实词结合也可以表达概念，比如烧饭的、当家的等等。
1.2 概念的内涵和外延
有一张四条腿的桌子，如果缺损一条腿，我们可能称它为跛脚的桌子。如果缺损了两条、三条……若四条腿都没有了，我们还能称它为桌子吗，为什么？
1.2.1 对象的属性
一个概念描述这个语词所指谓的对象的属性。属性有性质和关系两大类。性质指对象的形状、颜色、重量等规定性，如红的、轻的、方的；关系指对象之间所处的一定的联系，如大于、小于、在……之间。
属性首先可区分为偶有、固有两种。
偶有属性指某一类中的有些对象所具有，而不为该类对象都具有的属性。例如，人作为一类事物，除了共同的固有属性之外，还有许多偶有属性存在。诸如不同的肤色、毛发、语言、风俗习惯等。这些不同的属性只是存在于人类的某些对象中，白色皮肤存于白种人，黑皮肤存于黑色人种，金发和蓝眼大都存于白色人种。
固有属性则是一类中所有的对象都具有的属性。如“人类”的属性，有眼睛、耳朵、毛发、双足直立、有感情、有语言、有理性、能制造和使用工具等等。其中又可分为两种：一种是一般属性，它为该类对象所固有，也可为别的对象所共有的属性，如有眼睛、有毛发等属性，不是人类所专有，许多动物都具有；另一类属性只为人类所具有，如有语言、有理性等等。特有属性我们还可以区分为本质属性和派生属性，如人的本质属性是有语言、有理性、能制造劳动工具，它的派生属性，相对于本质属性来说，可以是能够推理、能够进行生产劳动等等。
目前，逻辑学界对概念反映的是对象的固有属性、特有属性，还是本质属性，尚有争议。笔者认为选特有属性为好。特有属性并非属于科学概念，而归之于日常概念，实际上，逻辑所研究的概念并非仅仅是科学概念，更非仅仅是自然科学概念，它们只是对客观事物的本质属性的反映。此前，我们使用的大都是“对象”这个词，而不是 “事物”。
由此，我们也将承认“上帝”是概念，承认“孙悟空”、“玉皇大帝”也是概念。思维对象不仅包括客观事物，还包括思维本身的产物，也就是说，思维自身有反思功能，存在着对思维的思维。
1.2.2 内涵与外延
概念的内涵是概念所反映的对象的特有属性。
概念的外延就是具有概念所反映的特有属性的对象等所组成的类。如“商品”这个概念，它的内涵就是为交换而生产的劳动产品，它的外延就是古今中外的所有商品。
逻辑史上关于概念的内涵和外延的提出，以及对它的解释，始自17世纪欧洲有影响的课本《波尔—罗亚尔逻辑》，即《王港逻辑》，该书写道：“在普通观念(即概念)中有两个东西要加以区别——内涵与外延。包含在一个观念之中，并且一旦失去即不再成为这一观念的那些属性，我们称之为一个观念的内涵。例如，三角形这一观念的内涵包括大小、形状、三条直线、三个角、三内角之和等于两直角等等。”“一个观念所适用的那些对象，我们称之为一个观念的外延，它们也叫做一个普通项的较低的类。而这个普通项对于它们来说的称作较高的类，例如，三角形这一观念，一般说来，包括所有不同的三(1)角形。”
客观事物由于彼此相同或相异而形成许多类，每一事物都分别属于一定的类。在逻辑学中，把同一类的对象叫做“类”，把同属一类的每个对象叫做分子，把一个“一类”中包含的小类叫做“子类”。类可以由几个或多个分子组成，也可以由一个分子组成，甚至可以不包括任何具体的分子。
例如，“地球上的洲”这个类是由亚洲、欧洲、非洲、北美洲、南美洲、大洋洲、南极洲七个分子组成；“桌子”这个类是由许许多多的分子组成；“地球的自然卫星”是由月球这个唯一分子组成的；而“圆的四方形”则无法找到属于它的分子，分子为零，这种分子为零的类叫做“空类”。外延为零并非没有外延。在数学上，零虽然表示没有，但零还是数。
内涵是概念的质的方面，通常说的概念的含义、意义就是概念的内涵。它说明概念所反映的对象是什么样的。外延是概念的量的方面，通常说的概念的适用范围就是指概念的外延，它说明概念反映的是哪些对象。
概念的内涵和外延是两个密切联系、互相依赖的因素。每一科学概念在一定时期、一定条件下既有其确定的内涵，也有其确定的外延。科学思维要求概念之间互相区别，界限分明，既不容混淆，更不容偷换。唯有这样，概念才能作为思维的细胞形成人类知识的纽结，才能借助概念把同一类对象统一起来，使不同对象区分开来，建构起科学的系统的概念体系。
概念是确定性与灵活性的统一。人们的认识是发展的，科学也是发展的。一定时期一定条件下概念是确定的，这是其确定性；但概念也会随事物发展变化而相应变化发展，这是概念的灵活性。爱因斯坦对于科学发展的理解就是一个不断否定和修正旧概念、创立新概念的过程。他的方法论就叫做科学发现的概念逻辑。只有否定了牛顿的绝对时空观念，才能在光速不变原理基础上创立相对论，实现20世纪初物理学上的伟大革命。
很久以前，人们就根据现象的各种多样性而把所有的存在物(物质存在、思想存在等)基本上分为三大类：对象，特性和关系(对象、这些对象的特性，对象之间、特性之间以及对象与特性之间的关系，即联系)。世界上各种语言的结构，特别是语法中词类的划分，证实了上述这种划分方法的客观性质。对象主要由名词(或名词性词组)表示，特性用形容词、助词和形动词表示，关系则是用语言中的其余各种词类(包括动词在内，因为动词表现人的动作，而人的动作就是人和物的关系，以及人和人的关系)来表示，这样的特性始终表现在关系中。
还应注意，自然语言中的词义和思维中的概念内涵有一定区别。由于科学概念的存在，科学家对他们所从事的专业的科学概念的理解肯定要比常人深刻得多。词义只能包括其中的常识部分，不可能是它的全部。从这个角度讲，词义窄于概念。但是，每个词都具有其基本含义之外，还带有感情色彩、风格色彩、修辞色彩等。语言逻辑中称它为副语气成分，从这个角度上看，词义宽于概念。但是，一般形式逻辑并不研究这些副语气成分。
2.概念的类型
概念按其具体内容可分为许多种类，如“哲学概念”、“历史学概念”、“语言学概念”、“经济学概念”，这些都不是逻辑学研究的内容。逻辑学只是在其他科学提供的具体知识的基础上，根据概念内涵与外延的一般特征，把概念分成若干种类，这有助于我们理解概念的内涵和外延，也有助于我们准确使用概念。
2.1 普遍概念、单独概念、空概念
按照概念外延类的分子的数量，可以把概念分为普遍概念、单独概念、空概念。
普遍概念，是指反映某一类对象的概念。它的外延不是由一个单独的分子构成，而是由两个以上乃至许多分子组成的类，如矛盾、国家、革命、偶数、城市等。从语言角度来看，这些都是语词中的普通名词，它们一般都表达普遍概念。
单独概念，是指反映某一个对象的概念，它的外延仅指一个单独的对象，比如，我们现实世界中的上海、北京等某个地方，鲁迅、邓小平等某个人，“十月革命”、“七七事变”等某一个历史事件等等。
以上从语言角度来看，语词中的专有名词都表达单独概念。另外，语词中的某些词(一般指摹状词)也表达单独概念。如“世界上最大的沙漠”、“我国第一座长江大桥”、“大于2小于4的正整数”，这些词所表达的概念都只是一个单独的对象，因而都是单独概念。
空概念是指外延为空类的概念，以及在现实世界中不存在的任何具体分子。我们看过马，心中有了马的概念，可以造字来装载它(因而“马”这个语词指谓马)，而我们从未见过龙，内心也可以构成龙的概念(即“龙”)，因此我们创造“龙”这个字来装载“龙”，可是“龙”这个字并没有指谓着任何存在的事物。
因此，如果我们说“龙”指谓龙，这与下一个语句“马”指谓马，极为不同。当我们说横刀跃马，我们言之有物，可当我们说龙飞凤舞，(2)我们言之无物，因为并没有龙和凤这样的东西存在。我们可以说像“龙”这样的语词是一种空洞语词，空洞但并非没有意义，它也表达一个概念。
我们再看“方的圆”、“未婚的寡妇”等，不只是空洞语词，还可以说是绝对空词，因为它所指谓的对象不但没有存在，而且不可能存在，因为它本身的意义内涵在逻辑上相互矛盾，相对于这种绝对空词，我们可以把上帝、永动机、金山叫做相对空词，它们都只存在于我们的思维之中，我们承认它们是逻辑可能的。
空概念以及含有空概念的语句，用途极广，小说虚构、神话传说、理想实验中都有，对于人类文明的助益极大，因为我们心中的概念，常常是引导我们发明与发掘的指针，它也常常是我们试图实现理想的蓝图。
2.2 集合概念与非集合概念
根据概念所反映的对象是否为集合体，可以把概念分为集合概念与非集合概念。
在思维过程中，存在三种不同的关系：一是类和分子的关系，如中国人和鲁迅；二是事物的整体和部分的关系，如教室和黑板、身体和手；三是集合体与个体的关系，如《列宁全集》和《全集》第十卷、申花队和申花队教练及申花队队员。事物的类是由若干词类的分子组成的，事物的整体是由若干不同的组成部分构成的，事物的集合体是由若干个同类的个体有机组成的统一体。
集合体和类的区别在于，组成类的各个部分分子都必然有类的属性。鲁迅作为中国人，具有在中国出生、中国国籍等属性。而组成集合体的个体却都不具有集合体的属性。比如说，申花队战胜国安队，10号球员进了一个球，但我们不能说是10号球员一人战胜了国安队，申花队还是作为一个集合体，是由许多其他队员、教练等众多个体有机组合出现。
集合体和整体的区别在于，集合体是由同类的个体组成的，而整体是由不同的部分组成的。身体作为一个整体，它由四肢、头颅、躯干等部分组成；教室作为整体，由墙体、门窗、地面、桌子、黑板、讲台等组成。
一个概念是否为集合概念就是看它在思维中是否以集合体为反映对象。如果是，则为集合概念；如果否，则为非集合概念。这样我们必须从思维语境中考察一个语词。同一个语词在不同的语境中，有的表达集合概念，有的表达非集合概念。
中国人是黄种人，其中中国人表示非集合概念。由鲁迅是中国人，可以得出鲁迅是黄种人。“中国人是勤劳勇敢的”中“中国人”是集合概念，但并非每一个张三、李四作为中国人都是勤劳勇敢的。说“我是中国人，中国人是勤劳勇敢的”，并不能得出“我是勤劳勇敢的”，在这里，我们说“中国人”这个语词表达了不同的概念。
达尔文提出进化论，认为“人类是由类人猿进化来的”。于是，有位大主教勃甫司为维护上帝造人的权威，就问进化论的捍卫者赫胥黎：“请问，究竟是你的祖父，还是你的祖母，和无尾猿有亲属关系？”赫胥黎首先指出，一个人没有任何理由为他的祖先是无尾猿而感到羞耻，然后严正指出研究科学问题时宗教偏见的罪恶。从逻辑上，我们说，“人类是由类人猿进化来的”，该句子中的“人类”一词，反映的是集合体概念，并非是某一个具体的人——他的祖父或他的祖母——是由猴子变来的，那位大主教完全是没有逻辑常识的诡辩。
2.3 相对概念与绝对概念
对象的特有属性，可以是某种新问题，也可以是某种关系。例如，男人的特有的属性就是生理方面的某种性质，父亲的特有属性就是他与其他人在血缘方面或法律方面的某种关系。
相对概念就是反映具有某种关系的对象的概念，如兄、原因、大、重。绝对概念就是反映具有某种性质的对象概念，如人、孙中山、人民公社。相对概念涉及某种关系，而关系总是自己相对于另一个或另一些对象，因此，一个相对概念总是相对于另一个概念而言的。例如，“兄”这个概念是相对于“弟”或“妹”而言；“原因”是相对于“结果”而言的；“大”、“重”这些概念也是相对一定的事物而言。
在应用相对概念时，应特别注意它的相对性，我们说这是一只大老鼠，这里“大”是一个相对概念，这是相对于其他老鼠而言；我们说这是一只小象，这里的“小”是相对概念，它是相对于其他大象而言，忽略这里“大”、“小”的相对性，有时就会导致不正确的判断。
2.4 正概念和负概念
根据概念所反映的对象是具有某种属性还是不具有某种属性，概念可以分为正概念和负概念。
在思维中，反映对象具有某种属性的概念，就叫正概念(或叫肯定概念)，如正义战争、马克思主义、勇敢等都是正概念。在思维中反映对象不具有某种属性的概念就叫做负概念(或叫否定概念)，如非正义战争、非马克思主义、不勇敢的都是负概念。
从语言角度来看，表达负概念的语词往往带有“无”、“负”、“非”等字样，但反过来，许多带有“无”、“负”、“非”等字样的语词表达的并不都是负概念。例如，无产阶级、不丹、非难等，这要看是否把“无”、“不”、“非”等语词当作否定词来使用。
要明确负概念的内涵和外延，必须了解和掌握它所处的论域，因为负概念总是相对于一个特定范围而言的。这种特定的范围，在逻辑学中称为论域。例如，通常情况下“非正义战争”这个负概念是相对于战争而言，而“非正义战争”就是表示一切不具有正义性质的战争。一般来说，某个负概念所对应的正概念的最邻近的属就是负概念外延类的范围，亦即负概念的论域，上述非正义战争和正义战争的论域即是战争。
以上我们从各个不同的角度，把概念作了四次分类，其目的是要明确概念的各种特性。一个概念不仅是属于某种划分中的一个种类，而是可以分别属于几种不同划分中的一个种类。例如，“中国人是黄种人”一句中的“中国人”既是普遍概念，也是非集合概念、绝对概念和正概念。
3.概念间的关系
形式逻辑所考虑的概念间的关系指的是概念外延间的关系，一般简称概念间的关系。这是因为外延是对象性的东西，具有一定的可共有性，形式逻辑才显示出它形式的一方面。有时人们把亚里士多德所创立的形式逻辑也称外延逻辑，或说类逻辑。
任何两个概念或两个类a、b之间，可能有五种关系，即全同关系、真包含于关系、真包含关系、交叉关系、全异关系。18世纪瑞士数学家欧拉提出用圆圈图形代表概念外延间的关系。用一个圆圈A表示概念A的外延；用一个圆圈B表示概念B的外延，一般称之为欧拉图。
3.1 全同关系
全同关系就是S的外延和P的外延重合。其欧拉图见图2-1。图 2-1
S、P两个概念外延间合二为一。所有属于S类的分子都属于P类，并且所有属于P类的分子也都属于S。如等边三角形与等角三角形，《史记》的作者与司马迁。
此外，一些表示某个事态的抽象词，在逻辑上也认为在外延上全同。如上一节中提到的“窃”与“偷”实在只是同义词，它们在外延上是全同的。还有“死”这一概念在语言学中有许多委婉用词，即修辞中的婉曲，如逝世、作古、归西、仙游、圆寂、长眠、坐化、牺牲、献身、光荣等等，这些代用语在一般的外延逻辑理论上都称为全同关系的概念。
适当采用全同关系的概念说明同一个对象，首先可以揭示对象丰富的内涵，多侧面地反映对象，使其具有立体感。同时也使语言表达更加灵活，富于感情色彩。比如在篮球比赛中上篮成功、勾篮得手、远投中的、又添两分等，都是进球得分的意思。
3.2 真包含关系与真包含于关系
如果一个概念的外延圆圈全部被另一个圆圈包住，它们之间就有真包含于关系或真包含关系，统称属种关系。如图2-2所示。图 2-2
两个概念的真包含或真包含于关系是相对应的；如果S类对于P类有真包含于关系，那么P类对于S类则有真包含关系；如果P类对于S类有真包含关系，那么S类对于P类则有真包含于关系。
真包含于关系，比如，复旦大学和普通高校、奇数和整数；反过来，真包含关系就是普通高校和复旦大学、整数和奇数之间的关系。这里我们看出，关系是有次序的，先后次序一变，关系也就会改变。关系概念本身也是如此，甲是乙的父亲，就不能说乙是甲的父亲。对(3)此，我们以后还要分析。
具有真包含于关系和真包含关系的概念在外延上是相容的，有时表达思想时并列两者并不恰当，不可随意而为。比如，田野里，水稻、庄稼长势喜人。公园里，游人、儿童熙熙攘攘。这样不加限定或强调其一地并列两者，人们不禁会问，水稻是不是庄稼，公园里的儿童算不算游人。有个笑话，据说，大科学家牛顿养了两只猫，一只大猫、一只小猫。牛顿为了方便大猫、小猫在门内、门外进出，于是在门上开了两个猫洞。一个为大猫进出，一个为小猫进出，这个为小猫开的洞是否有必要呢？
3.3 交叉关系
从图形上看，具有交叉关系的概念，如图2-3所示。图 2-3
它们的欧拉图就是两个互相交叉的圆。S类、P 类共有一部分分子，且有属于S类的不属于P类，有属于P类的不属于S类。比如，“青年”和“女学生”两个概念外延间就具有交叉关系，有女青年学生，也有男青年不属于女学生类，也有小学生不属于青年类。同样，如果说P交叉于S，那么S也交叉于P，它们是相互对称的。
和上述属种关系的概念一样，交叉关系的概念也不能随意并列，但在有些语言习惯下，为了点面顾及的表达法，也可以并列使用。比如：
女排夺冠极大地激发了广大运动员和全国人民振兴中华的热情。
积极培养青年、妇女干部和少数民族干部(这里是为了突出三者都应积极培养)。
3.4 全异关系
S类和P类有全异关系，S类的外延圈和P类的外延圈全部分离，没有一点重合的部分。如图2-4所示。也即所有属于S类的分子都不属于P类，反之亦然。S类和P类完全排斥，不是生就是死，没有什么半死不活、不生不死，这些都是语言表达上的修辞手法。在逻辑看来，半死不活，不生不死，还是生还是活。但是，我们不能说不是好就是坏，也可以不好不坏；不能说不是快就是慢，也可以不慢不快。图表 2-4
于是，我们发现全异关系的概念还可以细分为两种。一种是矛盾关系，比如说生与死、男学生与女学生。我们看出，具有矛盾关系的概念的外延相加刚好等于其论域。而是否矛盾关系也是相对于特定论域而言，生与死只是相对于有生命的事物而言，石头一般就无所谓生与死，刚出生的婴儿也无所谓男学生与女学生。如图2-5所示。图 2-5
还有另一种全异关系的概念进一步具有反对关系。也就是好与坏之间还有不好不坏，快与慢之间还有不快不慢，正整数、负整数之间还有一个零。它们两者的外延之和小于其相关论域。如图2-5所示。
鲁迅《小杂感》就在革命者与反革命者之间还区分出不革命者。于是，革命的被杀于反革命的，反革命被杀于革命的，不革命的或当作革命的被杀于反革命的，或当作反革命的被杀于革命的，或并不当作什么而被杀于革命的和反革命的，最后鲁迅呼吁革命、革革命、革革革命……这些不革命者就是骑墙派，或说对革命无动于衷者，这也就是在当时历史情境下三种对待革命的态度。
输和赢是属于反对关系还是矛盾关系要看一定的场合。比如，排球、网球、乒乓球、羽毛球等，不是输就是赢，没什么不输不赢的平局。但是，足球、篮球、象棋等比赛则可以出现平局、和局的现象。只是到了决赛阶段，或者通过加时赛、加赛，直至分出高下。
有一个棋迷棋艺不高，但对输赢和三者的逻辑关系还是比较明白，与人对弈，结果三盘皆负。于是有人问结果，他说，第一局我不曾赢，第二局他不曾输，第三局我要和他不肯。事实输了，但心里不服，于是在输赢和上还要补回来。但是，这位棋迷一点也没有违反逻辑，因为这里“输”、“赢”、“和”三者两两都是反对关系的概念。
总而言之，概念外延间有全同、真包含于、真包含、交叉、全异五种关系，可用欧拉图表示为图2-6。
这也穷尽了两个圆位置关系五种可能的类型。概念外延间关系是我们以后分析判断、推理时的重要工具，在以后许多章节中都有应用。图 2-6
4.明确概念的方法
明确概念的方法主要是从概念本身的两个基本特征入手。一是从内涵方面对概念的内涵加以规定；二是从外延方面对其适用范围作出规定。
概念明确是每个人进行正确思维的首要条件，因为概念是思维的“细胞”，是构成逻辑思维的最小单位。如果概念不明确，那么由概念构成的判断也就不会恰当，而由判断构成的推理和论证也就不能保证它的正确性和逻辑性。
例如，过去有人把“计划供应”等同于“凭票供应”，这作为一个概念问题值得进一步说明。我国曾经有一段时期，商业工作者把配给供应和计划供应混为一谈相当普遍。因而在不需要实行凭证供应，或不需要那么多票证的时候，过多地印发了那么多票证。过去我们有布票、粮票、油票、盐票等等，随着有中国特色的社会主义市场经济的进一步发展，这些早已废除，并直接为人民币所取代。这告诉我们在各种思维过程中要注意明确概念。
4.1 定义法
关于“定义”，逻辑史上曾有过不同的定义。R·罗宾逊(Richard Robinson)在其《定义》一书列举了13种关于什么是定义的观点，例如：
定义是对事物本质的陈述。(亚里士多德)
定义是对被定义事物特性的简短说明。(西塞罗)
定义是事物的完整和原始概念的展现。(康德)
定义是关于一个新引进的符号意指另一个已知其意义的符号串的说明。(怀特海和罗素)
定义是同一种语言中词语互相转换的规则。(卡尔纳普)
我们认为：定义是一种逻辑方法，定义法是从概念内涵方面着手分析明确概念的方法。
我们先看一个例子：
一位猎人上山打猎，看到树上有只松鼠，松鼠也面对着他看。猎人在树下走了一圈，松鼠也在树上相应跟着绕了一圈。问：猎人有没有绕松鼠走一圈？
正确的反应首先是问“绕……走一圈”是什么意思？列宁说，如果要进行论争，就要确切地阐明各个概念。这就是一个定义问题。如果说有，那么一位猎人环绕着松鼠走了一条封闭曲线。如果说没有，我只看到松鼠的面部，没有看见它其余各个部位。
将手中的一张小纸片轻轻地抛向空中，任其落地，这纸片落到地上时有没有声音？如果声音指一种客观实在，即指物理学上纸片和空气摩擦所形成的振动声波，那么，有。如果声音指主体感受，即指某些刺激造成的某种生理上的感觉，那么，没有。
由此我们说，定义是揭示概念内涵的逻辑方法。例如：
价值是凝结在商品中一般无差别的人类劳动。
法人是指依法成立并能以自己的名义独立参与民事活动、享有民事权利和承担民事义务的社会组织。
在逻辑上，定义有它自身的逻辑结构，一般分为三部分：被定义项、定义项、定义联项。
被定义项就是需要明确其内涵的概念本身，如上述例句中的“价值”、“法人”。
定义项是用以揭示被定义项内涵的概念，如上述例中的“凝结在商品中的无差别的人类劳动”、“依法成立并能以自己的名义独立参与民事活动、享有民事权利和承担民事义务的社会组织”。
定义联项就是连接被定义项和定义项的语词，一般是“就是”、“是”。
按照通俗的理解，定义就是给出一个表达式的意义，这比较有概括性，很实用，避免了许多争议。
4.1.1 定义的类型
定义一般分为两大类，一类是语法定义，另一类是语义定义。(4)
Ⅰ 语法定义
隐定义：在定义项中隐含了被定义项本身，主要出现于数学、逻辑学等纯粹符号系统中。
公理定义：通过公理系统的使用来自然地明确被定义项的语法作用。如“蕴涵”这个概念，用符号表示就是“→”，p蕴涵q，符号形式为p→q，我们可以通过有关的一系列运算而明白蕴涵概念的含义。我们曾说过p→q，加上p，就可得到q，就是一例。
递归定义：这应当说是数学归纳法的应用。先给出被定义项规定出适合于自然数列的首项，即0时的值，然后再给被定义项规定出适合于任意项的后继项时的值。如加法“+”的递归定义如下：
(1)0+m=m；
即，任何一个数m加上零等于它本身；
(2)n`+m=(n+m)+1；
对于任意项n的后继项n`，即，n+1，我们将得到如下序列：
(3)0+m=m
1+m=(0+m)+1
2+m=[(0+m)+1]+1
3+m={[(0+m)+1]+1}+1
以此类推，再大的数字相加，都可以用这个式子不断相加而实现。
显定义：把几个已知的基本概念组合起来和置换被定义项。例如0=y，当且仅当，对于每一个x，x+y=x，其中的“当且仅当”意思就是，如果0=y，那么对于每一个x，x+y=x。如果对于每一个x，x+y=x，那么0=y。
Ⅱ 语义定义
传统逻辑研究的主要是语义定义。语义定义分内涵定义和外延定义两种。后者就是稍后要讲的划分。
内涵定义，顾名思义，就是从内涵方面来规定概念特征的逻辑方法。它分为两种：属加种差定义和语词定义。
A.属加种差定义
列宁说，下定义是什么意思呢？这首先就是把某一个概念放到另一个更广泛的概念里，一个种概念，一个属概念，种概念不同于属概念的部分就形成种差。比如，人作为种概念相应于动物这一属概念，其种差是“能思维、劳动，并能制造生产工具”。
用公式表示，即：被定义项=属+种差
使用属加种差定义的方法，首先要找出被定义概念最邻近的类(属)概念，其次区分出种差。
亚里士多德曾说，定义是表示事物本质的短语，还说过一类事物的本质属性就是该事物的属加种差。对于种差我们可以分析为如下四种。
a.种差可以是事物的属性，比如，天文学是研究天体结构和演化的科学。属性可以是一个简单的属性，也可以是几个属性组合而成的复杂属性。如，民族是历史上形成的，一个有共同语言、共同地域、共同经济文化，以及表现于共同文化上的共同心理素质的稳定的人的共同体。
b.种差也可以是概念形成、发生的方法，即发生定义。如，圆就是由一线段的一端点在平面上的一端不动点运动而形成的曲线。
发生定义中我们还可区分出另一种种差，也即对象或事物发生的原因，即因果定义。
如：痢疾是由于杆状菌或阿米巴菌在肠内寄生而产生的疾病。
c.除了性质，种差还可以是该对象与另一对象的关系。如：偶数就是能被2整除的数。
属加种差定义是以类概念间的属种关系为基础而形成的，但如果存在一个最大的类，它就没有任何一个类是它的属，它也不是任何一个类似的种，因而一个最大的类无所谓种差或没有种差，对它也不可能用属加种差的方法定义。
哲学上的范畴，如存在、物质、精神等都是最普遍的概念，在哲学研究领域表示最大的类，也就不能用属加种差定义。虽然它们无所谓有种差，但我们还是可以找出他们这一类对象的共同属性，以此为定义项做出定义，这就是具体科学的研究内容。
另外，我们说话、写作时，下一个属加种差定义，并非一定要把属与种差都说出来或写出来，为了简洁，有时属常被省略，如：哲学是关于自然科学和社会科学的总结与概括。如在最后还加上的科学、知识之类的语词，就未免有些画蛇添足了。
B.语词定义
语词定义是规定和说明语词意义的逻辑方法。
说明的语词定义要求指出被定义语词的同义词，它的根据就在于一义多词，同一个概念可以用不同的语词来表达。对于一个词，我们很可能知道它的同义词所表达的概念，而不知这个词表达什么，那么指出它的同义词也就使我们明白了这个词所表达的概念。当别人不知道康拜因(combine)的意思时，我们说，就是联合收割机。物理学中的第一宇宙速度指的就是每秒7.9公里的速度。
中国逻辑史上《墨子》还提出一个通意后对的原则：《经上》：“通意后对，说在不知其谁谓也。”《经说下》：“问者曰：‘子智(知)乎’？应之曰：‘，何谓也？’彼曰：‘，施。’则智(知)之。若不问‘何谓’，径应以‘弗智(知)’，则过。且应必应问之时，若应长，应有深浅大小，不中，在长人之长。”
就是说，在进行思想交流时，语词定义可以帮助明确对方所使用的概念的内容。，施也，对于一个说明的语词定义，知道“施”(一种农具)也就能明白“”的含义所指。
规定的语词定义就是一个有歧义的词或词组在一个特定的语境中，规定一个确切意义或创立一个新语词或符号。在科学研究、学术讨论中，为了避免歧义，这种方法常用。如，“青年人”、“成年人”意义含混模糊，而在我国法律上则明确规定，成年人就是年满十八岁的人。
实际上，一切定义本身都是一种规定，只不过规定的语词定义主要从防止歧义、表达方便而言。
规定的语词定义可以起到一种压缩简化作用。比如论及概念间的关系时，规定如果S类、P 类共有一部分分子，且有属于S类的不属于P类，有属于P类的不属于S类，那么就可以以S类与P类有交叉关系代替上面那句长话。数学中，这种情形很常见。
4.1.2 定义规则
怎样做出一个正确和恰当的定义，怎样的定义才是正确的和恰当的，这都涉及我们关于定义对象的具体知识，而这些是由各种具体科学所提供的。形式逻辑只是给出在已有的具体知识的基础上，要作出一个正确恰当的定义所必须遵守的一些规则。
下面我们要介绍的四条规则，主要适用于属加种差定义，对于有些规定的语词定义也适用。
A.定义必须相应相称
也就是定义项的外延与被定义项的外延必须全同。违反这条规则，或者是定义过宽，定义项的外延真包含被定义项的外延；或者是定义过窄，就是定义项的外延真包含于被定义项的外延。
定义过宽，如：“经济法是国家的法律”这一定义，就包括了其他的法律。“正方形就是四边相等的四边形”这一定义，就包括了菱形。“人是无羽两足动物”这一定义，就包括了某些鸡。
平时小打小闹赌博不能算作犯赌博罪，只能批评教育。而《刑法》168条指出，犯赌博罪者，指以营利为目的、聚众赌博 、以赌博为业者。
定义过窄，如：“商品是商店里出售的产品”这一定义，就没有发现商品从生产出来，到被用于消费，存在一系列环节过程。
过去定义死亡时认为，一旦呼吸系统、循环系统停止，就宣布死亡，这就没有考虑这时人的大脑可能还在工作，这是生命科学中的伦理问题。后来，经过美国一个总统委员会中法学、伦理学等各方面的有关专家专门审议后认为，如果整个大脑(包括大脑中枢的一切功能)不可逆转地停止，医生即可凭经验宣布病人死亡。
B.定义项一般不能直接或间接地包含被定义项
直接包含定义项，就犯了“同语反复”的错误。如：
贪污分子就是贪污了国家和集体资财的分子。
神话学是关于神话的学科。
又如，中国人一向重情面，但什么是情面，明末皇帝崇祯问周道登，周道登对曰：“情面者，面情之谓也。”左右暗笑，崇祯自然也不知他在说些什么。
梁启超在《学问的趣味》中，说到怎样才算趣味，说凡是一件事做下去不会生出和趣味相反的结果，这件事便可以为趣味的主体。这样说来，人们对趣味还是不甚了解。
定义项间接地包含着被定义项就是循环定义。如：
奇数是比偶数少1的数，偶数是比奇数多1的数。
原因是引起结果的事件，结果是原因引起的事件。
普通的一般定义不堪忍受彻底的追究，它一般要停止于一些已为人所知并已为人理解的明晰概念，若再追究，则再下定义，结果不外乎有两种：一是作无限的推演，再就是用循环转轮的方法作为避难所。
20世纪二、三十年代美洲心理学会对心理学下的定义是：心理学是研究心理现象的科学，心理现象是有关意识的现象，意识是心理生活的特性，心理生活指心理现象的生灭变化。这一定义转了一个弯，仍旧回到了原来的出发点。
事实上，要严格做到不循环似乎不可能，问题在于应尽可能地把循环的圈子尽量绕得大一些，再不就干脆规定一些不加解释的基本概念，它们自身不被解释，而只是用以解释其他的概念，这就是公理化(5)系统的基本思想。
C.定义项不能包含含糊不清的概念
定义是为了明确概念而服务的，如果在定义项中包含了含糊不清的概念，也就不成其为定义。
定义中歧义、含混、模糊的语词都会导致概念的含混不清。同时，概念定义也不允许隐喻式的表达。如：
共产党像太阳。
宗教是麻醉人民的精神鸦片。
爱情是美妙飘逸的音乐。
记忆是意识中的腊板。
这些形象生动的比喻不能作为定义，而只是作为理解某一概念的辅助手段。
D.定义项一般不包含负概念
定义必须揭示概念的内涵，内涵是指概念所反映的对象拥有的属性。若定义应用负概念指出对象不具有某些属性，便常常达不到明确概念的目的。
比如，经济基础就是非上层建筑；商品就是不供生产者本人消费的产品。这些都不能算是正确的、恰当的定义。
定义中包含负概念，不是绝对不允许，而且在有些情况下还是有必要的。如果某些事物缺乏某种属性，并且这种缺乏本来就是它的特有属性，那么，关于这种事物的定义，就必须用负概念。例如，无机物就是不含碳的化合物。不正确的思维就是没有如实反映客观对象的思维。
有些肯定概念的定义可以是否定的。如：平行线是在同一平面把两条直线无限延长而不相交的线。生荒地就是没有开垦的荒地。
否定概念的定义一般可以是否定的。如：非军事区是不驻扎任何武装部队的区域。
有些否定概念的定义可以是肯定的。如：非亚洲青年是亚洲区域以外的青年。非正常职业就是兼职。
4.1.3 定义的作用
定义是揭示概念内涵的逻辑方法，在人们的思维中，它具有重要的作用。
首先，它能使思想更清晰地得到表达，说得形象一些就是它能增加词汇量。在现代逻辑中，它能引入新的符号，从而通过缩写达到简化表达式的目的。
其次，定义是巩固人们认识成果的重要方式，人们采取定义的形式总结概括对一类事物的有关认识。
再次，定义有助于人们掌握知识。明确各部门学科的基本概念需要定义性的认识。
最后，定义同时具有检验概念是否明确的作用，如果不能给所讨论的概念下一个明确恰当的定义，这概念本身就难以明确。我们在说话、写文章时，要注意自觉运用下定义这种明确概念的方法。
4.2 划分
定义揭示概念的内涵，而划分则是一种明确概念外延的逻辑方法。划分有时也叫做外延定义。
对于一个单独概念和部分普遍概念，若其外延类的分子仅是一个或少数、有穷可数，我们可以用一一列举的办法来明晰外延。它有指示法和枚举法两种形式。
指示法。例如，当客机飞临上海上空时，某一乘客指着窗外对另一乘客说，“看，上海”，即用指示法指出了“上海”这一词所反映的对象的外延。
枚举法，即列举被定义项的全部外延。例如，我们考察地球上的“洲”时指出，地球共有七大洲：亚洲、北美洲、南美洲、非洲、欧洲、大洋洲、南极洲。
但是，如果该普遍概念外延类的分子为数无穷或数目巨大，枚举法就不适用，于是我们就必须采用划分的方法，把一个概念所反映的对象按不同的属性分为若干小类，借以明确概念的外延。
比如，脊椎动物包含的个体对象为数十分巨大，我们不能一一列举，我们就把脊椎动物的外延分为哺乳纲、鱼纲、鸟纲、爬行纲、两栖纲五个小类，当我们把一个概念的外延分成几个小类时，这种概念的外延就比以前明确多了。
由于小类是大类的种，大类是小类的属，哺乳动物相对于脊椎动物，一个是种概念，一个是属概念，所以，划分也就可以称作是将一个属概念分为几个种概念的逻辑方法。
4.2.1 划分的要素
A.划分三要素
划分有三个基本要素：划分母项、划分子项和划分标准。划分母项即被划分对象，如上例中的脊椎动物；划分子项即母项所包含的小类，如哺乳纲、鱼纲、鸟纲、爬行纲、两栖纲动物等；划分标准即划分时所依据的属性，上述例中即是这种脊椎动物的生殖方式、体温、心脏结构、身体表面状况等等。
划分标准基于实践需要可以不同。不同的归类标准体现了不同的使用价值。比如，对于植物的划分，植物学家和农业与药物学家就由于实践要求不同与研究方向不同，采取不同的属性作为划分标准。我们查字典，有的习惯于四角号码，有的习惯于拼音字母，或是部首笔画，上述每一种查字方法都是对汉字进行的一次复杂的划分或归类。
划分标准应从实际出发。例如，处理一批古旧书，若送到废纸收购站时，那是按纸的形式、大小规格归类论价；若送到古旧书店，则按质论价，以书的内容、版本为衡量标准，这与前者大有差异。
B.划分与分解
划分与分解不同，我们在分析集合概念与非集合概念时，就涉及这方面的内容。
分解整体得到部分，部分不具有整体所具有的属性。一般说来，部分的总和不等于全体。如复旦大学分为各个系与单位，各自为政，互不联系，就算是通通搬进一幢大楼办公也不成其为复旦大学；只有一块黑板、一个讲台、几堵墙壁和几扇门窗、一批椅子，但若它们不以一种整体的方式和形成特定的整体组织结构，也不成其为教室。
划分大类得出的子类在外延上是相容的，具有真包含关系，属于子类的分子必然也属于大类。例如，若说某动物是白马，则他一定也可以说该动物是马。
C.划分与分类
分类是根据对象的本质属性，将对象分为若干个类，每个类相对其他类又具有确定的地位。具体说来，分类的根据和一般划分的根据在要求上有不同，凡能够区别对象的一般属性的都可以做划分的依据，而分类的根据则要求是对象的本质属性，其属性越是本质性的，分类的价值越大。
划分的作用与分类的作用不同，划分是由人们日常实践的需要决定的，常常是为了某些理解操作上的方便；而分类则是人们关于某些对象知识的系统化，这种系统化固定在每门学科之中，在科学发展的相当长时期中都起作用。如门捷列夫对化学元素的分类，在科学史上就有重大价值。
总之，划分是分类的基础，分类是划分的特殊形式，任何分类都是划分，但不是所有的划分都是分类。科学研究中有一种自然划分法，就是分类，生物学中各种动物有门、纲、目、科、属、种，就是多层分类。分类只是一种方便的设计，它本身并不隐藏着什么不可动摇、不可改变的分析。瑞典的林耐因为首创科学的动物分类法而与牛顿一起被尊为近代科学之父。实际上，例如将生物区分为动物、植物，只是为了适应生物学研究的方便，但还有一些小生物介于动物、植物之间未被包括进去。
4.2.2 划分的类型
最常用的划分方法是一次划分和连续划分。一次划分就是，根据一定的需要对被划分的概念一次划分完毕，这种划分只有母项和子项两层。
如，三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。图 2-7
连续划分就是把被划分的概念划分为若干子项后，再将子项作为母项进行划分，连续进行直到满足一定的需要为止。
如，把有理数分为整数和分数，再把整数分为正整数、负整数和零；把分数分为正分数和负分数。这里划分就出现了三个层次，如图2-7所示。显然，连续划分的极限是单独概念。图 2-8
我们必须分析一种特殊的方法：二分法。二分法是把母项分为具有正、负关系的两个子项，由一个属概念划分形成一个正概念、一个负概念，如，将化学元素分为金属元素和非金属元素，将战争分成正义战争和非正义战争。
西方逻辑史上苏格拉底曾用连续多次二分法形成定义，叫分类法的定义。比如，“人是无羽两足动物”这一定义的形式就是二分法，见图2-8所示。把上面左列的划分子项和母项结合起来，就是人的定义。
柏拉图《智者篇》还举了一个复杂一些的钓鱼人的定义。交谈中，甲方就某个问题提出两种可能的答案，让乙方承认正确的那种，再就正确的那种划分出两种可能，让乙方承认正确的，依次下去，最后将所有正确的那一面依序组合起来，就是钓鱼人的完整的定义：使用一种带强制性的技术，想获取东西，并通过在白天用钩子袭击和捕获在(6)水里游动的活物的技人。
4.2.3 划分的规则
对概念进行划分，除了明白其类型、方法，还必须遵守一定的规则。
A.划分必须相应相称
这一规则要求子项必须穷尽母项，即划分所得到的各个子项外延之和必须等于母项的外延，不能多，也不能少。
如果子项外延之和小于母项的外延，那么必定有一些属于母项的子项被遗漏，出现“划分不全”的逻辑错误。比如，将经济信息划分为宏观经济信息、微观经济信息，在同一层次上就遗漏了部门经济信息。我们行政机构的设置就存在对个人工作的职能划分，如果划分不全，那么就有些工作没有人做，有些事没有人管，办事推诿拖拉，助长官僚主义作风。
如果划分所得的子项外延之和大于母项外延，就会犯“多出子项”的错误。比如，将汉语代词划分为“人称代词、疑问代词、指示代词、不定代词”，就把不属于母项外延的对象概念当作子项了。当然，有些时候，划分子项太多，不必一一列举，那也应当加上“等等”、“ ……”、“之类”等等，以保证划分完全。
再如，设A可以分为A1、A2、A3 是一个正确的划分，且A 与B 全异，则A 可以分为A1、A2、B3。作为划分，其错误既是“划分不全”，又是“多出子项”。我们不宜说A1、A2、B3的外延之和大于A 的外延，因为它们无法直接比较。
B.每次划分标准必须同一
在每一次划分中，标准只能有一个，不能时而采取这个标准，时而采取另一标准，这样划分结果就会混乱不清，我们称之为“混淆根据”或“标准不同一”的错误。
伊索寓言中，鸟兽开大会，分班站列，蝙蝠到禽类阵营中因为有四只脚而被拒绝，跑到兽类阵营中因为有翅膀而遭到排斥。在常识看来，物以类聚，人以群分，实则禽兽不懂得逻辑划分，归类采取了不同的标准，同时也是错误的标准。实际上，在生物学中蝙蝠属于哺乳动物，当属兽类。
C.划分子项必须不相容
划分所得的各个子项外延间的关系应为全异关系，违反这一规则就会犯“子项相容”的逻辑错误。
子项相容往往是由于在同一划分中采取不同的标准造成的。过去国家工商管理某公司曾将广告分为出口广告、来华广告、政府公告、经济广告、文化广告、社会广告。这里就出现了子项相同，或说划分标准不统一，因为其中各个子项外延间属于交叉关系。
这种划分在实践上也行不通。比如有个小孩分8个桃子，他决定为爸爸选两个最大的，给妈妈选两个最好的，给弟弟两个最红的，给自己挑两个最圆的，结果他怎么也分不好。还有一位领导布置劳动时说，男同志去推车，女同志去扫地，党员搬石头，非党员跟我来。这样的安排肯定很多人身兼两职而无所适从。
在行政机构设置职能划分中，也有这种情况，职能交叉，造成机构重叠，一个媳妇几个婆婆，办件事要盖一百个公章，同一项费用，这个部门来征，那个部门也收，苦的只是下面的被领导、被管理者。
严格遵守划分标准，在行政职能中就能明确分工、权力分配合理，可尽量减少管理层次、铸造最短的指挥链条，这样才能治理得成功，提高工作效率。
4.3 限制和概括
明确概念，我们可以用定义法、划分法。在逻辑上，要懂得恰当应用概念、准确使用概念，还必须掌握概念的限制和概括。
4.3.1 概念内涵和外延的反变关系
内涵和外延是概念的两个基本特征，它们相互联系、相互制约。具有属种关系的两个概念或一串概念序列，它们的内涵、外延具有反变关系。即，一个概念的外延越大，则它的内涵越小；一个概念外延越小，则它的内涵越多。反之，一个概念的内涵越小，则它的外延越大；一个概念的内涵越多，则它的外延越小。
战争→革命战争→中国革命战争
这三个概念具有从左到右依次出现“外延越小，内涵越多”的情况；从右到左，则是外延越大，内涵越小。
根据概念内涵、外延的反变关系，我们就能懂得如何缩小概念的外延，或者如何扩大概念的外延以及正确、恰当地使用概念、表达思想。前者称为概念的限制，后者叫做概念的概括。
当我们想缩小所讨论的问题的范围的时候，我们使用概念限制的方法。当我们想对事物加深认识的时候，我们也使用概念限制的方法。我们在火车上遇到一个人，跟他谈话，知道他是学生，再问知道他是大学生，再细问知道他是理工大学生。这样，就一步一步地加深了对他的认识。
4.3.2 概念的限制
概念限制就是通过增加概念的内涵而缩小概念的外延。概念限制有助于我们具体、准确地表达思想，恰如其分地反映客观事物、思维对象。如陈云指出，“我们国家进行的经济建设是社会主义的经济建设，经济的体制改革也是社会主义的经济体制改革，我们搞的是社会主义的四个现代化。”这里“社会主义”对经济建设、经济体制改革、四个现代化的限制就是恰如其分、准确的。
一方面，如果该限制的没有限制，那就是缺乏限制，会造成概念不明确。比如，一个外贸公司与某一厂家订购一批服装，货到打开一看，发现服装颜色全是“紫色”，而不是外商所需要的青莲紫色，后来查合同发现外贸公司业务员在起草合同时漏掉了“青莲”两字，这一小小的缺乏限制使外贸公司蒙受了巨大的损失。
另一方面，从恰当性来说，限制有恰当、不恰当之分。如果不该限制的却又限制了，这就是不恰当的限制，也是一种多余的限制，等于是大热天戴帽子、画蛇添足。
多余的限制还包括重复限制。例如，他的第一篇处女作发表了。还有我们常常听到某某办事稳妥可靠、充分可靠，这在一定语言习惯上还可忍受，但说到某某对某事大概几乎感到毫无兴趣，就简直太过重复了。
不恰当的限制还有一种是自相矛盾的限制，如杜林提出来的“可以计算的无限序列”概念。再如：
我将乘2月19日夜间零点二十四分的快车到达上海。
北京晚报曾报道天外来客西乌陨石时，有那么一句：“由于陨石是唯一可供人类探索宇宙秘密的主要对象……”既然是“唯一”，又怎么能是“主要”，那么“次要”是什么呢？
不当限制的第三种是胡乱限制，比如“四人帮”横行时期，任何事物、对象都被戴上“革命”的帽子，革命同志、革命家庭、革命乘客、革命大楼、种革命田、读革命书、过革命年，革命成风，你稍不留意人家就采取革命行动，实行革命的打砸抢，全是胡扯，荒唐之极。
还有一篇报道讽刺那些所谓领导亲自到现场指挥的，如某工程进入攻坚阶段，连日来工程指挥部某某指挥亲自到第一线指挥，激发了大家的热情，民工亲自垒墙、泥工亲自和泥、木工亲自刨木头、司机亲自开车送料、炊事员亲自下伙房做饭，难道只允许领导办事“亲自”，他们就不能“亲自”？
限制还有一种是歧义限制，它是否恰当要看一定的语言环境。电影《满意不满意》中，某单位请老劳模小杨的师傅去做报告，可后来司机接来的是游手好闲的小杨。问题在于“小杨师傅”是有歧义的，“小杨师傅”若是同位结构，就指小杨本人，若是偏正结构，就是小杨的师傅，这才是老劳模。
总之，概念如果限制不当，则不能具体地、准确地表达思想，会产生歧义，甚至产生一些不伦不类的空概念，如我们曾提到过的圆的方、未婚的寡妇等，对此我们应当有清醒的头脑。
4.3.3 概念的概括
与概念限制相对应的是概念的概括，就是根据内涵和外延的反变关系，通过减少概念内涵而扩大外延的逻辑方法。
如，正方形概括一次而成矩形，再概括一次到四边形，再概括一次为几何图形。
一定领域内，存在特定的最大的属概念，如几何学中的几何图形，哲学中的范畴，则不能再概括。
应用概括也能简略、恰当地表达思想。比如，一个人上街，某同学顺口问去干啥，答曰：去买本书，就没有必要再说去买什么书，具体哪一本，买多少之类。
在外交辞令上，由于自然语言的多义性，以及语境的差异，可以使概念保持不同程度的模糊，这其实也是一种概括。比如说，某某讨论是坦率的、谈判是有益的，这种外交辞令也不能说不准确。
不当概括也有两种，一是不能概括，一些风马牛不相及的概念，即使外延再大，也概括不了外延较小的种概念，鞋子不能当帽子戴，上衣不能当长裤穿。比如问，巴黎公社的性质如何，就不能回答说是农村人民公社。历史上这两个概念相差甚远，不能概括。
概括不当还有一种是越级概括。我们说5斤萝卜加3斤韭菜等于8斤蔬菜，这样的概括是可以的，但如果问商鞅是哪个朝代人？答曰古代人，这就不行。同样问康德是哪国人？答曰外国人，这也不行。
因此，概括一次最好应找到其种概念的最临近的属概念。
本章思考与练习:
1.试举例说明指号、符号、语词与概念的异同。
2.试结合交通红绿灯分析一个符号系统的构成。
3.试分析专名和摹状词之间的关系。
4.试选择三至五个本专业研究中的基本概念，分析其内涵和外延。
5.试举例说明多义、歧义、含混的语词之间的差别。
6.定义有没有真假？如果有真假，为什么？
7.指出下列各句子中划有横线的概念的种类。
(1)中国人民有志气自立于世界民族之林。
(2)无罪的人不适用于刑事处分。
(3)杜甫是一位诗人。
(4)复旦大学图书馆在国年路300号。
8.试用欧拉图表示下列各组概念之间的关系。
(1)A.能被10整除的数 B.能被15整除的数 C.能被3整除的数
(2)A.红色 B.蓝色 C.黄色
(3)A.好人 B.名人 C.古代名人 D.现代名人
(4)A.文盲 B.中国人 C.著名科学家 D.青年科学家
(5)A.正数 B.整数 C.奇数
(6)A.概念 B.判断 C.推理
(7)A.中国白马 B.美国黑马 C.非白马 D.非美国白马
9.试分析下列语句中概念间外延的关系。
(1)禁止破坏婚姻自由，禁止虐待老人、妇女和儿童。(宪法49条)
(2)党重视培养和选拔女干部和少数民族干部。(党章34条)
10.试举例分析“有些肯定概念的定义可以是否定的”和“有些否定概念的定义可以是肯定的”两种情况。
11.试分析下列句中画线的概念是集合概念还是非集合概念。
(1)一个宽肩膀，一脸横丝肉的警备队，抓着雨来的脖领子，向上一提，雨来就不由地坐起来。
(2)比赛当中，北京市第二某某厂拉拉队和个别运动员不断哄骂裁判员，在距离下半场比赛结束还差25秒时，某某厂运动员不服裁判员裁决，追打裁判员，一些“观众”(某某厂拉拉队)也乘机冲进赛场，对裁判员进行围攻和谩骂。
(3)的确，语言单调、词汇贫乏在工作和学习中是会受憋的。语言、文字是人的交际工具，我们每个人无时无刻不在使用这些工具，词汇是“语言的建筑材料”。我们说的每一句话都是由许多词汇组成的。因此可以说，每个人头脑中都存在一个词汇的仓库。
(4)国庆前夕，园林部门在天安门广场上摆出了十万盆花卉，使首都北京显得更加美丽。
(5)《家常食谱》共分十五类，包括三百余种家常菜和点心的作法。
12.如何理解下述与概念定义有关的论断。
(1)柏杨《丑陋的中国人》：世界上有一种现象是人人都知道的事，如果把它加一个定义的话，这事的内容和形式都模糊了，反而不容易了解真相，这是一个画蛇添足的事情。
(2)理论上说，定义只是引进新符号而不是引进新概念。
(3)子游问孝。子曰：今之孝者，是谓能养，至于犬马，皆能有养，不敬，何以别乎？
(4)毛泽东指出，人民这个概念在不同的国家和各个国家在不同的历史时期有着不同的内容：在抗日战争时期，一切抗日的阶级、阶层和社会集团都属于人民的范围。日本帝国主义、汉奸、反动派都是人民的敌人。在解放战争时期，美帝国主义和它的走狗即官僚资产阶级、地主阶级与代表这些阶级的国民党反动派，都是人民的敌人。一切反对这些敌人的阶级、阶层和社会集团都属于人民的范围。在现阶段，在建设社会主义时期，一切赞成、拥护和参加社会主义建设事业的阶级、阶层和社会集团都属于人民的范围，一切反抗社会主义革命和敌视、破坏社会主义建设的社会势力和集团，都是人民的敌人。
13.试指出下列定义的类型，并分析它们是否合乎定义规则。
(1)邓小平：什么叫领导，领导就是服务。领导者必须多干实事，那种只靠发指示、说空话过日子的坏作风一定要转变过来。
(2)法律是衡量某种行为犯罪的标准。
(3)三角形就是把不在一条直线上的三点，两两用线段连接起来的图形。
(4)杜林：生命是通过塑造出来的模式化而进行的新陈代谢。
(5)哀的美敦书就是最后通牒。
(6)乌托邦：乌，没有；托邦，地方；乌托邦就是没有的地方。
(7)信息是通向世界的桥梁。
(8)三三制指抗日战争时期，抗日民主政权的人员分配，中国共产党人、党外进步分子、中间派各三分之一。
(9)五保户指农村中无亲属供养，而获得社会保障的住户，五保指保吃、保穿、保烧、保教、保葬。享受五保者是缺乏劳动力，又属鳏、寡、孤、独，生活无依靠者。
14.试分析下列各组概念间是否存在划分。
(1)15世纪的工人 16世纪的工人 17世纪的工人
(2)煤矿工人 纺织工人 钢铁工人 建筑工人
(3)鲁迅 少年时期的鲁迅
15.试分析下列语句中概念的限制与概括。
(1)若有不合理的重复建设，是否有合理的重复建设？
(2)毛主席和其他党和国家领导人观看了演出。
(3)爱护人民的军队。
(4)七十六岁的康有为的女儿康璧这几天正忙着参加中国人民政治协商会议。
(5)1956年，北京故宫博物院展出了两千五百年前新出土的文物。
(6)《吕氏春秋·离俗》平阿子之余子亡戟得矛，却而去，不自快，谓之路人曰：亡戟得矛可乎？路人曰：戟，兵也，矛，亦兵也，亡兵得兵，何为不可归？叔天孙曰：矛非戟也，戟非矛也，亡戟得矛，岂无责也哉？遂反战而死。
(7)《孔子家语》楚恭王出游，亡鸟号之弓，左右请求之，王曰：止，楚人失弓，楚人得之，又何求之？孔子闻之曰：惜乎其不大也。亦曰：人遗弓，人得之而矣，何必楚也？
(8)一顾客挑选白菜时把外面老一点的菜叶剥掉，售货员提醒说：同志，请注意别把菜叶碰掉了。一顾客没给钱就把菜拿走了，售货员叫住他：同志，您是不是忘记了付钱？
16.试分析下列概念间是否存在限制与概括。
(1)喜爱读书→业务挂帅→资产阶级个人主义
(2)骄傲自满→故步自封→ 资产阶级世界观
(3)少先队做好事→乐于助人→高尚的品德→共产主义风格
(4)非战争→非正义战争→非现代正义战争
(5)工业→重工业→中国的重工业/非中国的重工业
(6)非重工业→中国的非重工业/非中国的非重工业
17.试用“语义三角”理论模型分析以下陈述中带下画线的语词。
(1)《尹文子·大道》：宣王好射，悦人谓己能用强也，其实所用不过三石。以示左右，左右指试引之，中关而止，皆曰：“不下九石，非大王孰能用是。”然则宣王所用不过三石，而终身以为九石，三石实也，九石名也，宣王悦其名而丧其实。
(2)《尹文子·大道》：齐有黄公好谦，二女国色，常谦辞毁之，以为丑恶，年正而一国无聘者。卫有鳏夫，失时，冒娶之，果国色。后曰，黄公谦毁其子，妹必美，争礼之，亦国色也。丑恶，名也；国色，实也。
(3)一个孤僧独自归，关门闭户掩柴扉，半夜三更子时分，杜鹃谢豹子规啼。秀才学伯是生员，好睡贪鼾只爱眠，浅陋荒疏无学问，龙钟衰朽驻高年。
(4)爸爸：“有时候，一个愚蠢的人提出的问题，会使聪明的人回答不出来。小明你想一想，有没有遇到过这种情况。”儿子：“爸爸，您的这个问题我回答不出来。”
(5)儿童用品商店送给每位顾客的孩子一只气球。一个男孩想要两只，店员说：“非常抱歉，我们只给每个孩子一只气球，你家里还有弟弟吗？”男孩非常遗憾地说：“不，我没有弟弟，但是我姐姐有个弟弟，我想给他领一个。”
(6)法官正在审问被告约翰：“你结婚了吗？”约翰：“是的。”法官：“和谁？”约翰：“和一位女性。”法官：“你不要耍小聪明，每个人都知道是和女人结婚。”约翰：“可不能这样说，比如您母亲，她就得和一个男人结婚。”
(7)法国的《真理报》一天报道世界汽车大赛成绩揭晓：“世界汽车大赛，结果美国得到倒数第二名，法国得到世界第二名。”所以法国车得到亚军，美国得到从最后倒数第二名。你知道吗，那个比赛只不过是有两部车比赛，一部是美国车，一部是法国车。美国车胜了，法国车败了。
(8)Tom的朋友Jack是一个吝啬鬼，有进无出，从不给人一点东西。某日，Tom与Jack及几个朋友一起到河边散步，不料Jack失足滑入河中。朋友纷纷施救，某男喊：“把你的手给我，我拉你上来。”Jack却一直挣扎着就是不肯伸手。Tom遂走过来喊道：“拿着我的手，我拉你上来。”Jack马上伸出了自己的手并顺利上岸。众人不解，Tom说：“当你对他说‘给’时，他无动于衷；如果你对他说‘拿’时，他肯定来劲。”
(9)有一天，老师问：谁知道世界上有多少个国家啊？小毛说：我知道！老师说：那你说说都有哪些国家。小毛说：有两个国家，就是中国和外国！
(10)某饮料公司进口的椰浆原料，其包装上所印的“BEST BEFORE”字样，与国内习惯使用的“保质期”表述不同。该公司在上海某报刊登的一份“公告”中称，“BEST BEFORE”直译应为“在此日期前使用最佳”，而政府卫生及质量技术监督部门却认定为“保质期限”。
(11)贼做一万件好事，也是贼！(电影《天下无贼》中的台词)是不是说，做一件好事，不能成为好人；做一件坏事，就成为一个坏人。
(12)“一亿元对你意味着什么？”一个人问上帝。“一分钱。”上帝回答。“那么一亿年对你又意味着什么呢？”这个人又问道。“一秒钟。”上帝答。“噢，上帝，请你给我一分钱吧！”这个人哀求上帝。“请等一秒钟吧。”上帝说。【注释】(1)Antoine Arnauld and Pierre Nicole，Logic orthe Art of Thinking，Cambridge University Press，1996，pp.36-37.(2)参见何秀煌：《思想方法导论》，台湾三民书局1987年版，第115—117页，本书中不少其他例子也选自该教材。(3)参见本书第三章3.2.2。(4)参见朱志凯主编:《逻辑与思维方法》，人民出版社1995年版，第294—295页。(5)参见本书第六章3.4.3。(6)参见宋文坚：《西方形式逻辑史》，中国社会科学出版社1991年版，第23页。
第三章 命 题(上)
一定意义上，概念是命题的浓缩，单个的语词不能形成概念；同样，一种思想一定以命题形式得到表达。本章我们考察命题的基本性质，以及性质命题、关系命题和模态命题，在下一章考察联言命题、选言命题和假言命题等复合命题。
1.命 题
1.1 什么是命题
人类的语言是一种特殊的符号系统，根据语言学家们的分析，它有许多特性，其中最重要的是语言的表谓性。这就是说，语言中的语词、词组和语句都指谓某种对象(事物或事态)，这是语言的指谓性。和指谓性密切联系，语词、词组和语句都表达说话者的某种思想情感，这就是语言的表达性。
语言的指谓性和表达性，统称为语言的表谓性。语言必须具有表谓性，这直接源自语言是一个符号系统。形式逻辑主要是从指谓性这一角度研究语言所表达的思想。
虽然在特定的语境下，或者说特定的交际环境中，一个字词、一个字符，也能表达某个思想，如一个在沙漠中昏迷的步行者，或者一个负伤昏迷的病人，当他口中说“水、水”的时候，他所表达的实际上是“我渴了，快给我一些水喝”等语句形式的思想。但是，从语言作为符号系统的表谓性的角度来分析，话必须一句一句地说，而不能一个字一个字地说，一般说来，语句才表达一个完整的思想。同样，由概念组成了命题，思维活动才能继续进行。概念本身就是命题的浓缩，因为概念的定义就是一个语句、一个命题。
思考一下，先有命题还是先有概念，这是不是一个先有鸡还是先有蛋的问题？
1.1.1 命题
所谓命题，就是反映对象情况的思维形式。对象在这里指作为思维主体的人所思考的一切对象：客观存在着的事物和现象，思维的现象，表达各种思想的物质外壳(如语言中的词、句等等)。情况，指对象具有的性质或是与其他对象之间的关系，或是情况之间的联系。就客观存在的事物和现象来说，对象情况也可以认为是一种事态。在讲概念的时候，我们曾说过一个语义三角，一个语词被赋予意义后，就形成了一个概念，而这个概念就反映该语词所表达的被指谓的对象。图 3-1
和语词的情况类似，一个语句表达一个命题，其中包含的概念意义的有机组合，形成一个命题，它反映对象的某种情况。由此，一个语句也指谓一个对象的情况(包括事态)。见图3-1所示。
比如说，2是奇数，2是偶数；鬼是红脸，鬼是黑脸；鲁迅是文学家，鲁迅是共产党员；南京在北京与上海之间，上海在北京与南京之间。
1.1.2 命题的真值
我们可以看出，一个命题反映一个对象情况，存在一个符合不符合客观事实的问题，也就是命题有真假。
上述例句中，2是偶数、鲁迅是文学家、南京在北京与上海之间，它们所指谓的对象情况符合事实，所以是真的。而2是奇数、鲁迅是共产党员、上海在北京与南京之间，不符合事实，所以是假的。
另外，鬼是红脸，鬼是黑脸，由于我们从未见过鬼，鬼根本不存在于我们客观世界中，它不是物质存在，只是人脑中的精神虚构，所以这两个命题相应于事实来说都是假的。我们将规定，如果一个命题所描述的和一个抽象语句所指谓的事态存在，这个(抽象语句)就是真的，否则就是假的。
这里真假是对语句来说的，不是对事实而言的。我们只能说有没有某一事实，或说某一(可能)事态是否为某一(这世界的)事实，只有语句我们才可以称为真假，把它分为真的语句(命题)和假的语句(命题)。
这样，我们把一个语句是真或是假的性质，称为该语句的真假值。一个语句若为真，则其真假值为真；一个语句若为假，则其真假值为假。
一个语句之有真假值，正如一个整数有正负值一样。正负值是整数的性质，但不是它的内容。
同样，真假值是语句的性质，可它不是语句的内容。否则，一个语句只有真与假两种内容，许多(事实上是无数)同为真或同为假的语句，也就分别有了相同的内容。
由此，我们还将规定：用来表达命题的语句，只有是真或假的性质，而且一定有是真或假的性质。这一规定排斥了下列的可能性：某一语句既真又假；某一语句既非真，又非假。这一规定却容纳了下列的可能性：某一语句不是真，就是假；不是假，就是真。也就是说，它容纳了下列两种可能：某一语句为真，但非假；某一语句为假，但非真。
要注意的是，在上述句子中，我们的意思是，一个语句不可能既不是真的也不是假的，我们并没有排斥，有些语句的真假不为我们所知的可能性。
上述规定显然表明，我们现在所讨论的是二值逻辑，它是建立在二值逻辑的基础上，对于一个问题的解答，只有准确与不准确二值，对应于一个问题的答案(语句)只有真假二值。
当然为了理论上的兴趣和实际应用，人们也发明创造了三值逻辑，甚至多值逻辑，真假之间还有不真不假，在何种程度上的真，在何种程度上的假。
在二值逻辑中，对于说谎者悖论中“我在说谎”的真值困境，其解决办法之一就是，取消和排斥法，也就是认为它是没有实际意义的命题，无真假可言。当苏格拉底说他自己说谎时，他并没有说什么。对于理发师悖论，则认为世界上从来没有一位给那些不给自己刮胡子的人刮胡子的理发师。当然，解决悖论还有许多其他办法，我们还会(1)陆续涉及。
1.2 判断
1.2.1 命题与判断
判断是对对象情况有所断定的思维形式，判断是断定了的命题，或者肯定某种性质、某种关系，或者是否定某种性质、某种关系。也就是说，判断后于命题，命题先于判断，判断是对命题的断定。例如，我们断定2是偶数，我们断定鲁迅是文学家，我们断定南京在北京和上海之间。
对于同一对象及其情况，不同的人有不同的认识，不同的文化背景、不同生活层次的人对同一对象的看法各有差异。就拿同一个人来说，今天可以下这样的判断，明天思想变化发展了，可以推翻昨天的判断，下另一个新的判断。一个命题能不能成为判断，得依据具体的人是否有所断定而转移。
科学发展到今天，我们不能最后确证是否有外星人，一般来说，我们不断定“外星人存在”，也不断定“外星人不存在”。外星人存在也好，外星人不存在也好，这些思想都不是我们的判断，它们仅仅是命题。
人的思维活动，在他有所断定之前，可以有怀疑、考虑、研究等等，由语句表达而未被断定的思想就是命题，由语句表达而已被断定的思想是判断。我们可以考虑“外星人存在”这个命题，也可以考虑“外星人不存在”这个命题，至少对于我和大家来说，我们无法对它做出断定。也就是说，判断离不了心理，离不了历史的背景，离不了一时一地的环境。
我们看书、听课、接受别人的知识和想法，首先要把它当成命题，别人写的、别人说的都是别人的判断，对你来说，只是命题，只有当你经过分析、检验或是亲身实践认同了，也对它做出了断定，它才成为你自己的判断。我们在学习生活中都应当注意这种由命题到判断的过程，不要轻信，不要盲从，要大胆地怀疑，小心地求证，给出自己的判断。
历史上也有“房谋杜断”的说法，从字面的意义了解，房玄龄可以说是提出了好些命题，而杜如晦则善于下判断。《水浒传》中，吴用与宋江的作用是不一样的，吴用作用是提出一些命题，宋江的作用是作出判断，宋江的判断经常是吴用提出的命题，两者当然会有所差别。
我们区分命题与判断，还有一个目的是要明确判断作为行动指南的作用，它给判断者带来了责任。如果你提出一个想法、一个建议、一个理论，比如“任何一个大于6的偶数都可以是两个素数之和”，若当它只是命题，则是为了提供给大家讨论或研究求证；若你作出这样的判断，你就必须为他辩护，给出自己断定它的理由，或者构造对它作这样一个断定的证明。实际上，上述命题就是哥德巴赫猜想，它还仅仅是命题，若有一天哪位断定了，那么他就可能获得国际数学最高奖。
所以，我们在学习生活中，要多多地、大胆地提出命题，分析别人作为判断的命题，但要小心地、谨慎地作出自己的判断，切忌武断，自以为是，因为作出一个判断需要有证据，担负一定的责任。最突出的一个例子是各国家领导人的某些判断，将直接影响国家的经济、文化的发展、趋向与态势。
我们不能独断，我们需要理性。在英文中有一些习惯表达，如，I think that，In my opinion，等等，就注意了这一点。这也是一种特别的思维方式：一是表明有自主性，是被自己所认可的思想；二是表示你准备为他辩护。
1.2.2 判断的真值
命题(语句)有真假，断定一个命题(语句)自然就有对错，这个判断同样也有了真假。对真命题的断定是真判断，对假命题的断定则是假判断。
比如：断定2是偶数，则形成真判断；断定2是奇数，则是假判断；断定“2是偶数”是假的，则形成一个假判断；断定“2是奇数”是假的，这就形成一个真判断。
由此，我们看出，判断的真假和命题的真假，以及事实情况有一定联系，但也要注意一定的层次性。也就是，断定真命题为真，断定假命题为假，则会形成真判断；但断定真命题为假，断定假命题为真则又形成了假判断。
判断与命题很多时候都是两者并称的，在一般的逻辑教科书中可以直接互用。以后只要不引起误解，我们也不强调它们用词之间的差别。
1.3 语句、命题和判断
命题的形成和存在依附于语句，命题的表达也要借助于语句，判断也是如此，这是命题(判断)与语句密切相关的一面。但是语句与两者也有差异，判断属于思维范畴，语句属于语言范畴。它们之间还可归纳出以下两个不同点。
1.3.1 并非所有语句都直接表达命题(判断)
在语法划分的四种语句中，陈述句自然表达命题，可以构成判断。而疑问句、感叹句、祈使句，由于它们没有对对象情况直接做出断定，所以不直接表达命题或判断。
也就是说，并非一切语句都能够直接表达判断。须提及的是，疑问句中的反问句、设问句和反诘问句等，由于它们实际上是无疑而问，直接表达某种肯定或否定的断说，只是换了一种语言形式而已，因而也可以认为是直接表达了判断。例如：
(1)上海是中国东部的一个大城市。
(2)上海是中国东部的一个大城市吗？
(3)难道上海不是一个国际化城市么？
(4)我们一定要把上海建设成为国际一流的大城市。
(5)上海真不愧为一个国际性大城市呀！
这里(1)、(3)作为陈述句和反诘句，都表达了一个命题，即该说话者的判断或说陈述(statement)；(2)、(4)、(5)虽然没有直接对对象断定什么，只是发出一个疑问，提出要求，仅就这一意义上说无所谓真假，不能叫做命题和判断，但它们都预设或隐含了某个命题，而这个命题是有真假的。
A.预设
预设是交际双方共有的背景命题，是语句S和S的否定都能推导出来的语句，无论双方观点如何对立，它总是能够为双方共同接受的东西。如“老赵戒烟了”蕴含“有人戒烟”、“老赵没戒成烟”、“至少老赵原来抽烟”。
比如：“上海是中国东部的一个大城市么？”这一问题就预设了有这么一个城市叫上海，或者的确是中国东部的一个大城市，或者不是中国东部的一个大城市。对这个疑问句的回答，实际上还是对它的预设的部分的肯定或否定。
预设有多种，如存在预设、事实预设等。存在预设，如“老李家的彩电是国产的”；事实预设，如“老李不辞而别令老赵很纳闷”。
还应注意，预设并非必然是对方的已知信息，如：我的男朋友需要我读一点泰戈尔。
B.复杂问语
另外一种叫“复杂问语”的预设也值得注意。
比如说，在一个特定语境中，A问B：“你是否停止虐待你孩子了？”这就预设了“B以前曾经虐待过他的孩子”。对这样的疑问句的回答，就得认真指出其预设的真假，然后再行考虑是否回答，否则就会上圈套。
比如，某次审讯中，审判员忽然问A:“你把赃物藏到哪里去了？”这就预设了A偷了东西。
再比如，三国时的大将军钟会去看望当时的名士嵇康，嵇康正脱光衣服打铁，当钟会看了一阵正想离开时，嵇康忽然问：“何所闻而来？何所见而去？”钟会回答说：“闻所闻而来，见所见而去。”
实则嵇康的问话预设了钟会是有所闻而来，也有所见而去。钟会回答不出或不想回答问题，因而说了那个巧妙的答话，但我们从逻辑的角度看来，钟会这个回答只是重复嵇康问话的预设，没有其他什么新内容。
以上是疑问句的预设。思考一下，陈述句有没有预设？祈使句、命令句有没有预设？比如：老张后悔读了哲学系；王又掌权了；请把大门关上！我们要努力学习！这些都预设了什么。
C.索引句
命题与语句并非一一对应，还有一种情况，这就是索引句。它也不直接表达命题。
索引句是指包含有代词，或者时态动词(汉语中则是时间名词、时间副词、时态助词、时间助词)等索引语词的句子。索引语词由美国逻辑学家皮尔士提出，指英语中的代词、时态助词一类的语词。就汉语而言，索引句主要指“我”、“你”、“他”、“它”等称谓代词，“这”、“那”等指示代词，“过去”、“现在”、“将来”、“曾经”等时间副词，“着”、“了”、“过”等时态助词。
索引句和语境密切相关，一旦离开语境，就无法确定其所指，索引句也就无法确定其所指。“他在写作”是一个索引句，因为“他”是一个索引词，离开了语境，它就不表达一个确定的命题或判断。
再比如，“我失娇杨君失柳，杨柳轻飏直上重霄九”，这是毛泽东诗词《蝶恋花·答李淑一》中的句子，“杨”指“杨开慧”，“柳”指李淑一的丈夫“柳直荀”烈士，毛泽东的老战友，战死疆场。离开了语境就根本无法理解“杨柳轻飏直上重霄九”的双关语境。所以，索引句只是句子，离开了语境，不是命题，没有真假可言。
但是，有时可以通过确定其索引语词的语言所指而使索引句转化为命题。比如：
a.他是一个伟大的钢琴家。
b.那个地方，夏天很热。
这里是两个索引句的例子，它们无所谓真假，但如果我们对“他”、“那”做一个解释或限定，比如，
a`.他，鲁宾斯坦，是一个伟大的钢琴家。
b`.香港，那个地方，夏天很热。
句子就变成了命题，就有了真假。这实际上也是数学中一种变项约束赋值的工作。比如：
c.x+5=0；
d.x+y=x-y。
这两个式子，本身无法确定其真假，但如果我们对该式子做某种限定，也就是在前面加上一个前行词，对变项作某种约束，如，将c约束为，“有一个数x，x+5=0”，则该句子为真；将d约束为，“对于所有的数x和y而言，x+y=x-y”则该句子为假。
这样式子就有了真假，可以表达命题。分清楚了这一点后，对于索引句，只要不引起混淆，我们还是根据习惯称它们为命题，或者假设它存在于有所指的语境。比如：今天下雨；张三有死，等等。
1.3.2 不同语句可代表同一个命题
语句和判断的第二个不同点是：同一个命题可以由不同的语句代表。
首先，不同民族的语言可以表达同一命题。比如，今天是星期三，英文、德文中就各有不同的表达方式。
其次，在同一民族语言中，也可以用不同的语句表达同一命题。这是由于任何语句都具有同义和多样化的结构层次。日常语言中，为了表达“并非所有人都到了”，也可以说，不是所有人都到了，并不是所有人都到了，所有人并没有都到，所有人并不是都到了，所有人并不是全到了，人并不是都到了，人们并没有全到，人并不全到了，人并非全到了，等等。
再次，同一个语句可以表达不同的命题。这首先是任何语言都有多义词的缘故。
比如，春秋时，有学生在书上看到“夔一足”这句话，就问老师孔子，夔这个人只有一只脚，这是怎么回事。孔子是个学问大家，就解释说，你不懂历史，理解错了。夔是舜帝时期的一个乐师，舜让他负责调和六律五声，节制风雨，协助安定天下，夔的工作很出色，后来有人提议再任命一个乐师，舜就说，像夔这样的乐师，只要有一个就足够了，所以“夔一足”，并不是指这个人只有一只脚。这就是说，理解这个命题，或者说舜的判断，同样也需要确定其语境。语境确定，该句子所指谓的命题还是确定唯一的。
有时由于语句结构不完全确定，也会使一个语句在不同的情况下表达不同的命题。
比如，古时候有一个国王，他准备出征与邻国波斯王交战，事先他去了神庙占卜他和他的将士们的命运。神谕说，“假如你与波斯王作战，将摧毁一个强大的王国。”国王听到这，满怀信心，带着他认为的神灵护佑出发了，但结果却是悻悻然大败而归。于是，国王就回去质问神庙里的住持，住持解释说，神谕并没有错误，你的确摧毁了一个王国，只不过这个王国是你自己的而已。这个例子，从概念的角度来说，“一个强大的王国”这个表述缺乏限制，有点类似于一个索引句。国王的理解是，我与波斯王作战，将摧毁一个强大的王国。这个王国当然是波斯王的王国。而从神的谕示本身看来，国王出征胜了，神谕固然没有错，输了也没有错，这就是神谕本身的巧妙了。
中国的许多相面术士玩的也是这类把戏。比如相某某有几个兄弟，他说：“桃园三结义，孤独一枝。”这可以有一兄弟，二兄弟，三兄弟，四兄弟等好几种解释。再比如，问父母如何，答曰“父在母先亡”，这也可以有多种不同的解释。
我们有时为了逃避明确判断的责任，也大多会使用这方面的技巧，也就是用不同语句表达同一个命题，或用同一语句表达不同的命题，这在生活中很常见。
1.4 命题形式
思维形式有两层意思，这里我们要讨论的命题形式就是命题的形式结构，简称命题形式。
在第一章中，我们介绍了两个命题形式：所有S都是P；如果p，那么q。这种命题形式可以分成两个因素，一是常项，二是变项。而所谓命题形式就是由常项和变项组成的思想表达方式。
所谓常项，就是有固定含义的词，这是从语言方面来说；从思想方面来说，常项的含义也是如此。在上述形式中“如果，那么”联合形成一个概念，但它跟“人”、“书”等具体概念不完全一样，它不反映具体的一类的事物，而是反映某种抽象的关系。它是逻辑所要专门研究的概念，因而有时被称为逻辑概念，或说是逻辑常项。
所谓变项，从语言方面来说，往往可以理解为没有固定含义的一个代词，从思想方面来说，变项并不反映某一个或某一类对象，而是反映某一类特定的对象里的任意一个，这一个类是完全确定的，但不确定的是它反映其中的哪一个分子。正如莫绍揆在《数理逻辑初步》中曾指出的：“供应任何书籍”等于供应一张 “空白订单”。如果变(2)元可以代替别的任何符号，实际上就等于空位。
如果一个变项反映某一类事物里的任何一个，那么这个类就叫做变项的变域或变程。一个变项的变域里的任何一个分子，都可以是变项的值，变项必须从它的变域里取值。
上述的A、B变域就是概念，而且必须是普遍概念。p、q的变域就是命题，也就是说，我们可以用任何具体的概念替换A、B，用任何具体的命题代换p、q。因此，A、B是概念变项，p、q是命题变项。具体的概念、命题就是该变项的值。一个命题形式中的所有命题变项都代入具体的值时，就得到一个具体的命题。
但是，在我们对于命题形式的研究过程中，我们常常把“所有A是B”、“如果p，那么q”直接叫做命题，只是为了叙述上的简便，当我们这样称呼时，指的是将命题形式中的变项经过代换赋值得到的具体命题。
1.5 判断的类型
在哲学史和逻辑史上，对判断有许多不同的分类，提出了诸多类型的判断，比较著名的就是康德对判断的分类。在《纯粹理性批判》中，他按照判断的质、量、关系和模态把判断分为四类：
判断按量分为全称判断、特称判断、单称判断；
判断按质分为肯定判断、否定判断、不定(无限)判断；
判断按关系分为直言判断、假言判断、选言判断；
判断按模态分为或然判断、必然判断、实然判断。
其中，康德所说的不定判断是这样一种判断，其中所否定的不是联项，而是谓项本身，如“这朵玫瑰花是不红的”。康德这一分类实际上概括了亚里士多德以来的传统逻辑关于判断的主要分类，因而在很长时期为讲述传统逻辑的人们所采用，并一直延续到现在。
为叙述和章节编排上的需要，我们给出另一种命题的分类，参见图3-2。图 3-2
一方面，以命题自身是否包含其他命题为依据，把命题分为简单和复合两种类型。从复合命题分出联言命题、选言命题、假言命题和负命题。
另一方面，以命题是否包含模态词为依据，将命题分为模态命题和非模态命题。
这两方面的分类当然存在交叉：有简单的模态命题，也有复合的模态命题；有简单的非模态命题，也有复合的非模态命题。
2.性质命题
2.1 概述
性质命题，传统逻辑又称直言命题，台湾学者译作定言命题，它是对对象性质的断定。例如：
凡人都爱真理。
凡金属加热都会膨胀。
有鬼是爱夜游的。
有哺乳动物不是胎生的。
由此，我们观察性质命题的结构，它分为四个部分：主项、谓项、量项和联项。
主项，即表示思维对象的概念，上述例句中，人、金属、鬼、哺乳动物，在命题形式中，通常用S表示。
谓项，即表示对象性质的概念，如爱真理、会膨胀、爱夜游、胎生的，在命题形式中通常用P表示。
联项，即连接主项和谓项的概念，或者是肯定的“是”，或者是否定的“不是”， 英语语法上称作系词。肯定与否定的区别，在逻辑上叫做命题的“质”。
量项，表示命题主项数量的概念，它与“质”相对应。量项有两种，即全称量项和特称量项。全称量项，以“所有”、“一切”、“凡”表示，在不引起误会的情况下，全称量项可以省略，如“人是爱真理的”。 特称量项，以“有的”、“有”表示，在表达中，一般不能省略，如“有的人是爱美的”。
2.2 性质命题的类型
我们把性质命题的量和质相结合，就可以得到性质命题的四种类型：全称肯定命题、全称否定命题、特称肯定命题、特称否定命题。中世纪逻辑学家西班牙彼得把两个拉丁单词Affirms和Nego中的四个元音字母大写，分别表示四种命题。全称肯定命题用A表示，全称否定命题用E表示，特称肯定命题用I表示，特称否定命题用O表示。
2.2.1 A命题
全称肯定命题的标准形式是“所有S都是P”。可简写作SAP。“所有”是全称量项，它的含义是，任何、一切、凡、每一个、所有等语词的共同含义。“是”是肯定系词，S、P都是概念变项，而且必须是普遍概念，不能是单独概念。我们不能说所有鲁迅如何如何、所有地球如何如何。如果把句子中的变项全部代以具体的普遍概念，即得到了一个具体的全称肯定命题。日常语言中，全称肯定命题的例子有很多，如：
凡人都是爱真理的。
心理过程为任何方式的动物所具有。
凡商品是为交换而生产的。
一周有七天。
具有“所有S都是P”形式的命题，在什么情况下为真，在什么(3)情况下为假呢？在《概念》一章中我们讨论过，两个不空的类有并且只有五种关系。我们把这两个不空的类叫S类和P类，它们可能的关系有五种，如图 3-3所示。图 3-3
由图形直观地看出，SAP真，当且仅当S和P属于图形Ⅰ或Ⅱ之一的时候，而当S和P关系属于图形Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ时为假。
如，人是有理性的动物，“人”和“有理性的动物”外延类全同，所以SAP真。白马是马，由于“白马”类真包含于“马”类，所以“所有白马是马”为真，但不能说“所有马是白马”，因为马和白马的关系是图形Ⅲ的关系，故为假。
英国19世纪逻辑学家文恩(John Venn)曾用两个交叉的圆来浓缩地表示两类间的五种关系，我们将称之为文恩图解。图 3-4
比如，对于SAP，我们先画一个长方形，里面画两个交叉的圆，用阴影表示这部分不存在。那么，SAP的意思是说，凡是S但又不属于P的那部分是不存在的，用阴影表示，如图3-4所示。即，所有S是P，这就概括了S与P全同，S真包含于P的两种情况。
它也可用等式表示为=0，即表示S类和P类的交集为空，是S但不是P的部分是不存在的。
在现代逻辑中，它被表示为：
(x)(S(x)→P(x))
读作：对于所有的x而言，如果x是S，那么x是P。
全称肯定命题到底有什么特点呢？当我们说凡人皆爱真理的时候，我们的意思是说，凡是是人的，都是爱真理的。说得比较呆板、但比较清楚些的可以是：凡是属于人的这种事物。就是属于爱真理的这种事物。从这里我们可以分析出全称命题一个很重要的特色，应特别强调。
当我们说“凡人皆爱真理”的时候，我们并没有因而肯定有人存在(当然也没有否定有人存在)。因此，即使在某一班上，实际并没有人考试得零分，我们也可以说，凡是考零分的都不及格。我们的意思只是说，如果有考零分的人(或万一有考零分的人)，那么这个人是不及格的。如果没有考零分的人，那么我们一定找不到考了零分而又不是不及格的人。这就是说，我们不可能有“凡是考零分的都不及格”这一语句的反面证据，也就是说，该语句无法被否证，它一定成立。
基于此，我们再来分析“凡鬼皆夜盲”、“凡鬼皆非夜盲”这两个句子。由于事实上没有鬼存在，任你怎么说鬼的性质都可以。这样“凡鬼皆夜盲”，“凡鬼皆非夜盲”都是真的(假的)，这两者的冲突是语言意义上的事，而不是有关事实的，事实上并没有鬼。凡鬼皆夜盲，凡鬼皆非夜盲，两句话具有不同的意义，表示不同的命题，但却有同样的真假值。
2.2.2 E命题
全称否定命题与全称肯定命题的区别在于联项，也即质的方面的区别，它的形式是“所有S不是P”。在语言表达上常为“没有S是P”、“无S是P”。例如：
所有宗教都不是科学的。
任何知识都不是先天具有的。
没有鸟类是胎生的。
没有机会主义者是马克思主义者。
无圆是方等等。
用欧拉图分析SEP，则当且仅当S类与P类全异关系时，SEP为真，也就是欧拉图Ⅴ时为真，用文恩图表示，参见图3-5所示。
也可用等式表示为SP=0，即表示S类和P类的交集为空，是S也是P的部分是不存在的。图 3-5
阴影部分表示既属于S类又属于P类的部分是不存在的，也即所有S不是P。
在现代逻辑中，它被表示为：
(x)(S(x)→﹁P(x))
读作：对于所有的x而言，如果x是S，那么x不是P。
从全称否定命题分析，它表示并不肯定主项一定存在。如“没有鸟类是胎生的”这个句子，意思是，所有的鸟类都不是胎生的。再进一步分析就表明“凡是属于鸟类的事物，都不属于胎生的这一类事物”这话本身并没有肯定鸟类一定存在，当然也没有否定鸟类的存在。
由此分析“所有鬼都不是会说话的”、“所有鬼都是会说话的”同真，也是同样的道理。
但是如果主项事实上不存在，外延为零，则我们既作不出欧拉图，也作不出文恩图，我们所作的欧拉图、文恩图都以是非空类为前提，但这仅是借助图形上的直观分析全称命题这一形式，我们不能由此否认全称命题不肯定主项存在的特点。
2.2.3 I命题
特称肯定命题的形式是：有S是P。
特称肯定命题与全称肯定命题的区分是量方面的区别。一个是所有S都是P，一个是有S是P。量项“有”在这里的意思是，至少有一个，是不是全部，我们并没有肯定。也就是说特称量项对对象分子数量的限定并不确定。
日常语言中，“有”、“有些”也可作为特称量项，但是，日常语言中讲有些大多是指“仅仅有些”，因而一般讲“有些是什么” 时，往往意味着“有些不是什么”。当我们说“有些人来上课了”往往还意味着“有些人没来上课”。而在逻辑学中，“有些人来上课了”并不含有这样的意思。它只是断定了有些人来上课了，是否全部都来了，我们没数人数，没有点名，所以不清楚。也许全部人都来了，我说有些人来上课，在逻辑上也没有错，就是说该命题本身还是真的。
例如：
甲：某厂有没有工程师是工人出身的？
乙：有。
乙的意思是至少有一个，有多少不清楚，但有一个就能保证乙的话为真。解释清楚了量项，我们采用欧拉图来看I命题。
前四种情况都表示至少有一个S是P，所以SIP是真的。S、P如果在外延上具有前四种关系，则SIP就是真的，否则，如图Ⅴ时的情况，没有一个S是P，SIP就是假的。例如：
有的人爱真理。
有的哲学家不喜欢运动。
用文恩图表示，见图3-6所示。
也可用等式表示为SP≠0，就是说，既是S又是P的部分是存在的。虽然存在几个分子不确定，但至少有一个S存在。另外，至于是否有不是P的S或不是S的P存在，图中并未表示。
在现代逻辑中，它被表示为：
读作：至少存在一个x，x是S，并且，x是P。图 3-6
这里我们可以分析出相对于全称命题的特称命题的特点。当我们说SAP时候，它的含义是，对于任何东西而言，如果它是S，那么它是P。而当我们说SIP 的时候，我们只是说，有既是S又是P的事物，或者说得更清楚些，至少存在一个这样的东西，它既是S又是P。
比如，当我们说，有的人爱真理，意思就是说，有些既是人又是爱真理的东西，也即，有属于“人”这个类又属于“爱真理”这个类的分子存在。这样，当我们说有S时，我们的意思是，有S存在，换言之，特称命题有存在假定。这和全称命题不同，当我们说有S是P的时候，我们已肯定有属于S的东西存在，所以特称命题也叫存在命题。
当没有东西是S的时候，显然不会有东西既是S又是P，那么I命题一定是假的。如，“有龙吐金珠”这一命题一定是假的。这是特称命题和全称命题很不同的一个地方。
试比较“没来的请举手”这句话的预设，或考虑“有鬼神出现在莎士比亚的戏剧中”这一命题的存在假设是什么？
在文恩图中，我们对S、P的共同部分用“+”号，当我们要检验“有的人爱真理的时候”，只要举出既是人又是爱真理的个例就行，但若你指出一个反例，既是人又不爱真理的某个人，却不足以否证一个特称肯定命题。
2.2.4 O命题
特称否定命题与特称肯定命题是质方面的区别，其形式是：有S不是P。用欧拉图解释，当S与P外延间的关系是Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ三者之一时，它就是真的，或者有一个不是，或者有一部分不是，或者全部不是。用文恩图表示，见图 3-7。图 3-7
也可用等式表示为≠0，图里的“+”号表示,是S但不是P的部分是存在的，而且是至少有一个，具体有多少并不确定。
在现代逻辑中，它被表示为：
读作：至少存在一个x，x是S，并且，x不是P。
比如，我们说，这批产品有些不合格，只要抽到一个样品，它不合格，则这句话就是真的，到底几样不合格，是否全部都不合格，并不清楚，但只要知道一个不合格，就可证实这批产品有些不合格这一命题。
至此，我们可以认识到，I命题和O命题不同。“有S是P”不等于说“有S不是P”，因为它们在欧拉图解及文恩图解上都有差异，它们的真假情况并不完全相同。同样，有S不是P也并不意味着一定“有S是P”。
2.2.5 单称命题
单称命题指的是以单独概念作为主项的命题。若用小写字母a表示一个个体，用大写字母F表示一个谓项，则它的形式就是：a是F，或，a不是F。它与前述A、E、I、O中主项的不同之处是：单独概念作为主项，它不能再加全称或特称量项，这两者只有主项是普遍概念时才有意义。比如，对于单称肯定命题“罗素是逻辑学家”，我们不好说，所有罗素或有的罗素是逻辑学家，单称否定命题也一样。
另外，单称命题的联项“是”与“不是”不同于A、E、I、O命题的联项。“a是F”表示a作为类F的个体的属于关系，“S是P”表示的是S与P两个类之间的包含关系。
在数理逻辑中，a是F表示成a∈F，但S与P类的包含关系将表示成或。当然在单称命题中，如果主、谓项都是单独概念，那么就可以表示成a=b，即等于关系，这也是“是”的第三种关系含义。
逻辑史上，德摩根最早把“是”当作一种关系来分析，但在此之前的传统逻辑中，包括亚里士多德，一般仍然把单称命题当作全称命题的一个特例。就是说，一个单称命题可以看作是对一个类的所有分子作了断定，只是这个类的所有分子只是一个。
以后我们在三段论讲解中，对单称命题将沿用这种理解，但在下面讲的对当方阵中，这种理解却行不通。
2.3 对当方阵
我们先把上面所讲的A、E、I、O四命题的真假情况作个总结，如表3-1所示。表 3-1
根据此表，我们来讨论具有SAP、SEP、SIP、SOP四种形式的(4)命题之间的真假关系。
讨论之前我们规定，所讨论的四种命题具有相同的素材，也就是说，A、E、I、O四命题具有相同的主项和谓项，它们之间的差别仅仅是逻辑常项的差别，也即量项与联项的差别。比如：
A：所有商品是优质的； E：所有商品不是优质的；
I：有商品是优质的； O：有商品不是优质的。
这里四个命题就具有相同的素材，主项S是“商品”，谓项P是“优质的”，它们的差别仅在于“质”和“量”的方面。
而且我们还要规定，我们所讨论的4种命题的主项、谓项S类、P类非空，也就是一定有它的分子存在。图 3-8
在逻辑学中，A、E、I、O之间的关系称作“对当关系”， 也指主、谓项都是相同的A、E、I、O四种命题之间的真假制约关系，其中一个命题的真假可以制约其他三个命题的真假。它们之间的真假制约关系，用一个四方图形来表示，就是一种逻辑方阵。如图3-8所示。
它们之间的对当关系是很直观的，方阵中的每一条线都表示两种命题之间的一种特定关系，这里一共有四种。
2.3.1 反对关系
主、谓项相同的全称肯定命题和全称否定命题之间的关系是一种反对关系。例如：“所有商品都是优质的”与“所有商品都不是优质的”两个命题之间的关系就是反对关系。
特点：不可同真可同假。从欧拉图上可以看出SAP在情况Ⅰ、Ⅱ下为真，而SEP在Ⅴ情况下为真，但两者可以同假，如情况Ⅲ、Ⅳ。
用具体的例子来说，“所有商品都是劳动产品”真，“所有商品都不是劳动产品”假；“马克思主义者都不是唯心主义者”真，“所有马克思主义者都是唯心主义者”假；而“所有整数都是奇数”和“所有整数都不是奇数”都假。
推理方向：可以由真推假。这种推理方向叫顺向推。具有反对关系的两个命题中，因为不可能同真，已知其中一个是真的，就可以推出另一个是假的。例如，从上述例子中“所有商品都是劳动产品”真，可推出“所有商品都不是劳动产品” 假；若“所有马克思主义者都不是唯心主义者”真，则“所有马克思主义者都是唯心主义者”假。但是，反对关系却不能由假推真，因为它可以同假，比如，“所有商品都是优质的”假，也可能“所有商品都不是优质的”也假。
在爱匹曼尼德斯的“说谎者”悖论中，我们说，关于克里特岛人的悖论是不完全的，因为 “所有克里特岛人都是说谎者”假，不能推出“所有克里特岛人都不是说谎的”真，也就不能推出爱匹曼尼德斯说的就是真的，也可能是假的，悖论也就不能成立了，也即反对关系已知其中一为假，另一则真假不定。
关于全称肯定命题与全称否定命题还有个有趣的例子。
据说，国外有位滑稽演员侯波，有一次他外出表演，所住旅馆的房间又小又矮。他抱怨说“我住的旅馆里连老鼠都是驼背的”，店主听了认为这有损于旅店名誉，侯波就郑重声明更正说：“那里的老鼠没有一只是驼背的”。侯波的前一个判断是全称肯定命题，后一个是全称否定命题，两者为反对关系，他到底更正了什么呢？
思考一下，侯波在这两个全称命题中有没有一定肯定旅店有老鼠存在？
2.3.2 下反对关系
特称肯定命题与特称否定命题之间的关系为下反对关系，如“有的商品是优质的”与“有的商品不是优质的”。
特点：不可同假可同真，这恰与反对关系相对应。具有下反对关系的两个命题不能同时都是假的，其中一个是假的，则另一个必须是真的。从欧拉图上可以看出，当SIP处于情况Ⅴ的时候为假，SOP却为真；而当SOP处于情况Ⅰ、Ⅱ的时候为假，SIP为真，但二者在情况Ⅲ、Ⅳ的时候可同真。
如，“有的地主不是剥削者”假，则“有的地主是剥削者”必真，但 “有商品是优质的”与“有商品不是优质的” 可同真。
推理方向：可以由假推真，这种推理方向叫“反向推”。在具有下反对关系的两个命题中，已知其中一个是假的，就可以推出另一个是真的。
如“有的昆虫是哺乳动物”假，则“所有昆虫不是哺乳动物”真；“有的商品不是优质的”假，则“有的商品是优质的”真。
但是，已知其中一个为真，则另一个可能为真，也可能为假。
例如，已知“有的商品是优质的”为真，显然不能肯定“有商品不是优质的”假，它可假可真。
马克·吐温曾经在一次酒会上讥讽美国国会议员说：“美国国会中有些议员是狗婊子养的。”结果掀起轩然大波，许多人要求马克·吐温道歉，于是他在报上登了一则启事，承认那天自己口误，现更正为：“美国国会中有些议员不是狗婊子养的。”
马克·吐温前一个命题是I命题，后一个为O命题，这里马克·吐温更正了什么呢？前后两句话究竟有什么关系？用对当关系一看就昭然若揭了，常识来看，他还是骂了这些国会议员，但从逻辑来看，马克·吐温也可以解释成他没有骂这些国会议员，因为O真不能必然推出I的真假。
试比较马克·吐温与侯波的机智，两者有何不同。
2.3.3 矛盾关系
在对当关系中，A与O、E与I之间都是矛盾关系。
特点：既不能同真，也不能同假，具有矛盾关系的两个命题，两(5)者之中有一真必有一假，有一假必有一真。
推理方式：矛盾关系既可以由真推假，也可以由假推真。
这种推理方向叫“双向推”，全称肯定命题为真，则特称否定命题一定为假。“所有商品都是优质的”为真，则“有商品不是优质的”一定为假。全称否定命题为真，则特称肯定命题一定为假，如“所有商品都不是优质的”为真，则“有商品是优质的”一定为假。
反过来，如果我们要找到全称肯定命题和全称否定命题为假的证据，就在于判定相应的特称否定命题或特称肯定命题为真。
要证明命题“凡金属加热后膨胀”为假，只要说明存在第51号金属锑，它是冷胀热缩的，也就是其特称否定命题“有金属不是加热后膨胀”为真，仅此一项足以否证一全称肯定命题。说“天下乌鸦一般黑”，只要找到一只白乌鸦，就可以否证这句话。
2.3.4 差等关系
对当方阵中，A与I、E与O为差等关系，所谓差等就是同质而不同量，A、E断定的范围分别大于I、O断定的范围。
特点：从欧拉图5种情况看，在同质的两个命题中，全称命题真，特称命题就真，特称命题假，全称命题就假。即，两者可以同真，也可以同假。
推理方向：在一对同质的命题中，A与I、E与O，往下推，真推真，往上推，假推假。
例如：“全班同学都来上课了”为真，则“班里有同学来上课了”也真；“班里有同学来上课了”为假，则“全班同学都来上课了”也假。又如：“所有商品都不是优质的”真，则“有商品不是优质的”也真，“有商品不是优质的”假，则“所有商品都不是优质的”也假。
总结上面4种推理关系，如表3-2所示。表 3-2
由此我们还可以归纳出反驳一个全称命题的三种方式：对于全称肯定命题，
(1)断定其全称否定命题为真；
(2)断定其特称否定命题为真；
(3)断定其特称肯定命题为假。
如，要反驳“所有该厂产品都是优质的”，可以通过以下三种方式：
(1)断定“所有该厂产品都不是优质的”为真；
(2)断定“有的该厂产品不是优质的”为真；
(3)断定“有的该厂产品是优质的”为假。
其中，(2)的反驳最为直接、有力，因为它直接来源于矛盾关系。
同样，反驳全称否定命题也有三种方式：
(1)断定全称肯定命题为真；
(2)断定特称肯定命题为真；
(3)断定特称否定命题为假。
例如，一位日本来的柳田教授到玉佛寺参观，寺里的法师说，隆重佛事七七四十九天日日夜夜都要敲钟。柳田教授不同意，寺庙规定“晨钟暮鼓”，夜里敲钟，佛典没有记载。法师不置可否，给他看了林升的一首唐诗《枫桥夜泊》，其中有一句“姑苏城外寒山寺，夜半钟声到客船”。柳田教授马上意识到自己太过武断了，实则柳田作的是全称否定命题，一切佛教寺庙夜里都不会敲钟，法师给他看唐诗，实际上是给出一个特称肯定命题，有的佛教寺庙夜里是会敲钟的。这里，从特称肯定命题为真就可以反驳全称否定命题。
再如，一位鞋油厂厂长要求用萧伯纳的名字做一种新鞋油的牌子，于是他对萧伯纳说：“假如你同意这样做，全世界都会因此而知道你的大名。”萧伯纳说：“您说的对极啦，可是那些打赤脚的人呢？”萧伯纳反驳的是厂长的全称肯定命题：所有人都会知道萧伯纳的大名，具体他反驳使用的是特称否定命题：有的人不会知道萧伯纳的大名，至少是那些打赤脚的人。这里特称否定命题为真，可用以反驳全称肯定命题。
注意，我们曾说，把单称命题看作全称命题来理解。现在我们来看看单称肯定命题和单称否定命题是否为反对关系。由“鲁迅不是文学家”为假，真的推不出“鲁迅是文学家”为真吗？
实际上，我们可以将上述对当方阵进一步的扩充，在加入单称命题后，图3-8变为图3-9。图 3-9
在表3-2中，A命题与命题F(a)、命题F(a)与I命题、E命题与命题并非F(a)、命题并非F(a)与O命题之间，都是差等关系，而命题F(a)与并非F(a)之间则是矛盾关系。
试思考一下：命题F(a)与E命题是什么关系？命题并非F(a)与I命题是什么关系？
总之，全称命题受到反驳是很普遍的，只要找到一个个例就足以否证一个全称命题。也即满口话说不得，不要开口就所有什么都怎样怎样，全部什么都不怎样怎样，个人独断、盲目武断往往很容易受到反驳。因为全称命题本身就是规律的形式，它是科学所追求的普遍化目标，应当谦虚一点，理智一点，谨慎一点。
2.4 准确使用性质命题
准确使用性质命题主要有三个方面。
2.4.1 准确选择量项
首先是慎重选用全称量项，如说“乡镇企业产品的质量都不行”，这是一个全称命题，其量项被省略了，然而这是一个不恰当的命题。比较合理的说法是，有些乡镇企业的产品质量不行，要么明确一些，就专指某个乡镇企业产品的质量不行，而不能以偏概全，来个“所有……”、“全都……”。
另一方面，特称量项的运用也可根据需要而具体化一些。汉语中表达特称量项的语词是很丰富的。比如，几乎全部S是P，绝大多数S是P，大多数S是P，多数S是P，相当多的S是P，少数S是P，极少数S是P，个别S是P，这些都是无法确定的概数。也可以用确定的比例，比如，2/3的S是P，80%的S是P，等等。性质判断使判断更为准确、(6)科学、严谨。
2.4.2 准确使用联项
性质命题的联项表示命题的质，联项误用会造成命题根本的“质”的区别。首先，当使用多重否定表示强调时，不要误用联项。
如：我并不是对你没有不怀好意的。这个命题如果本来是表达“我是对你怀有好意的”，那么由于误用多重否定，适得其反，成了“我是对你不怀好意的”，结果就可能引起某种误解。
另外，为准确使用联项，在汉语中常常对联项加以不同的限定，如完全是、绝对是、基本上是、本质上是、主要是、一般是、可以说是、在某种意义上是。
比如：我们说，这部作品基本上是好的；民族资产阶级一般都有着两面性；这次失败使他头脑清醒了，在某种意义上是好事，要注意也许在另一种意义上就不是了。
不过，加限制也要注意逻辑，比如说：阿尔伯特·加缪，法国的存在主义文学家，1957年诺贝尔文学奖获得者，死得较早，主要是死于车祸……既然是“主要”，那么“次要”是什么呢？
不过我们也要注意联项限制会导致一种模糊语言，比如，下级为某事向上级领导征求意见，领导批复，原则同意，亦即原则上同意。这样，话不说死，留有余地，模棱两可，基本同意，又没完全同意，到时都是进退皆宜，事情办好了，是由我经手审批的，洋洋得意；若是办糟了，我没有全部核准，责任在你，这种官僚心态实在要不得。(7)
2.4.3 对有些命题限制必要的前提条件
任何命题都是在一定条件下成立的，但有的条件是人所共知的，无须专门指出；而有的命题是在特定的条件下成立的，在作出这样的命题时，必须同时指出这些命题成立的条件。例如，江泽民主席曾提出，在台湾宣布放弃独立，坚持一个中国的立场的前提下，共产党是随时都可以和国民党谈判祖国统一的问题的。
再比如，一个人说“一切话都是假的”，人们就问你说的这句话是真的还是假的，于是这个人补充说，“除了我现在说的这句话以外，一切话都是假的”。怎样反驳这句话，使他再次陷入悖论？若有第二个人说：“你这句话是真的。”则可问：第二个人的话是真的还是假的。于是这个人又补充说，“除了我和第二个人的话外，一切话都是假的。”如果第三个人说“第二个人说的是真的”，那么，第三个人说的是真的还是假的？“除……之外”，之所以在这里不起作用，是因为悖论本质上存在一个语言层次的问题。
有的逻辑书称上述命题为除外命题，其肯定形式为：除x之外，S都是P。它等于说，任何非x的S都是P；并且任何x是S；并且，没有x是P。其否定形式为，除x之外，S都不是P。它的意思是说，任何非x的S都不是P；并且任何x是S；并且，任何x是P。例如：除闰年外，年年有365天；除辩证唯物主义以外，所有哲学体系都不能彻底解决真理问题；除乌鸦外，所有鸟都会飞，等等。
2.5 周延问题
2有一道数学题：解方程x=4。A回答：2是方程式的根；B回答：方程式的根是2。试问A、B的回答是否一样？谁对谁错？我们的回答是，B错了。这牵涉到性质命题中主谓项的周延性问题。
2.5.1 项的周延性
项的周延性指在性质命题中对主谓项外延数量的反映情况。具体地说，一个概念(普遍概念)在一个性质命题中出现时，如果该命题对这一概念的全部外延有所反映，那么这个概念在该命题中是周延的，如果该命题没有对这一概念的全部外延有所反映，那么这个概念在该命题中就是不周延的。
根据上述定义，全称命题的主项是周延的，而特称命题的主项是不周延的。由于全称量项“所有”的作用，全称命题反映了它的主项的全部外延，而由于特称量项“有”的作用，特称命题没有反映它的主项的全部外延。如，所有脉管炎病人都是吸烟的，有的吸烟者是运动员，等等。
性质命题的谓项不带量项，其周延情况如何？首先考虑SEP的情况。所有S不是P，也就是说“所有S都不是任何一个P”，“P”在SEP中虽然不带量项，但根据上述分析，SEP对P来说反映了“P”的全部外延，因此，P在SEP中周延。比如，在E命题“马不是猫”中，“猫”是周延的，所以我们可以反过来说“猫不是马”，在这里，马的外延和猫的外延互相排斥，为全异关系。
再看，有S不是P，反映了至少有一个S排斥在任何P之外。欧拉图Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ都有这个特点，有的S不在任何P之列，“有S不是P”也就是“有S不是任何一个P”的意思，因此，P在SOP中周延。如，“有的师范大学不是面向全国招生的”这一命题反映出，“面向全国招生的”这个概念的全部外延与“师范大学”的部分外延是互相排斥的，因而这个命题的谓项周延。
总之，否定命题的谓项周延。
再看肯定命题。SAP并没有反映S是全部P，就是说“所有S是P”不是“所有S是任何P”的意思，SAP反映的是欧拉图情况 Ⅰ 和 Ⅱ 的共同点。说 “所有金子是闪光的”，但“闪光的未必都是金子”；说“真理是赤裸裸的”， 但“赤裸裸的不都是真理”；说“所有的狗是四只脚的”，但“所有四只脚的不都是狗”。SIP同样没有反映至少有一个S是任何P，就是说“有S不是P”不是“有S是任何P”的意思，SIP反映的是欧拉图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种情况的共同点。说“有动物是会飞的”并不是说“所有会飞的都是动物”；说“有的花是红的”同样也不是说“所有红的都是花”。表 3-3
总之，肯定命题的谓项不周延。性质命题中项的周延性可参见表3-3。
2.5.2 几个需要澄清的问题
在周延问题上，应明确以下三点。
(1)周延问题是指一个普遍概念出现于性质命题中对主项和谓项的外延的反映或断定的问题。
因此离开了性质命题，仅就某个孤立的概念而言，无所谓周延与否。如“人”这个概念离开了句子，无所谓它周延与否。
(2)项的周延性问题是指在性质命题中对主项和谓项的外延的断定情况，因此，它所表示的只是命题提供者对主项和谓项外延之间的关系的一种认识或反映，而不是直接表示主项和谓项所反映的对象在现实中实际存在的客观关系。我们在分析周延情况时，就不能仅仅根据后者去断定前者，不能根据主项和谓项所反映的对象类之间的客观关系而去断定命题中项的周延情况。
事实上所有奇数都是整数，但 “奇数”在“有奇数是整数”中是不周延的；事实上并非一切整数是奇数，但在“所有整数是奇数”中，“整数”是周延的。
(3)不能认为肯定命题谓项有时周延，有时不周延。
有人认为如果S与P两类有全同关系，“P”在“所有S是P”中周延，这个说法混淆了类的客观关系和命题形式的含义。事实上的“等边三角形”和“等角三角形”有全同关系，但是“等角三角形”在“凡等边三角形都是等角三角形”中不周延，因为这个命题没有对全部“等角三角形”有所反映，如果“等角三角形”在“凡等边三角形都是等角三角形”中周延，就是说在命题反映了“等角三角形”的全部外延，那么有了这条定理马上就可以合乎逻辑地得到“凡等角三角形都是等边三角形”，后面这条逆定理就无需另行证明了，然而这在平面几何中却显然行不通。
还有人认为，定义的谓项周延，因为定义要求定义项和被定义项外延全同。不错，定义项和被定义项外延应该全同，但不能由此证明肯定命题的谓项有时周延。
定义的形式不仅仅是反映全称肯定命题的形式，定义S就是P，S是P，它实质上是表达了“SAP并且PAS”形式的命题，定义还可能采用其他的语言形式，但肯定不是“所有S是P”。周延问题是只在A、E、I、O中发生的问题，我们只能说“P”在“SAP”中不周延，“S”在“PAS”中不周延，不能笼而统之的说“P”在“SAP并且PAS”中是否周延。
如果“S就是P”可以分析为“任何S是任何P”，这样倒似乎可以说“P”在其中周延了，然而它不是SAP，也不是SIP，即它不是传统的肯定性质命题。
2.5.3 区别命题
区别命题指具有“只有S才是P”、“只有S才不是P”形式的命题。
例如，“只有数学家才能解决哥德巴赫猜想”是说“一切非数学家都不能解决哥德巴赫猜想”。上述命题并没有“凡数学家都能解决哥德巴赫猜想的”的意思，由此可见，“只有S才是P”即“没有非S是P”，而不是“没有非S是P，并且所有S是P”；“只有S才是P”，亦即“所有P是S”(在这个命题中，S不周延，P周延)。
这样，只有S才是P，相应的“P”不一定存在，“只有数学家才能解决哥德巴赫猜想”不蕴涵“有能解决哥德巴赫猜想的人是数学家”，事实正好是，至今仍不知道哥德巴赫猜想能否解决。只有S才是P，并没有断定“所有S是P”，如，只有自然数才是素数。
有时“只有小轿车才准超车”，也可以说成“除轿车外，都不准超车”意即“凡非小轿车都不准超车”，它与“凡准超车的都是小轿车”等值。
有人认为“S”在“只有S才是P”中周延，这是错误的。“只有S才是P”也可以是“所有非S都不是P”，“非S”、“P”在这一命题形式中周延，而不是S在其中周延。
试考虑：“只有S才不是P”是什么意思？“只有未成年人才不能参加”即“凡成年人都能参加”，即“所有非S是P”。“只有S是P”是什么意思？只有实践是检验真理的标准，可以分析为“凡不是实践的东西都不是检验真理的标准，并且，有实践是检验真理的标准”，即“所有非S都不是P，并且有S是P”。
总之，周延性是针对A、E、I、O四个命题的形式来说的，它是我们以后检验推理、三段论推理中需要掌握的一个重要环节。
3.关系命题
3.1 什么是关系命题
关系这个词大家都不陌生，我们已经讲过概念外延间的关系，性质命题的对当关系，“是”反映了三种不同的关系等等，这些仅仅是关系的一小部分。
在社会生活及其他学科领域中我们还可以见到量的关系(如长、短、大、小)，质的关系(如深、浅、快、慢)，空间关系(如远、近、序言、后记)，因果关系(如原因、结果)，时间关系(如前、后、同时)，部分对全体的关系(如手足和身体)，社会关系(A是B的部下、A是B的敌人、血缘关系、亲属关系)，人与自然的关系，等等。
一句话，关系是普遍存在的，我们的一切思考、一切生活都无法逃脱于关系之外。现有的对于关系命题的定义，往往把“关系”直接作为一个基本的已知概念，可以说，没有一个尝试确切定义关系的企图是成功的，也很难得到广泛接受的关系定义。原因很简单，因为我们不可预先假定某种关系来界定(定义)关系，定义本身就反映了某种关系。
但是，就我们现在要达到的目的来说，我们对于关系性质的常识的解释就足够使我们了解“关系”的概念了。可以大致地说，关系是两个或两个以上对象之间的一种联系形式，尽管这一解释可能引发永无休止的哲学争论。
应该指出，关系不同于性质。性质是一个或一类对象所具有的属性，尽管一个对象具体具有什么属性需要以某种关系来表达；而关系则为两个或两个以上的对象共同具有的联合属性。
我们说，曹操是人，曹操是军事家、谋略家，但我们不能说曹操是父子，曹植是兄弟，我们只能说曹操和曹植是父子，曹植和曹丕是兄弟。父子、兄弟是关系概念，它牵涉到两个个体之间的一定的联系。我们能说周总理和鲁迅是伟大人物，却不能说周总理和鲁迅是同乡。是性质更根本，还是关系更根本，我们无法确切划分，只是在不同的情况下，有不同的侧重点而已。必要时，性质可以分解为关系，但有时关系也可以当作性质来理解。
3.2 关系命题的结构
关系命题就是反映两个或两个以上对象间关系的命题。从逻辑研究的角度分析，它有三个要素：关系主项、关系项和量项。
3.2.1 关系主项
关系主项，即反映关系承担者的概念，比如“曹操和曹植是父子”中的“曹操”和“曹植”，一般用小写字母a，b，x，y等表示。
如果一个关系有两个承担者，则该关系为二项关系，如有三个承担者，则为三项关系，如镇江在南京与常州之间，其中有镇江、南京、常州三个承担者，依此类推。有n个承担者就有n个主项，该关系就称作n项关系。
四项以上的关系多存在于数学、逻辑等形式抽象学科中，社会生活中的实例较少。限于篇幅，这里主要介绍二项关系及传递性的三项关系。
3.2.2 关系项
关系项，即表示主项之间关系的概念。如，大于、小于、是父子、是兄弟，等等，一般用Relation的打头字母R表示。我们把a和b有R关系记作aRb，或R(a，b)，对关系命题的否定就是﹁aRb，或﹁R(a，b)。其中a可叫做关系前项，b可叫做关系后项。
3.2.3 量项
量项，即表示主项被反映的数量的情况。数学中，函数映射就有着一一关系、一多关系的说法。
再如，所有学生和所有工人交朋友，所有学生和有的工人交朋友，有的学生和所有工人交朋友，有的学生和有的工人交朋友，这四个命题的含义有所不同。也就是说，关系主项也有所谓周延与不周延的问题。
关系主项不仅有次序先后之分，如，交朋友有主动与非主动的情况，学生和工人交朋友，工人和学生交朋友，在意义上有所不同；还有量项多少之别，多少学生、多少工人交了朋友，这里有量的差异，这涉及现代关系逻辑的许多内容。
试比较“有一些真话是苏格拉底和柏拉图都说过的”和“柏拉图和苏格拉底都说过一些真话”两句话，以及“所有展品都有人欣赏”与“有人欣赏所有展品”两句话意思的差异。
3.3 关系的性质
一定义上说，一切规律都是一种关系。关系性质的重要性在于，一切演绎推论都是以某种关系的逻辑性质为根据。性质命题间的真假关系推演根据也在于概念外延间的类的包含关系，这在三段论中尤为明显。另外，“蕴涵”这一逻辑基本概念也是一种关系，大多数形式系统主要以“→”这一蕴涵符号为基本符号、初始符号，但演绎推论所依据的关系的性质本身并不是关系，而只不过是关系的种种特征，对此可以分为三方面。
3.3.1 自反性(reflexivity)
这是一个对象与它自身的关系，有三类。
A.自反的(reflexive)
在特定论域中，对任何x而言，如果R(x，x)，那么关系R在该论域中是自反的，关系R即为自反关系。
例如，在自然数论域中，任何一个数都等于它自身，所以，“等于”关系在该自然数论域中是自反的，其他如“全同”，“同一”等关系在特定的论域中都反映自反性关系。
B.反自反的(ir-reflexive)
在特定论域中，对任何x而言，如果并非R(x，x)，那么关系R在该论域中则是反自反的，关系R则是反自反关系。
例如，在自然数论域中，任何一个数不会大于它自身，“大于”就是反自反关系，其他如“不等于”、“重于”、“轻于”也是这样。
C.非自反的(non-reflexive)
在特定论域中，如果存在x，使得R(x，x)，又存在x，使得并1112非R(x，x)，则关系R在该论域中是非自反的，关系R则是非自反关22系。
例如，对全人类来说，有些人自杀，即自己杀自己，有些人则不会，还有其他自尊、自爱、自怜、自卑、自我批评、自我改造、自我折磨、自我欣赏都是这样。如果一批人集体自杀，我们把论域设为这批人，那么自杀关系在这批人中就是自反的。
3.3.2 对称性(symmetry)
这涉及两个对象之间的关系，也有三类。
A.对称的(symmetrical)
在特定论域中，对于任何x，任何y而言，如果R(x，y)，那么R(y，x)，则关系R在该论域中是对称的，关系R就是对称关系。
王元泽小时候，人家问他：“笼子里两只动物哪只是鹿，哪只是獐？”他从来没有见过，于是回答：“鹿旁是獐，獐旁是鹿。”这“在……旁”就是对称关系。阿Q说他和赵太爷是本家，赵太爷不想和他做本家，就揍他一嘴巴，骂他不配姓赵，“……是本家”其实正是对称关系。
其他概念，如不等于、等于、邻居、同盟、相交、相似、同时、共存、交叉、矛盾、对立、战友、同班、同事等等都反映对称关系。
有一个笑话，妈妈教导儿子说：“强强是坏孩子，你不要和他玩。”孩子问：“我是好孩子吗？”母亲：“当然是。”儿子：“那么强强就可以和我玩了。”“……和……玩”是否对称关系，这里有一个时态问题。若a正在和b一起玩，则该关系是对称的；若a只是想和b一起玩，则b不一定想和a一起玩。
B.反对称的(asymmetrical)
在特定论域中，对于任何x，任何y而言，如果R(x，y)，那么并非R(y，x)，则关系R在该论域中是反对称的，关系R就是反对称关系。
例如，树在庙前，则不能推知庙在树前，而只能是庙在树后；A在B之南，则推不出B在A之南，而是B在A之北。
其他概念，如大于、小于、重于、在……前面、在……后面等等都是反映反对称关系。如从圣诞节到新年只需几天，但从新年到圣诞节却要经过漫长的等待。(8)
C.非对称的(non-symmetrical)
在特定论域中，如果既存在x，y，使得若R(x，y)，且R(y，11111x)，又存在x，y，使得R(x，y)，且并非R(y，x)，那么关系R在1222222该论域中是非对称的，关系R就是非对称关系。
例如，在人群中，既存在甲照顾乙，乙照顾甲，又存在丙照顾丁，而丁不照顾丙，所以“照顾”关系是非对称关系。
其他如讨厌、喜欢、认识、信任、赞美、批评、欣赏、轻视等关系也是同样的道理。A是B的哥哥，B却不一定是A的弟弟，“……是……的哥哥”也是非对称的关系。
3.3.3 传递性(transitivity)
这涉及三个对象之间的关系，有如下三类。
A.传递的(transitive)
在特定论域中，若对所有的x，y，z而言，如果R(x，y)，R(y，z)，那么R，(x，z)，则关系R在该论域中是传递的。
例如，对于实数而言，x=y，y=z那么x=z，其他大于、小于、轻于、重于、高于、矮于等关系都是传递的。
B.反传递的(intransitive)
在特定论域中，若对所有的x，y，z而言，如果R(x，y)，R(y，z)，那么并非R(x，z)，则关系R在该论域中是反传递的。
对于血缘关系来说，A是B的父亲，B是C的父亲，那么A一定不是C的父亲，这是显然的，许多血缘关系都是如此。但在平辈中间，A是B的兄弟，B是C的兄弟，则A是C的兄弟，“……是……的兄弟”在这里是传递的。
其他反传递的关系还有，……年长……几岁，……年幼……几岁，以及平面上的垂直关系等等。
试思考，矛盾关系的传递性如何？
C.非传递的(non-transitive)
在特定论域中，如果既存在x，y，z，使得有R(x，y)，R(y，111111z)，并且R(x，z)，又存在x，y，z，使得有R(x，y)，R(y，z)，1112222222且并非R(x，z)，那么，关系R在该论域中是非传递的，关系R就是22非传递关系。
对有些人来说，朋友的朋友还是朋友，但对有些人却不是这样。其他如认识、关心、喜欢、讨厌也都如此。在体育比赛的循环赛中，A队胜B队，B队胜C队，有时A队胜C队，有时则不然。
3.3.4 关系的性质的规律性
以上从自反性、对称性、传递性三个角度区分出9种不同的关系的性质，但一个关系可以同时兼有这三方面的性质，比如“等于”既是自反的，又是对称的，而且是传递的。若用正、反、非分别表示自反性、对称性、传递性在三方面的取值情况，理论上讲可以形成27种可能的组合，但其中只有14种能找到与其对应的关系实例(如表 3-4所示)，其余13种可证明它不存在，因为一关系的性质有如下规律：
① 如果R是反传递，那么R一定是自反的；
② 如果R是反对称的，那么R一定是反自反的；
③ 如果R是对称的、传递的，那么R一定是自反的；
④ 如果R是传递的、反自反的，那么R一定是反对称的。表 3-4
现给出规律①、③的证明，②、④留待读者自证。
证明①
已知关系R是反传递的，根据定义，
(1)若R(a，b)和R(b，c)成立，则R(a，c)不成立；
用a替代b和c，(1)变成(2)，
(2)若R(a，a)和R(a，a)成立，则R(a，a)不成立；(9)
(3)所以无论如何R(a，a)不成立；
所以关系R是反自反的。
证明③
已知关系R是传递的、对称的，根据定义，
(1)若R(a，b)和R(b，c)成立，则R(a，c)成立；
用a替代c，(1)变成(2)，
(2)若R(a，a)和R(b，a)成立，则R(a，a)成立；
再根据定义，
(3)若R(a，b)成立，则R(b，a)成立；(10)
(2)、(3)并用得到(4)
(4)R(a，a)一定成立；
所以关系R是自反的。
明确关系的性质对于正确判断、正确进行思维推理，尤其是认识对象及其规律有重要的意义。生活中的例子也屡见不鲜。如，有一位皇帝做了一个梦，梦见一个人把他的牙齿拔光了。皇帝受到惊吓，次日邀群臣解梦，丞相说：“陛下全家将比陛下先死。”皇帝大怒，把丞相杀了，“……比……先死”是反自反的、反对称的、传递的关系，但皇帝听不惯的，还是一个“死”字。恰巧阿凡提路过，他解释说：“陛下将比你所有的家属长寿。”这里关系的性质没有改变，妙在避开了“死”字，于是龙颜大悦，重赏阿凡提。
再如，中国古时候，有一位内阁大学士，他的儿子不成才，但他儿子的儿子却考中了进士，这位内阁大学士常责备他的儿子，他儿子反驳说：“他的父亲不如我的父亲，您的儿子不如我的儿子，我有什么不成才的呢？”这里这位大学士的儿子把三人的关系是弄清楚了，但他的反驳不成立。问题在哪里呢？因为这里的关系(血缘)与性质(成才)并无推导、证明关系。
4.模态命题
4.1 模态词
模态逻辑研究涉及命题的模态性推理。
模态命题就是包含模态词的命题。而模态词，狭义上专指必然、可能、偶然等逻辑概念；广义上则包括应当、允许、将来、过去、相信、知道等道义逻辑、时态逻辑、信念逻辑、认知逻辑概念。研究前者形成理论模态逻辑，研究后者形成应用模态逻辑。
这里将主要探讨“必然”、 “可能”两种模态词，这也是模态理论逻辑中各家论述最为丰富的部分。
康德曾经把模态命题分为三种，即可能命题、必然命题、实然命题。设p为一命题，则三者可分别记作◇p、□p、├p，意思分别是p是可能的；p是必然的；p是实然的。├p读作“断定p”，也就是断定命题p所反映的对象情况(事态)在现实世界里是真实的，因此，├p往往简记作p。
只有命题反映的事态和对象情况才有必然、可能的问题。一个概念、一个对象无所谓必然、可能，有时我们说“上帝是可能的”，只是说“上帝的存在” 是可能的，我们说“共产主义必然会实现”，意思是说“共产主义的实现” 是必然的。所以，我们这里考察的都是命题的模态。
前面我们在对命题进行讨论时规定，一个命题不是真的就是假的，如果更深一步地考察，就会发现，无论真命题还是假命题，都可以分为两类，一类是必然的，另一类是偶然的，也即有些真命题不可能为假，而其他真命题则有可能为假。类似的，有些假命题是不可能为真的，而其他假命题则是有可能为真的。这里我们把必然性、可能性和偶然性看成是命题跟真值发生联系的方式，因此关于必然，可能的模态又叫真值模态。
4.2 可能世界
现代逻辑对真值模态的解释运用的是“可能世界”的语义理论，它来源于莱布尼茨的“可能世界”理论。
由无穷多的具有各种性质的事物所形成的可能的事物的组合就是一个可能世界。通俗地说，可能世界是一种可以想象的事物状态的总和。
莱布尼茨以无矛盾性(即逻辑的一致性)来界定可能性，只要事物情况或事物情况的组合推不出逻辑矛盾，该事物情况和事物情况的组合就是可能的，而可能的事物的组合就构成可能的世界，简称为“世界”。所以他说：“世界是可能的事物组合，有的组合比别的组合更加完美，因此有许多的可能世界，每一个由可能事物所形成的组合就(11)是一个可能世界。”
众多可能世界的完美程度各不相同，莱布尼茨把可能世界比作神话中的一座皇宫，其中有无数多的房间，每个房间展示一个可能世界，上帝把其中一个挑选出来就成了我们所看到的现实世界。我们所居住的现实世界也是一个可能世界，由所有现存的可能事物组成，莱布尼茨认为，现实世界是一个最丰富的世界，是上帝挑选出来的最完美的可能世界。
各个命题在各个可能世界中或者为真，或者为假，这样，历史就可以假设，小说就可以虚构，上帝、金山也就成为可能。如果一个命题正确地描述了一个世界，那么它在这个世界中就为真，否则它在这个世界为假。
一个命题在现实世界中为真或假，有时就直接简称它为真或假。必然命题就是在所有可能世界中都为真的命题，可能命题就是至少在一个可能世界中为真的命题。因此，必然命题一定是在现实世界中为真的命题，凡在现实世界中为真的命题，也一定是可能的命题。
在实际应用中，可能性、必然性是具有多重歧义的。哲学家常常区别三种不同的可能性，即逻辑可能性、经验可能性和技术可能性。我们还可以加上一种个人可能性。
一命题为真是逻辑的可能。亦即它所反映的事态(对象情况)的发生并不违反任何逻辑规律。因此，我们插翅高飞，畅游天上宫阙，并非逻辑上的不可能，相反地，我们是人同时又不是人，则是逻辑上的不可能。
一命题之为真是经验的可能。假如它所反映的事态(气象情况)不违反任何(经验)科学的定律，比如肺癌的免疫是经验上可能的，可是制造一部永动机，则是经验上的不可能。
一命题之为真是技术的可能。如果技术发展水平足以使其反映的事态(对象情况)实现，比如登陆月球是技术上可能的，大众化的私人星际旅行则是技术上的不可能。
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