作者：黄璇,吴高翔,罗贤强,刘忠东
出版社：重庆大学出版社
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线性代数试读：
版权信息书名：线性代数作者：黄璇,吴高翔,罗贤强,刘忠东排版：辛萌哒出版社：重庆大学出版社出版时间：2015-06-01ISBN：9787562489238本书由重庆大学出版社授权北京当当科文电子商务有限公司制作与发行。— · 版权所有 侵权必究 · —第1章行列式在解决有关工程和经济等实际应用问题时，常需要求解方程组. 而线性方程组是这些方程组中最简单和最常见的类型. 在中学的代数课程中，学习过二元一次方程组和三元一次方程组. 在线性代数中，主要讨论一般的n元一次方程组，即n元线性方程组. 在研究线性方程组及其相关知识理论时，最重要的两个工具就是行列式和矩阵. 本章主要介绍行列式的定义、性质及其计算方法.1.1 二阶与三阶行列式1.1.1 二阶行列式
求解二元线性方程组
利用消元法，分别消去未知数x，x，得12
若aa-aa≠0，则方程组（1.1）有唯一解11221221
观察式（1.3）的结构，发现式（1.3）的两个分母都是aa-1122aa，它是由方程组（1.1）的4个系数确定. 把这4个系数按它们在1221方程组（1.1）中的位置，排成二行二列的数表
则表达式aa-aa称为数表（1.4）所确定的二阶行列式，11221222记作
其中，数a（i，j=1，2）称为行列式（1.5）的元素. 横排称为行，ij竖排称为列. 元素a中第一个下标i称为行标，第二个下标j称为列标，ij分别表示元素a在行列式（1.5）中所处的行数和列数. 例如，元素ija在行列式（1.5）中位于第二行第一列.21
二阶行列式的定义可以用对角线法则来表示：参看图1.1，行列式的主对角线（从左上角到右下角的实连线）上的两元素a，a的1122乘积，减去行列式副对角线（从右上角到左下角的虚连线）上两元素a，a的乘积.1221
利用二阶行列式的概念，式（1.3）中分子部分也可用二阶行列式表示，即
则方程组（1.1）的解可表示为
其中，分母D是由方程组（1.1）的系数所确定的二阶行列式（称为系数行列式），而D，D分别是用方程组（1.1）右端的常数列来12代替D中的第一列和第二列所得的二阶行列式.
例1.1 计算二阶行列式
解 按对角线法则，有D=2×3-1×（-1）=7.
例1.2 求解二元线性方程组
解 由于
所以1.1.2 三阶行列式
类似地，在用消元法求解三元线性方程组
时，可引入三阶行列式的定义：9个元素a（i，j=1，2，3）排成ij三行三列的数表（1.8）式称为由式（1.7）所确定的三阶行列式.
从上述定义可知，三阶行列式是6项的代数和，每项都是由不同行不同列的3个元素的乘积再冠以正负号所得，其规律可以用图1.2所示的对角线法则描述：图中有三条实线看成平行于主对角线的连线，三条虚线看成平行于副对角线的连线，实线上三元素的乘积冠以正号，虚线上三元素的乘积冠以负号.图1.2
例1.3 计算三阶行列式
解 按对角线法则，有
需指出，对角线法则只适用于二阶与三阶行列式，四阶及以上的行列式不再具有对角线法则. 将在1.2节中根据二阶、三阶行列式的规律引出n阶行列式的定义.1.2 n阶行列式
在1.1节，介绍了二阶、三阶行列式的定义. 在1.2节中，将根据二阶、三阶行列式的规律引出n阶行列式的定义. 首先，介绍全排列的相关知识.1.2.1 全排列与逆序数
把n个不同的元素排成一列，称为这n个元素的全排列（也简称排列）. n个不同的元素所有可能的排列种数，称为全排列数，通常用表示. 下面来给出的计算公式.
从n个不同元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法；从剩下的n-1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n-1种取法；这样递推下去，直到最后只剩下一个元素放在第n个位置上，只有1种取法. 于是
因此，n个不同元素的全排列数为.
例如，用1，2，3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
这个问题相当于把3个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？由式（1.9）可知，共有种放法. 事实上，百位上可以从1，2，3三个数字中任选一个，所以有3种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有两种放法；而个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法. 因此，共有3×2×1=6种放法.
这6个不同的三位数分别是：123，132，213，231，312，321.
对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的排列次序与标准次序不同时，就称为有一个逆序. 一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数.
一般地，n个自然数1，2，…，n的一个任意排列记作pp…p，12n如果比p大的且排在p前面的元素有ττ个，就说元素p的逆序数是τ.全iiiii体元素的逆序数之和
即是这个排列的逆序数.
例1.4 求排列43512的逆序数.
解 在排列43512中，4排在首位，逆序数为0；3的前面比3大的数有一个“4”，故逆序数为1；5是最大的数，逆序数为0；1的前面比1大的数有3个，即“4，3，5”，故逆序数为3；2的前面比2大的数有3个，为“4，3，5”，故逆序数为3；于是这个排列的逆序数为τ-0+1+0+3+3-7.
逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列. 如例1.4中的排列43512就是一个奇排列.1.2.2 对换
为研究n阶行列式的需要，我们再来讨论对换的概念以及其与排列奇偶性的关系.
将一个排列中任意两个元素的位置对调，其余元素不动，而得到一个新排列的过程称为对换. 若对换的是相邻的两个元素，则称为相邻对换.
排列43512可由排列34512进行一次相邻对换得到，也可由排列13542进行一次不相邻的对换得到. 可知排列34512和排列13542都是偶排列，而排列43512是一个奇排列，可见进行一次对换（无论相邻与否）将改变排列的奇偶性. 可得出下面的基本事实：
定理1 一个排列进行一次对换，排列改变奇偶性一次.
证 先证相邻对换的情形.
设排列为a…aabb…b，对换元素a，b，变为a…abab…b.1l1m1l1m显然，a…a；b…b这些元素的逆序数经过a，b对换后并不改变，1l1m改变的只是元素a，b的逆序数，当a
再证一般对换情形.
设排列为a…aab…bbc…c，将元素b作m次相邻对换，变成1l1m1n排列a…aabb…bc…C，再将元素a作m+l次相邻对换，变成排列1l1m1na…abb…bac…c.于是可知排列a…aab…bbc…c经2m+1次相111m1n1l1m1n邻对换变成排列a…abb…bac…c，所以这两个排列的奇偶性相1l1m1n反.
推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.
证 由定理1知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列（逆序数为0），因此，可知推论成立.1.2.3 n阶行列式
为了给出n阶行列式的定义，先来回顾一下三阶行列式的结构. 三阶行列式的定义为式（1.8），即
容易看出：（i）式（1.8）右边的每一项都恰是位于不同行、不同列的3个元素的乘积. 因此，式（1.8）右边的任一项除正负号外可以写成.这里第一个下标（行标）排成标准次序123，而第二个下标（列标）排成ppp，它是1，2，3这3个数的一个全排123列，这样的排列共有3!=6种，对应式（1.8）右边共有3!=6项.（ii）各项的正负号与列标排列的对应情况：
取正号的三项列标排列是：123，231，312；
取负号的三项列标排列是：132，213，321.
易知前3个排列都是偶排列，而后3个排列都是奇排列. 因此各项τ所取的正负号可以表示为（-1），其中，τ为列标排列ppp的逆序123数.
于是，三阶行列式可以写成
其中，τ为列标排列ppp的逆序数，∑表示对1，2，3这3个数的123所有排列ppp对应的项求和.123
以此类推，可把行列式推广到n阶的情形.2
定义1 设有n个数，排成n行n列的数表
作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积τ并冠以符号（1），得到的项形如
其中，pp…p为自然数1，2，…，n的一个全排列，x为这个排12n列的逆序数. 由于这样的排列共有n!个，因而形如式（1.10）的项共有n!项. 所有这n!项的代数和
称为n阶行列式，记作
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