作者：许铁
出版社：电子工业出版社
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机器学习vs复杂系统试读：
作者简介
许铁以色列理工学院机器学习在读博士、巴黎高等师范学院物理与复杂系统硕士、cruiser创始人，在知名神经科学期刊发表过论文。序
人工智能是大势所趋，这一主题也成为街头巷尾人们热议的焦点。本书作者的写作初衷是希望能在一个更大的视角下看待人工智能这个技术性的学科。虽然人工智能的技术更多用于工业界，但是其产生的根源，却与人类用数学模型探索世界和自己大脑本身的历程密不可分，因此，本书希望在这个大背景下，从高度跨学科的视角切入人工智能这个大主题。
人人都想预测未来，但是无论科技多么发达，预测未来依然是困难的，比如股市、自然灾害、一个月后的天气预测等，都很难做到精准。究其根本原因，在于无处不在的复杂性。复杂系统这门学科可以帮助我们理解复杂性产生的根源。
大数据时代，数据已成为人们最大幅度减少这种不可预测灾难的工具。然而过度信赖数据，往往会让我们陷入一种新的迷信，或者埋没在噪声里。
算法，主要包括现在流行的机器学习和深度学习算法，可以帮助我们最大程度地从数据里提取信息、剔除噪声，这也成为目前人工智能的基础。从另一个角度看，即从人类智能本身来看待这个问题，会让我们对机器学习和深度学习的本质有着更新的理解，并发现两者内在的相似性，同时看到机器的算法和人脑的算法这两种相似性的根源，即世界本身的复杂性。
本书内容涉及机器学习基本方法、非线性动力学、复杂系统、随机过程、神经网络等正在深刻改变世界的学科，讲述人工智能和复杂系统的基本原理，以及它们是如何影响我们日常生活的方方面面的：小到微信里的语音识别，大到我们到底能不能预测经济危机或金融危机。
我们希望用化繁为简的笔墨，带领读者逐步理解这个大视角下的核心概念，掌握进入更多细分领域的语言和思维体系。我们的使命不是涵盖这一宏大领域的所有知识点，而是希望引发读者的兴趣，去寻找和了解这一激动人心的领域的更多进展。
本书既适合具有高中以上数学知识的一般读者，可作为他们了解人工智能和复杂系统领域的科普读物； 也适合利用业余时间充电，正在自学人工智能的工程师，作为他们搭建框架和进入专业领域的开胃菜； 还适合已经在人工智能领域从业的专业人士，使他们从工程视角以外的更大视角去看待这一领域，获得新的启发。读者服务
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页面入口：http://www.broadview.com.cn/34410第一部分复杂性1复杂系统
何为复杂（阅读难度★）
复杂系统用来阐述模式的产生。现实生活中模式无处不在，例如，同类型的商店往往比邻而居；分久必合，合久必分，热恋过后不是分手就是回归平淡。甚至那些我们不认为是模式的，比如生命过程本身，其实都可以看作自然界中模式涌现的过程。这些模式往往可以归结为组成系统的个体通过简单相互作用达到某种非同寻常的集体的现象，复杂系统用动力学的思想阐述了这一过程的发生。（1）系统可以被分解为比自身简单许多的个体。市场→人，生物→细胞。但是个体和系统之间却呈现了完全不同的属性，用完全不同的特征描述。比如，人具有的生物属性是吃喝拉撒，而由很多人组成的社会系统，就具有了国家、政府、交易市场等这些特征。（2）个体之间的相互作用反过来受到系统制约。比如，人与人交换物品，需要依靠共同的媒介——钱，而依据的标准是大量交易行为中涌现的价格。这些制约因素往往是在个体的相互作用中自发涌现的。这些制约可以看作一种宏观秩序或者组织，使得相隔遥远的个体通过它联系起来。
一些非常简单的个体之间的相互作用规则就可以诞生出非常复杂的宏观范式，这一现象最早受到物理学的启发。一个里程碑式的模型被称为ising模型，这个模型利用不同条件下简单晶体的演变阐述了最复杂的物理问题——相变，在后面会继续介绍。（3）系统与外界环境的作用可以用信息的流入和流出描述。复杂系统在外界信息发生变化时的反应是描述复杂系统属性的根本，很多能够稳定存在的复杂系统都具有相对外界环境自发调整自己结构的能力。
最典型的复杂系统的例子就是股市，大家都想预测股票价格，但是很难预测，这是因为股票价格本身即是大量交易者买卖之间涌现的一种宏观秩序，它与公司的业绩并不明显相关，公司业绩对股市的影响更像是进入交易市场这个复杂系统的一个外部信息，外部信息影响交易者的心理但不决定他们的行为，最终股票的价格是由交易者间的相互作用（博弈）决定的。如果要研究股市，更多的是研究如何根据交易者所透露的蛛丝马迹推测其可能的行为。即使你能够跟踪每一位交易者，也由于上述几个原因，股市依然很难预测。
金融市场的不确定性的根本来自于复杂系统，这使得我们常常低估风险。比如次贷危机，我们依据的假设很多时候是把市场看作独立作用的部分，每个部分的风险是独立的。事实上市场的每一部分并没有独立，正是它们之间的互相关联导致次贷危机的。
为何复杂（阅读难度★★）
复杂系统的复杂，是由哪些因素影响造成的呢？
作用（关联）
不是单体的特性，而是单体是如何相互关联形成组织的。因为这类系统共同的特点是长程关联。关联往往导致1+1＞2 或1+1＜2，或称为非线性。市场中出现的价格是受网络相互作用导致的，我们都受到邻居的影响（Herding Effect），相互作用非常重要。比如，神经元就是通过相互作用构成神经网络来处理信号的。
相互作用使得物理系统无法轻松地由整体拆成部分，非线性即其根源，那么还有什么方法可以解决这个问题？
一旦这种相互作用的维度增加，就会产生一个新的现象，即混沌。混沌说的是由于系统内自由维度的增加，系统的动力学属性不再归于闭合轨道，而是开放或成为不可预测的轨迹，初始条件的轻微变化在未来的影响远未可知，想想真是脊背发凉。
相互作用导致协同效应。两个人在一起可以是1+1＞2，也可以是1+1＜2，但基本不会是1+1=2，前两者可以看作非线性的体现。比如为什么会有公司，那一定是某种合作导致1+1大于2的效应使得公司可以产生。
反馈
复杂系统多用于描述一个系统的时间变化过程，比如市场价格的波动、神经网络随时间的活动等。研究这个时间变化过程，往往要考虑此刻的结果对下一刻系统输出的影响。股市的反身性就是反馈的一种。
反馈分为正反馈和负反馈两种，负反馈导致定点平衡态，正反馈导致不稳定性，如雪崩、股市崩盘等。在所有复杂系统中，都有正反馈和负反馈两种状态。反馈带有回路的概念。一个单元通过相互作用传递给另一个单元，反过来另一个单元又可以把信息传递回来。反馈往往是指此刻活动对下一刻活动的影响，比如市场价格。市场价格永远围绕均衡波动，价格高，导致市场买的人变少，买的人少后又导致价格降低，这是典型的负反馈。负反馈把系统维持在稳定位置。dx=-x，这是负反馈。
相变
这是复杂系统的第三个重要特质，而且是组织形成的核心。当系统主导反馈的性质发生变化时，则经历一个相变。
相变在自然界和社会中无处不在，自然界中的相变既包括冰和水之间的转化，也包括磁铁从一种相到另一种相的变化。物理中相变的典型例子是磁铁的ising模型。
磁铁这个东西，并非总具有磁性。那么具有磁性和不具有磁性的磁铁有什么区别呢？
磁铁有两个相，一个是组织成分均匀一致（有序）的状态，另一个是无序而混乱的状态。虽然它们都是由铁原子构成的，但铁原子只有在有序排序时才会产生磁性。当需要对外发挥一种作用时，就需要齐心合力，而无序的铁原子使得每个磁针的磁性相互抵销了。
这里就建立了相的概念。而相变，就是通过外部变量使得整个系统从一个相到达另一个相的过程。相变理论是复杂系统研究的重要对象，我们知道，磁铁有的有极性，有的没有极性。研究磁铁极性变化的模型被称为ising模型，说的是paramagnetic（无磁性）到ferromagnetic（有磁性）的变化。这里影响一个系统相变的主要因素有两个：一个是熵（无序性，系统信息的缺失），另一个是某种趋同的效应。
在铁磁物质里，每一个原子都有极性，平行排列的原子具有指向相同方向的趋势，而熵无序时则破坏了这种效应，两种力量互相争夺。在较高温度下，熵的作用占主导；而较低温度下，有序的趋同的力量占主导。在某个温度下，磁体的原子从无序的状态过渡到完全有序的状态。在完全有序的状态下，整个磁体就显现出对外的磁性。
这里，我们可以控制的外部变量就是温度。温度越高，熵越大。当温度为0时，系统自由能最小的状态是一致有序的态，温度升高，无序的态的自由能逐渐减少，直到某个点，成为更有优势的态。类似的还有水到冰的相变，也是在某个温度上，无序和有序交替，这称为临界。所谓临界，就是相变时候的状态，因为这个时候最为特别。临界点上的系统属性特别复杂，统计上我们经常会看到肥尾分布或类似肥尾的分布，这样的分布无处不在，比如股市价格波动、工资分布（帕累托）等。
临界极为重要，为什么？
因为系统在临界点上的属性特别复杂、丰富且有趣，而且，更重要的是，大部分和我们息息相关的系统事实上都在某种程度上处于临界态（或靠近临界态），包括大部分的生物系统和经济系统。
更多关于临界态的内容，可以参考《大自然如何工作》这本书，知乎上的大 V傅渥成的回答。“此外，所谓涌现，是在刚才讲到的作用、反馈以及自组织临界基础上得到的，系统从微观到宏观，性质而非数量上‘从零到一’式的改变。”
最简单的例子是路，所谓人走得多了就成了路，森林中交错的小径是大量人走过所涌现出的一种现象。涌现性和相变点也有千丝万缕的联系，有兴趣的读者可以关注自组织临界（Self Organised Criticality）的理论，去查看更多这个领域的知识。
复杂系统的元素很多，而且元素之间均有相互作用，最好的刻画方法就是复杂网络。2用复杂网络看世界经济（阅读难度★）
图2.1描述的是一个叫作产业森林的念。产业森林描述了一个由种类繁多的农业和工业产品组成的关系网。每一个产业即网络里面的节点，就像产业森林里的一棵树，例如图上标出的谷物、采矿业、电子产品等。这里说的是，如果把这些产业描述成复杂网络的一个点，那么我们会对这件事有一个全新的理解。
如何把产业和复杂网络联系起来呢？首先，要做出一个网络结构，我们必须有距离和连接的概念。事实上，不同产业之间不是孤立的，这里所说的产业之间的相似度，其实就是构成它们的技术或生产资料要素的相似性。我们可以规定超过一定相似度阈值的两个产业就可以被联系起来，这样，即可得到不同节点两两相连的矩阵，画出来就能得到产业的复杂网络图。
森林中心是高级工业品，森林边缘是农产品和原材料等。森林中心树木密集，而森林边缘树木稀疏。值得注意的是，树木密集的地方树木间也更盘根错节（连接密集），而树木稀疏的地方连接也越来越少。在森林的边缘，有些树木基本就是孤立的，比如说奶牛生产。这个图颇像城市的交通图，市中心路网交错，而到了郊区的小村，基本就到了路的尽头。图2.1
这个网络如何理解？
第一，每个产业间的连接刻画出了两种产品间在生产过程中的联系，外围的产品是内侧产品的原材料，当然内侧产品也可以给外围产品提供服务。第二，连线的颜色对应两种产品的相似度。何为相似度？这个概念可用来刻画生产它们时需要的生产要素的相似性（如劳动、技术、资本……）。例如，梨和苹果的相似度就很高，如果一个地方适合栽种梨树，那么它也往往适合栽种苹果。因为梨和苹果的生长要素差不多，同样的气候和土壤，都需要大量劳动力投入。节点的颜色被用以描述产业的大类，比如资本密集型都用蓝色（图2.2中的⑦）表示，劳动密集型都用蓝色（图2.2中的⑧）表示。节点的大小代表年交易量，如图2.2所示。图2.2
重新回去看产业森林的图，就会立刻明白，森林的边缘树木稀疏而中心树木繁密（树木的间距即产品的相似度，相似度小则间距大，注意树木的间距是用颜色表明的，原图见下载资源）。边缘的树木果实稀少（小圆，贸易量小），而中心的树木硕果累累（大圆，贸易量大），石油产业除外。
换句话说，这张图对全球的所有产业都做了一个聚类，越靠近中心的产业附加值越高，边缘的则与之相反。
这样一个网络结构究竟有着何种重要意义呢？传统理论认为这样的一个结构图没有什么用，因为条条大道通罗马，只要经济在积累，总有机会到达果实丰硕的森林中心。
而复杂网络理论则告诉我们一个完全不同的故事。首先，一个企业往往用它所占据的较为优势的产业来表示。一个企业的发展，被称作从森林的某些位置向其他位置跃迁的过程。可以把企业比喻成产业森林里跳越的猴子，它可以从一棵树跳向另一棵树（产业升级）。当然猴子的目标都是朝着果实丰硕的中心去的。以往的文章往往重视研究猴子，如果一个猴子长期无法到达中心，一般认为是猴子的问题。一个预先的假设是猴子只要跳得足够好，总能从一棵树跳到另一棵树并到达森林的中心。
下面我们从森林的结构来阐述为什么有的猴子能够到达森林的中心而其他猴子不行，因为森林的结构是很重要的制约因素。
网络的性质至关重要，因为有些网络结构，任何一个猴子经过足够长的时间都可以到达森林的中心；而对于另一些网络，猴子能否到达中心，则完全取决于它初始所在的区域，在某些区域，即便它有三头六臂也无法到达森林的中心。
前面提到过，森林的边缘树木如同独立的孤岛，而中心的树木密集（产品相似度大），如同大陆。猴子的跳跃能力是有限的，猴子从森林外侧向中心跳跃不是一件容易的事情。当猴子所在树的周围树木过少且树木间距过大时，猴子就无法跳到下一棵树上。森林中心的猴子可以很轻松地在树木之间跃迁并摘取丰美的果实，而边缘的猴子则没什么选择。
另外一个发人深省的现象是猴子能否进入森林的中心和它所在的初始位置以及它选择的跳跃方向十分相关。如果它开始所在的位置恰好树木间距不太大，而且存在能够到达森林中心的道路，那么它将很有机会进入中心，反之则很难。即便如此，如果一只猴子没有选择好方向，不小心跳到了独木上，四周没有其他树，那么它被困在那个地方的概率就很大。这里其实也有不少例子，当然只考虑森林的结构肯定是偏颇的，但森林的结构的确是很多例子背后的隐藏变量。
图2.3和图2.4是产业森林的局部截图。从图2.3可以看到，劳动密集型工业（汽车制造）和电子产品工业是一条由森林边缘通往中心的捷径，品种繁多，相距很近。从图2.4中我们可以看到热带作物（咖啡和可可）一直处在森林的边缘，与森林中心差距较远（仅橡胶与工业品联系较密切），各种热带作物间也距离较远。图2.3图2.43风险管理策略之复杂科学视角
黑天鹅效应
曾经一段时间，主宰统计世界的是一个叫作“高斯分布”的函数，它的英文“normal”含有正态、标准之意，说的是决定事物整体性质的是它的平均，比如说你可以用1米7代表整个中国人的身高。基于高斯分布的各类数学工具主宰着庞大的金融帝国上百年，却成为21世纪初金融危机的罪魁祸首。这背后的缘由，正是复杂性主导的黑天鹅效应。
在黑天鹅出现之前，天鹅湖里的天鹅都是雪白，你可以想象那种天蓝色的湖面上飞起千万只白天鹅的感觉，远远看去如同乞力马扎罗的雪。于是我们把白当成天鹅的标志，以趋于100%的概率预测天鹅皆白。直到有一天湖面上飞过一只纯黑的天鹅，宛如来自世外，但它却打碎了我们的白天鹅之梦。从而我们明白，在生物世界里特例才是本质，而不是平均。特例总会以比你预想的还要大的概率出现，而把之前的理论打得粉碎。
经典物理的世界是平均数的世界，细节和特例都可以滤掉。但一旦进入生物主导的领域，它们就变成了王道。
在进入混乱的生物世界之前，我们先来看一下高斯定律主宰的“白天鹅之舞”。
高斯定律与大数定理——平均的力量
我们经常用平均数表达事物的总体状况，对于做统计的人，平均数几乎成为信仰，我们往往已经忘记了这种信仰背后的基本假设——高斯分布，只有在我们统计的事物呈高斯分布时，平均数才能够代表事物的属性。
预备知识：加和等于平均。平均数的运算依赖于把很多的数据相加后除以数据的个数。样本在平均数附近的偏差大小用标准差表示。经典理论告诉我们，样本的容量越大，平均数就越能代表所研究的群体，图3.1所示的高斯吊钟曲线，中间的竖线指代平均数，底下的小横杠标注的是标准差。图3.1
高斯定律让我们看到了加法的威力。对于一个随机事件，比如掷骰子，虽然每一次取得的结果从1到6完全无法预测，但是如果掷一万次，把每次掷的点数加起来就能得到一个可以被越来越精确预测的数。这个结果可以被一条高斯曲线描述，它具有两个特征量：平均数和标准差。平均数描述总体趋势，而标准差则告诉你不确定性的大小。随着加数的增多，标准差在平均数面前越来越微不足道，直到可以忽略不计，或者说通过无穷加和，一个随机事件成为确定事件，我们越来越精确地得到平均数。这条法则叫作大数定理（Law of Large Number)，如图3.2所示。图3.2
我们看到随着样本总数N的增加，钟形曲线越来越瘦（对平均数的偏离减小），想象一下，当 N 无限大时，我们就会得到一条竖线：代表我们以任意精度都能得到平均数，不确定性被消除。
大数定理的威力，在于它使得一个确定性的世界可以在庞大的不确定性之上产生。就好比明天太阳升起、春天花儿会开这种事，我们知道不发生的概率几乎为0，其实都源于高斯分布和大数定理。因为太阳升、花儿开是组成太阳和花儿无数的原子和分子共同作用的结果，一旦沾上“无数”“共同作用”，大数定理就可以精确地保证事物一定会发生。
正态分布和大数定理是所有确定性的根源，因为我们的可见世界就是无数不确定的微观因素不断加和的结果。
对于细节重要性的启示：它告诉我们当决定事件的因素足够多、试验的次数足够大时，微小的细节不再重要，因为它们在巨量的加和中被平均掉了。
不过不要高兴得太早。
高斯定律背后的陷阱
A.细节因素要独立
看上去有点抽象，其实说的是那些加数组成事物的要素不能私下暗自沟通，例如，如果你认识的所有女性私底下串通起来说你很好或很坏，那么你约会的人的数量不会超过理想平均数，因为所有的女人其实都取得了和你最开始约会对象一样的想法，你得到的只是放大的标准差，你第一次约会里的随机性被放大成为一生的结果。初始条件的影响被放大，正如亚马逊森林的蝴蝶扇扇翅膀，引起大西洋上的一场风暴。
B.时间平移不变形
举个简单的例子，如果你投掷的时候骰子被人换掉了，变成一个加了机关的骰子，每一面都是一点，而且后面又经常被时不时地换掉，那么你永远得不到稳定的平均数。如果你仍是按照高斯定律做加法，指望最终会赢得平均数给定的钱数，那么被骗的概率就很大。
大数定理是我们认识随机世界的基础，它告诉我们确定性如何从偶然性的基础上浮现。但是它就如同牛顿第一定律和理想气体模型，光滑水平面和无相互作用的基本粒子在真实的生物世界如同幻影般不存在，虽然我们的确在某些时候会得到一些趋近的情况。
黑天鹅效应与幂律分布
高斯定律和大数定理保驾着庄严的理论物理世界，在这里，好好学习就能天天向上，灰姑娘一定会遇到王子。但是，黑天鹅还是摧毁了童话。
黑天鹅的本质是个体对总体、细节对全局产生决定性影响。当湖面出现一只黑天鹅时，整个天鹅群体的属性就发生了变化，一个纯白的世界霎时变成中灰。当然，这里更多的是看到特例的影响。
用高斯的正态的观点来看，黑天鹅出现的概率本来可以忽略，因为我们之前已经统计了巨大的白天鹅样本，但黑天鹅还是出现了，是我们的运气特别不好吗？错。但错的不是你，而是正态分布。
在生物世界里，主导的是幂律分布（Power Law），其实它也正如power的英文原意，与权利和财富有关（见图3.3，帕累托分布局部决定整体的象征，Mandelbrot Set分形结构的代表）。幂律分布的数学表达式简洁无比，不同的幂律分布只体现在幂指数的不同上。它与高斯定律的本质不同在于，高斯正态分布下那些概率小到可忽略的事件，在幂律分布下却没有那么罕见。在幂律分布的观点下，黑天鹅的出现是可以理解的。罕见的黑天鹅不仅来到，而且决定着全局。图3.3
局部的特征与全局特征具有自相似性，幂律正是它的数学表达。此处由于篇幅所限，不再继续，感兴趣的读者可自行查找资料。
高斯分布与幂律分布的对比如图3.4所示。幂律分布最显著的特征是它的长尾，表示那些在高斯分布下的微小概率事件并非那样罕见。图3.4
严重偏离平均值的事件在幂律分布下不再是偶然，并且掌控全局。例如，帕累托指出的社会财富的二八定律，20%的富人掌握80%的财富，这个少数赢家通吃（Winner Take All）的规律几乎统治着市场经济下的各个领域。还有生态系统里面的大鱼吃小鱼，鱼的尺寸也是幂律分布。它们均体现了在这些体系内元素间存在的全局关联，你我互吃构成的因果链。幂律分布在经济学中的显现就是帕累托分布。
为什么黑天鹅影响如此之大？现代物理中的相变理论给出了震撼有力的答案。下面用一个具体的例子点明——雪崩。雪崩是山顶大面积的雪体坍塌，本来要推倒一座雪山几乎是不可能的事情，雪崩符合经典的黑天鹅事件的定义，按常理几乎不会发生，一旦发生即致命。为什么在现实中我们会经常听到雪崩的事故呢？因为雪崩的诱因与它的影响相反，非常的微小，可能是一粒小石子打到雪山上，或者一个人在喊话，这些诱因没那么罕见。这些微小因素在绝大多数情况下都对雪坡毫无影响，但是在一种情况下，即雪体的临界状态，就会发生雪崩。
临界状态是一种脆弱的平衡状态，维持雪体凝聚在一起的力量和使雪体瓦解的力量几乎相等，但是只要天秤稍微倾斜便万劫不复。你在庞大的雪坡上投一粒微小的石子，石子的作用力不是被局部的雪体吸收，而是扩散到整个雪体，如同压死骆驼的最后一根稻草，使平衡整体倒戈。
临界状态使得黑天鹅成为决定性的力量。
雪崩理论的核心是临界状态下细节的作用被无限放大（正反馈）。一个本来只限于局部的小因素在临界状态下扩散到全身。雪崩的理论遍布各个领域，例如地震、股市崩盘、金融危机。
在一场势均力敌的战斗中，任何个体微小的作用都可以被放大并左右战局。比如在一场两边力量均等的拔河比赛里，某支队伍的一个成员手机响了，他一慌神松了口气，而这一效应又导致慌张情绪在全队蔓延，结果由于一个手机铃响而输掉了一场比赛。所谓丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士； 伤了一位骑士，输了一场战斗； 输了一场战斗，亡了一个帝国。越是势均力敌的高手比赛，越要拼运气。
生命洪流的本质是一种特殊的相变，因此与生物有关的事情，包括生物的历史和我们人类的历史以及我们每个人的一生，都发生在临界状态，那个小小的雪崩的状态，那个不可预见的细节决定了全局的状态。既然明天还活着，黑天鹅就会起飞。这对我们日常应对风险的策略，具有深刻的启示。
主动应对风险（阅读难度★）
世界如此多变，我将何以应对？
庞大的计划有用吗？No，试错万岁
如果让你回到过去重新玩一遍人生，一般人都会提出我可以怎么样，那就无敌了。如果按你想的那样来是否更好，我不确定。但可以确定的是，一定没有多少人觉得自己的生命是按照一条最优轨迹进行的。我们的生命过程就像一个盲人摸象的过程，无论站在哪个时间点，你的信息量都非常有限，根据非常局部的信息做出最优选择的机会几乎为0。庞大的世界，复杂的历史，我们都捆绑在自己的路径上，在黑暗里瞎摸。
面对这种情况，最好的办法就是不停试错，任何过度思考和过度计划都是多余的。
本来就是一片黑暗，多想只会耗费心神。你应该通过快速摸索，增加你对周边信息的把握。每一次错误，你都可以根据它矫正你对世界的判断，这样，几轮之后，你得到正确选择的概率将会大大增加。
复杂系统的随机性和非线性，导致我们对它的预测无能为力，物理里称之为混沌。三个物体的相互作用就可以出现混沌，更不要说由无穷多非线性元件组成的复杂系统了。南美洲的蝴蝶扇扇翅膀，就可以引起北美的一次风暴。
一个利用试错进步的典型例子是市场经济。
市场经济把经济活动的自主权还给个体，虽然每个个体都不是很聪明，但是它们都有一个特点，知错就改，唯利是图。它们所主宰的经济，试错和纠错能力都是超强的。其结果是，短时间内资源分配就接近了最优化，虽然还有点波动，但仍超过世界上最厉害的经济学家的预测能力。
市场经济是反脆弱的，每一次意外的小概率事件，即黑天鹅事件发生时，它都可以调整过来，并且变得更加成熟，自由市场调节平衡的能力十分惊人。
另一个利用试错进步的典型例子就是生物系统。
生物系统可以算是已知的最复杂的系统，大自然在创造它时，并不需要一个精密的计划表，而是用一个笨办法，即选择算法。第一，生物系统可以通过变异无限试错；第二，只有能够适应外界变化的个体才可以把它的基因传给后代。两个简单的办法，加上一定的运算时间（进化史），就产生了无比有效却能够抗击各种自然灾难的生物体。
无论是经济系统还是生物系统，都是系统内的自由单元通过不断试错进步的，自由单元本身不知道下一刻的命运，而系统整体却坚定地迈向光明。如果束缚了系统内个体的自由，则试错的威力无以发挥。因此管理这些系统时，唯一该做的就是维护这种自由。
大自然的算法，你也能够掌握，生活中的进化算法就是多给自己些选项，多准备些备胎，然后快速试错，积累经验，稍作改进，继续试错，继续改进……
以无常对无常，要用不同幅度调整自己
复杂性告诉我们，世界是高速变化的，而且这种变化往往无序且不可预测。如果你想跟着世界变化，那么你永远是落后的。因为当变化的趋势路人皆知的时候，也是趋势将要变化，新一轮无常开始要肆虐的时候（看看股市）。因此，个体在面对环境变化的随机性时，要主动寻求变化，以动制动，在运动中搜索信息，调整步幅。
自然界应对无常环境进行的一种典型运动方式是先确定一个大的区域，然后做小范围的改变（试错），如果得到的反馈信息是不利的，就快速做出一系列大幅度的调整，直至达到一个比较有利的位置，这样的变动周而复始。这是一种应对无常最佳的适应方法。如果环境丰饶，则不失良机。反之，又不至于因过分执着于不够好的机会而被困死。
一个典型的例子是鲨鱼觅食。鲨鱼在鱼类丰富的环境进行小步伐的随机游走，只要不停地游动就可以吃到最多的鱼。但当鱼类相对不足的时候，鲨鱼就会进行大步伐的跃迁，这种跃迁也是随机的，却具备一次改变较大的特点。小步伐的随机游走比较容易穷尽开采一个地方的资源，但不容易到达较远的地点，而大步伐的跃迁却有利于开发新的领地，寻找新的食物来源。
自然环境对生物来说就是食物分布，最大的特点就是不均匀，要么大量来（自助餐），要么什么都没有（大饥荒），而这种变动往往不可预测，这就是鲨鱼选择这种觅食策略的原因。即小范围调整试错，若是找不到食物，就走一大步。
总结：自然界的变化幅度灵活多变，人也可以具备这种特点，先给自己制定一个大方向迈出去，在一段时间稳住这个方向后再进行小范围的自由调整，当发现趋势变化的苗头或者觉得自己走错了时，就大步伐改变。
对特别犹豫不决的人还有一个不错的故事。
在《反脆弱》这本书中有这样一个例子：一头驴子又饿又渴，前面是一条河，后面是草原，但是都要跋涉一公里。它犹豫不决，就好像二力平衡下的物体，死路一条。这个时候，唯一能够解救它的是随机走一步。结果朝哪里近，就去哪里。这就是随机运动的美妙，整个宇宙都可以理解为在随机运动下导致对称破缺（有序产生）的过程。
用否定法抓大放小，否定最致命的，放开其他的
在无常的世界里，每一个未来事件都最好看作一个分布函数，而我们一定要注意的是那些最致命的结果，如果最致命的不出现，活着就有机会等到胜利！
一些人总是拼命地注意小节，桌上任何东西都要摆放好，却忘记了关煤气灶。注意每个小节会消耗大量能量，过于注意小节反而可能疏漏那些致命的威胁。因此我们应该按照风险的轻重缓急来相应地分配注意力。
事实上，对于复杂系统，我们只需管理某些对系统产生核心影响的事件，而对其他事件放任，让自然来管理。
抓大放小，就是在能量有限的情况下，专注于做重要的事情。若是把精力过多地放在微小因素上，就会无暇顾及核心因素。而微小因素往往会在恰当的时候自发解决（比如一些不重要考试前夜的疯狂补习）。老子所说的无为而至，就是指大自然早已给我们设计好了节能优化模型，把一些事情交给自然，剩下的事情才可以尽力到底。
把握复杂系统，让它朝着人为意志方向往往适得其反，但是否定一些最坏的东西却是切实可行的。例如，在选择配偶上，每个人都应该问自己，最不能接受对方做什么？如果这恰恰是对方无法避免会做的，就可以确定不该在一起，至于其他的小的坏习惯则可以置之不理。
杠铃策略——风险对冲
前面谈的策略都是比较消极被动的，好了，现在是我们主动出击，反向利用“无常”和分布函数进行获利的时候了。
什么是杠铃：两头重，中间轻，其实它就是无常的化身——幂律函数的缩影。幂律函数有两个特点：一个是“大头”，另一个是“长尾”。大头是较高频率，但影响微小的事件，而长尾则是较低频率，但对系统产生重大影响的黑天鹅（积分发散），在长尾理论中被经常提到的幂律函数如图3.5所示。图3.5
杠铃策略，就是同时把握大头和长尾，利用分布函数获利。这和中庸法则恰恰相反，中庸法则是远离极端，而对冲则是利用两个极端的综合博弈实现平衡。
下面利用复杂系统的非线性动力学分别介绍弱杠铃策略，以及仅仅利用分布函数形状的策略和强杠铃策略（杠杆原理）。
弱杠铃策略：风险组合
最简单的应用莫过于高风险和低风险事件的组合。比如，一个人应先有一个稳定的职业，然后再去做一些高风险的投资。
人是无法承担无限风险的，一个领域的风险，总要由另一个领域来吸收。如果你找一个风情万种的法国美女做老婆，那么你很可能就要承担被戴绿帽子的风险。相反，如果找了吕后那样稳定持家的老婆，那么你就可以在事业上挥霍或冒险，因为总有个安稳的后方。
比如要做一件有压力的大事，那么你就需要一些特别简单的爱好让你能够在工作之余吸收进去，那个大事和无聊的爱好恰好是哑铃的两端。另一个典型的例子是如果生活特别枯燥，比如常和数字打交道，那么就需要做一些疯狂的事情释放，看看《华尔街之狼》就明白了。
总之，当你人生从事的事业中包含了具有相反极端属性的事情时，那么你就可以在风向逆转的时候通过对杠铃另一端的拥抱得到解救。
杠铃策略的另一个典型应用是人的知识结构，最有效的知识结构亦呈现幂律分布，专一的技术是头，广博的知识是尾。专一技术是人立足江湖的必杀技，但是在很多特殊的关键时刻，广博的知识又起决定作用。在巨大的未知性面前，仅有专一的技术往往是脆弱的，就像溺水的电脑专家，决定他命运的不是电脑技能，而是是否会游泳。
幂律之所以广泛存在，也在于其自身结构具有符合造物法则的反脆弱性。好比历史总是由少数杰出人物引领的，而多数人民提供基础，两个条件缺一不可。
强杠铃策略之杠杆原理：风险对冲
笔者从金融上的对冲基金得到启发，总结了一个较强版本的杠铃策略——对冲法。前面的风险组合强调互补，而风险对冲则强调相反相成。简而言之，就是一种事物的风险，恰恰构成另一种事物的机遇。杠铃一端的损失就是另一端的收益，当一端向下时，另一端恰好向上，好比跷跷板，也好比杠杆。聪明人利用这个杠杆，把生活中向下的波动转成向上波动的契机。
对冲的基础其实是事物的非线性，如果你同时买入分布两端的事物，而这两个事物又存在反向关联（当A下降时，B有上升趋势，或反之），最关键的是，这种关联是非线性的（A 的下降不等于 B 的上升，下降总是小于上升），一端小的下降总会引起另一端较大的提升。
如果哑铃两端的事物具有凸函数的关联性，即A的减弱引起B的上升，而B的减弱又引起 A 的上升，并且两种变化的和呈上升趋势，那么同时买入这两种事物，我们就实现了风险对冲，或者说反脆弱性。因为在任何情况下你的获利都为正。
让我们看看对冲基金是怎么操作的，对冲者同时买入一个行业内较优和较略的几只股票的卖空期货（当股票的跌幅大于预期时，就收益），这就是笔者所说的占据分布的两端。当行情见长时，较优股票的收益将大于较略股票卖空的赔损；而当行情见跌时，略等股的卖空收益将高于优等股下跌的损失，从而实现风险对冲。
如果你发现一对具有反向相关性的事物，而且这种相关性具有凹函数性质，那么你就可以做一笔好买卖，因为凹函数有在波动中受益的本性。
例如，假设李白成了宰相，那么很可能少了一位文学泰斗，而多了一个我们不知道的唐朝宰相；失眠的时候就博览群书，那么很可能就成为了一个有智慧的人；事业不顺找一大堆朋友喝酒，然后叫了一大堆好友一起创业很可能就成功了。
笔者做一个大胆的推测，这个世界能被记住的所有成功者都是通过某种杠铃对冲成就的。
懂得在生活中使用对冲法则的人从不会焦虑或者为任何事情沮丧，无论是失恋还是创业失败，因为你永远不知道上帝明天为你准备了什么，只要你自己不对生活说No！
这也是我认为丰富广博比专于一处更好的原因，因为要想利用杠铃法则，实际上需要动用的是你的全部知识、爱好和所有的积累。如果你只有一种技术，那么你就是个一头重的杠铃，只能在自由落体中显身了。
最后引用《反脆弱》中的第一句话：风会熄灭蜡烛，却能使火越烧越旺。
归零思维
有一个一般的规律，人拥有得越多就越害怕失去，从而进入一种守成心态，而这正是人的脆弱性。拥有得越多，在风险中可以丢失的东西往往会多于随机中的获益，正如一艘满载财宝在风雨飘摇中的船。而相反的情况则是，当你所处的位置较低时，向下空间有限而向上空间很大，波动性造成的平均收益为正。想想那些一无所有的人，往往无所畏惧——奴隶可以丢掉的只有枷锁。当然这不是说都去当乞丐，起码要把自己的心态归零，是有帮助的。正如乔布斯说的：Stay Hungry, Stay Foolish。
博览群书
博览群书是最佳的获取反脆弱性的方法。因为恰当地使用杠铃策略直接依赖于你知识的广度，但并不是书呆子似的死读书，而是要恰当地把握一类事物的轮廓和精要，而非死缠烂打。因此最好是每一种学科都有所了解，但并非读那种特别有深度的书。例如，若只是想了解哲学就没有必要读完一整套纯粹理性批判类的书。当然，你的专业除外。
宽以待人，有容乃大
宽以待人，其实也体现了反脆弱性。因为，即使自己不总是占便宜的那个，造成的损失在较长时间来看也并不算什么。但是不宽容别人或斤斤计较所造成的损失，或因此失掉的机会，往往是致命的（尤其在信息时代）。因此宽容和博大的气度，具有很高的反脆弱性。
实用理想主义
杠铃策略之一就是实用主义和理想主义的结合。最优秀的理想主义者，往往要奉行最强大的实用主义原则，理想和实用就是杠铃的两端。
懂得杠铃主义的人会把一些事情用最大的实用主义解决，然后就可以无忧无虑地搞理想。比如大学考试，对于无心学术圈的人，他们如果能够巧妙地把成绩控制在60分，就比努力得到80分的人聪明，因为一旦大学结束，用20分换来的“其他技能”往往会帮他们做成自己想做的事情。4从物理角度看复杂
非线性动力学，是用物理学的思维理解复杂系统问题的一座丰碑，也是非常有前途的工具学科，它为大数据时代提供了潜在的分析引擎。
为什么说非线性，因为物理之外的系统大多数不能用线性系统表述（详情请见《动力学是如何做预测的》）。
动力学的核心使命是预测系统的变化，非线性动力学的核心使命也是如此。一个经典的非线性动力学系统具有标准的表述形式：
预测一个系统的未来，你需要知道它在微小时间尺度里的性质并列出动力学方程。
x是一个向量（vector），它所具有的分量个数即系统的维度。
维度是动力学系统的最基本属性，它决定了系统的复杂性，以及其可能具有的基本性质。还有，我们有多大把握预测系统的未来。
高维空间绝非只存在于宇宙之边（广义相对论）或者加速器的深处（弦论），而是你我的生活中处处皆是。
本篇笔者将从低维到高维的顺序，用图形的思维，讲述复杂性是如何随着维度的升高而产生的。
最简单的系统是一维系统，预测一个一维的非线性系统，往往只需抓住一个关键性信息——定点。
维度，动力学和生活（阅读难度★★）
马尔萨斯人口论合不合理？
18世纪末，在工业革命前夜的英国，一个叫作马尔萨斯的伟大思想家提出了这样一个困扰了人类几个世纪的问题：人类的人口呈指数增长，而食物的总量至多成代数增长，所以当人口的增长超过食物时，人类将不可避免地陷入饥荒、疾病和战争。而普遍性的贫穷，是人类文明的宿命。
这个理论解释了为什么许多古代文明陷入发展停滞的泥沼，例如埃及。
马尔萨斯的理论，其实诠释的是一个叫作Fix Point（定点）的动力学概念，即在一个复杂系统里，事物的增长往往不是线性的，而是存在一定的稳恒状态，系统的变化会逐步减速并自发地把自己维持在这个状态上。
这样的现象在生活中不胜枚举。比如说小孩子长高到一定程度就不长了；你在网上发状态，开始有很多人点赞，但在一定时间后减速直至停止。
非线性动力学用定点来描述这种现象。为什么定点普遍存在？因为负反馈的普遍存在。当一个事物向一个方向走得太远时，就往往有一种反方向的作用力把它拉回，有点像我们所说的物极必反或阴阳相抵。
马尔萨斯的人口论符合一个叫作Logistic Model的经典一维动力学模型，它也因它那美妙绝伦的S曲线而闻名。
这个模型说的是，在没有环境压力的时候（人人吃饱饭）人口的增长率是恒定的，所以如果第一年是2，那么第N+1年即为2的N次方（几何增长），但是一旦人口接近环境的阈值，就会有人开始饿死，而这个饿死的比例会随着人口的增长而增大（负反馈）。这样，当饿死的人的数量等于出生的人的数量时，两个此消彼长的要素就在某个点上平衡了，即所谓的定点。
反映在数学上，就是这样一个微分方程：
人口的变化取决于两个相乘的因子，一个描述增长 （rN），一个描述饥饿（1-K/N）。定点，就是使微分（人口变化率）为0的点，当人口数恰好处在这个点上时，就会不增不减。
这个定点具有一个更深刻的性质，无论人口一开始是多少，只要 K给定，系统就会趋于一个相同的值。这个值由环境本身的容量所决定。
这个微分方程的解是一条优美的S型曲线（Sigmoid Function），如图4.1所示。它的身影在自然界中比比皆是，反映了自然生长的一般规律。图4.1
马尔萨斯的确是一个有着深刻洞察力的思想家，他在没有任何这些数学概念的时候发现了这一原理。当人口的增长达到一定限度，大规模的饥荒和战争将使人口增速变慢，从而实现大自然的平衡。
定点的稳定性
动力学里最重要的概念之一是定点，但是定点本身却只有很少的信息，更关键的性质来自于对定点周围区域的分析，或者说定点的稳定性。
在一些情况里，定点好像是系统变化的宿命。起点是什么并不重要，你不需要担心输在起跑线上，只要你起跑了，就会到一个地方——定点。而在另一些情况里，定点虽然存在，但是只有在极特殊的条件下才能达到，类似于逆袭。逆袭是有的，但是要有极好的运气和相当高的智慧才行。即使你达到了这样的定点，稍有风吹草动也会失去它。
我们用一个被称作稳定性的概念来描述这一特性。稳定性描述的是系统处在定点周边的状态，它是比较容易进到定点还是离开。
一个典型的例子是单摆，单摆的微分方程有两个取零的点，但是你通常看到摆处在最低点却极少有机会看到一个处在顶点的单摆。原因很简单，单摆的低谷是稳定定点，而高点是不稳定的。除非你一开始就静止在最高点而且排除任何外力，否则最轻微的偏离就可以导致单摆回到稳定的最低点。
从物理的角度很容易理解一个定点是稳定的还是不稳定的，只需要稍微离开定点，看一下系统的运动情况，看看系统在定点的相邻区域里的运动趋势怎么随位置变化的。而这翻译成动力学语言就是在定点周围进行泰勒展开，并取一阶线性近似（在一维得到一个线性的斜率，高维就是雅可比矩阵的特征值）。如果在定点周围的运动趋势指向定点（线性的斜率为负，雅可比矩阵特征值为负），则定点在局域内稳定，反之则不稳定，如图4.2所示。图4.2
注：定点的稳定性，取决于泰勒展开的不为零的第一项的正负。图4.2的左图为稳定平衡，右图为不稳定平衡，虽然均为定点，但周边性质迥异。
稳定性，换一个词叫吸引力。一个稳定性定点，就像一个区域的主人，它能把进入其辖区内的所有人都吸收到它的点上。它所管辖的区域，称为Basin of Attraction。它是强韧性的代表，无论你怎么干扰它，迫害它，结局都将归于它。找到 Basin of Attraction 是利用定点预测系统的必备条件，给定一个系统，如果它的初始位置处在Basin of Attraction，那么它必归于定点。
不稳定性呢，就是脆弱性的代表了，任何环境的风吹草动都能结束它表面的美丽。
最强的定点具有全局稳定性，即无论任何初始条件，系统都将趋于这样的定点，这样的系统就是高度可预测系统。
很多系统往往是一个稳定点和一个不稳定点成对出现。比如刚才的人口模型，人口为0就是一个不稳定平衡点。当人口为0的时候，它可以永远为0，但只要系统的人口增长了1，它就会趋于定点K，掌控系统除0之外所有区域的稳定点。
判断简单系统，抓住定点就是抓住了命门。
二维系统与振动
请先看下面几个问题：
为什么振动普遍存在？
为什么自由竞争的结果往往是垄断？
如何理解经济周期的运行？
解决这些非常基本的问题，我们需要一个二维的动力学系统。二维可以描述比一维丰富得多的现象，正如同物理学从描述两个物体的相互作用开始描述了世界。
一维的系统往往归于单调的定点，而二维系统的主角却是振动，也是人类几千年来描述自然最有利的工具。
看看我们周围，从自然到人类，世界可以看作一部不同频率振动组成的交响曲。四季周而复始，太阳升起落下，我们的呼吸、脉搏、心跳、新陈代谢，生命的更替，经济系统的周期涨落等，几乎有运动的地方，就有振动。
为什么振动的形式如此广泛地存在？其实是因为定点的广泛存在。振动就是围绕一个确定状态的上下波动。就好像希腊神话里痛苦的西西弗斯，把石头推上山，可它却滚下去，然后他又推上山，他想让石头停在山上不动，但却做不到。
为什么振动如此普遍，非线性动力学之父庞加莱给出了一个神一样的定理：Poincare-Bendixson Theorem。
条件如下。（1）2D：你有一个二维的动力学系统。（2）Continous：系统连续可微。（3）Confined：动力学流在一个区域内封闭。（4）No Fix Point：在此区域内定点不可达到。
结论：
该区域内的动力学流将收敛于一条闭合轨道（等价于圆）。
翻译一下，相平面的闭合轨道=周期性运动=振动。这个定理告诉我们，有限二维系统里的运动形式只有两种：（1）平衡态（归于定点）,（2）周期运动。不存在其他情况。有限指的是系统不会无限取值或发散。由于自然中负反馈的普遍存在，因而这一条一般是满足的。这条定律解释了振动普遍存在的根本原因，因为它是二维运动的范式。
作为一条以拓扑学为根据的定理，它标志了人类思维的新形式，即拓扑思维。这种把各种不同形式的系统归于空间里的拓扑研究的思想，是一种超越性的思想。它标志了数学在解释世界的能力上的新高度。从此，我们对世界的认知，取决于我们对几何空间的拓扑性的归类。那些能够归于同一拓扑结构的系统，都具有相同的动力学本质，即使它们的物质组成各不相同。因此，拓扑的思维具有高屋建瓴，以一敌百的特性。
庞加莱定理告诉我们，二维动力学流不是流向定点，就会形成闭合轨道。
这条定理确立了非随机的二维系统的绝对可预测性，二维系统没有混沌。
当你发现振动，你就去找系统里有没有两个关键性的动力学变量，并且观察这个系统是否有稳定的平衡态（如果没有，则往往预示存在一个无定点的闭合区域），这样的方法非常有效。
能量守恒系统的振动
经典物理的振动核心在于能量守恒，无论是弹簧的振动、单摆，还是电磁波。
对这类系统的传统解法是对微分方程进行积分得到运动的轨迹，但是利用一些动力学的基本知识我们也可以完全不用积分就能了解它的运动性质，如图4.3所示。图4.3
下面以单摆为例。首先，把微分方程写成标准的二维动力学系统形式，即体系内有两个动力学变量：角度和速度。
然后，寻找定点（动力学流为0），显然是θ=0,v=0。
看看定点可不可以达到。只要能量不为0的系统都不可以，因为θ=0,v=0，意味着系统能量为0。
根据能量守恒定律，能量不为0的系统无法到达这个点。
最后，系统是否在相平面里封闭？是的，回复力-sin（θ）起负反馈的作用，根据能量守恒定律，θ和v均在有限区间取值。
因此，系统在相平面内做圆周运动，如图4.4所示。图4.4
单摆在相平面的圆周运动（右）对应其在真实空间的振动（左）。只要把握了相空间的性质，无须解方程也可以了解运动的性质。
注：如果系统内有摩擦力，能量守恒不再成立，则系统具有稳定点。x=0,θ=0，依然符合庞加莱定理。系统如果不再振动，则归于定点。
当然，经典物理的例子基本是不太重要的，动力学的威力要在更复杂抽象的系统里显现。
能量不守恒的开放系统里的振动
当一个系统有能量流入流出时，我们称之为开放系统（为与能量守恒的保守系统区分），对于一个二维的开放系统，庞加莱定理依然成立，系统若不归于平衡，则步入永恒的循环。
这样的系统比比皆是，神经细胞周期性的电震荡、心脏的跳动（心肌细胞的电震荡引致）、宏观经济运动的周期等。这类问题，显然具有比两个多得多的变量，但是如果把关注点集中在它们进行周期运动的时间范围，往往可以抓住两个关键性变量，从而用二维动力学系统的知识来解决。这体现了物理的核心思维：Reductionism（简化，抓住主要矛盾）的应用。
例如，在经济周期的问题里，两个关键性的变量是国民收入与资本存量。对于神经细胞，关键性的变量是电位和疲惫指数（放电导致的疲惫）。
注：黑格尔的辩证法说，正是矛盾导致变化。翻译过来，就是当系统有两个相互制约的变量时，就会引起永恒的振动。抑或说，Poincare-Bendixon原理就是辩证法的数学精确表达。
一个最典型的例子依然是延续我们关于物种数量的故事，刚才讲到一维的人口模型里人口将达到定值，而事实上，自然界中的物种数量却是震荡变化的，为什么？
要想解答这个问题，就需要讨论两个物种共存的情况（二维）。试问下面的问题，在一片草原里生活着狮子和羚羊，狮子吃羚羊，羚羊吃草（假设无限），假设一开始物种数量是均等的，那么后来两个物种的数量变化会是怎样的呢？显然，两种物种间有相互作用，狮子的存在依赖于羊（简单的想法是羊肉变成了狮子），而羊的数量因为狮子而减少。如果没有狮子，羊的数量增长就符合之前的S曲线。
这个系统可以用一个Lotka-Volterra 方程的经典二维动力学系统表述：
这个方程极为容易理解。系统的两个变量一个是羊的数量（x），另一个是狮子的数量（y）。第一项描述羊的自然生长率。第二项描述羊被吃的数量，x和y的乘积决定了两个物种相遇的机会，所以羊被吃的速率正比于 xy。相应的，狮子可以理解为由羊肉转化出来的，所以其增长率正比于捕获的羊数量（方程二第一项），方程二最后一项描述狮子的死亡率。
那么，如何预测两种物种数量变化？首先进入相平面，我们看到系统的流形（每一点的微分（dx,dy）构成一个向量，画出箭头犹如流体力学的流速线）。然后我们分析定点，二维系统里含有两个微分方程，如果一个微分方程为0，例如dx=0，我们将得到一个代数关系 x=k·xy.在相平面里这对应一条线，即Nullcline。在这条线上，第一个变量处于平衡态。同样的，我们可以找到变量y的Nullcline，对应相平面的另一条线，这两条线如果有交点，即二维系统的定点，或者说系统的平衡态。
但本章讨论的是稳定性而非平衡态本身。
这个问题可以很容易找到四条Nullcline和两个定点：一个是（0,0），另一个是第一象限中的（a,b）。（0,0）代表两个物种都灭绝了，这种情况是羊死光了才可能出现。假设狮子死光了，那么羊就会无限增长（远离定点）。
在相平面上，就表现为动力学流沿着y轴（对应羊死光的情况）收敛为0，而沿着x轴（对应狮子死光的情况）发散，如图4.5所示。图4.5
这一现象的隐含含义是（0,0）点在x方向上是不稳定性定点，而在y方向上是稳定性定点。这种在一定方向上收敛，而在另一些方向上发散的定点，被称为Saddle Point（鞍点），因为三维空间的势能曲面形如马鞍而得名，如图4.6所示。图4.6
再看看第一象限内的定点（a,b），它描述两个物种数量互相制约的平衡状态，看似是一个合理的结局。当狮子和羊的数量达到平衡时，这不就是生态平衡吗？如果这样想，那么就是停留在初中生物课本了。在这个定点周围找几个点，通过画出（dx,dy）的箭头即可知道，它们都不是朝向这一点，而是围着这点转圈。利用庞加莱大法可知，系统将永不能陷入这个点。而是围绕这个点形成闭合轨道，即振荡。系统的两个物种的初始数量只要不是有一个灭绝或恰好开始就匹配平衡，就都将形成一个振动变化关系。
狮子和羊在固定系统里的数量里周期震荡。图4.7中上图为相平面，下图为两个物种数量随时间的变化关系。
整个生态学可以用动力学语言描述。其核心议题，即生态系统的稳定性，正是动力学最擅长分析的内容。
Lotka-Volterra 系统在经济学中也有重要应用。凯恩斯学派用以解释劳动雇用率和资本的周期震荡。这一理论把资本对应为狮子，而劳动雇用率是猎物，两者总是不能自发地处于定点（100%雇用率），而是进入周而复始的震荡状态。
甚至整个凯恩斯的理论可以放入一个简化的二维动力学系统。生产和需求作为一对互相追捕却永远捕不到对方的对手，将陷入不停歇的振动状态，即经济周期。它导致经济运行不可避免的在一定时间走向低谷。
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