作者：周治宁
出版社：北京大学出版社
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数学物理方法习题指导试读：
前言
本书是编者在北京大学物理学院等院系长期进行数学物理方法教学（包括课堂讲授和习题课教学）所积累资料的基础上编写的．在教学中，我们使用了郭敦仁教授编著的《数学物理方法》和武仁所编写的《数学物理方法习题集》，以及吴崇试编写的《数学物理方法》．在编写本书过程中，也参考了许多高等院校的相应教材．
多年来，学生也常常问我们为什么不出一本习题解答．我们的想法很简单，我们不希望学生在学习和做习题时受到不必要的束缚，更希望他们能充分发挥自己的主观能动性．在多年的教学实践中，常常能找到这样的例子，一个班甚至同一宿舍的学生，对同一道习题能够给出多种不同的解题方法．这正是学生们在学习中所展现的聪明才智和独立思考的能力．鉴于当前形势的变化，学生面临的新知识面大大增加，而学习时间相对减少；面临的择业面大大增加，所掌握的知识需要更加灵活；另外，从因材施教的角度看，可以对不同的学生有不同的要求．这些就是推动我们编写这本书的原委．我们希望这本书能够起到“抛砖引玉”的作用．
本书各章按内容之间的联系安排了一定的顺序，但也尽量保持各章的独立性．每章的内容包括三个部分：
1．内容提要．这一部分我们尽可能简明扼要地列出本章的主要内容，使其能作为手册使用．
2．典型例题分析．例题的选择有易有难，尽量覆盖本章的主要内容，并尽量提供多种解题方法，不同的方法用仿宋体的方法一，方法二，……引出．有一些例题作了详解，而有一些却只给出解题的主要步骤，给读者留下一定思考余地．
3．习题．大部分沿用了武仁编写的《数学物理方法习题集》中所收集的题目．但在编排上基本与吴崇试编写的《数学物理方法》中每章的习题一致．有一些习题在典型例题分析中已经演算过了，但在习题中仍然给出，可供有兴趣的读者自行练习比较．
在内容提要和典型例题分析两部分中用楷书字体排印了三个部分的内容：
1．讨论．主要是给出一些需要强调的内容和概念，一些值得引申和推广的方法，也有一些是提醒读者注意容易出错的问题．
2．思考题．将一些值得引申和推广的方法留给读者自己去思考练习．
3．有一些解题方法用到了后面章节才会讲到的内容，为避免读者阅读的困难，故特殊标出．
本书的内容包含了参加本课程教学的许多教师长期积累的成果，也有一些来自历届学生的作业．编者在这里谨向他们致以谢忱．
书中第一至第五章、第七章由钟毓澍编写，第六章、第八至第十三章由周治宁编写，第十四至第十九章由吴崇试编写．全书由周治宁和吴崇试共同修改审定．
本书在选题上尽量照顾到了各种不同读者的需要，它应能适合广泛的读者使用．
由于编者水平所限，错误不妥之处，欢迎使用本书的师生与读者不吝指正．编 者2004年8月于北京大学第一章 复数和复变函数内容提要一、复数及其运算
1．定义：若一对有序实数（a，b），遵从下列基本运算规则：
加法 （a，b）＋（a，b）＝（a＋a，b＋b），11221212
数乘 c（a，b）＝（ca，cb），c为任一实数，
乘法 （a，b）（c，d）＝（ac－bd，ad＋bc），
则称这一对有序实数（a，b）构成一个复数．
设有复数α＝（a，b），有时也记作α＝a＋ib．其中，a称为α的实部，记作a＝Reα，b称为α的虚部，记作b＝Imα，i＝（0，1），称2为虚单位．有结果i＝-1．
2．复数的三种表示（1）代数表示：α＝（a，b）＝a＋ib．（2）几何表示：
a．在一平面上取直角坐标系Oxy，将平面上的点（a，b）与复数α相对应，点的横坐标对应复数的实部，点的纵坐标对应复数的虚部，称此平面为复（数）平面．
b．在复平面上取极坐标系，代表复数α的点（a，b）到原点的距离为复数的模．该点的极角θ＝arctanb/a＝argα称为复数的辐角．显然有关系
α＝r（cosθ＋isinθ），
此式又称为复数的极坐标表示或三角函数表示．
由三角函数的周期性，可知，复数的辐角是多值的．辐角改变2π的整数倍，所代表的复数不变，即
α＝r（cosθ＋isinθ）＝r［cos（θ＋2nπ）＋isin（θ＋2nπ）］，
其中n＝0，±1，±2，…．
c．在复平面上作一自由向量，其长度为｜α｜，方向为argα，起点任意．它就代表了复数α．称之为复数的向量表示．iθ（3）指数表示：利用欧拉公式e＝cosθ＋isinθ，可得复数的指数表示为iθ
α＝re．
3．零点和无穷远点
这是两个特殊的复数，在复平面上也是两个特殊的点．0点表示模为零，辐角任意的一个点，即坐标系的原点．∞“点”表示模为无穷大，辐角任意的“一个点”．
4．复数的运算（略）．二、复数的区域
1．内点：在一个复数的点集中，以某一点为圆心作圆，只要半径足够小，使得圆内的所有点都属于该点集，则称此点为该点集的内点．
2．区域：是一个点集，它全部由内点组成，且具有连通性，即点集中的任意两点都可以用一条折线连接起来，折线上的点都属于此点集．
3．边界点和边界：边界点不属于区域，但以它为圆心作圆，不论半径多小，圆内总含有区域内的点．边界点的全体构成边界．
4．开区域与闭区域：区域又称为开区域，区域与边界一起构成闭区域．设有区域G，其边界为C，则G＋C构成闭区域，记做．三、复数序列
1．复数序列：按一定顺序排列的复数z＝x＋iy，n＝1，2，3，nnn…，称为复数序列，记为．
2．聚点（极限点）：给定序列，若存在复数z，对于任意给定的ε＞0，恒有无穷多个z满足｜z－z｜＜ε，则称z为的一个nn聚点（或极限点）．
3．波尔查诺－外尔斯特拉斯定理：一个有界的无穷序列至少有一个聚点．
4．极限：给定序列，若存在复数z，对于任意给定的ε＞0，总能找到一个N（ε）＞0，使当n＞N（ε）时，有｜z－z｜＜ε，n则称z为极限．或称敛于z．记为
极限是序列的唯一聚点．反之亦然，若序列存在唯一聚点，则此聚点就是序列的极限．
5．序列收敛的柯西充要条件：任意给定ε＞0，存在正整数N（ε）＞0，使对于任意的正整数P，都有
｜z－z｜＜ε．N＋PN四、复变函数
1．复变函数的定义：设有复数区域G，如果对于G内的每一个z值，都有一个或多个复数值w与之对应，则称w为z的函数，这就是复变函数，记为
w＝f（z），z∈G．
因为z＝x＋iy，所以
w＝f（z）＝u（x，y）＋iv（x，y），
一个复变函数只不过是两个二元实变函数的有序组合．
2．复变函数的连续性：设函数f（z）在z点的邻域内有定义，0且，即∀ε＞0，∃δ（ε）＞0，使当0＜｜z－z｜＜δ0时，恒有｜f（z）－f（z）｜＜ε，则称f（z）在z点连续．00
若函数f（z）在区域G内的每一点都连续，则称函数f（z）在区域G内连续．典型例题分析
例1.1 复数运算（1）化简复数；（2）求实部、虚部、模及辐角．
解（1）方法一：
方法二：i（π／2＋2kπ）（2）因i＝e，k＝0，±1，±2，…，辐角是多值的，所以
显然，对应于不同的k它有两个不同的值，取k＝0，1．
当k＝0时，，有
｜w｜＝1， ，n＝0，±1，±2，…．0
当k＝1时，，有
｜w｜＝1，，n＝0，±1，±2，…．1
例1.2 证明复数的下列不等式：（1）｜z｜－｜z｜≤｜z±z｜≤｜z｜＋｜z｜；121212（2），其中z＝x＋iy．
证（1）证法一：直接从复数相加减的平行四边形法则来证明．
如图1.1，为z，为z，则为z＋z，为-z，则12122为z－z．12图 1.1
根据三角形中两边之和大于第三边，有
AB＋BC≥AC，AB＋BD≥AD．
即得
｜z｜＋｜z｜≥｜z＋z｜，1212
｜z｜＋｜z｜≥｜z－z｜．1212
根据三角形中两边之差小于第三边，有
AB－BC≤AC，AB－BD≤AD．
即得
｜z｜－｜z｜≤｜z＋z｜，｜z｜－｜z｜≤｜z－z｜．12121212
综合起来得证
｜z｜－｜z｜≤｜z±z｜≤｜z｜＋｜z｜．121212
证法二：直接用复数的运算性质来证明．
因与互为共轭复数，相加后为实数，即
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]