作者：《高等数学》编写组
出版社：石油工业出版社
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高等数学 下册(第三版)试读：
《高等数学（下册）》编写组
主编：刘瑞楼（渤海石油职业学院）
赵向（天津石油职业技术学院）
王玉臣（天津工程职业技术学院）
参编（按姓名拼音排序）：
黄自立（西南石油大学应用技术学院）
靳永山（天津石油职业技术学院）
孔琳玲（渤海石油职业学院）
李萍（渤海石油职业学院）
刘荣旺（天津工程职业技术学院）
孟凡伟（东北石油大学秦皇岛分校）
齐万春（天津石油职业技术学院）
余明智（西南石油大学应用技术学院）
张兰芳（天津石油职业技术学院）
张蓉（天津工程职业技术学院）
张建军（西南石油大学应用技术学院）
第三版前言
本书根据教育部最新制定的《高职高专教育高等数学基础课程教学基本要求》编写而成。
2007年10月，第一版《高等数学》下册在各石油高职院校的合作下诞生了。经过几年的教学实践，于2010年10月对此书作了第二次修订。但随着各高职院校招生规模和学生情况的不断变化，教材中有些内容需作进一步的调整。2012年8月，石油工业出版社再次组织几所高职院校对本书进行修订，以便使教材更能适应新形势的需要。
这次修订，充分吸收了多所院校一线教师的意见，对一些内容重新作了调整。一是将上册中的级数一章放到了下册中；二是对一些章节进行了拆分和重组，以方便教学计划的安排；三是对习题进行了优化和调整，将一些难题删掉，新增加了一些习题，并按“从易到难”的原则重新编排了习题的顺序；四是对一些选学内容加上了“*”，各院校可根据实际来加以选择；五是对第二版教材中的错误进行了修改。
笔者希望通过本次修订，使教材更加完善，更加切合教师的使用和学生的学习。
本书的主编是渤海石油职业学院的刘瑞楼、天津石油职业技术学院的赵向和天津工程职业技术学院的王玉臣。渤海石油职业学院的刘瑞楼、李萍、孔琳玲编写了第五章；天津石油职业技术学院的赵向、靳永山、张兰芳、齐万春编写了第三章和第六章；天津工程职业技术学院的王玉臣、张蓉、刘荣旺编写了第一章和第七章；西南石油大学应用技术学院的余明智、张建军、黄自立编写了第四章；东北石油大学秦皇岛分校的孟凡伟编写了第二章。
本书在修订过程中，笔者虽然尽了很大的努力，但由于水平所限，难免会有错误和不妥之处，恳请各位读者批评指正。本书的出版始终得到石油工业出版社的大力帮助，在此深表谢意。《高等数学》编写组2012年11月
第二版前言
2007年10月石油工业出版社出版了《高等数学》下册，经过三年的教学实践，我们认真总结了原教材在使用中存在的问题，并对其进行了修改，以便使这一教材更能适合广大高职高专院校的使用。
这次修订充分吸收了一线教师的意见，并反映了所在院校的特色和学生的实际情况，具体工作如下：（1）章节内容的调整和删减。本着专科教材“以应用为目的，以必须、够用为度”的原则，删减、修改了一部分章节内容和例题。（2）习题的重新编排。在每节后安排了相应的习题，在每章后安排了复习题，这样更有利于教师组织教学和学生课后复习。（3）错误的修订。对本书第一版教材中的一些错误进行了修改。
希望本次修订，能使教材更加完善，切合教师的使用和学生的学习。
本次修订是由渤海石油职业学院和天津石油职业技术学院的老师们携手完成的。担任主编的是刘瑞楼（渤海石油职业学院）、靳永山（天津石油职业技术学院），副主编是齐万春（天津石油职业技术学院）、檀彦存（渤海石油职业学院），参加修订的还有赵向、刘立超、张兰芳（天津石油职业技术学院），李文国、廖化昂（渤海石油职业学院）。
虽然我们尽了很大的努力，但由于水平有限，本书仍会有些错误和不妥之处，恳请各位读者批评指正。编写组2010年10月
第一版前言
本教材根据教育部最新制定的《高职高专教育高等数学基础课程教学基本要求》及石油行业高职高专院校专业特点编写而成，可作为石油、化工等行业高等职业学校、高等专科学校、成人高校理工类专业的教材，也可供工程技术人员参考。
高等数学是石油等各行业高职高专院校各专业必修的一门重要的基础课程。它对培养提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学知识解决实际问题的能力都有非常重要的作用。学好高等数学不但是学好其他课程的前提，也是石油等行业工程技术人员所必须具备的基本素质。
经过多年的教学研究与实践，我们认识到石油行业高职高专院校的数学教育必须培养如下三方面的能力：一是用数学思想、概念、方法消化、吸收工程概念和工程原理的能力；二是把实际问题转化为数学模型的能力，结合数学建模突出“以应用为目的，突出石油特色、工科特色，以必须够用为度”的教学原则，加强对读者应用意识、兴趣、能力的培养；三是突出数学概念与实际问题的联系，结合高职高专的特点，适度淡化深奥的数学理论，强调了几何说明，结合具体内容进行数学建模训练，注重双向翻译能力的培养，进而升华为求解数学模型的能力。
本教材以培养学生的“创造能力和应用能力”为指导思想，把学生应用数学意识的培养贯穿于教材的始终，让学生学得生动活泼，使师生素质教育跃上一个新的高度。
本教材力求在实施素质教育的理论与实践研究上从定性、定量上进一步优化，并在部分专业上进行应用，突出石油行业特色，其最终目的是要探索出一套符合中国国情、中国特色的高职数学建模的理论体系（通过问题讨论，培养创新能力；通过问题的引申，培养创造能力；通过问题背景，培养创新能力；通过挖掘内部条件，培养创新能力），以数学建模为手段，激发读者学习数学的积极性，学会团结协作，建立良好的人际关系，培养相互合作的工作能力。以数学建模的方法为载体，使读者获得适应未来社会生活和进一步发展必需的重要数学事实（包括数学知识、数学活动经验）以及基本思想方法和应用技能。
本教材让读者变苦读为巧读，融会贯通课本知识，让读者对所学知识进行规律性的把握和思维能力的培养，让学生在社会主义市场经济条件下成为具有综合能力、素质的复合型人才。
本书的构架结构安排、统稿、定稿由史金海（河北石油职业技术学院）、李曰玮（渤海石油职业学院）承担，上册主编史金海，副主编黄杰（克拉玛依职业技术学院）、窦连江（天津工程职业技术学院），主审李晓民（河北石油职业技术学院）；下册主编李曰玮，副主编齐万春（天津石油职业技术学院），主审臧爱珍（天津石油职业技术学院）。参加高等数学（下册）编写的有：天津石油职业技术学院齐万春，渤海石油职业学院李曰玮、李文国、刘瑞楼、孔琳玲、窦连江。其中齐万春编写第一章、第二章，李曰玮、李文国、刘瑞楼编写第三章，齐万春、李曰玮编写第四章，李曰玮、孔琳玲、刘瑞楼编写第五章，窦连江编写第六章。本书的编写得到了各参编院校领导的大力支持和帮助，在此我们一并表示衷心的感谢。
由于编者经验不足，水平有限，书中问题在所难免，敬请读者和同行指正。编者2007年8月
第一章 空间解析几何与向量代数
向量是解决许多数学、物理及工程技术问题的有力工具.本章先介绍向量在空间直角坐标系中的表示，并用代数方法讨论向量的运算.然后以向量为工具，建立空间的平面、直线、曲面及曲线的方程.
第一节 空间直角坐标系与向量的概念
一、 空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
在空间中过定点O作三条互相垂直的数轴Ox、Oy、Oz，即建立了空间直角坐标系.各数轴的正向符合右手法则（如图1-1所示，当右手四指由x轴的正向转角度到y轴的正向时，大拇指恰好指向z轴正向）.其中点O称为原点，Ox轴、Oy轴、Oz轴分别称为横轴、纵轴和竖轴.任意两个坐标轴可以确定一个平面，称为坐标面，即xOy面、yOz面、zOx面，如图1-2所示.三个坐标面把空间分为八个部分，每一个部分称为一个卦限，分别用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.图1-1图1-2
有了坐标系，就可以建立数组与点的对应关系.如图1-3所示，设空间有一点M，在给定的空间直角坐标系中，过点M做三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，这三个平面与三个坐标轴分别交于P、Q、R三点.设这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标依次为x、y、z.于是点M就唯一确定了一个有序数组x、y、z；反过来，对给定的有序数组x、y、z，可以在空间直角标系中确定唯一的点M.把x，y，z叫做点M的坐标，用M（x，y，z）表示.
原点的坐标为O（0，0，0）.轴上点的坐标中，有一个坐标不为0，其余两个坐标都为0.坐标面上点的坐标有一个坐标为0，其余两个坐标都不为0.如，xOz面上的点C（x，0，z）.图1-3
例1-1 已知点M（1，-5，3），求：（1）与点M关于坐标原点对称的点M；1（2）与点M关于x轴对称的点M；2（3）与点M关于yOz平面对称的点M.3
解 由对称性和点所在卦限，得
(1)M(-1,5,-3);1
(2)M(1,5,-3);2
(3)M(-1,-5,3).3
2.空间两点间的距离图1-4
设M（x，y，z）和M（x，y，z）为空间两点，求M和111122221M之间的距离.2
过M，M分别做三个垂直于三个坐标轴的平面，这六个平面围12成一个以MM为对角线的长方体，如图1-4所示.12
容易看到，该长方体的各棱长分别为|AB|=|y-y|，|AC|=|x-x|，|2121AM|=|z-z|.根据长方体的对角线长的平方等于三条棱长的平方和，212于是有M和M之间的距离为12
特殊地，点M（x，y，z）和原点O（0，0，0）之间的距离为.
例1-2 求点M（x，y，z）到三条坐标轴的距离.
解 设点M在x轴上的投影为点P，则点P的坐标为P（x，0，0），且线段MP的长就是M到x轴的距离.由两点间距离公式得
同理可得，点M到y轴和z轴的距离分别为
二、 向量的概念
1.向量的定义
有大小又有方向的量，称为向量（或称为矢量），如物理中的力、速度、电场强度等.有大小而无方向的量，称为数量（或称为标量），如体重、面积等.
2.向量的表示
在几何中，用有向线段表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.
以A为起点，B为终点的有向线段所表示的向量记作，也可用一个黑体字母（书写时，在字母上面加箭头）来表示向量，例如a，b，c，…（或，，，…）.
向量（或a）的大小称为向量的模，记作（或|a|）.模为1的向量称单位向量.模为零的向量称为零向量，记作0.规定零向量的方向是任意的.
如果两个向量a与b的模相等且方向相同，则称向量a与b相等，记作a=b.起点可以任意选取而只由大小和方向决定的向量称为自由向量（简称向量），本书所讨论的都是自由向量.
如果两个向量a与b的模相等且方向相反，则称a与b互为负向量，记作a=-b.如果两个非零向量a与b的方向相同或相反，就称a与b平行，记作a//b.
三、 向量的几何运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b，如图1-5所示，任取一点A，作，再以B为起点，作，连接AC，那么向量就是a与b的和，记作c=a+b.
由于向量a，b，c构成三角形，故上述方法称为向量加法的三角形法则.具体运算时，可将向量b平移，使其起点与a的终点重合，则a的起点到b的终点的向量就是和向量c.
三角形法则可以推广到有限多个向量相加，如图1-6所示.当向量不平行时，任取一点A，作，，以AB和AD为邻边作平行四边形ABCD，连接对角线AC，那么向量就是a与b的和，记作c=a+b.如图1-7所示，上述方法称为平行四边形法则.图1-5图1-6
向量的加法满足：（1）交换律，即a+b=b+a；（2）结合律，即（a+b）+c=a+（b+c）.
2.向量的减法
把-b加到a上去得到两个向量a与b的差，即a-b=a+(-b)
一般地，向量减法的三角形法则为：
作，，则，如图1-8所示.图1-7图1-8
3.数与向量的乘法
设k是一个实数，k与向量a的乘积ka是一个平行于a的向量，且：（1）当k>0时，ka与a同向；（2）当k<0时，ka与a反向；（3）当k=0时，ka=0，方向是任意的.
显然，如果向量b平行于a，则b=ka.
设e表示与非零向量a同方向的单位向量，则.a
数k与向量a的乘积满足：（1）结合律，即k（ha）=h（ka）；（2）分配律，即（k+ h）a=ka+ha；k（a+b）=ka+kb.
例1-3 如图1-9所示，在平行四边形ABCD中，M是平行四边形对角线的交点，设，，试用a和b表示向量、.图1-9
解 由向量的加法，得
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]