作者：丁伟岳
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北大微讲堂：数学的发展与创新试读：
数学的发展与创新
作者：丁伟岳排版：辛萌哒出版时间：2018-01-01本书由北京大学音像出版社有限公司（2018）授权北京当当科文电子商务有限公司制作与发行。— · 版权所有 侵权必究 · —数学的发展与创新谢谢大家。非常高兴今天有机会同大家做一个交流。我是一个很普通的老师，没有什么特别的本事，当初还不如大家，因为我回来念研究生的时候，已经是33岁了，在座的恐怕没有那么大年纪的研究生了。还要声明一点就是我是个不会做演讲的人，甚至有点害怕做演讲。
原因大概跟我做数学有点关系，因为数学是一个非常严密的科学，所以影响到平时讲话，也追求严密、精炼——说多了就不严密了，言多必失，所以我现在就是有这个问题。说的好听一点叫做言简意赅，说的不好听就是讲话干巴巴，缺少情趣，可能不能满足大家的要求。另外可能讲的时间也不会那么长，因为讲到一定的时候就没什么好讲了。
好在我们有一个问答的环节，大家互动的问答我是比较愿意做的。现在这种讲法就是单向的，单向的交流不叫交流，互动才是真的叫交流。我们互动的时间可能会延长一点，讲的时间会稍微的短一点。
对于“才斋讲堂”我原来不是很了解，刚才听了王校长的介绍，我初步了解后觉得这是一个很好的活动，可以活跃大家的思想，开阔大家的视野，培养创新的意识。才斋讲堂的宗旨就是促进创新型人才的培养和创新成果的产出，所以我就选了这么一个题目叫《数学的发展与创新》。正好我在2007年的时候开过一门数学学院本科生的选修课《现代数学选讲》，里面的内容也是讲数学的一些历史的发展和创新的事例，当时我写了一个引言，主要是要表达课程的目的，今天我把这个引言作为本次演讲的开场白。
现在我们的教学方式以教科书的形式，强调了数学的系统性，逻辑性和技巧性，这些对于同学们学好数学的基本功是非常必要的。但是另一方面比较少的涉及数学发展的历史过程，特别是数学思想从个别到一般的发展过程。
数学概念和方法的发展总是从个别到一般，比如从一匹马三头牛到自然数的发明就是这样的，以后又逐步发现了整数，也就是把零和负整数加到自然数里面，就形成了整数、有理数、无理数、复数，这个过程就经历了几千年，最后才总结归纳出“数域”的抽象概念，到现在也有100多年的历史。所以，数学理论的发展往往要经过几代数学家的不断努力，“去粗取精，去伪存真”，最后才形成成熟的精确理论。例如大家下了很大工夫学习的数学分析，一开始是牛顿和莱布尼兹在前人工作的基础上总结出微积分的原理，这大概是在350年以前。在很长的时间内它被广泛应用于物理和天文，取得了很大成绩，可是它并没有建立在严密的分析基础上。到了19世纪初，柯西才开始建立严格的数学分析，给出“连续函数”的定义。现在我们教科书采用的“ϵ − δ”定义是魏尔斯特拉斯在19世纪中叶给出的。
我们的学习是一个相反的过程，是从一般到个别，从概念到问题，从公理到定理，从理论到应用，大体上可以叫做“演绎”的过程。至于这些概念和理论是如何产生的以及它们的发现过程，书上基本不讲，给人的印象是很神秘的。实际而言，数学的真实发展是从问题到概念、从个别发现到一般的定理，最终才形成一个系统理论。大体上是一个长期的“归纳”过程，所以从某种意义上说我们的学习是不完整的，只注重“演绎”，而不是“归纳”。我们希望今天这个课程对被忽视的部分补上一点，至少能引起大家的重视。
这里面讲归纳的历史过程，实际上就是讲数学家长期探索和发现、发明和创造的过程，或者简单地讲就是创新的过程。现在的教学实际上没有讲当初数学是怎么发展的、人们是怎么发现数学科学真理的？这实际上是一种缺陷。但是目前我们的教学形式是几百年一以贯之过来的，很难在短时间内改变。所以我希望同学们能够主动去追寻这些发展过程，从教科书里面多提一些问题，为什么这么做，为什么那么做，来弥补这种空白的缺陷。
杨振宁先生曾经讲过他的经历，他说他从1938年到1942年在西南联大学习的时候，学习的是一种“演绎法”：先有许多定理，然后再进行推演。到了美国芝加哥大学才发现，那里是倒过来的，是从现象出发归纳出来物理定理是“归纳法”。他认为要做好学问必须要把两者很好地结合起来。其实这个道理不仅是对物理学，而且对其他的自然科学也是正确的，对数学也是对的。
但是数学和自然科学有一个根本的不同，所有的自然科学，比如说物理、化学、天文、地理、生命等学科，都可以归类为“经验科 学”，它们的知识和理论必须建立于可以观测的现 象之上，而且必须经得起科学实验和实践的检验， 即所谓“实践是检验真理的惟一标准”。纯粹的数学则不然，它是从大家公认的一些概念和原则出发，这些原则数学里就称之为公理，这些原则经过时间的检验，一旦确立了以后，就从这些原则出发，按照严密的逻辑法则去推演出各种定理。数学命题，它实际上是不能用实验的办法去验证的，而只能通过逻辑推理来证明。
大家比较熟知的例子就是哥德巴赫猜想，因为陈景润很有名，到现在为止他做哥德巴赫猜想还是做得最好的，当然没有完全证明。这个猜想，就是说任何大于2的偶数是两个素数的和。这个东西是很简单的，很容易懂的。因为素数大家知道，只能被1和它本身整除的数，比如说2、5、7、11、13这样的一些数字。那比如说8就是3加5，3和5都是素数，那这个命题你可以去拿出无数的例子来去辩证它都是对的，你用计算机输入去验证它也是对的，但是它仍然不能成为数学家认可的定理，原因就是它没有被严格的证明。用数学推理的方法来证明，这是数学跟其他自然科学不同的地方。但是数学这种方法其实是一种分析，是思维的一种方法，也就是说你会发现通过数学的分析论证，很多复杂的现象最后可以归结为一些基本的原理。这一件事情如果做得好的话，就可以使你对复杂事物的本质比较容易地看清楚。就这个问题举一个例子，就是大家中学都学到的平面几何，基本的概念很简单，就是点线面这些东西，然后有一些公理，比如说过两点可以有一条而且只有一条直线通过。平面几何的定理有一些很难证明的事实、非常难的题目，最终它们都是建立在几条非常基本的公理上面的。
既然数学只能用严格的模具推理来证明，所以“严密性”对于数学就非常重要，因为它是检验数学真理的惟一方法。这种数学的“演绎法”在其他自然科学中也是很有用的。一个经典的例子就是牛顿，他在建立牛顿力学的时候，实际上是把牛顿三定律作为公理来处理的，牛顿力学一系列的理论都是从公理出发推演出来的。所以“演绎法”还是非常有用的。
但是只有“演绎法”的数学是死的数学，我们现在的授课当中教的差不多都是这样的数学，先有公理、证明定理，再给你很多的习题去做。为什么讲“演绎法”的数学是死的数学呢？因为虽然它可以用来证明定理，但是它不能告诉你一个定理是怎么发现的，更不能告诉你应该提出哪些数学问题、发展哪些数学的方向？所以说在数学中发现和发展过程中虽然“演绎法”功不可没，但是“归纳法”起了不可或缺的主要作用。实际上归纳法就是一种探索的过程，一种发现发明创造的过程。
而这些东西在我们的课程中其实是没有讲的，为什么不讲这些东西？有一个原因就是不好讲，你可以说应该怎么去思考，而给你一个具体问题你怎么去想，实际上是不好说的。这个本质的原因，我认为在于你讲不清什么是“归纳法”，讲不清什么时候去发明创造。人的思维过程，人的活动思想，这是一个非常复杂的过程。到现在为止，科学还没有办法解释清楚人是怎么思考问题的，比如说我们现在也有一些心理学、脑科学等等，可是你把它用来指导大家做发明创造是没有希望的。我们当然需要去研究它，但是实际上你会发现这件事情非常困难，因为有人的活动牵扯进来以后这个事情就变得的极其复杂。即便是两个同样非常有成就的数学大师，或者说是其他科学的大师，他们发明创造的东西都会有非常大的不同，所以说只可意会不可言传。我总结出来，就是你要懂得这个事情的一个办法，是向历史去学习、向数学大师或者是其他的科学大师去学习；当然文科里面也有很厉害的人物，马克思、恩格斯、凯恩斯，你要向他们学习。
每个人有不同的理解和体会，但是你至少要有一个愿望，如果连这个愿望都没有的话，很难想象你会真正做出好的发明创造。所以，当初这个课程的用意就是在这儿，希望大家能够动脑筋去想一想，我们怎么样才能够真正作出对我们国家非常需要、对我们民族非常需要、对我们人类也非常需要的创新成果。这件事情虽然我们讲了很多，但是过程还是非常困难，我想在讲座的最后还会回到这个问题，除了每个人要向大师们学习、向历史学习以外，我们整个的科研环境、文化环境也非常重要。如果没有一个良好的适合于创新的环境，创新人才很难涌现，这个是后话了，现在先不展开讲。
既然要向历史学习、向大师学习，我们就看一些数学发展过程中的一些比较经典的例子。
1. 问题的重要性：费马猜想
第一个例子就是费马猜想或者叫费马大定理。这个例子就是先要提出问题来，才可以做研究。问题的好坏其实影响蛮大的，费马猜想碰巧就是一个非常重要的问题，它对于数学发展的推动非常之大。它是数论里面的一个问题，讲出来也是很简单的，数论是数学很简单的一个学科之一，公元三世纪的时候，一个希腊的数学家丢番图写了一本书，专门讲数论里面各种各样的问题，其中特别讲到整系数的代数方程有没有整数解的问题，这种方程就是大家在中学很熟悉的二次代2数方程，假如说它的系数都是整数，比如说x+2x+2=0，这种方程有没有整数解？通过计算可以发现很多这样的方程式是没有整数解的,这种问题现在叫做“丢番图问题”。
那费马（1601-1665）是什么人呢？他是17世纪重要的数学家，可是他又不是一个专职的数学家，他本职工作是律师，数学只是他的业余爱好。结果他这个业余爱好倒成了使他扬名的事情，他提出费马猜想一直流传至今300多年，非常有名。那他的猜想是什么呢？写出来大家都能明白，就算你学文科也不要紧，因为你学过中学的代数。他的猜想就是：当n是大于2的整数时, 方程没有x, y, z全不等于0的整解。
如果你允许x等于0，这个问题就没有意思了，那就变成了那随便填一个什么整数都对了。所以x、y、z不能有一个等于0，那这种解到底有没有？费马在丢番图一本书的页边上写：我已经找到了一个极其美妙的证明，只不过这个页边太窄我没办法写出来。后世当然没有人相信，这个题目太难了，他怎么可能在那个时候就能找到这么复杂的证明过程，不可想象。
许多著名数学家都研究过这个问题，一开始他们只能一个一个地对个别的指数n来讨论这个问题。比如说费马本人就对于n=4的情况给出了证明，欧拉研究了n=3的情况，n=4是比较简单的情况，n=3就比较复杂。后面我们会专门讲欧拉是一个非常了不得的数学家，他在研究这个问题的时候有创新，他发明了一种新的“整数”，这种新的“整数”就是我写在上面的，它是一个复数，而不是一个实数了。如果a和b都是普通的整数，就把这种类型的数叫做新的“整数”，那我们现在知道这个实际上是一种扩张意义上的“整数”。但是当时根本没有这些概念，甚至连虚数都不被很多人接受的，但是他就用了这个东西，这是一个比较大胆的创造。他认为这个新的“整数”可以跟原来老的整数有类似的性质，就是叫“分解”的一种性质。比如说任何一个整数你会把它分解为素数的乘积，而且这种分解的方法是惟一的。比如说6=2*3，2跟3都是素数，10=2*5，2和5都是素数，这种分解是惟一的。后来他认为这种新的整数，把它分解为素数的乘积，也应当是惟一的，但是实际上并不惟一。
欧拉怎么会犯错误？因为虚数是一个很新的事情。这个错误非常具有启发性，不是平凡的错误。就是因为这个分解不惟一的问题，引起了后面一系列的数学的发展。在19世纪，比欧拉晚一两百年的时间里，德国数学家为了解决这个惟一性的问题，发明了理想数理论。在理想数理论的基础上又发展出了一整套代数数论，这些新理论使得费马猜想中60%以上的指数都可以证明是正确的，但是还是不能完整地证明。此后数学家为了研究丢番图问题，就把代数几何这个学科的观点和方法引进到数论的研究当中去，逐步形成了现在被称为算术代数几何的新学科，这是一个很复杂的东西，我现在也搞不懂。
总之，在不断的发明创新的过程中，到1994年，英国数学家怀尔斯（Wiles）接了最后的一棒，冲破了终点线。这不是一个人的工作，虽然怀尔斯很运气地闯了终点，但是前面的数以百计的数学家的努力不是可以忽视的。他解决这个猜想的时候离当初费马猜想提出的时候已经有300多年了。好多数学问题对于数学的发展非常重要，这个例子就是一个证明。
有一个故事是讲在19世纪末20世纪初的一个大数学家希尔伯特。在他事业顶峰的时候，大家对他非常推崇，认为他什么问题都能解决，所以就建议他为什么不把费马猜想给解决了，省得别人操这份心。结果他给了一个很巧妙的回答：为什么要把一个会下金蛋的鹅杀
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]