数学与逻辑(txt+pdf+epub+mobi电子书下载)

作者：于雷

出版社：清华大学出版社

格式: AZW3, DOCX, EPUB, MOBI, PDF, TXT

数学与逻辑试读：

本书包含欧美等西方国家进行逻辑思维能力训练时常用的七个方面的测试内容，即数学运算、概念与定义判断、逻辑判断与推理、言语理解与表达、数字推理、类比推理和图形推理。本书针对这些测试，详细介绍训练逻辑思维能力的题型、方法及一些解题技巧，并配以大量的练习题目来有意识地训练和加强我们的逻辑思维能力，使我们的工作、学习及生活更有规律性、目的性和秩序性。

本书适合广大青少年、学生阅读，尤其适合初高中学生，以及对数理化缺乏兴趣的孩子和想要改变思维方式、提高逻辑思维能力的年轻人阅读。前　言

逻辑思维属于高阶思维能力，被世界教科文组织列为16项学生应发展教育目标的第二位。2013年以清华大学为首的“华约联盟”七校，把“逻辑”设为所有参加自主招生的文理科考试必考的科目。这意味着未来中国高考指挥棒开始转向，不仅要求学生具有基础知识的储备记忆，还更会注重考查学生运用知识解决问题的高阶思维能力。“华约联盟”自主招生考“逻辑”，这个重大变化贯彻了创新人才培养模式的要求。我们的社会更需要培养的人才会思维、善思维。要想达到这一点，就必须懂得并且遵循如何合理思维的规律，也就是逻辑。

一个人的能力包含众多方面，但思维能力特别是逻辑思维能力，则是一切其他能力的基础。思维能力越强，人的能动性就越高，人的行动就越有目的性和计划性，就越有利于达到目标。国内外考试，如MBA（工商管理硕士）入学考试、MPA（公共管理硕士）入学考试、GMRT（商科研究生入学考试）、GRE（美国研究生入学资格考试）、GCT（硕士学位研究生入学资格考试）以及我国的公务员招录考试中，都明确地在考试科目中把逻辑作为重要的考试内容。

另外，“华约联盟”明确规定的考试科目是“数学与逻辑”，而不是“数学逻辑”，这就表明，在这个科目的考试中，明确要考两个方面的内容：一个方面是数学，另一个方面则是逻辑。“数学”与“逻辑”是两种有着很多一致性但又有明显区别的知识和能力。“逻辑学”是一门由多个分支学科组成的科学体系。其中的许多内容，不仅不需要中学生们去学习和掌握，即使是一般的大学生也不需要去学习。所以，在自主招生的“逻辑”考试中，只涉及普通形式逻辑中最基本、最一般的内容。也就是说，考察的不是逻辑专业知识，只是学生们的逻辑思维能力。

欧美等西方国家经过长期的研究和探索，发现有三种主要能力的测评有利于选拔出具有学习能力和创新潜质的人才。这三种能力就是数学计算能力、逻辑思维能力和语言表达能力。因而，他们在各类人才选拔考试中都非常重视对这三个方面能力的测评。就逻辑思维能力测试来说，主要有以下几个方面：一、数学运算；二、概念与定义判断；三、逻辑判断与推理；四、言语理解与表达；五、数字推理；六、类比推理；七、图形推理。

当然，不管在哪个方面的测试题中，涉及的知识都是比较基础性的、比较简单的，专业知识不会成为测试中的障碍，关键就是要测试应试者的逻辑思维能力。

现在，只有“华约联盟”的七所实施自主招生的高校，在考试科目中列入了“逻辑”。在由北大等高校组成的“北约联盟”和北理工等高校组成的“卓越联盟”的自主招生考试中，还没有直接看到有关“逻辑”的科目。但不可否认，这一趋势势必会在不久的将来成为现实。

另外，高考关注逻辑思维，并不一定会在所有普通高考中列入逻辑科目，更可能的是把关注逻辑思维的意图贯彻在不同科目的试题中。也就是说，仅靠死记硬背、机械训练、题海战术，是不可能较好地解答此类试题的。只有通过系统的训练，运用逻辑思维进行分析思考，才能圆满地解答此类试题。

培养学生的逻辑思维能力并非是一朝一夕的事情，如果能在平时的学习和生活中有意识地注重这方面能力的培养，自然会在“千军万马争过独木桥”时脱颖而出。

参与本书编写的人员还有龚宇华、陈一婧、于艳苓、何正雄、李志新、宋蓉珍、宋淑珍、叶淑英、刘展图、王瑛、王春风等人，他们在本书的编写过程中都付出了辛勤的劳动，才使本书这么快与读者见面，再次感谢！第一部分数 学 运 算

本部分的数学运算是利用公式和数的特性等，将复杂的计算过程转化成简单的计算，从而降低运算量，提高运算速度。方法一：尾数法

对于一些不需要计算具体数值，或者有若干个参考选项的题目，不计算（有的时候也可能是无法计算）算式各项的值，只考虑各项的尾数，进而确定结果的尾数，由此在答案的选项中找出有该尾数的选项。

例1：

计算（1.1）2+（1.2）2+（1.3）2+（1.4）2的值。A．5.14B．6.18C．5.39D．6.30

解答：

本题直接计算出四个小数的平方计算量比较大，再求和很容易出现差错。而我们观察答案的时候，发现四个选项的尾数各不相同。因此可以用尾数法计算。

因为（1.1）2的尾数为1，（1.2）2的尾数为4，（1.3）2的尾数为9，（1.4）2的尾数为6。其和为1+4+6+9=20，所以结果的尾数为0。

所以，本题答案为D。方法二：代入法

代入法是指把各个选项分别代入题目中，如果不符合题目要求，或者推出矛盾，即可排除此选项。如果有一个唯一的符合题目要求的选项，则为正确答案。

例2：

55名学生围成一个圆圈站好，并按照顺时针的方向依次编号1~55。然后1号开始报数，隔一个人3号继续报数，接着是5号、7号……每一轮中，没有报数的同学都走出队伍，直到剩下最后一个人。请问，最后一个站在队伍中的人是几号？A．1号B．20号C．47号D．50号

解答：

第一轮报数后，所有偶数编号的人都会走出队伍，所以排除了选项B、D。第二轮开始的时候，在第一轮的最后一个人55号报数完毕后，1号没有报数，即可排除A。

所以答案是C。方法三：特殊值法

特殊值法就是在题目所给的取值范围内，找一个特殊的、可以使运算简单的数字代入到题目中，从而简化运算。

例3：

某种白酒的酒精浓度为20%，加入一满杯水后，测得酒精浓度为15%。若再加入同样一满杯水，此时酒精浓度为多少？A．10%B．12%C．12.5%D．13%

解答：

假设第一次加水后得到100克溶液，其中酒精15克，水85克。则加水前溶液一共有15÷20%=75克。即加水100-75=25克。

所以第二次加水后浓度为15÷（100+25）=12%，答案为B。方法四：方程法

方程法是指将题目中的未知数用变量（如x、y等）表示，根据题目中给出的等量关系，列出含有变量的方程或方程组，通过求解未知数的数值得出答案。

例4：

鸡和兔子关在同一个笼子里，小明数了一下，一共有8只头，26只脚。请问，鸡和兔子各有多少？

解答：

设鸡有x只，兔子有y只。

x+y=8

2x+4y=26

解得：x=3，y=5

所以鸡有3只，兔子有5只。方法五：图表法

图表法是指利用图形或者表格将复杂的数字之间的关系形象地表示出来，以便更加直观、快速地解决问题。

例5：

高三1班有3名同学参加了数学竞赛，有8名同学参加了物理竞赛，两个竞赛都参加的只有1人，没有参加任何竞赛的有30人。请问：高三1班一共有多少人？

解答：

画出这样一个图来，就可以很容易地看出高三1班一共有2+1+7+30=40人。方法六：整体法

整体法是指当我们无法或者不方便计算出各个个体的数值时，可以将一个或多个个体看成一个整体来考虑，从而简化问题。

例6：

小明去超市买笔，发现买1支钢笔、4支圆珠笔要30元钱，买3支钢笔、4支铅笔要50元钱。请问：如果钢笔、圆珠笔、铅笔各买一支，要多少钱？

解答：

我们可以看出，本题无法分别求出每支钢笔、圆珠笔、铅笔分别多少钱。但是我们发现如果把它们加起来，即买4支钢笔、4支圆珠笔、4支铅笔需要30+50=80元，这样钢笔、圆珠笔、铅笔各买一支，需要80÷4=20元。1．国王的数学题

有位老国王决定在几位年轻的王子中挑选出一位最聪明的人来继承王位。一天，他把王子们都召集起来，出了一道数学题考他们。题目是：我有金、银两个宝箱，箱内分别装了若干件珠宝。如果把金宝箱中25%的珠宝送给第一个算对这个题目的人，把银宝箱中20%的珠宝送给第二个算对这个题目的人。然后我再从金宝箱中拿出5件送给第三个算对这个题目的人，再从银宝箱中拿出4件送给第四个算对这个题目的人，最后金宝箱中剩下的比分掉的多10件珠宝，银宝箱中剩下的与分掉的珠宝的比是2:1，请问谁能算出我的金宝箱、银宝箱中原来各有多少件珠宝？2．有趣的字母

有一个等式，如下：

ABCD×9=DCBA（相同字母代表相同的数字）

那么请问：DCBA-ABCD=？3．奖金

有一个公司，月底的时候给销售发放奖金。公司规定：销售业绩第一名的员工可以得到公司本月提供奖金的一半加上100元；第二名得到剩下奖金总额的一半加200元；第三名得到剩下奖金总额的一半加300元；第四名得到再剩下奖金的一半加上400元；第五名得到最后仅剩的100元。

问公司提供的奖金总额是多少？4．分配任务

班长为全班同学分配任务：七分之一的同学负责扫地，四分之一的同学负责拖地，负责这两个任务的同学数量差的5倍的同学负责打扫厕所，最后剩下的两位同学负责擦黑板和做黑板报。请问这个班一共有多少个同学？5．地租

某农场主将农场平均分成两份租给两个长工，第一个长工在元旦租下一半农场，另一个长工在八月一日租下农场，到了年末。第一个长工交了12 000元和100斤麦子作为地租；第二个长工交了4000元和100斤麦子作为地租。请问：现在多少钱一斤麦子？6．多少个演员

有个人问剧团团长：剧团现在有多少个演员。他回答说：“2/7的演员去了西藏，1/9的人去了北京，1/3的人去了成都，现在还有102人留守在长沙。”

请问这个剧团现在到底有多少演员？7．运送物资

解放军在前线抗美援朝，后方志愿者通过卡车往前线运送物资。已知装了物资的卡车每天只能行进120公里，不装物资的空车每天可以走200公里，如果6天往返了4次，那么两地相距多少公里。8．动物园

明明和红红周末逛动物园，在一个大笼子里关了鸵鸟和斑马。看了一会儿，明明说：“我一共看到了24个脑袋。”红红说：“笼子里一共有68条腿。”你知道鸵鸟和斑马各有多少吗？9．导师的诡计

一个博士生导师带了8名博士，他每天中午都和这八名学生一起吃饭。有一天一个学生说：“老师，您什么时候可以让我们不写论文就得到博士学位。”导师说：“这很简单，要不这样吧，我们定个日子：只要你们每人每天都换一下位子，直到你们8个人的排列次序重复的时候为止。那一天之后，只要你们8个人中的谁还是我的学生，那他不用写论文我就给他博士学位。”

请你算算，要过多久，这8个学生才能不写论文得到博士学位呢？10．领文具

有个人拿着一筐文具往办公室走，另一个公司的人看到了，就问他：“你们公司到底多少人啊，需要这么多文具？”他说：“每个人一支笔，每两个人一瓶胶水，每三个人一个订书机，每四个人一把尺子，我一共拿了120件文具，还差5把尺子呢。”请问，他们公司有多少人？11．保持平衡

仔细观察下面的滑轮，每个相同形状的物体的重量都是相同的，前三个滑轮系统都是平衡状态，请问第四个滑轮系统要用多重的物体才能使其保持平衡？12．三人决斗

三个小伙子同时爱上了一个姑娘，为了决定他们谁能娶这个姑娘，他们决定用手枪进行一次决斗。阿历克斯的命中率是30%；克里斯比他好些，命中率是50%；最出色的枪手是鲍博，他从不失误，命中率是100%。由于这个显而易见的事实，为公平起见，他们决定按这样的顺序：阿历克斯先开枪，克里斯第二，鲍博最后。然后这样循环，直到他们只剩下一个人。那么这3个人中谁活下来的机会最大呢？他们都应该采取什么样的策略？13．抢糖果

爸爸出差给孩子带回来一包糖果，一共正好有100颗，爸爸让两个孩子从这堆糖果中轮流拿糖，谁能拿到最后一颗糖果谁为胜利者，爸爸会奖励一个神秘的礼物。当然拿糖是有一定条件的：每个人每次拿的糖至少要有1个，但最多不能超过5个，请问：如果你是弟弟，你先拿，你该拿几个？以后怎么拿才能保证你能拿到最后一个糖果呢？14．贪心的渔夫

有一个渔夫得到了捕鱼的秘技，每天打的鱼都是前一天的3倍。结果等到第五天的时候，教他秘技的人说：“我告诉你每天不能超过10条鱼，你现在五天已经打了1089条了。你以后一条鱼也打不到了。”渔夫郁闷地说：“我听您说是：第一天不能超过10条鱼。”请问他这几天，每天打了几条鱼？15．农夫买鸡

从前有个农夫想要办一个养鸡场，需要买100只鸡。已知公鸡每只5元，母鸡每只3元，小鸡三只1元。现在农夫手中只有100元资金，问可以买公鸡、母鸡、小鸡各多少只？（钱要正好花完）16．各买了多少苹果

两个商贩共卖了1000斤苹果，一个卖得多，一个卖得少，但是卖了同样的钱。一个商贩对另一个说：“如果我有你那么多的苹果，我能卖到4900元。”另一个说：“如果我有你那么多的苹果，只能卖到900元。”你知道两人各卖了多少苹果吗？17．有多少士兵

空降兵深入敌后，有一小波军队聚集在了一起，长官问一个下士，现在还有多少士兵。下士回答道：“如果我们再失去100名士兵，我们的食物还够吃5天；如果我们再失去200名士兵，那食物还够吃6天。”

请问，他们现在一共有多少士兵？18．平均速度

某人步行了5小时，先沿着平路走，然后上山，最后又沿原路走回出发地。假如他在平路上每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每小时走6千米，试求他5小时共走了多少千米？19．多少零件

一家工厂4名工人每天工作4个小时，每4天可以生产4个零件，那么8名工人每天工作8个小时，8天能生产多少个零件呢？20．买衣服

六名同学一起去商店买衣服，其中有两名男同学，四名女同学。他们各自购买了若干件衣服。购买情况如下：（1）每件衣服的价格都以分为最小单位；（2）甲购买了1件，乙购买了2件，丙购买了3件，丁购买了4件，戊购买了5件，而己购买了6件；（3）两个男生购买的衣服，每件的单价都相同；（4）其他四名女同学购买的衣服，每件的单价都是男生所购衣服单价的2倍；（5）这六人总共花了1000元。

问：这六人中哪两个人是男生？21．堆高台

堆一层的高台需要1块儿大石头，堆两层的高台需要5块儿大石头，三层高台需要14块儿大石头，4层高台需要30块儿大石头。如果堆一个9层高台需要多少块儿大石头？22．排队

有个学校，学生每3人一队，正好排完；每5人一队，最后还剩3个人；每7人一队，最后也是剩3个人。那么，你知道这个学校一共有多少名学生吗？23．运米问题《九章算术》是我国最古老的数学著作之一，全书共分九章，有246个题目。其中一道题目是这样的：一个人用车装米，从甲地运往乙地，装米的车日行25千米，不装米的空车日行35千米，5日往返三次，问两地相距多少千米？24．鸡兔同笼

今有鸡兔同笼，上有35个头，下有94只脚。问鸡兔各几只？25．兔子问题

13世纪，意大利数学家伦纳德提出下面一道有趣的问题：如果每对大兔每月生一对小兔，而每对小兔生长一个月就能成为大兔，并且所有的兔子全部存活，那么有人养了初生的一对小兔，一年后共有多少对兔子？26．洗碗问题

我国古代《孙子算经》中有一道著名的“河上荡杯”题（注：荡杯即洗碗）。题目大意是：一位农妇在河边洗碗。邻居问：“你家里来了多少客人，要用这么多碗？”她答道：“客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只菜碗，一共洗了65只碗。”请问，她家里究竟来了多少位客人？27．三女归家

今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归。问三女何日相会？

这道题也是我国古代名著《孙子算经》中为计算最小公倍数而设计的题目。意思是：一家有三个女儿都已出嫁。大女儿五天回一次娘家，二女儿四天回一次娘家，小女儿三天回一次娘家。三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人可以再次在娘家相会？28．有女善织

有一位善于织布的妇女，每天织的布都比前一天翻一番。五天共织了62尺布，请问她这五天各织布多少尺？29．利息问题

今有人举取他绢，重作券，要过限一日息绢一尺，二日息二尺，如是息绢日多一尺。今过限一百日。问息绢几何？

意思是说：一个债主拿借方的绢作为抵押品，债务过期一天要纳1尺绢作为利息，过两天利息是2尺，这样，每天利息增多1尺。现在请问，如果过期100天，共需要缴纳利息多少尺绢？30．良马与驽马

今有良马与驽马发长安至齐。齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，复还迎驽马。问几何日相逢及各行几何？

意思是说：有好马和劣马同时从长安出发去齐。齐离长安3000里。好马第一天走193里。以后每天比前一天增加13里；劣马第一天走97里，以后每天比前一天减少半里。好马先到达齐，马上回头去迎接劣马。问一共走了多少天两马才能相遇？这时两马各走多少里？31．黑蛇进洞

一条长80安古拉（古印度长度单位）的大黑蛇，以十四分之五天爬七又二分之一安古拉的速度爬进一个洞，而蛇尾每四分之一天却要长四分之十一安古拉。请问黑蛇需要几天才能完全爬进洞？32．三女刺绣

今有三女各刺文一方，长女七日刺讫，中女八日半刺讫，小女九日太半刺讫。今令三女共刺一方，问几何日刺讫？

意思是说：有三个女子各绣一块花样，大女儿用了7天时间绣完，二女儿用了8天半绣完，小女儿用了9又2/3天绣完。现在三个女子一起来绣这块花样，得用多少天时间绣完？33．紫草染绢

今有绢一匹买紫草三十斤，染绢二丈五尺。今有绢七匹，欲减买紫草，还自染余绢。问减绢、买紫草各几何？

意思是说：用一匹绢能换紫草30斤，这30斤紫草能染25尺绢。现在有7匹绢，准备用其中一部分去换紫草，来染剩下的绢。问：要拿多少绢去换紫草？换多少斤紫草？

按古法：1匹等于4丈，1丈等于10尺。34．耗子穿墙

两只老鼠想见面，可是隔着一堵墙，于是它们齐声喊道：“咱们一起打洞吧！”于是，它们找了一处对着的地方打起洞来。这两只老鼠一大一小，头一天各打进墙内一尺。大鼠越干越有劲，以后每天的进尺都比前一天多一倍；小鼠越干越累，以后每天的进尺都是前一天的一半。现在知道墙壁厚五尺，问几天后它们才能会面？大小老鼠各打穿了几尺？35．数不知总

今有数不知总，以五累减之无剩，以七百十五累减之剩十，以二百四十七累减之剩一百四十，以三百九十一累减之剩二百四十五，以一百八十七累减之剩一百零九，问总数若干？

意思是说：现在有一个数，不知道是多少。用5除可以除尽；用715除，余数为10；用247除，余数是140；用391除，余数是245；用187除，余数是109。问这个数是多少？36．余米推数

有米铺诉被盗，去米一般三箩，皆适满，不记细数。今左壁箩剩一合，中间箩剩一升四合，右壁箩剩一合。后获贼，系甲、乙、丙三人，甲称当夜摸得马勺，在左壁箩满舀入布袋；乙称踢得木履，在中箩舀入袋；丙称摸得漆碗，在右壁箩舀入袋，将归食用，日久不知数。索到三器，马勺满容一升九合，木履容一升七合，漆碗容一升二合。欲知所失米数，计赃结断，三盗各几何？

意思是说一天夜里，某粮店遭窃，店里的3箩米所剩无几。官府派员勘查现场发现，3个同样大小的箩，第一个剩1合米，第2个剩14合米，第3个剩1合米。当问及店老板丢失多少米时，回答说，只记得原来3箩米是一样多的，具体丢多少不清楚。后来抓到了三名盗贼，他们供认：甲用马勺从第一箩里掏米，乙用木履从第二箩里掏米，丙用大碗从第三箩里掏米，每次都掏满。经测量，马勺容量为19合，木履容量为17合，大碗容量为12合。问三名小偷各偷走了多少米？（合是一种传统的米容器，10合为1升，10升为1斗，10斗为1石）37．五家共井“今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足，如丙一绠；丙四绠不足，如丁一绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不足，如甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮。问井深、绠长各几何？”

意思是说：现在有五家共用一口井，甲、乙、丙、丁、戊五家各有一条绳子汲水（下面用文字表示每一家的绳子）：甲×2+乙=井深，乙×3+丙=井深，丙×4+丁=井深，丁×5+戊=井深，戊×6+甲=井深，求甲、乙、丙、丁、戊各家绳子的长度和井深。38．余数问题

二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问本数。

意思是说：一个数，用2除余1，用5除余2，用7除余3，用9除余4，问这个数最小是几？

注：本数即为最小值。39．铜币问题

12世纪时，印度数学家婆什迦罗也曾编了一道习题：

某人对一个朋友说：“如果你给我100枚铜币，我将比你富有2倍。”朋友回答说：“你只要给我10枚铜币，我就比你富有6倍。”问这两人各有多少铜币？40．七猫问题

在七间房子里，每间都养着七只猫；在这七只猫中，不论哪只，都能捕到七只老鼠；而这七只老鼠，每只都要吃掉七个麦穗；如果每个麦穗都能剥下七颗麦粒，请问：房子、猫、老鼠、麦穗、麦粒都加在一起总共应该有多少？41．汉诺塔问题

古印度有个传说：神庙里有三根金刚石棒，第一根上面套着64个圆金片，自下而上从大到小摆放。有人预言，如果把第一根石棒上的金片全部搬到第三根上，世界末日就来了。当然，搬动这些金片是有一定规则的，可以借用中间的一根棒，但每次只能搬动一个金片，且大的金片不能放在小的金片上面。为了不让世界末日到来，神庙众高僧日夜守护，不让其他人靠近。这时候，一个数学家路过此地，看到这样的情景，笑了！

他为什么笑？42．木长几何

今有木，不知其数，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，问木长几何？

意思是说：用一根绳子去量一根长木头，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折后再量长木，长木多出1尺，问长木头有多长？43．相遇问题

今有甲，发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安。今乙发已先二日，甲乃发长安。问几何日相逢？

大意是：甲从长安出发，需五天时间到达齐；乙从齐出发，需七天时间到达长安。现在乙从齐出发两天后，甲才从长安出发。问几天后两人相遇？44．关税问题

今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一。并五关所税，适重一斤。问本持金几何？

意思是说：某人拿金子过五个关口，第一关收税二分之一，第二关收三分之一，第三、四、五关分别收税四分之一、五分之一、六分之一。一共被收税正好一斤重。问原来拿了多少金子？45．韩信点兵（1）

韩信率军出征，他想知道一共带了多少士兵，于是命令士兵每10人一排排好，排到最后发现缺1人。

他认为这样不吉利，就改为每9人一排，可最后一排又缺了1人；

改成8人一排，最后一排仍缺1人；

7人一排，缺1人；

6人一排，缺1人；

5人一排，缺1人；

4人一排，缺1人；

3人一排，缺1人；

直到2人一排还是缺一人。

韩信仰天长叹，难道这场仗注定要以失败告终吗！

你能算出韩信至少带了多少士兵吗？46．韩信点兵（2）

我国汉代有一位大将，名叫韩信。据说他每次集合部队，都要求部下报三次数，第一次按1~3报数，第二次按1~5报数，第三次按1~7报数，每次报数后都要求最后一个人报告他报的数是几，这样韩信就知道一共到了多少人。你知道他是如何做到的吗？47．托尔斯泰的割草问题

俄国伟大的作家托尔斯泰曾出过这样一道题：一组割草人要把两块草地上的草割完。大的一块草地的面积是小的一块草地面积的2倍，上午全部人都在大的一块草地上割草。下午一半人仍留在大草地上，到傍晚时把大草地的草割完。另一半人去割小草地的草，到傍晚还剩下一部分，这一部分由1名割草人再用一天时间刚好割完。问这组割草人共有多少人？（假设每个割草人的割草速度都相同。）48．柯克曼女生散步问题

这个女生散步问题是由英国数学家柯克曼（1806—1895）于1850年提出来的。具体问题表述如下。

一个学校有15名女生，她们每天要做三人行的散步，要使每个女生在一周内的每天做三人行散步时，与其他同学再组成三人小组同行时，彼此只有一次相遇在同一小组内，应怎样安排？49．苏步青跑狗问题

我国著名数学家苏步青教授有一次在德国访问，一位有名的德国数学家在电车上给他出了一道题：“甲、乙两人相向而行，距离为50km。甲每小时走3km，乙每小时走2km，甲带一只狗，狗每小时跑5km，狗跑得比人快，同甲一起出发，碰到乙后又往甲方向跑，碰到甲后又往乙方向跑，这样继续下去，直到甲、乙两人相遇时，这只狗一共跑了多少千米？”（假设狗的速度恒定，且不计转弯的时间。）50．阿基米德分牛问题

太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成，在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2；黑牛数多于棕牛数，多出之数相当于花牛数的1/3；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/4。

在母牛中，白牛数是全体黑牛（包括公牛）数的1/3；黑牛数是全体花牛数的1/4；花牛数是全体棕牛数的1/5；棕牛数是全体白牛数的1/6。

问这群牛最少有多少头，是怎样组成的？51．三十六军官问题

大数学家欧拉曾提出这样一个问题：即从不同的6个军团中各选6种不同军阶的6名军官共36人，排成一个6行6列的方队，使得各行各列的6名军官恰好来自不同的军团而且军阶各不相同，应如何排这个方队？52．泊松分酒问题

法国数学家泊松在少年时被一道数学题深深地吸引住了，从此便迷上了数学。这道题是：某人有8升酒，想把一半赠给别人，但没有4升的容器，只有一个3升和一个5升的容器。利用这两个容器，怎样才能用最少的次数把这8升酒分成相等的两份？53．牛顿牛吃草问题

英国大数学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天；或者供给16头牛吃，可以吃10天。如果供给25头牛吃，可以吃几天？54．欧拉遗产问题

欧拉遗产问题是大数学家欧拉的数学名著《代数基础》中的一个问题。题目是这样的：

一位父亲，临终时嘱咐他的儿子们这样来分配他的财产：第一个儿子分得100克朗和剩下财产的十分之一；第二个儿子分得200克朗和剩下财产的十分之一；第三个儿子分得300克朗和剩下财产的十分之一；第四个儿子分得400克朗和剩下财产的十分之一；……。按这种方法一直分下去，最后，每一个儿子所得财产一样多。

问：这位父亲共有几个儿子？每个儿子分得多少财产？这位父亲共留下了多少财产？55．哥德巴赫猜想

哥德巴赫是二百多年前德国的数学家。他发现一个规律：

每一个大于或等于6的偶数，都可以写成两个素数的和（简称“1+1”）。如：10=3+7，16=5+11，等等。他检验了很多偶数，都表明这个结论是正确的。但他无法从理论上证明这个结论是对的。1748年他写信给当时很有名望的大数学家欧拉，请他指导。欧拉回信说，他相信这个结论是正确的，但也无法证明。因为没有从理论上得到证明，所以这个问题只是一种猜想，我们就把哥德巴赫提出的这个问题称为哥德巴赫猜想。

世界上许多数学家为证明这个猜想做出了很大的努力，他们由“1+4”→“1+3”到1966年我国数学家陈景润证明了“1+2”。也就是任何一个充分大的偶数，都可表示成两个数的和，其中一个是素数，另一个或者是素数，或者是两个素数的积。

你能把下面各偶数，写成两个素数的和吗？（1）100=（2）50=（3）20=56．布哈斯卡尔的蜜蜂问题

这是古印度的数学谜题，因诗人郎费罗的介绍而广为流传。下面我们用汉语将大意叙述一下：公园里有甲、乙两种花，有一群蜜蜂飞来。1/5落在菜花上，1/3落在莲花上，如果还有落在这两种花上的两小群蜜蜂数量之差的3倍去采蜜，那么剩下的最后1只绕着樱花上下飞。请问这群蜜蜂的总数是多少？57．马塔尼茨基的短衣问题

有一个雇主约定每年给工人12元钱和一件短衣，工人做工到7个月想要离去，雇主按比例给了他5元钱和一件短衣。请问，这件短衣价值多少钱？58．涡卡诺夫斯基的领导问题

有人问船长，在他的领导下有多少人，他回答说：“2/5的人去站岗，2/7的人在吃饭，1/4的人在医院，剩下27人现在在船上。”

请问在他领导下共有多少人？59．埃及金字塔的高度

世界闻名的金字塔，是古代埃及国王们的坟墓。这些建筑雄伟高大，形状像个“金”字，故而称为金字塔。它的底面是个正方形，塔身的四面是倾斜着的等腰三角形。2600多年前，埃及有位国王，请来一位名叫法列士的学者测量金字塔的高度。

按照当时的条件，你知道该怎么计算吗？60．古罗马人遗嘱问题

传说，有一个古罗马人，在他临死时，给怀孕的妻子写了一份遗嘱：生下来的如果是儿子，就把遗产的2/3给儿子，母亲拿1/3；生下来的如果是女儿，就把遗产的1/3给女儿，母亲拿2/3。结果这位妻子生了一男一女，该怎样分配，才能接近遗嘱的要求呢？答案：1．国王的数学题

40件，30件。

设金宝箱中原有x件，银宝箱中有y件。

则可得到下面的式子：x-25%x-5=25%x+5+10；

y-20%y-4=2×（20%y+4）。

解得：x=40，y=30。2．有趣的字母

一个四位数字乘以9还是个四位数字，所以这个数的首位一定是1，末位就是9。这样再确定百位，因为百位在乘9的时候并没有进位到千位，所以百位应该为0，这样在确定十位应该是8，所以原来的数是1089，乘以9后是9801，两者的差，即答案为：8712。3．奖金

倒着推就很容易能算出来了，一共是11400元。4．分配任务

可以将这道题归结为简单的方程。

设共有x个同学，由条件得：

x/4+x/7+5（x/4-x/7）+2=x

解这个方程，得到：x=28

所以答案是共有28个同学。5．地租

假设麦子的价格为x元每斤。

根据题意列方程：（4000+100x）/（12000+100x）=5/12

解得：x=17.1

所以现在的麦子是17.1元一斤。6．多少个演员

102/（1-1/9-2/7-1/3）=378。

所以这个剧团现在一共有378人。7．运送物资

设两地距离x千米，往返4次也就是说装物资和空车各行了4x千米。

4x/120+4x/200=6

解得：

x=112.5公里。

所以两地相距112.5公里。8．动物园

本题可以列方程。假设鸵鸟有x只，那么斑马有24-x只。

根据题意，可知：

2x+4（24-x）=68

解得 x=14。

所以鸵鸟有14只，斑马有10只。9．导师的诡计

实际上是不可能的，因为隔的时间太久了，要40320天，相当于100多年。算法为：每天换一下位子，第一个人有8种坐法，第二个人有7种，第三个人有6种，……，第八个人只有1种。8×7×6×5×4×3×2×1=40320。10．领文具

假设他们公司一共有x人，可以列出方程式：

x+x/2+x/3+x/4=120+5

解得：x=60。

所以，他们公司一共有60个人。11．保持平衡

根据前三个系统平衡，计算出圆、三角、方形物体的重量，然后计算即可。第四个应该是24。12．三人决斗

设：A代表阿历克斯；B代表克里斯；C代表鲍博。

只有AB相对：

A活下来的可能性为30%+70%×50%×30%+70%×50%×70%×50%×30%+…=0.3/0.65。

B活下来的可能性为70%×50%+70%×50%×70%×50%+70%×50%×70%×50%×70%×50%+…=0.35/0.65。

应该恰好等于1-0.3/0.65。

只有AC相对：

A活下来的可能性为30%。

C活下来的可能性为70%。

只有BC相对：

B活下来的可能性为50%。

C活下来的可能性为50%。

三人相对：

A活下来有以下三种情况。（1）A杀了C，B杀不死A，A又杀了B，概率30%×50%×0.3/0.65。（2）A杀不死C，B杀了C，A杀了B，概率70%×50%×0.3/0.65。（3）A杀不死C，B杀不死C，C杀了B，A杀了C，概率70%×50%×30%。

所以A活下来的可能性为0.105+3/13≈0.336，大于1/3，比较幸运了。

也有人对此提出质疑，他认为：A的正确决策是首先朝天开枪！在这种情况下，B和A一定会死一个，那么A在该情况下就有30%的概率可能活命！比其他任何情况都高！这才是A的策略，也是A所能控制的情况。

B活下来有以下三种情况。（1）A杀了C，B杀了A，概率为30%×50%。（2）A杀不死C，B杀了C，AB相对的情况下B杀了A，概率为70%×50%×0.35/0.65。（3）A杀了C，B杀不了A，AB相对的情况下B杀了A，概率为30%×50%×0.35/0.65。

所以B活下来的可能性为0.15+3.5/13≈0.419，大于1/3，非常幸运了。

C活下来只有一种情况：

A杀不死C，B杀不死C，C杀了B，A杀不死C，C杀了A，概率为70%×50%×70%，

所以C活下来的可能性为0.245，小于1/3，非常不幸。

而且A、B、C活下来可能性之和恰为1。13．抢糖果

先拿4个，之后哥哥拿n个（1≤n≤5），你就拿6-n个，每一轮都是这样，就能保证你能拿到最后一个糖果。（1）我们不妨逆向推理，如果只剩6个糖果，让对方先拿，你一定能拿到第6个糖果。理由是：如果他拿1个，你拿5个；如果他拿2个，你拿4个；如果他拿3个，你拿3个；如果他拿4个，你拿2个；如果他拿5个，你拿1个。（2）我们再把100个糖果从后向前按组分开，6个一组。100不能被6整除，这样就分成17组。第1组4个，后16组每组6个。（3）自己先把第1组的4个拿完，后16组每组都让对方先拿，自己拿剩下的。这样你就能拿到第16组的最后一个，即第100颗糖果了。14．贪心的渔夫

如果把第一天打的鱼看作1份，可以知道第二、三、四、五天打的鱼分别是3、9、27、81份。根据打鱼的总和和总份数，能先求出第一天打的鱼数量，再求出以后几天鱼的数目。

即1089/（1+3+9+27+81）=9（条）。

所以他这五天分别打了9，27，81，243，729条鱼。15．农夫买鸡

有三种可能：4只公鸡、18只母鸡、78只小鸡；8只公鸡、11只母鸡、81只小鸡；12只公鸡、4只母鸡、84只小鸡。

解题过程如下：

设买公鸡x只，买母鸡y只，买小鸡z只，那么根据已知条件列方程，有

x+y+z=100……①

5x+3y+z/3=100……②

②×3-①，得

14x+8y=200

也就是7x+4y=100……③

在③式中4y和100都是4的倍数：

7x=100-4y=4（25-y）

因此7x也是4的倍数，7和4是互质的，也就是说x必须是4的倍数。

设x=4t

代入③，得y=25-7t

再将x=4t与y=25-7t代入①，有：

z=75+3t

取t=1，t=2，t=3，就有：

x=4，y=18，z=78；

或x=8，y=11，z=81；

或x=12，y=4，z=84；

因为x、y、z都必须小于100且都是正整数，所以只有以上三组解符合题意。16．各买了多少苹果

设卖得少的商贩有x斤苹果，另一个则有（1000-x）斤。

卖得少的单价为：4900/（1000-x）

卖得多的单价为：900/x

那么：4900x/（1000-x）=900（1000-x）/x

解得：x=300

所以一个商贩卖了300斤苹果，另一个商贩卖了700斤苹果。17．有多少士兵

设现在一共有x名士兵。（x-100）×5=（x-200）×6

解得：x=700

所以现在一共还有700名士兵。18．平均速度

设平路的路程为x，上坡的路程为y。则

2x/4+y/3+y/6=5

x+y=10

所以他5小时一共走了2x+2y=20千米。19．多少零件

是32个。可以这样计算：4人工作4×4小时生产4个零件，所以，1人工作4×4小时生产1个零件，这样每人工作1小时就生产1/16个零件。

因此，8个人每天工作8小时，一共工作8天，生产的零件数目就是8×8×8×1/16=32个。20．买衣服

丁和己是男生。设男生买的衣服单价为X

2×（1+2+3+4+5+6）X-N×X=1000

N为两名男生所买件数和，取值范围在3~11之间。42-N的取值范围为31~39之间。

X为男生所买衣服的单价，要求1000/X是个整数或者两位以内的有限小数。

解得42-N=1000/X。

只有当N为10时，42-N=32。1000/X符合条件。

而能等于10的只有4+6，也就是丁和己是男生。21．堆高台

285块儿。

1=1

5=1+2×2

14=1+2×2+3×3

30=1+2×2+3×3+4×4

所以

1+2×2+3×3+4×4+5×5+6×6+7×7+8×8+9×9=28522．排队

一共有108名学生。计算过程为：设人数为m。x、y、z为m被3、5、7除得的整数商，则可列出以下方程式：3x=5y+3=7z+3=m。从上式中可得：x=5y/3+1，z=5y/7。从上式中可得：y=21。故学生数为：m=5×21+3=108（枚）。23．运米问题

设两地距离x千米，往返3次也就是说装米和空车各行了3x千米。

3x/25+3x/35=5

解得x=875/36千米

所以两地相距875/36千米。24．鸡兔同笼

本题可以列方程。假设鸡有x只，则兔子有35-x只。

根据题意，可得：

2x+（35-x）×4=94

解得：x=23

所以鸡有23只，兔子有35-23=12只。

另外还有其他一些简便算法：

有人是这样计算的：假设这些动物全都受过训练，一声哨响，每只动物都抬起一条腿，再一声哨响，又分别抬起一条腿，这时鸡全部坐在了地上，而兔子还用两只后腿站立着。此时，脚的数量为94-35×2=24，所以兔子有24/2=12只，则鸡有35-12=23只。

或者说：假设把35只全看作鸡，每只鸡有2只脚，一共应该有70只脚。比已知的总脚数94只少了24只，少的原因是把每只兔的脚少算了2只。看看24只里面少算了多少个2只，便可求出兔的只数，进而求出鸡的只数。

除此之外，我国古代有人也想出了一些特殊的解答方法。

假设一声令下，笼子里的鸡都表演“金鸡独立”，兔子都表演“双腿拱月”。那么鸡和兔着地的脚数就是总脚数的一半，而头数仍是35。这时鸡着地的脚数与头数相等，每只兔着地的脚数比头数多1，那么鸡兔着地的脚数与总头数的差就等于兔的头数。

我国古代名著《孙子算经》对这种解法就有记载：“上署头，下置足。半其足，以头除足，以足除头，即得。”

具体解法：兔的只数是94÷2-35=12（只），鸡的只数是35-12=23（只）。25．兔子问题

第一个月初，有1对兔子；第二个月初，仍有一对兔子；第三个月初，有2对兔子；第四个月初，有3对兔子；第五个月初，有5对兔子；第六个月初，有8对兔子；……。把这些数顺序排列起来，可得到下面的数列：

1，1，2，3，5，8，13，…

观察这一数列，可以看出：从第三个月起，每月兔子的对数都等于前两个月对数的和。根据这个规律，可以推算出第十三个月初的兔子对数，也就是一年后养兔人有兔子的总对数。26．洗碗问题

设客人是x人，可用各种碗的个数合起来等于碗的总数的关系列方程解答。

x/2+x/3+x/4=65

解得：x=60

所以她家一共来了60位客人。

这道题目在《孙子算经》中的解法是这样记载的：“置六十五只杯，以一十二乘之，得七百八十，以一十三除之，即得。”27．三女归家

从刚相会到最近的再一次相会的天数，是三个女儿回家间隔天数的最小公倍数。也就是求5、4、3的最小公倍数，为60。所以至少要隔60天，三人才能再次在娘家相会。28．有女善织

若把第一天织的布看作1份，可知她第二、三、四、五天织的布分别是2、4、8、16份。根据织布的总尺数和总份数，能先求出第一天织的尺数，再求出以后几天织布的尺数。

即62/（1+2+4+8+16）=2（尺）

所以她这五天分别织布2，4，8，16，32尺。29．利息问题

这道题就是一个等比数列求和问题。

1+2+3+4+…+99+100=（1+100）×100/2=5050

所以过期100天一共需要缴纳利息5050尺绢。30．良马与驽马

本题过程有些复杂。

首先，我们要计算出两马相遇共跑的路程。良马跑完全程3000里后，再返回途中与驽马相遇，相遇时两匹马一共跑了3000×2=6000（里）。所以可以把这个过程看成是一个简单的相遇问题，即良马相向而行，总距离为6000里。

然后我们再用等差数列求和公式，分别计算出两匹马各行多少里，它们的和为6000里，解出即可。

设n天后两马相遇，由等差数列求和公式列方程得：

[193n+13n（n-1）/2]+[97n-1/2×n（n-1）/2]=6000

解得：n=15.7（天）

良马所走的距离为193n+13n（n-1）/2=4534.24（里），驽马所走的距离为6000-4534.24=1465.76（里）。31．黑蛇进洞

每5/14天只前进了15/2安古拉，每天前进15/2÷5/14=21（安古拉），它的尾巴每1/4天就要长出11/4安古拉，每天长出11/4÷1/4=11（安古拉）。

设大黑蛇要过x天才能完全进洞，则：

21x=80+11x

10x=80

x=8（天）

所以大黑蛇要8天时间才能完全进洞。32．三女刺绣

设这个花样总数为1，则大女儿的速度为1/7，二女儿的速度为1/8，小女儿的速度为3/29。

如果一起绣的话，所用时间为1/（1/7+1/8+3/29）=2.7（天）。

所以三个女子一起来绣这块花样，一共需要2.7天时间。33．紫草染绢

一匹绢等于40尺，7匹=280尺。

设需要卖掉x尺，则剩下280-x尺。

每卖一尺绢所买的紫草可以染绢数为25/40尺。

根据题意可得：25x/40=280-x

x=172.3（尺）

所以要卖掉172.3尺，可以换紫草172.3/40×30=129（斤）。34．耗子穿墙

这是一个等比数列问题，又叫“盈不足术”。

第一日，大、小鼠各打1尺，共计2尺；第二日，大鼠打2尺，小鼠打0.5尺，共计2.5尺，差0.5尺；第三日，大鼠打4尺，小鼠打0.25尺，共计4.25尺，多3.75尺。二日不足，三日则盈，需用0.5÷4.25=2/17（日），所以共用2又2/17日。35．数不知总

看来问题比较麻烦，但通过细心观察，还是有窍门可寻的。

第一句“以五累减之无剩”其实是多余的，因为这个数以715除余10必定是5的倍数。第三句话“以247累减之剩140”，就是说此数减去247的若干倍后还余140，140是5的倍数，此数也是5的倍数，那么减去的247的倍数也应是5的倍数。因此这句话可改为“以247×5=1235累减之剩140”。同样第四句话也可改为“以391×5=1955累减之剩245”。

现在我们可以完全仿照前面的方法进行计算，从245逐次加1955，直至得到的数用1235除余数为140止。

计算过程如下：

逐次加1955可得：245，2200，4155，6110，8065，10020，…，用1235去除的余数分别是965，450，1170，655，140，…

所以可以得出10020满足这两项要求。

经检验10020的确符合全部条件，它就是我们要求的数。36．余米推数

将这个题目简单地翻译一下便是：一个数，用19除余1，用17除余14，用12除余1，求这个数是多少。

因为用19除、12除都余1的数为19×12×n+1，当n=1时，为最小，是229。但是用229除以17时，余数为8，不是14，要想余数是14，则n=14。此时这个数最小，为3193。

所以每箩米有3193合，甲偷走3193-1=3192合，乙偷走3193-14=3179合，丙偷走3193-1=3192合。37．五家共井

这个题目只要用五元一次方程组即可求得，解法如下：

设甲、乙、丙、丁、戊五根绳子分别长x、y、z、s、t，井深u，那么列出方程组：

2x+y=u

3y+z=u

4z+s=u

5s+t=u

6t+x=u

解这个方程组得：

x=265/721

y=191/721

z=148/721

s=129/721

t=76/721

而井深为1。38．余数问题

用2除余1很好理解，只要是奇数即可。所以首先我们来看后三个条件，这个数用5除余2，用7除余3，用9除余4，那么把这个数乘以2的话，它必定被5除余4，用7除余6，用9除余8，也就是说如果这个数加1正好可以除尽5，7，9。而可以被5，7，9除尽的最小整数是5×7×9=315。那么这个数就应该是（315-1）/2=157。39．铜币问题

共有（100+10）÷[3/（3+1）-1/（7+1）]=176（枚）

某人有176×3/（3+1）-100=32（枚）

朋友有176-32=144（枚）40．七猫问题

总数是19607。

房子有7间，猫有72=49只，鼠有73=343只，麦穗有74=2401个，麦粒有75=16807个。全部加起来就是19607。

可以说这是世界上最古老的数学趣题了。大约在公元前1800年，埃及的一个僧侣名叫阿默士，他在纸草书上写有如下字样：

但他没有说明是什么意思。

2000多年后，意大利的裴波那契在《算盘书》中写了这样一个问题：“7个老妇同赴罗马，每人有7匹骡，每匹骡驮7个袋，每个袋盛7个面包，每个面包带有7把小刀，每把小刀放在7个鞘之中，问各有多少？”受到这个问题的启发，德国著名的数学家M.康托尔推断阿默士的题意和这个题所问是相同的。

这类问题，在19世纪初又以歌谣体出现在算术书中：我赴圣地爱弗西，途遇妇女数有七，一人七袋手中提，一袋七猫数整齐，一猫七子紧相依，妇与布袋猫与子，几何同时赴圣地？41．汉诺塔问题

因为就算有人会搬这些金片，它的步骤也非常巨大，是264-1次。这个数究竟是几呢？我们来算一下，答案是18446744073709551615。搬这么多次金片一共需要多长时间呢？

假设搬一个金片要用一秒钟，18446744073709551615÷3600=5124095576030431（小时），再除以24等于213503982334601（天），除以365等于584942417355（年），约等于5849（亿年）。所以根本不需要高僧守护，没有人可以完成这个艰巨的任务。42．木长几何

用方程解很简单，设木头长为x，那么绳子的长就应该是x+4.5，根据题意列方程得：

x-（x+4.5）/2=1

解得：x=6.5（尺）

所以这块木头的长度为6.5尺。43．相遇问题

这个问题在古代是非常难的，但是现在我们来看，就是一个简单的相遇问题。设长安至齐的距离为1，甲的速度为1/5，乙的速度为1/7，因为乙先出发2天，所以列出算式为：（1-2/7）/（1/5+1/7）=25/12（天）

也就是说，还要再经过25/12天两人相遇。44．关税问题

设原来金子重量为x，则：

第一关收税为x/2；

第二关收税为（x-x/2）/3=x/6；

第三关收税为（x-x/2-x/6）/4=x/12；

第四关收税为（x-x/2-x/6-x/12）/5=x/20；

第五关收税为（x-x/2-x/6-x/12-x/20）/6=x/30；

x/2+x/6+x/12+x/20+x/30=1

解得：x=1.2（斤）

这个人带了1.2斤金子。45．韩信点兵（1）

他至少带了2519个兵。

首先，我们发现了一个特点，就是说，无论选择2~10这几个数中的哪个，都是只差一个人就可以站满整排。

换句话说，只要多增加一个人，就可以做到2人一排、3人一排、4人一排、5人一排、6人一排、7人一排、8人一排、9人一排、10人一排都可以站满整排了。

所以我们以能站齐整排为出发点。

要想每排人站齐，人数必须是每排人数的倍数，也就是只有10，9，8，7……2的公倍数，才能做到无论怎样排都是整排的。

而10，9，…，2的最小公倍数是2520。

这其中当然包括那个多出来的一个人。

所以，韩信的兵数至少应该是2520-1=2519（人）。46．韩信点兵（2）

他的这种巧妙算法，人们称为“鬼谷算”、“隔墙算”、“秦王暗点兵”等。

这个问题人们通常把它叫作“孙子问题”，西方数学家把它称为“中国剩余定理”。到现在，这个问题已成为世界数学史上闻名的问题。

在明代，数学家程大位把这个问题的算法编成了四句歌诀：

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；七子团圆正半月，除百零五便得知。

用现在的话来说就是：一个数用3除，除得的余数乘70；用5除，除得的余数乘21；用7除，除得的余数乘15。最后把这些乘积加起来再减去105的倍数，就知道这个数是多少。《孙子算经》中这个问题的算法是：

70×2+21×3+15×2=233

233-105-105=23

所以这个数最少应为23。

根据上面的算法，韩信点兵时，必须先知道部队的大约人数，否则他也是无法准确算出人数的。你知道这是怎么回事吗？

这是因为，被3、5整除，而被7除余1的最小正整数是15；

被3、7整除，而被5除余1的最小正整数是21；

被5、7整除，而被3除余1的最小正整数是70。

因此，被3、5整除，而被7除余2的最小正整数是15×2=30；

被3、7整除，而被5除余3的最小正整数是21×3=63；

被5、7整除，而被3除余2的最小正整数是70×2=140。

于是和数15×2+21×3+70×2，必具有被3除余2，被5除余3，被7除余2的性质。但所得结果233（30+63+140=233）不一定是满足上述性质的最小正整数，故从它中减去3、5、7的最小公倍数105的若干倍，直至差小于105为止，即233-105-105=23。所以23就是被3除余2，被5除余3，被7除余2的最小正整数。47．托尔斯泰的割草问题“割草问题”的解法较多，既可以用小学所学的算术方法解，也可以用中学所学的方程组解，下面先用最基本的列方程组的方法来解：

设割草队共有x人，每人每天割草的面积为1，小块草地的面积为k，则大块草地的面积为2k。

根据题意列方程组，得：

x/2+x/2×1/2=2k

x/2×1/2+1=k

解得：

x=8

k=3

所以割草队共有8人。

另外，在“割草问题”中，有个非常值得一提的解法：

因为大块草地面积是小块草地面积的2倍，全队人在大块草地上割半天所割下草的面积也是一半人在小块草地上割半天所割下草的面积的2倍。由于大块草地上的剩下部分由一半人半天割完，所以小块草地上的剩下部分也需要总人数的1/4用半天割完，相当于总人数的1/8用一天割完，而实际上，小草地上的剩余部分由1人割1天割完，所以总人数为8。

这种构图法构思巧妙，解法简捷，是“割草问题”最为简捷的解法，几乎不用动笔。在这种方法的背后，实际上用到了一个推理，即由“大块草地面积是小块草地面积的2倍”得到“全队人在大块草地上割半天所剩下草的面积是一半人在小块草地上割半天所剩下草的面

试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]

下载完整电子书