数学思想教育研究论(txt+pdf+epub+mobi电子书下载)

作者：孙杰

出版社：新华出版社

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数学思想教育研究论试读：

学科教育学是在20世纪70年代发展起来的新兴学科群体，其中当以数学学科教育比较领先。数学学科教育作为学科教育的重要内容和表现形式，以当时的社会历史和文化为背景，随着数学学科的发展而发展，并经过历次改革而不断丰富。随着我国教育改革的不断深入与数学教育研究的不断深化，无论是数学教育观念，还是数学教师的角色都发生了深刻变化，各种新思想和新理论不断涌现，各种相应的教学改革实验也相继展开，这已成为世界数学教育改革的潮流。邓小平同志的“教育要面向现代化，面向世界，面向未来”昭示人们：要赶上世界数学教育发展的潮流，结合我国数学教育的成功经验，建立起具有中国特色的数学教育体系，是我们面临的任务，21世纪为数学学科教育将带来新的发展契机。可以预见，21世纪我国的数学学科教育必将进入一个新的发展阶段，达到一个全新的理论水平，为数学学科教育的研究提供更加广阔的用武空间。在这样的一个背景下，数学教育的理论研究仍然有许多空白需要填补，数学教育需要运用现代的先进教育理论、观念和科学方法，需要在已有的基础上进一步深入地开展研究工作，以适应不断发展的新形势。基于此，撰写了本书。

本书用清晰明了的文字对数学思想教育进行了明确、清晰的表述，以学科建设的理论性与实践性的紧密结合为原则，试图从数学思想教育的角度，通过对数学思想发展、数学教学论原理、数学学习方法、数学教学实践等方面的分析，阐释数学思想教育的相关理论知识，力求体现本书的循序渐进性，使读者能够获得更广泛的理解数学思想教育的相关理论知识，为对进一步深入实践的读者提供一些可供借鉴的资料。

本书共分为五章。第一章对数学思想发展概论及方法论的研究意义进行了介绍，主要包括结构主义思想及其发展、数理统计思想及其发展、数理逻辑思想及其发展、模糊数学思想及其发展和数学方法论的研究意义。第二章对数学教学论的原理、原则进行了分析。

第三章为数学学习的科学化研究，包括数学学习的基本理论、数学学习的基本思维过程、数学学习的思维形式。第四章为数学教育的核心内容，包括数学教育目标的确定、数学教学模式和数学思想方法的教学。第五章为数学教学实践研究，包括数学课堂教学基本技能训练和数学教学设计。本书在撰写的过程中，参考了许多同仁的相关作品，在此，对相关作者表示衷心的感谢。由于受水平、能力及视野的影响，加之材料来源及实践感悟的局限性，本书不一定全面准确，疏漏之处，敬请专家、同行及广大读者指正，以便今后更加完善。

作　者

2015年3月第一章　数学思想发展概论及方法论的研究意义第一节　结构主义思想及其发展一、结构主义思想的相关认识

结构主义以法国的布尔巴基为代表，思想的来源是公理化方法，布尔巴基采用这一方法，反对将数学分为：分析、几何、代数、数论的经典划分，而要以同构概念对数学内部各基本学科进行分类。结构主义认为数学是以数学结构作为研究对象的科学，所谓“结构”就是在某个抽象集合的元素之间引进了运算或变换所组成的系统。结构中必须包含元素间的关系，而这些关系是由运算或变换来决定的。

全部理论数学或大部分数学都可以按照结构的不同而加以分类，可以利用公理化方法抽象出各个学科的各种结构，找出各个数学分支间的结构差异。这样，就可以获得各个数学分支的内在联系的清晰图景。

具体说来，数学结构可分为代数结构、序结构与拓扑结构三大类。这三大类结构称为母结构，由它们还可导出各种子结构或通过交叉，形成各种分支结构。（一）代数结构

代数结构，也称为代数系统，是离散性对象加运算构成的结构系统。它可以分为多种类型，基本的代数系统包括群、环、域、向量空间等基本内容，当然也包括加、减、乘、除四则运算，但还包括更抽象的运算。

其中，群结构是最基本的代数结构，它反映了抽象代数的本质。群论研究在数学中经常遇到的代数运算的最一般性质：数的加法、数的乘法、向量的加法、变换的合成等都是这种运算的例子。

采用数学结构主义方法考察群时，不是注意各种具体的数学集合，而是注意集合（按群的运算）所表现的内在关系结构。为此，我们必须注意群运算所具备的基本性质，如群的公理等，这些是我们所要研究的对象。

在有理数范围内，所有的有理数运算——加、减、乘、除均可无限制地进行，这样一个数的集合叫作一个域。数域是抽象代数中的一个基本概念，有理数域是我们遇到的第一个数域。有理数域，克服了自然数系的缺陷，相对而言，是比较完美的，对四则运算是封闭的，而且具有稠密性，它为日后数学的发展提供了一个重要的工具。在此基础上，全体实数对于加法、乘法构成域，全体复数对于加法、乘法构成域。

从0和1出发，通过有理数运算可以构造出全部的有理数。事实上，通过加法可构造出2，3，4，…的任何自然数；再通过减法可得到全体整数；再通过除法运算就可得到全体有理数。正因为如此，英[1]国数学家哈代曾说：“数学家同画家或诗人一样，也是造型家。”

同样，我们还可以建立环、线性空间的理论等，这样就把代数系统使用的范围扩大了。（二）序结构

序结构是由某种特殊的关系定义的，它通常表示为“小于或等于”，例如在实数集R中，任意两个实数总有一个比另一个大，这种关系“＜”就在R中定义了一个顺序结构。

序结构较为常用的有两种：半序集和全序集。如果集合A的元素之间定义了一个关系“R”，它具有自反性、反对称性和传递性，则称R为A上的半序关系。如果集合A上定义了一个半序关系，则称集合A为半序集。同一集合可以给出不同的半序关系而成为R的半序集。

如果集合A的元素之间定义了一个关系“R”，它具有自反性、反对称性、可比性和传递性，则称R为A上的全序关系。满足自反性、反对称性、可比性和传递性的集合A为全序集（或有序集）。相同的两个有序集，不但这两个集合的元素相同，而且它们的全序关系也必须相同。全序关系不同的两个集合是不同的有序集。（三）拓扑结构

拓扑结构是指在一个集合X中分出一族子集作为邻域，依邻域系可研究极限过程。这种结构可以用邻域公理、开集公理等加以描述。为了刻画图形的拓扑性质，就要运用拓扑空间，这是比欧氏空间更为一般的新的空间。拓扑空间是在开集公理上定义了开集的非空集合。

拓扑方法是研究局部性质过渡到整体性质的方法。整体和局部是一对哲学范畴，全局由各个局部组成，但并非各个局部的简单总和，它高于局部。局部是整体的一部分，但有时局部会影响整体，甚至起[2]主要的决定性作用。

从某种意义上说，拓扑学研究拓扑变换下保持不变的性质，因此有人把拓扑学形象地比喻为“橡皮几何学”。这是因为它所研究的图形的性质在图形作橡皮变形（如随意的挤压、拉伸或扭曲等）时，只要不撕裂和不粘连，就保持不变。这种变形就是拓扑变换。连续映射直观上就是使图形作各种连续变形，只要不破裂、不粘合，那么，图形的大小、长短、形状都可能会改变。

像上述谈到图形的“不破裂”和“不粘合”的连续变形，就是拓扑不变性。图形边界的封闭性、内部连续性、维数等，也都是图形的拓扑性质，这是图形的最一般的本质属性。在拓扑同胚的意义上，一个圆和一个正方形是没有区别的，它们都把平面分成两个连通部分。我们通过一个“一一对应的同胚下保持不变的双方连续变换”可将圆变为正方形，反之亦然，这种变换就是拓扑变换。

但是，研究整体性质的几何拓扑学并不能够脱离局部性质。上面说到的拓扑变换定义中就有双方连续的提法，而连续正是局部性质。连续依赖于极限定义，而极限可用邻域描述。由于数学对象的扩展，邻域可以是区间，可以是平面上的圆、空间中的球、曲面体上的一小块，甚至可以是无穷维空间上的一个特定的子集。点集拓扑学正是处理最一般空间中的局部性质与整体性质的学问。它的任务是研究点集[3]的特性，按某种特征将点集分类。

数学结构主义揭示，数学广大领域上众多的数学部门所体现的多样性，可以通过它们共同的内在渊源——“结构”而获得统一，数学发展的内在生命就源于这种对数学统一性的追求。“结构”是数学进一步发展的基础，同时又是数学中新概念、新理论的归宿，在“结构”基础上的统一性促进着今天、明天和未来的数学进展。“数学就像一座大城市，当它的远郊在多少有点杂乱无章的向外伸展时，市中心却进行着一次接一次的重建。每一次都依据构思更为新颖、清晰和合理的计划，在拆除陈旧的、迷宫般的小胡同时，又修筑更方便、更宽敞、更笔直的林荫大道通向四方。”这段话是对数学结构主义基本思想方法极形象的概括。二、结构主义思想的形成与发展

谈到结构主义，不得不先讨论一下公理化方法。数学的公理化方法是数学自身发展的一种结果，是数学严格表述的基本方法之一，自从公理化方法问世以来，它对推动数学的发展起了积极的作用。

公理化方法（也称之为公理方法），就是从尽可能少的无定义的概念（基本概念）出发去定义其他的一切概念，从一组不证自明的命题（基本公理或公设）出发，经过逻辑推理证明其他的一切命题，进而把一门学科的知识建构成为演绎系统的一种方法。人们通常也把由原始概念（或称之为基本概念）、公理所构成的演绎系统称之为公理[4]系统。

几何《原本》的成功，使人们开始广泛地运用公理化方法来发展数学。公理化的现代发展就是结构方法。20世纪30年代，法国的布尔巴基学派运用公理化方法，对整个数学加以整理，发现数学分支之间的区别在于结构不同。

布尔巴基学派的观点和主张对数学教育改革思潮起到了推波助澜的作用。20世纪60年代前后国外曾兴起的中学数学教学革新运动，即所谓“新数学运动（new mathematics movement）”，就是在结构主义观点影响下所形成的一个浪潮。

布尔巴基学派一贯坚持共同讨论，合作研究。他们运用公理化方法力图把一些数学分支中进行论证的最基本、最重要的出发点分离出来，并加以比较，这样便形成了各种结构的概念。他们分工合作，陆续出版了一大套书籍，名为“数学原本”。1939年出版了第一卷，名为“数学史原本”，此书完全按照结构发展的观点叙述了数学发展史。到1973年，《数学原本》共出版了36卷，但这一进程仍未结束。

在《数学原本》内，许多数学分支都经过仔细的结构分析，并安放到适当的位置上。《数学原本》是一套博大精深的著作，它涉及现代数学的各个领域，并概括了一系列最新成果，其内容包括集合论、代数、一般拓扑、实变函数、线性拓扑空间、积分、Riemann几何、微分拓扑、调和分析、Lie群等。

结构主义本质上可以看成是近代形式公理化思想的一个发展。数学公理化思想仅限于分析、探讨每门数学的公理化方法，并设法把每门数学搞成纯形式的演绎系统。而结构主义则采取全局观点，旨在分析各个数学分支之间的结构差异和内在联系，对每门数学而言，也着重分析其结构特征或关于它的某些基本结构的组成方式（当然，在以结构观点来分析问题时，同构的概念特别重要，因为凡是具有同构性质的一些结构，本质上都是同一种东西）。

可以说，布尔巴基的结构主义学派为专业研究的数学家提供了一张解剖图和一把手术刀，它能帮助人们认清一些数学对象的本质。但是，它的缺点也是明显的。结构主义对数学用演绎方法、公理化方法进行整理，却没有提供创造性的思维导向。因此，在数学教育改革历史上，试图把中学数学全盘结构化是有极端化倾向的，并因此成为导致新数学运动失败的原因之一。结构主义忽视应用也是其自身存在的[5]问题。结构主义试图概括整个数学的愿望最终归于破灭。布尔巴基的结构主义观点，自20世纪30年代形成以来，在20世纪50、60年代盛极一时，在中学数学教材改革中也曾奉为经典，20世纪70年代以来，结构主义观点开始走下坡路了。第二节　数理统计思想及其发展一、数理统计思想的相关认识

数理统计是一门以概率论为基础的关于数据的收集、整理、分析和推断的数学学科，它通过对大量随机现象的观察、研究，以发现其内在规律性，并以此对其作出一定的判断和预测。（一）数理统计的特性

首先，数据必须带有随机性的影响，才能成为数理统计学的研究对象。在数理统计中，研究的随机变量分布是未知的，只能通过对其进行大量的观察或试验，从得到的信息（如观察值等）中进行分析、找寻事件的发生规律，对随机变量的分布或特性作出种种推断。如考虑一个国家的全面人口普查，假定人力、物力、时间允许我们对国内每一个人的状况调查，而这种调查又是准确无误的，则我们可以利用普查所获得的数据通过既定的方法，把所感兴趣的指标计算出来。总之，数据是否具有随机性，是区别数理统计方法和其他数据处理方法的根本点。

数据的随机性来源有二：一是抽样的随机性，出于经济原因的考虑或时间的限制或问题性质决定。不可能或没有必要得到研究对象的全部资料，而只能用“一定的方式”抽取其中一部分进行考察。这样所得到的数据的随机性就是来自抽样的随机性；二是试验过程中的随机误差，即在试验过程中未加控制或无法控制或不便控制，甚至是不了解的因素所引起的误差。在实际问题中这两类随机性常常交织在一

[6]起。

其次，收集数据要用有效的方法。一是建立一个在数学上可以处理并尽可能简单方便的模型来描述所得数据，二是数据中要包含尽可能多的、与所研究问题有关的信息。

最后，有效地使用数据。就是要用有效的方法去集中和提取试验数据中的有关信息，对所研究的问题作出合理的、尽可能精确和可靠的结论。（二）数理统计的思想方法

从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次的观察，其规律性一定能够显现出来。但实际上人们常常无法对所研究对象的全体进行观察，而只能选取具有代表性的一小部分（即样本）来进行试验，利用试验数据提供的局部信息对整体（即总体）的特性进行合理的推断。这种由样本来推断总体的方法实际上是由特殊到一般的归纳推理方[7]法，即统计的研究方法。

数理统计着重于通过对试验数据或者某些特定指标的研究，来发现随机现象的规律，并做出某些预测和估计。具体地，数理统计的基本思想是：（1）确定一个客观存在的总体；（2）得到上述总体的一个样本；（3）根据样本得出的数据来推测总体的某些特性。

数理统计作为数学的一个分支，其方法本质是归纳式的，统计方法的归纳性，源于它所做出的结论是根据观察到的大量的个别情况“归纳”起来所得，而不是由一些假设、命题和已知的事实，按逻辑推理得到。[8]

数理统计的内容十分丰富，大体上可分为收集数据和统计推断两个方面。

1．收集数据

收集数据，是数理统计研究内容的一个方面，它研究如何对随机现象进行观察或试验，以便获得能够很好地反映整体情况的局部数据。其内容包括抽样技术、试验设计等。

2．统计推断

统计推断是数理统计的核心部分，它研究如何对收集到的局部数据进行整理、分析，并对所考察的对象的整体特性作出尽可能准确可信的估计和推测。其内容归纳如下：

注：资料来源于陈文英等主编，《概率论与数理统计》，科学出版社，2012，125。（四）数理统计学的应用

数理统计是概率论的应用，并且这种应用在自然科学、管理科学、工程技术、农林科学、计量经济学以及人文社科等学科中越来越广泛，几乎在人类活动的一切领域中都能不同程度地找到它的应用，且其研究内容也随着科技和社会的不断发展而迅速拓展。

随机性的普遍存在，为数理统计学的应用提供了一个广阔的用武[9]之地。（1）在农业方面，诸如在若干个种子品种中挑选一些优良品种，及通过田间试验决定种子最优的生产条件方面，“试验设计”及“方差分析”已经是常规手段；在工农业生产中，新产品、新工艺、新材料的开发研究，大批产品的抽样检验，元件和设备的可靠性分析等，皆依赖于统计方法。（2）统计方法在医疗卫生中有广泛的应用。例如，一种药品的疗效如何，要通过细心安排的试验并使用正确的统计分析方法，才能比较可靠地做出结论。其他，如分析某种疾病的发生是否与特定因素有关（一个著名的例子是吸烟与患肺病的关系），关系大小如何，再比如在污染大气的许多有害成分中，哪些成分对人体有何种程度的影响，这些问题常常是用统计方法去研究的。（3）现在用统计方法进行社会调查很普遍。如社会学家在研究各种社会问题，心理学家在研究各种心理学问题时，离不开实地调查的工作，而这些工作常用“抽样调查”的方式进行。统计方法在确定调查规模和制定适当的抽样方案，以及对所得来的资料进行正确分析上，都是很有用的。（4）经济活动离不开种种数量指标及其关系，因而这个领域是统计方法得到较早和较多使用的一个领域。例如在市场预测方面，现在有一门“数量经济学”的学科，其内容主要就是将统计方法用于分析种种经济问题的数量方面。（5）统计方法在气象预报、地震和地质探矿等方面有一些应用。在这类领域中，人们对事物的规律性认识尚不充分，使用统计分析方法可能有助于获得一些对潜在的规律性的认识，而用以指导人们的行动。不过，在人们对事物的规律性认识很不充分的情况下，一些起较大作用的系统性因素，只好当作随机性因素来处理，这样，统计分析的精度或可靠性就较差。（6）自然科学的任务是揭示自然界的规律性。一般是先根据若干观察或试验资料提出某种初步理论或假说，然后再从种种途径通过试验去验证。统计方法在这里起相当的作用。一个好的统计方法有助于提取观察或试验数据中带根本性的信息，因而有助于提出正确的理论或假说。在有了一定的理论或假说后，统计方法可以指导人们如何去安排进一步的观察或试验，以使所得数据更有助于判定理论或假说是否正确。统计学同时也提供了一些理论上健全的方法，以估计观察或试验数据与理论的符合程度如何，一个著名的例子是遗传学中的孟德尔（Mendal）定律。这个根据观察资料提出的定律，经历了严格的统计检验。数量遗传学的基本定律——哈迪—温伯格（Hardy-Weinberg）平衡定律，也是属于这种性质。

综上所述，统计方法有很广泛的实用性，它与很多专门学科都有关系，而且随着计算机的普及和计算技术的廉价化，以前因计算上的困难而限制其应用的统计方法重新被不同领域的学者所认识而焕发出新的活力，从而为统计学的应用打开了一个前所未有的广阔空间。二、数理统计思想的形成与发展[10]

数理统计思想起始很早。但17世纪以前，统计只是和反映或表示国家情况的事实记录制度相联系在一起。据记载，中国早在公元前2238年尧舜时代就有人口调查的事例，此外，古代埃及、罗马以及波斯等也有人口调查的记载，这可作为统计思想的早期萌芽。而统计学作为学理研究则始于古希腊的亚里士多德时代，迄今已有2300多年的历史。

一般认为，数理统计学是英国统计学家格兰特于17世纪60年代创立的。他最早用数学方法研究人口现象进行统计推断。1662年，他组织调查伦敦市死亡人数，从数量上去掌握整体的推断，来揭示人口现象的数学规律。他的专著《自然和政治方面观察死亡统计表》被认为是数理统计学中的第一部重要的科学文献。他这一学问曾被称为“政治算术”。他对生命统计、保险统计及经济统计进行了数学的研究，提出的“大数恒静定律”成为统计学的基本原理。到了18世纪，统计才开始向一门独立的学科发展，用于描述表征一个状态的条件的一些特征，这是由于受到概率的影响。当时各国对人口和资源的测定很感兴趣，对有关经济、社会和政治等方面的统计数据的搜集与解释成为当时政府所特别关注的目标。统计学的数学性质逐步加强，特别是概率论日益成熟，为统计学的兴起不断地提供理论根据，并应用到各种统计方法中。1763年贝叶斯发表的《论机会学说问题的求解》对后世的统计思想产生深远影响。

18世纪末至19世纪中叶，已产生将概率论引进统计学而形成的数理学派。首先是数据分析开始借助于概率模型来研究，最早的代表是德国数学家高斯，他为了描述天文观测的误差而引进正态分布，并使用最小二乘法作为估计方法，是近代数理统计学发展初期的重要里程碑。20世纪以来，最小二乘法经过俄国数学家马尔可夫和其他学者的工作，成为数理统计学中的一个重要方法。

19世纪中叶，以比利时统计学家A.凯特勒（1796—1874年）和英国人类学家高尔顿（1822—1911年）的工作为代表，统计学有了许多新发展。高尔顿最早把统计方法应用于生物学。他对遗传学尤为感兴趣，搜集了很多资料，从豌豆到人类，专门研究数据的模型及相关关系。他首先引入了回归和相关的概念。1889年他出版《自然的遗传》一书，提出了相关系数和回归直线，创立了回归分析。高尔顿还提出了中位数、四分位数、百分位数及四分位偏差等概念。凯特勒主张用研究自然科学的方法研究社会现象，正式将古典概率引进统计学，使统计学发展到一个新阶段，并使统计方法获得普遍应用。他对天文学、数学、物理学、生物学、社会统计学及气象学均有研究。将统计方法应用到上述范围中，并强调了正态分布的用途，指出这一分布可适用于许多学科范畴。他曾致力于比利时国势调查以及组织国际统计活动，引进了“平均人”的概念，起了总体概念的先导作用。（二）数理统计思想的发展

从19世纪到第二次世界大战结束，是数理统计学发展的极其重要的时期，现在越来越多的人倾向于把现代数理统计学的发展和达到成熟定在这个时期的始末。数理统计学中的许多根本性的重要概念、原理和方法，统计学中主要的分支学科，都是在这个时期建立和发展[11]起来的。

英国是数理统计的研究中心，它代表了当时科学与生产力发展的最高水平，以费希尔和皮尔逊为首。英国数学家K.皮尔逊（K.Pearson，1857—1936年）是对生物学进行统计研究的第一人，他将数理统计应用于生物遗传和进化诸问题，得到生物统计学和社会统计学的一些基本结论，进一步发展了回归和相关的理论。1891年他提出“概率”和相关的概念，后来他又提出“总体”“众数”“标准差”“变差系数”“均方根误差”“正态曲线”“平均变差”等一系列数2理统计基本术语。1900年，他引进著名的χ检验法，以说明实际数据2与分布族的拟合分布优劣问题，并证明其极限分布是χ分布，这个结果是大样本统计的先驱性工作。他发展了回归分析理论，引入了复相2关系数和净相关系数，他还提出了第一个小样本分布——χ分布以及2χ检验拟合优度检验。

费希尔是数理统计作为一个进一步完善的数学学科的奠基者，他的理论研究成果有：数据信息的测量、压缩数据而不减少信息、对一个模型的参数估计等。他提出了“方差分析”和“试验设计”这两个统计学理论，系统地发展了正态总体统计量的抽样分布，这标志着相关、回归分析和多元分析等分支学科的初步建立。他还提出了极大似然估计法，至今，还支配着统计学的发展。

一门学科的形成，其标志是该学科面貌内容的确定，对统计学来2[12]说就是χ分布、t分布和F分布的导出及其在统计方法中的应用。到了20世纪40年代，现代数理统计学已形成了自己完整的体系。

二战后，数理统计学在理论上也出现了若干根本性的新进展，主要是贝叶斯统计、统计决策理论和多元分析的兴起。

20世纪60年代后，电子计算机的应用日益广泛和深入，有力地促进了数理统计的发展，使得过去一些停留在理论上的方法付诸实现。比如，涉及数十个自变量的大型回归问题的变量选择问题，有了计算机才得以实现。利用计算机进行模拟和仿真，在短时间处理大量数据，从多个角度进行透彻分析，使“数据分析”从中提取更多的有[13]用信息成为可能。

由于统计学与其他科学新理论的结合，不断产生新的边缘科学和新的统计分支，数理统计学急速发展，愈加严谨系统、愈加数学化，也使得统计方法的应用范围愈加广泛，统计学的地位也日趋重要。第三节　数理逻辑思想及其发展一、数理逻辑思想的相关认识

人们在交往活动中，尽管自然语言是一种非常好的交流思想的工具，但它不适合用来进行严格的推理，因为自然语言在叙述时往往不够确切，易产生二义性。因此，就需要制定一种符号语言（也称为客观语言、形式语言、目标语言）。在这种符号语言中，为了避免二义性，需要引进一些符号，并对这些符号给出明确的定义。

逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早是由古希腊学者亚里士多德创建的。数理逻辑是用数学方法即建立一套符号体系的方法来研究推理的形式结构和规律的一门学科，包括逻辑演算、集合论、证明论、模型论、递归论等内容。由于在逻辑学中使用了符号，故数理逻辑也称为符号逻辑。数理逻辑研究的主要问题是推理。所谓推理是指研究前提和结论之间的关系与思维规律。数理逻辑的特点是[14]讲言叙述简单明了，通俗流畅，逻辑性强。[15]

一般认为，数学是研究空间形式和数量关系的一门科学，逻辑是研究思维形式及其规律和方法的一门科学，但它们都完全撇开其内容，仅仅从形式方面加以研究，因而均具有高度的抽象性，所以在分类上它们同属于形式科学。同时，数学和逻辑的应用都十分广泛，往往成为研究其他科学的工具，因此又常常同被人们称为工具性科学。

数学与逻辑的研究对象虽各不相同，但它们的性质、特点却有很多共同和类似的地方，正因为如此，它们关系十分密切，在内容和方法上可以互相运用和相互渗透。

认识数学和逻辑的关系，应着重把握二者的辩证关系——一致性、差异性和相互作用性。（1）数学和逻辑具有一致性的关系。这是因为：

其一，数学和逻辑都是一门形式科学，数学是研究空间形式和数量关系结构的，逻辑是研究思维的形式结构的，二者的研究对象都是高度抽象的结构，它们的定义、定理、原理、法则等都撇开了研究对象的具体事物的内容，而仅仅保留其形式和关系，是一种形式化的思想材料。

其二，数学和逻辑都具有严谨性，数学的科学性是靠推理论证的严密性和结论的确定性来得证的，逻辑也只有当它的推理论证严格而形成严谨的公理化系统时才形成科学。

其三，数学和逻辑的规则都是普遍有效的，因而二者都具有广泛的应用性。数学的应用自不待言，对逻辑而言，可以肯定地说哪里有思维哪里就有逻辑，一切科学都在应用逻辑。（2）数学与逻辑也具有差异性。一方面，数学和逻辑的研究对象不同，数学的研究对象是客观事物的空间形式与数量关系，而逻辑学的研究对象是思维的形式及规律；另一方面，数学和逻辑的任务和目标不相同，数学的主要目标和任务是揭示客观事物的空间形式与数量关系的特征，探索其规律性，而逻辑的主要目标和任务却是为了解决思维推理形式的有效性或真实性问题。（3）数学和逻辑又具有很强的相互作用性关系。一方面数学的发展得益于逻辑。首先，数学是一门具有高度抽象性和严谨性的科学，它的公式、定理、法则、原则等的正确性不可能由具体实验和经验实践来证明，只能从逻辑上加以严格演绎论证才被确认。如果没有逻辑，数学的大厦就无法建造，至少可以说不能建构系统的公理化的演绎的数学科学，即现今意义上的数学是根本不可能存在的。再从数学或其某一分支的产生和发展来看，数学发展有其自身的规律，但它的发展阶段也是伴随着逻辑的发展而前进的，集中体现出人类思维和智慧的成果。数学理论的形成，需要有一个有关经验材料的积累过程，然后进入提炼整理阶段，再经过组织和演绎，最后才形成一个系统。无疑，在整个过程中都需要运用逻辑（开始阶段运用归纳逻辑多一些，在整理阶段则应用演绎逻辑多一些）。

另一方面，逻辑的发展也要依靠数学的推动。数学理论的突破和数学方法的创新是推动逻辑发展的重要力量。从古典逻辑学到近现代逻辑学的产生和发展，中西方数学都做出了各自的独特贡献。数学方法与逻辑方法的融合，借用数学的方法来研究逻辑关系和问题，也使得两种学科的关系更加紧密。数理逻辑的诞生和发展便是明证。数理逻辑就是用数学方法即用人工语言研究概念、命题以及命题之间的关系，构成十分严密的符号系统，因此有人把数理逻辑叫作符号逻辑。逻辑发展史表明，逻辑是离不开数学方法应用的，当今逻辑学的发展更是需要站在相当的数学基础之上，离开了数学方法，当今逻辑学的最先发展就不可能实现。如果说传统形式逻辑向数理逻辑发展依靠的是数学方法的应用的话，那么当今或今后逻辑学的发展与进步也必须以广泛的数学方法应用为基础。

总之，数学与逻辑的发展是密切相关的，它们相互影响，互相推进，数学发展影响和推进了逻辑的前进，反过来逻辑发展又影响和推动了数学的进步。[16]

1．语言

逻辑语言是一种形式化语言，它与自然语言的不同之处在于它是人工定义的语言。逻辑语言通常包括符号表和语法，其中符号表规定了逻辑语言中所使用的符号，由符号表和相关语法可生成项和公式。直观上说，逻辑语言中的符号、项、公式分别类似于自然语言中的字、词、句。逻辑语言中的公式并不是符号的任意组合，而是由符号表中的符号按照给定的语法规则构造的表达式，通常将这种表达式称为良构公式（wellformed formulas）或合式公式，简称公式。

2．语义

逻辑语言中的语句是由抽象符号构成的公式，它本身并没有具体的含义，要使其有意义，必须给出相应的解释，通过解释而得到的意义称为语义。如将逻辑语言中的语句解释为关于一定对象的描述，可反映对象的属性或对象之间的关系。这些对象可以是数学对象，如群、图、自然数等，也可以是日常生活中的对象，如汽车、计算机、员工等。类似于自然语言中很多句子有正确与否之分，逻辑语言中的语句有真假之分，这种真假取值简称真值。通过语义的定义可以确定一个逻辑语句的真值。

3．推演系统

推演系统由一组公理或推理规则组成。其中，公理是一些公式，表示可不加证明而被接受的断言。推理规则是由公式（组）产生公式的生成规则，它本质上是一种符号串的重写规则。通常，公理或推理规则是以模式（schema）的形式给出的。模式是对具体公理或推理规则的抽象概括，每一条公理或推理规则模式都代表无穷多个公理或推理规则实例。（三）数理逻辑的主要分支

数理逻辑的主要分支包括逻辑演算（包括命题演算和谓词演算）、模型论、证明论、递归论和公理化集合论等。下面主要对逻辑[17]运算中最基本也是最重要的逻辑演算进行介绍。

1．命题演算

命题演算即Ls，是研究关于命题如何通过一些逻辑连接词构成更复杂的命理以及逻辑推理的方法。命题逻辑是数理逻辑的基本组成部分，是谓词逻辑的基础。

所谓命题，是指具有非真必假，能判断真假的陈述句。命题仅有两种可能的值：真和假，二者只能取其一，真用1或T表示，假用0或F表示。命题的真假具有客观性质，而不由人的主观决定。由于命题只有两种可能的值，故称命题逻辑为二值逻辑。例如，6是偶数；我是学生；1+6=10等。

简单命题（或称为原子命题）：不能再分解为更简单命题的命题。原子命题是命题逻辑的基本单位。

复合命题：由若干个简单命题和如“或者”“并且”“非”“如果……则……”“当且仅当”等命题连接词、标点符号或圆括号构成的命题。

2．谓词演算

命题逻辑中，形式化的对象及命题演算的对象都是语句。但是，在数学乃至一般推理过程中，许多常见的逻辑推理并不能建立在命题演算的基础上。例如，张三的每位朋友都是李四的朋友，王五不是李四的朋友，所以王五不是张三的朋友。这类推理无法用命题逻辑中的运算操作得到。因此，我们必须深入到语句的内部，也就是要把语句分解为主语和谓语。

谓词演算也叫命题涵项演算。在谓词演算里，把命题的内部结构分解成具有主词和谓词的逻辑形式，由命题涵项、逻辑连接词和量词构成命题，然后研究这样的命题之间的逻辑推理关系。谓词逻辑是命题逻辑的延伸。二、数理逻辑思想的形成与发展

恩格斯曾经指出，关于思维的科学，是一种历史的科学，是关于[18]人的思维的历史发展的科学。因此，了解一下数理逻辑思想的发展简史是很有必要的。（一）数理逻辑思想的形成

早在两千多年以前，伴随着生产实践、自然科学和思想论战的发展，以思维和论辩的方法为研究对象的逻辑学就在中国、印度、希腊逐步产生了。不过，当时它还不是一门独立存在的科学，而是在哲学的怀抱里孕育成长的，它经历了一个漫长的过程才从哲学中分化出来，并逐渐走向成熟。

在数理逻辑发展的早期，主要分为东方的古典逻辑和西方的形式逻辑。

东方的古典逻辑以中国和印度为代表。在我国，有关逻辑学方面的研究，主要表现在墨子与墨家学派、惠施、公孙龙、荀况等人的著作和言论中。其中，以《墨经》对逻辑学的贡献最为卓著。《墨经》六篇是墨家后学多次的集体论撰而成的，它是一部重经验、重实践、发展墨子思想，并总结百家名辩的体系著作，内容不仅包括几何学、力学、光学等自然科学方面，还涉及概念、判断、推理、证明以及思维规律等方面，特别是其中的《大取》《小取》二篇以讨论逻辑学见长，其成就远远高于先秦其他各家的名辩思想。

西方最早运用了数学方法研究逻辑的系统。以德谟克里特、苏格拉底和柏拉图为代表的早期古希腊的学者对形式逻辑进行了初步研究，内容涉及归纳、演绎、类比、定义、划分以及判断等方面的问题。[19]将逻辑学作为一门独立的科学进行研究的是亚里士多德，他以严格的逻辑求证为原则，对所有现存事物加以分门别类的整理和考察，最早从形式结构来论述演绎推理，从而第一次全面、系统地研究了逻辑学的各种主要问题，由他开始了形式逻辑的古典阶段。亚里士多德开创的形式逻辑的古典阶段，包括几种常见的演绎推理和最简单的量词理论，也使用一些特有符号。按照亚里士多德划分的次序，逻辑学的要素分别是概念、范畴、判断、推论、论证和归纳法。因此，有人称亚里士多德为“逻辑之父”。古希腊斯多葛学派在亚里士多德成就的基础上对逻辑学做了进一步的发展，他们将逻辑学划分为修辞学和辩证法，将亚里士多德的10个范畴缩减成了4个，还研究了复合判断的问题，把复合判断区分为假言判断、选言判断和联言判断等。（二）数理逻辑思想的发展

17世纪，随着实验自然科学的兴起和发展，在意大利、法国和德国，文艺复兴时期的伟大思想家和自然科学研究者们正在为近代科学和哲学奠定基础。英国哲学家弗兰西斯·培根（1561—1626年）开拓了新的逻辑科学领域，研究了科学归纳法问题，奠定了归纳逻辑的基础。他有意识地针对亚里士多德的《工具论》，对科学方法作了阐释，完成了主要著作《新工具》，对科学做了分类，与神学划清了界限。

真正开始数理逻辑的近代研究的是17世纪末，德国哲学家莱布尼茨（1646—1716年）。符号语言和思维的演算是莱布尼茨提出的重要思想，也是数理逻辑的重要特征。他成功地将命题形式表达为符号公式，提出了命题演算的原则和公理，建立了科学史上最早的逻辑演算，从而奠定了数理逻辑的基础，使他成为公认的数理逻辑发展史上的奠基人。

到了19世纪，英国哲学家穆勒继续发展了培根的归纳学说，他在《逻辑体系》中，明确而系统地阐述了科学归纳的五种逻辑方法，即契合法、差异法、契合差异并用法、共变法和剩余法，充实了归纳逻辑的内容。英国数学家布尔首先提出了布尔代数（1854年），给出了逻辑的符号化问题及初步的做法，成为数理逻辑的早期形式。其后，皮亚诺（Giuseppe Peano, 1858—1932年）引进了“包含于”“存在”“属于”等符号，为初步自足的逻辑演算做了不少具体的工作。

20世纪30年代后期至今为数理逻辑发展的新阶段，数理逻辑经过多人的不断努力，已经发展成为一门内容丰富的学科，产生了以五大中心内容为对象的分支学科研究：证明论、递归论、模型论、公理集合论和各种逻辑系统的研究，并衍生出直觉主义逻辑、多值逻辑、组合逻辑、代数逻辑、模态逻辑、概率逻辑、模糊逻辑、非标准分析等许多分支。它们对数学、计算机科学、人工智能、语言学、控制论、自动化、心理学、量子力学等都有深远的影响。第四节　模糊数学思想及其发展一、模糊数学思想的相关认识（一）模糊数学的价值

模糊数学是以不确定性的事物为其研究对象，以“模糊集合”论为基础，运用数学方法研究和处理模糊性现象的一门数学新分支[20]。

在自然界和人类实践活动中经常遇到各种各样的现象，从数学的角度看，这些现象大体可分为三类：一类是确定的，如“向上抛一块石头必然下落”，这种在一定条件下有确定结果的现象称为确定性现象，这种现象的规律性可以用经典数学去刻画；另一类现象是随机的，如在相同的条件下，向上抛一枚质地均匀的硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，在每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么。在一定条件下进行试验或观察会出现多种可能的结果，而且在每次试验之前都无法预知会出现哪一个结果，这种现象称为随机现象，它的规律性可以用概率论与数理统计去刻画；第三类现象是模糊现象，如良好、接近、稳定等，这些概念之间并没有明确的界限，我们称这些概念为模糊概念，由模糊概念所导致现象称为模糊现象。为处理分析这些“模糊”概念的数据，便需要模糊数学。

模糊数学的基本思想是：用属于程度代替属于或不属于。模糊数学为人们提供了一种处理不肯定性和不精确性问题的新方法，是描述人脑思维处理模糊信息的有力工具。（二）模糊数学的相关概念

在模糊数学中，称没有明确边界（没有清晰外延）的集合为模糊集合，它是模糊数学的理论基础。与普通集合不同，模糊集合的逻辑基础是多值逻辑。元素属于模糊集合的程度用隶属度或模糊度来表示。用于计算隶属度的函数称为隶属函数。在模糊集合中，给定范围内元素对它的隶属关系不一定只有“是”或“否”两种情况，而是用介于0和1之间的实数来表示隶属程度，还存在中间过渡状态。因此隶属函数的实质就是将特征函数推广到模糊集合，从普通集合中只取0.1两值推广到模糊集合中为［0，1］区间的任意值。通常把隶属函数表示为μ（x），它满足：0≤μ（x）≤1。正如扎德所说，指明各个元素的隶属集合，就等于指定了一个集合。（三）模糊数学的应用

模糊数学是一门新兴学科，但目前在各个领域的应用十分广泛。[21]

模糊数学的应用主要体现在以下两个方面。（1）模糊方法。这主要表现为模糊规划方法、模糊决策方法、模糊评价方法和模糊识别、模糊评判、模糊的聚类分析等方法，这是模糊概念和模糊表述方式在管理科学、控制论和聚类分析中的应用，它能够充分体现为模糊概念和模糊运算下的优越性。（2）模糊技术。模糊数学不仅作为模糊逻辑方法和模糊定量（软）方法，而且为着应用，如今还形成了具有设备投资和产业化特征的“技术”，叫作模糊技术。目前的模糊技术主要体现为模糊控制特征，将{0，1}事物［0，1］化。

在实际应用方面，模糊数学不仅在传统的物理、化学、生物学等方面取得了显著的效益，而且应用于通常来说的那些与数学关系不大的学科，如心理学、语言学、社会科学等，使数学的应用范围大大扩展。近年来，人们运用模糊数学的原理来刻画、描述概念并进行判断、评价、推理、规划、决策和控制等过程，使得模糊数学在气象、结构力学、控制、心理学等方面已有具体的研究成果。比如，在工业控制领域中，应用模糊数学，可使空调器的温度控制更为合理，洗衣机可节电、节水、提高效率。在现代社会的大系统管理中，运用模糊数学的方法，有可能形成更加有效的决策。实践证明，模糊数学中的模糊聚类分析、模糊模型识别、模糊综合评判、模糊规划、模糊决策、模糊控制等方法在农业的病虫测报、种植区划、品种选育以及在图像识别、地质地震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用效果十分明显，许多方面取得了良好的社会和经济效益，值得推广和进一步提高。从该学科的发展趋势来看，它具有极其强大的[22]生命力和更广阔的应用空间。

模糊数学最重要的应用领域是计算机智能，模式识别是计算机应用的重要领域之一。一方面，人脑能在很低的准确性下有效地处理复杂问题。如计算机使用模糊数学，便能大大提高模式识别能力，可模拟人类神经系统的活动进行学习、推理、判断、识别、控制等思维过程，然后对信息进行加工、改造和处理，并对其实行自动控制和模拟。模糊数学在计算机仿真技术、多媒体辨识等领域的应用取得了突破性进展，如图像和文字的自动辨识、自动学习机、人工智能、音频信号辨识与处理等领域均借助了模糊数学的基本原理和方法；另一方面，模糊数学大大推动了新一代计算机的研制。目前，世界上发达国家正积极研究、试制具有智能化的模糊计算机，1986年日本山川烈博士[23]首次试制成功模糊推理机，它的推理速度是1000万次／秒。

总的来说，模糊数学在认识世界、改造世界的实践活动中已经表现出了强大的生命力。但是，模糊数学仍然是一个新兴的学科，其理论体系还远远没有成熟，还需要不断充实和完善理论，扩大应用空间。而该学科的一些新的数学方法和思想方法，也有待于在实践中检验。而且，模糊数学本身的系统化、严密化，它与其他数学分支的相互关系，也正在成为热门的问题。随着现代数学的发展和计算机技术的不断提高，该学科存在着巨大的可发展空间和广大的前景。二、模糊数学思想的形成与发展

长期以来，人们一直重视研究和发展数学的精密性，模糊性一直被忽视甚至于被贬低。20世纪的大哲学家罗素（B.Russell）开始关注模糊性问题。他在1923年的一篇题为《含糊性》（Vagueness）的论文中明确指出：“认为模糊知识必定是靠不住的，这种看法是大错特错的。”尽管罗素声名显赫，但这篇的文章并未引起当时学术界对[24]模糊性或含糊性的很大兴趣。

随着社会的发展，特别是科学技术的发展，人们开始对模糊性的研究有所要求。为了用严谨的科学手段去研究模糊现象、分析模糊性质，模糊数学应运而生。模糊数学的出发点就是通过数学的手段研究和分析模糊现象的内在规律。尽管模糊数学的研究对象是模糊现象，但其研究方法还是在精确数学的基础上发展起来的，其模糊规律的分析和总结最终是依靠精确数学的手段实现的。这种从精确到模糊，再由模糊到精确的过程不是原地踏步，而是螺旋式地前进，是自然辩证[25]法否定之否定原理的深刻体现。

1965年，美国自动控制专家扎德（L. A.Zadeh）教授发表了题为《模糊集合论》（Fuzzy Sets）的论文，从而宣告了模糊数学的诞生。扎德教授集中思考了计算机为什么不能像人脑那样进行灵活的思维与判断问题，为此他提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型，在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律，开展有关的理论研究，并对模糊系统进行定量的描述和处理。扎德的模糊集合的概念奠定了模糊性理论的基础。他用模糊集合的理论找到了解决模糊性对象及其性质的问题，并加以确切化，从而使研究确定性对象的数学与研究不确定性对象的数学沟通起来，弥补了精确数学、随机数学描述的不足之处。在此基础上，现在已形成一个模糊数学体系。近50年来，这个领域从理论到应用，从软技术到硬技术都取得了丰硕成果，对相关领域和技术，特别是一些高新技术的发展产生了日益显著的影响。

自20世纪70年代中期发展至今，我国现已拥有一支实力较强的科研与教学梯队，培养了不少专门人才。特别是中国模糊集与系统学会成立后，大大推动了该学科研究队伍的壮大和科研水平的提高。首先，在模糊数学理论方面，不断追求创新，我国不仅出版《模糊数学》杂志，还出版了许多颇有价值的论著，对模糊数学的研究产生了重要的影响。其次，在模糊信息处理、气象预报、地质勘探、生态环境、企业管理、生物学、心理学等领域，我国学者也取得了一些重要的突破性进展。第五节　数学方法论的研究意义

数学方法论是数学教育学学科群中的一个重要学科，是研究数学的发展规律，数学的思想、方法、原则，数学中的发现、发明和创新法则的学科，它隶属于科学方法论的范畴，是科学方法论在数学中的具体体现。研究数学方法论，无论是对数学学科自身，还是数学教育来说都具有重要的意义。一、从数学学科自身的发展来看

纵观数学发展史，每一项重大的成果，无一不是首先在思想方法上得到突破和创新，如笛卡尔的“坐标法”、伽罗华的“群论”思想等。当今科学发展的重要特征之一就是各门科学的数学化趋势，这不仅表现为数学知识的普遍运用，更重要的是数学的思想方法向各门科学的广泛渗透与应用。荷兰数学家斯蒂文指出：“比起任何特殊的科[26]学理论来，对人类的价值影响最大的恐怕还是科学的方法论”。马克思则更深刻地指明：“只有掌握了数学方法，科学才能尽善尽美”。（一）有助于认识数学的本质

数学的本质不仅反映在它的客观基础和数学内容的辩证性质方面，而且在它的发展方式上也有深刻的表现。数学是人类对世界的一种认识，是客观世界在人脑中的反映，它源于客观世界，产生于实践之中，又必须回到实践中接受实践的检验。从这一认识过程来看，数学与所谓的经验科学是相同的，但数学的发展具有相对于人的实践的“独立性”，数学科学的体系正是这种独立发展的结果。数学方法论是关于认识规律的科学，它不仅总结了数学的科学认识方法、数学推理的逻辑方法和非逻辑方法，而且揭示了数学发现和创造的规则，研究数学的客观基础，从而可以使人们从数学的发展方式中把握数学内在的本质和规律。

在数学方法论研究中，我们可以通过对数学内容辩证性质的探讨，进一步认识数学的本质。马克思和恩格斯在自己的著作中，都对微积分内容的辩证性质作过精辟的分析，并从而概括其本质。马克思在《数学手稿》中，着重对导函数概念作了探讨，他认为，导函数生成的过程就是原函数经历了“否定之否定”的发展过程，并深刻指出：“理解微积分运算时的全部困难（正像理解否定的否定本身时那样），恰恰在于要看到微积分运算是怎样区别于这样简单手续并因此导出实际结果的。”恩格斯在谈到微积分的本质时，也曾经明确指出：“变数的数学——其中最重要的部分是微积分——本质上不外是辩证法在数学方面的运用。”事实上，微积分中所运用的思想方法就是辩证法。就拿微积分中最基本的牛顿——莱布尼茨公式来说，就是通过常量与变量的相互转化而推得的。本来作为曲边梯形面积的定积分是一个确定的常量，但为了推导牛顿——莱布尼茨公式，却特地把此定积分看作是上限函数，即把常量转化为变量。然后，在证明一个定理成立的基础上，又反过来把变量转化为常量，最终得到了这一公式。因此可以说，牛顿——莱布尼茨公式就是常量与变量辩证统一[27]的结果。（二）有助于全面把握数学的发展规律

通过数学思想方法的研究，可从数学内部的矛盾运动这个侧面来发现和认识规律，以弥补过去只注重从外面研究的不足，更加全面地把握数学发展的规律。比如，在关于数学潜形态的研究中，一方面可以提高对数学新思想萌发和形成规律的认识；另一方面，还可以加强对数学由“潜”到“显”转化机制的掌握。研究表明，对新事实的解释、对理论体系自身矛盾的研究、对个体结论的推广等，均是科学新思想产生的有效途径，树立科学成效观、积极开展自由论争、大力倡导科学伯乐精神、实行科学的组织管理等，都是加速科学由“潜”到“显”转化的重要机制。这对深入探讨数学由“潜”到“显”转化的[28]规律，显然是有启示意义和参考价值的。（三）有助于不断促进数学的发展

研究数学方法论对于促进数学的发展具有重大意义。纵观数学发展的历史可以清楚地看到，数学上每一项重大成果的取得，无不与数学思想的突破及方法的创新有关。因此，掌握数学方法论并努力开拓新的思想方法是数学创造的巨大动力。

例如，笛卡尔十分重视数学方法论的研究，他创立的坐标法把长期分道扬镳的数与形结合起来，实现了数学思想与方法的重大突破。这不仅创立了解析几何，为微积分的诞生奠定了理论与方法的基础，而且大大促进了后期数学的进一步发展。又如，对数学作出了重大贡献的许多著名数学家，如伽罗华、罗巴切夫斯基、黎曼、维纳等，也都是基于数学方法的总结和创新，才开辟了群论、非欧几何、控制论等崭新的研究领域，推动了数学的发展。[29]

数学功能的发挥，同数学能力的培养一样，关键不在于知识的积累与传递，而在于思想方法的领会、运用以及创造新的思想方法上面。实践越来越证明，数学在科学技术各领域、社会科学各部门以及生产、生活的各行各业，都有广泛的应用。这是因为，任何事物都是量与质的统一体，要想真正认识某一事物，不仅要把握其质的规定性，而且还要了解其量的规定性，因此，数学能够应用于各种物质运动形态，马克思曾指出：一门科学只有当它达到了能够运用数学时，才算真正发展了。

那么怎样在各方面更加广泛地应用数学呢？我们认为，加强数学教育，特别是加强数学思想方法的教育，是至关重要的。数学的科学功能的发挥，主要是靠数学思想方法向科学各领域的渗透与移植，把数学作为一种工具加以运用，从而促进其发展。当代科学数学化的趋势明显地反映出这一点。数学的思维功能的发挥也是如此。我们说数学是一种思维工具，实质上就是指它的思想方法。我们往往通过数学的考核来判定一个儿童的思维能力与智力水平，其根据也在于此。至于数学的社会功能的发挥，同样还是靠数学思想方法的运用。我们说某人办事有数学头脑，无非是说他能灵活地运用数学思想方法。欧拉作为一位数学家，之所以不仅在代数、数论、微积分等数学分支研究上取得了突出成果，而且还在力学、物理学、天文学、航海、造船、建筑等许多非数学领域做出重大贡献，集中到一点就是他具有深刻的数学思维和非凡的运用数学解决实际问题的才能。二、从数学教育来看（一）有助于培养数学能力

数学教育的根本目的在于培养数学能力，即运用数学解决实际问题和进行发明创造的本领，而这种能力和本领，不仅表现在对数学知识的记忆，而且更主要地反映在数学思维方法的利用。对一个科技工作者来说，数学思维方法是创造的源泉、发展的基础，也是数学能力的集中体现。加强以数学知识为载体的数学思想方法的学习和研究，有助于树立正确的数学观，真正理解数学的价值，提高自己的认识能力和数学思维水平。

数学思想方法比纯形式化的数学知识更重要，前者比后者更具有普遍性，这是人们的共识。可以说，数学上的发现、发明主要是方法上的创新。典型的例子是伽罗瓦开创的置换群的研究，用群论方法确立了代数方程的可解性理论，彻底解决了一般形式代数方程根式解的难题。再例如，解析几何的创立解决了形、数沟通和数形结合及其互

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