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质量工程师《质量专业理论与实务（中级）》名师讲义、真题、预测三合一试读：
第一部分 名师讲义
第一章 概率统计基础知识
第一节 概率基础知识
一、事件与概率（一）随机现象
1．概念
在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。
只有一个结果的现象称为确定性现象。
2．特点（1）随机现象的结果至少有两个；（2）至于哪一个出现，事先并不知道。
认识一个随机现象首要的是罗列出它的一切可能发生的基本结果。这里的基本结果称为样本点，随机现象一切可能样本点的全体称为这个随机现象的样本空间，常记为Ω。（Ω是一个集合，每个样本点就是这个集合中的一个元素。试分析抛一枚硬币的样本空间、掷一颗骰子的样本空间）【例题1.1.1】下列表述中，属于随机现象的是（ ）。
A．一天内进入超市的顾客数
B．一天之内的小时数
C．顾客在商场购买的商品数
D．一棵树上出现的害虫数
E．加工某机械轴的误差【答案】ACDE【解析】在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。随机现象具有两个特点：①随机现象的结果至少有两个；②至于哪一个出现，事先并不知道。“一天之内的小时数”这一现象的结果只有一个，属于确定性现象。（二）随机事件
随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母A、B、C等表示。
1．随机事件的特征（1）任一事件A是相应样本空间Ω中的一个子集。常用维恩（Venn）图表示样本空间与事件的关系，如图1-l所示。（长方形代表样本空间Ω，长方形中的一个圆（或其他几何图形）代表事件A）图1-1 维恩（Venn）图（2）事件A发生当且仅当A中某一样本点发生，若记ω，ω是Ω中12的两个样本点（如图1-1）：
当ω发生，且ω∈A（表示ω在A中），则事件A发生；111
当ω发生，且ωA（表示ω不在A中），则事件A不发生。222（3）事件A的表示可用集合，也可用语言，但所用语言应是明白无误的。（4）任一样本空间Ω都有一个最大子集，这个最大子集就是Ω，它对应的事件称为必然事件，仍用Ω表示。（5）任一样本空间Ω都有一个最小子集，这个最小子集就是空集（不包含样本空间中的任何一个样本点），它对应的事件称为不可能事件，记为ø。【例题1.1.2】若产品只区分合格与不合格，并记合格品为“0”，不合格品为“1”。则（1）检查两件产品的样本空间Ω由下列四个样本点组成。
Ω＝{（0，O），（0，1），（1，O），（1，1）}
其中样本点（0，1）表示第一件产品为合格品，第二件产品为不合格品，其他样本点可类似解释。
下面几个事件可用集合表示，也可用语言表示。
A＝“至少有一件合格品”＝{（0，0），（0，1），（1，0）}；
B＝“至少有一件不合格品”＝{（0，1），（1，0），（1，1）}；
C＝“恰好有一件合格品”＝{（0，1）（1，0）}；
Ω＝“至多有两件合格品”＝{（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}；（必然事件）
ø＝“有三件不合格品”＝空集。（不可能事件）3（2）检查三件产品的样本空间Ω含有2＝8个样本点。
Ω＝{（0，0，O），（0，0，1），（0，1，O），（1，0，O），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，O），（1，1，1）}
下面几个事件可用集合表示，也可用语言表示。
A＝“至少有一件合格品”＝{Ω中剔去（1，1，1）的其余7个样本点}；
B＝“至少有一件不合格品”＝{Ω中剔去（0，0，0）的其余7个样本点}；
C＝“恰有一件不合格品”＝{（0，0，1），（0，1，0），（1，0，l0）}；
C＝“恰有两件不合格品”＝{（0，1，1），（1，0，1），（1，l，20）}；
C＝“全是不合格品”＝{（1，1，1）}；3
C＝“没有不合格品”＝{（0，0，O）}。0
2．随机事件之间的关系（1）包含
概念：在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A中任一个样本点必在B中，则称A被包含在B中，或B包含A，记为，这时事件A的发生必导致事件B发生。如图1-2所示。
显然，对任一事件A，有。图1-2 （2）互不相容
概念：在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A与B没有相同的样本点，则称事件A与B互不相容。这时事件A与B不可能同时发生，如图1-3所示。图1-3 A与B互不相容
两个事件间的互不相容性可能推广到三个或更多个事件间的互不相容。【例题1.1.3】设事件A与B互不相容，则下列说法中，正确的有（ ）。[2010年真题]
A．A与B没有相同的样本点
B．A∪B=Ω
C．AB=ø
D．A与B相互独立
E．A与B不能同时发生【答案】AE【解析】在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A与B没有相同的样本点，则称事件A与B互不相容。则A与B的交集为空集，A与B不能同时发生。（3）相等
概念：在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A与B含有相同的样本点，则称事件A与B相等，记为A＝B。（两个相等事件用点的集合表述时应完全相同，但如用语言表述则可能有不同的表述方式）
注意：如果两个事件相等，它们必互相包含，即若A＝B，则有反之若两个事件互相包含，则它们相等。（三）事件的运算
1．对立事件。在一个随机现象中，Ω是样本空间，A为事件，由包含在Ω中而不在A中的样本点组成的事件称为A的对立事件，记为（如图1-4所示）。（显然，对立事件必然是互不相容的）图1-4
2．事件的并。由事件A与B中所有样本点（相同的只计入一次）组成的新事件称为A与B的并，记为A∪B，如图1-5所示。并事件A∪B发生意味着“事件A与B中至少一个发生”。（“或者”关系）图1-5 A与B的并
3．事件的交。由事件A与B中公共的样本点组成的新事件称为事件A与B的交，记为A∩B或AB，如图1-6所示。交事件AB发生意味着“事件A与B同时发生”。（“并且”关系）图1-6 A与B的交
事件的并和交可以推广到多个事件中。
4．事件的差。由在事件A中而不在B中的样本点组成的新事件称为A对B的差，记为A-B，如图1-7所示。图1-7（a） A-B图1-7（b） A-B
事件运算的性质（集合的基本运算法则）：（1）交换律：A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A（2）结合律：A∪（B∪C）＝（A∪B）∪C，A∩（B∩C）＝（A∩B）∩C（3）分配律：A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C），A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）（4）对偶律：
以上性质都可用维恩图加以验证，都可以推广到更多个事件的运算中。【例题1.1.4】设事件A＝“某零件寿命小于1000小时”，事件B＝“某零件寿命大于8000小时”，则A与B之间的关系是（ ）。
A．
B．
C．A＝B
D．AB＝ø【答案】D【解析】因为事件A与事件B中无相同的样本点，所以事件A与事件B的交集为空集，即AB＝ø。（四）概率——事件发生可能性大小的度量
一个随机事件A发生可能性的大小称为这个事件的概率，并用P（A）表示。概率是一个介于0到1之间的数。概率愈大，事件发生的可能性就愈大；概率愈小，事件发生的可能性也就愈小。特别，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，即：P（ø）=0，P（Ω）=1
二、概率的古典定义与统计定义（一）概率的古典定义
1．概率的古典定义要点（1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有n个样本点；（2）每个样本点出现的可能性相同（等可能性）；（3）若被考察的事件A含有k个样本点，则事件A的概率为：
2．计数原理（1）乘法原理：如果做某件事需经k步才能完成，其中做第一步有m种方法，做第二步有m种方法，……，做第k步有m种方法，那12k么完成这件事共有m×m×…×m种方法。12k（2）加法原理：如果做某件事可由k类不同方法之一去完成，其中在第一类方法中又有m种完成方法，在第二类方法中又有m种完12成方法，……，在第k类方法中又有m种完成方法，那么完成这件事k共有m＋m＋…＋m种方法。12k
3．排列组合的定义及计算公式（1）排列：从n个不同元素中任取r（r≤n）个元素排成一列称为一个排列。按乘法原理，此种排列共有n×（n-1）×…×（n-r+1）个，记为。若r＝n，称为全排列，全排列数共有n！个，记为P，即：n（2）重复排列：从n个不同元素中每次取出一个作记录后放回，再取下一个，如此连续取r次所得的排列称为重复排列。此种重复排r列共有n个。注意这里的r允许大于n。（3）组合：从n个不同元素中任取r（r≤n）个元素并成一组（不考虑其间顺序）称为一个组合，此种组合数为：
规定。
注意：排列与组合都是计算“从n个不同元素中任取r个元素”的取法总数公式，其间主要差别在于：讲究取出元素间的次序，用排列公式；不讲究取出元素间的次序，用组合公式。至于是否讲究次序，应从具体问题背景加以辨别。（二）概率的统计定义
概率的统计定义的要点：（1）与事件A有关的随机现象是可以大量重复试验的；（2）若在n次重复试验中，事件A发生k次，则事件A发生的频率n为：
频率f（A）能反映事件A发生的可能性大小；n（3）频率f（A）将会随着重复试验次数不断增加而趋于稳定，这n个频率的稳定值就是事件A的概率。在实际中无法把一个试验无限次地重复下去，只能用重复试验次数n较大时的频率去近似概率。
三、概率的性质及其运算法则（一）概率的基本性质及加法法则
性质1：概率是非负的，其数值介于0与1之间，即对任意事件A，有：0≤P（A）≤1
特别，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，即：P（ø）＝0，P（Ω）＝1
性质2：若是A的对立事件，则：
或【例题1.1.4】抛三枚硬币，至少一个正面出现（记为事件A）的3概率是多少？
解：在抛三枚硬币的随机试验中，诸如（正，反，正）这样的样本点共有8个。A中所含这样的样本点较多，但其对立事件＝“抛3三枚硬币，全是反面”＝{（反，反，反）}，只含一个样本点，从等可能性可知。再由性质2，可得：
性质3：若，则：P（A-B）＝P（A）-P（B）
性质4（加法法则）：事件A与B的并的概率为：P（A∪B）＝P（A）+P（B）-P（AB）
特别若A与B互不相容，由于P（AB）＝P（ø）＝0，则：P（A∪B）＝P（A）+P（B）【例题1.1.5】已知P（A）＝0.5，P（B）＝0.6，P（A∪B）＝0.8，可算得P（AB）＝（ ）。[2007年真题]
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.5【答案】B【解析】根据概率的加法法则：P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB），则有P（AB）＝P（A）＋P（B）－P（A∪B）＝0.5＋0.6－0.8＝0.3。
性质5：对于多个互不相容事件A，A，A，…，有：123P（A∪A∪A∪…）＝P（A）+P（A）+P（A）+…323123
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]