作者：史治平
出版社：人民邮电出版社
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5G先进信道编码技术(5G关键技术系列)试读：
前言
信道编码是无线通信系统的关键技术，与多址接入技术、多输入多输出（MIMO）技术一起组成了 5G 空中接口的三驾马车。在2016年5G的标准化进展中，信道编码方案成了异常耀眼的亮点。3GPP围绕5G的三大应用场景——增强移动宽带（eMBB）、大规模机器通信（mMTC）和高可靠低时延通信（URLLC），候选编码方案在美国主推的低密度奇偶校验码（LDPC码）、中国主推的极化码（Polar码）以及法国主推的Turbo码之间展开。在2016年10月的里斯本会议以及11月的里诺会议上，LDPC码作为eMBB数据信道的编码方案，极化码作为eMBB控制信道的编码方案进入了5G 后续的标准化讨论。虽然 Turbo码在这次激烈的竞争中未能获得一席之地，但是Turbo码在第三代和第四代移动通信中的辉煌以及在信道编码中里程碑式的意义是值得我们去探索的。
本书在回顾移动通信和信道编码的发展历程的基础上，重点介绍了LDPC码、极化码、Turbo码3种信道编码方案的基本原理、编译码方案，以及它们在3GPP RAN#1中的有关进展。3种编码方案各具特色，是目前现代编码领域的重点研究内容，它们不仅是移动通信系统中信道编码的候选技术，也是卫星通信、军事通信、物联网、光通信等众多通信系统中信道编码的候选方案。2017年是5G技术发展的关键阶段，信道编码的讨论也将进入具体方案设计。因此本书不仅是5G技术人员的参考书，也是一本编码领域以及通信领域相关技术人员的参考书，同时也可以作为通信领域相关专业高年级本科生或研究生的参考教材。
本书在编写过程中得到了电子科技大学通信抗干扰技术国家级重点实验室周亮教授和张忠培教授的大力支持，他们对本书结构和内容的完善都做出了重要贡献，对本书的编写都给予了大力的支持和帮助，在此表示衷心的感谢！另外，也感谢实验室的田佳佳、任亚军、赵永佳、吕凤橙、唐锐、闫秦怀、甘柳月、于清苹、邓莉、李艳霞、李一鸣、张淑君等同学，他们完成了本书部分资料的整理、校对与编辑工作，在此表示感谢！
另外，特别感谢FuTURE论坛和出版社的所有老师给本书出版提供的大力支持。最后也衷心地感谢本书所有参考文献的作者以及相关人员，是你们的付出为本书的出版奠定了基础。
由于时间和水平有限，书中难免有不足之处，敬请广大读者批评指正！史治平2017年1月第1章绪论
本章回顾移动通信发展过程，介绍第五代（5G）移动通信系统及其关键技术；回顾信道编码的发展过程，介绍信道容量、信噪比、差错率、香农限、编码增益等基本概念。1.1 移动通信的发展过程
现代人的工作、学习与生活都离不开移动通信，手机给人们带来的好处不言而喻。随着第四代（4G）移动通信系统网络的大规模商用以及5G系统的日趋成熟，新一代移动通信系统离我们越来越近。[1]本节回顾移动通信的发展过程，介绍第一代（1G）移动通信系统到第五代移动通信系统的基本情况。1.1.1 第一代移动通信系统
移动通信的蓬勃发展始于20世纪70年代中期。1978年年底，美国贝尔实验室成功研制了先进移动电话系统（AMPS），建成了蜂窝移动通信网，主要采用的是模拟技术和频分多址（Frequency Division Multiple Access，FDMA）技术。该阶段称为第一代移动通信技术。当时的移动通信系统除了美国的高级移动电话系统之外，还包括英国的总访问通信系统（TACS）以及日本的 JTAGS、德国的C-Netz、法国的Radiocom 2000和意大利的RTMI等。
这一阶段的特点是蜂窝移动通信网成为实用系统，并在世界各地迅速发展。除了用户要求迅猛增加这一主要推动力之外，一些技术的进步也为移动通信技术的发展提供了条件。首先，微电子技术在这一时期得到长足发展，这使得通信设备的小型化、微型化有了可能，各种轻便电台被不断地推出。其次，提出并形成了移动通信新体制。随着用户数量增加，大区制所能提供的容量很快饱和，这就必须探索新体制。在这方面最重要的突破是贝尔实验室在20世纪70年代提出的蜂窝网概念，解决了公用移动通信系统要求容量大与频率资源有限的矛盾。第三方面进展是随着大规模集成电路的发展而出现的微处理器技术日趋成熟以及计算机技术的迅猛发展，从而为大型通信网的管理与控制提供了技术手段。以AMPS和TACS为代表的第一代移动通信模拟蜂窝网虽然取得了很大成功，但也暴露了一些问题，比如容量有限，制式太多，互不兼容，话音质量不高，不能提供数据业务，不能提供自动漫游，频谱利用率低，移动设备复杂，费用较贵，以及通话易被窃听等，使得它无法真正大规模普及和应用。昂贵的价格使它成为当时的一种奢侈品和财富的象征。图1-1（a）是第一代移动通信系统时代使用的手机。图1-1 第一代至第四代移动通信的手机1.1.2 第二代移动通信系统
数字移动通信的发展始于20世纪80年代中期，通信技术进入到了第二代（2G）移动通信系统时代，和1G不同，2G采用的是数字传输技术，这极大地提高了通信传输的保密性。2G主要采用的是时分多址（Time Division Multiple Access，TDMA）技术和码分多址（Code Division Multiple Access，CDMA）技术，与之对应的是GSM和CDMA两种体制。2G主要是以数字话音传输技术为核心，无法直接传送如电子邮件、软件等信息；只具有通话和一些如时间日期等传送的手机通信技术规格。不过手机 SMS（Short Message Service，短消息服务）在2G的某些规格中能够被执行。随着2G技术的发展，手机逐渐在人们的生活中变得流行，虽然价格仍然较贵，但并不再是奢侈品。诺基亚3110、摩托罗拉StarTAC等2G时代的经典机型，图1-1（b）是第二代移动通信系统时代使用的手机。
2G到3G（第三代）移动通信系统的发展并不像1G到2G那样平滑顺畅，由于3G是个相当浩大的工程，从2G不可能直接迈向3G，因此出现了介于2G和3G之间的衔接技术——2.5G。HSCSD、WAP、EDGE、蓝牙（Bluetooth）、EPOC等技术都是2.5G技术。2.5G功能通常与GPRS技术有关，GPRS技术是在GSM基础上的一种过渡技术。GPRS 的推出标志着人们在 GSM 的发展史上迈出了意义重大的一步，GPRS 在移动用户和数据网络之间提供一种连接，给移动用户提供高速无线IP和X.25分组数据接入服务。相较于2G服务，2.5G无线技术可以提供更高的速率和更多的功能。1.1.3 第三代移动通信系统
随着移动网络的发展，人们对于数据传输速度的要求日趋高涨，而 2G 网络十几 kbit/s 的传输速度显然不能满足人们的要求。于是高速数据传输的蜂窝移动通信技术——3G应运而生。目前3G存在3种标准：CDMA2000、WCDMA和TD-SCDMA。中国国内支持国际电联确定的 3个无线接口标准，分别是中国电信的CDMA2000、中国联通的WCDMA和中国移动的TD-SCDMA。可以说 3G 的发展进一步促进了智能手机的发展，因为3G的传输速度可以达到几百KB/s。
相对第一代模拟制式手机和第二代GSM、TDMA等数字手机，第三代手机是基于移动互联网技术的终端设备。3G手机完全是通信业和计算机工业相融合的产物，和此前的手机相比差别较大，因此越来越多的人开始称呼这类新的移动通信产品为“个人通信终端”。即使是对通信业最外行的人也可从外形上轻易地判断出一部手机是否是“第三代”：第三代手机都有一个超大的彩色显示屏，往往还是触摸式的。3G 手机除了能完成高质量的日常通信外，还能进行多媒体通信。用户可以在3G手机的触摸显示屏上直接写字、绘图，并将其传送给另一部手机，而所需时间可能不到一秒。当然，也可以将这些信息传送给一台计算机，或从计算机中下载某些信息；用户可以用3G手机直接上网，查看电子邮件或浏览网页；有不少型号的3G手机自带摄像头，这将使用户可以利用手机进行计算机会议，甚至替代数码相机。图1-1（c）是第三代移动通信使用的手机。1.1.4 第四代移动通信系统
作为3G的延伸，4G移动通信系统近几年为人们所熟知，2008年3月，在国际电信联盟无线电通信部门（ITU-R）指定一组用于4G标准的要求，命名为IMT-Advanced规范，设置4G服务的峰值速率要求在高速移动的通信（如在火车和汽车上使用）达到100 Mbit/s，固定或低速移动的通信（如行人和定点上网的用户）达到1Gbit/s。在通往4G技术的路上主要有第三代合作伙伴计划（3rd Generation Partnership Project，3GPP）主导的 LTE（Long Term Evolution，长期演进）和IEEE提出的WiMAX技术，尽管WiMAX可以给其客户提供市场上传输速率最快的网络，但仍然不是LTE技术的竞争对手。LTE项目是3G的演进，它改进并增强了3G的空中接入技术，采用OFDM和MIMO作为其无线网络演进的唯一标准。主要特点是在20 MHz频谱带宽下能够提供下行100 Mbit/s与上行50 Mbit/s的峰值速率，相对于3G网络大大地提高了小区的容量，同时将网络延迟大大降低：内部单向传输时延低于5 ms，控制平面从睡眠状态到启动状态迁移时间低于50 ms，从驻留状态到启动状态的迁移时间小于100 ms。该技术包括TD-LTE和FDD-LTE两种制式，严格意义上来讲，LTE 只是 3.9G，尽管被宣传为 4G无线标准，但它其实并未被3GPP认可为国际电信联盟所描述的下一代无线通信标准IMT-Advanced，因此在严格意义上其还未达到4G的标准。
4G是集3G与WLAN于一体的，并能够传输高质量视频图像，它的图像传输质量与高清晰度电视不相上下。图1-1（d）是第四代移动通信系统使用的手机。4G系统能够以100 Mbit/s的速率下载，比目前的拨号上网快2 000倍，上传的速率也能达到20 Mbit/s，并能够满足几乎所有用户对于无线服务的要求。而在用户最为关注的价格方面，4G 与固定宽带网络在价格方面不相上下，而且计费方式更加灵活机动，用户完全可以根据自身的需求确定所需的服务。此外，4G可以在DSL和有线电视调制解调器没有覆盖的地方部署，然后再扩展到整个地区。很明显，4G有着不可比拟的优越性。1.1.5 第五代移动通信系统
2013年2月，欧盟宣布将拨款5 000万欧元，加快5G移动技术的发展，计划到2020年推出成熟的标准。2014年5月8日，日本电信营运商NTT DoCoMo正式宣布将与爱立信、诺基亚、三星等6家厂商共同合作，开始测试5G网络。预计在2015年展开户外测试，并期望于2020年开始运作。2015年3月1日，英国《每日邮报》报道，英国已成功研制5G网络，并进行100 m内的传送数据测试，并称于2018年投入公众测试，2020年投入商用。因此2020年也被业界认为是5G正式推出的时间。2015年9月9日，美国移动运营商Verizon无线公司宣布，将从2016年开始试用5G网络，2017年在美国部分城市全面商用。美国联邦通信委员会（FCC）针对24 GHz以上频谱用于无线宽带业务宣布了新的规则和法令，从而使美国成为全球首个宣布将这些频谱用于5G无线技术的国家。而且，为了保证美国在无线技术领域的领先地位，美国政府宣布将斥资4亿美元支持5G无线技术研究，这一计划是由美国科学基金会领导的，名为先进无线通信研究计划（Advanced Wireless Research Initiative）。同时，我国在工业和信息化部、国家发展和改革委员会和科学技术部的支持下，依托 IMT-2020（5G）推进组全面开展了5G研发，并在5G需求、概念、关键技术、国际标准、技术试验等方面取得了重要突破，制定了我国5G在2020年商用的发展规划。这些政策与规划预示着人们对于5G的憧憬。1.2 5G及其关键技术
目前，5G 已经成为各国政府与组织在通信领域的研究热点。那么，5G 到底是什么呢？它能为我们带来什么样的好处？又有哪些新的技术呢？1.2.1 5G的愿景
纵观移动通信系统的发展，我们可以看出，从第一代系统开始，几乎是每10年，移动通信系统就更新换代一次。2000年3G开始成熟并商用，2010年4G开始成熟并商用，现在研究5G，2020年成熟应该是符合规律的预期。2020年，我们使用的网络、终端应该是什么样子？人们在使用4G手机时，就开始研究未来的移动通信系统了。
2015年6月，ITU在 ITU-R WP5D 第 22 次会议上确定了IMT-2020的名称、愿景和时间表等关键内容，这成为5G发展史上的重要里程碑。国际电信联盟在会议上将5G正式命名为IMT-2020。这个名称也沿袭了ITU-R对移动通信的命名传统。之前的第三代和第四代移动通信系统分别称为IMT-2000和IMT-Advanced。其实我国在2013年5月就成立了 IMT-2020 推进组，旗帜鲜明地举起了“IMT-2020”的大旗，这也彰显出我国在移动通信的影响力在不断扩大。
这次会议的另一个显著成果是明确了5G的愿景，对5G进行了定[2,3]量描述，主要体现在以下3个方面。（1）应用场景
3个应用场景分别是增强移动宽带、大规模机器通信和高可靠低时延通信，如图1-2所示。图1-2 应用场景
这3个场景与我国IMT-2020推进组发布四大场景基本相同，只是我国将移动宽带进一步划分为广域大覆盖和热点高速两个场景。（2）能力指标
在4G时代，能力指标图体现出的是一个著名的“车”图，在5G时代，这张图是雷达图的形式（如图1-3所示）。可以看到，5G不再单纯地强调峰值传输速率，而是综合考虑8个技术指标：峰值速率、用户体验速率、频谱效率、移动性、时延、连接数密度、网络能量效率和流量密度。图1-3 能力指标（3）不同场景下的技术需求
图1-4是前面两张图的结合，展示了不同应用场景下不同的技术要求。图1-4 场景能力指标
5G的第3个重要问题是时间表。大体分为3个阶段：一是到本次会议结束，主要完成5G基本概念等内容；二是到2017年底，主要是为征集候选技术做准备，制定技术评估方法；三是征集候选技术，进行技术评估，选择关键技术，最后制定标准。这次会议结束以后，5G 研究将进入一个新的阶段。前期主要是概念性研究，后期将转入技术性研究。2015年9月，3GPP召开5G Workshop会议，确定5G的场景和标准计划，按照计划，3GPP将在2019年底完成R16的制定工作，满足ITU IMT-2020提出的要求，并在2020年作为5G标准提交ITU-R。随着ITU和3GPP对5G愿景和时间表的进一步明确化，5G标准进程加速，有望在2020年正式开启商用。
第一代移动通信是模拟技术，只能提供话音服务；第二代实现了数字化话音通信，除了话音通信之外，也可以提供短信服务；第三代是人们熟知的3G技术，以多媒体通信为特征，除了通信之外，还可以进行娱乐和商务办公；第四代是正在使用的4G技术，其通信速率大大提高，标志着进入无线宽带时代；那么第五代移动通信的开展，将使我们能够体验到高速度、低时延、低功耗、万物互联的“信息随心至，万物触手及”美好愿景。1.2.2 5G的关键技术
回顾移动通信的发展历程，每一代移动通信系统都可以通过标志性能力指标和核心关键技术来定义。其中，1G 采用频分多址（FDMA），只能提供模拟话音业务；2G主要采用时分多址（TDMA），可提供数字话音和低速数据业务；3G 以码分多址（CDMA）为技术特征，用户峰值速率达到2 Mbit/s至数十Mbit/s，可以支持多媒体数据业务；4G 以正交频分多址（Orthogonal Frequency Division Multiple Access，OFDMA）技术为核心，用户峰值速率可达 100 Mbit/s～1 Gbit/s，能够支持各种移动宽带数据业务。5G关键能力比前几代移动通信更加丰富，用户体验速率、连接数密度、端到端时延、峰值速率和移动性等都将成为5G的关键性能指标。面对多样化场景的极端差异化性能需求，5G 很难像以往一样以某种单一技术为基础形成针对所有场景的解决方案。在 2015年 2 月，我国IMT-2020推进组发布的[4]“5G白皮书”中，将5G技术创新归纳为两个方面，分别是无线技术和网络技术。在无线技术领域，重点关注的技术有大规模天线阵列、超密集组网、新型多址和全频谱接入等；在网络技术领域，主要关注的有基于软件定义网络（Software Defined Network，SDN）和网络功能虚拟化（Network Function Virtualization，NFV）的新型网络架构。此外，将基于滤波的正交频分复用、滤波器组多载波、全双工、灵活双工、终端直通（Device to Device，D2D）、低密度奇偶检验（Low Density Parity Check Code，LDPC）码、网络编码、Polar码等也被列为5G重要的潜在无线关键技术。根据ITU和3GPP对5G的研究规划，目前正是5G关键技术的形成与验证阶段，并且我国在5G的关键技术与实验验证方面深耕多年，具有丰富的经验，取得了一批重要成果。
随着时间的推进和研究的深入，3GPP在2016年4月的釜山会议[5]RAN1 #84bis上启动了新空口（New Radio，NR）的讨论，其中信道编码（Channel Coding）作为一项基本功能被讨论。信道编码和调制作为 3GPP NR 中的核心技术之一，与多址技术（Multiple Access）和MIMO（多天线）共同构成NR物理层的基本技术，是5G“三驾马车”其中的一匹骏马。会议确定编码调制需要支持 5G 的三大应用场景：eMBB、mMTC 和 URLLC。RAN1#84bis釜山会议对应用场景和仿真参数进行讨论，达成一些协议。2016年6月的RAN1#85南京会议对基本的几类编码技术进行初步讨论，进一步明确了编码评估和选择的准则。2016年 10月 RAN1#86bis 里斯本会议一致通过了在 eMBB 场景中数据信道的长码采用LDPC码的决定；2016年11月的RAN1 #87里诺会议上确定了eMBB场景使用Polar码作为控制信道的编码方案。从这些讨论可以看出，编码调制作为第五代移动通信的关键技术，已经受到了人们的普遍重视。1.3 信道编码及其发展过程
通信的可靠性是对信道的随机畸变特性（如噪声与干扰、多径与衰落、相位模糊等）的抑制特性。实现通信可靠性的基本方法有信道编码或差错控制编码，信道通带调制、信道化（Channelized）编码等。常见的差错控制编码或纠错编码（Error Correcting Code，ECC）有重复码、循环冗余校验（Cyclic Redundancy Check，CRC）码、BCH分组码、卷积码、Turbo码和LDPC码等。常见的有差错控制编码特性的调制有MSK调制及一般的CPM调制、TCM调制、MIMO 信号空间编码等。常见的无编码通带数字调制有 MFSK，MPSK、MPPK、QAM、OFDM 等。常见的抑制载波相位模糊的编码与调制是差分编码调制等。常见的信道化编码有直接序列扩频编码（以特定的编码序列或码形成一种称为码道的通信信道并因此抑制物理信道的噪声与干扰以及衰落等）、Walsh正交码道分割编码等。可靠性编码又称为广义的信道编码，纠错编码又称为狭义的信道编码。本书的信道编码是指狭义的信道编码，又称为纠错编码或差错控制编码。
根据香农（Shannon）的信息论，一个典型的数字信息传输系统的基本模型如图1-5所示。由于干扰的存在和信息码元的随机性，使接收端无法预知也无法识别其中有无错误。为了解决这一问题，信道编码器在信息码元序列中加入具有一定关系的监督元，使接收端可以利用这种关系由信道译码器来发现或纠正可能存在的错误，这种方法称为差错控制编码或纠错编码。不同的编码方法，纠错或检错能力不同。纠错编码的目标是实现以最小的能量、或最小的带宽、或最小的时间代价获得最小的数据传输差错。图1-5 典型数字信息传输系统基本模型1.3.1 信道编码的性能度量
为了更好地理解信道编码的性能，下面首先给出信道容量、信噪[6,7]比、差错率、香农限与编码增益等概念。
1.3.1.1 信道容量
评估数字通信系统性能的重要指标之一是传输速率。传输速率被定义为每秒钟传递的信息量，单位是bit/s，用R表示，是信道平均互b信息的最大值，定义为
其中，变量X和Y分别代表信道的输入和输出；p(x)是变量x∈X的概率密度函数（Probability Density Function，PDF）；I(X,Y)为变量X和Y的互信息；H(Y)是接收信号的熵；H(Y/X)是由于信道噪声而引起的损失熵。由于噪声形式不同以及信道带宽和信号的限制，因此对于不同的信道，对应的信道容量也不同。下面主要讨论加性白高斯噪声（Additive White Gaussian Noise，AWGN）信道的信道容量。
高斯信道是输出信号y∈Y、输入x的条件转移概率分布等于y与x之差为零均值的正态分布的信道，并称差值n=y−x为加性白高斯噪声，其功率谱为均匀谱。在发送信号和接收信号带宽都受限于 W 时，平均功率P受限的信号x，经过平均功率为 N的AWGN噪声信道，接收0信号的平均功率是P+N。当信源信号x的分布p(x) 是高斯分布时，接收信号y的分布p(y) 也服从高斯分布，这时接收信号的熵达到最大值为H(y)=W⋅lb2πe(P+N)，噪声熵为H(n)=W⋅lb2πeN，AWGN 信道下y=x+n，x 与 n 相互独立，H(y|x)=H(n)，所以有
1.3.1.2 信噪比
定义1-1：符号信噪比(S/N)是平均信号功率与平均噪声功率的比s值，简记为S/N。
记信号持续时间为T，信号能量为E，信道带宽W=1 T，则信sss噪比S N等于能量E与噪声功率谱密度N的比值，即s0
带宽为W，双边功率谱密度为N2的白高斯加性噪声02AWGN(W,N2)的方差为σ=N2，所以有00
等效地传输一个信息比特所需要的能量为E，等效信息比特的b传输速率是R，持续时间是T=1/R，信道带宽为W，于是折算到一bbb个信息比特的平均信噪比为
信道容量的表达式可以写为
若W=R，则(S/N)=E/N。E/N与E/N之间的表达关系为bbb0b0s0
其中，是传信率，是平均每个码元传送的信息比特数。
信噪比通常以分贝（dB）表示，分贝数计算为
1.3.1.3 差错率
传输中的差错符号数与总发送符号数的比值P(e)，称为符号差s错率（又称误符号率）；信息数据比特差错率P(e)（又称误码率或误b比特率（BER））是等效的作为信息载体的二进制差错数据数（也称为比特数）与总发送的二进制信息数据数的比值。对于二元无编码传输，P(e)=P(e)。对于有编码传输，P(e)是P(e)的依赖于符号比特sbbs映射关系和译码方法的函数。
数字调制是用载波信号的某些离散状态来表征所传送的信息，在接收端只对载波信号的离散调制参量进行检测。根据已调信号的频谱结构特点的不同，数字调制也可以分为线性调制和非线性调制。在线性调制中，已调信号的频谱结构与基带信号的频谱结构相同，只不过频率位置搬移了；在非线性调制中，已调信号的频谱结构与基带信号的频谱结构不同，不是简单的频谱搬移，而是有其他新的频率成分出现。二进制数字调制主要是振幅键控（Amplitude Shift Keying，ASK）、移频键控（Frequency Shift Keying，FSK）和移相键控（Phase Shift Keying，PSK）3种基本形式。3 种调制方式在频带宽度、调制及解调方式以及误码率等方面的性能不同。从频带宽度和频带利用率上，2FSK 系统最不可取。二进制振幅键控信号，由于一个信号状态始终为零，此时相当于处于断开状态，故又常称为通断键控（On-Off Keying，OOK）信号。在抗加性高斯白噪声方面，相干2PSK性能最好，2FSK 次之，OOK 最差。对信道特性变化的敏感性来说，2ASK的性能最差。多进制数字调制是利用多进制数字基带信号去调制载波的振幅、频率或相位。与二进制数字调制相比，多进制数字调制具有以下两个特点：① 在相同的码元传输速率下，多进制系统的信息传输速率显然比二进制系统的高；② 在相同的信息速率下，由于多进制码元传输速率比二进制的低，因而多进制信号码元的持续时间要比二进制的长。显然增大码元宽度，就会增加码元的能量，并能减小由于信道特性引起的码间干扰的影响等。正是基于这些特点，多进制调制方式获得了广泛的应用。
根据数字通信原理，可以得到加性高斯白噪声信道中不同调制信号的最佳判决器的误码率。
二进制相位调制BPSK的误码率为
其中，E是每比特的平均能量，b。因为四相调制QPSK可以看成正交载波上的两个二进制相位调制系统，所以四相调制误码率与二进制相位调制的误码率相同。
关于矩形QAM调制信号的误码率计算情况如下。k
当k为偶数时，M=2进制QAM系统正确判决的概率为
其中，E是每个符号的平均信噪比。avk
当k为奇数时，对于任意k≥1，M=2进制QAM系统误码率的上限为
其中，E/N是每比特的平均信噪比。avb0
1.3.1.4 香农限[8]
Claude E.Shannon在《通信的数学理论》一文中指出：任何一个通信信道都有一个参数C，称之为信道容量，如果通信系统要求的传输速率R≤C，则存在一种编码方法，当码长n充分大，并应用最大似然译码时，编码系统的错误概率可以达到任意小。这就是著名的信道编码定理（又称为有噪信道编码定理，Noisy Channel Coding Theory）。它指出了信道编码的存在性，奠定了信道编码的理论基础。但是信道编码定理不是构造性定理，至少依据此定理不能衡量或比较一个具体码在具体信道上的极限（n→∞或R→0）性能。
实现无差错信息传输或通信都需要付出代价或使用资源，传输时付出的代价或者使用的通信资源（主要包括时间T、带宽B和能量E）越小越好。对信道编码而言，虽然编码导致传输符号能量降低和相应的符号差错概率增加，但是由于纠错的应用使得译码后的符号差错概率降低和折算到传输每比特信息的能量或者需要的降低，在此意义上使能量或带宽的使用效率最大化。度量这一效率极限的参量即是香农限。
定义1-2：香农限是指单位时间单位带宽上传输1比特信息所需要的最小信噪比。
作为信息传输系统的一个基本极限指标，香农限仍然是一个功率比指标，尽管在数值计算单位上是能量单位与频域上功率谱密度单位之比。编码情况下的香农限又分为广义香农限和狭义香农限两种。广义的香农限是指允许误码率存在时达到该误码率性能所需要的最小信噪比；狭义香农限是指通过编码达到无误传输时所需要的最小信噪比。令P(e)表示误码率，信道容量，b则有
当P(e)=0时，由所得到的为b狭义香农限，表示为
当P(e)≠0时，实际传送的信息率，其中，bR′=R(1+P(e)lb(P(e))+(1−P(e))lb(1−P(e)))，于是广义香农限可以bbbbbb表示为
通过式（1-1）获得的信道容量，以及解方程（1-14）和（1-15）可以得到具体信道下无误传输和有误传输的香农限。
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]