作者：单壿
出版社：上海辞书出版社
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单墫初中数学指津--代数的魅力与技巧试读：
前言
这几本课外读物，是提供给初中同学学习数学用的．
五十多年前，我也是中学生．当时有几本小册子，如许莼舫的《几何定理和证题》，刘尼的《因式分解》等，都写得很好．
可惜这些书，现在都见不到了．
目前充斥市场的是各种练习册、习题集．
学数学，不是为了当熟练的“操作工”、“模仿秀”，而是为了学会思考．
大量重复的练习，不利于培养学习的兴趣，甚至会弄坏了学习的“胃口”．
因此，上海辞书出版社向我约稿时，我承诺写几本有助于培养学习兴趣的书．但现在年事渐高，体力与精力大不如前，花了一年时间才写成三册．
如果同学们能够耐心地阅读这几本书，并觉得对启迪思维有些帮助，那么我就心满意足了．单 墫2014年5月第一章 字母世界
这本课外读物介绍的是初中代数．
读者应当学过小学数学，并且知道有理数的有关知识．
本书是课外读物，当然不同于通常的课本．它的特点可以用四个字概括：曲径通幽．
我们沿着一条小路，僻静的、弯弯曲曲的、有点幽香的小路，通向繁花盛开的数学花园．一路上，能够欣赏到丘壑的错落，享受到山林的野趣，这就是我们所希望的．
本章引领读者进入字母世界，了解其中的种种规则，观念与符号．“入乡问俗”，我们会发现“字母世界”中，绝大多数事物与“数的世界”是一样的，但也有所不同，有一些新的东西，值得我们注意，值得我们学习．
温故知新，就是我们的学习方法．
既然进入这个世界，我们就是其中的一个主人，应当而且可以考虑如何合理地拟定其中的规则，如何自由地运用这些规则，如何欣赏获得的成果，如何解决面临的问题或绕过前进的障碍．
没有东西可以阻挡我们前进．
向前进，你就会产生信心！1．从特殊到一般
代数，顾名思义，就是用字母来代表数．
用字母代表数，有什么好处？
好处就是可以反映一般的规律．例如：2×3=3×2只是一个特殊的、具体的例子．但从这些具体、特殊的例子中，可以归纳出一般的规律：
乘法交换律 对任意两个数a、b，a×b=b×a．
同样地，用字母可以表示：
加法交换律 对任意两个数a、b，a+b=b+a．
乘法结合律 对任意三个数a、b、c，（a×b）×c=a×（b×c）．
加法交换律 对任意三个数a、b、c，（a+b）+c=a+（b+c）．（乘法对加法的）分配律 对任意三个数a、b、c，a×（b+c）=a×b+a×c．
在字母运算时，乘号常常省略．例如分配律可写成a（b+c）=ab+ac．
除法也有分配律，对任意三个数a、b、c（a≠0），（b+c）÷a=b÷a+c÷a．不过，“÷a”可作为“”处理．所以通常只说乘法分配律，而不说除法分配律．
一个等式，如果不论其中字母代表什么数（当然除数不能为0），它们都是成立的，那么这个等式就称为恒等式．
表示上述规律的等式，都是恒等式．2．公 式
很多公式，用字母表示尤为方便．
设正方形的边长为a，周长为p，面积为S，则p=4a，（1）2S=a．（2）
设长方形的长为a，宽为b，周长为p，面积为S，则p=2（a+b），（3）S=ab．（4）
设三角形的一边为a，这边上的高为h，面积为S，则（5）
设梯形的上底为a，下底为b，高为h，面积为S，则（6）
设平行四边形的一边为a，这边上的高为h，面积为S，则S=ah．（7）
设圆的半径为r，周长为p，面积为S，则p=2πr，（8）2S=πr．（9）
设多边形的边数为n，多边形的内角和为S，则S=（n-2）×180°．（10）
其中有些公式是相通的．例如（6）式中：令a=b，（6）式就变成（7）式；令b=0，（6）式就变成（5）式．3．两位数，三位数
两位数32的个位数字是2，十位数字是3．一般地，如果一个两位数，个位数字是b，十位数字是a，这个数应当表示为10×a+b，（1）也就是10a+b．（2）
在数与字母相乘（或字母与字母相乘）时，乘号“×”可以省略，10×a可以写成10a．同样，a×b可以写成ab．
因此，ab并不是十位数字为a，个位数字为b的两位数，而是a与b的乘积．
同样，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c的三位数应当表示为100a+10b+c．（3）
而abc却表示a、b、c三个数的乘积．
有时也用表示十位数字为a、个位数字为b的两位数，用表示百位数字为a、十位数字为b、个位数字为c的三位数．但上面的一条横线绝不能省，否则便产生混乱．
例题 将任一个两位数的十位数字与个位数字交换，再将得出的两位数与原数相加．证明所得的和一定被11整除．
证明 设这个两位数为10a+b，则十位数字a与个位数字交换后，所得两位数是10b+ a．两个数的和（10a+b）+（10b+a）=11a+11b=11（a+b）被11整除．24．65=？2
65=65×65=4225．
不难算出结果，但要一口报出答数，恐怕也不太容易．可以再试一试：275=？
诀窍是“积的末两位是25，百位以上（含百位）是被乘数的十位数字加1再乘以十位数字”．即275=700×（7+1）+25=5625．
更一般地，如78×72=5616．
这类“头同尾合十”的乘法，被乘数与乘数是十位数字相同的两位数，并且个位数字的和为10．相乘时，所得的积，末两位就是被乘数的个位数字与乘数的个位数字相乘，而百位以上（含百位）就是被乘数的十位数字加1再乘以十位数字．
用字母表达更为清晰：设a、b、c为数字，并且b+c=10，那么（10a+b）（10a+c）=100a（a+1）+bc．
理由很简单：用分配律5．手指表示乘法口诀
1×9=9，2×9=18，…，9×9=81，可以用手指来表示．
例如4×9，可以这样表示：
将两手平伸，手心向上．从左开始数至第4个手指（左手的无名指），将它弯起．在它左边有3个手指，右边有6个手指，乘积就是36（四九三十六）．
不妨试一试其他情况，肯定屡试不爽．
为什么呢？
这是不难证明的．
证法一 设k表示1，2，…，9中的某一个数．在第k个手指左面，有k-1个手指；右面，有10-k个手指．而10（k-1）+（10-k）=9k．
证法二 一共有9种情况，不难一一验证．既然9种情况都成立，当然这种方法是正确的．这种证法叫作枚举法或穷举法（穷即穷尽一切可能）．6．三阶幻方
图1-1的正方形由9个小方格组成．每个小方格中各填一个数．如果每一行（上三个数）的和、每一列的和、每条对角线的和，都等于同一个数s，即图1-1a+b+c=s（1）d+e+f=s（2）g+h+i=s（3）a+d+g=s（4）b+e+h=s（5）c+f+i=s（6）a+e+i=s（7）c+e+g=s（8）那么图1-1就称为三阶幻方．
三阶幻方有许多有趣的性质与问题．
例1 已知e=10，求s=？
解 （5）+（7）+（8），得b+e+h+a+e+i+c+e+g=3s，即（a+b+c）+3e+（g+h+i）=3s．（9）（9）-（1）-（3），得3e=s．（10）
所以三阶幻方具有以下性质：
每一行（列、对角线）的和等于中央那个数的3倍．
特别地，在e=10时，s=30．
例2 已知a=15，i=5．求e=？
解 由（10）式，e是s的．a+i+e=s，所以a+i是s的，即a+i是e的两倍．所以三阶幻方有性质：
每条对角线上，两端的两个数的和是中央那个数的两倍．
特别地，a=15，i=5时，e=（15+5）÷2=10．
同样，可得
第二行或第二列上，两端的两个数的和是中央那个数的两倍．
例3 已知h=7，f=9．求a=？
解 （1）+（4），得2a+b+d+c+g=2s．（11）（2）+（5），得b+d+2e+f+h=2s．（12）
由（11）、（12）两式得2a+b+d+c+g=b+d+2e+f+h．（13）
因为c+g=2e，所以在（13）式两边去掉相同的b+d，去掉c+g与2e，得2a=f+h．（14）
即三阶幻方有性质：
对角线端点的数等于不在对角线上并且与这个数不相邻的两个数的平均数．
特别地，h=7，f=9时，a=（7+9）÷2=8．
例4 已知c=18，d=20．求h=？
解 与例3同理可知，2c=d+h，所以当c=18，d=20时，h=2×18-20=16．7．字母运算的建立
代数引进了字母，字母代表数，当然可以进行运算．与数一样，字母（以及数）之间可以进行加、减、乘、除（只要除数不为0），而且服从（加法、乘法的）交换律、结合律、分配律．
我们也可以换一种观点，从另一种角度考虑问题．我们不问字母是否代表数．设想我们来到一个字母世界（今后还会进入集合世界、向量世界、矩阵世界，等等），我们如何在这个世界中逐步建立四则运算，而且上述运算定律均保持成立？
首先考虑字母（数）的乘法.3、a、c、b（一个数，三个字母）相乘，我们将它们用乘号连结起来，成为3×a×c×b．（1）这样的式子就作为乘积（乘法的结果）．所以这种乘法非常省事，可以称为“不乘之乘”．
而且，代数中还可以将乘号“×”，写成简单一些的“·”，甚至不写，例如上面的式子（1）可以写成3·a·c·b，（2）或3acb．（3）当然全是数的情况，如3×2，不能写成32．习惯上将数写在最前面，称为系数．（3）式的系数就是3．习惯上还按照字母的顺序来写，所以（3）式最好写成3abc，（4）这样就便于比较了．3
同一个字母相乘，如a×a×a，可以写成a．这里相同的乘数a称3为底数，相同乘数a的个数3称为指数，乘积a称为a的三次幂．一般地，设n为正整数，称为a的n次幂．
如果含有数与字母的式子中，只有乘法，那么这个式子就称为单32项式．例如-15abc就是单项式，其中-15是系数．在系数为±1时，2常常省去1，只留下正负号．如-ab的系数就是-1．在提及单项式22时，必须包括它的符号．如单项式-ab与单项式+ab是两个不同的单项式．但“+”号在不致混淆时也可省去．
单独一个字母，如a，或者单独一个数，如1001，也都作为单项式．8．2米＋3米
2米+3米=？米．
这个问题太简单了．答案当然是5米．23232abc+3abc=？2323
同样地，答案是5abc．这里的abc与单位“米”地位相当．在相加时，只需要将前面的“系数”2与3相加．2323
2abc与3abc称为同类项，其中的字母相同（都是a、b、c），2233而且每个字母的相应的指数也都相等（a与a，b与b，c与c）．用一句口诀来说：“同类项，同类项，指数底数都一样．”
同类项可以合并，也应当合并．合并的方法就是将系数相加．这里的系数可以是负数．
例如23232323232abc-3abc=2abc+（-3abc）=-abc．
在字母世界中，字母、数、单项式的加法也是很简单的“不加之加”，将它们用“+”号连结起来就可以了．但如果其中有同类项，则应当加以合并．
例1 求3a，5b，-4c，2a，-b的和．
解9．数 轴
数轴，是数、形结合的典范．
在一条直线上，任意取定一点O，称为原点（也就是出发点）．我们用O点表示0．从O出发，规定一个方向为正，相反方向为负．例如下面的水平直线，可以规定向右为正，向左为负．
方向用一个箭头表示（如图1-2）．图1-2
在这直线上再标上单位，例如以1厘米作为单位．这种具有“原点、方向、单位”的直线称为数轴（轴就是直线）．
数轴，可以表示数．
首先，表示整数．由原点向右1个单位，得到的点表示1．再向右1个单位，得到的点表示2．接下去是3、4、…，分别距原点3、4、…个单位，并且在原点的右方，渐行渐远．
由原点向左1个单位，得到的点是-1．再向左1个单位，得到的点是-2．接下去是-3、-4、…，分别距原点3、4、…个单位，并且在原点的左方，渐行渐远．
整数具有“离散性”，每两个整数至少相距1．
数轴也可以表示有理数．将0至1这一段（称为区间［0，1］）二等分，分点就表示．将［0，1］三等分，分点（从左到右）分别是．如果将0至正整数的这一段（区间［0，m］）n等分（n是正整数），那么分点从左到右依次是．
同样，将区间［-m，0］（从负整数-m到0的一段直线）n等分（n是正整数）分点从右到左依次是．
这样，每一个有理数（）都可以用数轴上的点表示．
有理数具有“稠密性”：任意两个有理数a、b之间必有一个有理数．事实上，就是在a、b之间的一个有理数．当然与b，a与之间又有有理数．这样继续下去，在a、b之间有无穷多个有理数．
有理数密密麻麻地排在数轴上．是不是数轴上的每一个点都表示有理数呢？
非也！如果我们以O为顶点，作一个边长为1的正方形如图1-3．再以O为圆心，对角线长OA为半径作圆交数轴于B，那么点B就不表示有理数，也就是说OB（=OA）的长不是有理数．图1-310．序
现实世界是有序的．
数轴上的点从左到右，依次排列．
有理数可以按照大小，顺次排列．
只由乘法产生的单项式，通常将数（连同正负号）因数写在最前面，接下去按字母顺序将各个字母因数逐一写出．
几个单项式，可以按照次数的大小排列．如果其中每个单项式次数相同，例如都是7次，它们的顺序如何确定呢？
我们可以按照字典的做法，先考虑字母a的指数，将a的次数最32223224高的排在最前面，接着排3abc．而-abc与abc中a24的指数都是2，我们进一步考虑b的指数．根据b的指数，将abc排232在-abc前面．这样，上面的4个单项式排成
同样地，多项式应当写成
多项式的各项，按照字母的次数由大到小的排列称为降幂排列．当然也可以反过来，按照字母的次数由小到大来排，这称为升幂排列．例如一个字母x的多项式5323x-4x+2x-x+1是降幂排列．如果写成升幂排列的形式，应当是2351-x+2x-4x+3x．
序与运算一样，是数学中的重要概念．
我们的世界是井然有序的．11．同底数的幂相乘23
a与a都是a的幂，底数相同（都是a），指数分别为2与3．根据定义23a=a×a，a=a×a×a，所以235a×a=（a×a）×（a×a×a）=a．
一般地，对于正整数m，n，mnm+na×a=a．（1）即同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．
由此，可进行单项式的乘法运算，如232232533ab×4abc=（3×4）×（a×a）×（b×b）×c=12abc．即系数与系数相乘，同底数的幂相乘，各部分相乘的积用乘号连结，最后省去乘号．12．多项式的乘法
多项式的乘法，需要用分配律．232
例1 求3ab×（4abc+5ac）．232
解 3ab×（4abc+5ac）2322
=3ab×4abc+3ab×5ac533
=12abc+15abc．2332
例2 求（3ab+2b-4ac）×（4abc+5ac）．23232332
解 原式=3ab（4abc+5ac）+2b（4abc+5ac）-4ac（4abc+5ac）5333362242
=12abc+15abc+8abc+10abc-16abc-20ac．
由此可见，两个多项式相乘应当将第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘，再将各部分的积相加．
一个m项式（有m项的多项式）与一个n项式相乘，得到mn项．当然这mn项中可能存在同类项，如果有就应当合并（参看本章第17节）．13．乘法的例题
例1 求（a+b）（a-b）．2222
解 原式=a-ab+ba-b=a-b．
例2 求（a+b）（a+b）．2222
解 原式=a+ab+ba+b=a+2ab+b．
例3 求（a-b）（a-b）．2222
解 原式=a-ab-ba+b=a-2ab+b．22
例4 求（a+b）（a-ab+b）．32222333
解 原式=a-ab+ab+ba-ab+b=a+b．22
例5 求（a-b）（a+ab+b）．32222333
解 原式=a+ab+ab-ab-ab-b=a-b．
例6 求（a+b）（a+b）（a+b）．22
解 原式=（a+b）（a+2ab+b）322223
=a+2ab+ab+ab+2ab+b3223
=a+3ab+3ab+b．nnn2nn-1-2-3-2-1
例7 求（a-b）（a+ab+ab+…+ab+b）．nnn22nnnn2nn-1-2-2-1-1-2
解 原式=a+ab+ab+…+ab+ab-ab-ab-…-b=a-nb．nnn2-1-2-3
例8 在n为正奇数时，求（a+b）（a-ab+ab-…-nn-2-1ab+b）．nnn22nnnn2-1-2-2-1-1-2
解 原式=a-ab+ab-…-ab+ab+ab-ab+…-nnnn-1ab+b=a+b．14．平方差公式
上节的例1可写成22（a+b）（a-b）=a-b，（1）这个式子极其常用，它表明：
两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差．因此，称为平方差公式．2
例1 2×3×4×5+1=121=11．一般地，4个连续整数的乘积加上1，一定是平方数．请证明这个结论．
证明 设4个连续整数中最小的是n，则其他3个依次是n+1，n+2，n+3．
评注 上面的解法有两点技巧值得注意．第一，将n与n+3乘，n+1与n+2乘．这样分成两组，不仅比较均匀（积都是2次），而且积222n+3n与n+3n+2只差常数．第二，将n+3n+1作为a，1作为b，正好可用公式（1）．2432
例2 化简（2+1）（2+1）（2+1）…（2+1）+1．
解
评注 虽说“1乘如不乘”，但将1变为2-1，用2-1乘原式中的232（2+1）（2+1）…（2+1），便可以运用平方差公式（1）．多次运用这个公式便达到化简的效果．
平方差公式也常常反过来用，即22a-b=（a+b）（a-b）．（2）
例3 计算．
解 每个因数（括号中的数）都是平方差，可以用公式（2）．
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]