作者：（美）汉斯·克里斯蒂安·冯·贝耶尔
出版社：中信出版社
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概率的烦恼：量子贝叶斯拯救薛定谔的猫试读：
前言
退休后，我成为一名量子力学补锅匠。在大学里教了五十年的量子力学，研究生涯中玩弄着数学的奇技淫巧，挣扎着通过各式各样的报告、文章、书籍以及电视节目将量子物理福音带给普罗大众之后，量子力学给我的人生留下了深深的印迹。它点缀了我思考宇宙的方式。
然而，自从高中开始，在我发现乔治·加莫夫（George Gamow）的经典故事集《汤普金先生》（Mr.Tompkins stories）中所描绘的量子撞球和量子丛林的魔幻世界之后，我备受量子力学带来的不安情绪的折磨。到目前为止，它行之有效，且从未让我抑或是其他人失望。然而，尽管使用它并且在大学里教授它，我内心深处却觉得自己并没有真的理解它！我感觉自己不过是在重复着量子先哲们精心设计的步骤。像所有物理学家一样，我熟悉牛顿物理，也即经典物理，且当情势需要时，我可以如同传道者一样引经据典，对答如流，飞快说出它的教令、篇章，口若悬河地去描述它，然而我却从未能这样熟悉量子力学。量子力学的奇幻之处并不在于它数学式的复杂，而在于与生俱来的的悖论和难解之谜。
其中最著名的谜题莫过于薛定谔的那只倒霉的猫的故事——根据量子力学的假设，这只猫同时处于既生又死的状态。其他的难解之谜包含了这样一条论断，即一个量子粒子可以在不同的位置上被同时观测到，这意味着粒子表现得像波一样，波则像粒子一样，而信息则似乎可以瞬时传输。总而言之，这些谜被称为量子奇异（quantum weirdness）。
诺贝尔奖桂冠获得者——理查德·费曼给予我安慰。尽管他是二十世纪最顶尖的量子物理学家，但是仍旧抱怨“没有人真的懂量子力学”，包括他自己！然而他这个极其悲痛的自嘲并未给予我太多的安慰。
随后，意外的事出现了。就在我计划着退休且从自己不会与量子力学相处愉快的那种悲伤论断中撤退时，量子信息前沿领域专家克里斯托弗·福克斯（Christopher Fuchs）的文章让我犹豫不决。尽管我并不是很懂他的文章，但是这篇文章看上去很鼓舞人心。按照科学圈子的传统，我邀请他来到我的学术之家——弗吉尼亚州的威廉·玛丽学院做了一个报告。他接受了邀请，因而我开始在他帮助下寻找量子力学的新解释。它被称为量子贝叶斯理论，一语双关地简写成QBism，这么做的原因，我将在这本书中解释。这些年量子力学使我受益匪浅，且它激发了许多设备的发明，这些发明逐步衍生出改变我们生活的整个工业，而量子贝叶斯理论与量子力学的这些技术方面的应用无关。取而代之的是，量子贝叶斯理论不过是在重新解释该理论的基本部分并赋予它们新的含义。
当我和克里斯托弗成为朋友之后，他很耐心地教导我如何驱散量子奇异的迷雾。在一段时间里，我们相遇在一些国外的会议和研讨会上，诸如在瑞典古堡、加拿大高科技智囊团、瑞士山巅酒店以及巴黎的某个阴郁的礼堂——每个地方，物理学家聚在一起争论着量子贝[1]叶斯理论的是与非。克里斯和我联系密切，我们通过无数的电子邮件交流，我们开怀畅饮。如晨曦照在身上加深了我对量子贝叶斯理论的理解。
尽管量子贝叶斯理论激进，但它并不难懂。我如此缓慢地才将它拥入怀中，是因为传统的量子力学的成功，尽管存在着各种奇怪之处，但是却令人震惊地解释了自然现象以及给出了可靠的预测。如同我这一代人一样，我在一个传统的、被笑称为“闭嘴吧，快去计算”的物理学院接受教育。我们被告知接受量子力学是一个事实，使用它去解释实验和设计小物件，而不必担忧它的深层含义。“运用它”是“闭嘴吧，快计算”的更礼貌的表述方式。我们被鼓励着先搁置哲学上的顾虑，取而代之去成功解决实际问题。这种心态需要一点时间去适应。
我们这种自负的态度在千禧年之际伴随着量子信息理论的成熟而开始改变，这个理论揭示了量子力学未知的魔力。这些被用于一些非常炫酷的应用中，诸如量子加密（创造一种牢不可破的密码）和量子计算（解决曾经被认为不可解决的问题）。前者已经有商业上的实现，而后者据信不远的将来会变为现实。受科技上巨大进步的鼓舞，物理学界开始用新的视角审视量子力学的真正的含义。年轻的研究者将不会因为表达出对它的基础的研究兴趣而被当作白日梦者嗤之以鼻。赞扬克里斯和他的合作者的研究成果受到关注和赞扬，虽然这是他们应得的，如同搅拌着一个长久以来在炉眼上文火慢炖的锅。
当我看到量子贝叶斯理论的思想只是缓慢地在物理学界中传播时，我意识到是时候去为那些并不能轻易理解数学公式和方程的人写这本书了。
大约25年前，在一本关于单个原子壮观的新图像对物理学的影响的书中，我并非确信而只是非常期待地写道：“当前我们正在建立的对原子理解的纽带……将赋予它更深的意义，直到某天一个意义深远而简单地想法将解开量子的所有谜团。”当然，那一天还未到来，但是毫无疑问，正如二十世纪显微镜学的进展使我们对原子有了更多了解，意义深远而简单的量子贝叶斯理论将在二十一世纪促使我们对量子有更进一步的理解。
本书第一章“量子力学”，主要以非数学的术语介绍传统的量子理论。为了让读者对量子理论有更直观的感受，我通过人们熟悉的事物或者日常经历这样的隐喻和类比方式来传达理论直观的意义。
第二章“概率”，在这章中我将转向讨论对概率的解释，通过比较我们中学学习的“频率论”的方式解释概率与不太熟悉的贝叶斯概率之间的差别。这些讨论的核心就是形式化的数学概率理论与其在现实世界应用之间的基本的但常常被人们忽略的差别。
在做好这些铺垫之后，本书的核心部分将描述如何将量子力学和贝叶斯概率结合成量子贝叶斯理论，以及如何用这种新的观念来解决量子奇异。
最后，“量子贝叶斯者的世界观”这一章稍微有些偏哲学，主要涉及我们从量子贝叶斯理论中获得的最有意义的教训，或者说它的更深层的意义，这是本书的重点。量子贝叶斯理论意味着一直以来的对世界的科学观的支柱（另一支柱是相对论，译者按）看法的改变。基于量子贝叶斯理论的观点，我们将在本章中接触到下面这些问题：什么是“自然规律”的本质；这些规律能完全决定宇宙的演化吗；我们有自由意识去影响这种演化吗；在物质世界中，我们既是其中的一部分又是观察者，我们与物质世界的关系又是怎样的；什么是时间；人类认知的极限在哪里；展望量子贝叶斯理论发展的前景。
量子贝叶斯理论并非旧酒装新瓶，也不仅仅是量子力学的另一种解释。量子力学装饰了我的世界观，而量子贝叶斯理论改变了它。
[1]对克里斯托弗·福克斯的昵称。——编者注第一章[1]量子力学第1节 量子力学的诞生
如量子力学创造者——德国物理学家马克斯·普朗克（Max [2]Planck，1858—1947）所言，量子的诞生是“绝望时的孤注一掷”。1900年前后，公共照明和私人照明由气体向电力过渡所带来的技术挑战，鼓舞着物理学家去探索一个灼热的物体是如何发光的。当一个热的物体发光时，如燃烧气体的火焰、发光灯泡的金属丝或者太阳会散发出不同颜色的光。1900年，光已被人熟知为某种波，尽管当时并不清楚是什么在动。光波如同水波和声波一样，由它们的振幅、波高以及频率来描述，而频率指的是记录者在一秒钟内记录的完整周期的数目，从一个波峰到下一个波峰出现的过程被称为一个完整的周期[3]。我们裸眼是看不到这些周期的，但我们知道的是不同颜色的光线频率是不一样的。红光对应着缓慢振荡，换言之就是低频，蓝光则表征着高频，即剧烈振荡（记住，为了回想起红色是否意味着慢或者快的振荡，要记得那些比彩虹光的振荡频率低的光被称为“红外”。相应英文前缀infra表示着红外的意思。比彩虹光频率高的光是紫外光，英文中一般用前缀ultra-，意味超出）。如同自然界常见的那样，在许多颜色光混合在一起的情况下，物理学家会问：光的强度和频率有什么关系？用通俗的话来说，就是在彩虹中，释放了多少红光，释放了多少黄光和蓝光，等等。
在普朗克所处的时代，实验家争相测量理想实验条件下光强和频率之间最精确的关系图。当把频率设为横坐标轴，能量密度或者亮度设为纵坐标轴时，这样的“辐射曲线”看起来像一座小山。释放出来最亮的光的颜色决定了山峰在哪里。举例来说，太阳光的辐射曲线的波峰就在光谱的黄色部分。如图1.1，记录下来的红外以及红光并没有释放出太多的能量。沿着更高频率方向过去，辐射曲线逐步上升，在黄色部分达到了最高值，随后因为光的强度在蓝光、紫光以及不可见的紫外光处逐步减弱而使曲线下降。频率图1.1
理论家争相从基本物理原理出发去解释辐射曲线。普朗克在这个问题上花费了数年时间，却只取得部分成功。在19世纪即将结束的几个月里，他尝试着采用统计的手段，而这正是他之前所鄙夷的。
山形曲线在概率论和统计领域是很常见的。举个例子，考虑多次掷一对骰子，并且画出你掷出2点、3点、4点一直到12点的次数。图1.2横轴代表掷的值（两个骰子点数之和）——从2到12，纵轴则代表着每个值出现的次数。可以肯定的是，你将最终得到一座小山，尽管并不是很完美对称的，但是在两端会很低，而在靠近中间逐步上升直至在中间的时候取得最大值，即在等于7的地方。关于这个形状的解释是基于如下思想，即实现给定的掷得点数方式的数目。只有一种方式获得2点（1，1），也只有一种方式获得12点（6，6）。
但是7点则能以不超过六种的方式获得：（1，6），（6，1），（2，5），（5，2），（3，4）和（4，3）。中间值3，4，5和6以及8，9，10和11也是一样，每个值获得的方式都少于6种。当各种组合都是平等出现的时候，获得方式最多的点数将会赢，因此图像中间的峰，即在7点处，就可以很合理地得到解释。图1.2
普朗克开始对辐射曲线做类似的事情。为此，他不得不把一个连续性问题转换成一个离散问题。骰子试验中横轴和纵轴都涉及数量，即两者都测量为简单整数。与此相反，在辐射曲线中，光的频率则被测量为从0到无穷的实数［彩虹并不只是由赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫组成，如罗伊·G.毕夫（Roy G.Biv）所言，而是由无穷的不可数的色彩构成］。辐射曲线的纵轴也有很多问题。发热物体的能量同样是可测量但是不可数的。想数出大小，普朗克不得不将光滑的辐射曲线近似为类似于墨西哥金字塔一样的阶梯状。如果他让这些阶梯足够小，使这些阶梯小到难以感知到，这些锯齿形轮廓就可以被替换成光滑曲线。
尽管普朗克和同时代的一些科学家一样不相信原子的存在，但是他想象力丰富。他知道一个炽热物体的热能是一些不可见运动的某种表现形式。我们所感知到的热，事实是物体内部物质的不可见摇晃或者振荡（你可以利用摩擦手掌或者用电钻钻一个硬物将运动转换成热）。基于这种理解，普朗克提出了一个天才的模型，在该模型中，频率和能量都是可数的。
最简单的储能以及以确定频率振荡的设备是谐振子（这个迷人的“谐”字源于产生乐音的振荡）。一个谐振子或者简写成“振子”的例子是：一个重物系在弹簧上，放在无摩擦的表面上，弹簧另一端固定在墙上（见图1.3）。
其他例子如音叉、音乐设备和钟摆。当弹簧松开的时候，振子既无动能也无储存在张开或压缩的弹簧中的势能。但是，当施加一些推力之后，它的能量将从动能慢慢转换成势能。反过来，这个过程的频率是固定的，大小用f表示。如果没有摩擦，它的总能量是一个常数，优雅的振动将一直持续下去。图1.3
作为权宜之计，拼接一些数学技巧，普朗克把炽热物体（如一个装有正在燃烧的气体的小球）的总热能想象成物体内部分布着大量的没有特定结构的微小振动，这些振动的功能仅仅是通过固定频率振动来储存能量，以及一直以相同频率释放或者吸收光。它们并不是用来模拟其他数不尽的气体性质，如化学成分、密度和电阻等。普朗克的模型难以捉摸，但是却富有远见。
随后事实越发清晰，即普朗克想象的小玩意儿确实是真的。这些谐振子就是组成发光球中振动的原子和分子，且事实上它们也释放和吸收光（虚构的模型中这个坚硬的墙代表的是大质量的气体分子，使原子差不多保持在其附近振动）。毫无疑问的是，原子的数量是巨大的，但是依旧可数且具有确定的数目（尽管在实际操作中数出它们的个数并不现实）。另外，正如他所言，普朗克谐振子“是单纯形式上的假设，并没有赋予它太多的意义”。类似于掷骰子从2到12这11个分立的数字，普朗克这个想象力上的大飞跃意义在于将一个范围内连续分布的频率分解成一系列分立、可数的频率。
接下来，普朗克将纵轴，即辐射能量或者亮度分解成离散的阶梯，对应于骰子的每个值出现的次数。最后他做了一个闻所未闻的奇怪假设，即每个谐振子只能储存少量且等额的原子能量，即普朗克所言的“能量单元”。这是比仅仅分解纵轴更具意义的假设。对于每个谐振子，他将其分为能量包，并认为能量包可能有不同大小，且依赖于频率。假如能量包的能量为e，那么谐振子能储存的总能量为0、e、2e、3e，等等。这个序列不会趋向于无穷，因为炙热的球的能量只有那么多，谐振子储存的能量最多是球的总能量，不可能更多。这个微妙之处最终使计算变得不一样。这使计算很优雅且有限，而不是趋向于无穷。
为了预测实际实验的辐射曲线，普朗克必须弄明白e的值。一个想象中的能量包的能量有多大？由已知的知识，当振幅不变时，能量和频率成正比，普朗克假设单个包的能量和谐振子的频率（由f表征）成正比（振荡越快，能量越大）。数学上看来，就是基本的能量包等于一个可调整的常数h乘以频率（这个可调整的常数被称为参数，可以微调以与环境相匹配）。公式表达即为：
e=hf
想象中充斥着储存在超大谐振子集合中的天文数字般的能量包，普朗克依旧能够计算出总能量在谐振子中分布方式的个数，并且画出气体球能量与频率的分布曲线。如同在掷骰子实验中一样，曲线的左端和右端最终比中间部分要低很多。通过改变h的数量级以及调整它的大小，普朗克以令人震惊的准确度重现了实验测量的辐射曲线。
尽管这个成就使他获得了诺贝尔奖，但是他长久以来希望他的能量包只不过是计算上的应急之举，而一个新的改良的模型能够修复未破缺的连续性。他不能简单地忽略常数h或者让它消失，因为这个常数出现在了实验室测量的真实辐射曲线对应的最终表达式中，但是他希望这些小的谐振子和它们的微能量包仅仅是一个工具——就像将发光的网格线投影到纸上，这只是用来辅助绘画，最终还是要把它关掉。
但是普朗克在计算谐振子和能量包上都犯了错。谐振子，如我之前提到的，是原子和分子。能量包，则被称为量子（quanta，量子的复数，拉丁文中意为“数量”）。现在被命名为普朗克常数的参数h，已经是量子力学领域最基本的组成单元。普朗克绝望之下的小技巧最终被证实是现代物理学诞生的开山之举。
在爱因斯坦那里，普朗克的小小的公式e=hf变成了量子力学的象征，就像E=mc2是相对论的象征一样。这两个方程中，后者的名声更大，但是e=hf却更加强大。相对论中能量和质量的关系是从更基本的相对性原理推出的，与之不同的是，普朗克关于能量和频率之间的理论在早期量子力学中则是一个没有解释的公理。现在，它被认为是量子力学的结果，而量子力学则依赖于更基本的原理。[4]
在标准单位制下，h的现代值为：
h=0.000000000000000000000000000000000662606957焦耳/秒
毫无疑问，科学计数法下表示为h≈6.63×10-34焦耳/秒更方便，但是写出代表许多个10的34个0的全部排列更直观地告诉我们在感官上无法触及原子的世界。我们视觉上能够触及的范围，从100千米或者说是1.0×105米，到一个小头发丝的宽度1微米，或者说是1.0×10-5米。超出了这10的11个因子范围的尺度，我们需要用望远镜和显微镜形式的机械性帮助。但是即使这样的机械性帮助仍旧无法抵达普朗克计算所需要的难以想象的极小尺度。量子王国是通过理性思辨，而不是直接由感官，甚至都不是由我们的测量仪器去揭秘的。
普朗克如此不喜欢他的能量包，以至于他错过了他那小小公式的巨大意义。它的内在意义留给了爱因斯坦。仅5年后，他推动了量子从便利的数学虚构物向可测量的实在转变。爱因斯坦着手研究的是，能量是否如同光一样在传播中保持分立性的特点。作为一个巴伐利亚诞生的人，他曾经把这个问题用通俗的话表达出来：“尽管啤酒是一[5]品脱一品脱地卖，但这并不意味着它是由不可分的品脱单位组成[6]。”普朗克认为物质内部有类似的单元组分，爱因斯坦则表示光本身就是由许多能量包组成的，而这个组成成分被称为量子，随后被命名为光子。
古希腊的原子论哲学家曾经宣称，物质是由不可分的粒子组成的。电子和携带电的不可切割的粒子，在19世纪末被发现。经过仔细考虑，爱因斯坦宣称，如同物质和电一样，光子也可能是粒子状的。
[1]本书图表由莉莉·冯·贝耶尔（LiLi Von Bacyer）所绘
[2]Helge Kragh,“Max Planck:The Reluctant Revolutionary”,Physics World,December 1,2000,31-35,http://www.math.lsa.umich，edu/~krasny/math156-article-planck.pdf.
[3]频率的单位是每秒周期的个数，也被称为赫兹（hertz），简写为Hz。
[4]由于频率的单位是周期个数每秒或者秒的逆，h乘以f之后就可以将秒消掉，最终量子e的单位就是能量：焦耳。
[5]1品脱＝1/2夸脱（英）＝1.365升。
[6]Phillip Frank,Einstein—His Life and Times(New York:Alfred A.Knopf,1947),71.第2节 光的粒子
我们不知道爱因斯坦是如何提出他激进而又影响深远的想法的，但是他留下了许多线索。当被问到“思考是什么”的时候，他回答道，思考并不起始于文字或者方程，而是“尽情想象”，这个过程或许会被我们称为白日梦或神游，抑或是让自己头脑中的图像彼此交叠，如同万花筒中的彩色玻璃碎片一样。即使这样，爱因斯坦继续说道，这也不是思考。但是，如果在这个好玩的图像中，一些模式重复地蹦出来，这也许意味着一个新的观念。进一步说，如果最终能够将这个观念表述成文字或者是数学符号——找到了！——一个新的思想诞生了。
在1905年这个奇迹之年，爱因斯坦不仅用狭义相对论震惊了他的同行，他也在探寻（Ponder）着光电效应的秘密（见图1.4）。当一束光照射在某种特定的金属盘表面，它会将电子敲打出金属，将其释放出来。既然电子是带负电的，它们飞离金属板将使金属板带正电。当仔细研究这个效应的时候，它展现出两个让人感到疑惑的地方。如同期待的那样，电子以假设的不同能量冒出来，然后在金属块附近跳跃着，速度减慢并以无规律的方式跑出去。但是对于给定的单色光，似乎存在着最大的电子能量——所有电子无法超越的能量极限。当提升光的强度，让金属板完全被光照覆盖，使电子喷涌而出时，这样仍然不能提高电子的最大速度或最高能量。是什么在抑制它们呢？
另一个疑点在于当不同的金属——当然也有不同的光——互相比较时，光电效应会突然出现。对于每一种金属都存在着一个临界频率，低于这个频率的时候，光电效应不会出现。换言之，当光的频率太低，即光的颜色“太红”的时候，没有电子会被释放出来，不论照射光的强度是多少。可为什么彩虹的红色一端的光无法将电子从金属中驱逐出去呢？图1.4
这两个观察到的现象——电子的最大能量和最小频率——在经典物理中没法讲清楚。19世纪初光就被证实是一种波。随后，物理学家尝试着用空间中以光速传播的快速振荡的电磁场去描述。想象一下，电子如海滩上的鹅卵石，光则像海浪一样拍打在上面，将它们击出，散落在周围。也许这就是爱因斯坦开始尝试构思的时候脑中浮现的画面，但是这并不意味着对光电效应的详尽描述的合理性。在一定条件下，电子的速度有上限。受到原子论成功的鼓舞，可以想象入射光事实上是由分立的一团团的某种物体构成。这些物体不是原子也不是分子，因为我们知道光子并不是由物质构成的。但是这个假设的单色光团的能量都是一样的，并且一个团迎面去撞击一块鹅卵石，这块鹅卵石将会吸收这个团的全部能量且不会更多（撞球球员知道，如果一个转动的球迎面撞上静止的球，将会把自己的全部能量转给目标，并且不会更多）。在这一图景中，如同观测到的一样，电子的能量将会存在一个最大值。
这时，爱因斯坦也许想起了5年前普朗克那有些别扭的论证，这也使他不太情愿地采用物质以e=hf能量包去释放光子的这个假设。尽管爱因斯坦考虑的光电效应和普朗克考虑的发光物体的辐射曲线是不相干的现象，但是它们有着内在相关性，即都与光的本质相关。只有爱因斯坦发散思路所构建的那些图景才暗示着这两类实验，即一个是吸收光，另一个是释放光，也许揭示着一些共同模式。他最重要的一步就是将已经获得极大成功的关于物质和电的原子假设扩展到光，称它为团，或者束，或者是一个量子，而现在这个光“原子”被称为光子，并且这是电子之后被发现的第二个真正的基本粒子。这也为其他即将发现的基本粒子树立了一个榜样，最近的一个例子就是希格斯粒子（Higgs particle）。希格斯粒子被搜寻了半个世纪，最终在2012年被发现。
爱因斯坦将沙滩上鹅卵石被波浪击出的图景换成光源源不断地击打陷在金属盘上的满满的近乎静止的电子上。偶尔地，一个光子撞击在电子上，放弃它的能量e，就像雪花融化在你的掌心这个过程一样。然后电子匆忙地试图离开，在原子附近上下跳动，最终离开了它的监狱。它以e的能量逃离，在离开过程中会损失一定的能量，而问题就在这里，电子不会获得比e更高的能量。增加入射光的强度能够增加被吸收的光子数目，然而每个光子携带着相同的能量e，对于每个受到影响的电子来说，吸收的最大能量依旧不变，增加的仅仅是数量。这解开了第一个谜。
第二个问题的解一定让爱因斯坦在第一次想到它的时候就振奋不已。为什么存在一个“最红”的最小频率，即在这个频率下光电效应不会发生？答案是金属携带正电的核子的吸引作用使电子被束缚在金属板中，就像井里的青蛙一样，它们不能逃离金属板，除非光子给它们一个推动作用。如果推动作用不够大，它们就只能待在板里。如果颜色太红，入射光的光子能量将太低，而按照普朗克公式，每个光子的能量将太微弱而无法提供所需的推力。每个金属都有个天然存在的最低频率，在这个频率之下，不论入射光多么明亮，也不会把电子击出金属板。
爱因斯坦关于光电效应的模型基于光子击打近似静止的电子这一图景。关于这个模型的证明花费了将近10年的实验工作，不过最终获得的结果是令人信服的：光是由粒子组成的。
相比而言，光是由波组成的实验性论证同样有说服力，也更简单。这个观点第一次被验证是在1803年由托马斯·杨（Thomas Young，1773—1829）实现的，大约在普朗克和爱因斯坦的量子假设的一个世纪之前。
使波明确区别于粒子的独一无二的特征在于，在特定的条件下，波可以互相抵消，使什么都不剩下，这个技巧被称为破坏性干涉（destructive interference）。而常识告诉我们，不论是白球、弹珠抑或是其他常规粒子都不可能做到这种抵消。假设两个完全相同的波从不同方向到达同一个点，相遇的时候它们会重叠，这种重叠被称为叠加（superposition）（见图1.5），意味着在相同位置它们相加在一起，就像重叠的摄影照片。如果两列波保持在这个点，恰好以完美的步调错开，一列波的波峰恰好抵达另一列波的波谷，这两波相互抵消。这个因为波发生破坏性干涉的暗点，如果你知道在哪看的话，就会发现这在自然界很常见。海浪、声波、无线电波甚至是次声波或两个小孩舞动的跳绳上的波，都能产生这个静止的点［如果这两列波同步，波峰遇到波峰，波谷遇到波谷，则会彼此加强，这被称为有益干涉（constructiveinterference）］。图1.5
激光本身就是量子力学的产物，它的发现使观察光的破坏性干涉变得简单。网上有许多关于“双缝干涉实验”自制的演示实验（见图1.6）。其中有一个是将绝缘胶带粘在细线上做成双缝的形状，放在[1]激光发射器前面。用激光去照射双缝，在墙上会产生干涉图样。这两束光通过双缝之后，将会非常完美地同步。然而，对于墙上的每个点，光的来源不同。既然从不同缝到这个点的距离有微小的不同（除了中间那条线），光波的同步或者异步依赖于墙上的点的位置。你将看到的是墙上的平行图案，要么是暗的，要么是亮的。图1.6
简单说下这里为什么用缝，而不是用很小的开口（如小孔）作为光源。为了使干涉更明显，这个小孔必须很小且足够靠近。在这个限制下，小孔将无法使足够的光通过。但是如果适应细小的双缝，只要愿意，你可以设计成你想要的任意长度，你将获得更多的光以及更好的成像图样，即使这两个光源很小而且靠得很近。因此，这个实验通常是使用缝隙而不是小孔去演示。
屏幕上亮线部分坐落在从双缝出来的光互相加强的部分，而暗线则是相消部分，这也就证明了光是由波组成的（见图1.7）。
事实上，一旦你知道光是由波组成的，你可以在很多地方发现干涉效应。举例而言，干涉使肥皂泡出现闪烁的颜色。肥皂泡的壁是由一层薄薄的水层组成，当光线照射在肥皂泡壁上时，会在两个表面产生反射。图1.7
内层反射的光束在通过水抵达外表面的时候会有延迟，穿出之后会与外表面反射的光在步调上产生差异，步调错位的程度与水的厚度及光的频率或者颜色有关。当两束光合在一起到达我们眼睛的时候，步调不一致的将会彼此相消并从光谱中删去，恰好步调一致的会彼此加强。因此，不同厚度的肥皂泡壁会喜爱不同的光，当泡泡扭曲、摇晃和畸变时，这些颜色将会产生变化。自然以其内在极其艳丽的方式揭示了光的波动性，几乎就像它向我们展示海面的波动性那样明显。
其他展示干涉的例子也很多。斜着去看CD光盘时，反射的光会产生彩虹的颜色，蝴蝶的绚烂颜色，海贝中珍珠母的可爱光泽，雨中在柏油马路上流淌的油泛着的微光，甚至孔雀尾的花样，这些都是自然界告诉我们光是波的方式。但是它不情愿告诉我们，光也会表现得像弹丸倾泻一样。一个模糊不清的现象（即光电效应）和爱因斯坦无与伦比的想象力才揭示出这个奇妙的、被称为光的东西所隐藏的另一面。
因此，我们该怎么去看待光，它是空间中迅速传播的电磁波，还是幽灵般的粒子束？
[1]“Do it Yourself Double Slit Experiment(Young’s)—Easy At-HomeScience”,YouTube video,http://www.youtube.com/watch?v=kKdaRJ3vAmA.第3节 波粒二象性
光子是奇怪的野兽。如果你打算重复双缝实验，并保留到达的光子图像（就像用纸作为目标去保留由来复枪制造的弹洞），你可以注视着图像的发展过程，并且同时观测双缝每一半的光的特性，即波和粒子的双重属性。让光的亮度变弱，使其平均每分钟只释放一个光子。刚开始，屏幕是黑的。然后一个点在某个地方出现了——“砰”的一声，一个很小的孔出现了，意味着有一个光子到达了屏幕。“砰砰”声之间的间隔是随机的：砰—停一下—砰砰砰—长暂停—砰砰—短暂停—砰砰—砰砰砰砰，如此周而复始。在很长一段时间内，这些点看上去是随机散布在屏幕上。但是，当成百上千的光子击打在屏幕上时，你会开始看到一个图样：很有规律的间隔、条纹状图案平行于双缝（见图1.8）。如果你等候足够长的时间，等到成千上万的光子落在屏幕上时，一个很明显的双缝干涉特征条纹的图样就产生了。图1.8
分立的粒子产生了这些点，尽管这些条纹为光是波这一论点提供了无可辩驳的证据。或许你会饶有兴趣地耸肩，指出水波是由无数的H2O分子组成的，那么为什么说到光具有类波和粒子性的时候会如此大惊小怪呢？微妙之处在于时序。水波（像球迷在足球场玩起人浪一样）是由无数个单元组成，而每个单元和其他相邻的单元之间通过某种方式彼此连接，所以才表现得整齐一致。但是从激光器射出的光子到达屏幕间隔了很长时间，不可能存在某种联系和交流机会让它们去调整自己的位置。它们可以在抵达间隔数小时而不是几分钟，而图样仍旧一样。这个过程就像上万盲人和聋子观众在不彼此接触的情况下玩人浪。这就像魔术一样，让人感到不可思议。
如果20世纪早期的物理学家对光子的波粒二象性感到不可思议，很快他们会更加震惊。从1923年开始，他们逐渐意识到波可以表现得像粒子一样，反过来也是成立的：电子一直以来被认为是粒子，同样能表现得像波一样。这个令人震惊的结论，以极高的精度在类似于双缝的试验中得到了证明。激光被替换成电子流，束流强度可以像激光一样调整，并且这个双缝要远比自制的光的双缝干涉实验要小且距离更近。替换空白的墙或者摄影胶片的是一个荧光屏幕，这个屏幕会在电子撞击的时候闪光。可实验结果几乎一模一样：点以随机时间间隔出现并且位置飘忽不定，但是最终慢慢地变成了一个完美的平行干涉条纹（请在第五节阅读更多相关内容）。
历史总是十分巧合和讽刺，波粒二象性也巧妙地体现在英国的一对父子物理学家身上，这两个人帮助奠定了现在所知的量子理论的基础。在1906年，J.J.汤姆森（J.J.Thomson，1856—1940），当时的物理实验大师之一，通过使用电场记录电子类似于高尔夫球在地球引力场中路径一样的抛物线轨迹，证明了电子是一种粒子，并因此获得了诺贝尔奖。31年之后，他的儿子G.P.汤姆森（G.P.Thomson，1892—1975），跟随他父亲的脚步，通过展示电子的破坏性干涉从而证明了电子是波，因此也获得了诺贝尔奖。
这对父子中的父亲，也是位优雅的作家。他总结了这个困境：“（物理中波粒二象性这个观点）就像老虎和鲨鱼之间的争斗一样：每一个在自己的领域都拥有至高无上的霸权，但是在对方的领地却是无能的。”想象一下，光子或者电子作为一种粒子而言，都无法解释双缝干涉。当把它们当作一种波时，则无法解释光电效应。波的理论和粒子的理论似乎无法兼容。
J.J.汤姆森话中提到的这两个理论，如同鲨鱼和老虎一样从根本上就是不同的，对应着光子和电子在不同的环境中的状态。这种解释并不能使急切寻找真理的我们得到满足。物理学的目标不仅仅是讲述关于我们这个物质宇宙中每个物体和事件令人信服的故事，更是去制造一个单独的史诗般的作品，一个描述我们所在自然界的一致性的理论。没有谁比爱因斯坦对寻找统一理论更有激情，而且他在鲨鱼和老虎之间的激烈竞争中已经独领风骚。早在1909年，即提出光量子之后4年，量子力学诞生前6年，他在德国物理学家的一次会议上在报告中预测：“我相信，在下一个理论物理发展的时期，将会有一个新的关于光的理论，这个理论是波和粒子理论的融合。”他很明确地知道需要什么，即使他并不完全满意所得到的解答。
波粒二象性的麻烦也是显而易见的。波和粒子是我们从日常的、宏观的牛顿世界中获得的不同分类，这对于原子领域是不够的。光子并不像海波或者子弹，电子也不是。它们和日常的波和粒子在一些特点上具有共同之处，可并不是每一个特征都是一样的。那么它们该是怎样的呢？我们无法如《爱丽丝梦游仙境》中的爱丽丝那样将自己缩小到原子的尺度，然后自己去看基本粒子在其所处的环境中的行为是怎样的。我们所能做的，就是用我们的想象力帮助我们去画出一幅与人类尺度的实验室中所观察到的现象一致的图像。
为了调和不相容的波和粒子的类别，“波粒”（wavicle）这个术语曾被建议来描述电子，但不幸的是，这个丑陋而且非正式的词从来都没有流行起来。我的朋友罗尔夫·温特（Rolf Winter）受J.J.汤姆森用动物做类比的鼓舞，更加生动地把电子比作鸭嘴兽。18世纪时，当探险者第一次把鸭嘴兽从澳大利亚带到欧洲时，大学里知识渊博的博物学家宣称这种动物是伪造的，只不过是把其他动物的身体拼凑在一起。“爬行类动物不会哺乳。”“同时是哺乳类和爬行类的动物是不存在的，因此它不过是一个恶作剧。”他们信誓旦旦地说道。然而，他们所创造的分类是通过自身有限的观察所得到的，这最终被证明是不足以描述地球生物的丰富多样。同样地，光子和电子是可以表现为波的粒子以及可以表现为粒子的波。就像鸭嘴兽一样，他们忽略了这个分类是从不恰当的前例得到的。
为了继续向前发展，而不是停留在发明无用的诸如“波粒”这样的新词以及将它和外来的生物做比较，则需要更激进的方法。1909年，爱因斯坦倡议波和粒子的理论融合并没有得到响应，直到1925年量子力学诞生。然而，量子力学在它诞生之前很久就已经冲击着物理世界。
1913年，丹麦物理学家尼尔斯·玻尔（Niels Bohr，1885—1962）构建了第一个成功的原子内部模型。遵照物理学家从简单开始的习惯，玻尔将他的注意力集中在氢上，氢是元素周期表上第一个也是最轻的元素。他大胆地将氢原子系统类比成太阳系，并把氢原子描述成一个孤独的电子如同地球绕太阳那样围绕中心核子转动，且只在特定分立的轨道，即半径是固定的若干普朗克常量h的数倍。当电子向上（或向下）跳跃一个级别时，相应地会有光子被吸收（或释放），而光子的能量由普朗克—爱因斯坦方程e=hf给定。这个图像很快被逐步改善成包含了椭圆形和圆形轨道，也遵循相对论，并可以用来描述比氢原子更加复杂的原子。最终，著名的原子“玻尔模型”成为科学中最常见的漫画，即那幅无处不在的一个点在中间、三个椭圆形代表三个电子轨迹的图片（见图1.9）。据推测，那幅图描述的是元素周期表中的第三个元素——锂。图1.9
这个小图标产生了无数的变体，已经被广泛地认为代表着原子，而且被改编用于高科技公司、政府机构以及消费品的标志。它在情景喜剧《生活大爆炸》（The Big Bang Theory）不同场景的荧幕上飞快闪过，并且在全球范围内，它意味着力量。因为这个标志所传达的信息如此简单且令人信服，在高中教学中也占据着优势。对大部分普通人来说，它代表着他们对原子结构的理解。
不幸的是，本质上它是错误的。
1919年，刚刚引入这个理论6年之后，玻尔被迫否认了这个理论，因为它歪曲了之前盛传的对原子内部电子行为的理解。玻尔模型将氢原子内部单电子的轨迹描述为绕核子（已知为质子）的轨道，最终得到的氢原子结构就如同煎饼一样平。但是我们知道的是，在观察它与其他原子相互作用的时候，从外部来看，它就像是一个模糊的棉花球而不是煎饼，至少在常态、静态的时候是这样的。
更糟糕的是，这个原子图暗示着电子在远离核子的地方保持在特定轨道上一直运动，这个轨道半径被称为玻尔半径（Bohr Radius）。但是实验显示，当探测原子的时候，电子不仅仅在原子表面被探测到，在这个棉花球的内部也能探测到。
玻尔模型最过分且让人不可原谅的瑕疵远远大于技术上的缺陷。通过假设急剧又确定的轨迹，这个模型忽略了波粒二象性，而更青睐于它的粒子本性。玻尔模型也可以说是一种倒退，退回到了牛顿物理：其中一个粒子具有精确且连续的轨迹，并且在轨迹每一点都具有定义明确的位置和确定的速度。以行星轨道的方式描述原子中电子的行为，在一个世纪前就已经从物理学词典中删除了。
玻尔模型能够让人在头脑中产生生动的图像，它占据了大众对科学的想象，甚至到了一种令人担忧的程度。它是阻碍发展的一个历史遗址，它暗示着原子物理学在100年间没有任何改变。没有其他的基础科学会给人留下这种印象：宇宙学不是这样，它产生了一系列令人窒息的发现，如宇宙加速膨胀和谜一样的暗物质（dark matter）以及暗能量（dark energy）；天文学也不是这样，它每天都会得到遥远彩色发光物体的炫目图片；生物学也并非如此，我们对大脑的结构、人类基因的微妙之处以及令人震惊的演化结果有日趋增长的理解。那个广泛存在的原子图标是如此过时，就像用马或者马车的画像作为停车场的标志或者是用莱特兄弟的卡通图作为到机场的指路牌一样。
尽管玻尔模型之前是量子力学发展中重要的一步，但是它却早早不适用了。尽管波粒二象性会使原子真实的图像变得更复杂，但是我认为应该尝试着把玻尔模型老图标更新成更符合21世纪的新图标。也许在1925年诞生的量子力学百年诞辰庆祝之际，会有人对这个图标公开质疑。第4节 波函数
物理学家的目标是解释非生命世界的运作方式。首先，哲学家按照如下方式描述一个客观物体：划过夜空的行星、冰雪的形成、七弦琴的声音。当关注不能被直接看到或者不那么容易测量的时候，物理学家创造了机械模型替代对客观事物的直观描述。希腊原子论用看不到的粒子穿过虚空描述连续物质，马克斯·普朗克看到了发热气球中数不尽的小振子，而尼尔斯·玻尔在他思考氢原子的时候把它想象成微型的太阳系。
最终，机械模型失败了。它们被适时地抛弃了，取而代之的是更加抽象的数学模型。相比它们的先行者，数学模型如同斯巴达一般冷峻。它们由一系列方程和公式组成，不含修饰、色彩、可见的细节——没有机械模型那样丰富的外观（谁不为玩偶之家、模型船和模型火车着迷），但是数学模型之所以缺少吸引力，只不过是为了补偿它的一般性和预测能力。牛顿广泛适用的引力定律则是数个世纪以来[1]对自然现象的纯数学描述最具说服力的例子，它阻止了一代代专业和业余的物理学家的无效努力。他们曾试图将引力产生描述为由不可见粒子的机械推动和一些宇宙的流体的旋涡而引起的。然而，那些无穷无尽的天体和地球的信息都可以被压缩在8个符号之中，知道如何解读的人就能发掘其中的信息。
到发展原子理论时，我们渐渐发现传统的分类是远远不够的。原子外壳中电子的运行轨道和速度似乎是无法获得的，原子释放光波看上去像粒子，电子表现得像波。原子物理颠覆了原来的观念。
一小部分有杰出创造才能的物理学家意识到没有哪个机械模型能够令人信服地揭示波粒二象性，他们转而研究数学模型，最终引领了量子革命。他们志在用数学语言描述原子物理实验所展现出来的奇怪事实，而不是美丽如画般地描述潜在的现实。这是大胆的一步，他们的许多同行很难理解。但是量子现象的数学模型却硕果累累。
重大飞跃在于将客体和它的描述分离开。“我们先不去看电子本身。”量子力学的创造者提醒道。偶尔他们会详尽地说，而更多的时候则是含蓄地表达出来。“甚至不要试图去想象一个设备表现得像电子，相反，让我们先去寻找一系列数学方程，这些方程可以预测实验室中电子的行为。数学并不会在意事物是否看上去像波或是粒子还是鸭嘴兽。”令他们喜悦的是，他们做到了。
做到这个技巧的方案是一个公式，波函数（wavefunction，一开始是短语wave function，后来也用过连字符连接的wave-function，最终标称一个合成词wavefunction，这模仿了原始的德语构造方式）。它的创造者是埃尔温·薛定谔（Erwin Schrödinger，1887—1961）。波函数不仅揭示了特定量子系统的属性，也包含了在这个系统上进行特定实验时的必要细节。因此，波函数不只是有一个，对于每个独特的实验室设定，都有一个特定的波函数。在大多数情况下，用图像表示的波函数一点都不像波，只有它的名字还在提醒我们，量子系统共有的一个重要的性质是叠加以及建设性或者破坏性干涉的可能性，即两列波占据同一个点，甚至可能彼此加强或者消除。
通常来说，波函数的数学形式相当复杂——远比方程式E=mc2或e=hf复杂得多。因此，在这里我不讨论任何实际系统波函数的例子。但是这并不意味着我们不谈论它们，这就如同你在享受音乐的时候并不需要真正理解音乐。
玻尔将氢原子类比成微缩的太阳系，比这更大胆的类比启发了波函数的构建。对经典物理学家来说，原子物理最令人费解的问题是原子能级的分立问题。不像地球卫星能够绕地球任意高度转动，且可以携带任意能量，束缚在原子中的电子只有确定的、分立的能量。这种限制来自哪里？
连续性中出现（就像魔术意义上）分立值最好的例子就是音乐了。自远古时代以来，音乐设备，如七弦琴、鼓、长笛等，就能产生独立的基本音调，还有泛音。把波限制在一个有约束的空间，如固定长度的弦、圆形的鼓面、笛子中空的内部，你或许以为它们只会产生噪声，然而产生的却是纯音高。音高对应着带音符的声波的频率，而音乐则由组合不同分立频率得到。问题在于，原子限制电子，笛子限制振动的空气，除此之外两者没有任何相似之处，从这个角度来看，音乐设备中众所周知的频率分立如何帮助我们解释原子中神秘的能级分立？
答案当然已包含在量子力学第一个尝试性的假设中，即由普朗克—爱因斯坦方程e=hf给出的能量和频率之间的基本联系。
受众所周知的音乐设备所产生的声波公式启发，通过e=hf，量子力学创造者所面临的挑战是寻找具有分立频率的波的数学表达式，而这个表达式又和原子能级匹配。这个表达式也许不是用来描述原子本身，但是能够预测原子能级的梯度。埃尔温·薛定谔成功找到了建立一个数学方程的一般步骤，反过来，这个方程的解就是他著名的波函数。
量子理论可被认为是一门找波函数并从中得到可测量结果预测的科学。随着时间推移，计算上繁杂的技巧也在与时俱进，一开始借助计算尺，现在则利用计算机。用这种方式研究的系统，从单个粒子和原子慢慢演变到大团材料，再到星体内部，甚至到了整个宇宙。到目前为止，量子力学成功地经受住了每一个实验测试。
第一个用量子力学方式去处理的系统不是原子，甚至都不是电子，而是开创量子力学的装置——谐振子。它的数学描述仅仅涉及它的质量和不变的频率（使振子回复到它的平衡位置的振动强度可以由这两个量得到，所以不需要专门把它的形式包含进去）。不出所料，量子力学的标志普朗克常量h在这个计算过程中扮演着重要角色。它如同比例尺一样在图片边缘显示出来，为照片设定了度量，就像米尺为考古学家新挖开的地沟照片设置了刻度。
作为理论上的小白鼠，谐振子非常简单，这是它的优势，而它的劣势在于，在20世纪并不存在足够小的、真实的、能用来展示量子[2]力学效应的质量——弹簧谐振子。最多这只能作为进行更复杂项目前的一个热身活动，诸如对氢原子的描述，得到的结果和实验的测量结果一致。尽管这样，即使是机械谐振子也可以揭示经典牛顿力学和量子力学间非同寻常的差别。普朗克在绝望之际猜测谐振子能量为e=hf倍数，这被证实几乎是正确的，但是并不完全。令人惊讶的是，限定（allowed）的能量梯度并非从最低能级开始，相反，最低能级是一个能量量子的一半，限定的能量是它的奇数倍e/2，3e/2，5e/2……普朗克非常幸运，因为不同能级间的差仍然是e的倍数，这个差决定了一个特定的谐振子所能吸收或者释放的能量，而这才是他真正需要假设的地方。一个量子谐振子不能辐射或吸收46.7hf能量，就如同杂货铺老板收到或者找零的现金不能是46.7美分。这是无法做到的！如果你试图吸干一个谐振子的所有能量，使它停下来，那么你注定会失败。就像一个极度活跃的咿呀学语的小孩，你永远无法让他停止手舞足蹈。记住，在剥夺谐振子的所有能量之后，由于h是如此之小，因此剩余的震颤很难被检测到。尽管如此，实验仍证实了量子力学的这个特殊的预测。
除了能量的量子化，波函数意味着叠加。根据经典物理学理论，物体的位置和速度是被精确定义的。与此相反，谐振子或任何物质的粒子的波函数所包含的位置和速度的值，可以在一定范围内同时以不同的值分布，即叠加。注意，我并没有说位置和速度可以有分布。正确的表述应该是：包含在波函数中的位置和速度可以有分布。这是很重要的一个区别，随后我将更详细地讨论这个。
波函数有点像地图——最理想的地图，它包含了量子系统所有可以说的东西。在这里需要提醒的是，普通地图所包含的信息并不一定会被完全展示在一张纸的图画或者地球仪上。举个例子说，道路地图册往往包含了表单，其中列出了城市之间的距离以及驾车时间。为了简化问题，设想一下，表单中的距离不是沿着高速路的真实里程，而是两个地点之间的直线距离，就像鸟飞行的路线。想象一下，这个表的扩展版本包含美国数以千计小镇的数据。原则上来说，通过这个表单是可以重建整个传统地图的。下面是如何去重建：圣路易斯（St.Louis）在地图页中间，纽约在右手边的边缘处，查阅电子表单中两地的距离。现在你就知道了比例：在你的地图上，一英寸代表多少英里。然后，从表单中，找到这两个城市到迈阿密的距离并把它转换成英寸。既然三角形三边能够确定一个三角形，现在你就知道了迈阿密的位置。继续这样的步骤，就可以得到整个地图了（见图1.10）。天文学家用这种方法记录地图，即把数以百万计的恒星的坐标列在一个很大的目录中而不是标在图标或球体上。地图、表单和目录可被用于记录同一个数据集，尽管它们看上去是如此不同，可对很多目的来说，它们是等价的。同样地，波函数所包含的信息可以用公式、表单、一系列数字或者一张图去展示。图1.10
第一个关于谐振子的量子力学描述，事实上是用表单表达的，它在数学上被称为矩阵（matrix）。这些矩阵随后很快被证明在数学上和波函数等价。既然后者比前者更容易去想象，在本书大多数情况下，我将使用波函数。
当试图解决量子力学的疑难之时，人们常常忘记了物体和它表示之间的差别，这是大部分人甚至是一些专业的物理学家都会掉入的陷阱。哲学家阿尔弗雷德·柯日布斯基（Alfred Korzybski）明确地表达了两者之间的显著区别，他创造了一个格言“地图非疆域”（The map is not territory.）。这个短语很精练地提醒了一个事实，那就是：一个对客体的描述并不是客体本身。现实并不是和描述现实的模型一样，就像“house”这个单词不是砖和泥灰做的房子。柯日布斯基警示了把地图和疆域混为一体的恶作剧，他的言辞引起了对量子力学的奇怪之处的一些质疑，质疑在于这种奇怪之处并不是自然本身而是来源于波函数。是否只是地图怪异而非疆域诡异？
当我们是小孩的时候，我们学着通过探索街道地图和它所代表的沥青混凝土的关系，以此学着去读地图。当我们查阅静态的二维图像并试图把它转换成我们周围庞大混乱的三维世界时，或者相反，当我们看周围复杂现实世界的简单示意性的草图时，我们脑中闪过什么？比较疆域和地图的这个过程是如此艰难，以致一些人从没能真正理解。如果再把运动包含进去，如车载GPS（全球定位系统）屏幕，会让一些人更加疑惑。类似的隔阂阻碍了人们对量子力学的理解。在量子的世界，薛定谔的波函数就如同一个理论家笔记本中所构建的演化地图。假如它像地图，那么它到底要描述什么？又如何将它联系到现实的原子世界？
[1]F=GmM/r2，其中F表示引力的强度，G是引力常数，m和M指相互吸引的两个物体的质量，r是两者之间的距离。
[2]一个和人的头发丝宽度大小的微小的音叉被《科学》杂志评选为“2010年度科学重大突破”，它能够展现出量子行为。可参考http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_machine。第5节 “最优美的物理学实验”
我们通常用波函数来描述量子系统中包含的信息。量子谐振子的波函数预示了该系统只能储存离散的能量，这与我们熟悉的经典系统不同，例如，一个音叉的能量是任意的，这与敲击它的力度有关。同样，氢原子的波函数暗示着它的能量也是分散的，只不过能级图比谐[1]振子更加复杂。
对于量子系统，波函数不但包含能级的信息，也预言了其他不计其数的实验结果。给定任意实验装置和相关说明，原则上用量子力学精美的数学语言可以构造出该系统的波函数，并且计算出相应的测量或观测结果。这里我将避开这些技术问题，而是通过讨论电子的波粒二象性进而解释波函数的意义。让我们拭目以待，看看波函数是如何处理这个谜题的。
下面我们将比较物理学家是如何描述子弹和电子这两个不同的抛射物的。
我们先讨论子弹。为了简单起见，忽略重力和空气阻力的影响。一旦子弹离开枪管将不再受任何力，根据牛顿运动定律，它将一直保持直线匀速运动，直到碰到靶子——我们暂且假设靶子是一块木头[2]。子弹突然受到制动力，同样根据运动定律，它会减速直至停止。停止之后，由于各个方向子弹都承受同样的挤压，因此它不再受力，保持静止。
射手和他的装备将决定射击的精准度。据说，传奇的神枪手安妮·欧克丽（Annie Oakley）能够精准击中抛向空中的硬币。而如今，如果利用那些精心制作但价格离谱的装备，包括激光、透镜组和计算机等，一些业余的选手都可以轻松击败她。在经典物理学中，枪法的精准度没有任何限制。设想如果在开枪时子弹的速度和位置是限定在特定范围内的，那么它最终撞击的点也会有相应的限制。原则上我们可以无限精准地射击，虽然这并不现实。所以，理论上如果安妮拥有足够好的枪，足够敏锐的视力，并且手完全保持静止，那么她就可以击中硬币上任意一点。
下面我们来说说电子。电子通常是从一个被称为电子枪的设备中发射出来。过去在美国家庭中这种“武器”比猎枪更为常见。那些老式的电视机中都有电子枪，它们藏在电子成像管的末端，而现在家庭中常用的平板电视则不再包含这样的设备。这里我们考虑电子从电子枪发射出来，然后终止在屏幕上并且留下可见点，和刚才一样，忽略电子在中间运动过程中受的力。
量子物理学家不能像对待子弹一样追踪电子的轨迹，而只能计算它的波函数。为了得到波函数，他需要知道电子枪的几何形状以及电子离开枪口时的速度。和谐振子与原子中的电子不同，该波函数的示意图实际上与电子枪到屏幕之间的波类似。像石头在水中激起的涟漪一样，波函数从枪口向屏幕扩散开来。而当电子碰到屏幕时，奇迹出现了。之前如水波一样的波函数突然莫名其妙地塌陷到屏幕的某个点上。在碰撞之前，它还在空间中向四面八方散开。而碰撞之后，波函数在空间各处的大小则几乎为零，除了它最终到达的那个点。
这种现象我们称之为波函数塌缩，它告诉我们波函数的意义，却如此离奇。我们会在下一节中讨论这一解释的缺点。
我们不断地发射电子枪，最终会在屏幕上绘出一个图案。这个图案由每次碰撞的点组成，它是理解波函数意义的重要线索。每次碰撞的点在图案中是随机分布的。这里随机可理解为不可预测的、没有规律的。而随机这个词则体现了之前提到的经典力学和量子力学之间最关键的差别。
当然，安妮·欧克丽或许并不觉得太惊讶。如果考虑到空气的影响，枪的某些不确定的特性，甚至她自身脉搏的跳动，那么她击中硬币上的点的位置也将是随机分布的。她或许会想：“我不可能比这更精准了。”然而，经典物理学家则坚持认为，假如给定各种因素的细节，子弹的路径是可以预测的，并且可以达到任何想要的精度。在经典物理中，这只是统计的随机性，往往源于我们对某些微小的细节的忽略或者无知。我称之为安妮·欧克丽随机性。原则上经典力学并没有随机性。例如，硬币抛掷，其结果通常被认为是完全随机的，但是利用力学，每次的结果也是可以被预测的。安妮·欧克丽随机性是可以通过适当的方式消除的，虽然不能完全根除，但是可以无限接近你想要的精度。
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