作者：潘鑫
出版社：清华大学出版社
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考研数学三部曲之大话概率论与数理统计试读：
前言
我的创作初衷大家好，我叫潘鑫，江湖人称老潘，网络流传：信老潘，就这么简单！
在我自己准备研究生考试数学科目的过程中，买过不少辅导书。我想大家应该听说过李永乐老师编写的《考研数学复习全书》以及陈文灯老师编写的《考研数学复习指南》吧。这两本书的确是写得非常好，对我的帮助很大，然而，当时我身边有很多数学基础很一般的准备考研的同学，他们谈到由于自己的基础一般，因此对于这两本书中所讲的内容并不能完全看懂。当时我就在想，对于这部分考生来讲，他们最需要的是这样一本书：既能完全达到考研数学的难度，同时全书所有的表达方式又能充分照顾到毫无基础的初学者。那时，我开始有了写这样一套考研数学辅导书的想法。
在我研究生开学之前，我同时在五个考研辅导机构担任讲师，主讲高等数学、线性代数和概率论与数理统计。由于我讲课时逻辑清晰，语言通俗，加之每讲一个知识点后我都会大量举例，从而使得就算是零基础的考生也能够听懂，我也因此很荣幸地受到了学员的一致好评。很快，我开始大班授课。在2013年的全国硕士研究生入学统一考试的考场内，坐着我的很多位学员。据学员反馈，我所有的学员中（无论基础好坏）有80%的学员的数学考到了100分以上，50%的学员数学分数在120分以上。他们反馈给我成绩的同时，不约而同地提出，我应该把所讲的内容编写成书籍，好让更多的同学受益。于是我写书的想法被更进一步地激发。
研究生开学后，清华大学的很多老师都提到了“创新”这个词。的确，创新是一个民族的灵魂。当时我立刻想到了写书的事情，知识是固定的，教学模式则是可以创新的。目前国内还没有一本既能达到考研难度又能使得无论什么基础的考生都能看懂的考研数学教辅书。老师的话使得我的想法更加坚定：我要写书。
最后，借用一句在我出书过程中对我帮助很大的超级畅销书《大话设计模式》的作者程杰的话：现实总比理想来得更“现实”。的确，写书不是一件容易的事情，有很多很多的困难都需要我去克服。同学们，在你们的考研复习的道路上更是充满荆棘、困难重重。金鳞岂是池中物，一遇风云便化龙，希望本书能够帮助你们在通往成功的道路上一路披荆斩棘，逢山开路，遇水搭桥，最终在考研中取得好成绩。本书定位
本书的定位是：一本适合读者自学概率论与数理统计的书籍（无论读者基础如何）。本书与传统教材大不相同，本书的语言非常通俗易懂，逻辑十分严谨，本书中所涉及的每个知识点（无论多简单的知识点）几乎都有举例，这“三斧子”使得你完全不用担心有看不懂的地方。所以，本书主要定位为自学用书。
所谓教材，是老师上课时使用的书籍，大多数教材不会把每个知识点都讲解得非常细，目的是要在课堂上给学生留有充分的思考空间，锻炼同学们的思维；而教辅书呢，顾名思义，是辅助教材而使用的书籍，教辅书不能脱离教材，如果一个基础很薄弱的学生直接看教辅书也是会很吃力的。
而本书既非教材，也非教辅，是一本十分“纯正”的自学用书。为了能让读者实现真正的自学，书中每一个细节都不放过，每个知识点和例题都配有非常通俗易懂的解释（甚至书中所写的很多话都是读者自己很自然可以想到的），这样一来就可以保证无论什么基础的读者，都能够看懂本书。相信读者阅读本书后会有一种爱不释手的感觉。本书特色
1．充满趣味
本书以“盖楼”为大的背景，读者每阅读完一章，就是盖完了大楼的一层，而每层中又分为“砖”和“房间”两部分，先运来“砖”再搭建“房间”。这种安排内容的方式使得全书充满了趣味性。
2．语言非常通俗易懂
大部分考研数学类书籍，都是十分规范化的，有点像古代的“八股文”，读者需要逐字琢磨到底是什么意思。而最为高级的表达方式就是：用让人最容易理解的文字，去讲解让人最难理解的知识，而不需要读者再去琢磨如此规范化的语言到底是什么意思。这正是本书的最大亮点。
本书的所有语言，从定义定理的解释，到例题的解析，再到习题的解析，都非常通俗易懂，让人感觉就像是在读一本童话故事或者武侠小说。这样一来，读者不仅能看懂本书的所有内容，更乐于去阅读本书，从而使得读者不仅掌握了相应的知识也节省了读者的时间。
3．逻辑非常清晰
本书的逻辑从头到尾都是非常清晰的。具体来说，本书所有题目的解析中绝对不会出现任何一个本书中没有讲到的知识点，并且几乎所有题目的每一步解答都详细注明了来源（如：这一步是根据第1章的第五车砖）。
另外，大家知道，做一道题可能会同时用到很多个来自不同章节的知识点。我见过的很多考研辅导书中都存在这样一种现象：讲完知识点，然后下面有配套的例题，而此例题中不但用到了刚讲完的知识点一，而且还用到了没讲的知识点二（题中并没有注明用到了还没有讲的知识点二），这样一来，许多读者就不明白了，思考了很长时间，以为是之前的某个知识点自己忘了，后来才知道原来用到的是后续的知识点。这样的话会很浪费时间，而且会不断产生挫败感，而本书在这一点上高度重视，全书的所有习题中极少存在上述现象（可能也就一两道题存在上述现象，并且题中都做了说明）。
总结来说，本书所谓的“逻辑非常清晰”体现在如下三个方面：（1）本书所有题目的解析中绝对不会出现任何一个书中没有讲到的知识点。（2）本书所有题目的每一步解答都详细注明了来源。（3）本书的所有题目均与知识点完全对应。
4．例题非常丰富
本书的例题非常丰富。丰富到什么程度呢？其实很多例题按理说根本就是没有必要的（因为知识点太简单了，而且讲解知识点的语言又特别通俗易懂，根本不需要再有例题了），但本书还是写了，这是为什么呢？因为我在教学的过程中，发现了这样一种现象：就算知识点再简单，讲解再明白，不举例的话，学生心里还是多少会有一些不踏实。基于此，本书所涉及到的知识点（无论再简单的知识点）几乎都有配套的例题。本书内容
本书是按照教育部考试中心公布的考研大纲的要求来组织内容的。
本书的主要内容包括：随机试验，样本空间，样本点，随机事件，随机事件之间的关系，随机事件的概率，两种特殊的随机事件，互斥，相互独立，关于互斥、相互独立的进一步讨论，三大公式，四条算律，与概率有关的应用题，随机变量的定义，分布函数的定义，概率密度函数的定义，随机变量的分类，三条重要结论，分布律，F(x)为某一随机变量的分布函数的充要条件，通过分布函数求概率，f(x)为某一随机变量的概率密度函数的充要条件，通过概率密度函数求概率，常用分布，随机变量函数的分布，二维随机变量的联合分布律、边缘分布律、条件分布律，二维随机变量的联合分布函数、边缘分布函数，二维随机变量的联合概率密度函数、边缘概率密度函数、条件概率密度函数，通过联合概率密度函数f(x，y)求概率，二维均匀分布，随机2变量的独立性，两个随机变量函数的分布，χ分布、t分布、F分布，数学期望的基本计算方法，数学期望的性质，方差的基本计算方法，方差的性质，常用分布的数学期望与方差，协方差与相关系数，切比雪夫不等式，辛钦大数定律，列维林德伯格定理（中心极限定理），无偏估计，矩估计，最大似然估计，置信区间等。本书读者
以下三类读者最适合阅读本书：
■ 正在准备研究生入学考试的读者（无论读者是什么样的基础）。
■ 正在准备学校期末考试的在校大学生（无论读者是什么样的基础）。
■ 工作后需要补学或温习概率论与数理统计的读者（无论读者是什么样的基础）。感谢
此书能够和大家见面，我本人做了很多努力，但如果只靠我一个人的努力，这本书是根本不能顺利出版的。并非是客套话，而是事实的确如此。
首先要感谢我的父亲潘建平对我写作本书期间的全力支持，为了帮助我尽快完成书稿，他经常和我一起熬夜到很晚。所以，可以这么说，如果没有他的贡献，就没有本书的出版。
超级畅销书《大话设计模式》的作者程杰也给了我非常大的帮助。我创作本书的灵感就来源于程杰的那本《大话设计模式》，程杰本人也给我提了很多的宝贵意见，并且我与清华大学出版社的缘分也是来自程杰。在此，我对程杰表示由衷地感谢。
大家都知道，只有作者是无法完成一本书的出版的。一本书的出版与策划编辑的辛勤劳动是分不开的，本书更是如此。从我与清华大学出版社签订出版合同到书名的敲定再到书中很多细节的修改，我都得到了清华大学出版社的栾大成编辑（也是本书的责任编辑）的鼎力相助。在此我要对栾编辑表达我深深的谢意。
在此向所有帮助与支持我的朋友道一声：谢谢！潘鑫超级导读（必看）
本书共七章，此章虽不讲具体的知识点，但其地位是相当重要的。因此，强烈建议大家仔细并严肃地仔细并严肃地阅读本章的内容。0.1 概率论与数理统计其实就是一座大楼
图中是一座大楼，这座大楼共七层。第1层有六个房间，第2层有六个房间，第3层有八个房间，第4层有六个房间，第5层有三个房间，第6层有两个房间，第7层有四个房间。
你是一名工人，房地产开发商要求你在一片空地上盖这么一座大楼，并且你和开发商签了合同，合同中规定了停工日期。只要到了停工日期，无论你盖完没盖完，你都不能再盖了，必须接受开发商的检查。开发商比较懒，他并不真正来工地一个一个门牌号的依次检查，而是把你叫到办公室，然后问你关于其中几个房间的构造是什么样的。比如，你到了他办公室后，他可能会问三个问题（当然有可能问更多的问题）。（1）你介绍一下房间202和房间103的构造；（2）你介绍一下房间304的构造；（3）你介绍一下房间501和房间602的构造。
这三个问题如果你都答的让他满意，他会认为你已经把大楼完全盖好了，于是他会给你工程款；如果你没有全部答对，他会非常生气，认为你根本没资格拿到一分钱。
以上这段话我想说什么呢，请继续往后看。
● 大楼：考研数学概率论与数理统计这个学科；
● 大楼的每层：指考研数学概率论与数理统计这个学科的每一章；
● 每层的房间数量：每一章的考点数量；
● 房地产开发商：考研数学概率论与数理统计部分的命题人；
● 工人：你自己；
● 停工日期：考试的日期；
● 开发商的办公室：考研考场；
● 开发商问你的问题：考研数学概率论与数理统计部分的题目；
● 开发商给你的钱：考研数学概率论与数理统计部分的得分；
● 有了这些对应关系后，我把前面的一大段话换一种方式叙述一遍。
考研数学概率论与数理统计部分的知识可以分为7章。第1章有六个考点，第2章有六个考点，第3章有八个考点，第4章有六个考点，第5章有三个考点，第6章有两个考点，第7章有四个考点。
考研命题人规定了考研的日期。日期一到，不管你有没有复习完，都要去考场参加考试。在考试中，你也许会在卷子上遇到三道（当然，有可能更多）概率论与数理统计的题，比如：
第一题：考到的是第2章的考点2和第一章的考点3；
第二题：考到的是第3章的考点4；
第三题：考到是第5章的考点1和第六章的考点2。
这三个问题你如果都答对了，你就得满分，否则你将会被扣掉相应的分，作为考研这样一种“高分至上”的考试，这部分内容要力争满分。0.2 我帮你盖楼
亲爱的同学，相信你看完上一小节后，已经对你即将要盖的这座考研数学概率论与数理统计大楼有了最初步的认识。而我，是一个小有名气的建筑师，我将和你一起盖好这座七层的大楼。
无论如何，请相信我一句话：不管你的建筑功底如何，哪怕你是学音乐美术的，对建筑一窍不通。只要你愿意接受我的帮助，我可以保证你把这座七层的大楼盖得金碧辉煌，我更可以保证你在面对开发商的询问时，对答如流。
也许我上面的话太罗嗦。好，那我说直白点：
任何人，记住是任何人，只要具有高中的数学基础，只要你认真阅读此书，那么，考研数学概率论与数理统计部分得满分是十分容易的。0.3 第1章到第7章的内容
下面我说一下本书第1章到第7章的内容：
第1章：第一层——随机事件和概率（其中有六个房间）；
第2章：第二层——随机变量及其概率分布（其中有六个房间）；
第3章：第三层——二维随机变量及其分布（其中有八个房间）；
第4章：第四层——随机变量的数字特征（其中有六个房间）；
第5章：第五层——大数定律和中心极限定理（其中有三个房间）；
第6章：第六层——数理统计的基本概念（其中有两个房间）；
第7章：第七层——参数估计（其中有四个房间）。
以上只是第1章到第7章的标题，下面我要告诉大家的是每一章展开后的样子。
我就以第2章为例，说一下展开后的第2章是什么样子的，其他各章的表达形式是一样的。
为什么除了房间以外，又多了“砖”呢？听我解释：没有砖能盖楼吗？不能吧，因为巧妇难为无米之炊，砖是盖楼的基础。那么这个“砖”类比到概率论与数理统计大楼中又相当于什么呢？我以高考数学举例。
高考数学考试大纲中一定会写：要考排列组合、要考等差数列、要考立体几何等等，却绝对不会写：要考加减乘除四则运算、要考正负数、要考绝对值等等。为什么不写考这些？因为这些是基础，是“砖”，会这些东西是必须的，是最基本的要求，所以高考考试大纲里就不必提了。尽管没提，但是你能不会吗？显然不能不会。在概率论与数理统计中也是一样，虽然考研卷子上只考“房间”，但是如果没有“砖”，你怎么可能搭建一个个的房间呢？明白了吧。
所以接下来每一章的内容都是由“砖”和“房间”两部分所组成的。0.4 你最后要这样才行
想要考研数学概率论与数理统计部分满分，这是每位考生的心愿，要想达成这个心愿，你需要做到以下两点：（1）书中的每一个知识点都要看。我想强调的是：本书不存在任何看不懂的可能性，因为我采用的表达方式非常通俗。因此，书中的每个知识点你都要看一遍，别落下任何一个知识点。（2）在你看完每一章后，你需要把每一章的“房间”背下来（“砖”不用刻意去背，只要会了就行了，因为“砖”是最基本的，正如同参加高考的考生要背高考考试大纲中的考点，而不用去背最基本的加减乘除四则运算法则）。不是看懂就行，一定要背下来，这一点至关重要。我举个例子，比如当你看完第2章之后你需要对自己说：这一章共有六个房间，每个房间的内容是什么什么。如果忘了，就查书，直到背下来为止。相信我，这一招可以收到奇效。当然，如果能够默写下来的话，那就更好了。比如，当你看完第2章后，你最好的方式就是拿一张白纸，白纸上这么写：
大楼第二层：
房间201：……………
房间202：……………
房间203：……………
房间204：……………
房间205：……………
房间206：……………
你只要能默写出来，那么这一层就可以算是盖好了。每层都是这样，考研数学概率论与数理统计部分一定是可以得满分的。0.5 送给大家的话
凤凰鸣九天，需烈火涅槃；蛟龙纳明珠，需深潜寒潭。春日那“深巷梨花轻闭门，风袅篆烟系柳丝”需要冬日那一季枯老，秋日那“冲天香阵透长安，满城尽带黄金甲”需要夏日那暴雨骄阳。
翻滚吧，同学们！第1章第一层——随机事件和概率
由于我不确定你是否看了“超级导读”，所以再次提醒：每章我将按照“砖+房间”的方法来讲解，其中“砖”只要全看懂（因为砖是最基础的内容）就可以了，而“房间”则要看懂后默写出来（因为房间是考研的考点）。只要你每章都如此，那么，不管你是什么基础的同学，考研数学概率论与数理统计部分就一定能拿到满分。
本章内容相对基础一些，请认真消化，保持信心！1.1 第一车砖——随机试验
如何判断一件事是否是随机试验呢？我先不告诉大家判断方法，先来给大家举几个例子。
例1．“为了看看投出的点数是多少而投骰子”是随机试验。
例2．“为了看看投完后骰子会不会掉到地上而投骰子”是随机试验。
例3．“投骰子”不是随机试验。
例4．“为了看看能不能中奖而买彩票”是随机试验。
例5．“买彩票”不是随机试验。
以上几个例子使得大家对于随机试验有了直观的认识，下面我来给大家总结一下。随机试验可以理解为“为了得知到底是哪种结果而做某事”，而非单纯的“做某事”。
现在大家应该明白为何在以上的5个例子中，第1、2、4个例子是随机试验，而第3、5个例子不是随机试验了吧。
让我们再来看一个例子。
例．“投骰子，观察投出的点数”是随机试验。
看了这个例子，有些同学可能心里会想：不是刚讲完随机试验可以理解为“为了得知到底是哪种结果而做某事”嘛，可“投骰子，观察投出的点数”并不是“为了……而……”的形式啊，那么它为什么会是随机试验？
我来帮大家解决这个困惑。大家注意，我说的是随机试验可以理解为“为了得知到底是哪种结果而做某事”，没说随机试验就一定得直接说“为了得知到底是哪种结果而做某事”。
再具体一些就是，直接说或者间接说“为了得知到底是哪种结果而做某事”都是随机试验。
之前的例子“为了看看投出的点数是多少而投骰子”属于直接说“为了得知到底是哪种结果而做某事”，所以是随机试验。
而“投骰子，观察投出的点数”由于可以翻译成“为了看看投出的点数是多少而投骰子”，所以属于间接说“为了得知到底是哪种结果而做某事”，所以也是随机试验。
此时有些同学可能会和我争论说“投骰子”为什么就不属于间接说“为了得知到底是哪种结果而做某事”？
我的回答是：“投骰子”这三个字中提到“点数”了吗？没有吧，所以“投骰子”不能翻译成“为了看看投出的点数是多少投骰子”。“投骰子”这三个字中提到“掉没掉地上”了吗？也没有吧，所以“投骰子”也不能翻译成“为了看看投完后骰子会不会掉到地上而投骰子”。也就是说，“投骰子”根本就不能翻译成“为了得知到底是哪种结果而投骰子”，所以“投骰子”不属于间接说“为了得知到底是哪种结果而做某事”，所以“投骰子”不是随机试验。
有点绕，请同学们仔细体会，要理解到位。1.2 第二车砖——样本空间“样本空间”不能孤立的存在，它是配合“随机试验”而存在的。换言之，只能说“某随机试验的样本空间是……”，而不能单独说“样本空间是……”。
若随机试验确定了，则该随机试验的样本空间也就随之确定了。
说了这么多，到底什么是样本空间呢？
样本空间：某随机试验的所有可能结果组成的集合称为该随机试验的样本空间。
现在请大家来看下面的例题。
例．请写出随机试验“为了看看投出的点数是多少而投骰子”的样本空间。
解：该随机试验的样本空间为｛点数为1，点数为2，点数为3，点数为4，点数为5，点数为6｝。
例．请写出随机试验“为了看看投完后骰子会不会掉到地上而投骰子”的样本空间。
解：该随机试验的样本空间为｛掉了，没掉｝。
例．请写出随机试验“为了看看能不能中奖而买彩票”的样本空间。
解：该随机试验的样本空间为｛中奖了，没中奖｝。
某随机试验的样本空间常用符号Ω来表示。1.3 第三车砖——样本点
在上一节中，我给大家讲了样本空间。如果大家上一节能够看懂的话，那么本节的新内容（样本点）对于大家来说应该是很好理解的。
样本点：样本空间中的元素。
例．请写出随机试验“为了看看投出的点数是多少而投骰子”的样本空间和样本点。
解：该随机试验的样本空间为｛点数为1，点数为2，点数为3，点数为4，点数为5，点数为6｝；由于该随机试验的样本空间中一共有六个元素，所以该随机试验一共有六个样本点。这六个样本点分别是：点数为1，点数为2，点数为3，点数为4，点数为5，点数为6。
例．请问“中奖了”是不是随机试验“为了看看能不能中奖而买彩票”的样本点？
解：我们先把随机试验“为了看看能不能中奖而买彩票”的样本空间写出来，该随机试验的样本空间为｛中奖了，没中奖｝。由于“中奖了”是样本空间中的元素，所以“中奖了”是该随机试验的样本点。
例．请写出随机试验“为了看看能不能中奖而买彩票”的三个样本点。
解：该随机试验的样本空间为｛中奖了，没中奖｝。该集合一共包含了两个元素，这说明该随机试验一共有两个样本点。此题让写三个，明显此题出错了。1.4 第四车砖——随机事件
在本章的第一车砖中，我给大家讲了“随机试验”，而本节要给大家讲的是“随机事件”。“随机试验”与“随机事件”完全不是一回事，大家可千万别把它们混为一谈。
那么，“随机事件”到底是什么意思呢？
随机事件：样本空间的子集（上一节讲的“样本点”是样本空间的元素，而本节讲的“随机事件”则是样本空间的子集）。
例．请写出随机试验“为了看看投出的点数是多少而投骰子”的任意一个样本点和任意一个随机事件。
解：本题让写的是样本点和随机事件，但由于样本点是样本空间中的元素，随机事件是样本空间的子集（换言之，“样本点”和“随机事件”都与样本空间有关），所以我们应该先写出该随机试验的样本空间。
该随机试验的样本空间为｛点数为1，点数为2，点数为3，点数为4，点数为5，点数为6｝。
本题让写出任意一个样本点和任意一个随机事件，那咱们就随便写呗。
任意一个样本点：点数为2。
任意一个随机事件：｛点数为2，点数为4，点数为5｝。
例．请问｛点数为3，点数为4，点数为6｝是否是随机试验“为了看看投出的点数是多少而投骰子”的一个随机事件。
解：随机试验“为了看看投出的点数是多少投骰子”的样本空间为｛点数为1，点数为2，点数为3，点数为4，点数为5，点数为6｝。由于｛点数为3，点数为4，点数为6｝是｛点数为1，点数为2，点数为3，点数为4，点数为5，点数为6｝的子集，所以｛点数为3，点数为4，点数为6｝是该随机试验的一个随机事件。
例．请问“投出的点数大于3”是否是随机试验“为了看看投出的点数是多少而投骰子”的一个随机事件。
解：随机试验“为了看看投出的点数是多少而投骰子”的样本空间为｛点数为1，点数为2，点数为3，点数为4，点数为5，点数为6｝。而“投出的点数大于3”这句话可以翻译成｛点数为4，点数为5，点数为6｝。由于｛点数为4，点数为5，点数为6｝是｛点数为1，点数为2，点数为3，点数为4，点数为5，点数为6｝的子集，所以“投出的点数大于3”是该随机试验的一个随机事件。
通过本题我想告诉大家的是，随机事件不一定写成集合的形式（如本题），但一定可以翻译成集合的形式。
随机事件简称事件，常用大写英文字母A、B、C等来表示。
注意：第二车砖中所讲的样本空间，第三车砖中所讲的样本点以及本节所讲的随机事件都是基于随机试验的。换言之，只能说“某随机试验的样本空间是……”、“某随机试验的样本点是……”、“某随机试验的随机事件是……”，而不能单独说“样本空间是……”、“样本点是……”、“随机事件是……”。1.5 第五车砖——随机事件之间的关系
大家已经知道随机事件是什么意思了，现在要给大家讲的是“两个随机事件之间的关系有哪些”。具体来说，有以下五种关系。1.5.1 包含关系：A⊂B
文字解释：A⊂B指随机事件A发生必导致随机事件B发生。
集合解释：A⊂B指随机事件A的每一个样本点都属于随机事件B，即：A⊂B
例．已知某随机试验的样本空间为｛1，2，3，4｝，该随机试验的一个随机事件A为｛1，2｝，又A⊂B，求随机事件B。
解：随机事件B为｛1，2｝或｛1，2，3｝或｛1，2，4｝或｛1，2，3，4｝。1.5.2 等于关系：A=B
文字解释：A=B指A⊂B与B⊂A同时成立。
集合解释：A=B指随机事件A和随机事件B有完全相同的样本点，即：A=B
例．已知某随机试验的样本空间为｛1，2，3，4｝，该随机试验的一个随机事件A为｛1，2｝，又A=B，求随机事件B？
解：随机事件B为｛1，2｝。1.5.3 交关系：A∩B(或AB)
文字解释：A∩B(或AB)指随机事件A与随机事件B同时发生。
集合解释：A∩B(或AB)由同时属于A与B的所有样本点构成，即：阴影部分为A∩B
例．已知A、B为某随机试验的两个随机事件，且A=｛1，2，3｝，B=｛3，4｝，求A∩B？
解：随机事件A包含了三个样本点：1，2，3；随机事件B包含了两个样本点：3，4。只有3这个样本点同时属于A和B，所以A∩B＝｛3｝。1.5.4 并关系：A∪B（或A+B）
文字解释：A∪B（或A+B）指随机事件A与随机事件B至少有一个发生。
集合解释：A∪B（或A+B）由属于A与B的所有样本点构成，即：阴影部分为A∪B
例．已知A、B为某随机试验的两个随机事件，且A=｛1，2，3｝，B=｛3，4｝，求A∪B？
解：A∪B=｛1，2，3，4｝。1.5.5 差关系：A-B
文字解释：A-B指随机事件A发生而随机事件B不发生。
集合解释：A-B由属于随机事件A而不属于随机事件B的所有样本点构成，即：阴影部分为A-B
例．已知A、B为某随机试验的两个随机事件，且A=｛1，2，3｝，B=｛3，4｝，求A-B？
解：A-B=｛1，2｝。1.6 第六车砖——随机事件的概率
随机事件A的概率记为P(A)。
需要注意的是，任何随机事件的概率都在0到1之间。换言之，对于任意随机事件A来说，都有0≤P(A)≤1。
说了半天，概率到底指的是什么呢？概率是对可能性的定量描述，但是这种定量描述是理论上的。让我们看下面的例题。
例．投一枚一分钱的硬币，连续投两次，结果都是反面向上。由此有人说投硬币反面向上的概率为1。请问这种说法正确吗？
解：这种说法不正确，正确的答案应该是：投硬币反面向上的概率为。大家现在明白了吧，概率指的是理论上的。所以别说投两次全是反面向上了，就算投十次全是反面向上，反面向上的概率仍然是。1.7 第七车砖——两种特殊的随机事件
在前面的第四车砖中，我给大家讲了随机事件的基本概念，随机事件是样本空间的子集。本节我要给大家介绍两种特殊的随机事件，不可能事件和必然事件。
我们把不包含任何样本点的空集称为不可能事件，不可能事件用符号∅来表示。
我们把样本空间称为必然事件，必然事件用符号Ω来表示。
不可能事件∅的概率一定为0，必然事件Ω的概率一定为1（即P(∅)=0，P(Ω)=1）。但是，反之不成立。这一点在考研中常考，大家一定要记牢了。
换言之，不可能事件∅的概率一定为0，但概率为0的事件不一定是不可能事件；必然事件Ω的概率一定为1，但概率为1的事件不一定是必然事件Ω（大家如果暂时不理解的话，也没有关系，先把结论背下来）。
最后，告诉大家四条与不可能事件∅和必然事件Ω有关的结论：
● 对于任意随机事件A来说，均有A∅=∅。
● 对于任意随机事件A来说，均有A ∪ ∅=A。
● 对于任意随机事件A来说，均有AΩ=A。
● 对于任意随机事件A来说，均有A ∪ Ω=Ω。终于把砖运来了同学们，本章的砖你们已经都运来了，此时，你们可能会认为本章没有什么计算题。如果你们真这样认为的话，那么你们就错了。接下来的六个房间中的知识点都可以被出成计算题。我在此再次强调：上面的“砖”中的内容你们只要理解了并且会使用就行，而接下来的“房间”中的内容，不但要理解且会使用，还要找白纸默写下来，因为“房间”中的内容是考研的考点。每章如此，保你概率论与数理统计满分。1.8 房间101——互斥1.8.1 两个随机事件互斥
设A，B为两个随机事件，如果随机事件A与随机事件B的关系为AB=∅，则称随机事件A和随机事件B互斥。
下面我以文字的形式和集合的形式对互斥进行解释。
文字解释：随机事件A和随机事件B互斥指随机事件A和随机事件B不可能同时发生。
集合解释：随机事件A和随机事件B互斥指随机事件A和随机事件B中所包含的样本点没有一个是一样的，即：A和B互斥
例．已知某随机试验的样本空间是{1，2，3，4}，该随机试验的一个随机事件A为{1，2，3}，该随机试验的另一个随机事件B为{3，4}。问随机事件A和随机事件B是否互斥？
解：由于AB={3}≠∅，所以随机事件A和随机事件B不互斥。
例．已知某随机试验的样本空间是{1，2，3，4}，该随机试验的一个随机事件A为{1，2}，该随机试验的另一个随机事件B为{3，4}。问随机事件A和随机事件B是否互斥？
解：由于AB=∅，所以随机事件A和随机事件B互斥。
例．已知随机事件A和随机事件B互斥，求P(AB)？
解：由于随机事件A和随机事件B互斥，根据互斥的定义可知AB=∅，所以P(AB)=P(∅)。根据本章第七车砖中所讲的P(∅)=0可知，P(AB)=P(∅)=0。
例．已知P(AB)=0，问随机事件A和随机事件B是否互斥？
解：由本章第七车砖可知，概率为0的事件不一定是不可能事件∅，所以在本题中，AB未必等于∅。所以随机事件A和随机事件B不一定互斥。（当然也有可能互斥）。1.8.2 两个随机事件对立
对立是互斥中的特殊情况。也就是说，若随机事件A和随机事件B对立，则随机事件A和随机事件B一定互斥。那么特殊性到底体现在哪儿呢？
特殊性就体现在：由随机事件A和随机事件B互斥，我们只能推出AB=∅；而由随机事件A和随机事件B对立，我们不但能推出AB=∅，还能推出A∪B=Ω。
下面我以文字的形式和集合的形式对对立进行解释。
文字解释：随机事件A和随机事件B对立指随机事件A发生当且仅当随机事件B不发生。
集合解释：随机事件A和随机事件B对立指随机事件A和随机事件B中所包含的样本点没有一个是一样的且A，B中的样本点合在一起就是样本空间，即：阴影部分为A的对立事件
现在大家应该算是彻底明白了吧。最后给大家总结一下：（1）随机事件A的对立事件记为。（2）（3）不可能事件∅的对立事件是必然事件Ω。（4）若A=B，则（5）1.9 房间102——相互独立1.9.1 两个随机事件相互独立
设A，B为两个随机事件。若A，B两个随机事件满足等式P(AB)=P(A)P(B)，则称随机事件A和随机事件B相互独立。1.9.2 三个随机事件相互独立
设A，B，C为三个随机事件。若A，B，C三个随机事件满足下面四个等式：（1）P(AB)=P(A)P(B)（2）P(AC)=P(A)P(C)（3）P(BC)=P(B)P(C)（4）P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
则称A，B，C这三个随机事件相互独立。
提示：多于三个随机事件相互独立的定义我就不给大家讲了，因为考研中不要求。
本节就讲完了。大家一定要记住，“互斥”是针对两个随机事件而言的，而“相互独立”则可以针对多个随机事件。1.10 房间103-互斥、相互独立的进一步讨论（1）不可能事件∅与任意一个随机事件既相互独立又互斥。（2）必然事件Ω与任意一个随机事件既相互独立又包含该随机事件。（3）概率为0的随机事件（不一定是不可能事件∅）与任意一个随机事件相互独立。（4）概率为1的随机事件（不一定是必然事件Ω）与任意一个随机事件相互独立。（5）若随机事件A与随机事件B互斥，则有P(A∪B)=P(A)+P(B)。（6）若A，A，......A这n个随机事件相互独立，则：12n
①从这n个随机事件中任意抽取r个（2≤r≤n）随机事件，则抽取的这r个随机事件相互独立。
②把这n个随机事件中的任意r个（1≤r≤n）随机事件换成它们的对立事件，则这新组成的n个随机事件也相互独立。
例．已知随机事件A，A互斥，且P(A)=0.4，求121P(A∪A)？12
解：由房间101可知，因为所以解得P(A)=0.2。又因为A，A互斥，由本节的讨论（5）可知，P(A∪ 2121A)=P(A)+P(A)=0.4+0.2=0.6。212
例．已知随机事件A，B，C，D相互独立，问是否相互独立？
解：由本节的讨论（6）中的①可知，A，B，D相互独立。再由本节的讨论（6）中的②可知，相互独立。
例．已知随机事件A，B，C，D相互独立，问能否推出这四个随机事件两两独立？
解：这道题的问题可以翻译成：A，B独立吗？A，C独立吗？A，D独立吗？B，C独立吗？B，D独立吗？C，D独立吗？由本节的讨论（6）中的①可知，A，B独立；A，C独立；A，D独立；B，C独立；B，D独立；C，D独立。也就是说，这四个随机事件两两独立（但记住，n个随机事件两两独立可推不出这n个事件相互独立）。1.11 房间104——三大公式1.11.1 加法公式（1）P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)（2）P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
注意：以上两个加法公式中的第一个公式的等式左侧与上一节的讨论（5）中的公式的等式左侧一样，都是P(A∪B)，而右侧却不一样，这是为什么呢？因为上一节的讨论（5）中的公式是有限制条件的，而本节的加法公式是无条件成立的。明白了吧。
例．P(A)=0．1，P(B)=0.4，且A，B相互独立，求P(A∪B)？
解：由于A，B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)=0.1×0.4=0.04
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.1+0.4-0.04=0.46
考研题1.1 设A，B，C是三个随机事件，且P(AB)=P(BC)=0，问A，B，C至少有一个发生的概率为多少？
解：我们首先需要将本题的问题翻译成数学语言。“A，B，C至少有一个发生”翻译成的数学语言是P(A∪B∪C)。
由刚刚讲的加法公式中的第二个公式得：
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
结果发现题中并没有给出P(ABC)。此时有的同学可能会怀疑此题少给了条件，可事实却并非如此，此题的条件并没有少给。也就是说，此题虽然没有明确给出P(ABC)，但我们却能够通过其他条件推得P(ABC)。
我们知道，任何随机事件的概率都是大于等于0的，所以有P(ABC)≥0。
因为P(ABC)肯定是小于等于P(AB)的（这很好理解吧，随机事件AB又交了一个C，交完后的概率肯定是小于等于没交时的概率啊），而P(AB)=0，所以有P(ABC)≤0。
由于P(ABC)≥0，P(ABC)≤0，所以P(ABC)=0。
现在P(ABC)有了，我们直接代数就可以了。
本题就做完了，本题的难点一共有如下两个：（1）需要将本题的问题“A，B，C至少有一个发生的概率”翻译成数学语言P(A∪B∪C)。（2）需要从P(AB)=0推出P(ABC)=0（或从P(BC)=0推出P(ABC)=0）。1.11.2 减法公式（1）（2）
考研题1.2 设两个相互独立的事件A和B至少发生一个的概率为，已知A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P(A)？
解：“A发生B不发生的概率”翻译成的数学语言是，“B发生A不发生的概率”翻译成的数学语言是，因此有由刚刚讲的减法公式可知：由于所以有P(A)-P(AB)，=P(B)-P(AB)所以有P(A)=P(B)。“事件A和B至少发生一个的概率为”翻译成的数学语言是
由本节的加法公式得：
由于A，B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)，所以①式可以变为：
由于P(A)=P(B)，所以②式可以变为：
设P(A)=a，则③式可以变为：
将④式移项，得：
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]