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作者：方均斌

出版社：浙江大学出版社

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数学教学设计与案例分析试读：

一、数学教学设计的概念

何谓数学教学设计？学术上的说法不一，综合相关的观点，我们认为，数学教学设计是设计者根据已有的社会文化传统背景(包括社会对数学教学的要求、教学对象的具体特点)，综合运用与教学相关的理论(如教学论、学习论、系统论、信息传播理论等)，以及个人对数学本身的理解，运用恰当的方法，设计解决数学教学问题的策略并形成具体的方法和步骤直至教学方案的形成，并对教学方案实施后的教学效果作出必要的价值评判的过程。数学教学设计的根本意图是数学教学的优化和高效。数学教学设计在具体实践操作中，就是我们通常所说的数学教案，即某一阶段(宏观的包括一个学段、一个学年、一个学期、一个单元；微观的就是一节课甚至一个教学环节)的教学方案的制订，这个制订过程凝聚着教师的数学功底和数学教育理论修养、对国家和地方教育部门的教育政策法规的解读、对具体数学教学内容的理解、对学生的了解程度和对教育环境的综合考虑结果，它的一个重要特征是在教学过程发生前的一个预案，可操作性的要求较高，是一个教学的合理预设。在平时教学过程中，教学设计经常指一节课的教学预案，这是一种狭义的理解，但也成为一种“习惯”。

二、数学教学设计的基本问题

就我国目前的发展水平而言，我们现在的数学教学基本上已经处于一种信息化时代。有学者认为信息化环境下现代教学设计应注意以下几个基本问题：“教学模式的设计与选择，信息技术与教学活动过程的整合，有效学习环境的设计，教学问题的症状鉴别与根源分析，客观评价工具的设计等”。也有学者发表题为《小学数学教学设计面临的五个基本问题》的文章，认为小学数学教学设计应该面临五个基本问题：“一、全——全面落实课程目标；二、深——确保学生的学习到位；三、优——科学运用教学方法；四、新——强化新素材、新方法的运用；五、真——关注真实的生活问题。”尽管不同学者的视角略有差异，关于数学教学设计的基本问题我们不外乎用七个字来概括：“承上”、“启下”、“思中间”。所谓“承上”有三方面的含义：一是当前的课程标准对教学任务的安排与要求；二是以往的教学手段与方法的继承与改革；三是学校及社会对教学的评价导向的领会与整合。而所谓的“启下”就是如何有效地将“承上”的三个方面用在我们的教学对象——学生上来。“思中间”有三方面意思：一是如何根据教学任务及要求和具体的学生，参考以往的教学策略及方法，选择恰当的方法来教育我们的学生；二是如何根据教师本身的特点设计恰当的教学过程以较好的效果来完成教学任务；三是综合考虑教学环境的变化及改革动态以恰当的手段来完成教学任务。

数学教学设计到底想解决什么问题？其基本问题是：①为什么要进行数学教学设计？②怎样进行数学教学设计？③进行数学教学设计后又能怎么样？其实，设计一个教学方案无非就是要让教学过程“进展得顺利一些”，让有限的教学时间资源运用得更高效一些，让我们的学生把数学学得更好一些，并且兴趣也更高一些。围绕着这么多的“一些”，我们应该很清楚教学设计的基本问题：①教学任务的领会，即教师应该了解国家和社会给我们的教学任务，包括每一节课的教学内容；②教学对象的了解，即我们对我们的教学对象要有一个充分的了解，只有这样才能设计出一个高效的且具有可操作性的教学方案；③教学目标的制订，即在综合考虑教学任务和学生的具体情况的条件下，教师制订教学目标，这个目标就成为整个教学预案的核心因素；④教学过程的预设，即教师根据已经确定下来的教学目标的内容，以及自己的理解并考虑自己的执行能力，对教学过程有一个预设。

1.教学任务

教学任务是教学目标制定的重要依据，教师在某个宏观设计(教学进度)的条件下考虑每一课时的微观教学设计。可以这样认为，每一节课的教学任务都是整个宏观教学任务的“子任务”，这个“子任务”是整个“教学棋盘”中的一颗“棋子”，教师必须对每一颗“棋子”的地位和作用有一个清醒的认识，这样，整个棋盘将“充满活力”，前后呼应，否则，可能因打乱战而造成低效甚至无效。【例1.1】基本不等式ab≤a+b2

该课时是在整章(第三章)《不等式》的最后一节，前三节分别是：3.1不等关系与不等式；3.2一元二次不等式及其解法；3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题。而在最后这一节§3.4基本不等式ab≤a+b2课本只是推导基本不等式后，列举两个实际应用题(与基本不等式有关的最值问题)。并不像老教材那样，运用基本不等式去证明其余的不等式。结果，有些教师很不适应，认为不把基本不等式运用起来去证明其他的不等式是个“败笔”，于是，他们在教学过程中纷纷添加一些运用基本不等式去证明其他不等式的例子，违背了教材本身的意图。其实，运用基本不等式去证明其他不等式已经在选修模块教材中有安排，课本所做的只是让学生在学习了简单的线性规划问题后，采用例子的方式让学生认识“简单的非线性规划问题”，可见，教师理解错了教学任务，会使学生的学习产生错位。

2.教学对象

了解教学对象是教学设计前必须要做的一项重要工作，即便教师似乎对学生有一个很充分的了解，但是，课堂上还是经常发生一些教师无法意料得到的“教学事件”。一般而言，教师了解学生可以从这样几个方面进行：一是学生的知识前提，即学生对准备学习的内容的前提基础知识和基本技能具备了没有。例如，最近经常有高中教师抱怨初中生对十字相乘法很陌生，到高中后的学习表现“之差”让有些高中数学老师始料不及，一个高中教师如果对学生在初中所学的内容不熟悉，他的教学设计肯定存在这样或那样的问题，教学被动自在情理之中。二是要了解学生的数学能力前提，即要了解学生是否存在即将要学习内容的各种能力。例如，学生的运算能力达到了没有，是否允许使用计算器等。三是要了解学生对数学的学习兴趣、态度以及其他的一些非智力因素。例如，学生参与讨论的积极性如何，学生之间的合作态度及能力是否良好，等等。只有这样，才能为一个优秀的教学设计打下良好基础。【例1.2】任意角的三角函数定义

这是一节2006年全国性高中数学教学观摩课，当教师给出角α(终边上取一点p(x，y)，且设|Op|=r>0)并定义：sin α=yr，cos α=xr，tan α=yx之后，问学生：“这三个函数的定义域分别是什么？”有个学生回答了前两个函数的定义域是R，教师表扬了这位学生，可是，当这位学生回答tan α=yx的定义域是x|x∈R，x≠0，并得到了其他同学的附和时，教师一下子愣住了，不明白为什么学生会这样回答问题。原来，这些学生以为表达式tan α=yx中，x是自变量，在他们的脑子里，这个“约定”似乎根深蒂固，出乎教师的意料。

3.教学目标

在综合考虑了教学任务及教学对象之后，教师可以设定教学目标。按照传统观点，教学目标可以分为知识目标、能力目标和德育、情感目标，并且有关专家给出了学术“界定”，例如，对知识教学目标，分为了解、理解、掌握、应用四个层次。

①了解，指对知识含义有一个初步、感性的认识，能知道这一知识是什么，能在有关问题中认识它。例如：初中教材中“对顶角”的教学要求是“了解”，即要求学生掌握对顶角的概念，能够在有关图形中找出哪些角是对顶角即可。

②理解，指对知识有一个理性的认识，不仅要求这一知识的含义，而且还能知道这一知识是怎么来的，与其他知识的联系是什么，有什么用等。例如高中教材中的“函数的奇偶性”的教学要求是“理解”，即不仅要求知道函数的奇偶性的含义及判定方法，而且还要求学生知道为什么要研究函数的奇偶性，以及函数的奇偶性与函数图像、函数单调性的关系等。

③掌握，指在理解的基础上，通过训练形成技能，并且用它来解决一些问题。例如高中教材中的“线面垂直的判定定理”的教学要求是“掌握”，即要求在理解的基础上，通过练习，使学生掌握。例如：“为了证明线线垂直，只需证明线面垂直”之类的技能。

④应用，指对知识能够综合运用，并且能够灵活、迅速地解决有关问题，形成能力。例如高中数学教材中的“直线方程”的教学要求是“应用”，即要求学生不仅会用直线方程解决有关问题，而且还要求学生会灵活选择直线方程的五种形式去迅速解决有关问题等。

教师如何把握这四个层次的度，是衡量一个数学教师是否成熟的标志之一。虽然，由于这四个层次的提法过于笼统，目前的新教材已经对此作了一些具体的细化。但是，一些语言的灵活组织还得靠教师自己仔细琢磨。

能力目标在原来传统提法中，分为运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，后来提出了数学能力的概念，这是因为有观点认为“传统三大能力”的提法不能完全概括数学能力的本质，况且相互之间也存在交叉现象。但是，“传统三大能力”的提法已经深深地印在数学教师的脑海里，教师在撰写教学目标的时候，经常出现诸如“学生的空间想象能力得到了进一步的培养”之类的字眼，比“学生的数学思维能力得到了进一步的培养”更明确一些。但是，目前对学生的能力似乎没有像基础知识那样“等级化”，从数学技能到数学能力之间也没有一条明确的界限，目前还仅限于一种“模糊的描述”，教师可以利用一些明确的词语给予适当描述，让人更加清楚你的教学目标处于何种“级别”。

德育与情感目标属于非智力因素范畴，我们认为，主要指“群体合作及认同意识的提高(爱国主义是一个高目标)”、“科学思想方法(含辩证思想)的体验与形成”、“个人对学科的积极情感意识的强化及升华”、“一些诸如意志力等个性品质得到加强”等。在具体描述上，一些用词也会“丰富一些”。

现在新课程提倡“三维目标”，实际上是《新课程标准》确定的数学课程总目标下，明确数学教育进展方向的六条具体目标所分的三个层次数学课程标准研制组。普通高中数学课程标准(实验)解读。第一个层次是知识与技能；第二个层次是过程与方法，具体体现就是在这个过程中把握方法、形成能力，在这个过程中发展意识，比如应用意识、创新意识；第三个层次是情感、态度和价值观，一种对于人的全面和谐发展和社会发展的更高层次的要求。但是，它们之间又是不可分割、互相联系、互相融合的，是一个整体，体现了过程与结果的有机结合。

目前，在撰写教学目标方面，学术界也似乎存在观点不十分一致的情况，尽管，目前以新课程改革为核心的教学提倡“三维目标”的写法，但是，也有一些老师坚持认同原来的写法，认为那样写法也能够体现现代数学的教学理念。我们认为，只要能够体现现代教学理念，吻合课改需求的教学目标，在写法的形式上可以不必过于讲究。一个姑娘只要长得好看，穿什么衣服都不能掩盖她的魅力，如果要追求时髦，那就“让她顺应时代潮流吧”！

4.教学预案

在理解教材、了解学生并制订教学目标之后，教师的教学预案可以开始了，也就是我们通常所说的狭义的教学设计的“真正开始”。任何教学设计的最终目的是为了达到完美的教学效果，一些数学教师为了这一目的绞尽脑汁地进行设计，对每个教学环节都进行细致的研究，唯恐哪个环节出现纰漏，可谓尽心尽责，可是教学效果并不理想。当然，也有教师随遇而安，课前只是草草地打个“腹稿”，教学效果却异常地好！这到底是为什么呢？我们出于培训中学教师的需要参阅了大量的中学数学教师的教学设计(包括上课课件)，也听过一些教师的课，发现数学教学设计与具体执行过程存在着若干误区。

(1)数学教学设计中的几个误区

误区之一：设计执行两极化

在具体的教学设计过程中，出现了设计执行“两极化”的现象。“第一级”是设计与执行出现双轨现象。一些教师将设计的书面工作当做一种摆设以应付领导的检查，真正的“设计”是脑子中的“腹稿”，这些教师依靠自己的经验和思维的灵活性来驾驭课堂教学，目前这种现象有些普遍，尤其是老教师。他们数学学科逻辑性强，如果数学教师能够把握关键点，然后根据课堂的具体情况发挥，往往能够达到理想的教学效果，完全可以摆脱原先设计的“约束”。“第二级”是出现执行过程机械化现象。同样也是因为数学学科逻辑性强的学科特点，一些教师备课认真但思维跳不出其内在的逻辑“约束”，在具体的执行过程中，按照原先的设计步骤机械地执行，教学效果并不理想，此类教师以年轻教师居多，当然，公开课等场合出现这个现象比较多。有教师曾调侃：“我的教学效果与备课时间成反比！”

事实上，教学设计只是一个方案，而具体执行中则需要处理种种不以我们的意志为转移的突发事件，需要教师的灵活思维和丰富的经验。数学思维具有宏观与微观的两个层面，宏观上与生龙活虎的策略创造密切相关，微观上与步步为营的逻辑推理相伴。只有“腹稿”的教师往往只有一节课的宏观思路，执行中发挥余地大，往往能够灵活地处理课堂信息。然而，年轻教师是否也和老教师一样做呢？答案是否定的。年轻教师经验欠缺，必须考虑课堂细节，精心安排应急措施，具体实践的检验后形成经验，经验积累与预先准备量成“正比”。我们认为，年轻教师设计时需要做到：思考多、书写细、课件精、方法活。其实，这个建议同样适合老教师，只不过内涵有所区别。思考多是指在创新层面方面需要多下工夫，避免出现教书匠现象；书写细是指把具体的每节课的教学设计当做科研任务来完成；课件精是指不把课件纯粹当做记忆衰退的弥补品和提高课堂“效率”的工具，而是要体现课件具有提纲挈领和对学生掌握知识具有画龙点睛作用；关于方法活的问题，除了随机应变外，老教师还需要克服长期形成的教学方法定势行为，经常“换换口味”，观察学生的变化和教学效果，使自己数学教育向艺术家方向转移。

误区之二：选择视角学科化

长期的数学学习和数学教学，使得我们的行为和思维方式“严重数学化”，“用数学的眼光看世界”使得我们出现视角转换灵活性降低。从数学到数学、生活到数学等现象引入设计过程经常忽略了采用其他学科看数学的眼光。例如：浓度问题在数学教师的眼里只不过是溶质在溶液中所占的比例问题而已，于是，在具体的教学设计中，一些教师就缺乏对具体物质“溶解度”的关注，出现了超溶解度的“溶液”；又如，年龄问题在我们数学教师眼里也仅为整数问题，于是在一个数学题中，出现了经过推理而得到“16岁孩子当母亲”的“负面效应”新浪网。寒假数学作业出错题，16岁少女当上“妈妈”；而三角形重心问题在我们数学教师眼里已经“退化”为“三角形三条中线的交点”的代名词了，重心的物理含义似乎被我们数学教师淡忘。在一次函授面授课上，笔者让听课教师(学员)说明三角形的重心性质(将三角形中线的长度分为二比一)，结果没有一个数学教师是采用物理方法进行的。

戴着“数学有色眼镜”看世界的初衷源自我们目前比较流行的对数学的定义：“数学是关于现实世界的数量关系与空间形式的一门科学。”事实上，出现学科思维习惯并非不好同时也是不可避免的，关键是倾向不能太严重。今天数学教师要求学生“用数学眼光看世界”，明天物理老师要求学生“用物理眼光看世界”……这只能让学生无法选择该用什么眼光看这个缤纷的世界。因此，在具体设计的时候，数学教师应该采用跨学科的眼光和思想审视每一个数学问题，寻找多种方法处理同一个问题，让学生辨认优劣，也列举一些不一定采用数学方法处理是最佳方案的问题。当然，要做到这一步不容易。首先数学教师要克服长期形成的学科本位意识，经常多角度思考问题，这可能不是一朝一夕就能够办到的；其次，数学教师要提高各学科的文化修养，弥补自己的知识“缺位”，这对一些长期从事数学教学的老教师也具有一定的难度。尽管如此，我们也应该为培养具有多学科、全方位审视和思考问题能力的后一代尽力。

误区之三：抉择内容教条化

数学的确定性使得数学知识似乎比其他学科更容易判断出其是否符合纲的要求，以纲为中心是我国数学教学的一大特色，尤其是以考纲为中心的教学更是如此。所谓的纲是数学教育专家经过论证后确定数学教学所应该达到的目标，本身具有一定的权威性，如果将这种权威绝对化，那就变得教条和僵硬，不利于教师和学生创新意识的开发及培养，更要命的是考试指挥棒和目前对教师狭隘的劳动评价体系使得教师在教学设计过程往往受到了严重地约束，一些教师在教学设计过程中不敢也不愿意越雷池半步，他们以考试要求降低或不考回避了一些问题的思考方向的教学设计，使得数学教学设计的创新度大大降低。例如，正弦定理的证明，在增加向量内容之前，我们都是以三角形的高为桥梁，采用面积或直角三角形中的内角正弦函数定义等方法给予证明，这种证明显得比较自然，符合学生的思维方式。而在刚增加了向量的人教社教材人民教育出版社中学数学室。全日制普通高级中学教科书(必修)数学(第一册下)中，编者似乎是为了加强向量的应用，采用向量来证明正弦定理。客观地讲，这种构思是巧妙的，意图是有可取的一面，但学生是不容易想到的。按照最近发展区教学原则，这种证明方法在思维上具有跳跃性。一些教师受教材的约束，绞尽脑汁，尽量“引导”学生采用向量的方法来证明(众所皆知，构造性证明的教学设计难度很大)，更有甚者，一些教师对原来的证明方法只字不提，好像这样才能体现大纲(课程标准)的要求。我们认为，教师完全可以按照学生的“最近发展区”将原来的证明方法与学生进行讨论，之后提出：“我们刚学习过向量，那么能否利用它来证明正弦定理呢？”然后可以直接进行“介绍性证明”，让学生欣赏采用向量证明的巧妙性。事实上，最近的新教材确实又进行重新修改，回到了从前老教材的处理方式。

误区之四：构造证明情理化

正如我们刚才提到的关于正弦定理的向量方法证明的构造性方法一样，在中学数学中好多内容的证明是构造性的，一些教师似乎想方设法采用合情推理等手段使得学生“很自然地”想到这些证明方法。我们认为，针对数学构造性证明，完全不必要采用“我们应该想到”的字眼来“引导”学生(其实是误导学生)。一些“灵光一现”连证明者也说不清楚自己怎么会想到的思路，在某些教师的教学设计中，却能够“合情合理”地引导学生想到，这种设计可能在培养学生思维的某一方面有一定的可取的地方，但可能会对创造性证明的发现者的“不尊重”，而且这种设计也可能“枉费心机”，我们在设计中认为“我们应该想到”的往往是学生“不容易想到”的。因此，对采用创造性证明，设计的时候，不必要机械地按照所谓的“合情推理”等原则进行“引导”，我们完全可以以介绍性方式引导学生欣赏前人的证明，在欣赏之余引导学生进行反思，从中得到一些启发。从现象到本质的思考方式是很多学科所采用的思维培养目标，李白在几乎醉酒状态下写出的一些流传千古的诗，事后他可能自己也想不出是怎样写出来的，语文教师只能引导学生去欣赏和反思；物理、化学教师经常“制造”某种现象，让学生观察，再要求学生反思和解释这种现象产生的原因。因此，针对一些巧妙的构造性证明，我们完全可以借助其他学科的方法，来个“先斩后奏”，引导学生欣赏前人的劳动，然后让学生反思，从中得到启发。“事后诸葛亮”的教学设计心态有时是不利于学生思维的真正培养的。

误区之五：方法思想保守化

数学思维的特点之一是灵活多变，一些问题只要改变一个条件(哪怕一个数据)其解决方法将产生巨大的差异。因此，除了受纲的影响外，数学教师在设计的过程中还往往考虑自己的驾驭能力问题，这种现象在所难免。在这种心理支配下，往往会出现选择的例题必须是自己会做的、学生所提的问题也应该自己心中有数，于是出现教学过程中的“滤题”、“滤问”现象。在急功近利的功利化教育思想影响下，一些教师出现了怕自己在学生面前“出丑”而丢饭碗的心理，当然也有一部分教师是因为怕在学生面前“出丑”而失去教师的“完美”形象，从而失去自己的教学“威信”，“影响”教学效果。为什么一些探究性教学一直在中学得不到有效地实施？其中就有这样的心理在作祟，因为在探究过程中有些问题经常超越教师的能力之外。必须注意的是“亲其师而信其道”，学记上写道：“虽有佳肴，弗食，不知其旨也；虽有至道，弗学，不知其善也。是故学然后知不足，教然后知困。知不足然后能自反也，知困然后能自强也。故曰，教学相长也。《兑命》曰：‘学学半’。其此之谓乎。”一个成功的数学教师在教学过程中应该敢于与学生进行“思维肉搏战”，向学生学习，了解学生的思维，真正做到有的放矢的教育。

误区之六：教学信息单向化

教师已经知道一些问题的解法，与学生的信息出现不对称的现象，往往造成学生与教师的不同心理反差。这在竞赛辅导的教学设计过程中尤为明显，难怪一些学生把数学学科称之为“整人的学科”、“魔鬼学科”，教师的“整人”方法往往是“让你做不出”或“让你做错”，所编的问题具有刁钻的特点，此类问题往往出现明显的人为加工的特征，可谓“工于心计”、“陷阱多多”。在具体的教学过程中往往出现“教师得意，学生失意”的现象，教师似乎具有“宏观把握，明察秋毫，运筹帷幄”，而学生似乎只能“丢三落四，虎头蛇尾，不得要领”。例如：①求16的平方根；②求cos90°的余弦值；③求arg(1+i)的辐角主值等。此类教学设计在一定的教学场合(在训练教师或师范生时有时是必要的，而在训练中学生时可以偶尔为之，因为这种设计可以训练一定的思维缜密和进行挫折教育的功能)具有积极的作用，但是，频率过高的难题、陷阱题只会让学生对数学产生厌倦和畏惧心理。成功的数学教师不是靠“信息不对称”来教育学生的，数学教师必须调节好心态，要经常站在学生的立场去设计数学教学过程，要注重数学学习的主流，在具体教学过程中更要注重教学技巧，达到良好的教学效果。

(2)避免教学设计误区的几点思考

思考之一：以人为本，调整心态

以学生为本是我国目前新教材改革的一个重要思想，在教学设计过程中缺乏换位思想和情感体验，不顾学生的具体情况的教学设计，哪怕表面看上去很漂亮，也只能中看不中用，这样的设计只能成为一种摆设。从书面的情况来看，绝大部分数学教师的教学设计中很少有针对不同程度的学生可能遇到的问题的处理方案的描写，而到具体执行的过程中，也基本上是以中等程度的学生为主线，很少考虑两头的学生，尤其对成绩落后的学生。客观地说，针对大班化教学现状，两极分化往往比较严重，要求教师在一节课中照顾到每一个学生是有困难的，但这不能成为一个借口。按照新课程改革的理念，不同的人应该学不同的数学，让成绩不理想的学生在他最近发展区的基础上的数学成绩有所发展，而不白白浪费45分钟的时间，是我们数学教师应该有的职责。我们要站在以学生发展为本的角度，根据全班学生的差异情况，实事求是地选择一些学生需要的内容进行教学，对一些所谓的差生我们也应照顾，有时不要盲目地去赶所谓的教学进度。据我们了解，普及教育后，农村学生的两极差异很大，部分学生根本无法完成普及教育所规定的数学学习内容，但一些教师往往迫于外界的压力及本身的价值取向，仍然按照大纲的教学进度的设计方案进行教学，这与我们目前所提倡的以人为本的教育理念是有距离的。其实，我们应该反思，即使我们按照原来学校规定的教学计划进行教学设计并完成教学，如果大多数学生没有掌握，我们是在做无用功。尽管我们随大流，但我们是在耗费自己的生命，同时也浪费学生的青春。与其“内耗”，不如实实在在地让学生学到一点踏实的数学，使他们能够真正学有所获。如果我们教师能够树立这种教育理念，那么，我们在具体的教学设计的时候就能够充分考虑学生的实际程度并有的放矢地进行设计。

以人为本的另一方面是在具体执行过程中要根据课堂中学生的具体情况灵活执行教学设计，即要以动态的眼光审视我们的教学设计。一个真正优秀的教学设计是具有很强的可操作性，灵活变化，从而避免了机械执行设计的误区。

思考之二：宏观把握，灵活机动

所谓宏观把握，就是要求教师从整个数学课程的运作上以及从学生的终身发展需要的视野上考虑我们每节数学课的教学设计。由于数学思维开放等因素导致数学课堂上不可预见的因素很多，很可能会让数学教师在具体实施的时候影响原来的教学设计方案，这一点数学教师必须在设计的时候有所考虑，同时也需要转变观念。我们如果将整个数学教学看成一部很长的电视连续剧，那么一节课可以看做其中的一集，不同集之间可以灵活调整，每一节设计得似乎很完美的数学课不见得总体数学教育效果就好，只要能够做到宏观把握即可。另外，多变的数学题体现出思维的灵活性同时也体现出数学教育功能实现的多样性，从学生的整个学段的需要乃至学生的终身发展的需要出发去设计每一堂数学课，教师完全无须面面俱到地选择不同类型的数学问题，也无须将每一个数学问题的教育功能发挥得“淋漓尽致”，只要根据不同的阶段选择部分典型问题并且有选择性地发挥某些教育功能即可。在具体教学设计的时候，教师的取舍很重要，面面俱到不可取。否则，会让教学任务无法完成，同时也会阻碍学生的自学能力和独立思考能力的培养。

思考之三：提高修养，抓住关键

提高修养的思考有两个层面的含义：一是数学教师的人生修养，主要从教师的个人得失的价值判断方面思考；二是教师的文化知识修养，包括综合知识的修养和数学教育技能修养方面的思考。

如果一个数学教师能够站在很高的角度认识数学，能够在处理一些数学问题时一针见血且简明扼要，具体设计的时候就能够抓住关键和核心，做到形散而意不散，使得设计在具体执行的时候游刃有余。例如一个教师能够认识到角的本质是“方向的差的刻画”，那么他在设计异面直线间的角、线面之间的角、二面角的教学的时候，就有意识地渗透直线方向和平面的法线方向等内容，尽管在学生面前不提及相关概念，但在具体设计的时候就能够看得清、分得明。一个具有很高数学修养且具有一定教学技能水平的数学教师，他在设计教学的时候往往能够提纲挈领，不拘泥于具体细节，具体执行的时候却能够得心应手。

此外，如果数学教师具有很高的其他学科知识修养，那么，他的设计就能够将数学知识与其他学科知识融会贯通，使得数学教学不再枯燥。例如，在函数的奇偶性的教学引入片段设计中，一个教师设计了这样的片段：他走进教室，用备课本遮住自己的半张脸，原本吵闹的学生一下子被教师这一奇怪动作吸引住了，纷纷猜测老师的另半张脸是否受伤了，当老师说明另半张脸没有受伤并问学生是否需要看清另半张脸时，学生说不需要，教师点明主题：“一些对称的东西，我们只需要研究其一半，事半功倍！本节课我们研究函数的性质也采用如此方法，请大家寻找一些我们已经学过且具有对称性(有点含蓄，故意不提函数图像的对称性)的函数。”这样，学生对为什么要学习函数的奇偶性的动机就一清二楚了。又如，一个教师在设计三角形相似教学的时候，把古诗：“欲穷千里目，更上一层楼”进行剖析，使得学生感觉到学科之间是相通的。

思考之四：认真反思，科教双收

根据我们的了解，一些数学教师在设计教学过程的时候往往比较认真，但一到执行以后的反思环节却没有应有的重视。其实，教学设计一旦付诸实施以后，反思环节是理论与实践进行检验的最好“收成阶段”，为教师更成功地进行教学设计积累经验，一些教师只是凭记忆在积累一些“感觉”，而没有书面的反思环节描写，一些很有价值的教学与科研材料就这样流失了。造成这种现象有多方面原因：一是一些教师以为教学设计是课前的预案，一旦执行，其任务也就完成。二是教师科研意识淡薄，没有将教学设计看做一项科研工作，仅将教学设计看做教学的一种手段或辅助措施。三是教师的上课也很累，没有将执行环节及时记录，一些反思环节的详细材料就可能这样丢失了。

我们认为，教学设计的反思环节是下一次教学设计的最好材料，而且也是教学科研的一笔宝贵的原始材料。为什么人数众多的一个数学教育大国，很少出现数学教育大家，这是很值得我们深思的事情。关键是我们广大数学教师往往没有将数学教学当做一项科学研究任务来抓，缺乏应有的科研意识。这固然与我国总体的教育评价导向密切相关，但数学教师本身的意识是关键。我们的一些数学教师在写科研论文的时候，对自己眼前的学生和切身的教学经历视而不见，盲目抄袭一些所谓的教学理论，然后再牵强附会地套上所谓的例子，成为别人理论的一个“注解”或“佐证”，创新意识淡薄，实在令人可惜！值得欣慰的是，随着新课程标准的实施和教材改革以及应试意识的逐步淡化，数学教师的科研意识也越来越浓，一些扎根于我国教学第一线的数学教育工作者也越来越重视教学经验的积累，特别是重视教学设计与教后反思环节的结合工作，相信在不远的将来，我国一定能够涌现一批国际级数学教育大家。第2章数学教学设计基本理论

任何一种教学设计都需要教学理论作为支撑，一些老师在进行教学设计的时候，他或许觉得自己的教学设计根本不需要什么高深的数学教育理论，只是凭着自己的教学经验和对数学教学的理解即可。殊不知，这些“教学经验和对数学教学的理解”的背后往往深藏着一些称之为“理论”的东西，这些“理论”或许在现成的研究中找不到，而且“理论”中不乏精髓且具有中国特色，但在实践中却无法熠熠发光，希望我国广大数学教育工作者积极提炼这些理论，使之成为“具有中国特色的数学教育理论”。从新中国成立以来，对我国数学教育有较大影响的有两个理论：一是以行为主义心理学为背景的教育理论；二是以认知心理学为背景的教育理论。这两种教育理论对数学教育的影响较大。

一、行为主义观点下的数学教学设计理论

行为主义心理学中影响较大的应该是出生于美国的南卡罗来纳州的华生(1878-1958)，该学派的主要观点有：①“心理学是自然科学的一个分支”，这个观点奠定了人们心理活动的物质性，这是对当时受神学影响严重的传统心理学的一大挑战；②“以人类活动和动作作为研究对象，通过系统的观察和实验来表达支配人类行为的规律和原理”；③“心理学是研究行为的科学”，行为是有机体用以适应环境的反应系统，行为的基本单位是S.R的联结，S是“引起有机体反应的外界环境或身体组织中所发生的任何变化。复杂的S即情境。”R是“由S作用于有机体所引起的肌肉收缩和腺体分泌。包括外显反应和内隐反应”。显然，其哲学基础是机械唯物主义和实证主义。行为主义有一系列有名的实验，其中以狗的食物反应和信号灯的关系最为著名，也给世界心理学发展作出了里程碑式的贡献。

我国心理学研究起步比较晚，新中国成立初期，行为主义由于其“物质性”的一面而备受以“辩证唯物主义”为信奉基础的社会主义制度国家的青睐，其一些理论也很快在我国传播开来，并实质性地影响我国教育的各个领域，尤其是数学教育。众所皆知，数学教学离不开数学技能的训练，这种训练在很多场合似乎给行为主义理论“释注”，学生通过不断地强化训练，数学技能也不断地提高，这是一个“铁的事实”，也“吻合”行为主义教育理论。这是行为主义给数学教学带来“积极影响”的一面，行为主义为教学设计中的数学技能训练提供了理论依据。然而，我们必须看到，行为主义理论也给数学教学带来了负面影响，尤其是我国以考试文化为背景的数学教学。数学教学离不开数学问题的设计，一些教师在行为主义心理学影响下，认为大题量的数学练习可以使学生提高解题能力，从而可以提高应试能力。因此，在一些数学教师的教学设计中，我们可以看到，数学练习设计中没有学生的心理分析和自己的设计意图，只有简单的问题和解答过程。而且我们还可以看到一些教师的教学设计过程充斥着大量的类似练习，有些仅是改变一下数据而已。“熟能生巧”是不少数学教师的教学信念，虽然大量的数学练习可以让学生掌握一定的技能。但是，一方面，一些教师根本没有仔细掂量大量数学练习的时间成本，只是用大量的练习让学生在练习中“自悟”，根本没有或很少研究学生掌握数学知识和技能的“内悟”过程，从而使得学生掌握数学知识和技能的成本偏大，得不偿失；另一方面，大量的重复性练习使学生身心疲惫，继而产生厌恶感，往往导致逆反心理的产生，甚至永远失去对学习数学的兴趣，得不偿失。【例1.3】求函数y=x2-x-2x2-3x-4的值域。

一些学生只记得采用以下的方法求函数值域：

解：由已知得(y-1)x2-(3y-1)x+2-4y=0

当y=1时，关于x方程有解；

当y≠1时，要使关于x方程有解，则由于

Δ=(3y-1)2-4(y-1)(2-4y)

=25y2-30y+9=(5y-3)2≥0，

故关于x方程有解。因此该函数的值域为R。

这是有的教师仅仅要求学生记住采用Δ判别法求函数y=ax2+bx+cdx2+ex+f值域而导致的后果。实际上，采用Δ判别法求函数y=ax2+bx+cdx2+ex+f的值域是有条件的，要求ax2+bx+c与dx2+ex+f没有非常数的公因式。

本题的正确解法是：函数y=x2-x-2x2-3x-4=x-2x-4(x≠-1)，故其值域为

y|y∈R，y≠1，且y≠35.

这种错误的产生往往是一些中学教师进行所谓的题型教学所造成的结果，而题型教学在我国很多场合屡见不鲜，属于应试教育的产物，其背后的“理论基础”是“行为主义心理学”。其实，本题在教师纠正学生的错误完毕后，我们曾经又做了个试验：求函数y=x2-x-2x2-3x-4的值域。结果，不少的学生得出结论：其值域为y|y≥0，且y≠1，y≠35，又是一个错误解答！(正确的答案是{y|y≥0｝)真是“防不胜防”，说明我们教师想利用“条件反射”这样的教学设计方式“把学生做醒了”是得不偿失的。其实，数学活动是一种高级思维活动，它不像动物实验那样简单，这种用动物的行为去类比人类的高级思维活动的方法往往有很大的局限性！这样的数学教学设计是很危险的！

二、认知心理学下的数学教学设计理论

20世纪50年代中期，西方兴起的一种心理学思潮——认知心理学，20年后开始成为西方心理学的热门研究方向。它关注的是人的心理活动过程的高级阶段，主要是认知过程，如注意、知觉、表象、记忆、思维和语言等。与行为主义心理学家相反，认知心理学家研究那些不能观察的内部机制和过程，如记忆的加工、存储、提取和记忆力的改变。以信息加工观点研究认知过程是现代认知心理学的主流，可以说认知心理学相当于信息加工心理学。它将人看做一个信息加工的系统，认为认知就是信息加工，包括感觉输入的编码、贮存和提取的全过程。按照这一观点，认知可以分解为一系列阶段，每个阶段是一个对输入的信息进行某些特定操作的单元，而反应则是这一系列阶段和操作的产物。信息加工系统的各个组成部分之间都以某种方式相互联系着。而随着认知心理学的发展，这种序列加工观越来越受到平行加工理论和认知神经心理学的相关理论的挑战。

认知心理学的理论对数学教学设计具有重要的指导作用。论知心理学将数学教学过程看做数学信息的传输与解读的过程，这对数学教学具有一定的启发作用。数学教学过程应该比较注重数学信息的内容及传输方式的设计，信源直接影响着信息加工的效果。因此，数学教师必须注意数学概念的形成、数学定理的引入、数学问题的设计等，使学生能够很好地进行信息加工。而且数学教师对信息传输渠道的选择也应该讲究，采用什么样的媒体来传输数学信息，对数学信息传输效果具有一定的影响，现代教学工具为数学信息传输提供了很好的条件，数学教学一改以往一支粉笔、一块黑板的状况，代之以丰富多彩的多媒体方式传输。但是，如何根据数学教学的特点，整合数学信息传输渠道也是数学教学设计应该好好研究的话题。既然学生可以理解为数学信息传递过程中的信缩，那么如何选择数学信息及其传输方式，必须认真研究信缩的特征，即数学教学设计必须了解学生的具体情况，这样的教学设计才能做到有的放矢。【例1.4】求下列函数f(x)=1+2x1+x的值域。

这是一道高三学生复习的练习题，由于题目相对简单，任课教师只叫学生报一下答案和想法，学生大部分采取的方法是：(1)f(x)=1+2x1+x=2-11+x；(2)函数化为［f(x)-2］x=1-f(x)；(3)f(x)可以看做连结点p(1，1)与点Q(-x，-2x)的斜率。

此时，有一个学生举手：设有向线段pQ的两个端点为p(1，y1)和Q(2，y3)，M［f(x)，y2］分pQ的比是x，则按照定比分点的坐标公式得f(x)=1+2x1+x，因M［f(x)，y2］与Q(2，y3)不重合，故f(x)≠2.老师大为惊讶：“你是怎么想到这个方法的？”这位学生解释说：“我一开始就对这个式子有点熟悉，后来发现您把字母‘x’写成很像‘λ’，所以产生了这样的联想！”由于一些教师书写符号使用草体，“x”写得很像“λ”也是有可能发生的，但在这个时候却能够“启发”学生得出新的解法，实在有点“匪夷所思”！

这个例子说明，学生的思维结构既受外界输入的信息的影响，也与其自身的认知结构有关，教学过程中并非完全按照教师输入信息的愿望来发展。认知心理学所关注的信息传递的复杂性是很值得我们数学教师在具体的教学设计过程中参考的。

三、走向整合观下的数学教学设计理论

目前，心理学以行为主义心理学和认知心理学为主要代表，人类既然是一种特殊的动物，那么，它应该具备“一般动物的本质属性”，因此，行为主义用动物及幼儿做实验所得出的结论在解释人类的某些学习活动上具有一定的效果，同时，由于人类的数学思维基本上属于高级思维，与动物的低级思维有着本质的差异，因此，认知心理学的一些理论也很值得我们认真对待。善于以“折中主义”著称的我国数学教育工作者，并不是随意地偏向哪种理论，而是采取“扬长避短”的措施灵活运用这些理论，尤其是在数学教学设计过程中，这些理论在有些优秀的数学教育工作者中能够“得心应手”地运用，这就是所谓的“走向整合观下的数学教学设计理论”。下面，我们列举三例具有我国数学教育理论特色的教学设计。

1.“双基”教学观下的数学教学设计理论

我国数学基础教育以坚实的“双基”而闻名于世，著名数学家华罗庚、吴文俊等对数学的基础非常重视，或许也正是这些著名数学家的影响，我国基础数学教育阶段非常重视基础知识的教学和基本技能的训练。在新中国成立初期的数学教育中，有两句耳熟能详的话：“精讲多练”和“熟能生巧”，这些话反复强调数学练习的重要性，它们的影响一直延续到今天。初看这两句话，似乎它们是行为主义教育观在数学教育影响上的典型写照，但是，这里面却“暗藏玄机”，一些西方学者不明白为什么中国学生的数学基础会那么好，他们到中国来参观，发现教师的教学方法并没有稀奇之处，反而觉得有些方法似乎很落后！学生对数学的兴趣并不高，数学创造意识并不强，他们纳闷地称之为“中国学习者的悖论”。其实，中国的数学教育工作者在夯实学生的“双基”过程中，并非是完全按照行为主义理论进行的，他们也很重视变化甚至创新，其中有一种教学方法就是变式教学，这种变式教学并非是对数学问题的简单变式，而是含重复成分但是问题情境或难度呈螺旋向上变化的教学手段，这种变式显然蕴含认知心理学的因素，属于行为主义和认知心理学教育观的一种“整合”，它并非属于行为主义和认知心理学教育观影响下的产物，而是我国固有文化下，属于自己文化背景的数学教育产物。有文章在分析“中国学习者的悖论”原因的最后写道：“悖论”的深层次原因在于东亚和中国的传统文化。香港大学梁贯成教授认为，中国和东亚其他国家的数学教学仍然传统而保守，不少人对学习抱着功利性的观点，认为学习的目的就是为了升官、赚钱，将来对自己“有好处”，古语“书中自有黄金屋”便是真实写照。家长的这些观点影响了他们的孩子，很多学生在学习时没有乐趣、兴趣可言，学习奥数时尤其如此，而兴趣是促进创造力的保证。这样便造成了中国和东亚其他国家学生在接受性学习课程中能取得好成绩，但在创造性课程中却因缺乏兴趣而成绩不佳。李征，王晓岚。数学家会诊“中国学习者悖论”。华东师范大学的张奠宙教授在归纳中国“双基”教学理论的特征时，指出：“记忆通向理解，速度赢得效率，严谨形成理性，重复依靠变式。”他把中国的数学“双基”教学在纵向上分为三个层次：双基基桩建设、双基模块教学和双基平台教学。【例1.5】“三线八角”的教学设计。

这是一份在初中数学教师之间流传甚久的关于“三线八角”的教学幻灯片，考虑到篇幅，我们仅出示前八张幻灯片(其中，幻灯片1、2、3、4是整节课的前四张)进行分析。尽管幻灯片还不能包括教师全部的教学设计过程，但是，从这整节课前四张幻灯片以及我国一般教师的教学习惯，我们基本上可以估测教师的整个教学设计过程。“幻灯片1”是直接显示本节课的课题，如果教师在显示该张幻灯片之前没有几句为什么要学习“同位角、内错角、同旁内角”之类的“过渡台词”(根据笔者以往的听课经验，一般教师直接显示第一张ppT之前很少有“过渡台词”的)，那么，该课题基本上属于对学生“宣布”：“学习该节课没商量的余地”、“你不学也得学”、“学了以后你自然就知道为什么要学习本节课”等等。在我国，不少数学教师确实在潜意识里形成这样观点：一些基础知识(如概念、公式、定理、法则等)的学习，没有必要和学生进行“商量”，学生学习过后“自然会明白”。从这个角度上讲，这个看似简单的设计过程既有行为主义教学观念的因素，也有格式塔派心理学家苛勒的“顿悟观”因素。而学生处在中国传统文化背景下，对教师的“蛮横”也是认同的，因为他们认为“反正老师叫我们学习，自有他的道理，至少考试是需要考这些内容的”。有些教师在学生分散注意力的时候，用很重的语调说：“大家请注意，这部分内容在去年的高(中)考中的第××题中出现过！”

从播放效果来看，“幻灯片2”是先播放两相交直线所形成的四个角，接着再播放一直线与两直线相交所形成的八个角，教师试图引导学生观察“三线八角”的特征，显然，这里有学生发挥自身观察力的“主动”成分。

从整个幻灯片的设计中我们基本上可以窥探基本的教学过程思路，整节课有教师让学生经历观察、分析、类比、归纳、抽象、概括、变式等的思维发展过程，但是，就是没有出现“为何要学习‘三线八角’”的字眼，而且也没有出现诸如“为什么没有同旁外角、外错角、异位角”等问题的辨析过程。这或许是教师认为第一节课应该以“顺向思维”为主的缘故。但我们在与一些从教多年的老教师的交流过程中，大部分老师坦然表示自己对此并没有思考过。从思维的培养情况来看，教师比较关注微观的数学思维及方法，而对宏观的思维培养有所欠缺，这是我们数学教师在教学过程中对“高级的数学思维”培养所应该需要注意的，或许，这可窥见我们数学教学的“软肋”——缺乏宏观思维的培养之所在。

2.尝试教学观下的数学教学设计理论

邱学华的尝试教学法是比较成功的一种教学模式，我们先引用他本人撰写的简介邱学华。邱学华的尝试教学法简介。而后我们进行分析：（1）邱学华的尝试教学法简介

Ⅰ.主要特点：先讲后练。

Ⅱ.三个为主：学生为主、自学为主、练习为主。

Ⅲ.四个作用：充分发挥教师的主导作用、学生的主体作用、教科书的示范作用、学生间的相互作用。

Ⅳ.尝试教学法的五个步骤：出示尝试题-自学课本-尝试练习-学生讨论-教学讲解。

Ⅴ.应用尝试教学法新授课的一般结构：

A.基本训练(5分钟左右)。

B.导入新课(2分钟左右)。

C.进行新课(15分钟左右)：①出示尝试题；②自学课本；③尝试练习；④学生讨论；⑤教师讲解。

D.巩固练习(6分钟左右)。

E.课堂作业(10分钟左右)。

F.课的小结(2分钟左右)。

Ⅵ。尝试教学理论十二条：

及早出示课题，提出教学目标；

尽快打开课本，引导学生自学；

激发学习兴趣，活跃课堂气氛；

先让学生尝试，鼓励创新精神；

强调主动参与，摆正主体地位；

允许学生提问，发展学生思维；

组织学生讨论，增强合作意识；

控制教师讲话，多留练习时间；

及时反馈矫正，作业当堂订正；

加强动手操作，运用先进技术；

内容不可太多，把握教学节奏；

实施分层教学，注意因材施教。（2）邱学华的尝试教学法观下的几点评述

从我们查阅的邱学华老师的尝试教学法的相关资料上看，邱学华老师糅合了行为主义教学理论、认知心理学教学理论和我国的传统文化特点，提出了自成体系的一整套符合我国小学数学教育特色的可操作教学规程，甚至把这套规程细到每个环节需要的具体时间，由于他的教学方法经过无数次的小学数学教师的尝试，均获得了不小的收益。以下，我们对邱老师的尝试教学法谈几点自己的思考。

①邱老师尝试教学法的核心是“尝试”，与行为主义对动物进行试验性的“动物尝试”不同，学生在教师给出学习目标和相关的数学问题后，需要通过自己的自学，而后再尝试解决老师所提的数学问题。如果解决不了老师的问题，那么，学生得进行两个主要方向的思考：是自己没有领会课本的内容还是方法不对？如果属于前一个问题，那么，他得重新学习课本知识，然后再进行后续的尝试。如果属于后一个问题，那么，他得改变解决问题的策略和方法，再进行后续的尝试。这种“尝试”是对学习者的一个综合考验，促使学习者寻找一种“学习的感觉”。它为这些学习者在未来成人后的学习“奠定基础”。

②邱老师的尝试教学法中出现了“尊重学生”、“加强合作”、“运用技术”、“鼓励创新”、“允许提问”等字眼，说明该教学法糅合了认知心理学的一些教育观，是我们很值得研究的教学法。邱老师的尝试教学法中也出现了诸如“因材施教”、“控制教师讲话，多留练习时间”、“及时反馈矫正，作业当堂订正”等我国优良教育传统因素。“因材施教”是我国教育界流传了几千年的好做法；“控制教师讲话，多留练习时间”是“精讲多练”的“另一个版本说法”；“及时反馈矫正，作业当堂订正”则秉承了行为主义对动物实验的“优秀成果”。因此，也可以这样认为，“尝试教学法”是一个走向整合观下的具有中国特色的优秀教学法。

③尝试教学法是主要针对低年级学生的实验而得出的，从某个角度上讲，针对不同的学生和教学对象，应该参考邱老师的优秀做法，绝不能照搬照套。例如，一节课开门见山式地给出学生的学习任务，针对高学段的学生而言，他们会觉得这样的问题像是“天上掉下来的”，他们往往搞不清楚老师为什么今天会对这个问题感兴趣，因此，教师需要创设问题的情境，让学生知道问题的来龙去脉。其实，情境的创设是数学方法论教育的很好环节，年长一些的学生不仅要知道问题的微观解决方法还要知道问题的来源，以培养他们的宏观思维。此外，随着学生年龄的增长，所遇到的数学问题也越来越复杂，在课堂教学设计的时候，一些诸如时间限制等细节需要我们教师灵活掌握。总之，尝试教学法有很多值得我们参考的地方，但教师应该领会其实质，具体操作还得根据具体情况灵活处理，绝对不能把其看做死板的教学模式。（3）尝试教学法对现代数学教学设计的启发

尝试教学法是邱学华老师根据我国特殊的文化背景而自创的一套教学法，该教学法经过试验都获得成功，因此，在我国的不少地区都得到推广，同时，也对我们的教学设计给予很多的启发。

首先，尝试教学法的核心是“尝试”，受其启发，我们可以简单地把“尝试”教学片段用来概括：

针对高年级学生，假如我们“数学问题1”的出现在教师创设情境下也用“尝试教学法”的模式“尝试一下”，或许教学效果会“更佳”。

其次，尝试教学法强调多给学生进行“尝试”，反对教师的单向灌输和过多的干涉，提倡学生的独立自学和合作交流，但是，最关键的问题却是“教师给的”，所以，尝试教学法的很关键一环是教师的问题设计。好的问题应该具备这样的几个条件：一是问题的思维切入口要宽，几乎所有的学生都愿意并且能够“跃跃欲试”，做到不同的人有不同的“收获”和能够进行解决计划的调整；二是问题本身要有吸引学生的兴趣，激发他们的好奇心，使得他们在尝试解决该问题时不再觉得这是一件苦差事；三是所给的问题要有一定的“余味”，即使优秀的学生在问题“轻松”解决后还能够促使他进行必要的反思，使得在同样的单元时间内，不同的学生有不同的收获；四是针对大部分学生而言，教师所给问题要有一定的挑战性，往往需要多次尝试、反思、自学、合作、讨论，甚至教师的启发才能够解决，这个反复过程需要教师根据学生的具体情况设置难度值；五是针对教学的实际情况，教师所设置的问题可以沿着“从易到难”或者“先难后分解”的步骤进行；六是所给的问题应该尽量涵盖课本知识和技能，使学生在解决问题的过程中，掌握课本的大部分知识和技能。

最后，尽管尝试教学法强调“控制教师讲话，多留练习时间”，但学生的能力毕竟存在局限性，他们学习课本知识是在数学问题的驱动下进行的，所学的基础知识和基本技能可能缺乏系统性，教师所布置的问题也往往很难涵盖课本中的所有基础知识和基本技能，况且，当学生学习课本知识往往在问题解决后，就以为自己已经掌握了，他们对课本中与所要解决问题相关不大的内容可能降低兴趣，而不利于课本知识的系统学习。所以，知识系统化的教学过程设计应该是进行尝试教学法不可或缺的重要环节。第3章数学教学设计的模式

在不少教学设计的相关书籍、文章中出现了“教学设计的模式”字样，从字面上解释，“教学设计的模式”有以下两个层面的含义理解：

一是将一些教学设计过程模式化，就数学教学设计而言，这些不同数学教学设计模式往往代表一种教学法或教学流派，例如：我国早期从苏联引入的“凯洛夫教学设计模式”——复习提问、引入课题、讲授新课、巩固练习、布置作业，这个模式一直流传至今，现代一些教学设计尽管换上了一些时髦的名词，本质上还是逃不出“凯洛夫教学设计模式”；又如，邱学华的“尝试教学法”明确地给出了教学设计模式：出示尝试题-自学课本-尝试练习-学生讨论-教学讲解。除此之外，我国的一些数学教育学家也纷纷根据不同的教学情况，给出了自己的教学理论，并配以具体的教学设计模式来阐述自己的教学思路。像黎世法的“异步教学法”，张天孝的“小学新思维数学教学体系实验”，姜乐仁的“小学数学启发式教学实验”，卢仲衡的“初中数学自学辅导教学实验”，顾泠沅的“青浦教学改革实验”，陈重穆、宋乃庆的“GX教学实验”，吕传汉、汪秉彝的“情境-问题教学实验”，刘兼、卢江等“大众数学的理论与实践”，徐沥泉的“MM教育方式实验”，以及北京景山学校的“单元教学法”，上海师范大学附中的“引导发现法”、湖南师范大学附中的“引导探索法”、辽宁实验中学的“研究法”、广州一中的“启研法”、江苏南通初中数学的“自学、议论、引导教学法”、河北石家庄的“启发、自学教学法”、上海长宁区的“活动式教学法”、湖北的“目标教学法”、云南昆明铁路局第三中学的“优化组合教学法”李铁安，徐兆洋。30年中小学数学实验回溯与思考。基础教育课程，等等，这些教学实验或改革都是教学设计模式的探索，凝聚了我国数学教育工作者的不少心血，很值得我们借鉴和学习。

二是指教学设计所涉及的因素分析——“过程范式”。即在教学设计的整个过程中所涉及哪些环节的问题。例如，有文就将教学设计的一般模式分为：①学习需要分析；②学习内容分析；③学习者分析；④学习目标的阐明；⑤教学策略的制定；⑥教学媒体的选择和运用；⑦教学设计成果的评价。尹俊华。教育技术学导论。

从专业术语上理解，教学设计的模式应该指后者，前者仅是教学设计的一般模式的“组合”而已。下面，我们先对教学设计的一般模式进行探究，然后对教学设计的模式的分类进行一些研究，最后简单介绍几种在我国数学教育影响较大的教学设计模式。

一、数学教学设计的一般模式

试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]

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