作者：(美)谢尔登·纳坦恩伯格(Sheldon Natenberg)
出版社：机械工业出版社
格式: AZW3, DOCX, EPUB, MOBI, PDF, TXT
期权波动率交易策略试读：
中译本序
期权是衍生品市场的璀璨明珠，早在古希腊时期就有了期权交易雏形。特别是自1973年芝加哥期权交易所上市标准化的期权合约以来，期权更是散发出独特的投资魅力，吸引着无数优秀的机构与个人投资者纵横驰骋。期权在多元化的资产配置、风险管理和价格发现上，与期货相辅相成，共同发挥着重要作用。
随着我国期权上市步伐的加快，投资者对期权这个名词已不再陌生。然而，大多数投资者对期权深层次的认知还是有限的。如何对期权进行非线性的投资损益分析，如何利用期权来精细化管理方向性及波动性风险，并非易事。因此，成功的期权交易需要专业知识的储备，也需要实战的检验。我们在推动期权上市过程中，不仅向市场提供了期权仿真交易平台，供投资者亲身体验期权交易，还持续进行了大量期权知识培训和专题研讨。为了给期权投资者提供合适的期权培训丛书，我们组织翻译了系列期权丛书，汇编入大连商品交易所译丛。希望能让我国更多的投资者接触到国外先进的期权交易理念，逐步建立起系统的期权知识体系，并从中获益。
在期权交易中，波动率是最神奇、最关键同时也是让交易员最头疼的变量。谁能获知相对准确的波动率，做出正确的交易决策，谁就可能在瞬息万变的期权市场中制胜。作为公认的波动率交易专家，本书作者谢尔登·纳坦恩伯格是帮你掌握这项技能的权威人士。
谢尔登是“交易者名人堂”的荣誉获得者之一，他拥有多年的期权波动率交易经验，以及丰富的期权专业培训经历。2013年，译者有幸与谢尔登先生进行过期权定价及波动率交易方面的交流。谢尔登先生将复杂的期权原理及交易策略讲述得既妙趣横生，又鞭辟入里，让译者深受启发，而本书正沿袭了谢尔登先生亲切幽默、简洁通俗的演讲风格。
本书非常适合作为期权的基础性知识读本，书中既没有复杂的公式，也没有冗长的数理推导过程，更没有拗口的学术表达。阅读本书，就好像谢尔登先生正坐在你身边，向你娓娓道来期权的定价模型，概率对期权估值的影响，各种波动率在期权估值和期权交易中的应用……如果你是期权入门者，此书将非常有助于你建立期权波动率交易的基本概念，形象理解波动率交易的内涵；如果你已经是专业的期权交易员，此书所述的期权波动率交易精要，也值得你时时阅读重温。
希望本书能让更多的中国投资者了解期权、理解期权波动率交易，能够在进军期权市场时武装期权知识，利用好期权工具，增强投资信心，成为驰骋期权市场的优秀投资者。大连商品交易所译丛编委会2014年8月
作者简介
在本书的后面你将了解到，波动率是期权定价中最难确定的一个因素，而没有人比谢尔登·纳坦恩伯格更擅长于评估波动率了。
谢尔登是芝加哥交易公司的培训总监，同时也是国内外专业培训研讨会中非常受欢迎的讲师。他帮助过很多国际顶尖机构投资者、公募基金经理以及经纪分析师，指导他们更好地理解波动率，并利用波动率估值和定价各类期权。
然而，谢尔登的主要成就来自他的著作——《期权波动率与定价：高级交易策略与技巧》（Option Volatility and Pricing: Advanced Trading Strategies and Techniques），该著作被很多人认为是最优秀的期权相关书籍之一。该书英文版于1988年第一次出版（1994年再版），奠定了谢尔登在波动率及波动率对期权定价与交易策略影响领域的权威地位。谢尔登在期权估值及期权交易策略应用上的持续成功，为他赢得了“交易者名人堂”的荣誉（Trader's Hall of Fame）。谢尔登将告诉你什么
为什么需要谢尔登的专家建议呢？很简单，波动率已经成为当今世界的主导因素，不仅仅在投资市场，在日常生活中也是如此。尽管本书不会让你完全理解那些越来越搅乱日常生活的政治、经济和社会上的动荡，但至少可以让你理解近20年来金融舞台上显而易见的极端波动率，甚至可以从中获利。
在接下来的章节中，谢尔登将系统地讲解波动率的理论知识，如何在不同市场中计算波动率，波动率如何影响不同投资工具的价格波动，以及如何从价格波动中获利。
谢尔登也将介绍四种不同类型的波动率及其区别，以及在理论定价中扮演了最重要角色的波动率。他还全面地介绍了目前正在使用、最为流行的期权定价模型，探讨这些模型的优点，以及使用中可能遇到的问题。
谢尔登将特别详细地介绍波动率对场内期权的估值和定价的重要影响，并且展示能够捕捉期权价值与价格差异的常用策略。
此外，谢尔登在书中将尽量减少使用数学公式和专业术语。
总而言之，无论是活跃多年的期权交易员，还是正在考虑买入第一份看涨或看跌期权的入门者，谢尔登提供的建议都将是无价之宝，它会告诉你如何将期权融合到你的个人投资策略宝库之中。
第1章 期权交易员最重要的工具
我将和你谈谈期权，解释波动率是如何影响期权的价值和定价，以及如何利用波动率优化你的期权交易策略并改善交易结果。
首先做个简短的自我介绍。我过去几乎只与专业交易员打交道，比如做市公司、金融机构的交易员、场内交易员、电脑交易员，等等，你们的情况各不同，因而对我来说有些不同寻常。你可能不是一位专业的交易员，为避免让你担心，我向你保证一件事：
期权估值的原理对每个人来说基本上都是一样的。
其次，我想立即做个免责声明：我不会告诉你如何交易。
每个人的背景不同，对市场的期待不一样，具体的交易决策背后原因各异。希望通过我提供的有限信息，至少能让你做出更好的交易决策。
不过交易决策还是必须由你自己来决定。
1.1 你的目标是不要切断自己的手
学习期权如同学习如何使用工具，每个人使用工具的方式都不同。例如，如果有人教你如何用锯子，你的第一个问题会问：我能用锯子做什么？
这取决于你学得怎么样，你能用锯子制作出精美的家具，也能切断自己的手。
很明显，这是两个极端，在这两个极端之间还有很多其他的结果。我会来帮你避免用这个工具“切断自己的手”。你学到的知识可能不足以使你成为专业的交易员，但足以帮你避免灾难，并大幅提升你的交易技能。
这个比喻可能并非很恰当，但我想你能理解我的意思。
人们经常问我使用什么交易策略，我最喜欢哪种策略。我想大多数专业交易员会同意我的观点：只要价格正确，我什么都做。
相同的标准也可以用来定义我“最喜欢”的策略，因为我最喜欢的策略就是任何有效的策略。如果价格是正确的，策略通常是有效的。
那么，如何判断价格是否正确呢？
跟其他人一样，我利用一些理论定价模型决定价格是否正确，这些数学模型帮我确定我认为的价格应该是多少。
接下来，我选择的策略取决于实际的市场价格是否偏离于我认为的价格，或者这些价格是否与我认为的价格相一致。
因此，任何专业的期权交易员最基本的工具就是理论定价模型。如果你作为个人投资者，想成功地交易期权，理论定价模型也将成为你的基本工具，请记住这一点。下面我们来讨论一个典型的理论定价模型。
1.2 布莱克–斯科尔斯模型：期权定价模型之父
到目前为止，最常用的期权定价工具就是布莱克–斯科尔斯（Black-Scholes）模型（详见附录B）。当然，还有其他被广泛应用的定价模型，但由于布莱克–斯科尔斯模型是第一个真正被广泛应用的模型，因而也最为著名。该模型同时也是一项卓越的理论创新，迈伦·斯科尔斯（Myron Scholes）以及罗伯特·默顿（Robert Merton），因参与开发该模型获得了诺贝尔经济学奖。
默顿分享了诺贝尔经济学奖，为何该模型叫作布莱克–斯科尔斯模型呢？
插句题外话，这个完美的例子说明了生活是不公平的。诺贝尔奖只颁发给奖项宣布前6个月之内仍健在的人。费希尔·布莱克（Fisher Black）虽然为布莱克–斯科尔斯模型作出了巨大的贡献，但他在荣誉公布的8个月前去世了，因而无缘诺贝尔奖。
当然，他的名字保留在了模型的名字上——每个知道该模型故事的人都承认，布莱克事实上与斯科尔斯和默顿一起分享了诺贝尔奖。
1.3 定价模型的基本要素
不管你采用布莱克–斯科尔斯模型还是其他定价模型，都需要输入一些参数。只有将所有参数输入所使用的模型中，才能获得期权的理论价值。我们一起来看一下需要输入的参数，如图1-1所示。图 1-1
包括布莱克–斯科尔斯模型在内的大部分定价模型要求输入5个参数。在某些计算股票期权的情况下，则需要输入6个参数。如果你曾做过期权分析，你可能很熟悉其中的4个：➢ 行权价格➢ 距离到期时间➢ 标的资产的价格➢ 当前的利率
这4个输入参数都是能从市场中观察到的变量，例如股票红利信息，是股票交易员需要输入到模型中的附加变量，同样也是可观察到的。你有可能不清楚准确的利率、标的股票或者期货价格是什么，但是你可以作出较好的预测。同样，如果是股票期权，也可以很容易获知红利。如果是指数期权或者期货期权，则没有红利。
几乎所有模型，包括布莱克–斯科尔斯模型，所面临的一大难题都是波动率。
波动率是无法从市场中直接观察到的模型输入参数。虽然总有一些波动率数据资源让我们可以猜测波动率，但我们仍然无法知道猜测是否正确。这是所有使用理论定价模型的交易员都感到头疼的问题。
波动率不仅非常难以确定，而且波动率仅小幅上升或下降，就会给期权值带来巨大影响。到底会发生什么情况呢？
期权价值要么暴涨，要么暴跌。
因此，无论你作为专业交易员正在为公募基金制定对冲策略，还是作为个人投资者正在为个人账户的备兑卖出（Covered-Writing）策略而选择期权，很多事情都将取决于你在理论定价模型中输入的波动率的正确性。如果你想赚钱或者取得长期交易的成功，你根本无法承担错误估值所带来的后果。
这就是为什么我将花大量篇幅去讨论波动率这个输入参数——什么是波动率，应该如何理解和使用它，等等。自测题1．谢尔登·纳坦恩伯格最喜欢的策略是价格正确的策略。如何判断价格是否正确？a．通过买入实值看涨期权b．通过使用合适的工具c．通过使用理论定价模型d．通过对冲所有交易2．目前最常用的期权定价工具是什么？a．理论定价模型b．布莱克–斯科尔斯模型c．迈伦–默顿（Myron-Merton）定价模型d．二叉树模型3．以下关于布莱克–斯科尔斯模型的说法中，哪一项是不正确的？a．你从不需要自己去计算布莱克–斯科尔斯的期权价值b．该模型假设没有交易费用c．标的资产的交易是连续的d．它适用于美式期权，期权在到期前任意时间可以行权4．在定价模型中，哪一项未知因素是最大的难题？a．行权价格b．距离到期的时间c．波动率d．利率
第2章 概率及其在期权估值中扮演的角色
为了理解波动率及其在期权估值中的重要性，首先必须了解理论定价模型的原理。我不会大谈期权理论，也不会像在大学教室里那样，一步一步推演复杂的微分方程，而附录中提到的复杂公式你可能根本不会用到。
我要讲述的是理论定价模型的基本逻辑，利用例子说明它是如何运作的。当我讲完后，你会发现所有模型的原理实际上都非常容易理解。
首先，布莱克–斯科尔斯模型以及其他期权定价模型，都基于概率。这该如何理解呢？请考虑下列场景：
假设你想买一只股票，或者一个期货合约。为何你想买该股票或者期货合约呢？因为你认为合约的价格会上涨。你确定价格一定上涨吗？当然不是！除非你有内幕消息，否则绝不可能这样肯定。你所认为的是，股票或期货合约将更可能上涨，而不是下跌。
实际上，所有的交易决策都基于概率论。
2.1 克服决策过程中的主观性
股票价格更可能上涨而不是下跌，这种说法是一种主观的论断，而理论定价模型不喜欢主观输入。模型需要有确切的赋值，即具体的数值化概率，来表述股票价格上涨或者下跌的概率。那么，该如何获得具体的概率值呢？
举个简单的例子，假设标的股票或商品的交易价格为100。在未来某一天，所谓的“到期日”，这个证券可能是90～110之间的五个价格之一。给每个价格分配一个发生的概率：10％、20％、40％、20％和10％，如图2-1所示。图 2-1
显然，此例过度简化，但是为清楚起见，最好从简单入手。
现在，假设我进入市场并买了标的合约。如果忽略交易成本、利率以及滑点这些所有真实市场中需要考虑的因素，我能否计算出合约到期时的价格呢？
答案是可以的——至少可以计算出到期价格可能发生的概率是多少。
这里说明了概率是如何在此例中起作用的。到期时价格为90的概率是10％；到期时价格为95的概率是20％；到期时价格为100的概率是40％；依此类推，价格为110时，对应的概率是10％。换句话说，用5个可能的收盘价格分别乘以其对应的概率，然后加总得到100，如图2-2所示。图 2-2
100意味着什么呢？它意味着如果该合约的交易价格为100，你买入该合约，或者卖出该合约，从概率的角度你将不会获利。当然，也不会亏损——如果不考虑交易成本的话。
这就是专业交易员所说的该合约或证券是无套利机会的（arbitrage-free），即在该标的市场交易无法获利——至少学者会这么说。
然而，期权的情况又不相同。假设，我没有买入标的资产，而是买入行权价格为100的看涨期权。到期时的价格将是多少呢？
先不考虑为看涨期权付出的权利金。此刻暂时不关心权利金的大小或者潜在的盈利和亏损。现在，只关注看涨期权在到期日的价值是多少。如何计算关于期权价值的概率呢？可以沿用计算标的合约的方式——尽管有一些主要区别。
我们已经知道对于标的合约，结果是损益平衡的。但是对于行权价格为100的看涨期权，如果到期时标的价格为90、95或100，那么期权价值为多少呢？是0！欧式期权和美式期权本书大部分例子中涉及的价格是期权现在的市场价格或到期时的期望价格。这是因为布莱克–斯科尔斯模型以及其他很多主流期权定价模型针对的都是欧式期权。术语“欧式”用来区分某些期权类型，在某个时间点上可以行权。大部分欧洲交易的期权只在特定的到期日行权——即转换成标的资产。相比之下，基本上所有北美交易的期权（除股票指数期权、一些外汇期权以及少量现货期权之外）可以在到期日及之前任意时间行权。前一类型的期权被称为“欧式”期权，而后者则被称为“美式”期权。用理论模型定价场内美国股票及期货期权时，要注意欧式及美式期权的区别。
可以看出，期权损益图并不对称。如果标的合约小于等于100美元，那么行权价格为100的看涨期权将一文不值。但是，如果标的合约为105美元，则行权价格100的看涨期权将值5美元。假设概率分布如图2-1所示，那么该期权价值为5美元的概率是20％。类似地，如果标的合约为110美元，那么该期权将值10美元，发生的概率为10％（见图2-3）。图 2-3
加总各个场景下的概率，得到行权价格100的看涨期权的价值为2美元。换句话说，概率论表明，如果今天为此期权付出2美元，那么在到期日当天将很可能不赔不赚，达到损益平衡。简单定义，期权理论价值就是概率论告诉我们到期时价格会出现的情况。
在定价模型中，还有其他一些比较次要但也值得考虑的因素——比如利率。举例来说，如果期望收益是2美元，现在的利率水平是12％，则需要将期望收益折减掉资金成本——即确定2美元的现值。经过利率调整后的修正理论价值为1.96美元（见图2-4）。图 2-4
此外，理论价值与真实市场价格之间有着本质的区别。这是因为，如果交易期权，我总是愿意以比理论价值更低的价格报出买价，以比理论价值更高的价格报出卖价。
换而言之，如果我是一个交易员，有人来问我，“谢利，你对行权价格100的看涨期权的市场报价是多少？”虽然该看涨期权的理论价值为2美元，但是我会说，“我1.90买，2.10卖”或者“我1.80买，2.20卖”——我所报出的买卖价差，取决于市场的竞争性如何。
用以上价差进行交易，可以保证一定赚钱吗？当然不是。它只是表明，当我长期反复地如此操作时，应该能从交易价格及理论价值的差价中获利。
2.2 关于概率
理解理论模型的第一步是要认识到所有模型都是基于概率的。
最大的难题在于如何确定准确的概率。
所有的理论模型，其原理本质上一致，要求推测出标的资产到期时一系列可能的价格。这就是之前举例中设定的从90到110的价格。接着，需要给每个价格分配概率——正如上例中90的价格对应10％的概率，95对应20％的概率，等等。最后，计算基于这些概率的期望收益，得出模型的理论价值。
我们已经注意到，期权定价有各种各样的理论模型。布莱克–斯科尔斯模型、二叉树模型、波浪模型，以及其他独特的模型。然而，所有模型本质上都用到了相同的推理过程。最大的区别在于不同的模型是如何分配概率的。
一些模型根据历史交易模式来分配概率，一些模型则利用数学公式，还有一些模型利用其他的数学理论。但是，所有模型都有一个共同的特点：它们分配概率时都假设，如果以现在的价格交易标的合约，一般能在到期时达到损益平衡。
换而言之，任何一个公认的模型都假设标的市场无套利机会。
2.3 求同存异
你不必同意理论定价模型中的任何假设，不过，要想成为聪明的交易员，明智地运用期权，你必须知道这些假设。
前面提到所有模型都假设标的市场无套利机会——这不禁引出一个问题。你曾经买入或者卖出过一只股票或期货合约吗？当然了，几乎每人都曾经交易过。那么，当交易的时候，你就已经违反了理论定价模型的关键假设了。为什么呢？因为模型告诉的是你不能从中获利。在无套利机会的市场中，你应该达到损益平衡，不赔不赚。
当然，人们在买卖股票和期货合约时，认为自己是可以获利的，也就是说市场并非是无套利机会的。如果你擅长技术分析、基本面分析、市场时机选择或其他手段，你将能从买卖合约中获利，我们都清楚这一点。但是在理论世界中，或者说模型的基本理念中却并非如此。
因此，从某种程度上说，交易员并不认同该模型。大家都知道理论模型并非是真实世界的完美映射。但是我们都在用理论定价模型（除非我们回避事实），也会改变一下模型，利用模型更好地交易，或者让交易更加贴近真实世界。
这些是所有理论定价模型的基本理念。
2.4 扩展概率范围
给标的合约的价格分配概率还存在一个较大难题。难点在于我只给出了5个可能的到期日价格（见图2-5的数值范围）。图 2-5
在真实世界中，标的合约究竟有多少个可能的价格呢？无限多个。一美分，两美分，一百万美元，两百万美元……任你选择，如图2-6所示。图 2-6
因此，如果要建立一个非常好的理论定价模型，必须考虑无限多个可能的价格，必须为每一可能的价格分配概率。
该如何处理事物的无限多个数值呢？显然，这是非常困难的，就像试图去数天上的星星一样。大部分理论定价模型——传统的理论定价模型——假设交易价格是正态分布的。该分布就是著名的钟形分布，中间部分集中了大部分概率，离中间越远，概率将逐步降低，如图2-7所示。图 2-7
这与我们对市场的直觉认识是基本一致的。如果标的合约今天交易价格是100美元，一周之后，交易价格为101美元还是1000美元更为合理呢？大部分人会回答说是101美元。为什么？因为越远离现价，达到极端价格的概率将变得越来越小。
2.5 正态分布的形成
布莱克以及斯科尔斯第一个提出价格分布服从正态分布的假设。为何做出这种假设呢？他们从一些市场研究中获得想法，这些研究最早可追溯到20世纪的早期，实际上是由一位法国经济学家完成的。该经济学家回顾了法国股票及股票指数的表现后，得出的结论是，如果观察足够长的时间，股票及股票指数的价格看上去呈现出正态分布，形成了钟形曲线。
那么，这是完美的假设吗？当然不是。没有人会说这是个完美的假设。
而布莱克和斯科尔斯当时的目标也并不是追求完美。他们只是试图得出一个普遍适用的定价模型——一个大致适用于所有市场，但并非精确地适用于每一个市场的模型。
因此，这是在布莱克–斯科尔斯模型及其他很多定价模型中最基本的假设——价格是正态分布的。专业或个人交易员最大的问题在于判断他们正在交易的市场（或证券）是否符合正态分布。
我保证过不会抛出一堆微分方程或复杂公式，也保证这不会变为一门统计学课程。但为了理解有关波动率的内容，你还是需要了解一些正态分布模式的特点——钟形曲线。
首先，所有正态分布都是由两个数值来定义的——均值及标准差，如图2-8所示。图 2-8
均值衡量的是分布曲线峰值发生的位置。大多数情况下，为了简化，均假设均值是标的合约的现价。
我在这里有意回避了一些理论，因为我不想解释得过于复杂。但在大多数情况下，这样的定义还是比较准确的。
标准差衡量的是曲线展开的速度。较高标准差的曲线将较快地伸展开来，换句话说，曲线将比较宽。较低标准差的曲线不会伸展得太快，也就是比较狭窄。
基于不同的均值和标准差，就会有很多不同的正态分布。当你理解了均值及标准差的概念后，正态分布的其他特点也都类似。查阅任何一本统计学书籍，它都会列出正态分布的所有特点。
因此，均值及标准差是交易员谈到波动率时需要涉及的两个数值。稍后我们将会看到二者如何应用在波动率中，但首先来谈谈不同正态分布的假设，在简单的期权定价中意味着什么。
2.6 分布假设如何影响期权定价
首先仍然假设标的合约的交易价格为100。假设我有兴趣交易行权价格为120的看涨期权，那么该期权价值是多少呢？可以说，这份看涨期权的价值，除其他因素以外，依赖于我认为适用于此特定市场的价格分布。
假设距离到期还有90天，期权的价值取决于期权变成实值的可能性。换而言之，它取决于分布曲线中有多少价格高于行权价格，或者，从图2-9来看，有多少价格位于行权价格的右端。图 2-9
为何是高于行权价格，或者说在行权价格的右端呢？这是因为，如果标的价格低于行权价格，或者说在行权价格的左端，意味着看涨期权价值为0。当标的合约价格低于看涨期权的行权价格时，看涨期权毫无价值。
这是期权很好的特点之一——它不可能比0更不值钱，不管它虚值到什么程度（out of money）。期权的实际价值将取决于标的合约价格高于行权价格多少（在行权价格的右端多少）——也就是看涨期权有多少的实值额（in the money）。
那么，假设标的合约价格每天上涨或下跌的均值为25美分。那么行权价格120的看涨期权变为实值的可能性有多大？
即便是没有谈到正态分布，你也很可能会回答：“如果标的合约每天上涨或下跌25美分，为了达到120美元，它必须连续上涨80天，因为每天涨25美分，需要80天才能够涨20美元。”
这个可能性多高？就好像扔硬币80次，而且每次都是头像朝上，这基本上不可能。实值、平值及虚值期权期权价格（或者权利金）最重要的组成部分——不管是到期时还是到期前——就是其行权价格距离标的股票、指数或期货合约实际价格的位置。在任意时刻，所有期权或者为实值，或者为虚值——除去非常罕见的情况，标的合约价格刚好等于期权行权价格。很多交易策略要求买入或卖出（或者同时买入或卖出）实值或虚值期权，因此非常有必要了解哪个是实值期权，哪个是虚值期权。根据定义，实值期权是指拥有真实（或者说内在）价值的期权，而虚值期权是指只拥有时间价值的期权。用更简单的方式解释如下：行权价格低于标的合约实际价格的看涨期权是实值期权。行权价格高于标的合约实际价格的看涨期权是虚值期权。行权价格高于标的合约实际价格的看跌期权是实值期权。行权价格低于标的合约实际价格的看跌期权是虚值期权。此外，如果看涨或看跌期权的行权价格非常接近标的合约的实际价格，无论是略低于还是略高于实际价格，通常都会被称为平值。
用正态分布的观点，将对应画出一条分布曲线。可以看出行权价格120的看涨期权基本上不可能为实值。在此情形下，该期权的价值是多少呢？可能是5美分，但也很可能远低于此价格（见图2-10）。图 2-10
现在假设该标的合约市场每天通常上涨或下跌2美元。那么行权价格120的看涨期权在到期日变为实值的可能性有多大？可能性仍然不高，因为市场必须连续10天，每天上涨2美元，标的合约价格才能达到120。
如果画出可以表示这种日间波动的正态分布曲线，可以发现，尽管可能性很低，行权价格120的看涨期权还是有机会变为实值的。概率不是很大，但比每日波动25美分情景的概率要大得多，如图2-11所示。图 2-11
数学家会计算该看涨期权可能变为实值时对应的不同价值，并利用定价公式在概率上求积分，然后确定行权价格120的看涨期权现在的价值。我不是数学家，但是我可以快速地计算几个数字，得出约为75美分的价格。
接下来再举一个较极端的例子：假设该标的合约市场每天上涨或下跌10美元——可能是科技股，那么行权价格120的看涨期权在到期日变为实值的可能性多高？可能性相当高。当画出与此价格波动幅度相关的分布曲线时，你会发现前述结论非常明显。该曲线比其他两种情形下都更加扁平——在期权行权价格的右端有相当一部分的曲线延展。这说明，标的合约价格波动到行权价格120以上的概率较高（可见图2-12的黑色部分）。基于此，期权价值为8美元比较合理。图 2-12
所以，尽管理论上我做出了标的市场价格呈正态分布的假设，但在准确地估值看涨期权前，我仍需要解决具体利用哪一个分布。在第一个例子中，期权估值为5美分；在第二个例子中，期权估值为75美分；而在第三个例子中，期权估值为8美元。你不必是数学家，就可以看出5美分与8美元之间的巨大差别。
2.7 分布曲线的对称性
再次观察图2-12，将发现这三个正态分布都是对称的。在均值右侧或者说在现价的右侧的曲线，是左侧的镜像。换句话说，无论从左到右还是从右到左，看到的分布是一模一样的。
分布曲线的对称性对期权定价有什么重要作用呢？
假设我持有相同标的证券、行权价格为80的看跌期权，什么情况下该期权最值钱？结果是当行权价格120的时候看涨期权最值钱，也就是行权价格80的时候看跌期权最值钱，如图2-13所示。图 2-13
这是因为市场变化太快，致使所有的期权价值上涨。正态分布的基本假设是，市场波动是随机的——你不可能预测市场朝哪个方向变动。换句话说，总有50％的概率上涨，50％的概率下跌。
通常，对交易新手而言，这一点非常出乎意料，他们一开始常常认为标的市场价格的变动方向是影响期权价格的最重要因素。但很快，他们会意识到影响期权价格最大的因素不是标的价格方向，而是对于标的市场价格变化快慢程度的感知。
如果市场变动非常迅速，那么不论是看涨期权还是看跌期权，不论是高行权价格还是低行权价格的期权，所有的期权价值都会增加。
同样，如果市场变动非常缓慢，所有期权的价值会如何变化呢？它们都将大幅下跌，不论是看涨期权还是看跌期权，不论是高行权价格还是低行权价格的期权。
这就是期权市场的独特之处：与标的市场变动的方向相比，期权市场受标的市场变动速度的影响更大。
谈论市场变动速度，其实谈论的就是波动率，我们将继续在第3章深入探讨。自测题1．用于期权估值的理论模型有多种，它们都基于a．股票市场更可能上涨，而不是下降的假设b．20％的收益c．股票市场的主观性d．概率论2．在交易期权时，如何利用概率论获得优势？a．给特定日期的股票的不同价格分配概率，并买入到期时最可能成为实值的期权b．假设股票市场更可能上涨，而不是下降c．在低概率的期权上投机，并在其真正发生时大量获利d．将损益图向右倾斜，使得到期时成为实值的概率提高3．根据本章列示的以下情景，哪个期权将更值钱？10％×90＋…＋10％×110＝100？a．标的合约90美元，行权价格100的看涨期权b．标的合约100美元，行权价格90的看涨期权c．标的合约100美元，行权价格100的看跌期权d．标的合约100美元，行权价格90的看跌期权4．正态分布曲线的形状是怎样的？a．“u”形图b．正弦曲线c．钟形曲线d．X轴5．所有正态分布都是a．由均值及移动平均值组合b．由均值及标准差定义c．峰值为100d．波动非常大6．理论上，影响期权估值最大的因素是a．标的市场变化的速度b．标的市场变动的方向c．是看涨或看跌期权d．持有期权的多少
第3章 利用标准差评估波动率
通过第2章的正态分布曲线图，我们看到概率在确定波动率中扮演了重要的角色。接下来，该如何优化波动率的计算，以提高理论模型对期权估值的有效性呢？
当我们谈到正态分布时，它涉及几个相关的概率。在此我不会一一列举所有的概率，如果你想进一步了解它们，你可以去翻阅任何一本统计学书籍。我将着重于最重要的概率，能够定义标准差的概率。
标准差可通过将正态分布划分为不同区间来确定。更准确地说，标准差是正态分布曲线中均值周围特定幅度范围的区域。标准差数值的范围或幅度是根据概率确定的。
均值以上1个标准差的范围涵盖了34％的可能结果，而均值以下1个标准差的范围涵盖了另外34％的可能结果。因此，一增一减1个标准差的范围——向上向下移动1个标准差——将覆盖约2/3的可能情况（见图3-1）。实际上，如果加总34％两次，那就是68％。但是，大部分人似乎更习惯于使用常用的数字，因此我们通常说1个标准差的范围覆盖了2/3的可能情况。图 3-1
如果考虑距离均值两个标准差，加总所有概率，将覆盖95％的可能情况（向上47.5％，向下47.5％）。换而言之，两个标准差的范围将覆盖20个可能结果中的19个。
图3-2没有展示3个标准差的覆盖情况，但完全可以计算出来。当然，3个标准差已经距离均值非常远了。3个标准差应该能够覆盖370个可能结果中的369个，因此发生这种变动幅度的几率将非常小，不必为此过于担心。图 3-2
要想成为优秀的交易员，首先需要学会利用理论定价模型，而几乎所有流行的理论定价模型都假设市场是正态分布的，并由均值和标准差来定义。因此，我们必须知道如何计算出均值和标准差，以输入到理论定价模型之中。
首先是均值。定价模型需要输入5个参数（如果是支付红利的股票，则是6个参数）。5个参数是距离到期的时间、行权价格、标的资产价格、当前利率以及波动率。
代表概率分布均值的输入参数是哪一个呢？均值等价于略有调整的标的价格。定价模型总有些轻微的调整，比如说，对标的价格的调整是：均值实际上是指标的合约按今天的价格成交后，在到期日能够达到损益平衡的价格，而不是今天实际的标的价格。
那么，损益平衡的价格又是什么呢？
通过期货合约来解释可能要比通过股票解释容易些。简单起见，假设买入100美元的期货，如果持有到期，期货价格是多少才能满足损益平衡呢？忽略交易成本、保证金要求等因素，该损益平衡的价格就是100美元。换句话说，损益平衡价格就是当前价格。
假设买入价格100美元的股票，和期货一样，持有股票到期。如果股票价格还是100美元，会达到损益平衡吗？不会，因为存在资金成本。你必须一开始就从你的账户中拿出这笔钱给卖股票的人。为了达到损益平衡，股票必须上涨一定的量，相当于利息引起的资金成本的量。
如果股票支付红利，那么所有或者部分利息成本将可能被红利抵消。这反映了另一种针对股票模型的微调。实际上，布莱克–斯科尔斯模型有一些常见的变形。股票期权、期货期权、外汇期权分别对应一个模型。这些模型基本一致，只是在损益平衡价格的计算上有些许不同。这种不同取决于利息、红利等因素。
在金融领域，损益平衡价格通常称为远期价格。远期价格是指如果以今天的价格买或卖，未来特定日期能达到损益平衡的交易价格。
因此对于理论模型中的标的价格，我们计算远期价格，并将其作为分布曲线的均值。
3.1 标准差
我们需要在定价模型中识别出的另一个参数是标准差。我想你能猜出哪个参数代表了标准差：波动率。输入定价模型中的波动率时，放入标准差就可以了。大学课本里对波动率的定义是：收益率的标准差。这个解释很准确，但过于长了。因此大部分交易员只是简单地称其为“波动率”。
因此，定价模型的波动率即标准差。为波动率衍生出一个准确的定义不太容易。这个定义尽管并非100％正确，但为了简化，我说得含糊一点——我一般将波动率定义为以年为时间单位的1个标准差百分比。
为何以年为时间单位呢？毕竟大部分期权交易的时间都较短，可能1个月，2个月，6个月，或者9个月，等等，但无论是历史上还是现在，1年通常是金融领域的标准时间单位。就像有人告诉你，利率是6％，你不会认为这是每个月6％，或者每天6％，大家都知道是每年6％的利率。如果你要在一段时间借钱或者还钱，你只需对年化利率做适当的计算调整。
对波动率也一样。波动率都是按1年对应的数值给出——年化标准差。
在此定义下，举个例子，假设持有标的合约，其一年后的远期价格为100，且假设该合约的年化波动率为20％。
这个数字对于我作为一个交易员的重要性在于：如果我暂且不管这个合约，1年后再回来看，它的价格将有2/3的可能性在80～120之间。为什么呢？100，加上或减去其价格的20％，也就是加减其波动率（一个标准差），将产生一个80～120的价格区间。我因此知道，有2/3的可能性，价格会落在一个标准差范围内（见表3-1）。表 3-1
同样，可以获知20次中有19次，或者有95％的机会，1年后合约价格会在60～140之间，对应两个标准差的范围。标准差的优点之一是可以累加。如果20％是1个标准差，那么2乘20％，即40％，就是两个标准差。所以100，加上或减去其价值的40％，将产生60～140的价格区间。
最后，20次中只有1次机会，1年后合约价格将低于60或者高于140。也就是说，20次中只有1次，即5％的概率，价格出现在距离均值两个标准差之外。
3.2 波动率数值是不固定的
现在来看另外一个场景。假设我持有该合约，1年后该合约的价格为180。此时该如何评价之前使用的20％的波动率呢？你认为它是准确的吗？很可能你会认为它不准确。
但是，你能确定20％就一定是错误的波动率吗？
不能。如果20％是正确的，市场价格最后是180，该市场偏离了多少个标准差？简单来说，刚好是4个标准差。20点，100的20％，对应1个标准差，所以80点对应4个标准差。
那么4个标准差之外发生的概率有多大？要准确回答我必须查表，可能是10000次中发生1次，基本上不会差太多。显然，这是一个非常奇怪的数。但10000次中的1次就真的不可能吗？
如果你认为不可能，你将非常惊讶于现实情况。在市场里，所有你认为统计学上非常不可能发生的，最后却都发生了！
因此，尽管可能性不大，20％还有可能是正确的波动率，而10000次中仅有1次，市场价格确实变成了180。如果真的出现了这种情况，而你的交易方向错了，那就糟糕了。
现实一些，我也认为20％的波动率可能是错误的，因为人们并不会期待10000次中仅有的1次会真的发生。如果我想知道20％的波动率是否正确，则需要有过去一年中所有标的价格变动的数据库。将所有数据放入表格中——Excel或者其他类似软件——来计算标准差，计算波动率。然后，可能发现真正的波动率实际上是30％，或者40％。也可能我发现真正的波动率就是20％，市场价格上涨到180，万分之一的可能性确实发生了。
这是所有交易员想要长期保持成功而必须学习的重要一课。尽管某些事情非常不可能发生，你仍然不能忽视其发生的可能性。如果你忽视了，它可能就真的发生了。太多例子说明，忽视这种微小的可能性时，交易员很可能被迫清仓，产生巨额亏损，或出现某种金融灾难。
我一直强调，关于波动率的一切都是基于概率论的，任何事情都是不确定的。
3.3 根据不同的时间期限调整波动率
前面我们已经给出了波动率的操作定义，波动率为1个标准差，以1年为周期，用百分比表示。
然而，大部分人会关心，如何通过年化波动率获得一定时间内的波动率。它能告诉我们每月波动是多少吗？或者每星期、每日价格波动？实际上，交易活跃的交易员最常用到的单位是日波动率。他们会想知道：“年化波动率可以告诉我每日的波动是多少吗？”
利用一个相当简单的公式，就可以将年化波动率转化为更短时间的波动率。这个公式涉及波动率和时间的平方根因子，如下所示：
任意时间长度的波动率，以“t”标记，等于年化波动率乘以该时间长度的平方根，t是时间长度与1年的比值。
如果是3个月的期权，或者说想要得到3个月的波动率，首先要知道3个月与1年的比值是多少。显然，是1年的1/4。1/4的开方，即0.25的开方是0.5。
因此，年化波动率乘以0.5，将得到3个月的标准差。
接下来简单谈谈日波动率。1天占1年的分数值是多少？1年有365天。但是，当谈论到波动率，是指从一个时间段到另一个时间段的价格变化。市场价格变动的时间段，是指价格能真正变化的时间段。显然，我们感兴趣的交易所合约价格并不是每天都变动的。在周末及假期闭市期间，价格都不会变化。因此需要把这些日子从365天里去掉。
世界的不同国家，假期也各不同，因而1年剩下的交易天数为250～260天。大部分交易员假定一年正好有256天，因为256的平方根是整数，会使整个日波动率的计算更为简便。
考虑到这些因素，1天相当于256天中的1天，256天即为1年的时间。接着，对其求平方根——1除以256的平方根，为1/16。因此，如果想知道日标准差是多少，只要将年化波动率除以16（见表3-2）。表 3-2
这是几乎所有场内交易员都会使用的通用算法，你也应该记住，并运用这一方法。
再来看一个例子。假设合约的现价为100，波动率为20％，那么一天的价格波动期望值是多少呢？
知道如何计算日标准差后，可以将20％除以16，得到1.25％。因此，如果合约昨日收盘价是100，那么有2/3的可能性，今日收盘价在98.75～101.25之间，也就是说将100加减1.25％的价格变化，就会得到这个价格区间（100－1.25＝98.75；100＋1.25＝101.25）。
在此例中，1.25％仍为1个标准差，但它是1个日标准差。1个标准差对应的概率依然是2/3。
还可以认为20次中有19次合约今日收盘价在97.5～102.5之间。因为如果1.25％为1个标准差，那么2.5％为两个标准差，100加减2.5％的价格变化，则会得到97.5～102.5的价格区间（见表3-3）。表 3-3
交易员经常做这种类型的计算，这可能是最常用的标准差了。然而，如果你的交易并不太活跃，或者你对长期持仓的变动更感兴趣，你可以计算每周或者每月对应的标准差。
计算周波动率，需要乘以1/52的平方根，也就是除以7.2。例如，用我们已熟悉的20％的年化波动率，除以7.2，可以得到周标准差约为2(3/4)％，或者更精确些，则为2.778％。这就是周波动率的计算。
同样，如果对每月价格变动感兴趣，可以将波动率乘以1/12的平方根，相当于除以3.5。还是以20％的年化波动率为例，那么月标准差约为5(3/4)％，或者更精确些，则为5.714％。这就是月波动率的计算（见表3-4）。表 3-4
交易员经常用到周波动率及月波动率这两个数值，但最常用的数值依然是16。日标准差依然是市场上最常用的时间单位。
为什么需要进行这些计算呢？因为波动率是无法从市场中直接观察获得的。你总是需要计算波动率，然后将其输入到定价模型中。你还需要做更多的计算，来判断正在使用的波动率是否合理。
换句话说，你总是要问自己“我期待在市场中看到什么样的波动——我是否看到了这样的波动？”
3.4 标准差转换示例说明
我们稍后再来回顾和调整期望值。首先用一个例子来回顾一下标准差的转换过程。
假设股票价格为68.50美元，我认为该股票正确的波动率为42％，那么日标准差是多少呢？
为了获得该数值，将42％除以16，得到日标准差。接着将该数值，即2.625％，乘以股票价格68.50。结果非常接近1.80（68.50×2.625％＝1.798），虽然不十分精确，但可以直接近似使用。
同样，还可以计算股票价格的周标准差。首先，将取52的平方根（一年有52周），获得7.2。接着，42％除以7.2等于5.83％。然后68.50乘以5.83％，得出的每周标准差，非常接近4.00（68.50×5.83％＝3.994）。
通过以上的计算，可以期望日价格波动在加减1.80美元的范围内，每周价格波动在加减4.00美元的范围内。
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]