作者：胡桃夹子工作室
出版社：人民邮电出版社
格式: AZW3, DOCX, EPUB, MOBI, PDF, TXT
不可不知的数学知识：10个改变世界的数学公式试读：
内容提要
数学公式是个很奇妙的东西，从最简单的1+1=2，到拉开航天航空序幕的齐奥尔科夫斯基公式，它们虽然只有几个符号，却能够描述大千世界。为什么1+1=2也算一个伟大的发现？为什么万有引力定律是人类思想的一个转折点？为什么等号分隔的两组数字或符号就能够改变世界？你都能在本书中找到答案。
本书将用有趣的手绘方式，把人类历史上最具有影响力的10个数学公式介绍给读者。我们将从每个数学公式出现的历史说起，用简单易懂的语言带着每一个阅读本书的读者一起，跟着人类发展留下的脚印，探寻公式背后的哲思。
序言
支持哥白尼日心说的伽利略·伽利莱曾这样描述数学：“直到我们学习了这门语言，并熟悉它的字符，宇宙才能被阅读。宇宙是用数学语言写成的，字母是三角形、圆形和其他几何形状。没有这些，人类就不可能理解一个单词，没有这些，人类就会在黑暗的迷宫中游荡”。
翻起人类历史中的沉沙，数学一直在我们左右。早在公元前3000年，巴比伦人和埃及人就开始使用算术，用代数和几何来进行税收和其他财务计算。公元前600年至公元前300年，古希腊人开始用希腊数学进行系统的数学研究。
数学在自然科学、工程、医学、金融和社会科学等许多领域都是必不可少的。人类的历史能发展到现在这样，和数学有着密不可分的联系。著名的数学王子卡尔·高斯把数学称为“科学的女王”。
但一提到数学，人们不是大惊失色，就是肃然起敬，仿佛数学离我们非常遥远。毫无吸引力、非常无聊，是当人们描述数学时最常见的标签。其实，数学不仅是有用的，还是有趣的。如何有趣？《不可不知的数学知识：10个改变世界的数学公式》这本书就是来告诉大家为什么数学是有趣的。
本书挑选了10个对世界影响最大的数学发现，它们分别是1+1=2、
勾股定理
、杠杆原理
、对数
、万有引力
、麦克斯韦方程组
、质能方程
、德布罗意方程
、玻尔兹曼公式
和齐奥尔科夫斯基公式
。苹果砸到牛顿头上，让他发现了万有引力定律。这个故事虽然来自于文学家的创作，但人类从不会计数到用方程来做想做的事情，这中间可发生了太多有趣的事情。比如，在世界文明还交流不畅的年代，每一个文明都有自己的计数方式。古巴比伦人用的就不是现在的10进制，而是60进制。面对三角形问题，中国西周时期的人们提出了勾股定理，而古希腊人则用毕达哥拉斯定理来解决它，甚至美国的第20任总统都还在对这个定理进行证明。
在简单的等式符号背后，是人类举着好奇心火把的发现之旅。好奇和兴趣原本就是属于数学的，今天我们应该把这些都还给它。
关于作者
胡桃夹子工作室成立于2013年，目前有近两百部手绘知识类短视频面世，全网总播放量超过4亿次。
2016年，胡桃夹子工作室多部短视频单集播放量突破千万，原创科普节目《分钟学堂》及其他科普作品多次获得国家及各省市评选的科普奖项。
2017年，胡桃夹子工作室获微博科普“最具特色科普机构”称号。
1+1=2
假如我们不会数数
把本章标题提出来的这个问题拿给不同的人去看，必然会得出不同的答案。让我们姑且把答案分为“否定”和“肯定”两种类型好了。
如果去问问已经接受过启蒙教育的小朋友们，这个问题看起来就会十分“愚蠢”了。因为小朋友们很可能会回答，他知道1+1=2，也知道怎么从1数到10，他甚至能数到100，老师刚刚在课堂上讲过，十分简单，他肯定不会把这个公式当成“伟大发现”。
但如果是去问数学家呢？
数学家一定会告诉你，这个公式十分伟大，因为它代表人类已经掌握了计数的本领。可以说，让我们在数学考试中十分头疼的一切难题，都是从人类掌握数数技能之后才开始的。
我们现在无法想象，如果没有计数的能力，数学中一切抽象而复杂的内容要通过什么方式去表达。
等等，或许我们可以做一些尝试，尝试一下如果人类没有计数能力，会出现什么样的事情吧！
让我们从伸出自己的双手开始好了，你一定在猜测我想问什么：你的手总共有几根手指？
或许你蒙对了，真的在不知道“双”的概念时就伸出了两只手，那么你能回答“你的手总共有几根手指”这个问题吗？
还是不能，因为你不会计数啊！
我们可以大胆想象，如果不会计数，那么“数量词”这种东西，也不应该存在于世。如此一来，“几根手指”中的“根”，就只能代表“植物茎干下部长在土里的部分”，或者“事物的本源”之类的意思，并不能作为描述“长条状物体的数量”的量词出现。
至于说“几根手指”中的“几”，也会被削减很多意思了。毕竟你并不拥有计数能力，那么“几”这个字里“询问数量多少的疑问词”的意义，也会消失不见了。
这实在是太可怕了，如果没有计数能力，别说是数学不会有什么发展，就连语言文字都会变得一塌糊涂。
我们如何掌握计数？
提到这个问题，刚刚可能还对1+1=2的重要性讲得眉飞色舞的数学家们，就无法给出一个令人满意的答案了。因为到现在为止，我们无法考证人类是从何时开始第一次使用计数能力的。
正因为如此，我们也很难知道人类真正掌握计数能力的原因。或许可以这样理解：数字并不是人类发明创造出来的，而是同如原子、引力这类东西一样，原本就存在于自然当界中，我们不是创造了它，只是在运用它罢了。
之所以会有这样的想法，是因为不光人类掌握着计数能力，很多动物也有着类似的本领。
先从灵长类动物开始说起好了。2010年的一项研究指出，经过训练的猕猴，可以在屏幕上把不同的数点结合起来做加法运算，并能得出正确的和数。这些猕猴的计算准确率高达76%，远远高于靠瞎蒙乱猜得出答案的准确率。另外，黑猩猩在经过训练之后，也能认识和运用数学符号——这种能力在之前一直被认为只有人类才具有。
如果说动物经过训练掌握了计数能力，还是在人类的干涉之下完成的，那么有些动物天生具备的计数能力，就令人十分惊叹了。
比如蜜蜂，它们能够数出4种包含不同元素的图案，帮助它们顺利记住食物的来源，在复杂的环境当中生存下去。
也难怪19世纪德国数学家利奥波德·克罗内克会说：
人类为了掌握计数都做了啥？
虽然我们现在无法判断，人类是从什么时候开始掌握了计数能力，不过依然有一些考古发现，可以帮助我们去理解远古人类对“数数”的认知。
典型的案例之一，就是“伊尚戈骨骸”。
1960年，比利时的地质学家在刚果民主共和国境内，发现了一些刻着线的骨头。这些骨头来自狒狒，上面的刻痕数量繁多，最一开始被认为是当时的人们用来简单记事的，但数学家们认为，这些有22000年历史的骨骸所拥有的丰富的数学意义，远远不是用来记事这么单纯。
以其中一根骸骨上的刻痕为例。上面的刻痕从三变成了六，从四变成了八，从十变成了五，这很可能说明当时的人们不仅有了计数的概念，同时也有了加倍、减半的想法。
换句话说，如果有人能带着一副扑克牌穿越回那个时代，同样能和当时的人一起玩斗地主，因为当时的人类已经能喊加倍抢地主了！
更令人惊讶的是，除了加倍和减半的概念之外，当时的人们很有可能对奇偶数以及质数有了一定的认识。比如，在某一根骨骸上面，刻痕是9、11、13、17之类奇数，而有的骸骨上包含了10～20之间所有的质数。
除了伊尚戈骨骸之外，考古研究中还发现过更早的计数棒，骨头上有29道刻痕。虽然学者们还无法真正搞明白这类骨骸到底有什么作用，不过有人猜测说，这是用来记录阴历的工具。
奈何姓万啊！
有了刻痕计数，距离人类真正掌握计数本领还有一段距离。为何这么说呢？让我们从很多人都在儿时听过的《奈何姓万》的故事开始说起。
这则故事中说，有个有钱的财主，他家的人世世代代都不识字。财主觉得这样不好，就聘请老师给自己的儿子上课，这个老师就从最简单的字开始教起。在纸上写了一划，教他说：这个字念“一”；在纸上写了两划，教他说：这个字念“二”；在纸上写了三划，教他说：这个字念“三”。
这时，财主儿子感到很高兴，原来写字这么简单啊！于是就把笔一丢，对他的父亲说:“我已经学会了。”他的父亲也很开心，依着儿子把老师辞退了。
不久以后，财主准备找他的一个姓万的朋友来吃饭，让他的儿子早上起床写个请贴。过了很久还没有写成，财主就去催促儿子，没想到儿子生气地说：“天下的姓氏那么多，干嘛非要姓万不可。我从一大早开始写到现在，才写完五百画！”
这则故事来自明朝著名教育家刘元卿的《应谐录》，教育我们不要偶然学会一点点东西就自以为了不起，更不要浅尝辄止。
除去这个意义之外，我们还可以从这个故事里发现一些数学上的意义。财主的儿子掌握了“一”，就如同几万年前的人类掌握了用一道刻痕来计数一样。我们有十根手指——好的，现在你有计数的本领了，终于可以数清楚你有几根手指了——数到十也没什么问题。可是，当数字达到“万”的时候，无论是刻痕还是手指，就不那么方便了。
从一到万，数字怎样才能有更好的表达方式呢？
换个位置，换个意义
我们先来看看古巴比伦人是怎么应对的。
为了表达更大的数字，古巴比伦人创造性的将数字列成排，让数字的位置和数字的符号本身拥有了同样重要的意义。
和我们现在习惯使用的十进制不同，古巴比伦人用的是60进制。当时他们通过楔形文字来表达数字，一个纵向的细楔形表示1，好几个这样的楔形组合起来，可以表示2～9，接下来，他们又创造了一个横向的粗楔形来表示10，多个10的楔形符号组合起来，可以表示20、30、40和50。通过这些符号，数字1～59就可以书写下来了。
这听起来似乎没什么大不了的？真正有趣的事情，是发生在古巴比伦人记录60的时候。
当表示60这个数字的时候，他们并没有再用6个10的符号进行组合，而是在左边开始写出新的一列，写入数字1的符号来表示。
这和我们今天用来表示“10”的方法非常类似。我们并没有用新的符号去表达“10”，而是把“1”放在了左边，赋予了它新的意义——10个1。
这就是所谓的位置计数法，它通过让数字待在不同的位置，用来表达出更加复杂、庞大的数值。
当古巴比伦人用60进制来计数的时候，古印度人用10进制作为通用的数字系统——和我们今天一样。换句话说，这个系统的数字以10位进制，逢10进1。
顺便要告诉大家，古印度人不仅是使用10进制的先驱，也是我们现在常用的阿拉伯数字的发明者。
这听起来似乎有些名不副实，但事实上，这套数字最早是由古印度人发明的，后来由阿拉伯人带入欧洲。它与罗马数字共存于欧洲长达数个世纪之久，因为书写简便等原因，逐渐成为主流。直到15、16世纪，随着印刷技术的逐渐发展，识字的人越来越多，书写也越来越标准化，这套数字才定格成我们现在看到的模样。勾股定理a和b为直角三角形两条直角边边长，c为斜边边长：222a+b=c
一个没听过名字的公式
在开始讲这个几乎伴随我们整个中学时代的公式之前，先给大家讲一个笔者的亲身经历。
那是笔者中学时代的一堂数学课，老师正在讲解一道习题，突然提问了某个同学，让这名同学站起来解题。
只见这位同学信心满满，立刻站起来侃侃而谈，等说到结论的时候，这位同学总结道：最后，根据毕达哥拉斯定理，就可以计算出这道题的结果。
老师听后，带头鼓掌，夸赞这位同学的解题过程十分准确。其他同学们一看，老师都鼓掌了，那还等什么啊？赶紧也跟着鼓掌吧！
但是，大部分同学都是一边鼓掌一边茫然：怎么那位学霸说的解题过程，前面还能听得懂，最后说的那个什么毕达哥拉斯定理，是个什么玩意儿？
既然听不懂，那就听老师再讲解吧！
老师也不含糊，很快就把这道题说完了，这时候同学们才发现，老师似乎没提什么毕达哥拉斯定理，而是用大家都知道的勾股定理解开了题目。
闹了半天，这听起来拗口而又高大上的毕达哥拉斯定理，就是咱们最熟悉的勾股定理……
一个公式，名字怎么这么多？
一个公式，怎么会有两个名字？其实，勾股定理不光有这两个名字。咱们中国人习惯叫它“勾股定理”，而外国人习惯叫它毕达哥拉斯定理，除此之外，它还有“商高定理”“陈子定理”“百牛定理”等名字，可以说是名字最多的数学定理之一。
不同于一些定理是某个人或某个国家的“专利发现”，不同国家地区的人们，几乎都在很早的时候就发现了勾股定理，颇有一种不约而同的感觉。
数千年前，人们就已经发现并证明了勾股定理。当时世界各地的文明——埃及、中国、印度、巴比伦——几乎在同一时期，先后发现了勾股定理。正因为这么多不同地区的人发现了这个定理，那时候大家又没有网络、手机之类便捷的联系手段，不可能商量出一个统一的名字，所以公式的命名也就变得五花八门了。
为何一个公式的发现如此“不约而同”？这是因为勾股定理的应用实在是太广泛了。
我们知道，在生活当中，三角形随处可见。这种形状具有很强的稳定性，在外力的作用下不易变形。而在众多不同的三角形中，又有一种非常特殊的种类，那就是直角三角形，它的结构更加稳定，在生产中的应用也更加普通。在古代，人们修建房屋、挖井、造车时，都会用到它。
而勾股定理正是用来计算直角三角形的，所以它就随着直角三角形的广泛应用而被人们所熟知。
除了用于生产，古埃及人使用勾股定理丈量土地；大禹治水时，使用勾股定理来测量地势高低，修建河渠；我国古人还使用勾股定理完成了许多天文计算。
难怪著名科学家开普勒曾经说：“几何学有两大宝藏，一个是勾股定理，一个是黄金分割。”
勾三股四弦五的来历
这样一条重要的数学定理，最早是怎么被人们发现的呢？让我们先从一段君臣对话说起。《周髀算经》是我国古代一本非常重要的数学典籍，是我国流传至今最早的数学著作。这本书里记载了许多数学定理和天文历法的证明方法，其中最著名的就是我们熟知的勾股定理了。
根据这本书记载，在距今两三千年前的西周时期，当时的统治者周公向一位叫商高的大臣询问前人如何测量天地之间的距离。
商高向周公解释前人的测量方法时，说了这样一句话：“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。”
这句话的意思是“当直角三角形两条直角边长度分别为3和4的时候，斜边长度就是5。”这就是我们常说的“勾三股四弦五”的来历。
这句话只说了勾股定理的结论，并没有解释原因。后来，周公的后人陈子详细解释了商高这句话：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”
在周公、商高、陈子生活的时代，人们认为脚下的大地是一个非常非常大的平面，只要知道太阳的高度，和观察点到太阳正下方的距离，就可以求出太阳到观察点的直线距离。陈子把这三个长度分别称为“勾”“股”“弦”，然后告诉我们一种求“弦”的方法：先计算勾、股的平方和，再开方，就得到了弦长。
又过了一千多年，到了东汉时期，数学家刘徽尝试利用勾股定理求圆周率，并利用“割补术”完成对勾股定理的证明，这是我国历史上最早记载下来的勾股定理的证明方法。
毕达哥拉斯定理又是怎么回事？
勾股定理另一个非常拗口的名字“毕达哥拉斯定理”又是怎么来的呢？这就要从2500多年前的古希腊开始说起了。
毕达哥拉斯是古希腊一位著名的数学家。
年轻时，他跟随父亲游历了巴比伦、埃及、印度等多个国家。
古埃及人会在绳子上打结来确定绳子的长度，他们还会使用长度为3个、4个、5个绳结的绳子来确定直角三角形，用来测量土地。相传，毕达哥拉斯游历埃及时，发现了这一点，并据此总结出了著名的“毕达哥拉斯定理”。
遗憾的是，毕达哥拉斯本人并没有任何著作传世，他对该定理的证明过程也没有保存下来。
几百年后，另一位古希腊数学家欧几里得把当时流传的数学定理整理成一本名叫《几何原本》的书。欧几里得认定这个定理是毕达哥拉斯最早发现的，所以他把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”。此后，这个定理就在西方学术界流传开来，西方人都习惯地把它称为毕达哥拉斯定理。
在两千多年前的古希腊，毕达哥拉斯定理的证明让这位年轻的数学家名声大噪。此外，毕达哥拉斯本人也很有魅力，他睿智风趣的演讲吸引了社会阶层的精英。很快，毕达哥拉斯的身边就聚集了一大批热衷思考、极富才华的年轻人，他和这些年轻人一起，创立了毕达哥拉斯学派。
毕达哥拉斯学派是一个数学团体，他们认为“万物皆数”，意思是说“数”是宇宙万物的本源，一切都可以用数来解释清楚。毕达哥拉斯学派甚至给每一个数字赋予了不同的含义，比如，“1”是数的第一原则、万物之母；“2”是对立和否定，是提意见；“5”是奇数和偶数、雌性和雄性的结合，也是婚姻……
除去“数”，毕达哥拉斯学派的成员还相信灵魂轮回、转世重生。此外，学派内部还有很多奇怪的规定，比如成员不允许吃豆子。
这样一个在今天看来非常奇怪的学派，持续繁荣了两百多年，在数学方面留下了大量宝贵的遗产。
看着自己的学派日渐繁荣，毕达哥拉斯怎么也不会想到，确立他数学家地位的“毕达哥拉斯定理”，差点儿摧毁了他的学派。
在毕达哥拉斯学派里，有一位名叫希帕索斯的成员，他指出，根据毕达哥拉斯定理，如果直角三角形的两条直角边长度都为1，那么斜边长度是。但是一串无限不循环的数，也就是我们所说的“无理数”。根据毕达哥拉斯学派的“信条”，这种数是不存在的！
希帕索斯的发现对毕达哥拉斯的权威构成了极大的威胁。毕达哥拉斯把希帕索斯称为“叛徒”，有意破坏学派的和谐，下令将希帕索斯活埋。希帕索斯听到了流言，打算连夜乘船逃往他乡。没想到他还是被毕达哥拉斯派出的门徒追上，这些门徒把希帕索斯五花大绑，扔进了冰冷的地中海。
希帕索斯在死前，向世人公布了他的发现。在此后的两千年里，一直是西方数学家们无法解释的一个数字。直到1872年，德国数学家戴德金用数学方法定义了无理数，数学史上这场大的危机才宣告结束。
总统也来证定理
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]