写给全人类的数学魔法书(txt+pdf+epub+mobi电子书下载)

作者：（日）永野裕之

出版社：新世界出版社

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写给全人类的数学魔法书试读：

当你翻开这本书的时候，我就能想象得到，学生时代的你，数学成绩一定不怎么样，你在数学方面一定很自卑：“我没有数学方面的才能。”

或者，你会这么认为：“数学好的人=有才智、有灵感的人。”

认为自己和他们不是一个世界的人？

这种想法是错误的！

数学家秋山仁老师在他的著作《爱上数学》当中，关于“报考理工大学所需要的能力”说了这样4句话：（1）把自己的鞋子都收拢起来，放到指定的鞋箱子里面；（2）遇到不明白的字词，要拿出辞典来查一查；（3）学会做咖喱饭（不会的话可以照着食谱学）；（4）绘制一张从家到最近车站的地图。

为什么这样说？“因为你只要做到以上4点，就具备了报考理工大学所必备的能力。”

上述4件事情分别代表了4项基本能力：（1）掌握了对应概念

能够把左右两只鞋子都放到相对应的鞋箱子里面，就说明你掌握了一对一的概念。（2）能够理清顺序关系

比如“book”这个单词，b是26个英文字母当中的第2个字母，下一个字母o在n的后面，在p的前面……也就是说你掌握了26个英文字母的顺序关系。（3）能够对事情的步骤进行整理、实行和观察

准备食材，按照步骤烹饪，并且能够对整个烹饪的过程进行观察。（4）抽象能力的表现

能够将三元空间的景象，用二元平面的方式绘制，去除不必要的部分，保留必要的信息，这就是一种抽象能力的表现。

上述4项基本能力是几乎每个人都具备的。由此可见，除了那些想要成为数学家，并且能够引领数学界未来的数学天才之外（这样的人想必也不会看我这本书的），一般的人，无论是想要报考理工大学也好，还是处理在实际工作当中遇到的数学问题也罢，都不需要什么特别的“数学才能”。

那么，为什么你的数学不好呢？恕我直言，你之所以会数学不好，并不是因为你没有这方面的才能，而是因为你所掌握的学习方法是错误的。

我在这本书当中，将对如何掌握正确的学习方法进行阐述。掌握了这套学习方法，你不但是能够学好数学，而且能学得轻松愉快。这套学习方法实际上是把高中时期的我自己作为教学目标，用约20年的指导经验加以研究得出的。而实际的学习效果已经被很多学生给证实了。用我这套学习方法，在短短的几个月之内，数学成绩从全班垫底到全年级第二名的例子不在少数。他们都这样告诉我：“这套学习方法的作用，已经达到了不可思议的程度！”“我从来没想过如此轻松愉快的学数学！”数学差生也能当数学家

实际上，我也不是什么科班出身的数学专家。本科是在东京大学读的地球行星物理专业，后来是在宇宙科学研究所读的研。此后也没有在本专业领域内进行发展，而是想要成为一名古典音乐指挥家，后来又参与到西餐厅的经营策划当中去。就这样一直到现在，现如今开了一家名叫“永野数学私塾”的针对性指导培训学校，并担任校长。由此可见，我的人生经历是曲折多变的，然而唯一保持不变的就是我在“数学方面的教育工作”。从刚上大学开始我就担任家庭教师，一直到现在担任数学私塾的校长，前前后后约20年，有针对性的指导了一批又一批的学生。我虽然不是数学专业出身，但自认为是数学教育方面的专家。

其实，回想中学时代的我……那时候的数学成绩是绝对谈不上优异的。远远低于全班平均成绩的情况也不是一次两次了。我初中的时候沉迷于棒球，高中的时候沉迷于音乐，学习成绩一直就在班级下游徘徊。这种状态一直持续到高中2年级的冬天（是不是有些迟了！），我意识到：“不能再这样下去了”

虽然拿出了这样的信念，但是和周围的同学比起来，我实在是落后得太多太多了。而且这个时候离高考已经不远了，同学们也全都开始认真读书。这种情况下，我意识到：“仅仅是和大家保持一样的学习进度是不行的。有没有那种一下子就能打个翻身仗，超级厉害的学习方法呢？”另外，我还在想：“能不能找到一种轻松愉快的学习方法？”

当时我是这么想的，要是在高考之前这一年多里，反复遭受着做习题、考试，考试、做习题的这种学习方法的折磨，那么我是坚决受不了的。学好数学就靠方法

当我试着寻找一种适合自己的学习方法的时候，突然想到了这么一点。“为什么人们总是对小说和电影的情节念念不忘呢？”

仅仅是读了一遍，看了一遍，就能够从头到尾把故事当中发生的每一件事按照顺序说出来，这是不是很厉害？为什么小说和电影当中的情节那么轻松就记住了？如果能够把这种“原理”运用到数学的学习当中去，想必会有很好的效果，并且让人学得轻松愉快。一想到这里，我就忍不住的兴奋起来。“无需死记硬背”、“抓住故事的梗概”、“学会将所学的知识教给别人”……这就是我在这本书当中将要介绍给大家的“数学学习法”的几个关键点。

正因为我找到了适合自己的学习方法，数学成绩才有了显著提高，最终我才考上了东京大学的一类理科。并且，在上了大学之后，这种学习方法仍旧发挥出了它的强大作用，此后的分科选考（东京大学在学生本科二年级的时候，会有一次比入学考试更加严格的专业课“分科选考”）和考研的过程当中，都如同我所期望的那样顺利的通过了。成年人为什么还要学习数学？

当我还在做家庭教师的时候，我已经开始给成年人教数学了。一开始在收学生的时候，我就没有特意限制年龄，没想到竟有成年人来报名。从那以后，凡是成年人来报名我就一概不拒绝。直到现如今，更是开办了“成人数学班”，专门教成年人数学，并且还要告诉他们，成年人为什么要学习数学。这也是在教学的过程当中发现的别具趣味性的地方。“都这么大人了，再来学数学还能有什么用？”

有这种想法的成年人不在少数（啊，正在读这本书的你想必不是这么想的）。的确，数学当中所涉及到的向量啊、指数函数啊、三角函数等等，在日常的生活当中都用不上。然而，几乎所有的国家都把数学这门课列入义务教育的教学计划当中，这是为什么呢？

因为，通过对数学的学习，可以培养一个人的逻辑判断能力（即数学的思考能力），也就是说，能够让人有条理的来分析事情。而掌握了逻辑判断分析的能力之后，可以让别人接受自己的意见，也可以理解别人所提出的不同的意见。

此外，当你在解决人际关系上的纠纷，工作上的烦恼，以及环境问题等各种问题的时候，你都必须要找到解决线索，然而这就需要你具有逻辑判断分析的能力，抓住问题的关键点并加以验证和定性，能够客观的分析和对待所遇到的问题。并且，在问题得到解决之后，能够将具体的事情加以抽象分析，从而得出经验，并根据经验归纳出合适的解决办法，以后再遇到类似问题的时候能够以此为参考加以解决。这就是学习数学所真正的用意。

就拿日常生活当中的事情来说，音响的接线就要用到数学。阅读家电的说明书，对旅行和工作上的事情进行安排和计划，这些也都需要数学。学习数学并不是为了能够解答练习册上的数学题，更为了提高逻辑判断能力，提高在社会生存当中所需要的“智力”。成年人在工作生活当中，应该能够深切的体会到学数学的必要性。重新感受数学的魅力

遗憾的是，学生们并不能认识到学习数学所真正的用意，也不会有感而发的主动去研究数学。仅仅是为了应付一次又一次的定期测验，才死记硬背那些公式和解题方法，勉强去提高数学水平（实际上，用这种死记硬背的方法，多半是不能提高自己的数学水平的）。在许多学生的眼里，数学已经沦落为一门死记硬背的科目。当然了，在这种情况下，什么“逻辑判断力”之类的一点都不要谈，学习数学所应有的意义已经完全丧失了。如果你在学生时代也是这样，那就更应该重新学习，借此机会找到数学真正的魅力！如今你不需要应付考试，也可以自由的安排学习时间，完全是出于兴趣爱好的态度来学习，那么你对数学的认识，将会有180度的大转变。

学习数学不需要什么条件，只要有纸和铅笔，立马就能够开始。并且，相对于学生来说，成年人学习数学会更加的轻松，因为成年人拥有更多的人生经验。而对于抽象的事物，要想产生具体的印象，经验可以起到很大的作用。数学的内容，大部分都是抽象的，能够把其中的“含义”和具体的“美感”相结合，我想，这也只有成年人才做得到。“文科生”更要学数学

在我学校里面，凡是能够在短期内提高自己的数学水平，摆脱自己不擅长数学境况的学生，都有一个共同点，那就是他们的语文成绩都很好。特别是那些能够写出条理清晰的文章的人，能够把别人的发言用自己的语言来复述的人，都具有很强的逻辑判断能力和资质，只要他们掌握了正确的学习技巧，并且把这些方法和技巧都吃透了，很快，数学水平就提高了。

这是因为，人们是用语言来分析事情的，语言是逻辑判断的重要组成部分。所以，在学习数学之前，语言能力是必须要掌握的关键。

很多学文科的人都会往自己身上贴标签，认为“我不是学数学的料”。实际上这是一种误解；同样，人们往往会认为数学能力和语文能力是完全相反的，这也是认知层面上的很大的错误。我认为，如果你的语文成绩好的话，在阅读文章和写作方面有自信的话，那么你的数学水平肯定就不会差。本书的使用方法

虽然在学习上下了功夫，但是数学成绩一直就提高不上去的情况，一般都发生在初三到高一这个阶段。因为在这一阶段，学生们往往靠得都是死记硬背。那么，在接下来的这本书当中，我将把从初中到高一的数学课程拿出来举例讲解（当中也会有一部分内容超出了这个范围，届时书上会有注明），从而让大家掌握正确的学习方法。

为了不让大家产生误解，我要说明一下，本书不是一本初高中数学辅导书，从书名《写给全人类的数学魔法书》就能够看出来，这是一本告诉那些在学生时代数学不好的成年人，为什么你的数学会不好，要想学好数学应该掌握哪些学习方法的书。当你读了这本书之后，如果你感觉到：“啊，这么说的话，我觉得我也能学好数学”

那么，根据你所要学习的深度和级别，请你再去读一读相应的数学教科书或者参考书。同时，把我写的这本书放在一旁，当你不知道该怎样学习的时候，看看这本书，也许就能找到实用的“学习技巧”。

虽说这本书是“针对成年人”的，但是我建议那些正在和数学做着殊死搏斗的高中生们也来看看，按照书上的学习方法来做，你的数学成绩肯定会有大幅度提高。拿起数学这门武器，顺利考上大学，这将不再是一个遥不可及的梦想。

这本书最大的亮点，就是第三部分的“适用于任何数学题的10种解题方法”。不是说让你去死记硬背这些解题方法，而是在解题的时候能够找到属于自己的方法，掌握了这10种解题方法，就像是拿到了十把传世宝刀一样。你几乎可以解决任何的数学问题。你在读完这本书之后，不妨自己试一试。

我希望能通过这本书，让那些数学不好的人，不再感到自卑，让每一个人都能够了解数学，享受数学，从而轻松愉快的掌握数学。第1部　应该怎样学数学？死记硬背要不得学习数学的诀窍——“记不住”“学习数学都有哪些诀窍啊？”

每次有人提出这个问题的时候，我都会这样回答：“学习数学的诀窍就在于记不住这三个字。”

我之所以会这么说，是有深层次含义在里面的。

当人们想要记住某件事情的时候，他就不再思考了。“为什么是这样？”“为什么要用这种方法解题？”“真的是这样的吗？”

因为停止了思考，像这一类的疑问也就不再产生了。

很多人一想到数学就头疼，认为学数学就是死背公式和解题方法。实际上，通过记住数学公式和解题方法来解题，这和学习数学的本意是相背驰的。这样是肯定学不好数学的。为什么要学数学？“为什么非得学数学呢？”

你是不是也有这样的疑惑呢？

确实，在数学当中有很大的一部分内容，像三角函数、数列、向量这些东西，都和我们日常生活联系不上。那么既然如此，为什么几乎所有的发达国家都把数学列为义务教育当中的必修科目呢？

我认为，提高一个人的数学水平，就是在提高一个人的逻辑判断能力。通过对数学的学习，使你能够发现事物的内在规律和本质。

这是精神层面上的提高和养成，使你能够有条理的去思考每一件事情，我认为这才是学习数学真正的目的。而三角函数也好，向量也好，因数分解也好，都是一种形式，其根本目的还是在于培养一个人的逻辑判断能力。

如果你养成了一看到什么就想背下来的毛病，那么对逻辑判断能力的提高是有很大阻碍的。

为了不失去学习数学的本意，为了理解数学学习的本质，请不要再“死记硬背”。

在这里，请让我引用一段我最喜欢的爱因斯坦的名言：“能忘掉在学校学到的知识，才算是教育。因为在校园里接受的只是最基础的教育，学到的只是书本上的知识。要想真正学到人生最有用的知识，就要自己去感悟，在实践中获得经验与灵感。”数学=枯燥乏味？

请你回忆一下，学生时代的你，在每次快要考试之前，是怎样学习数学的呢？

是不是每次都先去背那些数学定义、数学公式和解题方法，然后再大量做题？

像这种定期测验的题目，往往和教科书以及练习册上的题目大同小异。老师在出题的时候，考虑到的不是学生们的数学能力，而是要检测他们在这一段时间内的勤奋程度。至少，在历年的高考数学当中，你是找不出什么“新气象”的。

此外，强制性的去背那些数学定义和数学公式，它们就会失去原本的魅力，沦落为枯燥乏味的数字符号的排列。

没有任何用处，又没有任何意义的事情，自然会让人觉得枯燥乏味。并且，我想还没有哪个人能把乏味的事情做得有声有色。不要去记解题方法

有没有一种既能够扎扎实实的学好数学，又能在学习数学的过程当中尽可能的感到轻松愉快的方法呢？

答案是：有的。那就是你不要“总想着去记住它”。

也就是说，在你学习一样的新东西的时候，尽量不让自己去刻意的死记硬背，而是要找出它们背后所蕴含的“原理”。

想必大家都知道求三角形面积的数学公式，那么我们就拿这个公式来举例子，从而来探讨一下如何“不去刻意的去记住它”。

求三角形面积的数学公式：底×高÷2

求三角形面积的数学公式是这样的吧？那么为什么通过这个公式就能求得三角形的面积呢？“这个问题我倒是没有想过……”“我上小学的时候，老师就是这么教的……”

这就是错误的数学学习方法的开端。

当然，也有人会回答：“那是因为三角形的面积是相对应的四边形的面积的一半。”

那么我又要问了，

为什么四边形的面积运算公式就是“底×高”呢？

要想回答出这个“为什么”，那么你就必须对计算面积的数学定义有着深刻的理解和认识。

让我们先来算一下，在下面这个图形当中，包含了多少个基准的2小正方形（比如1cm的正方形）。

在下面的图片当中，每一个格子，长和宽都是1cm。

图片上的长方形，长（底边）为8cm，宽（高）为5cm。

在长方形当中，横着数一排是8个正方形的小格子，竖着数一列是5个。那么，在这个长方形里面，总共有多少个正方形小格子？8×5=40个2

因为1个小正方形格子的面积是1cm，那么长方形的面积就是240cm。

那么，在计算长方形面积的时候，

我们就能够用“底×高”的方法来计算。

那么，平行四边形又怎样计算面积呢？

在这个平行四边形当中，有许多正方形小格子是不完整的，那么我们就很难数得出它包含了多少个正方形小格子。那么，我们将它进行如下变形：

这样一来就和先前的长方形变得一样了：底×高

那么它所包含的小正方形的个数，很快就能算得出来。

接下来，我们再回过头来说三角形。

与平行四边形同样的道理，因为有许多正方形小格子是不完整的，所以我们就很难数得出它包含了多少个。如下图所示，我们将这个三角形逆向翻转过来，

这样一来，就和之前的平行四边形是一样的了。

那么，我们就可以算出平行四边形的面积为：底×高

然而，图片当中的平行四边形是由最初的两个三角形合起来的，那么我们就可以得出，平行四边形的面积是最初的三角形面积的2倍。那么三角形的面积就应该为：底×高÷2

怎么样？你有什么感触没有？

这就是三角形面积公式背后的原理。如果你能够理解整个原理，那么，三角形面积公式也好，四边形面积公式也好，就没有死记硬背的必要了。同样，关于梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2

我们也可以举一反三，从而轻易的找出背后的“原理”。不仅仅如此，像这种思考方式（通过对小面积单元格的叠加计算，从而得出整体的面积），对于即将要学到的“积分”课程，想必同样会在理解上给你带来很大的帮助。

如果不想死记硬背数学定义和公式，那么在一开始，你就必须要找出它背后所蕴藏的“原理”。另外，你不能仅仅只是理解这么一个数学定义，还要搞明白它与其他的数学定义之间有着怎样的联系，这就需要你对这些原理有着全面性的掌握。

再者，当你掌握了数学公式背后所蕴含的原理的同时，好奇心也得到了极大的满足。你自然会感觉到：“哦，原来是这么一回事！”“还真是有意思啊！”

继而让你感觉到其实学习数学也很有趣，这也是“不死记硬背”的学习方法所能带来的趣味性。当你搞懂了某个数学公式背后的原理之后，想一想，如何才能活学活用，而不是刻意的去死记硬背，这就是学习数学的关键诀窍。代替死记硬背的方法多想一想“为什么？”

一个学生，从数学成绩不好到有所提高，必然要经过一个特殊的阶段，就是产生疑问并解答。如果你能产生疑问，那就说明你知道你自己“哪里不明白，什么地方弄不懂”，这一点是极为重要的。

在学术界有一种论文被称之为观察（Survey）论文，说的是，通过作者自己的观点，对某一研究领域内的研究动向进行观察、整理和评价的论文。关于该项研究，都有了哪些进展和突破？这句话也可以反过来说，在此之前，研究者们对于哪些地方还有疑惑？此后是不是都得以解决？如果用这种方式来写，那么我想这篇论文一定是成功的。为什么这样说呢？因为当你弄明白哪些地方是你不明白的时候，那么这就意味着，答案已经离你不远了。“可是问题是，我也不知道我哪里不明白，我觉得我好像哪里都不明白～”

我想肯定有人会这么说。要想知道自己到底哪里不明白，有一个办法，那就是多问问自己“为什么？”

小孩子就经常会问一些这种在大人眼里看起来是理所当然的事情，

比如说：“天空为什么是蓝色的啊？”

当你遇到不甚了解的事情时，会不会去试着去搞清楚呢？“啊～原来是这么一回事！”

大家不妨去试一试，不要盲目的去相信书上说的话，或者是老师教给你的东西，要时刻保持着疑问的精神，多问一问自己“这是为什么？”就像是小孩子缠着大人不停的问“为什么”一样，这是一种良好的学习习惯。“为什么，在这个地方要作辅助线？”“为什么，方程式要这样变形？”“为什么，要用这种解题方法？”

从现在开始：“啊，就这么办吧！”“这不关我的事，这是那些数学天才们才要考虑的事情。”“只要记住解题方法就好了。”

你一定不能再有这样的想法了，相反，还要不断的问自己“这是为什么，为什么要用这种方法答题”。这样一来，你不但能够搞清楚自己还有哪些地方不明白，同时也激发出了求知欲，迫切的想要知道答案。然后你可以通过上网、翻书或者问人的方式来寻找答案。如此，你就发挥出了学习的主观能动性。

学习，必须要是主动的去学习。不能像是雏鸟一样，呆在窝里面等着母鸟来喂食。光是等着别人来教你这是不行的。只有张开了翅膀，主动去探寻自己想要的东西，这才是长大了的鸟儿。想要知道些什么，掌握些什么，只有自己去寻找，这样找来的东西才真正是属于自己的。顺便说一下，天空为什么看上去是蓝色的。众所周之，在太阳光当中包含了“赤橙黄绿青蓝紫”七种我们肉眼能够识别的颜色，而在这当中，蓝色光（波长较短的光）因空气的折射而扩散开来，被我们的视线所发觉，所以天空看上去是蓝色的。添加“新的语意”

我经常问学生这样一个问题：“镰仓幕府是哪一年建立的？”

学生们这样回答：“我知道！‘建立清平国度（日文当中与1192谐音）镰仓幕府’是1192年建立的！”“是的，那么江户幕府又成立于哪一年呢？”“呃……是哪一年来着？”从2006年前后开始，历史学界的主流说法就发生了转变，认为镰仓幕府的建立时间不应该从1192年源赖朝担任征夷大将军的时候开始计算。实际上在1185年坛浦之战胜利之后，源赖朝就实际上掌控了全国，并且，幕府僚臣的设置也得到了天皇朝廷的承认。所以，现在几乎所有的教科书都把镰仓幕府的建立时间改在了1185年。就连顺口溜也都改成了“建立清平政府（日文当中与1185谐音）镰仓幕府”。

为什么大多数的学生都仅仅只能记住镰仓幕府成立的时间，却记不住江户幕府成立的时间呢？实际上在日本的历史当中，江户幕府的建立与镰仓幕府的建立，是同样重要的历史事件，甚至前者比后者更为重要。学生们却只能记住镰仓幕府的成立时间，记不住江户幕府的成立时间。

这主要还是因为有“清平国度”这么一句顺口溜。然而这句顺口溜不是胡说八道的，在短短的一句话当中，它包含了一扫政治弊端，建立清平社会的执政思想在里面。虽然这句顺口溜很短，但是却包含了一种能够让人理解的“语意”在里面。通过那些以镰仓幕府时代为背景的故事以及反映当时社会情景的影视片，我们可以得知，这的确是一句不错的顺口溜。至于1603年江户幕府的成立，虽然也有“一片惊扰（日文当中与1603发音相近）”这么一句顺口溜，但是没有“清平国度”给人的印象深刻，因此也就很少有人能记得住。

这就是我要说的重点，关于“镰仓幕府的成立时间——1192年”，你是不是觉得印象深刻，想忘也忘不掉了？就好像是日本人当中，有谁能够忘掉桃太郎的？在学习上，给了我们这样一个启发，凡是有含义在里面的，包含了故事情节的，我们都很难忘掉它。

当我们在学习新知识的时候，想一想如何才能把新学到的知识和已经掌握了的知识联系起来，这样你就不容易忘掉它。要想把某一个知识单独的从脑海当中提取出来并不容易。然而，如果你能把这个知识和其他的知识联系起来，那么想起来就容易得多。

这就像是钓鱼，一杆一杆地钓是要不得的，要想拉网一样，一网下去大鱼小鱼全都拽上来。

给学到的知识添加“恰当”的语意，使得它和别的知识联系起来，这就是从知识到智慧的升华（关于知识和智慧的区别，我将在下一个小章节中详细说明）。

我们来举一个例子，关于一次函数的图像，大家还记得吗？我们简单的复习一下。【一次函数】为x的相关系数，当y=ax+b的时候，图像为直线，这个时候，a表示斜率，b表示与y轴的切线截距。

我们要掌握的知识就是，当图像为直线的时候，a表示斜率。然而，如果将这点单独来记忆，或许用不了多久就会忘记。

为了不至于忘记，我们不妨添加一些语意进去。首先斜率的表示方法有很多，在此，我们将斜率进行如下定义：

比如说，如下直角三角形的“斜率”为：

接下来，我们把这个斜率运用到一次函数的图像当中去试试看。

在这里，“底”为x的变量，“高”为y的变量。那么，根据图像我们可以得出：

那么，当变量x在数值p到数值q的区间之内，会怎么样呢？因为y=ax+b

所以：当x=p的时候，y=ap+b当x=q的时候，y=aq+b

在此，我们根据定义来求斜率：

由此我们可以得出，a的确表示斜率。

我们还可以从中得到启示，当斜率a为固定值的时候（与变量x没有关联），图像为直线。

然而这个话题并不是到此就结束了，实际上：

并不仅仅只限于一次函数，在任何函数当中都可以运用得上。只不过，在一次函数之外，我们一般将它称之为“平均变化率”。当变量x无限接近于0的时候，牛顿和莱布尼茨（Leibnitz）又从中得出了微分学的基本定理。

怎么样？没想到从一个简单的知识当中能够引申出这么多的含义吧？从初中数学当中的一次函数图像，一直联系到微分学！（我这么说可不是为了炫耀……）

在数学当中，有许多的定义、公式和解法，如果你把它们都当作一个个单独的知识来记忆的话，等到用的时候就拿不出来了。你要想一想它们都能引申出哪些含义来，最好是能够和其他的定义、解法联系起来……这样你不仅仅能够记住所学的知识，还能够抓住它的本质。不仅仅是“知识”，更要多一些“智慧”

在这里，我给大家介绍一下19世纪下半叶的著名心理学家艾宾浩斯的忘却实验。在实验的过程当中，艾宾浩斯让实验对象去记一些诸如“jor, nuk, lad”等毫无意义的字母组合。当实验对象记下来之后，经过一段时间，来检测一下这些记忆的内容有多少被遗忘了。

试验结果表明，在20分钟之后，实验对象忘掉了42%的内容，1个小时之后忘掉了56%，1天之后忘掉了74%，1周之后忘掉了77%，1个月之后忘掉了79%。

由此我们可以看出，如果你不了解数学公式和定义背后的含义，就这么死记硬背的话，那简直就是徒劳无用的事情。“知识”和“智慧”，这两个词汇看上去好像是差不多，实际上却是完全不同的两个词。简单地说吧，人们可能会忘掉知识，却不可能忘掉智慧。

我们来看一下“老太太眼中的智慧”吧。“纱布上蘸上盐，可以去除茶垢”，“清扫榻榻米的时候，用醋来擦拭会比较好”，这就是生活当中的“智慧”。为什么说这是“智慧”，而不是“知识”呢？对于这些生活当中的智慧，老太太即使是想忘也忘不掉，这又是什么原因呢……因为这些都是生活当中的体验和感触。在一开始的时候，老太太肯定也是听谁说了，“纱布上面蘸上盐，可以去除茶垢”（在这个阶段，还属于“知识”）。老太太在听了建议之后，回去肯定试了一下。有了体验和感触，“啊，确实弄干净了”，这就是从知识到智慧的升华。

在数学当中，定义也好，公式也好，这些都是知识。那么，怎样才能把定义、公式这些知识向智慧升华呢？那就是验证。在验证的过程当中，你能够体会到，前辈们在发现定义和公式的时候那种惊讶和感触。自己亲自动手来验证，你就会有所感触，“啊，真厉害。还真是这样啊！”

而这种体会，就是知识向智慧的转变。

知识就仅仅只是从别人那里学来的单纯的知识。但是，通过验证，体会到它的正确性之后，这就不仅仅是知识了，而变成了智慧。因此，我总是不厌其烦的对学生们说：“请验证一下！”

学生们的耳朵都听出茧子来了。

关于验证这个话题，我们到下一章节再详细讨论。对定理和公式进行验证

在一开始，我想先给大家介绍几句名人名言。“问题不在于告诉他一个真理，而在于教他怎样去发现真理。”（哲学家、教育思想家卢梭）“我喜欢旅行，但不喜欢到达目的地。”（物理学家爱因斯坦）“哥伦布感到幸福不是在他发现了美洲的时候，而是在他将要发现美洲的时候。他的幸福达到最高点的时刻大概是在发现新大陆的三天以前。问题在于生命，仅仅在于生命，在于发现生命的这个不间断和无休止的过程，而完全不在于发现结果本身。”（小说家陀思妥耶夫斯基）“通常，人们把登上山顶作为目的，把登山作为手段。或许，二者也可以颠倒一下。”（乐天会长兼社长三木谷浩史）

实际上，这些名人名言都只说明了一个意思，那就是，从事物的本质上来说，结果并不是最关键的，重要的是它的过程。

就好比说金字塔，当我们看到金字塔的时候，会有一种敬畏的感觉，这是为什么呢？是因为金字塔看上去特别的宏伟壮观吗？我不是这么认为的。在当今的科技产业下，比金字塔看上去更加宏伟、更加壮观的现代建筑是数不胜数。这是因为几千年前的人类在当时的科技水平下，就能够创造这样的奇迹，我们为此而感到震惊。更进一步的说，在当时的时代背景之下，那些石头是怎样堆积上去的，这一点让人感到神秘和不可思议。要说金字塔真正的价值，无非就是它的建造方法。

那些数学公式和定义也是同样的道理。它们的本质并不在于结果的完美和得到结果的便捷，而是在于它是如何得出的，是如何推演的，这样一个验证的过程。定理和公式是“人类智慧的结晶”

说起数学的历史，那是非常的久远。早在公元前7万年左右，人们的绘画中就出现了几何图案。而在公元前3万年左右留下的历史遗迹当中我们就可以看出，当时的人们已经掌握了时间。就拿我们日常生活当中耳濡目染的算术和几何学来说，都已经有5000多年的历史了。

从小学到初中再到高中，总共是12年。在这12年的教学计划当中，包含了数学史上5000多年以来的最重要也是最完美的数学定义和公式。每一个时代都有在当时世界上最顶尖的数学家，而我们在小学、初中和高中时代所学的数学定义和公式，实际上已经涵括了所有这些人的智慧的结晶。这些数学定义和公式的结果并不是智慧的本质，而本质的体现，就在于推算的过程。在验证的过程当中有所感动

当我们聆听莫扎特的音乐，欣赏毕加索的绘画的时候，会为此而感动。同样，在数学定义和公式当中也有感动。然而这种感动，绝不是因为只看到了结果，或者是因为能够把这些公式和定义“运用”到数学题当中去，而是因为通过数学的验证，让我们感受到了前人的伟大。“啊，真厉害啊！”“啊，真是天才啊！”

在验证的过程当中，我们会发出这样的感慨。这种感动也是数学的趣味性所在，我们能够借此而感受到数学当中有趣的一面。不过遗憾的是，学校的教学安排总是让学生们一刻不停的写作业、考试，学生们根本就没有多余的时间让学生们来感受这些。如今日本的教学方式就是这样：“看，这就是二次方程式的运算公式，你们要牢牢的记住它。”

遗憾的是，用这种方式来教学生的老师不在少数。故而有那么多的人在学生时代对数学产生了厌恶的情绪。正因为如此，我希望大家能够再次拿起数学，把当年老师要我们背诵的那些定义和公式进行验证，从中得出体会，并得到感触。希望有更多的人发现数学的乐趣，喜欢上数学。通过验证提高“数学的能力”

如果说数学的能力就是逻辑判断能力的话，那么，如何才能提高逻辑判断的能力呢？在前文当中，我曾拿金字塔来举了个例子。而逻辑判断能力，就好比是如何用一块块的石头来堆成金字塔一样，是一种对事物进行判断思考的能力。

说到金字塔的建造，在堆积石头的时候，如果只是这么随意的往上堆的话，那么金字塔很快就会倒下来的。必须要知道下一块石头该放在什么地方。而前人留下的金字塔，就是对这种逻辑的验证和实践，我们可以从中学习到逻辑性的堆积方法。同样，历史上的那些数学天才们留下来的定义和公式，我们拿来一一验证，就等同于在向那些前辈们请教数学。拿到一道数学题该如何着手，变换方程式的方法和窍门，如何作辅助线等等，有太多的地方值得我们去学习。对于我们来说，恐怕没有比这些数学天才们更好的老师了。

之前我已经说过许多次了，如果仅仅只是把每一种数学题的解题方法都记下来，这样对提高你的数学能力，是没有任何帮助的。至于死记硬背那些定理和公式，更是毫无意义。在学习数学的过程当中，如果说有什么东西是值得背下来的话，那么就只有一个：对定义和公式的验证方法。

有一句话是我们耳熟能详的，无论多么天才的发明和创造，最初也是从模仿开始的。就算是公认的天才莫扎特，也需要海顿老师的教导。既然要模仿，那就应该模仿最好的、最顶级的。因此，我们才要去学会如何验证那些数学天才们留下来的定义和公式。在验证的过程当中，能够感觉得到，他们所留下来的逻辑理论，都会变成属于你自己的东西。到那个时候，你就真正的掌握了数学的能力。对勾股定理的验证

在上一章节，我们讲到了对定理和公式的验证，那么接下来，我们举一个具体的例子，就拿著名的勾股定理来举例好了。首先我们来回忆一下，勾股定理指的是什么？【勾股定理（Pythagoras定理）】如左图所示，在直角三角形ABC当中，222a+b=c也就是说，除了斜边之外的两条边的长度的平方相加=斜边长度的平方。

就算你忘了勾股定理也不要紧，要紧的是，对这个定理进行验证之后，你感受到了什么，又学到了什么。

如上图所示，将四个直角三角形拼接在一起，形成了一个边长为（a+b）的大正方形，当中还有一个边长为c的小正方形。让我们来看一下它们的面积：

大正方形的面积=小正方形的面积+直角三角形的面积×4……☆

我们可以得出如上这样的一个答案。

接下来，让我们用英文字符来表示面积，2

大正方形的面积为：（a+b）2

小正方形的面积为：c

直角三角形的面积为：a×b÷2=

我们将这些面积代入到☆号方程式当中去，得出2

然后我们再将等号左边的（a+b）进行展开：222（a+b）=a+2ab+b如果你没有掌握乘法公式的话：22（a+b）（a+b）=a+ab+ab+b那么你可以像这样，实际计算一下，从而得到确认。2

接下来将展开之后的（a+b）代入到☆号方程式当中去：222a+2ab+b=c+2ab

从而最终得出：222a+b=c

至此，勾股定理的验证就完成了。

怎么样？现在是不是感觉到心情舒畅？至此，你有没有感觉到，勾股定理不仅仅只是一个单纯的定理，还包含了很多的意思。与此同时，我们也感受到了最初的那个拼接图形的巧妙，顺便还复习了一下乘法公式。

不管怎么说，用面积来验证关于边长的定理，这不失为一种奇思妙想。我们可以看到，在勾股定理的方程式当中出现了三个平方，而平方，就是相同的两个数字相乘，从而得出的积（乘法运算）。也就是说，通过对这个定理的验证，我们可以知道用乘法运算来得出面积。

实际上，对勾股定理的验证，有100种以上的方法。【介绍勾股定理验证方法的网页】PythagoreanTheoremHttp://www.cut-the-knot.org/pythagoras/

在这个网页当中，还有很多验证的方法，都会让你不由自主的发出感慨：“原来还可以想到这么多啊！”

虽然我有把这些验证方法都介绍给大家的冲动，但是这并不是我的主要目的。相对于勾股定理的验证来说，我更想告诉大家的是，通过对定理和公式的验证，能够将那些乏味枯燥的知识变成具有新鲜感，能够带来感动的智慧，从而实现知识的升华。对2次公式的验证

在学生时代，我们学到了许多数学定理和公式。这当中有一些虽然能够背下来，却不能够验证。而其中具有代表性的例子就是2次公式。现在就让我们来试着验算一下2次公式。而在验算之前，先让我们来确认一下2次公式是什么：【2次公式】2当ax+bx+c=0的时候：

如上所述，这就是2次公式。（啊，如果你不记得了也没有关系！）

在验算2次公式之前，我们先来回想一下，2次方程式的运算究竟是怎样的。我们拿2次方程式当中最简单的类型来举例子，比如：

就是最简单的一个2次方程式。我们即使不用任何公式，也能够得出：2

如果我们把ax+bx+c=0按照：

的形式进行变形，那么就应该可以得出：

然而，真的可以得出这样的结果吗？

在变形之前，我先给大家介绍一个非常重要的运算技巧，那就是“平方的转换”。【平方的转换】2把2次方程式ax+bx+c按照22ax+bx+c=a（x+p）+q的方式进行变形，我们将它称之为“平方的转换”。（顺便说一下，“平方”就是“2次方”的意思。）

平方的转换，绝对不是简单的方程式变形就可以完成的，接下来请大家仔细阅读。

首先，让我们来学习一下“平方转换的基本公式”（这个是我自己命名的）。当你把：222（x+m）=x+2xm+m

当中的m进行移项，就可以得出“平方转换的基本算式”。【平方转换的基本公式】

例）2

接下来，我们就用“平方转换的基本公式”对ax+bx+c进行平方的转换。【平方的转换】

这样一来平方的转换就搞定了！

肯定有人会觉得，这真的是太难了。就像我之前所说的那样，这绝不是简单的变形，因此，在一开始的时候，你肯定会感到不知所措（我一开始也这样）。但是无论如何你都要习惯它。

找一张白纸，尽量把这个算式多练习几遍，这只是一个纯粹的技巧，你肯定能掌握的。

回过头来再说，通过上述平方的转换，从而我们得出了2

当ax+bx+c=0的时候：

然后对方程式进行移项，将移到等号右边：

接下来，将等号两边同时除以a，得出：

试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]

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