作者：彭林
出版社：上海社会科学院出版社
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图解名校初中数学压轴题(代数)试读：
思维导图使解数学压轴题不再难
20世纪60年代被誉为“世界大脑先生”的东尼·博赞率先根据大脑自然思维倾向发明了思维导图，极大地改善了人们的思维习惯与学习效果.
人类的大脑分为左脑和右脑. 左脑被称为“学术脑”“抽象脑”；右脑被称为“艺术脑”“创造脑”. 思维导图的精髓是促进人类大脑的左脑和右脑的合理应用，促进大脑的潜能开发，将大脑的思维过程进行可视化的展示，提高自己的思维水平，改变自己的思维方式和思考模式，让自己用一个开放的头脑接受新鲜的事物，让自己的学习、生活更轻松.
目前，在国外教育领域，哈佛大学、剑桥大学的学生都在使用思维导图这项思维工具学习；在新加坡，思维导图已经基本成了中小学生的必修课，用思维导图提升智力、能力，提高思维水平已被越来越多的人认可.《图解名校初中数学压轴题》是北京市“思维导图在初中数学教学中应用”课题组的研究成果之一. 研究表明，在平时的数学学习中，学生更多的是利用“学术脑”进行枯燥、抽象的学习，而实际上，如果能够左脑和右脑共用，充分发挥曲线、图像与枯燥的数据、公式和性质之间的关联，那么学生的数学学习将会“更上一层楼”！
思维导图是一种灵活多变的思维表现形式，它不仅包含丰富的信息量，而且可以长久记忆，因此，在分析和解决数学压轴题时，思维导图能让学生的思路非常清晰. 当学生拿到一道题后，一般有两种思路：一是从结论入手，看结论想需知，逐步向已知靠拢；二是要“发展”已知，从已知想可知，逐步推向未知. 当两者相遇时，便得到解题的思路. 本书以思维导图的形式，将初中阶段出现的各种类型的数学压轴题的解题思路直观形象地展现在学生面前，帮助学生厘清解题思路，将抽象问题具体化，通过渐进有序的训练，逐步形成解决问题的能力及良好的思维品质.
为了达到上述要求，本书精心挑选了典型例题，配以思维导图做详细分析解答；“触类旁通”则要求习题与典型例题之间的匹配一致，重在解题方法的消化与吸收.《图解名校初中数学压轴题》曾在北京市西城区、东城区、海淀区部分学校进行试验，取得了良好的效果，希望这次出版能帮助更多的学生顺利解决数学压轴题，稳步地、愉快地、更加自信地走进数学世界.
数学之美是人们在数学思维活动中的一种体验和感受. 希望使用本书的同学们通过“学数学、做数学、用数学”的活动来体验、探索数学之美吧！彭林第1章有理数【答案链接】图解解题方法
图解典型难题1.1 利用绝对值的意义化简
例 已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图1-1-1所示.图1-1-1
化简：|a-b|+|c-b|-2|c-a|.图解思路规范解答
因为a-b>0，c-b<0，c-a<0，
所以原式=a-b+b-c-2（a-c）=a-c-2a+2c=c-a.解后反思
在进行绝对值化简时，关键是弄清楚绝对值符号里面的代数式的符号. 有的题目可以由条件直接得到，有的题目需要根据条件进行分析和判断. 本题中没有直接告诉绝对值符号中三个代数式的符号，但是我们可以根据所给数轴上各个字母所对应数字的位置判断出结论. 此外，有的题目并不能判断出代数式的符号，此时，就需要我们分类讨论，例如，化简：|x-1|，对于可以取任意数的x，我们可以将其分成x≥1和x<1两种情况，然后分别去掉绝对值符号从而化简.触类旁通
1. 已知有理数a、b在数轴上的位置如图1-1-2所示，化简：|-a|+|b+1|-|a|-|b|.图1-1-2
2. 有理数a、b、c均不为0，且a+b+c=0，设，试求代数式x19+99x+2010的值.
3. 化简：|x+5|+|2x-3|.1.2 利用绝对值的非负性求最值
例 当x=_____时，6-|x+1|取得最大值，最大值为_____.图解思路规范解答
因为|x+1|≥0，
所以当x=-1时，|x+1|取得最小值0.
所以当x=-1时，6-|x+1|取得最大值6.解后反思
绝对值的概念是非常特殊的. 这是因为绝对值表示数轴上的一段距离，因此任何数、任何式子的绝对值都是非负的. 也就是说，如果没有其他条件限制，|a|的最小值为0，当且仅当a=0. 事实上，利用绝对值的非负性还可以处理其他的问题，比如：若|x+3|+（y-1）2=0，求y-x的值.触类旁通
1. 当x=_____时，|2x-1|取得最小值，最小值为_____.
2. 当x=_____时，-|2x-1|-3取得最大值，最大值为_____.1.3 利用绝对值的几何意义求最值
例（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|.
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，
如图1-3-1，|AB|=|OB|=|b|=|a-b|.图1-3-1
当A、B两点都不在原点时，
①如图1-3-2，点A、B都在原点的右边，
|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|；图1-3-2
②如图1-3-3，点A、B都在原点的左边，
|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-（-a）=|a-b|；图1-3-3
③如图1-3-4，点A、B在原点的两边，
|AB|=|OB|+|OA|=|a|+|b|=a+（-b）=|a-b|.图1-3-4（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是_____，数轴上表示-2和-5两点之间的距离是_____，数轴上表示1和-3两点之间的距离是_____.
②当代数式|x+1|+|x-2|取最小值时，相应的x的范围是_____，此时代数式|x+1|+|x-2|的值是_____.图解思路规范解答（2）①3，3，4
②当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|有最小值，为3.解后反思
明白这个道理，就可以处理数轴上两个点之间距离的很多问题了. 比如，像本题第（2）①问，求数轴上两个点之间的距离. 还可以利用一个数和距离，求出另一个数. 更为重要也是稍显困难的是，对数轴上表示x的点，要有分类意识. 本题中已经存在表示-1和2的两个点了，因此，要把表示x的点不重不漏地分成三类. 推而广之，如果已经存在三个点，那么就需要把情况分成四种了.触类旁通
1. 定义：数轴上表示数a和数b的两点A和B之间的距离是|a-b|. 完成下列问题：（1）数轴上表示x和-4的两点A和B之间的距离是_____，如果|AB|=2，那么x为_____.（2）利用数轴以及上述定义，可得式子|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值是_____.（3）利用数轴以及上述定义，可得式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x+1|的最小值是_____.（4）拓展：当x=_____时，式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2014|+|x-2015|的值最小，最小值是_____.
2. 若x≤1，求|x-1|-|x+3|的最大值和最小值.
3. 已知0≤a≤4，求|a-2|+|3-a|的最大值.1.4 有理数运算
例 计算：图解思路规范解答解后反思
对于有理数的运算，不管是加减法、乘除法还是乘方，首先要关注符号、确定符号. 这是初一有理数运算与小学运算的主要区别. 其次，对于高次运算，大多数需要简便方法. 所以，运算之前先观察，确定好运算顺序和方法，充分考虑交换律、结合律、分配律等运算律的可行性. 这样，对看似困难的问题也会迎刃而解.触类旁通
1. 计算：4100×（-0.25）101.
2. 计算：1.5 探索规律
例 定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，-1的差倒数是. 已知，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，依此类推，则a2014=_____.图解思路规范解答
由利用差倒数计算可得：
所以，三个数为一个循环. 而2014÷3，商671余1，
所以，第2014个数和第1个数相同，为解后反思
对于类似上述探索规律的问题，首先要根据要求耐心进行计算. 只要计算正确，一定会发现循环的情况. 接下来，只要我们做一个除法，看一看商几余几，判断出是第几个循环当中的第几个数即可.触类旁通
1. 下面两个多位数1248624…、6248624…，都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位；对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的. 当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是（ ）.A. 495B. 497C. 501D. 503
2. 下面是按一定规律排列的一列数：
那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）.A. 第10个数B. 第11个数C. 第12个数D. 第13个数第2章整式加减【答案链接】图解解题方法
图解典型难题2.1 利用同类项的概念计算
例 若单项式与-2am+3bn-3的和是一个单项式，则m+n=_____.图解思路规范解答
因为与-2am+3bn-3的和是一个单项式，
所以与-2am+3bn-3是同类项.
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]