作者：姜书艳
出版社：电子工业出版社
格式: AZW3, DOCX, EPUB, MOBI, PDF, TXT
数字逻辑设计及应用知识要点与习题解析(中英文版)试读：
前言
本书是为配合《数字设计——原理与实践（第4版）》（John F.Wakerly，林生 等译，2007）、《数字设计——原理与实践（第4版，影印版）》（John F.Wakerly，2007）或《数字逻辑设计及应用》（双语教材，姜书艳主编，2014）的使用而编写的配套学习指导与习题集。编者根据数字电路课程教学实践和课程教学的基本要求，对教材内容进行了归纳、总结和提炼。希望本书能够帮助学生把握课程内容的重点、难点，从而提高分析问题、解决问题的能力。
由于电路基础课程内容比较抽象，加之理论性、系统性、灵活性较强，所以许多初学者感到较难理解和掌握。特别是随着电路技术的发展，电路功能日益复杂，新型器件不断产生，相应的电路分析方法和手段也在不断演变和发展，因此，为了保证本课程的教学质量，在教师提高教学水平的同时，学生有必要完成适当的课外作业，同时加强实践性环节的训练。
本书共8章，依次对应教材中的数制与编码、逻辑代数基础、逻辑门电路、组合逻辑设计原理、组合逻辑设计实践、存储电路、时序逻辑设计原理、时序逻辑设计实践等内容。每章包括六方面内容：知识要点、典型例题解析、习题、习题解答、Exercises和Exercises Solutions。知识要点通过总结各章的知识点，形成学习要点；典型例题解析针对各章的重点和难点内容引出的例题，进行详细分析，加强学生对重点、难点内容的理解；习题和习题解答为了适应不同层次同学的需要，采用中英文双语编写，建立与国际学术界交流的平台。这些习题与教材内容紧密配合，深度、广度适中。全英文习题的编写，有助于学生对于英文专业术语的掌握和全英文考试题目的理解。
为适应教学模式、教学方法和手段的改革，本书提供习题参考答案，请登录华信教育资源网（http：//www.hxedu.com.cn）注册下载。另外，本书提供如下的相关学习网站。（1）http：//222.197.183.243/wlxt/course.aspx？courseid=0669：省级精品资源共享课程——数字逻辑设计及应用（2013年）（2）http：//222.197.183.243/wlxt/jingpin.asp？courseid=0170：省级精品课程——数字逻辑设计及应用（2005年）（3）http：//china.xilinx.com/support/university/index.htm：Xilinx的大学计划，提供了大量的产品资料、课程资料以及用于数字设计实验课程的芯片和插件（4）https：//www.aldec.com/en：Aldec的教育计划，提供了Aldec自己的软件包和第三方的兼容工具以及原型系统
本书由姜书艳教授任主编，负责整本书的统审、定稿工作，陈骏莲、廖红舒任副主编，陈骏莲负责中文部分的组织和编写，廖红舒负责英文部分的组织和编写。姜书艳编写了第1、2章和附录A部分，陈骏莲编写了中文部分的第3、4章，廖红舒编写了英文部分的第3、4章，唐军编写了中、英文部分第5章和英文部分第8章，王宏编写了中文部分的第6、7章，付炜编写了英文部分的第6、7章，周建华编写了中文部分的第8章。本书从构思到完成期间，电子科技大学数字逻辑设计及应用课程组的很多老师都参与了编写，几经修订。课程组的陈瑜、金燕华、崔琳莉、赖永秀、陈德军、李春梅、唐普英、曾洁、李军、卢有亮、周鹰、郭磊、廖昌俊、张刚、王振松、李力、兰京川、袁渊等也参与了本书的编写工作，其中，陈瑜老师参与了整本书的讨论与组织工作。电子工业出版社的王羽佳、王晓庆编辑对全书的结构和内容提出了重要的意见，在此一并表示诚挚的感谢！
尽管本书融入了编者长期从事数字电路基础课程教学的经验和体会，但受编者水平及编写时间的限制，书中难免存在不妥和错误之处，恳请读者批评指正。
作 者
2015年5月第1章数制与编码（Number Systems and Codes）一、知识要点
1. 掌握按位计数制（Positional Number System）的概念，以及十进制（Decimal）、二进制（Binary）、八进制（Octal）及十六进制（Hexadecimal）的定义。
2.掌握十进制数、二进制数、八进制数以及十六进制数之间相互转换的方法。
3.掌握非十进制数（无符号）的加减运算方法。
4.掌握有符号的二进制数的构建方法：符号-数值码（原码）（Signed-Magnitude）、二进制补码（Two’s-Complement）、二进制反码（Ones’-Complement）。
5.掌握原码、补码、反码三种编码形式的相互转换。
6.掌握带符号的二进制数的加减方法。
7.掌握BCD码（Binary Codes for Decimal Numbers，BCD）、格雷码（Gray Code）的构建方式以及与二进制数之间的相互转换。二、典型例题解析【例1-1】 以下算术运算在某种进制中是正确的，请确定以下两个运算中的基数分别是多少。
1.23+44+14+32=223 2.302/20=12.1【解题指导】
按位计数制应满足如下公式：，其中，r为基数，d为第i位的数值，D为数值大小。i
所以在解题中，可以设基数为R，然后按照按位计数制的运算法则，将等式展开成R的一元方程的形式，从而解得R的值。【解答】
1.设基数为B，按照按位计数制的运算法则，该等式可以转换成：
可以解得基数为B=5；
2.设基数为B，按照按位计数制的运算法则，该等式可以转换成：
可以解得基数为B=4。【例1-2】 请将22.75分别转换成十六进制数、八进制数和二进10制数。【解题指导】
将十进制数转换成其他进制的数，要分成整数部分和小数部分两个方面进行讨论。
整数部分的转换方法是：若将十进制数转换成N进制数，则需要将该十进制数的整数部分除以N，取其余数，作为转换后N进制数整数部分的最低位；然后将上次除法的商再除以N，再取其余数作为N进制整数部分的次低位；依此类推，一直到除法的商为0为止，整数部分讨论完毕。
小数部分的转换方法是：将该十进制数的小数部分乘以N，取其积的整数部分，作为转换后N进制数小数部分的最高位；然后将乘法后的积的小数部分再乘以N，再取其整数部分，作为N进制数小数部分的次高位；依此类推，一直到乘法的积的小数部分为0，或者达到要讨论的精度为止，小数部分讨论完毕。
该例题中先进行二进制部分的讨论。图1.1中箭头所示方向即是数据读取的方向。图1.1 例1-2求解示意图
所以，22.75 =10110.11。八进制数和十六进制数可以做相同102的讨论，区别在于，将上面讨论中的除数和乘数分别换成8和16即可。
另外，十六进制中的数值0～15分别对应如下：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F。【解答】
22.75 =10110.11 =26.6 =16.C102816【例1-3】 请将十进制数47.39转换成二进制数，要求转换后精10度保留到小数点后3位。【解题指导】
整数部分的讨论方法与【例1-2】相同，下面主要进行小数部分的讨论：
由讨论可知，小数部分的乘积操作最终无法达到0，所以需要保留至所需的精度，即转换成二进制数后保留到小数点后3位。【解答】
47.39 =101111.011102【例1-4】 请将十进制数56.48转换成二进制数，要求转换后精10-2度为ε＜10。【解题指导】
整数部分的讨论方法等同于【例1-2】，下面主要进行小数部分的讨论。
小数部分的乘积操作最终无法达到 0，所以需要保留至所需的精-2-2度。转换成二进制数后精度要求为ε＜10 ，而10是保留到十进制-n-2数的小数点后两位，转换成二进制数后应为ε=2 ＜10 ，n≥7，所以应保留到转换成二进制数后的小数点后7位。【解答】
56.48 =111000.0111101102【例1-5】 请将如下的数转换成十进制数：
1.10110.112.26.673.F4.252816【解题指导】
可以利用公式，将其他进制的数转换成十i进制数。其中，N为待转换进制的基数；N 为第i位的权重；i的取值为[-n，p-1]；b为第i位的值。故以上三个数值的转换可以按如下的方i法进行：43210-1-2
10110.11 =1×2+0×2+1×2+1×2+0×2+1×2+1×2 =22.7521010-1-2
26.67 =2×8+6×8+6×8+7×8 =22.859481010-1-2
F4.25 =15×16+4×16+2×16+5×16 =244.14451610【解答】
1.10110.11 =22.75 2.26.67 =22.8594 3.F4.25 21081016=244.144510【例1-6】 请将二进制数101101.1101转换成八进制数和十六进2制数。【解题指导】
将二进制数转换成八进制数和十六进制数的方法如下。
整数部分的讨论：以二进制数的小数点为分界点，依次向左每3位（4位）二进制数等效为一位八进制数（十六进制数），位数不足的在高位加0；
小数部分的讨论：以二进制数的小数点为分界点，依次向右每3位（4位）二进制数等效为一位八进制数（十六进制数），位数不足的在低位加0。【解答】
101101.1101 =55.64 =2D.D2816【例1-7】 请将33.16转换成十六进制数。8【解题指导】
将一个八进制数转换成一个十六进制数，需要经过两个步骤：第一，先将八进制数转换成二进制数；第二，再将转换后的二进制数转换成十六进制数。
对于第一步的讨论如下：将一个八进制数（十六进制数）转换成二进制数的方法是，每一位八进制数（十六进制数），等效于3位（4位）二进制数。
第二步的讨论等同于【例1-6】中的分析。
所以该题的解答过程如下：33.16 =011011.001110 =1B.388216【解答】
33.16 =1B.38816【例1-8】 请分别写出如下带符号数的二进制8-bit原码、反码和补码。
1.-992.+533.-1284.010101010【解题指导】
对于正数而言，原码、补码、反码3种编码的形式相同，都是符号位（MSB）“0”加上数值位。其中，数值位大小等于该数的绝对值大小。
对于负数而言，原码、补码、反码3种编码的构建方法不同。原码是符号位“1”加上数值位，数值位的大小等于该数的绝对值大小；反码是符号位“1”加上数值位，数值位为原码数值位的逐位取反；补码是符号位“1”加上数值位，数值位为反码数值位的末位+1。
-99 ，其原码为11100011，其中MSB（最高有效位）“1”为符10号位，表示负号，后面的1100011为数值位，其值大小为99；反码为10011100，MSB仍为符号位，数值位则是原码数值位的逐位取反；补码则是在反码的基础上在末位+1而得到的，即为10011101；
+53的原码、补码、反码3种编码相同，都是符号位“0”，加10上数值位0110101（其值为53），故3种编码都为00110101。数值位和符号位要凑足题目要求的8位；
-128的原码和反码都超出了8-bit的计数范围[-127，+127]，故10无法表示。但是在补码的计数范围[-128，+127]之内。其构建方法可n-1以根据补码的性质来决定。补码的符号位可以看成是-2的权重，其中，n为补码的位数，该题中为8。所以-128的数值为0，即其补码10为10000000；
0的原码和反码都有+0和-0之分，补码则统一为00000000。10【解答】
1.-99 =11100011 =10011100 =1001110110原码反码补码
2.+53 =00110101 =00110101 =0011010110原码反码补码
3.-128=10000000（原码和反码超出了计数范围）10补码
4.0 =00000000（10000000）=0000000010原码原码反码（11111111）=00000000反码补码【例1-9】 一个二进制数的补码是10110，请问其8-bit二进制补码补码是多少？【解题指导】
10110为5-bit的二进制补码，若要将其扩展到8位，则需先将补码其变成5-bit的原码，为11010。注意，一个负数从补码到原码的原码转变过程与从原码到补码的过程一样，都是“符号位不变，数值位取反加1”。由于原码的数值位大小为该数的绝对值，故可以在高位加0，不会改变其值。所以可以在原码的高位补0，使其达到8-bit，为10001010，再将其变成补码，方法参考【例1-8】，为11110110原码补。码【解答】
10110=11110110补码补码【例1-10】 数A的补码为11111001，数B的补码为11010101，数C的补码为01111101，请完成如下的计算，并讨论是否溢出。
1.-A-B 2.-A+B 3.A-C【解题指导】
带符号的二进制数运算为二进制补码运算，即满足如下的关系：
[和] =[被加数]+[加数]，被加数、加数、和都为补码。补码补码补码
[-A-B]=[-A]+[-B]，已知A的补码，求-A的补码可以分成补码补码补码两步：第一，A的符号位取反；第二，A的数值位取反加1。所以该题中[-A]=00000111；同理，[-B] =00101011。所以[-A-B]补码补码补码=00000111+00101011，二进制加法的规则为逢二进一，故最终的结果为[-A-B] =00110010。补码
溢出判定有两个原则：第一，如果两个符号相异的两个数相加，则不会溢出；第二，如果两个同符号的数相加，其最高有效位的进位输出和进位输入不等，则溢出；第 1 小题中[-A-B]补码=00000111+00101011为两个同符号的数相加，但是，最高有效位的进位输入和进位输出都为0，故无溢出发生；
[-A+B] =[-A]+[B]=00000111+11010101=11011100，其补码补码补码溢出判定属于第一种情况，故无溢出发生；
[A-C] =[A]+[-C]=11111001+10000011=01111100，其补码补码补码最高有效位的进位输入为0，进位输出为 1，故有溢出。另外，该小题中两个负数相加，和为正数，结果显然不正确，亦可推断出存在溢出。【解答】
1.[-A-B]=00110010无溢出 2.[-A+B] =11011100无溢出补码补码
3.[A-C] =01111100有溢出补码【例1-11】 请分别写出以下各数的8421BCD码、2421BCD码、余3码及格雷码。
1.792.11011013.FF10216【解题指导】
8421BCD码、2421BCD码和余3码都是BCD码，即十进制编码。每个编码表示一位（0～9）的十进制数。故如果要转换成以上的形式，必须先将数字转换成十进制数。其中，8421和2421为该种编码形式的各位上的权重，其具体编码形式参见教材。余3码是在8421BCD码的基础之上加0011而得到的。
格雷码的变化规则如下：
假设一个数用n位二进制表示为（bb…bb） ，其格雷码n-1n-2102为（gg…gg） ，二者关系为n-1n-210gray
或者，（b b⊕b…b⊕b …b⊕b b⊕b ） ，其中bn-1n-1n-2mm-12110graym为第m位的二进制数。
下面分别对几个小题进行讨论：【解答】三、习题【习题1-1】 分别进行如下数制转换。
1.(120) =() 2.(39) =() 3.(97) =()102107616-2【习题1-2】 分别进行如下数制转换，要求转换误差ε＜10。
1.(22.37) =() 2.(35.49) =() 3.(16.68) =()1021061016【习题1-3】 分别写出如下十进制数对应的二进制数、八进制数、十六进制数。
1.(28.5) 2.(38.75) 3.(7.125)101010【习题1-4】 分别写出如下符号数的8-bit二进制原码、反码和补码。
1.(+45) 2.(-37) 3.(-47)101010【习题1-5】 分别写出如下符号数的二进制原码、反码和补码。
1.(+17.5) 2.(-12.75) 3.(-9.25)101010【习题1-6】 填空。
1.某十进制数的等值二进制数的原码、补码、反码（顺序不定）为10010101、11101010、10010110，其中，10010101 表示（）码，11101010 表示（）码，10010110 表示 （）码。
2.已知某数的反码是1010101，则该数对应的原码是（），补码是（）。
3.已知10011101、11100010、10011110为某二进制数的原码、反码、补码（顺序不定），则其中（）是原码，（）是反码，（）是补码。【习题1-7】 填空。
1.(F6.A) =() =() =()161088421BCD
2.（B2.8） =（） =（） =（）1682余3码
3.（102） =（） =（） =（）8210格雷码【习题1-8】 选择。
1.（36.7）的5121BCD码是（）。10
A.01101001.1010 B.00111100.1110
C.00110110.0111 D.00110110.1110
2.十进制数（726）的2421BCD码是（）10
A.(110100101100) B.(011110000110) 2421BCD2421BCD
C.(110110000110) D.(011100100110) 2421BCD2421BCD【习题1-9】 试用8位二进制补码完成下列十进制数的运算。
1.(+78)+(+35)2.(-56)-(41)3.(-81)+(-49)101010101010
4.(-93)+(+49)5.(+67)+(+72)10101010【习题1-10】 设A=-（27.625） ，B=+（20） ，求：1010
1.（A）2.（B）3.（A×B）4.（A+B）5.（A-B）补补补补补【习题1-11】 已知浮点数1011 1101 0100 0000 0000 0000 0000 0000 的第1位是符号位，第2～9位是阶码，其余位为尾数，试求其对应的十进制数。四、习题解答【习题1-1】 分别进行如下数制转换。【解答】
1.(120) =(1111000)2.(39) =(54) 3.(97) =(61) =(3D)10210761016-2【习题1-2】 分别进行如下数制转换，要求转换误差ε＜10。【解答】
1.(22.37) =(00010110.0101111)2.(35.49) =(55.253)102106
3.(16.68) =(10.AE)1016【习题1-3】 分别写出如下十进制数对应的二进制数、八进制数、十六进制数。【解答】
1.(28.5) =(11100.1) =(34.4) =(1C.8) =(0010 1028161000.0101)8421BCD
2.(38.75) =(100110.11) =(46.6) =(26.C)102816
=(0011 1000.0111 0101)8421BCD
3.(7.125) =(111.001) =(7.1) =(7.2) =(0111.0001 0010 1028160101)8421BCD【习题1-4】 分别写出如下符号数的8-bit二进制原码、反码和补码。【解答】
1.（+45） =（00101101） =（00101101） 10原码反码=（00101101）补码
2.（-37） =（10100101） =（11011010） 10原码反码=（11011011）补码
3.（-47） =（10101111） =（11010000） 10原码反码=（11010001）补码【习题1-5】 分别写出如下符号数的二进制原码、反码和补码。【解答】
1.（+17.5） =（010001.10） =（010001.10） 10原码反码=（010001.10）补码
2.（-12.75） =（101100.11） =（110011.00） 10原码反码=（110011.01）补码
3.（-9.25） =（101001.01） =（110110.10） 10原码反码=（110110.11）补码【习题1-6】 填空。【解答】
1.反，原，补 2.1101010，1010110 3.11100010，10011101，10011110【习题1-7】 填空。【解答】【习题1-8】 选择。【解答】
1.A 2.A【习题1-9】 试用8位二进制补码完成下列十进制数的运算。【解答】【习题1-10】 设A=-（27.625） ，B=+（20） ，求：1010【解答】
1.（A）=100100.011 2.（B）=010100 3.（A×B）补补补=10111010111.1
4.（A+B）=111000.011 5.（A-B）=11010000.011补补【习题1-11】 已知浮点数1011 1101 0100 0000 0000 0000 0000 0000 的第1位是符号位，第2～9位是阶码，其余位为尾数，试求其对应的十进制数。【解答】
1.符号位=1，所以该数为负数；
2.有效数=尾数前面加‘1.’，所以，有效数=1.1；
3.指数=阶码-偏移量127=01111010-01111111=-5；
4.有效数的小数点左移5位，所以，有效数=0.000011；
5.-(0.000011) =-(0.046875).210V.Exercises【Exercise 1-1】 Perform the following number system conversions.
1.(120)=() 2.(39)=() 3.(97)=() 102107616【Exercise 1-2】 Convert the following decimal numbers,keeping -2the conversion errorεsmaller than 10.
1.(22.37)=() 2.(35.49)=() 3.(16.68)=() 1021061016【Exercise 1-3】 Convert the following decimal numbers into binary,octal and hexadecimal.
1.(28.5) 2.(38.75) 3.(16.125)101010【Exercise 1-4】 Write the 8-bit signed-magnitude,two's complement and ones' complement representations for each of these decimal numbers.
1.(+45)2.(-37)3.(-47)101010【Exercise 1-5】 Write the 8-bit signed-magnitude,two's complement and ones' complement representations for each of these decimal numbers.
1.(+17.5)2.(-12.75)3.(-9.25)101010【Exercise 1-6】 Fill in the blanks.
1.Knowing that the equivalent signed-magnitude,two's complement and ones' complement codes (the order is not sure) of a decimal numbers are 10010101,11101010 and 10010110,then 10010101 is ()representation,11101010 is()representation,10010110 is()representation.
2.Knowing that the two's complement of one number is 1010101,then the corresponding signed-magnitude is(),and the two's complement is().
3.Knowing that(10011101),(11100010) and (10011110)are the signed-magnitude,two's complement and ones' complement represents (the order is not sure),then ()is the signed-magnitude,()is two's complement,and()is ones' complement.【Exercise 1-7】 Fill in the blanks
1.(F6.A)=() =()=()161088421BCD
2.（B2.5）=（）=（）=（） 1682余3码
3.（102）=（）=（）=（） 8210格雷码【Exercise 1-8】 Choose the correct answer.
1.The 5121BCD code of (36.7) is().10
A.00110110.0111 B.00111100.1110
C.01101001.1010 D.00110110.1110
2.The 2421BCD code of the decimal digit is ()
A.(110100101100) B.(011110000110)2421BCD2421BCD
C.(110110000110) D.(011100100110) 2421BCD2421BCD【Exercise 1-9】 Add the following pairs of decimal numbers with the corresponding 8-bit two's complement represents,indicating whether or not overflow occurs.
1.(+78)+(+35)2.(-56)-(41)3.(-81)+(-49)101010101010
4.(-93)+(+49)5.(+67)+(+72)10101010【Exercise 1-10】Suppose that A=-(27.625) and B=+(20) 10.Then finish the following computation.10
1.(A) 2.(B) 3.(A×B) two's complementtwo's complementtwo's complement
4.(A+B) 5.(A-B) two's complementtwo's complement【Exercise 1-11】 Knowing that the floating-point digital 1011 1101 0100 0000 0000 0000 0000 0000 represents 1 sign bit in the beginning,8 exponent bits in the middle,and 23 mantissa bits in the end.Convert this floating-point binary into decimal.Ⅵ.Exercises Solutions【Exercise 1-1】 Perform the following number system conversions.【Solution】
1.(120)=(1111000) 2.(39)=(54) 3.(97)=(61) =(3D) 10210761016【Exercise 1-2】 Convert the following decimal numbers,keeping -2the conversion errorεsmaller than 10.【Solution】
1.(22.37)=(00010110.0101111) 2.(35.49)=(55.253) 3.102106(16.68)=(10.AE)1016【Exercise 1-3】 Convert the following decimal numbers into binary,octal and hexadecimal.【Solution】
1.（28.5）=（11100.1）=（34.4）=（1C.8）=（0010 1028161000.0101）8421BCD码
2.（38.75）=（100110.11）=（46.6）=（26.C）=（0011 1028161000.0111 0101）8421BCD码
3.（7.125）=（111.001）=（7.1）=（7.2）1028=（0111.000100100101）168421BCD码【Exercise 1-4】 Write the 8-bit signed-magnitude,two's complement and ones' complement representations for each of these decimal numbers.【Solution】
1.(+45)=(00101101) =(00101101) 10signed-magnitude=(00101101) ones'complementtwo'scomplement
2.(-37)=(10100101)=(11011010)10signed-magnitudeones' =(11011011)complementtwo's complement
3.(-47)=(10101111)=(11010000)10signed-magnitudeones' =(11010001)complementtwo's complement【Exercise 1-5】 Write the 8-bit signed-magnitude,two's complement and ones' complement representations for each of these decimal numbers.【Solution】
1.(+17.5)=(010001.10)=(010001.10signed-magnitude10)=(010001.10)ones'complementtwo'scomplement
2.(-12.75)=(101100.11)=(110011.00)10signed-magnitudeones' =(110011.01)complementtwo's complement
3.(-9.25)=(101001.01)=(110110.10)10signed-magnitudeones' =(110110.11)complementtwo's complement【Exercise 1-6】 Fill in the blanks.
1.Knowing that the equivalent signed-magnitude,two's complement and ones' complement codes (the order is not sure) of a decimal numbers are 10010101,11101010 and 10010110,then 10010101 is ()representation,11101010 is()representation,10010110 is()representation.
2.Knowing that the two's complement of one number is 1010101,then the corresponding signed-magnitude is(),and the two's complement is().
3.Knowing that(10011101),(11100010) and (10011110)are the signed-magnitude,two's complement and ones' complement represents (the order is not sure),then ()is the signed-magnitude,()is two's complement,and()is ones' complement.【Solution】
1.two's complement,signed-magnitude and ones' complement
2.1101010,1010110 3.11100010,10011101,10011110【Exercise 1-7】 Fill in the blanks.【Solution】
1.(F6.A)=(246.625) =(366.5)=(001001000110.16108011000100101)8421BCD
2.(B2.8)=(262.4)=(178.5)=(010010101011.1000) 16810Excess-3code
3.(102)=(001000010)=(66)=(001100011) 8210Graycode【Exercise 1-8】 Choose the correct answer.【Solution】
1.C 2.A【Exercise 1-9】 Add the following pairs of decimal numbers with the corresponding 8-bit two's complement represents,indicating whether or not overflow occurs.【Solution】【Exercise 1-10】 Suppose that A=-(27.625) and B=+(20) 10.Then finish the following computation.10【Solution】
1.(A) =100100.011 2.(B) =010100two'scomplementtwo'scomplement
3.(A×B) =1011101011.1 4.(A+B) two'scomplement=1000.011two'scomplement
5.(A-B) =1010000.011two's complement【Exercise 1-11】 Knowing that the floating-point digital 1011 1101 0100 0000 0000 0000 0000 0000 represents 1 sign bit in the beginning,8 exponent bits in the middle,and 23 mantissa bits in the end.Convert this floating-point binary into decimal.【Solution】
1.Sign=1 → it is negative
2.index=01111010--01111111 → index=-5
3.Terminal=0.100 0000 0000 0000 0000 0000+1 → terminal=1.1
4.real number=move the radix point of the terminal number to the left for five bits → real number=-0.000011
5.decimal=-(0.046875)10第2章逻辑代数基础（Basis of Logic Algebra）一、知识要点
1.逻辑代数中的3种基本逻辑运算（与（AND）、或（OR）、非（NOT））及其复合逻辑运算（与非（NAND）、或非（NOR）、与或非（AND-OR-INVERT）、异或（Exclusive-OR，XOR）、同或（Exclusive-NOR，XNOR））。
2.逻辑代数中的公理和4个基本定理（代入（Substitution）定理、反演（Complement）定理、对偶（Duality）定理、香农展开（Shannon′s Expansion）定理））。
3.逻辑函数的表示方法（真值表（Truth Table）、逻辑表达式（Logic Expression）、卡诺图（Karrnaugh Map）、逻辑图（Logic Diagram）、定时图（Timing Diagram））。
4.逻辑函数两种标准的表达形式：积之和（与或）（Sum-of-Product，SOP）标准式，标准和（Canonical Sum），和之积（或与）（Product-of-Sum，POS）标准式，标准积（Canonical Product）及其相互转换。
5.最小项（Minterm）和最大项（Maxterm）的概念、性质及其相互关系。
6.逻辑函数的最简形式（Minimization Form）：最简积之和式（Minimal Sum）、最简和之积式（Minimal Product）。
7.逻辑函数的公式（Formula）化简法和卡诺图化简法（变量数不大于5），包括含有无关项（Don′t Care Term）（约束项（Constrain Term）、任意项（Arbitrary Term））的逻辑函数的化简。
8.逻辑函数最简形式的意义，无关项（约束项、任意项）的概念。
9.一些简单的多输出逻辑函数的卡诺图化简法。
10.逻辑函数的变换，即根据小规模标准门（SSI）电路器件的类型，将最简的与或式变换成与非-与非式（NAND-NAND），或者把最简的或与式变换成或非-或非式（NOR-NOR）。二、典型例题解析【例2-1】 求下列逻辑函数的对偶式（Duality function）。
(1) F=((A+D)′(B′C)′)′+AB (2) Y=∑m(0,1,2,3,5,6,9,12,13,15)【解题指导】（1）式为复合逻辑函数，可采用对偶规则求出其对偶式。对偶规则如下：
① 将逻辑函数表达式中的“·”换成“+”，“+”换成“·”，0换成1，1换成0，原变量、反变量不进行变换。
② 保持原先逻辑函数运算的优先级，即“先括号，然后与，最后或”。
③ 跨在多个变量上的大非号应保留不变。（2）式为最小项表达式，则对偶式Y是与其项数相同的最大项d表达式；若Y中某个最小项的标号为i，则Y中必有一个标号为dn[（2-1）-i]的最大项（n为逻辑变量个数）与此对应。【解答】（1）为了正确地使用对偶规则，可以适当地加括号保持原先运算的优先级。
(2) Y=∏M(0,2,3,6,9,10,12,13,14,15)=∏m(1,4,5,7,8,11)d【例2-2】 求下列逻辑函数的反函数。
(1) F=((A+C)′((BC)′+D))′(B+C)+AD
(2) Y=∑m(0,2,4,6,8,10,12,14)【解题指导】（1）式为复合逻辑函数，可采用反演规则求出其反函数。反演规则如下：
① 对表达式进行对偶变换；
② 逐个变量取非；
③ 为了简便，可以将带括号的非运算看成一个整体，来进行操作。（2）非运算即是将输出取反的过程，即原来输出为1，非运算操作后输出便为0，反之亦然。所以对于最小项列表而言，其逻辑非运算等于标号相同的最大项列表，或者原先逻辑函数中输出为0的最小项列表。【解答】（1）为了正确地使用反演规则，可以适当地加括号保持原先运算的优先级。另外一点需要注意的是，单个变量上的非号要去掉（即反变量变原变量），表达式上的非号保持不变，例如，（A+C）′、（BC）′和（（A+C）′（（BC）′+D）′上的非号不能动。
或者将式中的（（A+C）′（（BC）′+D））′看成一个整体，则变换过程中可以直接将其括号外的非号去掉，其余部分遵循反演法则。
上式还可以进一步进行处理，此处不再赘述。
(2)Y′=∏M(0,2,4,6,8,10.12.14)=∑m(1,3,5,7,9,11,13,15)【例2-3】 用公式化简逻辑函数F=（A′B′+A′B+AB′）（A′C+B′C+AB）。【解题指导】
用公式化简逻辑函数，实质上就是利用逻辑代数的基本公式和规则，消去逻辑函数式中多余的项和每一项中的多余因子，以求得逻辑函数式的最简形式。常用的方法主要有以下几种。
① 并项法（Combining）：XY+XY′=X，（X+Y）（X+Y′）=X；
② 吸收法（Covering）：X+XY=X，X（X+Y）=X；
③ 消项法（Removing Term）：XY+X′Z+YZ+…=XY+X′Z，式中的省略号表示与第3项相与任意其他逻辑变量，（X+Y）（X′+Z）（Y+Z+…）=（X+Y）（X′+Z）；
④ 消因子法（Removing Literal）：X+X′Y=X+Y，X（X′+Y）=XY；
⑤ 配项法（Addition Term）：X+X+…=X，式中的省略号表示加入任意多的 X 变量，X.X.…=X；X+X′=1，X.X′=0；1+X=1，0.X=0。
以上各式都成对出现，满足对偶定理。
在化简复杂的逻辑函数时，往往需要灵活、交替地运用上述方法，才能得到较好的结果。【解答】【例2-4】 化简逻辑函数Y为：（1）最简或与式；（2）最简或非-或非式；
Y(A,B,C,D)=(A+B+D)(A+B′+D)(A+B+D′)(A′+C+D)(A′+C+D′)【解题指导】
巧用对偶定理可方便地将或与式化简成最简或与式或者最简或非-或非式。【解答】（1）求逻辑函数Y的对偶式Y，即Y =ABD+AB′D+ABD′+A′CDdd+A′CD′。
利用配项法和并项法可得：
求Y的对偶式（Y），即逻辑函数Y：ddd（2）可以通过对或与关系式两次取非来实现或非-或非表达式，如下：
最外面的非号不变，对里面的非号按照反演法则进行变换。强调——每个或项必须看成一个整体来进行反演处理。上式即为逻辑Y的最简或非-或非表达式。【例2-5】 试将下列逻辑函数化为最简与或式。
(1) F=A′B′+AC+C′D+B′C′D′+BC′E+B′CG′+B′CF1
(2) F =((AB)′(C+D)(D′+E))′BD2【解题指导】
如果要化简的逻辑函数变量较多，也比较复杂，这时可以利用香农展开定理及其推论对逻辑函数进行化简。
香农展开定理：
① F(x ,x ,…,x )=x .F(1,x ,…,x )+x′.F(0,x ,…,x )12n12n12n
② F(x,x,…,x)=[x+F(0,x,…,x)][x′+F(1,x,…,x)]12n12n12n
推论：
(i)x.F(x,x,…,x)=x.F(1,x,…,x)112n12n
(ii)x+F(x,x,…,x)=x+F(0,x,…,x)112n12n
(iii)x′.F(x,x,…,x)=x′.F(0,x,…,x)112n12n
(iv)x′+F(x,x,…,x)=x′+F(1,x,…,x)112n12n【解答】（1）利用香农展开定理化简函数F：1（2）利用香农展开定理推论化简函数F：2【例2-6】 试用公式法证明下列关系成立：
(1) XX⊕X′X=XX+X′X;12131213（2）若X+X =1，则有X⊕X =（XX ）′；121212（3）若X .X =0，则有X⊕X =X+X ；121212
(4) ((X⊕X )⊕(XX ))′=X′X′.121212【解题指导】
逻辑等式证明常用以下方法。
① 真值表法：列出等式两边逻辑表达式的真值表，若两个真值表相同，则等式成立。
② 对偶定理法：等式两边的对偶式仍相等。
③ 代入定理法：等式两边的同一变量若用同一函数代替，等式仍成立。
④ 公式法：利用逻辑代数中的定理和规则，将等式两边化成相同的形式，则等式成立。【解答】
利用公式X+Y=X⊕Y⊕XY及异或运算的线性关系，则有X⊕Y=（X+Y）⊕XY；另外还有如下关系：X⊕1=X′，X⊕0=X。
证明：【例2-7】 用卡诺图将下列逻辑函数化简为最简的与或式和或与式。
(1)F(A,B,C,D)=∑m(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14)
(2) F(A,B,C,D)=∑m(0,4,7,11,15)+∑d(1,5,8,9,10,12,13,14)
(3) F(A,B,C,D)=∏M(2,6,7,10,12).∏d(3,4,11)【解题指导】
卡诺图化简可用圈1法，也可用圈0法。若要求化为与或式或者与非-与非式时，用圈1法方便；若要求化为或与式、与或非式或者或非-或非式时，用圈0法更方便。其圈法规则如下。i
① 圈中所包含相邻的“1”单元格或“0”单元格个数应为2 （i=0，1，2，3，…）——保证单元格为与项或者为或项。
② 对于圈“1”圈而言，圈子必须为当前位置中最大的圈——保证所得的与项都是主蕴含项；圈子越大，则乘积项中的变量数越少，所需与门的输入端就越少，成本越低。圈“0”圈与之类同。
③ 对于圈“1”圈而言，所画的圈子必须涵盖所有的1——保证逻辑完整；圈“0”圈与之类同。
④ 对于每个“1”圈而言，“1”单元格可以重复利用（为多个圈公用），但是每个主蕴含项圈（此位置最大圈）中至少有一个“1”单元格为其所独有，否则，该“1”圈可以省略——以此避免逻辑重复。这是逻辑最简、成本最小的前提。圈“0”圈与之类同。
⑤ 对于每个“1”圈而言，最后检查当前是否是圈数最少的画法。多余的圈子将在电路中增加与门和或门的输入端，引入不必要的成本。圈“0”圈与之类同。
⑥ 对于每个“1”圈而言，画圈的顺序一般如下：先找到奇异“1”单元格（只为一个蕴含项圈所独有的“1”单元格），并将其所对应的质主蕴含项圈（含奇异“1”单元格的主蕴含项圈）画出；再统筹剩余未圈的“1”单元格，以圈子最少的原则，构建主蕴含项圈。直至所有的“1”单元格都被涵盖为止；如果卡诺图中不存在奇异“1”单元格，则直接采用第④和第⑤步的原则来构建主蕴含项圈。圈“0”圈与之类同。
⑦ 卡诺图化简所得到的关系式并不唯一，但是所得的文字数应该是相同的。
有关无关项的逻辑的卡诺图圈圈法则：对于无关项“d”，既可看作“1”，也可看作“0”，其取值（是在圈内还是圈外）完全取决于逻辑化简的需要。“d”可以在圈内，也可以在圈外，也可以重复使用，不影响其该逻辑的完整。【解答】（1）图2.1 例2-7（1）圈1法
在卡诺图中用“1”圈组，由于圈法不唯一，可得到4种等效的最简与或式。图2.2 例2-7（1）圈0法图2.3 例2-7（2）圈1法
在卡诺图中用“0”圈组，由于圈法唯一，可得到唯一的最简或与式。（2）在卡诺图中用“1”圈组，由于圈法唯一，可得到唯一的最简与或式。图2.4 例2-7（2）圈0法
在卡诺图中用“0”圈组，由于圈法不唯一，可得到两种等效的最简或与式。
以上两个最简的逻辑表达式，虽然对“d”单元格的逻辑确认有所不同，但是所有明确的“1”和“0”的确认是完全相同的，所以根据无关项的处理原则，两个逻辑是相同的。
(3)图2.5 例2-7（3）
在卡诺图中用“1”圈组，由于圈法唯一，可得到唯一的最简与或式。
在卡诺图中用“0”圈组，由于圈法唯一，可得到唯一的最简或与式。【例2-8】 化简下列5变量逻辑函数。
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