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孙训方《材料力学》（第5版）笔记和课后习题（含考研真题）详解试读：
第1章 绪论及基本概念
1.1 复习笔记
一、概述
1对构件正常工作的要求（1）具有足够的强度：在荷载作用下，构件应不至于破坏（断裂或失效）；（2）具有足够的刚度：在荷载作用下，构件所产生的变形应不超过工程上允许的范围；（3）满足稳定性要求：承受荷载作用时，构件在其原有形态下的平衡应保持为稳定的平衡。
2材料力学的主要任务
研究材料及构件在外力作用下所表现的力学性质，为合理设计构件提供有关强度、刚度、稳定性分析的理论和方法。
二、可变形固体的性质及其基本假设（1）可变形固体：制造构件所用的材料均为固体，而且在荷载作用下均将发生变形——包括物体尺寸和形状的改变。（2）基本假设
将可变形固体抽象为理想化的材料进行理论分析，基于以下三个假设：
①连续性假设：物体在其整个体积内连续地充满了物质且毫无空隙；
②均匀性假设：物体内任意一点处取出的体积单元，其力学性能都能代表整个物体的力学性能；
③各向同性假设：材料沿各个方向的力学性能是相同的。
三、杆件变形的基本形式
杆件变形的基本形式有四种：轴向拉伸或轴向压缩、剪切、扭转和弯曲。
1轴向拉伸或轴向压缩
受力特征：受一对其作用线与直杆轴线重合的外力F作用；
直杆的主要变形：轴向长度的改变，如图1-1所示。
图1-1
2剪切
受力特征：受一对相距很近的大小相同、指向相反的横向外力F作用；
直杆的主要变形：横截面沿外力作用方向发生相对错动，如图1-2所示。
图1-2
3扭转
受力特征：受一对转向相反、作用面垂直于直杆轴线的外力偶（其矩为M）作用；e
直杆的主要变形：相邻横截面将绕轴线发生相对转动，杆件表面纵向线将变成螺旋线，而轴线仍维持直线，如图1-3所示。
图1-3
4弯曲
受力特征：受一对转向相反、作用面在杆件的纵向平面（即包含杆轴线在内的平面）内的外力偶（其矩为M）作用；e
直杆的主要变形：相邻横截面绕垂直于杆轴线的轴发生相对转动，变形后的杆件轴线将弯成曲线，如图1-4所示。
图1-4
1.2 课后习题详解
本章无课后习题。
1.3 名校考研真题详解
一、填空题
1强度是指构件抵抗______的能力。[华南理工大学2016研]【答案】破坏
2构件正常工作应满足______、刚度和______的要求，设计构件时，还必须尽可能地合理选用材料和______，以节约资金或减轻构件自重。[华中科技大学2006研]【答案】强度；稳定性；降低材料的消耗量
二、选择题
1材料的力学性能通过（ ）获得。[华南理工大学2016研]
A．理论分析
B．数字计算
C．实验测定
D．数学推导【答案】C
2根据均匀、连续性假设，可以认为（ ）。[北京科技大学2012研]
A．构件内的变形处处相同
B．构件内的位移处处相同
C．构件内的应力处处相同
D．构件内的弹性模量处处相同【答案】C【解析】连续性假设认为组成固体的物质不留空隙地充满固体的体积，均匀性假设认为在固体内到处有相同的力学性能。
3根据小变形假设，可以认为（ ）。[西安交通大学2005研]
A．构件不变形
B．构件不破坏
C．构件仅发生弹性变形
D．构件的变形远小于构件的原始尺寸【答案】D【解析】小变形假设即原始尺寸原理认为无论是变形或因变形引起的位移，都甚小于构件的原始尺寸。
4铸铁的连续、均匀和各向同性假设在（ ）适用。[北京航空航天大学2005研]
A．宏观（远大于晶粒）尺度
B．细观（晶粒）尺度
C．微观（原子）尺度
D．以上三项均不适用【答案】A【解析】组成铸铁的各晶粒之间存在着空隙，并不连续；各晶粒的力学性能是有方向性的。
第2章 轴向拉伸和压缩
2.1 复习笔记
一、轴向拉伸和压缩概述
拉（压）杆是指作用在等直杆上的外力（或外力合力）的作用线与杆轴线重合的杆件。
1拉（压）杆的轴力及轴力图（1）内力：由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间连续分布的内力系的合成。（2）轴力：在外力作用下，杆件任一横截面上的内力，其作用线与杆的轴线重合，用F表示；并规定拉力为正，压力为负。N（3）轴力图的绘制
轴力图是表示轴力与截面位置关系的图线，用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值。习惯上将正值的轴力画在上侧，负值的轴力画在下侧。
2拉（压）杆的应力（1）概念
①应力是受力杆件某一截面上分布内力在一点处的集度。总应力p确切的反映了该点内力分布的强弱，其表达式为：
②正应力：总应力p的法向分量，用σ表示。
③切应力：总应力p的切向分量，用τ表示。（2）横截面上的正应力
根据平面假设，拉杆横截面上的正应力σ呈均匀分布，拉（压）杆横截面上正应力σ的计算公式：σ＝F/A。N
危险截面：应力最大的截面。对于等直杆，危险截面即为轴力最大值所在截面，有：σ＝F/A。maxN，max（3）斜截面上的应力
图2-1
如图2-1所示，等直杆在拉力F作用下，斜截面k-k上的总应力：p＝Fcosα/A＝σcosα；α02
沿斜截面法线方向的正应力：σ＝pcosα＝σcosα；αα0
沿斜截面法线方向的切应力：τ＝psinα＝（σ/2）sin2α。αα0
式中，α为斜截面与横截面的夹角，以横截面外向法线至斜截面外向法线为逆时针转向时为正，反之为负。
根据以上结论可知，正应力和切应力的数值随α角作周期性变化，且：
①当α＝0时，正应力σ＝σ，为最大值；α0
②当α＝45°时，切应力τ＝σ/2，为最大值。α0
二、拉（压）杆的变形与胡克定律
1变形
如图2-2所示拉杆，其纵向变形量和横向缩变形量分别为：Δl＝l1－l，Δd＝d－d1
图2-2
每单位长度的伸长（或缩短）称为线应变，用ε表示。纵向线应变与横向线应变分别为：ε＝∆l/l，ε′＝∆d/d，并规定：伸长时为正，缩短时为负。
拉（压）杆内的应力不超过材料的比例极限时，将横向线应变ε′与纵向线应变ε之比的绝对值称为泊松比，用ν表示，其表达式为：v＝|ε′/ε|。
纵向线应变与横向线应变方向相反，即ε′＝－vε＝－vσ/E。
2胡克定律
胡克定律：杆件内的应力不超过材料的比例极限时，杆的纵向变形量Δl与其所受的外力F、杆的原长l成正比，与其横截面积A成反比，其表达式为∆l＝Fl/EA。N
式中，F为杆件内力，比例常数E为材料的弹性模量，EA称为杆N的拉伸（压缩）刚度。
三、拉压杆的应变能
1基本概念（1）应变能：伴随弹性变形的增减而改变的能量，用V表示。ε（2）应变能密度：单位体积内的应变能，用v表示。ε（3）功能原理：弹性体受静载荷的作用，在弹性体变形的过程中，积蓄在弹性体内的应变能V在数值上等于外力做的功W，即V＝W。εε
2计算公式
杆件受外力F作用，轴力为F，纵向变形为Δl，则积蓄在杆件内N的应变能：22
应变能密度V＝V/V＝（1/2）σε＝σ/2E＝Eε/2εε
注意：上述公式仅在线弹性范围适用。
四、材料拉伸和压缩时的力学性能
1基本概念（1）标准试样：标距l与横截面直径d（圆形截面）或横截面面积A（矩形截面）之比采用标准比例的试样。（2）力学性能：在实验室内所做的材料拉伸或压缩试验，是在室温（或称为常温）条件下按一般的变形速度进行的，得到的材料的力学性能，即为常温、静荷载下材料在拉伸或压缩时的力学性能。
2低碳钢试样的拉伸图及其力学性能
拉伸试样采用圆形截面和矩形截面，标准比例为
l＝10d和l＝5d（圆形截面）和（矩形截面）（1）力学性能
将荷载F除以试样横截面的原面积A，将伸长量Δl除以试样工作段的原长l，所得曲线即与试样的尺寸无关，而可以代表材料的力学性能，称为应力-应变曲线，如图2-3所示。
图2-3
低碳钢的变形过程分为四个阶段，如图2-3所示。
①弹性阶段
如图2-3中所示阶段Ⅰ，试样的变形是弹性变形，满足胡克定律。
a．比例极限：A点是应力与应变符合胡克定律的最高限，比例极限是与之对应的应力，以σ表示；p
b．弹性极限：B点是卸载后不发生塑性变形的极限，弹性极限是与之对应的应力，以σ表示。e
②屈服阶段
如图2-3中阶段Ⅱ，试样的荷载在很小的范围内波动，而其变形却不断增大，即出现屈服现象，试样的变形是塑性变形。
a．上屈服强度：在屈服阶段内，发生屈服应力首次下降前所对应的最高应力（点C），它是不太稳定的；
b．下屈服强度：不计初始瞬时效应时的最低应力（点D），它是稳定的。通常将其称为材料的屈服强度，以σ表示。s
③强化阶段
如图2-3中阶段Ⅲ，试样发生的变形主要是塑性变形，整个试样横向尺寸的缩小较明显。
④局部变形阶段
如图2-3中阶段Ⅳ，该阶段出现“缩颈”现象，横截面面积急剧缩小。（2）性能指标
①衡量材料塑性的指标
断后伸长率：试样的工作段在拉断后标距的残余伸长（l－l）与1原始标距l之比的百分率，表达式为δ＝[（l－l）/l]×100%。1
断面收缩率：试样断裂后横截面面积的最大缩减量（A－A）与1原始横截面面积A之比的百分率，表达式为ψ＝[（A－A）/A]×1100%。
②衡量材料强度的重要指标
屈服极限：材料的下屈服强度，以σ表示；s
强度极限：试样中的名义应力的最大值（图2-3中所示G点），以σ表示。b（3）卸载规律
在强化阶段停止加载，并逐渐卸载，则卸载规律遵循直线关系，该直线bc与弹性阶段内的直线Oa近乎平行，如图2-4所示。
①冷作硬化
对试样预先施加轴向拉力，使之达到强化阶段后卸载。当再加荷载时，试样在线弹性范围内所能承受的最大荷载将提高，而试样所能经受的塑性变形降低。
②冷作时效
试样拉伸至强化阶段后卸载，经过一段时间后再受拉，其比例极限还有所提高的现象，如图2-4中虚线cb′所示。
图2-4
3其他金属材料在拉伸时的力学性能（1）力学性能
①塑性材料：对于没有屈服阶段的塑性材料，将对应于塑性应变σ＝0.2%时的应力定为规定非比例延伸强度，以σ表示，作为衡pp0.2量材料强度的指标。
②脆性材料：衡量脆性材料拉伸强度的唯一指标是材料的抗拉强度σ。b（2）材料分类
根据伸长率δ的不同可分为两类：
①δ＞5%：塑性材料，塑性指标较高，抗拉能力较好，拉伸和压缩时屈服强度基本相同；
②δ＜2%～5%：脆性材料，塑性指标较低，拉伸强度σ远低于b压缩强度σ。c
4金属材料在压缩时的力学性能（1）低碳钢
低碳钢压缩时的弹性模量和屈服极限与拉伸时大致相同，屈服阶段以后，压缩试样的抗压能力随着横截面的增大也继续增高，而拉伸时先增大再减小。（2）铸铁
脆性材料在压缩和拉伸时的力学性能有较大的区别：
①铸铁在压缩时的强度极限和延伸率都较拉伸时大得多，宜做受压构件；
②在拉伸和压缩时弹性阶段均很短，近似服从胡克定律。
五、拉（压）杆的强度计算
1强度计算
拉（压）杆的强度条件：σ＝F/A≤[σ]，式中，[σ]为许用maxN，max应力。
拉（压）杆的强度计算通常是基于上述公式，进行强度校核、截面选择或许可载荷计算。
2安全因数
在静载作用下，塑性材料安全因数n和脆性材料安全因数n的大sb致范围分别为：n＝1.25～1.5，n＝2.5～3.0。sb
3许用应力（1）塑性材料：取屈服强度σ作为σ，对于无明显屈服阶段的塑su性材料，则用σ作为σ，则许用应力：[σ]＝σ/n或[σ]＝σ/n。p0.2ussp0.2s（2）脆性材料：取强度极限σ作为σ，则许用应力：[σ]＝bu[σ（σ）]/n。bbcb
六、应力集中的概念
应力集中：由于杆件截面骤然变化（或几何外形局部不规则）而引起的局部应力骤增现象。
理论应力集中因数K：反映了应力集中的程度，为最大局部应tσ力σ与该截面上视作均匀分布的名义应力σ的比值。maxnom
应当注意：（1）由塑性材料制成的杆件，在静荷载作用下通常不考虑应力集中的影响；（2）对于由脆性材料或者塑性较差的材料制成的杆件，应考虑应力集中的影响，按局部最大应力进行强度计算，但铸铁除外；（3）在动荷载作用下，均需考虑应力集中的影响。
2.2 课后习题详解
2-1 试求图2-5（a）、（b）示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。
图2-5（a）
图2-5（b）
解：（1）使用截面法，沿1-1截面将杆分成两段，取出右段，根据其平衡方程∑F＝0，可得F＝＋2F；同理可以计算2-2截面右xN1段，根据其平衡方程∑F＝0，可得F＝＋F。xN2
轴力图如图2-6（a）所示。
图2-6（a）（2）使用截面法，沿1-1截面将杆分成两段，取出右段，根据其平衡方程∑F＝0，可得F＝＋F；同理可以计算2-2截面右段，根据xN1其平衡方程∑F＝0，可得F＝－2F。xN2
轴力图如图2-6（b）所示。
图2-6（b）
2-2 一打入地基内的木桩如图2-7所示，沿杆轴单位长度的摩擦2力为f＝kx（k为常数），试作木桩的轴力图。
图2-7
解：根据整体平衡方程3
可得常数k＝3F/l。
使用截面法，沿m-m截面将杆分成两段，取其下部分，根据其平衡方程3
可得木桩的轴力F＝－F（x/l）。N1
轴力图略。
2-3 石砌桥墩的墩身高l＝10m，其横截面尺寸如图2-8所示。荷33载F＝1000kN，材料的密度ρ＝2.35×10kg/m。试求墩身底部横截面上的压应力。
图2-8
解：墩身底部截面内的轴力为：2
F＝－（F＋G）＝－F－Alρg＝－1000kN－（3×2＋3.14×1）×N10×2.35×9.8kN＝－3104.942kN2222
墩身横截面面积为：A＝3×2m＋3.14×1m＝9.14m
因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布，且压应力为：2
σ＝F/A＝－3104.942kN/9.14m＝－339.71kPa＝－0.34MPaN
2-4 图2-9为一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个75mm×8mm的等边角钢。已知屋面承受集度为q＝20kN/m的竖直均布荷载。试求拉杆AE和EG横截面上的应力。
图2-9
解：（1）求支反力
由结构的对称性可知：F＝F＝（1/2）ql＝0.5×20×（2×4.37AyBy＋9）＝177.4kN（2）求AE和EG杆的轴力
①用假想的垂直截面把C铰和EG杆同时切断，取左部分为研究对象，其受力图如图2-10（a）所示，由平衡条件：
∑M＝0C
F×（1＋1.2）＋20×（4.37＋4.5）×（8.87/2）－177.4×8.87＝NG0
解得：F＝357.62kN。NG
图2-10（a）
②以节点E为研究对象，其受力图如图2-10（b）所示。
由平衡条件∑F＝0可得：F－Fcosα＝0xNGNA
解得：
图2-10（b）（3）求各拉杆应力
查型钢表得单个75mm×8mm等边角钢的面积为22
A＝11.503cm＝1150.3mm，故32
σ＝F/2A＝（366.86×10N）/（2×1150.3mm）＝159.5MpaAENA32
σ＝F/2A＝（357.62×10N）/（2×1150.3mm）＝155.5MPaEGNG
2-5 图2-11所示拉杆承受轴向拉力F＝10kN，杆的横截面面积A2＝100mm。如以α表示斜截面与横截面的夹角，试求：（1）当α＝0°，30°，－60°时各斜面上的正应力和切应力，并用图表示其方向；（2）拉杆的最大正应力和最大切应力及其作用的截面。
图2-112
解：（1）斜截面上的正应力与切应力为：σ＝σcosα，τ＝α0α（σ/2）sin2α。0
其中，拉杆横截面上的应力2
σ＝F/A＝10000N/100mm＝100MPa，则：0
①当α＝0°时σ＝σ＝100MPa，τ＝00°00°
②当α＝30°时2
σ＝σcos30°＝100×（3/4）＝75MPa，τ＝（σ/2）sin（230°030°0×30°）＝43.3MPa
③当α＝－60°时22
σ＝σcos（－60°）＝100cos（－60°）＝25MPa－60°0
τ＝（σ/2）sin（－120°）＝（100/2）sin（－120°）＝－－60°043.3MPa
图略。2（2）斜面上正应力σ＝σcosα，故当cosα＝1，即α＝0°时，有α0σ＝100MPa；max
斜面上切应力τ＝（σ/2）sin2α，故当sin2α＝1，即α＝45°时，α0有τ＝50MPa。max
2-6 一木桩受力如图2-12所示。柱的横截面为边长200mm的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量E＝10GPa。如不计柱的自重，试求：（1）作轴力图；（2）各段柱横截面上的应力；（3）各段柱的纵向线应变；（4）柱的总变形。
图2-12
解：（1）利用截面法，根据平衡条件可得木桩各段柱的轴力分别为：
F＝－100kN，F＝－100－160＝－260kNNACNCB
作该木桩的轴力图，如图2.9所示。
图2-13（2）各段柱横截面的应力：32－6
σ＝F/A＝－100×10/（200×10）Pa＝－2.5MPaACNAC32－6
σ＝F/A＝－260×10/（200×10）Pa＝－6.5MPaCBNCB（3）根据胡克定律，各段柱的纵向线应变：3－4
ε＝σ/E＝－2.5MPa/（10×10）MPa＝－2.5×10ACAC3－4
ε＝σ/E＝－6.5MPa/（10×10）MPa＝－6.5×10CBCB（4）柱的总变形－4
∆l＝ε·l＋ε·l＝（－2.5×1500－6.5×1500）×10mmACACACCBCB＝－1.35mm
2-7 图2-14所示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。
图2-14
解：设距左端截面x处的横截面的直径为：d＝d＋（d－d）121（x/l）。
即该截面的面积
则积分可得到在轴向拉力F作用下轴的伸长量
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]