作者：国防科技大学大学数学竞赛指导组
出版社：清华大学出版社
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大学数学竞赛指导试读：
版权信息书名：大学数学竞赛指导作者：国防科技大学大学数学竞赛指导组排版：吱吱出版社：清华大学出版社出版时间：2009-10-01ISBN：9787302212133本书由清华大学出版社有限公司授权北京当当科文电子商务有限公司制作与发行。— · 版权所有 侵权必究 · —前 言大学生数学竞赛活动为青年学子提供了一个展示基础知识和思维能力的舞台。大学生数学竞赛活动的开展对高等学校培养人才，促进数学课程的改革与建设，增强大学生学习数学的兴趣，培养大学生的创新精神和应用能力有着重要的意义。
本书是为大学生数学竞赛指导而编写的，全书分6部分，共19讲。第1部分由李建平、陈挚、朱健民执笔，第2部分由周治修、覃左平、郑言执笔，第3部分和第4部分由戴清平、冯良贵执笔，第5部分由李永乐执笔。主要内容包括3个系列：第1部分高等数学与第2部分数学分析为第1系列；第3部分线性代数与第4部分高等代数为第2系列；第5部分概率论与数理统计为第3系列。其中，第2部分数学分析内容和第4部分高等代数内容可分别看成第1部分高等数学内容和第3部分线性代数内容的加深和拓广。第6部分包括非数学类与数学类模拟试题共6套，供自我检测。
多年来，我校十分重视大学生数学竞赛活动的开展，形成了以冯良贵、李建平、朱健民、戴清平、陈挚、周治修、覃左平、李永乐、郑言、刘雄伟等为骨干的一支稳定的数学竞赛指导组，并在湖南省历届大学数学竞赛中取得佳绩。本书正是集我们数学竞赛指导组全体同仁多年来的教学经验而成稿的，有些例题属我们原创，有些例题则属摘编而得。由于编者水平有限，加之时间仓促，错误在所难免，不当之处还请各位专家批评指正。国防科学技术大学大学数学竞赛指导组2009年8月第1部分高等数学第1讲导数与偏导数
例1.1 设函数f（x）在点x＝0处有定义，f（0）＝1，且证明：函数f（x）在x＝0处可导，并求f′（0）．
证 由已知条件，知
其中
故
即
所以，函数f（x）在x＝0处可导，且
注 （1）等价无穷小代换是指在乘积型极限中，一个无穷小因式可以用与它等价的无穷小因式代替．在其他形式中使用会导致错误．如下面的计算中错误地使用了等价无穷小代换：（2）常用的等价无穷小包括：当x→0时，
sinx～x；tanx～x；xα
ln（1＋x）～x；e－1～x；（1＋x）～αx．
例1.2 设函数，证明：存在+常数A，B，使得当x→0时，恒有22
f（x）＝e＋Ax＋Bx＋o（x），
并求常数A，B．
证 先将函数f（x）展开为带佩亚诺（Peano）余项的二阶麦克劳林（Maclaurin）公式，得
由此得
例1.3 设f（x）在（-∞，+∞）内二阶可导，且f″（x）≠0．（1）证明：对于任何非零实数x，存在唯一的θ（x）（0＜θ（x）＜1），使得
f（x）＝f（0）＋xf′（xθ（x））．（2）求
证 （1）对于任何非零实数x，由拉格朗日中值定理知，存在θ（x）（0＜θ（x）＜1），使得
f（x）＝f（0）＋xf′（xθ（x））．
如果这样的θ（x）不唯一，则存在θ（x）与θ（x）（θ（x）＜121θ（x）），使得f′（xθ（x））＝f′（xθ（x）），由罗尔定理，存在一212点ξ，使得f″（ξ）＝0．这与f″（x）≠0矛盾，所以θ（x）是唯一的．（2）因为且
所以
例1.4 求使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α和最小的数β．
解 已知不等式等价于
所以
令x∈［0，1］，则22
再令g（x）＝（1＋x）ln（1＋x）－x，x∈［0，1］，则g（0）＝0，且2
g′（x）＝ln（1＋x）＋2ln（1＋x）－2x，g′（0）＝0，
故g′（x）在［0，1］上严格单调递减，所以g′（x）＜g′（0）＝0．同理，g（x）在［0，1］上也严格单调递减，故g（x）＜g（0）22＝0，即（1＋x）ln（1＋x）－x＜0，从而f′（x）＜0（0＜x≤1），因此f（x）在（0，1］上也严格单调递减．
令则α≤f（x）≤β，
因此，使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α为最小的数β为
例1.5 设函数f（x）在区间［a，b］上连续，在（a，b）内可导，且证明：至少存在一点ξ∈（a，b），使得f′（ξ）＝f（ξ）．
证 因为函数f（x）在区间［a，b］上连续，故则由零点定理知，至少存在点及x∈使得2f（x）＝0，f（x）＝0．12-x
作辅助函数F（x）＝ef（x），则F（x）在［x，x］上可导，12-x且F′（x）＝e［f′（x）－f（x）］，因为F（x）＝F（x）＝0，由12罗尔定理知，存在点ξ∈（x，x）⊂（a，b），使得F′（ξ）＝0，从12而f′（ξ）＝f（ξ）．
例1.6 （1）设函数f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内二阶可导，且｜f″（x）｜≥m＞0（m为常数），又f（a）＝f（b）＝0，证明：（2）设函数g（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内二阶可导，且｜g″（x）｜≥1，则在曲线段y＝g（x）（a≤x≤b）上，存在3个点A，B，C，使得
证 （1）因函数f（x）在［a，b］上连续，则｜f（x）｜在［a，b］上连续，故存在x∈［a，b］，使0
由于f（a）＝f（b）＝0，且f（x）在［a，b］上不是常数，故x0≠a，x≠b，即x∈（a，b）．从而，f（x）在点x处取得极值，因此f000′（x）＝0．由泰勒公式，∀x∈（a，b），恒有0
其中ξ在x与x之间，故0
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]