作者：谢风媛、崔贺 主编
出版社：化学工业出版社
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数学的故事试读：
前言
数学是一门极为重要的基础自然科学。在对数学史的研究过程中，不单单涉及数学内容、思想和方法的演变、发展过程，同时还涉及历史学、哲学、宗教等社会人文科学的内容。而对数学史的了解是十分必要的。将数学发展历程中每一个阶段的思想与知识融会贯通，对数学这个领域的继续发展是十分重要的。
本书分别针对不同时期数学的发展情况进行了详细的介绍，内容包括：古埃及与古巴比伦数学、古希腊数学、古印度数学、阿拉伯数学、欧洲中世纪时期与文艺复兴时期数学、17世纪数学、18世纪数学、现代数学以及中国数学。在体例形式上，本书将数学发展的相关史料分为三大部分呈现给读者，分别为：简史、导图、人物小史与趣事。其中，导图部分是本书的精华以及亮点所在；简史部分以知识点总结的形式，将各个时期数学领域的突出发展和重大事件展现出来；人物小史与趣事部分使得本书血肉丰满起来，并更具趣味性。
本书的编写旨在帮助读者加深对数学史的认知，普及科学知识，适合青少年、教师以及大众读者参考、阅读使用。
本书由谢风媛、崔贺主编，参加编写的人员还有卜泰巍、王富琳、史浩江、白雅君、刘恩娜、吕万东、孙丽娜、余元超、宋涛、张钟文、张璐、李瑞等。
由于编者自身知识与能力的局限性，本书内容不能尽善尽美，欢迎广大读者批评指正。编 者1 古埃及数学与古巴比伦数学1.1 古埃及数学简史
☆世界上最早的数学从公元前2500年的古埃及就开始了。
☆古埃及人最早使用象形文字，自公元前2500年左右起，开始使用象形文字的缩写——僧侣文，后来又发明了拼音字母，形成了象形文字和拼音文字并用的状况。
☆古埃及人用僧侣文写成的这些纸草文献称为“纸草文”，其中主要有两种：一种是成书于公元前1850年左右的莫斯科纸草文；另一种是约成书于1650年的兰德纸草文，又称为阿梅斯纸草文。
☆1893年，成书于公元前1850年左右的莫斯科纸草书在埃及被俄国收藏家戈兰尼彩夫买得，数学原件包括25个问题，现存于莫斯科美术博物馆。
☆1858年，约成书于公元前1650年的阿梅斯纸草书由苏格兰的埃及学家兰德在埃及购买，包括85个问题，后为英国博物馆获得。
☆古埃及人的数学知识包括记数法、算术、代数和几何四个方面。
☆古埃及的数学教育表现出较强的实用性。
☆埃及是最早采用十进制数的国家之一，但并非位置值制，因而数的表示与各种运算都十分烦琐。
☆在算术方面，主要使用迭加法。
☆分数还有一套专门的单位分数记法，具有鲜明的特点。
☆当时的埃及人已经掌握了加减乘除运算、分数的运算法则。
☆古埃及人解决了一元一次方程和一类相当于二元二次方程组的特殊问题。
☆纸草书上还有关于等差、等比数列和几何级数的问题。
☆古埃及人已掌握了丰富的几何知识，莫斯科纸草书和阿梅斯纸草书的110个问题中，有26个是几何问题。
导图1.2 古巴比伦数学简史
☆地质学家劳夫斯特于1854年发掘出来的两块泥板证明，古巴比伦人使用60进位制。
☆古巴比伦人已经懂得了用相同的符号按其位置来表示其数值的方法。
☆古巴比伦人已能进行近似开方运算。
☆古巴比伦人还掌握了许多计算方法，具有较高的计算水平，并编制了各种数表帮助计算，如乘法表、倒数表、平方表和立方表、平方根表和立方根表，甚至还有指数表。
☆古巴比伦许多泥板书中还载有他们用特殊的方法所解的一些一次和二次方程的问题，例如，在早期的古巴比伦代数中，有一个基本问题是：“求一个数，使它和它的倒数之和等于一个给定的数。”
☆古巴比伦人已经讨论了含有五个未知数的五个方程，相当于解五元线性方程组。
☆古巴比伦人给出了大量的、数目巨大的勾股数。
☆古巴比伦人在解决实际问题中形成了级数概念，并已讨论算术级数，给出了级数求和的若干公式。
☆古巴比伦人也掌握了初步的几何知识。
☆古巴比伦的几何学与实际测量有密切的联系。
☆他们已有相似三角形之对应边成比例的知识，他们会把不规则形状的田地分割为长方形、三角形和梯形来计算面积，也能计算简单几何体的体积。
☆他们求得圆周与直径的比π=3，还使用了勾股定理。
☆他们非常熟悉等分圆周的方法，把圆周分为360等份，也应归功于古巴比伦人。
☆古巴比伦几何学的主要特征更在于它的代数性质。
导图2 古希腊数学2.1 米利都学派简史（1）泰勒斯
☆泰勒斯认为世界上处处有生命与运动，水是万物之源。
☆他曾利用日影来测量金字塔的高度，也曾准确地预测过日食。他是古希腊第一个将一年修正为365天的人。
☆泰勒斯在数学方面的突出贡献是开始了命题的证明，具有划时代的意义。
☆泰勒斯定理：若A，B，C是圆周上的三点，且AC是该圆的直径，那么∠ABC必然为直角。或者说，直径所对的圆周角是直角。
该定理的逆定理也同样成立，即直角三角形中，直角的顶点在以斜边为直径的圆上。（2）其他学者
米利都学派的著名学者还有阿那克西曼德和阿那克西美尼等。他们的思想以及成就对后来的毕达哥拉斯有一定的影响。
导图
人物小史与趣事
泰勒斯（Thales）
泰勒斯（约公元前624～约公元前546年），公元前7世纪至公元前6世纪古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，希腊七贤之一。他创立了希腊最早的哲学学派——米利都学派，也称爱奥尼亚学派。他被尊为“科学和哲学之祖”，是古希腊及西方思想史上第一个有名字记载的哲学家。他的学生有阿那克西曼德、阿那克西米尼等。
☆预言日食而阻止战争的故事
大约公元前7世纪到公元前6世纪，伊朗草原上强盛的米底亚王国向西进兵小亚细亚，遇到了吕底亚王国的顽强抵抗，双方在哈吕斯河（今克孜勒河）一带展开了激烈战斗。战争在你争我夺中持续了五年，百姓深陷苦难。
泰勒斯预先推测出某天有日食，便宣扬上天反对人类的战争，某月某日必以日食作警告。果然，日食如期而至。那日，正当双方将士短兵相接酣战正激时，太阳突然失去光辉，白昼顿成黑夜。两国将士大为惊恐，马上停战和好，后来两国还互通婚姻。这件事在希罗多德的《希波战争史》第一卷中有记载。
当然，这次战争的结束还有其他政治经济上的原因，日食不过起到促进作用。但据此可知，当时的泰勒斯已能预测日食。
☆骡子的故事
除了在科学与哲学上有很高的造诣，泰勒斯同样是一个聪明的商人。多年的商旅生活使他了解到各地的人情风俗，眼界也更开阔。
他曾用过骡子运盐。有一次，一头骡子不慎滑到在溪中，盐被溶解掉了一部分，背上的负担减轻了不少。于是，这头骡子每过溪水就打一个滚。泰勒斯为了改变这头骡子偷懒的恶习，让它改驮海绵。海绵在吸水之后，重量倍增。从此，这头骡子再也没有偷懒过了。
☆橄榄的故事
虽然身为商人，泰勒斯却没有好好经商，而是热衷于去探索些其他事情，因此他并不富裕。他有一点钱，就去旅行花掉了。因而有人说，哲学家是那些没用的人，赚不到钱的人，很穷的人。
有一年，泰勒斯运用他掌握的知识赚了一笔钱。相传他知道那一年雅典人的橄榄会丰收。他便租下了全村所有的榨橄榄的机器，并乘机抬高垄断价格赚了一笔钱，以此来证明哲学家其实是有智慧的人，只是他有更重要的事情要做，而不是把精力放在赚钱上，如果他想赚钱的话，完全可以比别人赚得更多。
☆只顾天空不看脚下的天文学家
一天晚上，泰勒斯独自走在旷野之中，他抬头看着天空，预言第二天会下雨。正在此时，专心想事的他没有注意到脚下刚好有一个坑，结果他掉进了那个坑里摔得很厉害，他大声呼救，幸好有人路过才将他救了出来。
泰勒斯很感激地道了谢。他对路人说：“谢谢你把我救起。你知道吗？明天会下雨。”
于是就有了一个关于哲学家的笑话，哲学家是只知道看天上的事情却不知道脚下发生什么事情的人。
两千年以后，德国哲学家黑格尔说，一个民族只有有那些关注天空的人，这个民族才有希望。如果一个民族只是关心眼下、脚下的事情，这个民族是没有未来的。而泰勒斯就是标志着希腊智慧的第一人。
☆测量金字塔高度
据说，埃及的金字塔修成一千多年后，还没有人能够准确地测出它的高度。曾经也有不少人做过很多努力，可惜都没能成功。
一年的春天，泰勒斯去了埃及。人们想试探一下他的能力，就问他是否能解决这个难题。泰勒斯很有把握地说可以，但有一个条件——法老必须在场。
第二天，法老如约而至，金字塔的周围也聚集了不少围观的老百姓。
泰勒斯来到金字塔前，阳光把他的影子投在地面上。每过一会儿，他就让别人测量他影子的长度，当测量值与他的身高完全吻合时，他立刻在金字塔在地面上的投影处做一记号，然后再丈量金字塔底到投影尖顶的距离。这样，他就报出了金字塔确切的高度。
在法老的请求下，他向大家讲解了如何从“影长等于身长”推到“塔影长等于塔高”的原理。也就是今天所说的相似三角形定理。
☆泰勒斯关于婚姻的趣话
泰勒斯一生独身，没有娶妻。
在泰勒斯年轻的时候，当他的母亲催促他早日娶一女子结婚时，他这么回答他的母亲：“还没有到那个时候了。”
当泰勒斯已步入壮年之后，他的母亲更加担心他的婚姻大事了，但他却答道：“已经不是那个时候了。”2.2 毕达哥拉斯学派简史（1）毕达哥拉斯
☆毕达哥拉斯创造了哲学（意为爱智慧）和数学（意为可学到的知识）两个词，提出了四元素说（物质由水、火、土、气四元素构成，每种元素又由四种基本物性：冷、热、温、燥两两组合而成），认为大地是个球体，宇宙是围绕一个中心火构成的，提出了“四艺”（几何、天文、音乐、算术）的说法等。
☆大量使用了数学证明，促进了经验几何向演绎几何发展。
☆证明了勾股定理。
☆发现了五种正多面体。
☆第一次研究了直线形面积的变换。
☆给出了一元二次方程的几何解法。222
☆证明了代数恒等式：（a+b）=a+2ab+b。
☆发现了不可公度问题，引出了无理数。
☆提出万物皆数思想。毕达哥拉斯认为世间万物都有数，都可以用数来表示。
☆深入研究了正整数，奠定现代数论基础。提出了奇数和偶数的概念，区分了自然数。提出了因子概念，由此提出了完全数、过剩数、不足数和亲和数的概念。
☆提出并研究了形数。（2）其他
☆毕达哥拉斯学派的代表人物还有希波克拉底（公元前460年左右）、希帕索斯等。
导图
人物小史与趣事
毕达哥拉斯（Pythagoras）
毕达哥拉斯（公元前572～公元前497年），古希腊著名哲学家和科学家。生于小亚细亚的萨摩斯岛，年轻时曾游学于古埃及和古巴比伦，可能还到过古印度，之后回到大希腊的克洛托内（现在意大利的东南部），建立了一个学术团体——毕达哥拉斯学派，全心致力于哲学和数学研究。
☆劈柴的故事
有一天，小毕达哥拉斯背着一捆劈柴在街上走。一位绅士看见了他，觉得那捆劈柴的组合方式很高明。绅士心想，这种组合是少年有意精心安排的，还是无意中摆成的。于是他叫住小毕达哥拉斯，“过来，过来！能为我办点儿事吗？不是很麻烦，只是请你把这捆劈柴放下，把柴棍捣乱，然后重新堆摆起来，行吗？”
毕达哥拉斯纳闷，“这人真怪，竟提出这样的请求！”但他还是照绅士的话去做了。他放下柴捆，把劈柴捣乱，然后重新把它们组合起来。
绅士看到，这位少年堆摆劈柴的方法的确高明，令人钦佩，于是对小毕达哥拉斯说：“你想钻研学问吗？为什么不试试呢？”
据说，在这位绅士的鼓励下，毕达哥拉斯离开了萨摩斯岛，拜泰勒斯为师。也有人说，毕达哥拉斯并不是泰勒斯的弟子，他的老师是阿那克西曼德。
但不管怎样，有一点可以肯定的是：毕达哥拉斯从老师那儿学到了大部分当时已被人们掌握的数学知识。而后遵照老师的劝告，去古埃及留学。据说在留学期间，毕达哥拉斯还访问过古巴比伦王国。
☆“百牛祭”的故事
据传，毕达哥拉斯发明了勾股定理后，破例杀了100头牛，举行“百牛祭”，邀请全城的人庆祝。在这次祭会上，毕达哥拉斯发表了演讲，向人们描绘了一幅画面：由数产生点，由点产生线，由线产生出平面图形，由平面图形产生出立体图形，由立体图形组成的一切物体产生出水、火、土、空气四种元素。这四种元素以各种不同的方式相互转化，并创造出有生命的、有精神的、球形的世界。认识世界，就是要认识支配世界的数。
☆铸币的故事
毕达哥拉斯在克罗通时，曾经设计过一种铸币。
铸币的正面有阳文的本城的纹章，圆周形的边纹有城名的几个主要字母；另一面是同样的图案，但为阴文。
这些铸币体现了毕达哥拉斯关于“宇宙上下两方和中央所处的地位关系是相同的，只是彼此相反”的观点。
☆数学家眼中的大理石地砖
有一次，毕达哥拉斯应邀参加一位政要的餐会。
主人家里非常富有，豪华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖。
由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言，而善于观察和理解的数学家毕达哥拉斯却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形地砖。
他不只是欣赏地砖的美丽，而是想到它们和“数”之间的关系。于是，他拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块地砖以它的对角线AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块地砖的面积和。
对此，他很好奇。于是，他再以两块地砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，并发现这个正方形之面积等于5块地砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和。
至此，毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和……
那场餐会，这位古希腊数学大师的视线一直都没有离开过地面。
☆毕达哥拉斯身世的传说
他的最初前世被认为是赫尔墨斯的儿子，叫Aethalides。赫尔墨斯允许他可以选择除不朽之外任何他所喜欢的能力，于是此人要求无论在生前或死后都保持对自己经历的记忆。这就是毕达哥拉斯的第一代，一个半神半人的人物。这个人在古希腊的传说中有点名气，锡罗斯的弗瑞西德斯（Pherecydes）在《五籁集》“Fivechasm”中提到过他。
他的第二世身处英雄时代，叫Euphorbus。此人参与了特洛伊战争，被阿伽门农的兄弟Menelaus所伤，Menelaus就是海伦的丈夫。此后，他的灵魂还有上天入地的飘游经历，进入过好多植物和动物，还去过哈得斯（Hades），也就是冥界。
第三世是个普通人，叫Hermotimus。他对自己的记忆已经不怎么肯定了，于是去了阿波罗神庙，在那里他认出了Menelaus从特洛伊返航路上献祭给阿波罗的盾牌。这块盾牌除了正面的象牙以外，其他部分差不多都朽烂了。到了他的这一代，记忆已经多少有点问题，最终他借助于过去时代的器物恢复了自己记忆的完整。
第四代是一个渔夫，叫Pyrrhus。他的地位又低下了一些，只能靠自己的劳动力谋生。此人死后哲学家毕达哥拉斯出生了，毕达哥拉斯可以认为是第五代。
☆毕达哥拉斯与黄金分割
毕达哥拉斯的黄金分割——a:b=（a＋b）:a。
一天，毕达哥拉斯路过一个铁匠作坊，听到里面叮叮当当的声音，觉得十分悦耳。于是，他便用工具测量了铁锤与铁砧的尺寸，并发现它们之间有一定的比例关系。
回到家里，他把一条直线段分为两节，经过反复比较，最后终于确认1:1.618的比例最优雅，其比值为0.618的近似值，称之为黄金比例。
毕达哥拉斯学派认为由太阳、月亮、星辰的轨道和地球的距离之比，分别等于三种主要的和音，即八音度、五音度、四音度。
毕达哥拉斯学派认为从数量上看，夏天是热占优势，冬天是冷占优势，春天是干占优势，秋天是湿占优势，最美好的季节则是冷、热、干、湿等元素在数量上和谐的均衡分布。
毕达哥拉斯学派从数学的角度，即数量上的矛盾关系列举出有限与无限、一与多、奇数与偶数、正方与长方、善与恶、明与暗、直与曲、左与右、阳与阴、动与静十对对立的范畴，其中有限与无限、一与多的对立是最基本的对立，并称世界上一切事物均还原为这十对对立。
☆博学的几何教师
传说毕达哥拉斯是一个非常优秀的教师，并且他认为每一个人都应该懂些几何。
有一次，他看到一个勤勉的穷人甲，他想教甲学习几何知识。因此，他对甲建议：如果甲能学懂一个定理，那么他就给甲一块钱币。甲看在钱的份上就和他学几何了。
可是，过了一个时期，甲对几何产生了非常大的兴趣，反而要求毕达哥拉斯教快一些。甲建议：如果老师多教一个定理，他就给老师一个钱币。
没用多少时间，毕达哥拉斯把他以前给那学生的钱全部收回了。
☆“完美”的6
毕达哥拉斯建立“毕达哥拉斯兄弟会”，崇拜整数、分数为偶像。
他们认为通过对数的了解，可以揭示宇宙神秘，使他们更接近神，事实是一个宗教性社团组织。入会时需宣誓不得将数学发现公之于世，甚至在毕达哥拉斯死后，有成员因公开正十二面体可由12个正五边形构成的发现而被迫浸水致死。他们集中注意于研究自然数和有理数，特别是完美数，它是本身正因子（除了本身之外）之和，例如，6=1＋2＋3、28=1＋2＋4＋7＋14。他们认为上帝因为6是完美的，因此选择以6天创造万物，且月亮绕行地球一周约28天。
☆创办“学校”
毕达哥拉斯长期留学古埃及之后，返回故乡萨摩斯岛。他原打算在萨摩斯岛上建立学校，但没有成功。于是他迁居克罗顿，在那儿创办了一所学校。但这所学校实际上是一个宗教集团或公会，宗旨是加强团结。
在这个“学校”内，严禁把内部教学的内容和内部得到的发现泄露给外人，而且“学校”的发现都归于毕达哥拉斯名下。因此，如今人们认为是毕达哥拉斯发现的东西，其中究竟哪些是他本人的发现，哪些是毕达哥拉斯学派的发现，根本无法区别。
毕达哥拉斯创设的这所学校曾光荣一时，但后来由于过问政治，引起反对派的憎恨。最后学校遭到烧掠袭击而消失。
☆毕达哥拉斯之死
毕达哥拉斯很少公开露面，他虽然向学生教授数学和哲学，但绝不允许学生将之外传，正因为“毕达哥拉斯兄弟会”隐瞒数学发现，渐渐引起居民的畏惧、妄想和猜忌。
后来，学派介入了政治事件，与当地行政当局发生冲突，终于诱使居民毁了这一学派。
近80岁时，毕达哥拉斯在一次夜间骚乱中被杀害。而避居国外的信徒继续传播他们的数学真理。
希波克拉底（Hippocrates）
希波克拉底（约公元前460～公元前377年），古希腊伯里克利时代医师，被西方尊为“医学之父”。其所身处的上古时代，医学并不发达，然而他却能将医学发展成为专业学科，使之与巫术及哲学分离，并创立以之为名的医学学派，对古希腊的医学发展贡献良多。希波克拉底提出“体液学说”，他的医学观点对以后西方医学的发展有巨大影响。另外，希波克拉底也是位数学家，他用勾股定理得到了弓形的面积，指出相似弓形的面积与其弦的平方成正比，促进了三大作图问题之一的“化圆为方”的研究。
☆扑灭瘟疫的故事
公元前430年，雅典发生瘟疫，许多人突然发烧、呕吐、腹泻、抽筋、身上长满脓疮、皮肤严重溃烂等症状。患病的人接二连三地死去。没过几日，雅典城中便随处可见来不及掩埋的尸首。对这种索命的疾病，人们唯恐避之不及。
但此时希腊北边马其顿王国的一位御医却冒着生命危险前往雅典救治。他一面调查疫情，一面探寻病因及解救方法。不久，他发现全城只有一种人没有染上瘟疫，那就是每天和火打交道的铁匠。他由此设想，或许火可以防疫，于是在全城各处燃起火堆来消灭瘟疫。
这位御医就是被西方尊为“医学之父”的古希腊著名医生希波克拉底。
☆“希波克拉底臼床”的故事
有一天，希波克拉底碰到一个巫医在给骨折病人治病。病人右腿被车轮辗断，已昏死过去，受伤的部位鲜血淋淋。但巫医还硬叫家属扶着病人用左腿跪在神像前，他自己则念念有词，不知在说些什么。
希波克拉底实在看不下去了。他气愤地走上前说道：“靠念咒语怎能治好他的伤呢？这简直是在折磨病人，简直太荒唐了！”
巫医不屑一顾地说：“看来你会治伤啊，那好，你说他的伤怎样治？”“清洗创口，进行牵引，使断骨复位！”
希波克拉底对骨折病人提出的治疗方法是合乎科学道理的。为纪念他，后人将用于牵引和其他矫形操作的臼床称为“希波克拉底臼床”。
☆癫痫症的故事
一天，希波克拉底在市场上见到一个人突然神志丧失，全身抽动，面色青紫，嘴里还吐出泡沫。周围的人都惊慌失措地喊道：“这人中了邪啦！快去请巫师来！”
正好有个僧侣经过这里，有人马上拖他来治病。僧侣看了看病人，板起面孔说：“啊！这人得了神病，要请神来宽恕他。快把他抬到神庙里去！”“慢着！”希波克拉底抢上一步喊道，“这人患的根本不是什么神病，而是癫痫症！把他抬到神庙去，是治不好病的！”
那僧侣向希波克拉底瞪了一眼，高傲地说：“什么癫痫不癫痫的，这人的病是山神引起的，只有祈祷山神才有用。你懂什么？小心别惹怒了山神，让你也患上神病！”
希波克拉底毫不示弱地说：“这癫痫症一点也不比其他疾病神秘，而是同其他疾病一样，具有相同的性质和相似的起因。只有魔法、江湖术士和骗子之流，才把它说成是什么神病！”“你竟敢当着这么多人的面咒骂山神！好，你说这病不是山神引起的，那是什么引起的？”“是脑引起的！”希波克拉底斩钉截铁地回答说，“我相信这是脑子出了问题，才变成这个模样的。”
现代医学认为，癫痫是一种突然发作的暂时性大脑功能紊乱的病症。希波克拉底指出的病因是正确的；他提出的这个病名也一直沿用到今天。但是，他的科学解释在当时不可能被人们理解和接受。在僧侣的催促下，那病人还是被抬到神庙里去了，没有得到有效的治疗。
希帕索斯（Hippasus）
希帕索斯（生卒年月不详），生活于大约公元前500年。他是发现无理数的第一人，毕达哥拉斯的得意门生。希帕索斯发现等腰直角三角形的直角边与斜边的比不是有理数，举出了当时毕达哥拉斯学派“一切量都可用有理数表示”的一个反例。
☆“第一次数学危机”的故事
公元前5世纪，毕达哥拉斯学派认为数最崇高、最神秘，他们所讲的数是指整数。“数即万物”，即宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达。但是，希帕索斯发现，边长为1的正方形，它的对角线长度（√2根号2）却不能用整数之比来表达。这就触犯了该学派的信条，于是规定了一条纪律：谁都不准泄露存在（即无理数）的秘密。天真的希帕索斯无意间向别人谈到了他的发现，结果被杀害。但很快就引起了数学思想的大革命。科学史上把该事件称为“第一次数学危机”。2.3 亚历山大学派简史（1）欧几里德
☆欧几里德对数学最大的贡献是他著有一本非常有名的著作——《几何原本》，其极大地促进了当时数学的发展。
☆《几何原本》是欧几里德写的一本教科书，共13卷，包括23个定义、5个公理、5个公设和465个命题。
☆《几何原本》总结概括了当时人们所了解的平面几何、立体几何、数论和比例等方面的知识，为后人学习和进一步研究打下了良好基础。
☆通过使用定义、公理和证明，创造了公理化方法。
☆给出了若干经典证明，给后人展示了证明的魅力。
☆牛顿曾对《几何原本》进行过高度赞扬，称其是整个几何学的荣耀。
☆欧几里德在教学中还写了其他一些书，如《已知数》、《图形的分割》、《光学》、《镜面反射》和《圆锥曲线》等，但都没有流传下来。（2）阿基米德
☆阿基米德终生致力于科学，留下了许多著作，如《论球与圆柱》、《圆的度量》、《劈锥曲面与回转椭圆体》、《论螺线》、《平面图形的平衡或其重心》、《数沙器》、《抛物线圆形求积法》、《论浮体》、《引理集》、《群牛问题》、《方法论》等。在这些著作中，阿基米德重点讨论了几何图形的面积和体积计算有关问题。
☆在《圆的度量》中，阿基米德将穷竭法用于圆的周长和面积计算。
☆在《论球与圆柱》中，阿基米德证明了：球的面积等于其大圆面积的4倍；以球大圆为底，以球直径为高的圆柱，其体积是球体积的。
☆在《劈锥曲面与回转椭圆体》中研究了不规则曲边形旋转形成的立体的体积，给出了正确的结果。
☆《论螺线》中讨论了阿基米德螺线（一条射线绕固定点匀速旋转，同时有一点从端点出发沿射线匀速运动，此点形成的曲线）的面积和切线等。证明了第一面积等于第一圆面积的1/3。
☆在《平面圆形的平衡或其重心》中，阿基米德利用杠杆原理找出了平行四边形、三角形及梯形的重心。
☆在《数沙器》中阿基米德给出了大数（一万以上的数）记法63（主要是将数分级），计算出整个宇宙只能填充10粒沙子。
☆在《方法论》中阿基米德用机械的方法找到了球的体积公式。
☆在《抛物线图形求积法》中证明了：抛物线弓形面积是同底等高三角形的4/3。（3）阿波罗尼奥斯
☆在数学方面，阿波罗尼奥斯写成了多本著作，如《截取线段成定比》、《截取面积等于已知面积》、《论接触》、《平面轨迹》等。
☆阿波罗尼奥斯提出了多个传世问题，如“阿波罗尼奥斯问题”、“阿波罗尼奥斯圆”等。
☆《圆锥曲线论》一书共487个命题，主要讨论了当时人们感兴趣的圆锥曲线问题，是古希腊几何学的最高成就。
导图
人物小史与趣事
欧几里德（Euclid）
欧几里德（约公元前330～公元前275年），大约生活在托勒密一世时期。关于他的生平，现在知道得很少，早年曾求学到过雅典，深知柏拉图的学说。成年之后欧几里德到了古埃及的亚历山大，在那里教书和研究数学，直至老去。欧几里德以其主要著作《几何原本》著称于世，它是古希腊数学发展的顶峰。爱因斯坦曾说：“一个人当他最初接触欧几里德几何学时，如果不曾为它的明晰性和可靠性所感动，那么他是不会成为一个科学家的。”
☆“三个硬币”的故事
欧几里德知识渊博，在教授学生时像一个真正的父亲那样引导他们，关心他们。然而，有时他也用辛辣的讽刺来鞭挞比较傲慢的学生。有一天他的一个学生问：“学习几何，究竟会有什么好处？”欧几里德没有回答这个学生的提问，而是转身吩咐仆人说：“拿三个硬币给这位先生，因为他想在学习中获得实利。”由此，我们可以大体揣测一些欧几里德的性格和对数学的态度。欧几里德主张学习必须循序渐进、刻苦钻研，不赞成投机取巧的作风，更反对狭隘的实用观念。
☆“在几何学里，没有专为国王铺设的大道。”
欧几里德不仅是一位学识渊博的数学家，同时还是一位有“温和仁慈的蔼然长者”之称的教育家。在著书育人过程中，他始终没有忘记当年挂在“柏拉图学园”门口的那块警示牌，牢记着柏拉图学派自古承袭的严谨、求实的传统学风。他对待学生既和蔼又严格，自己却从来不宣扬有什么贡献。对于那些有志于穷尽数学奥秘的学生，他总是循循善诱地予以启发和教育，而对于那些急功近利、在学习上不肯刻苦钻研的人，则毫不客气地予以批评。
柏拉图学派晚期导师普罗克洛斯的《几何学发展概要》中记载着这样一则故事。数学在欧几里德的推动下，逐渐成为人们生活中的一个时髦话题（这与当今社会截然相反），以至于当时亚里山大国王托勒密一世也想赶这一时髦，学点儿几何学。
虽然这位国王见多识广，但欧氏几何却令他学得很吃力。于是，他问欧几里德：“学习几何学有没有什么捷径可走？”
欧几里德笑到：“抱歉，陛下！学习数学和学习一切科学一样，是没有什么捷径可走的。学习数学，人人都得独立思考，就像种庄稼一样，不耕耘是不会有收获的。在这一方面，国王和普通老百姓是一样的。”
从此，“在几何学里，没有专为国王铺设的大道”这句话成为千古传诵的学习箴言。
☆“柏拉图学园”
欧几里德是古希腊著名数学家、欧氏几何学的开创者。欧几里德生于雅典，当时雅典就是古希腊文明的中心。浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里德，当他还是个十几岁的少年时，就迫不及待地想进入“柏拉图学园”学习。
一天，一群年轻人来到位于雅典城郊外林荫中的“柏拉图学园”。只见学园的大门紧闭着，门口挂着一块木牌，上面写着：“不懂几何者，不得入内！”这是当年柏拉图亲自立下的规矩，为的是让学生们知道他对数学的重视，然而却把前来求教的年轻人给闹糊涂了。有人在想，正是因为我不懂数学，才要来这儿求教的呀，如果懂了，还来这儿做什么？正在人们面面相觑，不知是退、是进的时候，欧几里德从人群中走了出来，只见他整了整衣冠，看了看那块牌子，然后果断地推开了学园大门，头也没有回地走了进去。“柏拉图学园”是柏拉图40岁时创办的一所以讲授数学为主要内容的学校。在学园里，师生之间的教学完全通过对话的形式进行，因此要求学生具有高度的抽象思维能力。数学，尤其是几何学，所涉及对象就是普遍而抽象的东西。它们同生活中的实物有关，但是又不来自于这些具体的事物，因此学习几何被认为是寻求真理的最有效的途径。
柏拉图甚至声称：“上帝就是几何学家。”这一观点不仅成为学园的主导思想，而且也为越来越多的古希腊民众所接受。人们都逐渐地喜欢上了数学，欧几里德也不例外。他在有幸进入学园之后，便全身心地沉潜在数学王国里。他潜心求索，以继承柏拉图的学术为奋斗目标，除此之外，他哪儿也不去，什么也不干，熬夜翻阅和研究了柏拉图的所有著作和手稿，可以说，连柏拉图的亲传弟子也没有谁能像他那样熟悉柏拉图的学术思想、数学理论。经过对柏拉图思想的深入探究，他得出结论：图形是神绘制的，所有一切现象的逻辑规律都体现在图形之中。因此，对智慧训练，就应该从图形为主要研究对象的几何学开始。他确实领悟到了柏拉图思想的要旨，并开始沿着柏拉图当年走过的道路，把几何学的研究作为自己的主要任务，并最终取得了世人敬仰的成就。
阿基米德（Archimedes）
阿基米德（公元前287～公元前212年），数学家、力学家、天文学家，古希腊叙拉古人，早年去亚历山大跟欧几里德的学生学习过，后来一直与亚历山大学派的人有联系，因而是亚历山大学派的成员之一。阿基米德享有“力学之父”的美称，与高斯、牛顿并列为世界三大数学家。他曾说过：“给我一个支点，我就能撬起整个地球。”
☆叙拉古保卫战的故事
公元前214年，古罗马名将马塞勒斯率领大军从陆上及海上袭击叙拉古。阿基米德用他发明的类似起重机的器械将靠近墙根的船只抓起来，再狠狠地摔下去，船只或被撞得粉碎，或沉入海底。马塞勒斯不甘示弱，用8艘5层橹船，每两艘连锁在一起，架起一种叫“萨姆布卡”的武器，准备攻城。但叙拉古人未等敌船靠近，就用强大的器械将巨大石块抛出，形同暴雨，打得“萨姆布卡”七零八落；同时万弩齐发，古罗马士兵死伤无数，吓得马塞勒斯下令退兵。在陆上，古罗马士兵也没有占到便宜。多次进攻，均未得逞。
☆为国捐躯的故事
公元前212年，古罗马士军放弃正面进攻，改用长期围困的策略。叙拉古终因粮食耗尽和叛徒的出卖而沦陷。叙拉古陷落时，马塞勒斯虽然发布了许多禁令，仍然阻挡不住士兵的劫掠。出于对阿基米德的敬佩，马塞勒斯下令不准伤害这位贤者，但阿基米德还是被愚蠢的罗马士兵杀害了。这位旷世的大科学家，为了拯救自己的祖国，竭尽心智，力挽狂澜，给侵略者以沉重的打击，最后献出了宝贵的生命。
☆浮力原理的发现
相传叙拉古赫农王让工匠替他做了一顶纯金的王冠。王冠做好后，国王疑心工匠做的金冠并非全金，但这顶金冠确与当初交给金匠的纯金一样重。工匠到底有没有私吞黄金呢？既想检验真假，又不能破坏王冠，这个问题不仅难倒了国王，也使诸大臣们面面相觑。
经一大臣建议，国王请来阿基米德检验。
最初，阿基米德也是冥思苦想却无计可施。
一天，他在家洗澡，当他坐进澡盆里时，看到水往外溢，同时感到身体被轻轻托起。他突然悟到可以用测定固体在水中排水量的办法，来确定金冠的密度。
他兴奋地跳出澡盆，大声喊着“尤里卡！尤里卡！”（Eureka，意思是“我找到了”）。
经过了进一步的实验以后，他来到了王宫。他把王冠和同等重量的纯金放在盛满水的两个盆里，比较两盆溢出来的水，发现放王冠的盆里溢出来的水比另一盆多。这就说明王冠的体积比相同重量的纯金的体积大，密度不相同，证明了王冠里掺进了其他金属。
这次试验的意义远远大过查出工匠欺骗国王，阿基米德从中发现了浮力定律（阿基米德原理）：物体在液体中所获得的浮力，等于它所排出液体的重量。一直到现代，人们还在利用这个原理计算物体密度和测定船舶载重量等。
☆阿基米德与杠杆原理
阿基米德对于机械的研究源自于他在亚历山大城求学时期。
有一天，阿基米德在久旱的尼罗河边散步，看到农民提水浇地相当费力，经过思考之后他发明了一种利用螺旋作用使水在水管里旋转而把水吸上来的工具，后世的人称其为“阿基米德螺旋提水器”。一直到两千多年后的现在，埃及还有人使用这种器械。这个工具成了后来螺旋推进器的“先祖”。
当时的欧洲，在工程和日常生活中，经常使用一些简单机械，譬如：螺钉、滑车、杠杆、齿轮等，阿基米德花了许多时间去研究，发现了“杠杆原理”和“力矩”的观念，对于经常使用工具制作机械的阿基米德而言，将理论运用到实际的生活上是轻而易举的。他自己曾说：“给我一个支点和一根足够长的杠杆，我就能撬动整个地球。”
刚好海维隆王又遇到了一个棘手的问题：国王替古埃及托勒密王造了一艘船，因为太大、太重，船无法放进海里，国王就对阿基米德说：“你连地球都举得起来，把一艘船放进海里应该没问题吧？”于是阿基米德立刻巧妙地组合各种机械，造出一架机具，在一切准备妥当后，将牵引机具的绳子交给国王，国王轻轻一拉，大船果然移动下水，国王不得不为阿基米德的天才所折服。从这个历史记载的故事里我们可以了解到，阿基米德极可能是当时全世界对于机械的原理与运用，了解最透彻的人。
☆新式武器
阿基米德年老的时候，叙拉古和罗马之间发生了战争。罗马军队的最高统帅马塞拉斯率领罗马军队包围了阿基米德所居住的城市，还占领了海港。阿基米德虽不赞成战争，但又不得不尽自己的天职，保卫自己的祖国。
他制造了一种叫做石弩的抛石机，把大石块投向罗马军队的战舰，或者使用发射机把矛和石块射向罗马士兵。
阿基米德还发明了多种武器，来阻挡罗马军队的前进。他发明了大型起重机，把罗马的战舰高高地吊起，随后猛地将其摔进大海，船破人亡。最后罗马士兵都不敢靠近城墙，只要有一根绳子在上方出现，他们就会被吓跑，因为他们相信那个可怕的阿基米德一定在用一种什么新奇的怪物，会使他们一命呜呼。
☆镜子聚光
太阳的光和热使地球上的万物生长，它蕴藏着无穷无尽的能量。那么，是谁最早想到把太阳能聚集起来加以利用呢？
古希腊的叙拉古城遭到了罗马军队的侵袭。罗马军队乘着张帆的战舰，耀武扬威地驶向叙拉古港口，叙拉古城的青壮年和士兵们一起上前线去了，城里只剩下了老人、妇女和孩子，处于万分危急的时刻。
就在这时，老阿基米德为了自己的祖国又站了出来。他让妇女和孩子们每人都拿着自己家中的镜子一齐来到海岸边，让镜子对准强烈的阳光，集中照射到敌舰的主帆上，千百面镜子的反光聚集在船帆的一点上，船帆燃烧起来了，火势趁着风力越烧越旺，罗马人不知底细，以为阿基米德又发明了新式武器。就慌慌张张地逃跑了。
☆阿基米德的怪癖
当时，人们在平板上覆盖一层薄沙，在沙上面画图研究几何学。这就是当时的“黑板”。
阿基米德只要看到类似的东西，一概加以利用。如果平板上面积了一层灰，他不是把灰尘抹掉，而是开始在灰上作图研究几何学。如果有了炉灰，他就把灰抹平，在上面开始画图研究。
另外，当时人们有一种习惯，洗完澡从水里出来后，要在身上涂抹橄榄油。每逢这时，阿基米德便表现出他的怪癖，用指尖在自己的皮肤上画图，开始研究几何学。
☆“等一下杀我的头”
据说，叙拉古城沦陷时，罗马官兵知道阿基米德足智多谋，又富有爱国热情，所以他们惧怕阿基米德胜过惧怕叙拉古国王，进城后不急于进攻王宫而直奔阿基米德的住处。
官兵一脚踢开房门，只见床上空荡荡的，而地上一动不动地蹲着一个两腮长着长长花白胡子的老人，原来这位数学家通宵未眠，正双手托着下巴，聚精会神地看着画在地上的几何图形。当罗马士兵的利剑碰到阿基米德的鼻尖时，他才从数学王国里回过神来。但他毫无惧色，用手推开了剑，平静地说：“等一下砍我的头，再给我一会儿工夫，让我把这条几何定理证明完，不能给后人留下一道还没有证出来的难题。”说完又沉思起来。
然而残暴而又愚蠢的罗马士兵不由分说，一剑砍了过去。这一剑不仅砍下了一位伟大数学家的脑袋，也砍掉了一条没有问世的“阿基米德定理”。
☆阿基米德的死因
公元前212年，罗马军队进入了叙拉古。关于他的死，有三个版本。
版本一：如上所述的“等下杀我的头”。罗马士兵闯入阿基米德的住宅，杀死了这位伟大的数学家。
版本二：一个罗马士兵突然出现在他面前，命令他到马塞拉斯那里去，遭到阿基米德的严词拒绝，于是阿基米德不幸死在了这个士兵的剑下。
版本三：在战争失败后，阿基米德对现实采取了学者的超然漠视的态度，专心致力于数学问题的研究。有一天，阿基米德坐在残缺的石墙旁边，正在沙地上画着一个几何图形。一个罗马士兵命令阿基米德离开，他傲慢地做了个手势说：“别把我的圆弄坏了！”罗马士兵勃然大怒，马上用刀一刺，就杀死了这位科学家。
无论他是怎么死的，最为惋惜的就是那位罗马军队的统帅马塞拉斯，他为阿基米德举行了隆重的葬礼，并处死了那个杀死阿基米德的士兵。
阿波罗尼奥斯（Apollonius）
阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年），古希腊诗人、语法学家、数学家，是亚历山大排在欧几里德和阿基米德之后的第三大数学家。据说他年轻时曾跟欧几里德的学生学习过，后回到小亚细亚的帕加马为当时的国王服务，晚年热衷于天文学，曾计算过月亮到地球的距离，推广了前人关于“本轮”、“均轮”学说，为《至大论》奠定了基础。他的著作《圆锥曲线论》将圆锥曲线的性质“网罗殆尽”，几乎使后人“无插足的余地”。
☆游学的故事
阿波罗尼奥斯生于佩尔格，年轻时曾到亚历山大跟随欧几里德的后继者学习，当时正值托勒密三世统治时期。
到了托勒密四世时，他在天文学研究方面已颇有名气。
后来，他到过小亚细亚西岸的帕加马王国。国王阿塔罗斯一世除崇尚武功外，还注重文化建设。阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》从第四卷起均是呈递给阿塔罗斯的。
☆亚历山大里亚图书馆馆长的故事《阿尔戈船英雄纪》是阿波罗尼奥斯的主要著作，它不像《荷马史诗》那样着力描写英雄事件，而是重点叙述美狄亚和伊阿宋的爱情故事。
据说，作为一个年轻人的阿波罗尼奥斯，在亚历山大里亚为人们表演了阿尔戈船英雄纪，却广受嘲笑，羞愧地逃到了罗德岛。
在罗德岛，人们热情地招待了他，并给予他公民权。
在这之后，他得意洋洋地回到了亚历山大里亚，很快就被选为亚历山大里亚图书馆的馆长。2.4 古希腊后期数学家简史（1）海伦
☆《度量论》共分三卷，主要讨论了平面图形的面积问题和立体图形的求积问题。
☆第一卷中给出了求三角形面积的两种方法，一种是我们今天熟知的方法，另一种是海伦公式法：，其中。（2）托勒密
☆《天文学大成》以公理化方法写成，主要阐述了当时的天文历法。
☆为了说明天文概念，《天文学大成》中应用了大量的数学知识。
☆将圆周分成了360°，引入了角度的60进制。
☆列出了每隔°的圆心角所对的弦的长度，相当于给出了0°～90°间隔14°的角的正弦值。
☆提出并证明了托勒密定理：在一个内接四边形中，如图所示，有AB×CD+AD×BC=AC×BD。
☆给出了三个三角函数恒等式：
☆提出了球极投影方法，主要用来帮助人们绘制地图和星图。（3）丢番图
☆丢番图的《算术》是本问题集，主要讨论了数论问题，包含了多项数学成就，共13卷，共290个问题。
☆书中广泛研究了不定方程问题。不定方程是指未知数的个数多于方程个数的代数方程（组）。
☆1637年，法国数学家费马受其启发，提出了“费马猜想”。
☆讨论了一、二、三次方程问题。
☆创造了一套代数符号。（4）帕普斯
☆其传世著作《数学汇编》总结了前人的众多成果。
☆证明了等周问题，即周长相等的平面图形中圆面积最大。
☆证明了“皮匠刀”问题。
☆证明了圆锥曲线的焦点和准线性质：一动点到一定点的距离与到一直线的距离比等于常数，则动点轨迹为圆锥曲线。当常数等于1时为抛物线，小于1时为椭圆，大于1时为双曲线。
☆发现了旋转体的体积定理：一个平面绕一平面上的轴线旋转而成的立体体积，等于这个图形面积乘以其重心所画圆周的长。
☆证明了帕普斯问题：设P、P、P是一点到3条固定直线的距123离，若P1
P=λP2，λ是常数，则点的轨迹为圆锥曲线。23
导图
人物小史与趣事
海伦（Heron）
海伦（生卒年不详），古希腊数学家、力学家、机械学家。约公元62年活动在亚历山大城，是亚历山大学派后期一员。他多才多
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]