作者：阿瑟·本杰明
出版社：中信出版社
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12堂魔力数学课试读：
引言
一直以来，我都对魔术情有独钟。无论是观看魔术师的表演，还是我自己动手变魔术，当看到观众目瞪口呆的神情时，我都会因为魔术的神奇而心折不已。此外，我还热衷于探索魔术的奥秘。在掌握了几条简单的秘诀之后，我甚至还设计出了一些属于我自己的魔术。
我在数学方面也有类似的经历。很小的时候，我就发现数字本身具有神奇的魔力。举一个你或许会感兴趣的例子。请在心中默想一个在20和100之间的数字，想好了吗？现在，将这个数字的十位和个位相加，再用这个数字减去得到的和。然后，将得到的差的十位与个位数字相加，你得到的和是数字9吗？（如果不是9，请检查前面的运算是否出错了。）有意思吧！数学中有无数类似的神奇现象，但是我们大多数人在学校里却无缘接触它们。本书将告诉读者，数字、图形和纯逻辑可以产生令人惊喜的效果。此外，只需掌握一点儿代数或几何学知识，你就会发现这些神奇现象背后的奥秘并非那么复杂，你自己甚至也有可能发现一些数学之美。
本书涉及数学领域中的数字、代数、几何学、三角学、微积分等基础科目，还涉及某些我们不常接触的内容，包括帕斯卡三角形，无穷大，9、π、e、i等数字的神秘属性，斐波纳契数列和黄金分割等。由于受篇幅限制，本书不可能帮助你全面了解任何一个主要数学科目，但我仍希望你在读完本书之后可以掌握主要的数学概念的含义及其作用原理，能够领略各个科目赏心悦目的雅致美感，了解它们相互之间的关联性。即使某些内容对你而言可能并不陌生，我也希望你可以换一个角度去思考、欣赏它们。随着你的数学知识不断增多，这些神奇现象将变得越发迷人。我以下面这个方程式为例：
eiπ + 1 = 0
这是我最喜爱的方程式之一。有人称它为“上帝的方程式”，因为这个神奇的方程式使用了数学中最重要的一些数字。具体来说，方程式中的0和1是算术的基础，π= 3.141 59…是几何学中最重要的数字，e=2.718 28… 是微积分中最重要的数字，i是–1的一个平方根。我们将在本书第8章中详细介绍数字π，在第10章中详细介绍数字i和e，在第11章中我们将解释这个神奇方程式的数学含义。
本书适用的阅读对象是将要或正在学习或已经学完某种数学课程的人。换言之，我希望所有人（包括有数学恐惧症的人和热爱数学的人）都能读读这本书。为方便大家阅读本书，我特意制定了若干规则。
规则1：灰色方框里的内容可以跳过不读（本段文字除外）！
每个章节都有一些“延伸阅读”，涉及与当前阐述主题关系不大却值得关注的内容。在每个方框中，我可能会针对当前内容再举一例，或者给出某个证明过程，或者稍加深入讲解，以满足求知欲较强的读者。第一次阅读本书时，你可能希望略过这些内容（在第二次、第三次阅读时，你可能仍然希望略过）。我希望你不要只读一遍就把这本书扔到一边，毕竟，数学知识值得我们反复咀嚼。
规则2：阅读本书的过程中你尽可以略过某些段落、章节。除了可以不读灰色方框里的内容，在阅读过程中当你遇到“拦路虎”时，也尽可以略过。对于有的内容而言，你必须形成自己的认识，才能全面地掌握。有的难题则可以暂时放下，一段时间之后，当你重新考虑这个问题时，也许会惊奇地发现难题已经迎刃而解了。因此，你一定要坚持读完这本书，如果半途而废，就会遗憾地错过大量精彩的内容。
规则3：本书最后一章你非读不可。最后一章介绍的是数学中的无穷大，其中有许多你在学校里可能学不到的精彩内容，而且不要求你必须先阅读前面的章节。不过，我在这一章里提到的很多观点与概念在前面的章节里都出现过，因此阅读第12章可能会激励你回顾前面章节的内容。
规则π：做好迎接惊喜的心理准备。尽管数学是一门严肃的重要学科，但这并不意味着数学教学工作必须一本正经、枯燥无味。作为美国哈维穆德学院的一名数学老师，为了活跃课堂气氛，我在上课时偶尔会讲笑话、朗诵诗歌、唱歌或者表演魔术。我在创作本书的过程中，也经常使用这些手段。不过，这不是在我的课堂上，因此我就不唱歌了。（恭喜你的耳朵逃过一劫！）
请记住这些规则，然后跟我一起去领略数学的神奇！第1章数字之舞数字的美妙规律
数学学习始于数字。在我们学会数数，以及利用文字、数字和实物来表示数的概念之后，学校老师就会教我们通过加、减、乘、除等运算程序摆弄这些数字，而且这个过程会持续多年。但是，我们往往不会注意到这些数字本身就具有某些神奇的魔力，稍加研究，便会给我们带来无穷的乐趣。
以数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Karl Friedrich Gauss）小时候遇到的一个问题为例。一天，为了在自己处理其他事务时也让学生们有事可做，高斯的老师给全班同学布置了一个繁重的计算任务，要求他们求出从1至100的所有数字的和。结果，高斯很快就写出了答案——5 050，让老师和其他同学大为震惊。他是怎么得出这个答案的呢？高斯默想着把从1至100的所有数字分成两行，1至50按从小到大的顺序位于第一行，51至100按从大到小的顺序位于下面一行，如下图所示。高斯发现，每一列的两个数字的和都等于101，因此所有数字的总和就是50×101，等于5 050。将1~100的数字分为两行，每一列的两个数字的和都为101
后来，高斯成了19世纪最伟大的数学家，这并不是因为他善于心算，而是因为他可以让数字展现出优美的舞姿。我们将在本章探讨很多有趣的数字规律，以了解数字是如何跳出美丽的舞蹈的。其中，有的规律可以帮助我们提高心算的速度，有的则会给我们带来美的享受。
我们在前文中用高斯的方法计算了前100个数字的和，如果我们需要计算前17个、1 000个或者100万个数字的和，该怎么办呢？事实上，我们可以利用高斯的方法，计算前n个数字的和，n可以取任意值。有人可能会觉得数字过于抽象，那么我们可以结合图形来表示这个过程。如下图所示，由于1、3、6、10和15等数字可以用相应个数的小圆圈表示，这些小圆圈又可以排列成三角形，因此我们把这些数字称作“三角形数”（triangular number）。（也许你认为一个圆圈无法构成一个三角形，但1还是被视为三角形数。）根据三角形数的定义，第n个三角形数为1 + 2 + 3 + … + n。前5个三角形数是1、3、6、10和15
请注意观察，如果把两个三角形并排放置，如下图所示，会出现什么样的结果呢？在这个矩形中，一共有多少个小圆圈？
这个由两个三角形构成的矩形共包含5行和6列小圆圈，总数为30个。因此，每个三角形所包含的小圆圈数应该是矩形的1/2，也就是15个。当然，这个结果我们早已知道。但是，上述方法表明，如果我们把包含n行小圆圈的两个三角形放到一起，那么所得到的矩形包含n行和n + 1列小圆圈，也就是n×(n+1)个［通常简写为n（n+1）个］。于是，前n个数字的求和公式就这样被推导出来了：
请大家回想一下这个推导过程。通过求前100个数字的和，我们找出一个规律，然后加以推广，就可以处理同一类型的所有问题。如果要求从1至100万的所有数字的和，只需两步就可完成：1 000 000乘以1 000 001，再除以2！
一旦你找到了一个数学公式，其他公式常常会自动地出现在你的眼前。例如，如果我们把上述方程式的两边同时乘以2，就会得出前n个偶数的求和公式：
2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n + 1)
那么，前n个奇数的和是多少呢？让我们看看数字会给我们哪些提示。前n个奇数的和是多少？
等号右边的数字都是“完全平方数”（perfect squares）：1 × 1，2 × 2，3 × 3，等等。不难看出，前n个奇数的和似乎是n × n，记作n2。但是，如何确定这个结果不是一种暂时性的巧合呢？我们将在第6章通过几种方法来推导出这个公式。不过，我们应该可以找到一个非常简单的方法，解释这个并不复杂的规律。我最喜欢使用的证明方法仍然是计算小圆圈的个数，这个方法还会告诉我们像25这样的数字为什么又叫完全平方数。前5个奇数的和为什么是52呢？看看下图中边长为5的正方形，你就知道了。正方形中共包含多少个小圆圈？
这个正方形共包含5×5=25个小圆圈。接下来，我们换一种方法来数上图中的小圆圈的个数。我们从左上角的第一个小圆圈开始数，它依次被3个、5个、7个和9个小圆圈包围，即：
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52
如果正方形的边长是n，我们就可以把它分成n个大小分别是1，3，5，…，(2n – 1)的L形区域（开口朝向左上角）。于是，我们得出前n个奇数的求和公式：
1 + 3 + 5 + … + (2n–1) = n2延伸阅读
我们将在本书后面的章节中看到，高等数学可以利用这种统计小圆圈个数的方法（以及通过两种不同方法回答一个问题的常规做法），得出一些非常有意思的结果。不过，我们也可以借助这种方法去理解初等数学，例如，为什么3 × 5 = 5 × 3。小时候，老师告诉我们，因数的先后次序不会影响乘积的大小（这在数学领域被称为乘法交换律）。我相信，你们当时根本没有怀疑它的准确性。但是，每袋装5枚弹珠、共3袋，和每袋装3枚弹珠、共5袋，弹珠的总数为什么一样多呢？数一数3 × 5的矩形中小圆圈的个数，就能理解其中的道理了。按行统计，我们看到一共有3行，每行有5个小圆圈，所以小圆圈的个数是3 × 5。但是，如果按列计算，那么一共有5列，每列3个小圆圈，因此小圆圈的个数是5 × 3。为什么3 × 5 = 5 × 3？
利用奇数和的规律，我们还可以发现一个更加优美的规律。如果我们的目标是让这些数字跳舞，那么它们应该跳的是“方块舞”（square dancing）。
你发现其中的规律了吗？每行数字的个数很容易数清楚，分别是3、5、7、9、11，等等。然而，下面这个规律却可能是大家想不到的。每行的第一个数字是多少？从前5行看，分别是1、4、9、16、25，它们都是完全平方数。为什么呢？我们以第5行为例。在第5行之前，一共出现了多少个数字？数一数前4行的数字，共有3 + 5 + 7 + 9个。在这个和的基础上加1，就可以得到第5行的第一个数字，所以，这个数字就是前5个奇数的和，即52。
接下来，我们不用求和的方法，证明第5个等式成立。如果高斯遇到这种情况，他会怎么做呢？我们先不看这行的第一个数，也就是25，那么等号左边只剩下5个数，而且它们分别比等号右边的5个数小5。第5个等式左右两边数字的比较
因此，等式右边5个数的和比等式左边除25之外的5个数的和大25。但是，两者之间的差正好被等式左边的第一个数字25弥补了，因此等式成立。利用同样的方法完成一些代数运算就可以证明，即使行数无限增加，这个规律也依然存在。延伸阅读
下面，我把这些代数运算介绍给大家，如果你不感兴趣，可以略过不看。在第n行之前，有3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = n2– 1个数字，因此第n行的第一个数字是n2，后面有n个连续的数字，从n2 + 1至n2 + n。等式右边有n个连续的数字，从n2 + n + 1至n2 + 2n。如果先不考虑等式左边的第一个数字n2，就会发现等式右边的n个数字分别比等式左边对应的n个数字大n，因此两者的差是n × n，即n2。如果加上左边第一个数字n2，等式就成立了。
我们再讨论另外一个规律。我们已经知道，可以利用奇数得到平方数。现在，我们把下图大三角形中的所有奇数相加，看看得数有什么规律。奇数三角形
我们发现3 + 5 = 8，7 + 9 + 11 = 27，13 + 15 + 17 + 19 = 64。数字1、8、27和64有什么共同点呢？它们都是“完全立方数”（perfect cubes）！例如，将第5行的5个数字相加，就会得到
21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 5×5×5 = 53
这个规律似乎表明，第n行所有数字的和是n3。这是一个永恒的规律，还是一个奇特的巧合呢？为了理解这个规律，我们观察第1、3、5行，看看每行正中间的那个数字有什么特点。可以看到，这三个数字分别是完全平方数1、9和25。第2行和第4行的正中间不是数字，但是加号左右两边的两个数字分别是3、5和15、17，它们的平均数分别是4和16。这个规律如何加以利用呢？
查看第5行我们就会发现，这5个数字关于25左右对称。因此无须相加，我们就可以知道它们的和是53。这是因为这5个数的平均值是52，它们的和是52 + 52 + 52 + 52 + 52 = 5 ×52，即53。同理，第4行中4个数字的平均值是42，因此它们的和必然是43。通过一些代数运算（这里不再赘述），我们就能证明第n行中n个数字的平均值是n2，它们的和是我们预期的n3。
关于立方数和平方数，我再给大家介绍一个规律吧。从13开始，将所有数字的立方数相加，这个和有什么特点呢？自然数的立方和肯定是一个完全平方数
自然数的立方和分别是1、9、36、100、225，等等，它们都是完全平方数。而且，这些完全平方数还具有某种特点：它们是1、3、6、10、15…的平方数，而这些数字又都是三角形数！前文中已经讨论过，这些三角形数都是整数的和，因此
13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 225 = 152 =(1 + 2 + 3 + 4 + 5)2
换句话说，前n个自然数的立方和等于前n个自然数的和的平方。现在，我们还不能证明这个结论是正确的，在第6章中我将为大家介绍两种相关的证明方法。又快又准的心算法
看着数字的这些规律，有人禁不住会问：“这些规律确实很有意思，但是它们有什么用处呢？”对于这样的问题，任何艺术家都会嗤之以鼻，因为在他们眼中，这些优美的规律本身就是一种美！大多数数学家也会有同样的反应。而且，对这些规律的理解越深入，就越能体会其中蕴藏的美。有的规律不仅优美，还可以用来解决某些实际问题。
下面以一个我年轻时发现的简单规律为例。这个发现让我非常开心，尽管我并不是发现这个规律的第一人。当时，我正在求解和为20的两个数字（例如10和10，9和11）的最大乘积。我发现，当这两个数字都是10时，它们的乘积可能是最大的。结果，下图揭示的规律证实了我的猜想。和为20的两个数字的乘积
这个规律没有任何错误。随着两个数字之间的差不断增大，它们的乘积却越来越小。这些乘积与100的差是多少呢？答案是1、4、9、16、25，也就是12、22、32、42、52，以此类推。这个规律是不是始终有效呢？我决定验证一下和为26的两个数字是否也符合这个规律。和为26的两个数字的乘积
同样，当这两个数字相等时，它们的乘积最大，而且这些乘积与169的差依次为1、4、9，等等。在验证了几次之后，我确信这个规律是正确的。（我会在下文中用代数方法证明它。）然后我发现，我可以用这个规律快速地完成平方运算。
假设要计算13的平方数。我们无须直接计算13 × 13，而可以进行更简单的计算：10×16 = 160。这个得数与正确答案已经非常接近了。由于这两个因数与13分别相差3，因此还需要在它们乘积的基础上加上32。即
132 =(10×16) + 32 = 160 + 9 = 169
再试一次，利用这个方法计算98 × 98。一个因数加上2等于100，另一个因数减去2等于96，在100×96的乘积基础上加上22。即
982 =(100×96) + 22 = 9 600 + 4 = 9 604
如果某个数的个位数是5，进行平方运算时就会特别简单，因为该数字分别加、减5之后，两个因数的个位数都是0。例如：
352 =(30×40) + 52 = 1 200 + 25 = 1 225
552 =(50×60) + 52 = 3 000 + 25 = 3 025
852 =(80×90) + 52 = 7 200 + 25 = 7 225
现在，试试看如何计算592。因数59分别加、减1之后，算式就变为：592 = (60 × 58) + 12。但是，60 × 58怎么心算呢？答案是：由左至右。先忽略60后面的那个0，用从左至右的方法计算6 × 58：6 × 50 = 300，6 × 8 = 48。然后，把这两个数字（从左至右）相加，得到348。因此，60 × 58 = 3 480。那么
592 =(60×58) + 12 = 3 480 + 1 = 3 481延伸阅读
下面，我们通过代数运算来解释其中的道理。（在你读完第2章关于平方差的内容之后，再回过头来看这部分内容，效果可能会更好。）
A2 = (A + d) (A–d) + d2
其中A是平方运算的底数，d是A与离其最近的简便数字的差（当然，d取任意值时，上述公式都成立）。例如，计算59的平方数时，A = 59，d = 1。根据公式，计算(59 + 1)×(59–1) + 12就可以得出答案。
在你对两位数的平方运算感到得心应手之后，还可以利用这个方法完成三位数的平方运算。例如，如果我们知道122 = 144，那么
1122 = (100×124) + 122 = 12 400 + 144 = 12 544
如果乘法运算中的两个因数都与100接近，就可以利用类似方法完成计算。第一次看到这个方法时，大家都会觉得它很神奇。以104×109为例。如下图所示，我们在每个数字旁边写上该数字与100的差。然后，将第一个数字与第二个差相加，即104 + 9 = 113。再将两个差相乘，即4×9 = 36。最后，将这两个运算步骤的得数写到一起，答案就会神奇地出现在你的眼前。计算两个接近100的数字乘积的神奇算法（以104×109 = 11 336为例）
第2章将进一步介绍类似的例子，并利用代数方法讨论其中的道理。不过，既然提到心算，我就多说几句。我们花了大量时间学习纸笔计算，但在心算方面投入的时间却很少。然而，在大多数现实情况下，我们需要的可能不是纸笔运算能力，而是心算能力。对于数额较大的运算，我们大多会用计算器得到确切答案，但在看营养成分表或者听演讲、销售报告时，我们通常不会掏出计算器，而是在心里对某些重要数字进行大致的估算。学校教给我们的那些方法往往只适用于纸笔运算，而心算效果通常不是很好。
各种快速心算的方法可以写成一本书，但我在这里仅介绍一些最基本的策略。我觉得需要再三强调的一个做法是从左至右计算。心算是一个不断追求简便化的运算过程。遇到一个难题时，我们应该把它转化成多个比较简单的问题，直到最后得出答案。加法心算
请思考下面这道题：
314 + 159（我用横式给出这道题，目的是不让你进入纸笔运算模式。）先在314的基础上加上100，以降低题目的难度：
414 + 59
在414的基础上加上50，以进一步降低难度，使它变成我们可以轻松解决的问题：
464 + 9 = 473
以上就是加法心算的本质所在。除此之外，我们偶尔还会采用的一个有效方法，就是把较难的加法问题变成较简单的减法问题。在计算零售商品的价格时，我们经常需要采用这个方法。例如，请计算：
23.58美元 + 8.95美元
8.95美元比9美元少5美分，因此我们可以先在23.58美元的基础上加上9美元，再减去5美分。通过这个方法，这道难题就变简单了：
32.58美元 – 0.05美元=32.53美元减法心算
做减法心算时，最常用的重要策略是增大减数。例如，当减数是9时，更简单的方法是先减去10，再加上1。例如：
83 – 9 = 73 + 1 = 74
再例如，当减数是39时，先减去40，再加上1的计算方法可能会更简便。
83 – 39 = 43 + 1 = 44
如果减数是两位以上的多位数，心算时就需要使用一个非常重要的概念——“补数”（complements）。某个数的补数是这个数与它最近的“约整数”（round number）之间的差。一位数的补数就是该数与10之间的差，例如，9的补数是1。两位数的补数是该数与100的差。下面是几组和为100的数字，能看出其中有什么特点吗？互补的两位数相加，和为100
我们说87的补数是13，75的补数是25，以此类推。反之，13的补数是87，25的补数是75。从左至右仔细研究这5道题，就会发现所有题目（最后一道题除外）中最左边的数字相加等于9，最右边的数字相加等于10。只在两个数字的个位数都是0（例如，最后一道题）时，才会出现例外结果。例如，80的补数是20。
请利用上述方法计算1 234 – 567的得数。在进行纸笔运算时，这道题不会让人觉得多有意思。但是，如果利用补数来计算，就会把比较难的减法问题变成比较容易的加法问题！当减数是567时，我们先减去600。这个运算不难，如果从左至右思考，就更简单了：1 234 – 600 = 634。但是，你把减数变大了，大了多少呢？想一想，567与600相差多少？这与67和100的差是一样的，都是33。
1 234 – 567 = 634 + 33 = 667
请注意，这道加法题特别简单，因为它不涉及“进位”（carries）。利用补数做减法计算时，通常都不需要进位。
三位数的补数也有类似特点。互补的三位数相加，和为1 000
在大多数情况下（个位数不是0），两个互补的三位数对应数位上的数相加之和是9，但最后一位数字相加之和是10。以789和211为例，7 + 2 = 9，8 + 1 = 9，9 + 1 = 10。在找零钱时，运用这个方法就会非常方便。例如，我从附近熟食店买的三明治价格是6.76美元。如果我付给收银员10.00美元，他应该找给我多少钱呢？计算过程十分简单，就是找到676的补数，即324。因此，熟食店应该找给我3.24美元。延伸阅读
我每次买这种三明治时，都会情不自禁地想到它的价格与找零竟然都是完全平方数（262 = 676，182 = 324）。（给大家出一道附加题：还有两个数字的完全平方数之和也正好是1 000，你能找到它们吗？）乘法心算
记住10以内的乘法表之后，就可以利用心算得出所有乘法问题的答案，至少是一个近似答案。接下来，我们需要掌握（无须死记硬背）一位数与两位数乘法问题的解法，其中的关键是从左至右计算。例如，求8×24的得数时，应该先计算8×20，然后再加上8×4的乘积：
8×24 = (8×20) + (8×4) = 160 + 32 = 192
熟练掌握这个方法之后，就可以用心算解决一位数与三位数的乘法问题了。这类问题的难度有所增加，因为需要记忆的信息增加了。其关键是在计算过程中一步一步地完成加法运算，以免需要记忆太多的数字。例如，在求456×7的积时，如下图所示，先求2 800 + 350的和，再加上42。
掌握了一位数与三位数的乘法心算之后，就可以着手解决两位数与两位数的乘法问题了。在我看来，这样的题目才有点儿意思，因为通常来说，你可以用不同的方法解决这些问题，检验答案是否正确，还可以享受快速找到答案的喜悦之情！下面，我通过计算32×38，向大家介绍这些方法。
大家最熟悉的方法（与纸笔运算最接近的一种方法）是加法，该方法适用于解决所有乘法问题。首先，把其中一个因数（通常是位数较少的那个因数）分成两个部分，然后这两个部分分别与另一个因数相乘，最后将乘积相加。例如：
32×38 = (30 + 2)×38 = (30×38) + (2×38) = …
那么，如何计算30×38呢？先计算3×38，然后在乘积的后面添加一个0。由于3×38 = 90 + 24 = 114，因此30×38 = 1 140。再计算2×38 = 60 + 16 = 76，因此：
32×38 = (30×38) + (2×38) = 1 140 + 76 = 1 216
计算这类问题（尤其当其中一个因数的末位是7、8或者9时）的另一种方法是减法。在这个例子中，我们要用到38 = 40 – 2，那么：
38×32 = (40×32) – (2×32) = 1 280 – 64 = 1 216
用加法和减法求两位数与两位数的乘积时，我们需要记住一个较大的数字（例如，这个例子中的1 140和1 280），还要进行其他运算。这对我们来说是一个比较难的挑战。通常，我喜欢用“因数分解法”（factoring method）来计算两位数与两位数的乘积。只要其中一个因数可以表示成两个一位数乘积的形式，就可以采用这种方法。例如，我们发现32可以分解成8×4，因此：
38×32 = 38×8×4 = 304 × 4 = 1 216
如果我们把32分解成4×8，上述运算就会变成38×4×8 = 152×8 = 1 216。不过，我喜欢先用较大的因数去乘以剩下的那个两位数，这样一来，最后与这个乘积（常常是一个三位数）相乘的就是那个较小的因数了。延伸阅读
在一个因数是11的倍数时，因数分解法可以起到很好的效果。在这种情况下，有一个特别简单的巧妙算法：在另一个因数的两个数位中间插入这两个数位上的数字之和，就可以得到你所求的乘积。例如，计算53×11时，因为5 + 3 = 8，因此最终的乘积就是583。27×11呢？因为2 + 7 = 9，因此答案是297。如果两个数字之和大于9，怎么办？在这种情况下，我们插入和的个位数，然后在第一个位数上加1。例如，由于4 + 8 = 12，因此48×11的答案是528。同理，74×11 = 814。如果一个因数是11的倍数，就可以利用上面这个巧妙的办法。例如：
74×33 = 74×11×3 = 814 × 3 = 2 442
两位数乘法问题的另外一个有趣的解法叫作“就近取整法”（close together method）。当相乘的两个数字的首位数相同时，就可以使用这个方法。第一次接触它时，你会觉得它十分神奇。比如，下面这个例子会不会让你难以置信？
38×32 = (40×30) + (8×2) = 1 200 + 16 = 1 216
当两个数字个位数的和为10时（例如38×32），计算起来尤为简单。（在38×32中，两个数的十位数都是3，个位数的和为8 + 2 = 10。）再举一例：
83×87 = (80×90) + (3×7) = 7 200 + 21 = 7 221
即使个位数的和不等于10，计算起来也不难。例如，在计算41×44时，可以将较小的那个数减去1（得到约整数40），然后将较大的那个数加上1，于是：
41×44 = (40×45) + (1×4) = 1 800 + 4 = 1 804
计算34×37时，如果把34减去4（得到约整数30），与它相乘的数就会变成37 + 4 = 41，再加上4×7：
34×37 = (30×41) + (4×7) = 1 230 + 28 = 1 258
顺便告诉大家，前面介绍的104×109这道题的神秘算法只是本方法的一个应用而已。
104×109 = (100×113) + （4×9）= 11 300 + 36 = 11 336
有的学校要求学生背诵20以内的乘法表。使用上述方法，无须背乘法表，也可以快速算出答案。例如：
17×18 = (10×25) + (7×8) = 250 + 56 = 306
这个神奇的方法为什么有效呢？要回答这个问题，需要进行一些代数运算，我将在第2章做介绍。一旦学习了代数运算之后，我们就能找出新的计算方法。例如，17×18还可以这样解答：
18×17=（20×15）+［（–2）×（–3）］=300+6=306
说到乘法表，请仔细研究下面列出的一位数乘法表。高斯年少时应该会对这个问题感兴趣：这张乘法表中所有数的和是多少？请认真思考，看能不能找出一个简便的计算方法，我将在本章结尾揭晓答案。该乘法表中全部100个数字的和是多少？除法心算
首先，我们看一个答案非常简单但在学校里不大可能学到的问题：（1）如果两个三位数相乘，你能立刻说出乘积是几位
数吗？
以及相关问题：（2）一个四位数与一个五位数相乘，乘积可能是几位
数？
我们花费了大量时间学习多位数的乘法和除法问题，但几乎没有考虑过答案有哪些重要特点。而且，了解答案的大致范围，比知道答案的最后一位数甚至首位数都重要得多。（知道答案的首位数是3，这毫无意义，除非你还知道这个答案更接近于30 000、300 000或3 000 000。）问题（1）的答案是五位数或六位数。为什么？因为符合条件的最小乘积是100×100 = 10 000，它是一个五位数。最大乘积999×999的答案肯定比1 000×1 000 = 1 000 000小，但只小一点儿。1 000 000是最小的七位数，因此999×999肯定是六位数。［当然，你也可以通过心算，很便利地算出最终得数：9992 = (1 000×998) + 1 = 998 001。］也就是说，两个三位数的乘积肯定是五位数或六位数。
问题（2）的答案是八位数或九位数。为什么？最小的四位数是1 000，也可以记作103（1后面有3个0）；最小的五位数是10 000= 104。因此，一个四位数与一个五位数的最小乘积是103×104 = 107，它是一个八位数。［107是怎么得到的？103×104 = (10×10×10)×(10×10×10×10) = 107。］而一个四位数与一个五位数的最大乘积只比104×105 = 109这个十位数小一点儿，因此最后得数最多是九位数。
根据上述分析，我们得出一个非常简单的规则：一个m位数与一个n位数相乘，乘积的位数为m + n或者m + n – 1。
通常，只需要看每个数字的首位数（最左边的那个数），就可以判断出乘积的位数。如果两个数字首位数的乘积是10或者大于10，那么它们的乘积肯定为m + n位数。（以271×828为例，它们首位数的乘积是2×8 = 16，因此答案是六位数。）如果首位数的乘积是4或者小于4，答案就是m + n – 1位数。（例如，314×159的乘积为五位数。）如果首位数的乘积是5、6、7、8或9，则需要仔细思考。（例如，222×444的乘积是五位数，但234×456的乘积是六位数。这两个得数都非常接近100 000，这是其位数不易确定的一个重要原因。）
把上述规则反过来，可以得到一个更简单的除法规则：一个m位数被一个n位数除，商的位数是m – n或者m – n + 1。
例如，一个九位数被一个五位数除，得数肯定是四位数或者五位数。判断到底哪个答案正确的规则，甚至比乘法问题的相关规则还要简单。在这里，我们无须对首位数进行乘法或者除法运算，而是对两个首位数进行比较即可。如果第一个数字（被除数）的首位数比第二个数字的首位数小，答案就是小的那个选项（m – n）。如果第一个数字的首位数大于第二个数字的首位数，答案就是大的那个选项（m – n + 1）。如果两个数字的首位数相同，就需要比较第二个数位上的数字，具体过程同上。例如，314 159 265被12 358除时，商是五位数；但它被62 831除时，商则是四位数。161 803 398被14 142除时，商是五位数，因为16大于14。
除法的心算过程与纸笔运算比较相似，我在这里就不赘述了。（利用纸笔做除法运算时，计算次序一定是从左至右，直到最后得出答案！）但是有时候，一些捷径可以为我们提供便利。
除数是5（或者个位数是5的任何数字）时，将分子、分母同时乘以2，通常会降低计算的难度。例如：
在分子、分母同时乘以2之后，你也许会发现246和9都可以被3整除（我们将在第3章详细讨论这方面的内容），于是，将分子、分母同时除以3，可以进一步简化计算。延伸阅读
看一下从1到10的数字的倒数：
1 / 2 = 0.5，1 / 3 = 0.333…，1 / 4 = 0.25，1 / 5 = 0.2，
1 / 6 = 0.166 6…，1 / 8 = 0.125，1 / 9 = 0.111…，1 / 10 = 0.1
我们发现，以上小数要么在小数点后两位处结束，要么无限循环下去，只有1 / 7例外，它是在小数点后第7位处开始循环的：
1 / 7 = 0.142 857 142 857 …（除了7以外，从2到11的所有数字的倒数都不长，这是因为这些数可以整除10、100、1 000、9、90或者99，而可以被7整除且具有这种特点的最小数字是999 999。）把1 / 7的各个小数项填到圆里，神奇的一幕就会出现在我们眼前：“七分之几”圆
令人吃惊的是，从圆上的某个点开始，顺时针循环下去，就可以得到分母是7的所有分数的数值，具体如下：
1 / 7 = 0.142 857 142 857…，2 / 7 = 0.285 714 285 714…，
3 / 7 = 0.428 571 428 571…，4 / 7 = 0.571 428 571 428…，
5 / 7 = 0.714 285 714 285…，6 / 7 = 0.857 142 857 142…。
在结束本章之前，我来回答一下前文提出的那个问题：把乘法表中所有的数字加到一起，和是多少？同计算前100个数的和一样，这个问题乍一看也非常难。但是，只要我们熟悉了数字之舞呈现出来的令人惊叹的规律，就可以完美地解答这个问题。
我们先将乘法表中第一行的所有数字相加。高斯（或者我们前面见过的三角形数公式，甚至直接相加的方法）肯定会告诉我们：
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55
第二行所有数字的和呢？算起来也非常简单：
2 + 4 + 6 + … + 20 = 2 × (1 + 2 + 3 + … + 10) = 2×55
同理，第三行的和是3×55。因此，我们知道乘法表中所有数字的和是：
(1 + 2 + 3 + … + 10)×55 = 55×55 = 552
通过心算，我们知道答案是3 025！第2章有魔法的代数学一个与代数有关的魔术
小时候，我第一次接触代数是通过我父亲。他说：“孩子，代数与算术没有多大区别，不过是用字母来代替数字。例如，2x + 3x = 5x，3y + 6y = 9y。明白了吗？”我回答说：“好像明白了。”他接着说：“好的，那么5Q + 5Q是多少？”我信心满满地答道：“10Q。”他说：“声音太小了，大点儿声！”于是，我高声答道：“10Q！”结果，[1]父亲回说：“不用谢！”（父亲对双关语、开玩笑和讲故事的兴趣一直都比对数学教学的兴趣大，因此我从一开始就不应该完全相信他说的话！）
我第二次接触代数，是因为我想弄明白下面这个魔术的原理：第一步：在1到10中选择一个数字（你也可以选择一个
大于10的数字）。第二步：把这个数字加倍。第三步：加上10。第四步：除以2。第五步：减去你一开始选择的那个数字。
我猜你得到的数字一定是5，对吗？
这个魔术背后的奥秘是什么？是代数。我们从第一步开始，把这个魔术再回想一遍。我不知道你一开始时选择的是哪个数字，因此我们用N来表示它。当我们用一个字母来表示未知数时，这个字母就被称为“变量”（variable）。
第二步，你把这个数字加倍，它就变成了2N。（由于字母x经常被用作变量，因此我们通常会省略乘号，以免混淆。）第三步，这个数字变成了2N + 10。第四步，在除以2之后，这个数字变成了N + 5。第五步，减去你一开始选择的那个数字，也就是N。从N + 5中减去N，得数是5。我们可以如下简要地表示这个魔术：代数的黄金法则
我们先思考一个问题：某个数字加上5之后，和是这个数字的3倍，请找出这个数字。
为了解答这道题，我们把这个未知数设为x。它加上5之后，就是x + 5；最初的3倍，就是3x。这两个量相等，因此我们需要解下面这个方程式：
3x = x + 5
从左右两边各减去x，方程式就变成：
2x = 5
左右两边同时除以2：
x = 5 / 2 = 2.5
由于2.5 + 5 = 7.5，与2.5的3倍正好相等，因此可以证明这个答案是正确的。延伸阅读
再为大家介绍一个可以利用代数知识来解释个中道理的魔术。写下一个三位数，要求三个数位上的数字逐步减小，例如842或951。然后，彻底颠倒这个三位数的数位次序，并用最初的三位数减去颠倒顺序后得到的三位数。之后，彻底颠倒得数的数位顺序，并与得数相加。我们以853这个数字为例，通过下列算式描述上述步骤：
现在，大家重新选择一个三位数。想好了吗？神奇的事情就要发生了。只要你严格按照上述步骤做，最后的得数一定是1 089！为什么？
代数可以揭开其中的秘密！假设我们选择的三位数是abc，其中a > b > c。我们知道，853 = (8×100) + (5×10) + 3。同理，数字abc=100a + 10b + c。数位完全颠倒之后，数字变成cba，可表示为100c + 10b + a。两个三位数相减之后，就会得到：
(100a + 10b + c) – (100c + 10b + a)
= (100a – a) + (10b – 10b) + (c – 100c)
= 99a – 99c = 99 (a – c)
换句话说，两个三位数的差必然是99的倍数。由于三个数位上的数字最初是逐步减小的，因此a – c至少等于2，或者说可能是2、3、4、5、6、7、8或9。那么，两个三位数之差只能是下面这些数字中的一个：
198、297、396、495、594、693、792或891
无论这个差到底是哪个数字，与数位颠倒之后的数字之和都是：
198 + 891 = 297 + 792 = 396 + 693 = 495 + 594 = 1 089
由此可以看出，最后的结果必然是1 089。
通过这个例子，我们可以看出代数的一个特点：进行代数运算时，必须对等式左右两边一视同仁。我把这条规则称为代数黄金法则。
例如，假设我们想求解下列方程式：
3 (2x + 10) = 90
我们的目标是解出x。先将方程式两边同时除以3，把方程式简化成：
2x + 10 = 30
再在两边同时减去10，把左边的10消掉。这样，方程式就会变成：
2x = 20
接下来两边同时除以2，结果就一目了然了：
x = 10
每次解完方程式，都要验证答案的准确性。在这个例子中，我们发现当x = 10时，3 (2x + 10) = 3×30=90，方程式成立。这个方程式还有其他解吗？没有了。如果还有其他解，这个x也需要满足方程式，因此我们可以确定x = 10是唯一解。
下面是一个与现实生活密切相关的代数问题，来自2014年某一期的《纽约时报》。该报称，索尼影视娱乐有限公司出品的一部电影投入市场之后，前4天的在线销售与出租的总金额是1 500万美元。索尼没有说明在线销售（单价15美元）与出租（单价6美元）分别贡献了多少销售额，但该公司宣布他们一共完成了200万单交易。为了帮助记者解决这个难题，我们用S代表在线销售交易量，用R代表在线出租交易量。由于总交易量是200万单，因此：
S + R = 2 000 000
我们还知道在线销售的单价是15美元，在线出租的单价是6美元，因此总销售额满足下列方程式：
15S + 6R = 15 000 000
根据第一个方程式，我们知道R = 2 000 000 – S。因此，第二个方程式可以改写成：
15S + 6 (2 000 000 – S) = 15 000 000
现在，方程式中只包含一个变量S，整理后就会得到：
9S + 12 000 000 = 15 000 000
两边同时减去12 000 000：
9S = 3 000 000
因此，S大约是100万的1/3，即S ≈333 333；R = 2 000 000 – S ≈1 666 667。（验证答案：总销售额为15×333 333+ 6×1 666 667≈15 000 000美元。）
本书一直在利用某个规则，它被称为“分配律”（the distributive law）。现在，我们需要对这个规则加以讨论。因为有了分配律之后，乘法和加法就可以密切合作了。分配律指出，对于任意数字a、b、c，都有：
a (b + c) = ab + ac
我们在计算一个两位数与一个一位数的乘积时，就会用到分配律。例如：
7×28 = 7×(20 + 8) =7×20 + 7×8 = 140 + 56 = 196
用统计学方法来思考，我们就会明白其中的道理。假设我有7袋硬币，每袋分别装有20枚金币和8枚银币，那么硬币的总数量是多少呢？从一个方面看，每袋装有28枚硬币，因此硬币总是7×28。从另一个方面看，我们有7×20枚金币和7×8枚银币，因此共有7×20 + 7×8枚硬币。也就是说，7×28 =7×20 +7×8。
我们也可以利用几何图形来理解分配律。如下图所示，请从两个不同的角度观察长方形的面积。用长方形面积证明分配律：a (b + c) = ab + ac
从一个角度看，长方形的面积是a (b + c)。从另一个角度看，长方形左边部分的面积是ab，右边部分的面积是ac，总面积是ab + ac。这可以证明，只要a、b、c是正数，分配律就是成立的。
顺便告诉大家，我们有时候会在数字与字母并存的情况下应用分配律。例如：
3 (2x + 7) = 6x + 21
从左至右看，这个方程式可以看作2x + 7的3倍。从右至左看，它又可以看作通过从6x和21中提取3的方式对6x + 21进行因式分解。延伸阅读
负数与负数的乘积是正数，这是为什么？例如，为什么 (–5)×(–7)= 35？针对这个问题，老师们给出了各种各样的解释。有的以抵销债务打比方，有的干脆说“就是这样的，没有什么道理可讲”。但是，真正的原因在于，我们希望分配律不仅适用于正数，而且适用于所有的数字。如果分配律对负数（和零）同样有效，就必须符合上述规则。下面，我来解释其中的道理。
假设我们承认 –5×0 = 0，–5×7 = –35。（我们也可以证明这两个等式是成立的，但是大多数人宁愿把它们作为一种事实来接受。）现在，观察下面这个算式：
–5×(–7 + 7)
它的得数是多少呢？从一个方面看，它等于 –5×0，而且我们已经知道 –5×0=0。从另一个方面看，我们可以利用分配律将它变形为［(–5)×(–7)］+ (–5×7)。因此：
［(–5)×(–7)］+(–5×7) =［(–5)×(–7)］–35 = 0
而且，由于［(–5)×(–7)］–35 = 0，由此可推导出(–5)× (–7)= 35。总之，无论a、b的值是多少，分配律都可以确保 (–a)×(–b) = ab成立。奇妙的FOIL法则
代数中的FOIL法则是分配律产生的一个重要结果。对于任意变量a、b、c、d，都有：
(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd
FOIL是“First–Outer–Inner–Last”（首—外—内—末）的英文首字母缩写。在上式中，ac是 (a + b) (c + d)的两个首项的乘积，ad是外侧的两项乘积，bc是内部的两项乘积，bd是两个末项的乘积。
下面，我们利用FOIL法则来求两个数字的乘积：
23×45 = (20 + 3)×(40 + 5)
=20×40 + 20×5 + 3×40 + 3×5
= 800 + 100 + 120 + 15
= 1 035延伸阅读
FOIL法则为什么成立呢？根据分配律（我们把求和的部分写到前面），可以得到：
(a + b) e = ae + be
如果用c + d 代替e，上式就会变成：
(a + b) (c + d) = a (c + d) + b (c + d) = ac + ad + bc + bd
而且，在最后一步运算中再次应用了分配律。如果大家愿意，也可以利用几何证明法（在a、b、c都是整数时）。请利用两种不同的方法计算如下长方形的面积。
一方面，长方形的面积是 (a + b) (c + d)。另一方面，我们可以将大长方形分成4个小长方形，它们的面积分别是ac、ad、bc和bd。因此，大长方形的面积又等于ac + ad + bc + bd。把这两个面积的表达式放在一起，就得到了FOIL法则。
下面，我向大家介绍FOIL法则的一个奇妙应用。按照下列指示，抛掷两个色子。假设你抛出这两个色子之后，一个色子朝上的一面是6个点，另一个是3个点。它们朝下的一面分别是1个点和4个点。
在这个例子中，最终得数是49。大家随便找两个普通的六面体色子，重复上述步骤，最后的得数都是一样的。这是因为，每个普通色子相对两面的点数之和都等于7。因此，当色子朝上一面的点数是x和y时，那么朝下一面的点数就必然是7 – x和7 – y。利用代数知识，上述步骤就会变成：
请注意，在第三步我们应用了FOIL法则（还请注意，–x乘以–y得到正的xy）。换一个代数运算较少的方法，最终也能得出49。观察每一步，就会发现上述各个等式的左边正好是利用FOIL法则展开［x + (7 – x)］［y + (7 – y)］后得到的4项。
在课堂上学习代数时，FOIL法则在大多数情况下都被用来计算下面这种乘法算式：
(x + 3) (x + 4) = x2 + 4x + 3x + 12 = x2 + 7x + 12
我们注意到，在最终的算式中，7［被称作x项的“系数”（coefficient）］正好是数字3和4的和，12［被称作“常数项”（constant term）］则是3和4的乘积。例如，由于5 + 7 = 12，5×7 = 35，因此我们立刻就可以得出：
(x + 5) (x + 7) = x2 + 12x + 35
这个规律对于负数同样有效，下面我列举几例。在第一个例子中，我们使用的是6 + (–2) = 4和6×(–2) = –12这个事实。
(x + 6) (x – 2) = x2 + 4x – 12
(x + 1) (x – 8) = x2 – 7x – 8
(x – 5) (x – 7) = x2 – 12x + 35
以下是数字相同时的乘法算式实例。
(x + 5)2 = (x + 5) (x + 5) = x2 + 10x + 25
(x – 5)2 = (x – 5) (x – 5) = x2 – 10x + 25
请注意，(x + 5)2 ≠ x2 + 25！代数初学者经常误认为两者是一回事。与此同时，当这些相同数字前面的正负号正好相反时，就会出现一个有趣的现象。例如，由于5 + (– 5) = 0，因此：
(x + 5)(x– 5) = x2 + 5x – 5x – 25 = x2 – 25
总的来说，平方差（difference of squares）公式值得我们背下来：
(x + y)(x – y) = x2 – y2
我们在第1章学习平方数的简便运算时用过这个公式，当时依据的代数知识是：
A2 = (A + d) (A – d) + d2
我们先验证这个公式是否成立。根据平方差公式，我们发现[ (A + d) (A – d )] + d2 =（A2 – d2） + d2 = A2。因此，无论A和d的值是多少，该公式都成立。在实际应用中，A是平方运算的底数，d是该数与其最接近的简便数字之差。例如，在求97的平方数时，我们取d = 3，于是：
972 = (97 + 3)(97 – 3) + 32
= (100×94) + 9
= 9 409延伸阅读
下面，我们通过图形来验证平方差公式是否成立。从下图可以看出，面积为x2 – y2的几何图形经过切割、拼接之后，可以变成一个面积为(x + y)(x – y)的长方形。
我们在第1章学过计算彼此接近的两个数字乘积的简便方法。当时，我们强调这两个数字都接近100，或者首位数相同。一旦理解了这个算法背后的代数原理，我们就可以进一步扩大它的应用范围。下面，我们讨论就近取整法的代数原理。
(z + a) (z + b) = z (z + a + b) + ab
这个公式之所以成立，是因为(z + a) (z + b) = z2 + zb + za + ab，从前三项中提取z，即可得到上述公式。尽管这些变量取任何值时,该公式都成立，但我们通常会为z选择个位数是0的值。例如，在解43×48这道题时，令z = 40，a = 3，b = 8。于是：
43×48 = (40 + 3) (40 + 8)
= 40 (40 + 3 + 8)+ (3×8)
= 40×51 +3×8
= 2 040 + 24
= 2 064
注意，原题中的两个乘数之和为43 + 48 = 91，而简便计算中的两个乘数之和也是40 + 51 = 91。这并不是巧合，因为根据代数运算的结果，原来的两个乘数之和为(z + a) + (z + b) = 2z + a + b，简便运算中两个乘数z与z + a + b的和也是2z + a + b。根据这个代数原理，我们发现向上取整也可以降低运算的难度。例如，在解43×48这道题时，也可以令z = 50，a = –7，b = –2，把其变成50×41。（只要知道43 + 48 = 91 = 50 + 41，就可以方便地确定41这个数值。）于是：
43×48 = (50 – 7) (50 – 2)
= (50×41) + (–7)×(–2)
= 2 050 + 14
= 2 064延伸阅读
在第1章中，我们利用这个方法计算两个略大于100的数字的乘积。其实，计算两个略小于100的数字的乘积时，这个方法同样有效。例如：
96×97 = (100 – 4) (100 – 3)
= (100×93) + ( – 4)×( – 3)
= 9 300 + 12
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]