作者：丘成桐,史蒂夫·纳迪斯
出版社：湖南科学技术出版社
格式: AZW3, DOCX, EPUB, MOBI, PDF, TXT
第一推动丛书·物理系列：大宇之形(四国科学院院士丘成桐细谈从柏拉图到宇宙未来的形貌，以及美到难以置信的卡拉比猜想)试读：
总序
《第一推动丛书》编委会科学，特别是自然科学，最重要的目标之一，就是追寻科学本身的原动力，或曰追寻其第一推动。同时，科学的这种追求精神本身，又成为社会发展和人类进步的一种最基本的推动。
科学总是寻求发现和了解客观世界的新现象，研究和掌握新规律，总是在不懈地追求真理。科学是认真的、严谨的、实事求是的，同时，科学又是创造的。科学的最基本态度之一就是疑问，科学的最基本精神之一就是批判。
的确，科学活动，特别是自然科学活动，比起其他的人类活动来，其最基本特征就是不断进步。哪怕在其他方面倒退的时候，科学却总是进步着，即使是缓慢而艰难的进步。这表明，自然科学活动中包含着人类的最进步因素。
正是在这个意义上，科学堪称为人类进步的“第一推动”。
科学教育，特别是自然科学的教育，是提高人们素质的重要因素，是现代教育的一个核心。科学教育不仅使人获得生活和工作所需的知识和技能，更重要的是使人获得科学思想、科学精神、科学态度以及科学方法的熏陶和培养，使人获得非生物本能的智慧，获得非与生俱来的灵魂。可以这样说，没有科学的“教育”，只是培养信仰，而不是教育。没有受过科学教育的人，只能称为受过训练，而非受过教育。
正是在这个意义上，科学堪称为使人进化为现代人的“第一推动”。
近百年来，无数仁人志士意识到，强国富民再造中国离不开科学技术，他们为摆脱愚昧与无知做了艰苦卓绝的奋斗。中国的科学先贤们代代相传，不遗余力地为中国的进步献身于科学启蒙运动，以图完成国人的强国梦。然而可以说，这个目标远未达到。今日的中国需要新的科学启蒙，需要现代科学教育。只有全社会的人具备较高的科学素质，以科学的精神和思想、科学的态度和方法作为探讨和解决各类问题的共同基础和出发点，社会才能更好地向前发展和进步。因此，中国的进步离不开科学，是毋庸置疑的。
正是在这个意义上，似乎可以说，科学已被公认是中国进步所必不可少的推动。
然而，这并不意味着，科学的精神也同样地被公认和接受。虽然，科学已渗透到社会的各个领域和层面，科学的价值和地位也更高了，但是，毋庸讳言，在一定的范围内或某些特定时候，人们只是承认“科学是有用的”，只停留在对科学所带来的结果的接受和承认，而不是对科学的原动力——科学的精神的接受和承认。此种现象的存在也是不能忽视的。
科学的精神之一，是它自身就是自身的“第一推动”。也就是说，科学活动在原则上不隶属于服务于神学，不隶属于服务于儒学，科学活动在原则上也不隶属于服务于任何哲学。科学是超越宗教差别的，超越民族差别的，超越党派差别的，超越文化和地域差别的，科学是普适的、独立的，它自身就是自身的主宰。
湖南科学技术出版社精选了一批关于科学思想和科学精神的世界名著，请有关学者译成中文出版，其目的就是为了传播科学精神和科学思想，特别是自然科学的精神和思想，从而起到倡导科学精神，推动科技发展，对全民进行新的科学启蒙和科学教育的作用，为中国的进步做一点推动。丛书定名为“第一推动”，当然并非说其中每一册都是第一推动，但是可以肯定，蕴含在每一册中的科学的内容、观点、思想和精神，都会使你或多或少地更接近第一推动，或多或少地发现自身如何成为自身的主宰。再版序一个坠落苹果的两面：极端智慧与极致想象龚曙光2017年9月8日凌晨于抱朴庐
连我们自己也很惊讶，《第一推动丛书》已经出了25年。
或许，因为全神贯注于每一本书的编辑和出版细节，反倒忽视了这套丛书的出版历程，忽视了自己头上的黑发渐染霜雪，忽视了团队编辑的老退新替，忽视好些早年的读者已经成长为多个领域的栋梁。
对于一套丛书的出版而言，25年的确是一段不短的历程；对于科学研究的进程而言，四分之一个世纪更是一部跨越式的历史。古人“洞中方七日，世上已千秋”的时间感，用来形容人类科学探求的速律，倒也恰当和准确。回头看看我们逐年出版的这些科普著作，许多当年的假设已经被证实，也有一些结论被证伪；许多当年的理论已经被孵化，也有一些发明被淘汰……
无论这些著作阐释的学科和学说属于以上所说的哪种状况，都本质地呈现了科学探索的旨趣与真相：科学永远是一个求真的过程，所谓的真理，都只是这一过程中的阶段性成果。论证被想象讪笑，结论被假设挑衅，人类以其最优越的物种秉赋——智慧，让锐利无比的理性之刃，和绚烂无比的想象之花相克相生，相否相成。在形形色色的生活中，似乎没有哪一个领域如同科学探索一样，既是一次次伟大的理性历险，又是一次次极致的感性审美。科学家们穷其毕生所奉献的，不仅仅是我们无法发现的科学结论，还是我们无法展开的绚丽想象。在我们难以感知的极小与极大世界中，没有他们记历这些伟大历险和极致审美的科普著作，我们不但永远无法洞悉我们赖以生存世界的各种奥秘，无法领略我们难以抵达世界的各种美丽，更无法认知人类在找到真理和遭遇美景时的心路历程。在这个意义上，科普是人类极端智慧和极致审美的结晶，是物种独有的精神文本，是人类任何其他创造——神学、哲学、文学和艺术无法替代的文明载体。
在神学家给出“我是谁”的结论后，整个人类，不仅仅是科学家，包括庸常生活中的我们，都企图突破宗教教义的铁窗，自由探求世界的本质。于是，时间、物质和本源，成为了人类共同的终极探寻之地，成为了人类突破慵懒、挣脱琐碎、拒绝因袭的历险之旅。这一旅程中，引领着我们艰难而快乐前行的，是那一代又一代最伟大的科学家。他们是极端的智者和极致的幻想家，是真理的先知和审美的天使。
我曾有幸采访《时间简史》的作者史蒂芬·霍金，他痛苦地斜躺在轮椅上，用特制的语音器和我交谈。聆听着由他按击出的极其单调的金属般的音符，我确信，那个只留下萎缩的躯干和游丝一般生命气息的智者就是先知，就是上帝遣派给人类的孤独使者。倘若不是亲眼所见，你根本无法相信，那些深奥到极致而又浅白到极致，简练到极致而又美丽到极致的天书，竟是他蜷缩在轮椅上，用唯一能够动弹的手指，一个语音一个语音按击出来的。如果不是为了引导人类，你想象不出他人生此行还能有其他的目的。
无怪《时间简史》如此畅销！自出版始，每年都在中文图书的畅销榜上。其实何止《时间简史》，霍金的其他著作，《第一推动丛书》所遴选的其他作者著作，25年来都在热销。据此我们相信，这些著作不仅属于某一代人，甚至不仅属于20世纪。只要人类仍在为时间、物质乃至本源的命题所困扰，只要人类仍在为求真与审美的本能所驱动，丛书中的著作，便是永不过时的启蒙读本，永不熄灭的引领之光。虽然著作中的某些假说会被否定，某些理论会被超越，但科学家们探求真理的精神，思考宇宙的智慧，感悟时空的审美，必将与日月同辉，成为人类进化中永不腐朽的历史界碑。
因而在25年这一时间节点上，我们合集再版这套丛书，便不只是为了纪念出版行为本身，更多的则是为了彰显这些著作的不朽，为了向新的时代和新的读者告白：21世纪不仅需要科学的功利，而且需要科学的审美。
当然，我们深知，并非所有的发现都为人类带来福祉，并非所有的创造都为世界带来安宁。在科学仍在为政治集团和经济集团所利用，甚至垄断的时代，初衷与结果悖反、无辜与有罪并存的科学公案屡见不鲜。对于科学可能带来的负能量，只能由了解科技的公民用群体的意愿抑制和抵消：选择推进人类进化的科学方向，选择造福人类生存的科学发现，是每个现代公民对自己，也是对物种应当肩负的一份责任、应该表达的一种诉求！在这一理解上，我们将科普阅读不仅视为一种个人爱好，而且视为一种公共使命！
牛顿站在苹果树下，在苹果坠落的那一刹那，他的顿悟一定不只包含了对于地心引力的推断，而且包含了对于苹果与地球、地球与行星、行星与未知宇宙奇妙关系的想象。我相信，那不仅仅是一次枯燥之极的理性推演，而且是一次瑰丽之极的感性审美……
如果说，求真与审美，是这套丛书难以评估的价值，那么，极端的智慧与极致的想象，则是这套丛书无法穷尽的魅力！时空统一颂
时乎时乎 逝何如此
物乎物乎 系何如斯
弱水三千 岂非同源
时空一体 心物互存
时兮时兮 时不再欤
天兮天兮 天何多容
亘古恒迁 黑洞冥冥
时空一体 其无尽耶
大哉大哉 宇宙之谜
美哉美哉 真理之源
时空量化 智者无何
管测大块 学也洋洋——丘成桐，2002年写于北京中文版序希望年轻人能理解数学之美，以及我做学问的精神
十多年来，我花了不少时间到世界各地做通俗演讲，向听众解释数学的美妙。每次演讲完后，总觉得意犹未尽，后来又因为一些机缘，激发我的兴趣，想写一本给一般大众阅读的科普书。《大宇之形》（The Shape of Inner Space）就是这样的一本书，是我和纳迪斯先生（Steve Nadis）合写的，写作过程并不容易，前后花了我们四年的工夫。
2002年，浙江大学数学所成立，我邀请了一批有国际声望的数学和物理学家来参加学术会议，其中包括霍金（Stephen Hawking）、大卫·格罗斯（David Gross）、威滕（Edward Witten）等闻名遐迩的大师。其中最引人注目的是霍金的演讲，当时整个浙江都轰动起来，有超过三千位听众在大球场上听讲。后来在北京的国际弦理论大会上，我们决定霍金的演讲不收入场费，但要凭入场券入场，没想到一票难求，黄牛票竟卖到人民币二百元以上。当时中国国家主席江泽民在中南海接见上述来宾时，很高兴地表扬了“霍金热”，媒体更是一致称颂。但是有些物理学家并不满意媒体的报道，认为他们未能好好解释霍金在科学上的成就，大多数人无从了解霍金这位物理大师的为人和学问。
当年，国际数学家大会（ICM）也在北京举行，知名的诺贝尔经济学奖得主、数学家纳什也参加了这次大会。我在开会前与他共进晚餐时，谈到一本描述他生平的书，以及该书改编的电影（即《美丽境界》[A Beautiful Mind]及其同名电影。内地及香港地区则译为《美丽心灵》），纳什向我抱怨这本书的作者和电影的编剧，从来没有跟他交谈过，写出来与演出来的内容许多都跟事实不符。
到了2006年，我在北京再度召开国际弦理论大会，邀请许多物理学家和数学家与会，当然也邀请了上述2002年访问中国的大师。为了减轻大会的经济负担，我得到霍金教授的同意，让他的团队经过香港一行。但由于他的团队人数众多，香港中文大学无法支应经费，所以我请香港科技大学的郑绍远在科大举办一场霍金的演讲，没料到香港媒体极为兴奋，大肆宣传。后来在北京的大会上，更有六千多人在人民大会堂听霍金的演讲。当时湖南科学技术出版社已经翻译了霍金教授的畅销科普书。而在同一段时间，媒体也对当时数学庞加莱猜想的解决极感兴趣。然而无论中国或外国的媒体，都未能把握到这些科学成果的真意，殊为可惜。
这些经验让我体会到科普工作的重要性与难度，其中尤以撰写数学科普书更为困难。大部分数学科普作者太注重描述数学家个人的个性或轶闻，很少能真正触及数学吸引人之美与内在的真实。许多作者更因为害怕读者读不懂，往往将最精彩的地方一笔带过。甚至明知自己的解释有误，但为了读者容易阅读，就模模糊糊、将就过去。我很希望能写出一本数学科普书来矫正这种毛病。
于是，我找了纳迪斯来合写这本书，阐述我在毕业后十五年内的重要工作，并描述我在解决这些问题时所遇到的困难，以及克服问题后的喜悦感受，同时也在字里行间带出我与朋友和学生的交谊点滴。
一般来说，数学家很少会写出自己创作的经验，再加上我做的研究与物理学密切相关，所以写这本书时，自己觉得很有意思，希望年轻人或年轻学者能理解我做学问的精神。纳迪斯的文笔极好，他是一位擅长用通俗语言描述天文学的职业作家，虽然不很懂数学，却满怀学习的热情。这样的合作伙伴最是难得，因为我需要借比较简单的语言，描述深奥的数学内涵。通过纳迪斯的领会，总算能将这些想法向大众表达出来。从美国读者的反映知道，我们获得了一定程度的成功。而且如今，纳迪斯也成为数学专家了。
犹记得当年解决卡拉比猜想时，我心中的感觉可以用两句宋词贴切表达：
落花人独立
微雨燕双飞
我希望这本书的中文译本，能够将数学家、物理学家这种和大自然融成一体的美妙感觉表现出来。翁秉仁是我从前的博士生，精通数学，文笔很好。我感谢他与赵学信先生花了这么多宝贵的时间将这本书翻译出来，得其神韵，实在不易。
我衷心感谢给我们帮忙的人，除了英文序中提到的数学家和物理学家、纳迪斯、翁秉仁和赵学信外，我还要感谢远流出版社和湖南科学技术出版社出版这本书的中文译本。英文版序数学，是一场波澜壮阔的冒险！
大家常说，数学是科学的语言，或至少是物理科学的语言。显而易见的，想要确切描述物理定律，只能使用数学方程式，无法诉诸日常书写或口语的文字。但是只把数学当成一门语言，对这个学科全然不公平，因为语言这个字眼让人有错误的印象，以为数学除了挑挑叙述的毛病并稍微改正之外，就清清楚楚、了无新意。
但这其实谬误之极。虽然数学家在数千年的历史过程中，为数学打造了坚实的基础，但今天的数学仍然兴盛与活跃如昔。数学并不是静止稳定的知识体系，而是充满活力、不断在演变中的科学，和其他科学一样，每天都有崭新的洞识与发现。只是，除非解决几个世纪的难题，数学的发展鲜少能登上头条新闻，不像其他科学，经常有发现新基本粒子、新星体，或新抗癌疗程等热门议题。
但是对于能品赏数学真谛的人，数学绝不只是一种语言而已，而是通往真理最确定的道路，是整座物理科学大厦所依凭的坚实磐石。这个学科的力量，并不仅止于解释或彰显实在的物理世界，因为对数学家来说，数学就是实在的世界。我们证明的几何形体与空间，其真实性绝不亚于构成所有物质的基本粒子。不过我们认为数学结构比起大自然的粒子更为基本，因为除了厘清粒子行为之外，数学还能解释形形色色的日常生活现象，从脸部轮廓到花朵的对称性等。面对现实世界的熟悉模式与形体，或许最能令几何学家兴奋的，正是其背后抽象原理的力量与美感。
对我而言，研究数学——尤其是我的专长几何学，真的就像探险家去勘探未知之地一样。我仍然清楚记得，当我读研究所一年级，作为初牛之犊的二十岁新手，初接触到爱因斯坦引力论时，所感受到的震撼与悸动。我非常惊讶引力和曲率这两个概念，竟可视为一体的两面，毕竟我在香港的大学时代，早已着迷于曲面的理论。这些形体就这样沁入胸臆深处，我不清楚原因，却无法将它们逐出脑海。听到曲率位于爱因斯坦广义相对论的核心，不禁让我期盼某天，也能以某种方式对宇宙知识做出贡献。《大宇之形》这本书描述我在数学领域的探索，并特别聚焦于一项协助物理学家建立宇宙模型的发现。没有人能断言这些模型最终是否正确，但是作为这些模型基础的几何理论，却无疑蕴含着我无从抗拒的美感。
我研究几何学与偏微分方程，显然比用非母语的英文写作更在行，因此写这样一本书无疑是一项挑战。数学方程的清晰与优雅，经常难以用口语表述（甚至有人说这不可能），这点颇令人感到挫折，就像没有任何实景照片，却尝试描述珠穆朗玛峰，或尼加拉瀑布的壮阔气势一样。
幸运的是，在这方面我获得了绝佳的臂助。尽管这整个故事是通过我的双眼，以我的口说来陈述，但我的合作者却帮我将抽象与深奥的数学，试着转译成流利的文字。
当我证明了卡拉比猜想（本书的中心主题）后，我将该篇证明的论文献给我的父亲丘镇英先生，他是一位教育家与哲学家，教导我抽象思考的力量。现在我将这本书，献给他与我的母亲梁若琳女士，他们两人深刻影响了我智识上的成长。此外，我特别要感谢我的妻子友云，她的气度与容忍，使我在甚为繁忙纠缠的研究与访问行程中，还有余裕来写这本书。另外也感谢我颇以为傲的两个儿子，丘明诚与丘正熙。
我也要把这本书献给卡拉比（Euggenio Calabi），他是前述猜想的提出者，我们相识将近四十年。卡拉比是一位很有原创性的数学家，我和他通过某些几何空间彼此相系，已逾四分之一世纪，那就是卡拉比—丘流形（Calabi-Yau manifolds），也是本书的主题。Calabi-Yau这个词自从1984年出现之后，使用者极多，我几乎都快觉得卡拉比是我的名字了。而如果这真的是我的名字，或至少在公众的心里如此，我将引以为荣。
我的研究工作，大部分往来于数学与理论物理交汇的领域。我很少孤立完成这些研究，经常大量地受益于与朋友或同僚的互动。在这许多人里，我底下将只提到与我直接合作，或曾予我启发的少数人。
首先，我要感谢我的老师与长辈们，这一长串名单中包括了陈省身、莫瑞（Charles Morrey）、劳森（Blaine Lawson）、辛格（Isadore Singer）、尼伦柏格（Louis Nirenberg），以及卡拉比。我也很感谢1973年时，辛格在一次斯坦福大学的学术会议邀请格罗赫（Robert Geroch）来演讲，这促成我和孙理察（Richard Schoen）在正质量猜想方向的研究工作。我后续与物理相关的数学研究，辛格都经常予我鼓励。
我十分感谢在访问剑桥大学时，和霍金与吉朋士（Gary Gibbons）讨论相对论的谈话。我的量子场论是从这个领域的大师大卫·格罗斯学来的。记得1981年当我还是高等研究院的研究员时，戴森（Freeman Dyson）带了一位新任物理组研究员到我办公室，这位刚到普林斯顿的新人就是威滕，他告诉我他有一个简洁的正质量猜想的证明，这个结果我和孙理察已经用非常不同的方法证明过了。我非常惊讶于威滕的数学能力，而且这绝非唯一的一次。
在这段研究岁月里，我十分享受和一些人的紧密合作，除了前述的孙理察，还有郑绍远、汉米尔顿（Richard Hamilton）、李伟光、密克斯（William Meeks）、赛门（Leon Simon），以及乌兰贝克（Karen Uhlenbeck）。其他以各种方式参与这段旅程的朋友，还包括多纳森（Simon Donaldson）、罗勃·格林恩（Robert Greene）、奥瑟曼（Robert Osserman）、杨宏风（Duong Hong Phong），以及伍鸿熙。
我觉得自己很幸运，过去二十余年能在哈佛大学研究讲学，这是能让数学和物理产生互动的理想环境。在这期间，我从与哈佛数学系同事的交谈中，获得许多数学上的看法，其中包括伯恩斯坦（Joseph Bernstein）、艾尔基斯（Noam Elkies）、盖茨郭利（Dennis Gaitsgory）、迪克·格罗斯（Dick Gross）、哈里斯（Joe Harris）、广中平祐（Heisuke Hironaka）、杰菲（Arthur Jaffe，他也是物理学家）、卡兹当（David Kazdhan）、克农海默（Peter Kronheimer）、梅哲（Barry Mazur）、马克穆蓝（Curtis McMullen）、曼弗德（David Mumford），史密德（Wilfried Schmid）、萧荫堂、史滕伯格（Shlomo Sternberg）、泰特（John Tate）、陶布思（Cliff Taubes）、泰勒（Richard Taylor）、姚鸿泽，以及2005年过世的波特（Raoul Bott）与马凯（George Mackey）。当然，我与麻省理工学院数学系的教授们也有许多值得回忆的交谈。另外在物理方面，我和史聪闵格（Andy Strominger）与瓦法（Cumrun Vafa）则有着数不尽的丰饶对话。
在过去十年，我曾经两度荣任哥伦比亚大学的爱林伯格访问教授，和数学系的教授有许多令人兴奋的讨论，尤其是哥费德（Dorian Goldfeld）、汉米尔顿、杨宏风以及张寿武。我也曾任加州理工学院的费尔柴客座教授与莫尔客座教授，从索恩（Kip S.Thorne）和史瓦兹（John Schwarz）那里学到许多物理知识。
在过去二十余年，我曾获得美国政府的大力补助（通过国科会、能源部以及国防高等计划局）。我大部分的博士后研究人员都是物理博士，这在数学领域中殊属异类。但这样的安排让双方都受益，他们跟我学数学，我则从他们身上学到一些物理知识。我很高兴许多这些有物理背景的博士后，日后成为大学数学系的杰出教授，包括布朗戴斯大学、哥伦比亚大学、西北大学、牛津大学、东京大学等。我的一些博士后在卡拉比—丘流形上有重要贡献，其中许多人协助完成这本书，包括爱梭耳（Mboyo Esole）、布莱恩·格林恩（Brian Greene）、赫罗维兹（Gary Horowitz）、细野忍（Shinobu Hosono）、贺布胥（Tristan Hubsch）、克雷姆（Albrecht Klemm）、连文豪、史巴克斯（James Sparks）、曾立生，山口哲（Satoshiyamaguchi），以及札斯洛（Eric Zaslow）。最后，我之前的一些研究生也在这个领域里有杰出的贡献，包括来自中国大陆的李骏、刘克峰，以及来自中国台湾的王慕道、王金龙、刘秋菊，其中一些成就将在书中叙述。丘成桐，麻省剑桥，2010年3月
人的运气就是这样，当初如果不是康奈尔大学的物理学家戴自海（Henry Tye，丘成桐的朋友）介绍，我根本不可能知道这个著作计划。他当时给我建议，说我未来的合著者或许能指点我一两个有趣的故事。戴自海说得对，他一向都对。我很感谢他，让我踏上这段意料之外的旅程，并且在沿途许多岔口提供协助。
就像丘成桐经常说的，在数学上选定一条路，根本无法预料最后会通往哪里。其实写书也一样，当我们第一次见面时，就十分同意要合写一本书，然后花了很长一段时间，才确定这本书的主题。就某种意义而言，你也可以说，直到这本书完成了，我们才真正知道这本书的主旨。
对于这项合作的结晶，我想先说明几点，以免造成阅读时的混淆。我的合作者是一位数学家，他的研究和本书的多数故事紧密相关，书中凡是他身为主要参与者的章节，经常采用第一人称行文，其中的“我”指的一定是丘成桐。不过尽管这本书相当程度涉及个人叙事，却不适合归类为丘成桐的自传或传记，因为他并不全认识书中讨论所牵涉的人物，有些人更早在他出生前就已过世。而且有些描述的内容，例如实验物理与宇宙学，也超出他的专业领域，在这样的章节，我采用的多半是第三人称观点，内容的来源大部分是访谈，以及我曾做过的一些资料研究。
本书称得上是一项特殊的产物，结合了我们不同的背景与观点。最好的合作方式，似乎就是说出一个双方都认为值得一谈的故事。而将故事落实成书的工作，相当依赖于我的合作者对数字的非凡掌握，同时希望我的文字能力也能不辱使命。
关于本书是否应该视为一本自传，还有一点要谈。虽然本书的确绕着丘成桐的研究打转，我仍然要提醒读者，本书的主角并不是丘成桐自己，而是他参与发明的几何空间，也就是卡拉比—丘流形。
广泛来说，本书的主旨是如何通过几何学理解宇宙。20世纪以几何学描述引力而获得惊人成功的广义相对论，即是此中典范。弦论则是另一个更具野心、走得更深远的尝试，不但几何学活跃其中，六维的卡拉比—丘流形尤其占有特定的地位。本书试图呈现一些几何与物理的必要概念，以理解卡拉比—丘流形的渊源，以及数学家和物理学家认为这些流形重要的原因。本书将聚焦于这类流形的不同面向：作为定义的特色、导致发现的数学理论、弦论学者迷上它的理由，以及这些形体是否真的掌握了通往我们的宇宙（乃至于其他宇宙）的钥匙。
至少，这就是《大宇之形》这本书想要阐述的，至于是否真的达成这项使命，只能由读者来决定。
但我心中很明白，如果没有许多人提供专业、编辑或者情感上的支持，这本书绝对无法完成。这份名单实在太长了，恐怕不可能全部列出来，不过我会尽量试试。
丘成桐前述名单中的人物，给我提供了许多协助。其中包括卡拉比、多纳森、布莱恩·格林恩、贺布胥、史聪闵格、瓦法、威滕以及最重要的罗勃·格林恩、连文豪、曾立生。后面三位朋友在写作过程中，教导我相关的数学和物理课程，他们精辟的解说与非凡的耐性，让我由衷感激。尤其是罗勃·格林恩，他在百忙中仍然一周数天引领我穿越微分几何的荆棘道路，没有他，我早不知道溺毙几回了。连文豪帮我踏上思考几何分析的起点；在我们改不胜改的书稿定稿的最后时刻，曾立生提供了大量的协助。
物理学家Allan Adams,Chris Beasley,Shamit Kachru,Liam McAllister和Burt Ovrut常常不分昼夜地为我解答问题，引导我度过许多思考瓶颈。其他慷慨拨冗相助的还有Paul Aspinwall,Melanie Becker,Lydia Bieri,Volker Braun,David Cox,Frederik Denef,Robbert Dijkgraaf,Ron Donagi,Mike Douglas,Steve Giddings,Mark Gross,Arthur Hebecker,Petr Horava,Matt Kleban,Igor Klebanov,Albion Lawrence,Andrei Linde,Juan Maldacena,Dave Morrison,Lubos Motl,Hirosi Ooguri,Tony Pantev,Ronen Plesser,Joe Polchinski,Gary Shiu（萧文礼），Aaron Simons,Raman Sundrum,Wati Taylor,BretUnderwood,Deaneyang和Xiyin（尹希）。
以上所举还只是一小部分，除此之外，协助我的还有Eric Adelberger,Saleem Ali,Bruce Allen,Nima Arkani-Hamed,Michael Atiyah,John Baez,Thomas Banchoff,Katrin Becker,George Bergman,Vincent Bouchard,Philip Candelas,John Coates,Andrea Cross,Lance Dixon,David Durlach,Dirk Ferus,Felix Finster,Dan Freed,Ben Freivogel,Andrew Frey,Andreas Gathmann,Doron Gepner,Robert Geroch,Susan Gilbert,Cameron Gordon,Michael Green,Paul Green,Arthur Greenspoon,Marcus Grisaru,Dick Gross,Monica Guica,Sergei Gukov,Alan Guth,Robert S.Harris,Matt Headrick,Jonathan Heckman,Dan Hooper,Gary Horowitz,Stanislaw Janeczko,Lizhen Ji（季理真），Sheldon Katz,Steve Kleiman,Max Kreuzer,Peter Kronheimer,Mary Levin,Avi Loeb,Feng Luo（罗锋），Erwin Lutwak,Joe Lykken,Barry Mazur,William McCallum,John McGreevy,Stephen Miller,Cliff Moore,Steve Nahn,Gail Oskin,Rahul Pandharipande,Joaquín Pérez,Roger Penrose,Miles Reid,Nicolai Reshetikhin,Kirill Saraikin,Karen Schaffner,Michael Schulz,John Schwarz,Ashoke Sen,Kris Snibbe,Paul Shellard,Eva Silverstein,Joel Smoller,Steve Strogatz,Leonard Susskind,yan Soibelman,Erik Swanson,Max Tegmark,Ravi Vakil,Fernando Rodriguez Villegas,Dwight Vincent,Dan Waldram,Devin Walker、Brian Wecht,Toby Wiseman,Jeff Wu（吴建福），Chen NingYang（杨振宁），Donald Zeyl等人。
本书中的许多概念是很难描绘的，我们很幸运能在绘图方面得到石溪大学计算机科学系Xiaotian（Tim）Yin和Xianfeng（David）Gu卓越的电脑帮助，而他们又得到Huayong Li和Wei Zeng的协助。绘图方面大力帮忙的还有Andrew Hanson（卡拉比—丘流形最重要的视觉呈现者），John Oprea和Richard Palais等人。
我要感谢我的亲友，包括Will Blanchard,John De Lancey,Ross Eatman,Evan Hadingham,Harris McCarter和John Tibbetts，他们或者读过本书的撰述计划、章节草稿，或者在写作过程中提供建议和鼓励。
此外，丘成桐和我还要感谢Maureen Armstrong,Lily Chan,Hao Xu和Gena Bursan等人宝贵的行政支援。
有几本书提供了很有价值的参考，其中包括布莱恩·格林恩的《宇宙的琴弦》（The Elegant Universe）、曼罗迪诺（Leonard Mlodinow）的《欧几里得之窗》（Euclid’s Window）、奥瑟曼的《宇宙的诗篇》（Poetry of the Universe）以及萨斯金的《宇宙的景观》（The Cosmic Landscape）。
而若不是有Brockman,Inc.文学经纪公司的John Brockman,Katinka Matson.Michael Healey,Max Brockman和Russell Weinberger等人的大力协助，《大宇之形》根本不可能成书。Basic Books的T.J.Kelleher对我们书稿一直保持信心，还有他与同事Whitney Casser努力让书能够成形付梓。Basic Books的专案编辑Kay Mariea指挥了从草稿到出版的各个阶段，还有Patricia Boyd精湛的文字编辑造诣，使我明白“the same”和“exactly the same”原来是完全同义的词语。
最后，我特别要感谢我家人的支持——Melissa,Juliet和Pauline，以及我的双亲Lorraine和Marty，我的兄弟Fred和姊妹Sue。他们犹如六维卡拉比—丘流形，是世上最迷人之物，但却不自知这些流形其实超出尘世之外。纳迪斯，麻省剑桥，2010年3月序曲从柏拉图到宇宙未来的形貌
在伟大的前科学时代，
柏拉图就指出，
我们所见的世界，
只是这个不可见几何形体的反映罢了。
这个观念深得我心，
也和我最知名的数学证明紧密相关。
神以几何造世。——柏拉图
大约公元前360年，柏拉图（Plato）完成了《蒂迈欧斯篇》，（Timaeus），这是一篇以对话形式呈现的创世故事，对话者包括他的老师苏格拉底（Socrates）以及其他三位贤者：蒂迈欧斯、赫谟克拉提（Hermocrates）、克里底亚斯（Critias）。蒂迈欧斯应该是个虚构的角色，据说他从南意大利的洛克利城来到雅典，是一个“天文学专家，志在理解大自然的本质。”通过蒂迈欧斯之口，柏拉图陈述了自己的万有引力理论（theory of everything），其中的核心角色是几何学。柏拉图尤其着迷于一组几何形体，这组特别的多面体也从此被称为“柏拉图立体”。这些多面体的各面是全等的正多边形，例如正四面体的四个面是全等的正三角形；正六面体（俗称的正方体）是六个全等的正方形；正八面体是八个正三角形；正十二面体是正五边形；正二十面体则又是由二十个正三角形构成。
柏拉图并不是这些以他为名的立体的发明者，事实上没有人确实知道发明者是谁。不过一般相信是柏拉图的当代学者泰阿泰德（Teaetetus）证明了这五种“正多面体”的存在，并且就只有五种。欧几里得在《原本》（The Elements）一书中，为这些几何形体给出详细的数学描述。图0.1 柏拉图立体之名源自希腊哲人柏拉图，共有五种：正四面体、正六面体（正立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体。所有面、边、角度都相等（全等）是这些立体独有的特色
柏拉图立体有许多迷人的性质。检视任一种正多面体可以发现，与每一顶点（尖角的点）相邻的多边形数目都一样多；每个多边形的各角都一样大；可以找到一个圆球通过所有的顶点（一般多面体并没有这个性质）；而且，顶点的数目加面的数目等于边的数目加2。
柏拉图赋予这些立体形而上学的意义，这也是他的名字与这些立体永远牵连的原因。事实上，根据《蒂迈欧斯篇》的内容细节，正多面体是柏拉图宇宙论的根本要素。在他宏伟的万物架构里，宇宙有四种基本元素：土、气、火、水。如果检视这些元素的微小细节，就会发现它们是由微小的柏拉图立体构成的：“土”由小正方体构成；“气”由正八面体构成；“火”是正四面体；“水”是正二十面体。关于正十二面体，在《蒂迈欧斯篇》中柏拉图写道：“还剩下一种构造，第五种元素，上帝用于整个宇宙，编织各种物象于其上。”
受益于两千多年来的科学发展，现在看来柏拉图的猜想当然很可疑。虽然，今日我们对于宇宙的基本构造元素并没有绝对一致的结论，最后被证明为正确的，或许是轻子与夸克，也许是理论上的次夸克粒子“先子”（preon），又或者是还在理论阶段却更微小的“弦”，不过我们很确定，并不是把土、气、火、水编织在巨大的正十二面体上而已。我们也不相信，仅仅由柏拉图立体的形状就能决定这些基本元素的性质。
话说回来，柏拉图从未宣称他完成了大自然的确定理论，他认为《蒂迈欧斯篇》只是“可能的解释”，是当时所能得到的最佳见解，并且承认他之后的学者，尽可以去改良他的理论，甚至是大幅修改。就像蒂迈欧斯在他的对话中说的：“如果有人测试我的宣告，发现并非事实，我们将恭贺他获得荣耀。”
柏拉图的想法无疑有许多错误，但从宽广的角度审视他的思想，柏拉图显然也有正确的地方。这位卓绝的哲学家在承认他可能犯错，但以他的观念为本的理论却可能成真时，展露了或许是最高的智慧。举例来说，正多面体具有高度对称性，正十二面体和正二十面体有60种不改变其呈现的旋转方式（60恰巧是其面、体边数的两倍的事实，并非偶然）。当柏拉图以这些形体作为宇宙论的基础时，他正确地指出了：任何企图描述大自然的可行理论中，对称性必须是它的核心性质。如果想要构筑万有理论，统一所有的作用力，而且所有构成要素只需遵守一两组法则，我们就必须发现潜藏其中的对称性，因为这是足以生发万物、以简驭繁的法则。
显然地，这些形体的对称性质直接源自其几何形状。这是柏拉图的第二个重要贡献：除了理解数学是测度宇宙的关键之外，他提出了今日所谓物理几何化（geometrization of physics）的思考理路，就像爱因斯坦所促成的大飞跃一样。在伟大的前科学时代，柏拉图就指出大自然的元素与其性质，还有作用其上的力，可能都可归源于某个潜藏于幕后的几何结构，它主导了这一切。换句话说，我们所见的世界，只是这个不可见几何形体的反映罢了。这个观念深得我心，也和我最知名的数学证明紧密相关（对于曾听说过我名字的人而言）。虽然有些人可能觉得这太牵强，只是大张旗鼓为几何宣传罢了，但是，这个想法或有真意，各位不妨拭目以待，静心阅读下去。第1章想象边缘的宇宙
对数学家而言，
维度指的是一种“自由度”，
也就是在空间中运动的独立程度。
在我们头上飞来飞去的苍蝇可以向任何方向自由移动，
只要没有碰到障碍，
它就拥有三个自由度。
但维度是不是就只有那么多？
望远镜的发明以及随后多年以来的不断改良，帮助我们确认了一项事实：宇宙比我们能看到的还要浩瀚、广大。事实上，目前所能得到的最佳证据显示，宇宙将近四分之三是以一种神秘、看不见的形式存在，称为“暗能量”（dark energy），其余大部分则是“暗物质”（dark matter），再剩下来构成一般物质（包括我们人类在内）的，只占百分之四。而且物如其名，暗能量和暗物质在各方面都是“暗的”：既看不见，也难以测度。
我们所能看见的这一小部分的宇宙，构成了一个半径大约137亿光年的球体。这一球体有时被称为“哈勃体”（Hubble volume），但是没人相信宇宙的整体范围只有如此而已。根据目前所得的最佳数据，宇宙似乎是无穷延伸的——不管我们向哪个方向看去，如果你画一条直线，真的可以从这里一直延伸到永恒。
不过，宇宙仍有可能是弯曲而且有界限的。但即使如此，可能的曲率也会非常微小，以至于根据某些分析显示，宇宙必然至少有上千个哈勃体那么大。
最近发射的普朗克太空望远镜，或许会在几年内揭露宇宙可能比一百万个哈勃体还大，而我们所在的哈勃体只是其中之一而已。我相信天文物理学家的这一说法，也了解有些人可能会对上面引述的数字有不同意见，但无论如何，有个事实是不容辩驳的：我们目前所见到的，不过是冰山一角。
而在另一个极端，显微镜、粒子加速器以及各种显影仪器持续揭露宇宙在微小尺度上的面貌，显现了人类原先无法触及的世界，像细胞、分子、原子，以及更小的物体。如今我们不再对这一切感到惊讶，完全可以期待望远镜会向宇宙的更深处探索。另一方面，显微镜和其他仪器则会把更多不可见之物转为可见，呈现在我们眼前。
最近几十年间，由于理论物理学的发展，再加上一些我有幸参与的几何学进展，带来了一些更令人惊讶的观点：宇宙不仅超出我们所能看见的范围，而且可能还有更多的维度，比我们所熟悉的三个空间维度还要多一些。
当然，这是个令人难以接受的命题。因为关于我们这个世界，假如有件事是我们确知的，假如有件事是从人类开始有知觉时就知道，是从开始探索世界时就晓得的，那就是空间维度的数目。这个数目是三。不是大约等于三，而是恰恰就是三。至少长久以来我们是这样认定的。但也许，只是也许，会不会还有其他维度的空间存在，只不过因为它太小，以至于我们无法察觉呢？而且尽管它很小，却可能扮演非常重要的角色，只是从人们习以为常的三维视野无法体认到这些罢了！
这个想法虽然令人难以接受，但从过去一个世纪的历史得知，一旦离开日常经验的领域，我们的直觉就不管用了。如果运动速度非常快，狭义相对论告诉我们，时间就会变慢，这可不是凭直觉可以察觉到的。另外，如果我们把一个东西弄得非常非常小，根据量子力学，我们就无法确知它的位置。如果做实验来判定它在甲门或者乙门的后面，我们会发现它既不在这儿也不在那儿，因此它没有绝对的位置，有时它甚至可能同时出现在两个地方！换言之，怪事可能发生，而且必将发生。微小、隐藏的维度可能就是怪事之一。
如果这种想法成真，那么可能会有一种边缘性的宇宙，一处卷折在宇宙侧边之外的地域，超出我们的感官知觉，而这会在两方面具有革命意义：单仅是更多维度的存在——这已经是科幻小说一百多年来的注册商标——这件事本身就够令人惊讶，足以列入物理学史上的最重大发现了。而且这样的发现将会是科学研究的另一起点，而非终点。这就好像站在山丘或高塔上的将军，得益于新增加的垂直向度，而能把战场上的局势看得更清楚。当从更高维的视点观看时，我们的物理定律也可能变得更明晰，因而也更容易理解。从苍蝇的世界看维度的意义
我们都很熟悉三个基本方向上的移动：东西、南北、上下（或者也可以说是左右、前后、上下）。不管我们去哪里——不论是开车上杂货店或是飞到大溪地——我们的运动都是这三个独立方向的某种基本组合。我们对这三个维度太过熟悉，以至于要设想另一个维度，并且指明它确切指向哪里，似乎是不可能的。长久以来，似乎我们所见的即是宇宙的一切。事实上，早在两千多年前，亚里士多德在《论天》（On the Heavens）中就论称：“可在一个方向上分割的量，称为线；如果可在两个方向上分割的量，称为面；如果可在三个方向上分割的量，则称为体。除此之外，再无其他量。因为维度只有三个。”公元150年时，天文学家、数学家托勒密尝试证明不可能有四个维度，坚持认为不可能画出四条相互垂直的直线。他主张，第四条垂直线“根本无法量度，也无法描述”。然而，与其说他的论点是严格的证明，还不如说是反映了人们没有能力看到并描绘四维空间的事实。
对数学家而言，维度指的是一种“自由度”（degree of freedom），也就是在空间中运动的独立程度。在我们头上飞来飞去的苍蝇可以向任何方向自由移动，只要没有碰到障碍，它就拥有三个自由度。现在假设这只苍蝇降落到一个停车场，而被一小块新鲜柏油黏住。当它动弹不得时，这只苍蝇只有零个自由度，实质上被限制在单一点上，亦即身处于一个零维的世界。但这小东西努力不懈，经过一番奋斗后从柏油中挣脱出来，只可惜不幸翅膀受了点伤。不能飞翔之后，它拥有4两个自由度，可以在停车场的地面上随意漫步。然后，我们的主角察觉到有掠食者（或许是一只食虫的青蛙），因此逃进一根丢弃在停车场的生锈排气管，苍蝇此时只有一个自由度，暂时陷入这根细长管子的一维，亦即线状的世界。
但维度是不是就只有那么多？一只苍蝇在天上飞，被柏油黏住，在地上爬，逃进一根管子里——这是否就囊括了一切可能性？亚里士多德或托勒密应该会回答“是”，对一只没有高度冒险精神的苍蝇而言，或许也确是如此，但是对当代数学家来说，故事并没有就此结束，因为他们通常不认为有什么明显理由只停留在三个维度。我们反而相信，想要真正理解几何学的观念，像是曲率或距离，需要从所有可能的维度，从零维到n维来理解它（其中n可以是非常大的数）。如果只停留在三维，我们对这个概念的掌握就不算完整，理由是：比起只在某些特定情境才适用的断言，如果大自然的定律或法则在任何维度的空间中都有效，那么它的理论威力更大，也可能更基本。
甚至即使你所要对付的问题仅限于二维或三维，也可能借由在各种维度中研究该问题而得到有利的线索。再回到我们那只在三维空间里嗡嗡飞的苍蝇，它可以在三个方向移动，亦即具有三个自由度。然而，假设还有另一只苍蝇在同一空间里自由移动；它同样也有三个自由度，整个系统就突然从三维变成六维的系统，具有六个独立的移动方向。随着更多的苍蝇在空间里穿梭，每一只都独立飞行而不与他者相关，那么系统的复杂度及其维度，也随之增加。窥探更高的维度
研究高维度系统的好处之一是，可以发现一些无法从简单场景里看出的模式。例如在下一章，我们将讨论：在一个被巨大海洋覆盖的球形行星上，洋流不可能在任何点都朝同一个方向流动（例如全部从西流向东）。事实上一定会发生的是：一定存在着某些点，海水是静止不动的。虽然这条规则适用于二维曲面，但我们只有从更高维的系统观察，也就是考虑水分子在曲面上所有可能运动的情况，才能导出这个规则。这是为何我们不断向更高维度推进的原因，希望看看这样能把我们带到什么方向并学习到什么。
很自然的，考虑更高维度的结果之一是更大的复杂度。例如所谓“拓扑学”（Topology）是一门将物体依最广义的形状加以分类的学问。根据拓扑学，一维空间只有两种：直线（或两端无端点的曲线）和圆圈（没有端点的封闭曲线），此外再无其他可能性。你或许会说，线也可以是弯弯曲曲的，或者封闭曲线也可能是长方形的，但这些是几何学的问题，不属于拓扑学的范畴。说到几何学和拓扑学的差别，前者就像拿着放大镜研究地球表面，而后者则像搭上太空船，从外太空观察整个地球。选择何者，要视底下的问题而定：你是坚持要知道所有细节，比方说地表上的每一峰脊、起伏和沟壑，抑或只要大致的全貌（“一个巨大圆球”）便已足够？几何学家所关切的通常是物体精确的形状和曲率，而拓扑学家只在乎整体形貌。就这层意义而言，拓扑学是一门整体性的学问，这和数学的其他领域恰恰形成明显对比，因为后者的进展，通常是借由把复杂的物件分割成较小较简单的部分而达成。
也许你会问：这些和维度的讨论有何关系？如上所述，拓扑学中只有两种基本的一维图形，但直线和歪歪扭扭的线是“相同”的，正圆也和任何你想象得出的“闭圈”，不论是如何弯的，多边形、长方形，乃至于正方形都是相同的。
二维空间同样也只有两种基本形态：不是球面就是甜甜圈面。拓扑学家把任何没有洞的二维曲面都视为球面，这包括常见的几何形体，像立方体、角柱、角锥的表面，甚至形状像西瓜的椭球面。在此，一切的差别就在于甜甜圈有洞，而球面没有洞：无论你怎样把球面扭曲变形（当然不包括在它中间剪洞），都不可能弄出一个甜甜圈来，反之亦然。换句话说，如果不改变物体的拓扑形态，你就无法在它上面产生新的洞或是撕裂它。反过来说，假如一个形体借由挤压或拉扯，但非撕裂（假设它是由玩具黏土做成的），变成另一个形体，拓扑学家就把这两个形体看成是相同的。
只有一个洞的甜甜圈，术语称为“环面”（torus），但是一般甜甜圈可以有任意数目的洞。“紧致”（compact，封闭且范围有限）且“可赋向”（orientable，有内外两面）的二维曲面可以依洞的数目来分类，这个数目称为“亏格”（genus）。外观回异的二维物体，如果亏格相同，在拓扑上被视为是相同的。
先前提到二维形体只有球面与洞数不同的甜甜圈面两大类，这只有在可赋向曲面的情况才成立，本书所讨论的通常都是可赋向曲面。比方说，海滩球有两个面，即里面和外面，轮胎的内胎也有两个面。然而，对于比较复杂的情况，例如单面或“不可赋向”的曲面如“克莱因瓶”（Klein bottle）和“莫比乌斯带”（M bius strip），上述说法并不成立。图1.1 在拓扑学中，一维的空间只有两种：线与圆，两者有着根本的不同，你可以把圆转变成各式各样的闭圈，但是不能变成线，除非你将它剪开。可赋向的二维空间像海滩球，有里外两个面，不像莫比乌斯带只有一个面。可赋向二维空间可以用亏格来区分，亏格可以简单想成洞的数目。例如，球面没有洞，亏格是0；普通甜甜圈（环面）有一个洞，亏格是1；两者有根本的不同。如同线和图的情况一样，不在球面上开个洞，是不可能将球面转变成甜甜圈的
如果是三维以上，可能的形体数就会急剧增加。当考虑高维空间时，必须容许我们往难以想象的方向移动。在此所指的可不是介于向北和向西之间的西北方，或是“北西北”的这类方向，而是完全跑出三维网格之外，这个方向落在一个我们还没画出的坐标系里面。图1.2 在拓扑学中，球、正方体、四角锥（金字塔）、正四面体的表面被认为是等价的，因为只要通过弯曲、伸展、压缩，它们就可以互相转换，并不需要撕裂或剪开。图1.3 亏格为0、1、2、3（从左到石）的曲面，亏格指的是其中的洞数爱因斯坦的四维时空理论
描绘高维空间的早期重大突破之一来自笛卡儿（René Descartes）。这位17世纪的法国鸿儒身兼数学家、哲学家、科学家和作家等多重身份，但对我而言，他在几何学方面的成就，意义特别重大。笛卡儿的贡献之一，是教导我们如果用坐标取代用图形来进行思考，将有非常非常大的效用。他所发明的坐标系现今称为笛卡儿坐标或直角坐标，统合了代数和几何。狭义来说，笛卡儿指出一旦定出交于一点且彼此垂直的x,y，z轴，三维空间中的任一点只需要三个数字（x,y，z坐标）就可以明确标定。但他的贡献远远不止于此，他这神妙一笔，大幅拓展了几何学的视界。因为有了坐标系之后，我们就可以用代数方程式来描述不易形象化的复杂高维几何形体。
使用这个方法，你可以思考任何想要的维度，不只是（x,y，z），还可以是（a,b，c,d，e,f）或是（i,k，l,m，n,o，p,q，r,s）。所谓空间的维数，即决定此空间中任一点的位置时所需的坐标数目。借由这种系统，我们可以思考任何维数的高维空间，进行与其相关的各种计算，不再担心如何描绘这些空间的问题。
两个世纪之后，德国大数学家黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann）以此为出发点，大幅拓展了几何学的领域。黎曼在19世纪50年代研究弯曲空间的几何（称为“非欧几何”，这个主题将在下一章继续讨论），了解到这些空间并不需要受限于维数。他展示了如何在这些空间上，精确计算距离、曲率和其他性质。1854年，黎曼在他的就职演讲里，讲述了日后被称为黎曼几何的几何原理，并且猜度了宇宙本身的维度性和几何性质。当时年仅二十多岁的黎曼，也正在发展一门数学理论，试图把电、磁、光和引力整合在一起，因而预见了一项科学家持续钻研至今的研究目标。虽然黎曼把空间从欧氏几何的平坦性和三维的限制中释放出来，但是数十年之内，物理学家对这想法并没有太多反应。他们之所以缺乏兴趣，或许是源自于缺乏暗示空间是弯曲的或者空间不止三维的实验证据所导致。结果就是，黎曼先进的数学根本超越了当时的物理学。结果，至少还要再等大约五十年，物理学家或者至少某位特定的物理学家出现之后才追上。这位物理学家，就是爱因斯坦（Albert Einstein）。
或许你已经知道，爱因斯坦的狭义相对论发表于1905年，日后他继续研究，最终完成了广义相对论。当爱因斯坦发展狭义相对论的时候，他援引了一个同样正由德国数学家闵可夫斯基（Hermann Minkowski）所探讨的想法，亦即，时间与三维空间不可分离地纠缠在一起，形成一个称为“时空”（spacetime）的新几何构造。在这个出人意料的转折里，时间本身被视为第四维，而数十年前黎曼就已经将它结合进他优雅的方程式里。
有趣的是，英国作家威尔斯（H.G.Wells）在此之前十年写下的小说《时间机器》（The Time Machine），即已预见相同的结果。诚如小说主角“时间旅人”所解释：“维度其实有四个，其中三个是我们称为空间的三个平面，第四个是时间。然而，人们却总倾向于要把前三维和第四维强加以虚假的区分。”闵可夫斯基在1908年的一场
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]