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陈纪修《数学分析》（第2版）（上册）笔记和课后习题（含考研真题）详解试读：
第1章 集合与映射
1.1 复习笔记
一、集合
1．集合的基本概念（1）定义
①集合，又称集，是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集成的总体，这些对象称为该集合的元素。通常用大写字母如A，B，S，T，…表示集合，而用小写字母如a，b，x，y，…表示集合的元素。
②若x是集合S的元素，则称x属于S，记为x∈S。若y不是集合S的元素，则称y不属于S，记为或（2）常用集合
全体正整数的集合，全体整数的集合，全体有理数的集合，全体+实数的集合是数学分析中常用的集合，习惯上分别用字母N，Z，Q和R来表示。（3）集合的表示方式
①列举法
将集合的元素逐一列举出来的方式。列举法还包括尽管集合的元素无法一一列举，但可以将它们的变化规律表示出来的情况。
②描述法
设集合S是由具有某种性质P的元素全体所构成的，则可以采用描述集合中元素公共属性的方法来表示集合：S={x| x具有性质P}。
注：集合中的元素之间并没有次序关系，也就是说，在集合的表示中，同一元素的重复出现或在不同位置上出现不具有任何特殊意义。（4）特殊集合
空集是不包含任何元素的集合，记为∅。（5）集合关系
①包含关系
设S，T是两个集合，如果S的所有元集都属于T，即则称S是T的子集，记为显然，对任何集合S，都有如果S是T的一个子集，即，但在T中存在一个元素x不属于S，即则称S是T的一个真子集。
②不包含关系
如果S中至少存在一个元素x不属于T，即那么S不是T的子集，记为
③相等关系
如果两个集合S与T的元素完全相同，则称S与T两集合相等，记为S=T。显然有。（6）基本的区间概念
①设a，b（a ②满足不等式a≤ x ≤b的所有实数x的集合称为以a，b为端点的闭区间，记为 [a，b]={x| a≤x≤b} ③满足不等式a＜x≤b或 a≤x＜b的所有实数x的集合称为以a，b为端点的半开半闭区间，分别记为（a，b]={x| a＜x≤b} 或 [a，b）={x| a≤x＜b} 注：上述几类区间的长度是有限的，称为有限区间。除此以外，还有下述几类无限区间：（a，+∞)={x| x＞a}；[a，+∞)={x| x≥a}；（－∞，b)={x| x＜b}；(－∞，b]={x| x≤b}；和（－∞，+∞）={x| x为任意实数}（即实数集R）。 2．集合运算（1）集合的基本运算 集合的基本运算有并、交、差、补四种（图1-1）。 图1-1 ①两个集合S和T的并 由S和T的元素汇集成的集合，记为S∪T，即： S∪T={x| x∈ S或者x ∈T}。 ②两个集合S和T的交 由S和T的公共元素组成的集合，记为S∩T，即： S∩T={x| x∈ S并且x ∈T}。 ③两个集合S和T的差 由属于S但不属于T的元素组成的集合，记为S＼T（注意：并不要求），即 ④集合S关于X的补集 假设S是X的一个子集，则是集合S关于X的补集，通常将简记为 注：①关于补集显然成立：。 ②集合补与差运算满足关系：（2）集合基本运算的性质 ①交换律 A∪B=B∪A，A∩B=B∩A ②结合律 A∪（B∪D）=（A∪B）∪D，A∩（B∩D）=（A∩B）∩D ③分配律 A∩（B∪D）=（A∩B）∪（A∩D），A∪（B∩D）=（A∪B）∩（A∪D） ④对偶律（DeMorgan公式） 3．有限集与无限集（1）相关定义 ①有限集 若集合S由n个元素组成，这里n是确定的非负整数，则称集合S为有限集。 ②无限集 不是有限集的集合称为无限集。 ③可列集 如果一个无限集中的元素可以按某种规律排成一个序列，即这个集合可表示为{a，a，…，a，…}，则称其为可列集。12n 注：每个无限集必包含可列子集，但是无限集不一定是可列集。例如，实数集R是无限集，但不是可列集。（2）重要定理 ①可列个可列集之并也是可列集。 ②有理数集Q是可列集。 4.Descartes乘积集合 设A与B是两个集合。在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y，组成一个有序对（x，y）。把这样的有序对作为新的元素，它们全体组成的集合称为集合A与集合B的Descartes乘积集合，记为A×B，即A×B={（x，y）|x ∈A并且y ∈B}。2 特别地，当A与B都是实数集R时，R×R（记作R）表示的是平面3Descartes直角坐标系下用坐标表示的点的集合。R×R×R（记作R）表示的是空间Descartes直角坐标系下用坐标表示的点的集合。 二、映射与函数 1．映射的基本概念（1）映射的定义 设X，Y是两个给定的集合，若按照某种规则f，使得对集合X中的每一个元素x，都可以找到集合Y中惟一确定的元素y与之对应，则称这个对应规则f是集合X到集合Y的一个映射，记为 其中y称为在映射f之下x的像，x称为在映射f之下y的一个逆像（也称为原像）。集合x称为映射f的定义域，记为D。而在映射f之下，fX中元素x的像y的全体称为映射f的值域，记为R，即f（2）映射构成三要素 ①集合X，即定义域D=X；f ②集合Y，即限制值域的范围：； ③对应规则f，使每一个x ∈X，有惟一确定的y=f（x）与之对应。 注意：①映射要求元素的像必须是惟一的。 ②映射并不要求逆像也具有惟一性。（3）特殊映射的定义 ①单射、满射与双射 设f是集合X到集合Y的一个映射，若f的逆像也具有惟一性，即对X中的任意两个不同元素x≠x，它们的像y与y也满足y≠y，则称f121212为单射；如果映射f满足R=Y，则称f为满射；如果映射f既是单射，又f是满射，则称f是双射（又称一一对应）。 ②逆映射 设f：X→Y是单射，则由映射的定义知，对任一它的逆像x∈X（即满足方程f（x）=y的x）是惟一确定的。对应关系 构成了R到X上的一个映射，称为f的逆映射，记为其定义域f-l为值域为显然，只要逆映射f存在，它就一定是Rf到X上的双射。 ③复合映射 现设有如下两个映射 和
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