作者：（美）阿尔文·沃拉
出版社：中国人民大学出版社
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如何培养孩子的数学素质试读：
关于作者
本书的作者阿尔文·沃拉是美国最重要的教育创新者之一，他已经用他严密而且富有激励性的数学教学方法改变了数以百计的学生。他的公司，阿尔文·沃拉教育公司（AVE）提供针对个人和机构的富有突破性的教育解决方案，这些方案包括阿尔文·沃拉数学速成课程，快速完成分析性阅读的方法，以及集成SAT数学课程。
阿尔文·沃拉对于教育创新的激情开始于他年轻的时候。他曾经在几周内就把代数学学到了一个高级水平，而且还作为一个八年级的学生（注：相当于中国的初中二年级）参加了大学生入学考试。在高中阶段，阿尔文·沃拉在十次AP考试（注：美国大学学分前置课程考试）中都得到了5分，从而使他获得了AP国家奖学金。在其中的六次考试中，阿尔文·沃拉实际上都没上过真正的AP课程，而是完全靠自学而取得了这样好的成绩。凭着毕业时最高的SAT成绩和PSAT成绩，阿尔文·沃拉还获得了全国资优成绩总决赛的最高荣誉。在这段时期，阿尔文·沃拉已经作为一个年轻学生的导师工作得很活跃了。
在布朗大学，阿尔文·沃拉教育创新的热情得以发展。他作为惠勒学校教育项目的导师和教师，也就是在这个项目中，为二年级到八年级的学生设计了非传统的速成课程。随后，他在哈密尔顿学习能力差异研究所做了一阵咨询顾问。从布朗大学获得数学学士学位毕业以后，阿尔文·沃拉取得了出色的GRE和GMAT成绩。阿尔文·沃拉目前居住在马里兰州的毕士大。
仅以本书献给我的母亲，是她教会了我如何成就卓越，同时本书也献给我的父亲，是他教会了我如何独立思考。
本书中所讨论的方法对男生和女生同样适用，因此本书中的第三人称“他”应该当作“他”和“她”来理解。
1 为什么要学习数学？
每当被孩子们问起为何要学习数学的时候，我们的回答常常千篇一律，不是告诉孩子数学与我们的日常生活息息相关，就是告诉他们数学对于现代科学和技术的应用不可或缺。这个答案对于孩子们来说，是他们学习数学最初的激励，但是，说数学与我们的日常生活息息相关显然并非真话，而想通过说数学对于现代科学和技术的应用不可或缺来激励孩子们学习数学又恰恰事与愿违。
第一个关于“日常生活”的解释告诉学生们他们的每个日常活动都需要数学。举例来说，他们需要计算在饭店中付给服务员的小费，或者需要多少钱购买日常用品。大多数学生肯定会立即指出，这些“日常生活”的问题只要随身携带一个计算器就可以解决了，何必去学数学呢？如果担心计算器会没电，也可以随身带一盒备用的电池，或者干脆带两个计算器。更何况现在计算器无处不在，就连人们的手机上也可以找到计算器的身影。
对于数学与日常生活息息相关的质疑还远不止这些。你在日常生活所用的数学很难超过加、减、乘、除这些四则运算。既然如此，我们为什么要学习三角学呢？为什么要学习微积分呢？为什么要学习四则运算以外的数学知识呢？实际上，即使是那些与数学相关的工作也很少用到高等数学。即使你是一个精算师（译者注：精算师是从事风险管理的专业人士，需要有很高的数学修养以及风险管理领域的从业经验，当然，一个有经验的精算师也具有很高的薪水），你在工作中所用到的数学也无非就是一些乘方运算和时不时的一些指数运算（精算师这个职业是世界上与数学最相关的职业之一）。
另一个说服学生要学习数学的理由是现代的科学和技术需要数学。我们需要运用数学知识来设计宇宙飞船和航天卫星，我们需要数学知识在实验室中进行科学实验以及造出最新型的计算机。在某种程度上来说，这种说法确实有些道理。上述的大部分工作都需要严格地运用高等数学。但是毕竟世界上只有极为少数的人才能从事这些行业。而且从事这些领域的人们之所以经常学习数学也通常是因为他们内心中对于数学的喜爱和激情，而非任何外部激励所致。
实际上，对于大多数美国学生来说，想要成为科学家所带来的外部激励微乎其微。对于十几岁的孩子来说，对他们最有吸引力的外部激励是金钱、名誉、权力、出风头以及对异性的吸引。这些东西没有一样是激励学生们投身于科学工作的。科学家每赚到一百万美元，他为之工作的商人就能赚到十亿美元。每有一个科学家成名了，就会有一千个音乐家和演员成名，数量相差悬殊。科学家们设计制造了原子弹，但是并没有使用它的权力；权力归于那些政客们。在美国的文化中，科学家与平常人一样，没有更多地受到大众欢迎或者具有更多的性吸引力。
因此，这种要说服学生学习数学的理由不但没有激励到学生，而且适得其反。一个对成为科学家毫无兴趣的学生听到这种关于科学技术的理由时，反而会认为只有科学家才用得到高等数学，从而他并不需要学习。如果他的目的是获取个人利益的话，那么他的最佳选择是将时间花在几乎任何除了数学以外的领域上——例如学习政治学，学习弹吉他，或者想方设法使自己富起来。数学对他而言成为一个令人讨厌的东西。
那么，为什么归根到底学生们还是要学习数学呢？
国王和君主们过去常常用下棋来学习军事战略。我第一次听到这件事情是在我十岁的时候，这种想法深深震撼了我，因为我认为它极度愚蠢。下棋时（译者注：本书中指的是国际象棋），“象”的移动方向只能是对角方向，而“马”只能走形如字母L形的路线。可另一方面，一个真正的战场上的战士可以随意移动而不受约束。既然这样，那么下棋对真正的战争来说又有什么帮助呢？
当然，其实我完全错误地领会了这个方法。策略或者战略与棋盘上“马”所走的L形状以及“象”所走的对角线毫无关系。一个棋手学到的其实是如何预期到他对手的行为。他学到了如何寻找到更强势的位置而不仅仅是短期的利益。他学到的是战略性的牺牲以及提防对手的战略性诡计。他所学到的是如何预测对手对自己行为的未来反应，而不是仅仅将注意力集中到他一时的得失上。这种思维训练使得棋手的思维更加敏锐，这也使得棋手会逐渐变成一个很有能力的战略家。
与此相似，数学的重要性不仅在于它可以使学生懂得如何用三角函数的知识来测量建筑物的高度，还在于数学可以使学生分析和解决不同问题的能力得以发展。数学发展了学生的具体推理能力、空间推理能力以及逻辑推理能力。数学发展了学生的技能，这种技能不仅仅可以应用于科学和技术；如果能够正确教授学生数学知识，那将会发展学生的基本认知结构，并提高他们的智力；逻辑推理能力可以帮助律师分析案件的法律形势进而给出条理清楚而且有说服力的辩词。学生将发展这种对于每个商人都必需的能力，那就是如何从一个系统中分离出关键性的因素来。他发展的思维技巧可以用于解决任何问题。他的思维和头脑也将因此而变得更敏锐、更精确。
就像举重可以锻炼人的肌肉一样，数学可以锻炼人的头脑。没有哪种运动让一个运动员突然仰面朝天躺下然后举重十次。然而，绝大多数的运动员都要做这个运动。为什么？因为这种运动可以使运动员更加强壮，从而可以使他们对于通常的体育项目有所准备。
如果你合理地教授一个孩子数学的话，你就送了他一份大礼，这份大礼就是使他的智力更加敏锐、更加强大。事实上你帮他发展了他的头脑。你使他更加聪明。你给了他可以在这个世界上获得成功的基本能力，也使他能够过更幸福的生活。你的努力不仅仅使他在数学方面更加出色，而是使他在思维方面上了一个台阶。
本书将告诉你如何使你的学生或孩子在数学方面表现得卓越，即使他极端懒惰或者天生对数学就比较厌恶。在本书中，你可以学到如何激励学生以及教给他们些什么东西。无论你是精通数学还是仅仅懂得一些可怜的代数知识，本书都会告诉你如何运用它们。
在继续阅读本书之前你必须明确一些事情。首先，本书中所设计的方法，其目的是为了有效，而不是为了简单或者好玩。
另外，本书并不提倡“棍棒底下出孝子”的教育方式。我从不吼学生，而且显然我也绝不使用任何体罚的形式来对待我的学生。如果你能把自己该做的事情做对，你就不用通过发火和吼叫来教授学生数学。
与此相似，本书中所设计的技术并不是为了引发孩子们的敌对情绪。我的许多学生都曾花费了大量的时间在某个数学问题上，他们急切盼望答案或是十分痛苦。然而谁抱怨得最厉害谁看上去却最欣赏我的训练。实际上，这些学生的辅导费用一部分来自于他们的零用钱、打工的钱以及做实习生的钱（译者注：美国的孩子从小就会出去打工赚些钱），他们没有转到其他的定价合适的辅导服务。他们没有将钱花在娱乐上，而是自愿地将钱花在了学习数学上。
究竟是什么原因使得这些十几岁的孩子将钱花在学习数学上呢？原因是从某种程度来讲，人们渴望自身能力的提升的愿望甚于娱乐。这与我们的经验恰恰相反，大多数十几岁的青年人更盼望得到智慧而不是一时的快乐。我可以使我的学生努力拼搏的程度远远超出其他教育者所能使他们做的。我的方法可以使学生们成为最优秀的，并且可以使学生们真正看到这一进步。
本书中将近一半的内容都集中在激励上。目前，美国最优秀的头脑正用所有广告的把戏来把孩子们说服到某个轨道上来。酒精和烟草公司每年要花费几百万美元在广告宣传上，同样，成百上千的垃圾食品生产公司、服装公司以及娱乐产业的公司也在做同样的事情。从而，在当今世界，差的激励方法根本无法与之竞争。家长们以及教育者们要是想有一个行之有效的教育方法，就必须使用当今这些由专业人士发明的强有力的方法。
实际上，你必须要有说服力，这不像广告所促进的娱乐和消遣。为了有效地教授孩子学习数学，你必须说服他们克服很多很多困难，然而这也将顺理成章地得到更多的好处。
举例来说，很多学校允许学生使用计算器。正如本书所解释的，长期使用计算器会明显地降低孩子们的计算能力。因此，你要说服你的孩子不再使用计算器学习数学，即使他的老师可能鼓励计算器的使用。
尽管这看上去好像无法实现，但是本书中的方法会告诉你如何去做。一旦学生们懂得了使用计算器所带来的危害，大部分学生都会主动停止使用计算器。我的一些学生参加了SAT考试（译者注：美国大学生入学考试），这被看做是他们人生中最重要的考试。他们没有使用计算器，可几乎所有学生都得到了一个完美的SAT数学成绩。
你所做的事情将会从根本上改变你孩子的生活，这个事实将会使得激励更加容易。尽管有时他们会抱怨，但是他们很清楚你所做的事会对他们有利。并且经过一段时间的积累，当孩子们看到他们自身变得越来越有智慧、越来越成功的时候，激励将会变得更加轻而易举。
本书的其余部分解释了要教孩子哪些内容以及怎样教。这揭示了最为有效的数学教育方法，这将包括著名的亚洲体系以及造就我的公司——Arvin Vohra教育公司成功的基本方法。
2 亚洲体系
人们相信亚洲人比较擅长数学，这是有理由支持的：在美国，亚裔孩子数学成绩明显地比其他种族的孩子出色。举例来说，2005年数学水平测试显示在所有年龄层次上，亚裔学生都获得了比白人、黑人以及西班牙裔学生更高的成绩。（来源：Child Trends Databark）
本节考察了亚裔父母和教育者所使用的技术。当然，随着国家的血统和个体的不同，技术有很多变种，但是有一些技术和原则几乎普遍适用于亚裔父母和教育者。
亚洲体系建立在学生的记忆之上。在孩子小的时候，大人就教他们熟记乘法表以及类似的东西。随着年龄的增大，他们要记住很多公式甚至要记住解决某种特殊类型问题的步骤。
亚洲体系从根本上不同于当前的美国方法，亚洲方法强调的是基于记忆的理解。美国父母和数学老师重点解释为什么某个技术奏效时，亚裔教育者仅仅是要求学生将这个技术记住，并准备好使用它。
你可能会认为这种教学方法会教育出仅会背下公式而不理解其意思的学生来。但是事实恰恰相反。一旦学生记住了某些信息，理解这些信息就顺理成章了。另一方面，那个只注重理解而忽视记忆的教育体系的效果反而适得其反。学生们最终变得无所适从——不能理解问题或者解决问题。
这是数学教育中最奇怪的几个悖论之一，在我从事教育工作的最初阶段，我也曾为此困惑不解过。为什么记忆在数学学习中会奏效？为什么仅仅将精力放在对数学的理解上反而会失败？数学不是要理解的吗？学生们的记忆力不该省下来给历史课吗？
为了解开这个谜，我们将开始一个旅程来帮助我们理解数学教育中最为重要的认知法则。
认知负担过重
请记住下列词语：
奶牛，狗，马，树，海，青蛙
不困难，对吧？那再试试下面的词语：
青蛙，苔藓，草，马，奶牛，老鼠，鹿，电话，井，勺子，桌子
事实就是词语越多越难记住。人们可以使用很多种记忆的技巧来记住第二组词语，但是无论如何也不如第一组记着简单。
大多数人可以在给定的时间内用瞬时记忆记住7条左右的信息。（通常条件下在5～9条之间，这取决于这些信息的复杂程度。瞬时记忆可以在短期内记住要记的信息。长期记忆可以在几年之内记住要记的信息。）上面第一组词语仅包含6条信息。而第二组词语包含了11条信息，但是却比第一组词语至少难记两倍。为什么呢？因为第二组词语超越了记忆的极限。
那么我们来看一个例子，这个例子有点接近数学了。
有一个法则：当你看到一头奶牛的时候，用一只青蛙打它。
很容易记住，也很容易理解。你甚至会发现自己记住了这个“公式”长达几周之久。
我们再看另一个公式：
当你看到一个ztyq的时候，用tfgh打它。（注释：ztyq是一个三条腿的奶牛，而tfgh是一个背上长了多于七个斑点的青蛙。）
如果你足够专心去记的话，你可能会将这个公式和它的注释记住几分钟以上。但是你很可能不到明天就把它给忘记了。原因有两个。第一，这句话包含更多的信息。第二，在脑海中构建这一画面有些困难。
如果你曾经被数学折磨过，你会觉得记住上面的“公式”与被数学折磨有异曲同工之处。现在试试下面的句子：
当你看到一个缺了一个tfgh的mtyq的时候，用一个mrtg打它。（mtyq是一个ftzz或一个qoiu。qoiu是一个没有脚的青蛙。mtyq是半个蒲公英。tfgh的定义在上面已经给过了。fter是半个rofr，rofr是奶牛的一个左蹄。）
这个公式极为难记。甚至没有人能够耐着性子将其读完，即使读完了也会很快忘掉。
这与数学有这么关系呢？请看以下的数学问题：
粉刷一平方英尺的墙壁需要3美元。Fred想要粉刷一个长方形的区域，这个长方形区域的长和宽分别为5码和4码。那么Fred粉刷3块这样的墙需要花费多少钱？
如果你知道长方形的面积等于长乘以宽以及1码等于3英尺的话，这个问题自然不在话下。但是如果你不知道这些知识和公式的话，题目对于你就得变成：
粉刷一平方英尺的墙壁需要3美元。Fred想要粉刷一个长方形的区域，这个长方形区域的长和宽分别为5码和4码。那么Fred粉刷3块这样的墙需要花费多少钱？（长方形的面积等于长乘以宽，1码等于3英尺。）
这看上去与上一个题目很相似，对不对？我们现在还没有接触到“认知负担过重”这一现象，但是已经逐渐接近了。由于学生必须反复考虑问题中的信息以及他们并不熟悉的公式，因此他们反而不能将精力集中于如何解决问题上。
现在我们看下一个问题：
Fred想要把一个罐头瓶涂成红色。这个罐头瓶是圆柱体形状，并且它的高为20英寸，底面半径为10英寸。Fred想将这个圆柱体的侧面涂上3层涂料而将其顶部涂上4层涂料。如果每平方英寸涂料的价格是10美分，这个工作需要花费Fred多少美元才能完成？
这个问题有些复杂了，但是它仍旧仅仅是一个小学生就能回答的问题，下面我们来看看解决这个问题都需要些什么公式：
Fred想要把一个罐头瓶涂成红色。这个罐头瓶是圆柱体形状，并且它的高为20英寸，底面半径为10英寸。Fred想将这个圆柱体的侧面涂上3层涂料而将其顶部涂上4层涂料。如果每平方英寸涂料的价格是10美分，这个工作需要花费Fred多少美元才能完成？（这个圆柱体的顶面和底面是圆形，圆形的面积公式是圆周率π乘以半径的平方。圆的半径是其直径的一半。圆柱体的侧面积是圆柱体的底面圆的周长乘以圆柱体的高。圆的周长是圆周率π乘以直径。）
当然，在实际问题中，这些提示信息不会整齐划一地写在题目后面的括号中，学生们需要自己去查找相关的资料或者问他们的父母和老师来获得需要的公式。学生不需要挖空心思去寻找这些信息，他们只需要在平时多留意这些信息就可以了，因为这些信息往往是从不同地方得来的。学生可能很少有可以用的认知源来分析和解决问题，这是因为学生的大脑被很多公式直接塞满了，学生也就没有机会把问题做对了。在考试中，学生可能仅仅希望得到学分。
这个问题在初中数学课上也会提出，大约是七或八年级就会学到。但往往很多高中高年级的学生却不会做这个题目。实际上，很多成年人也都不会做这道题。这个问题不是很难，为什么很多人做不出来呢？这就是因为我们所提到的认知负担过重的问题。
一个学生遇到认知负担过重的信号通常是很容易被发现的。他往往变得让人一眼看上去就觉得他很失意。他会作出很多事来发泄感情，例如吼叫、痛哭或者汗流浃背。可能你会认为他是在发神经，可事实上并不是这样。这个学生正在面对一个无法忍受的处境，而这个处境看上去毫无变化的希望。试想一下，如果你早上醒来发现被装在一个笼子里，你会作出什么反应？你就会明白这个学生的想法。
其他学生可能因此而退缩，看上去仿佛事不关己。他们可能会面无表情而且对题目的说明和问题漠不关心，这就使得他们的老师和家长错误地觉得他们很笨。实际上，他们正在从一个难以理解的状态中解脱出来。
一些学生可能根本不是在解题，而是在纸上胡乱写着什么东西，或者半天才写出一个其实与题目无关的公式来。例如，他们可能会问“什么是二次方程？ ”或者“什么是勾股定理？ ”等诸如此类的问题。他们对于问题的回答可能是仅仅随便猜出的一个数字，尽管他自己也不相信这个数字是正确答案。令人无可奈何的是，学生们只是信口说出了一点东西，其实心里完全明白这是在瞎说。
如果一个学生被一个问题折磨了很长一段时间的话，那你的麻烦就大了。还记得前文中提出的以下问题吗？
当你看到一个奶牛的时候，用青蛙打它。
你知道“奶牛”的含义，也知道“青蛙”的含义。因此，对于你来讲，很容易理解上面的这个规则。
而对于前文提到的圆柱体的问题，被这个问题折磨了很长时间的学生可能会把它看成是下面的类似问题：
当你看到一个faquat的时候，用potwu打它。
这是为什么呢？因为他可能根本不知道“圆柱体”是什么东西。对于“侧面积”可能根本没有概念，更不用说什么“直径”、“半径”以及相关的概念和名词了。由于他们不能恰当地在脑海中将问题的图景构造出来，因此那些提示他们的一系列步骤就成了一串毫无意义的命令。就算奇迹发生，他在一次小测验中回忆起了相关的知识点，他也肯定会在考试中将其遗忘。这些概念对于他来讲就像天书一样无法理解。
为了构建这一问题的全貌，他必须在脑海中存储以下信息：
1．什么是圆柱体？
2．什么是圆的周长？
3．圆周长的公式。
4．圆面积的公式。
5．什么是圆的半径？
6．什么是圆的直径？
6a．圆的半径和直径之间的关系。
7．圆柱的侧面积公式（其实就是长方形的面积公式）
这个学生解题之初就遇到了以上7个难题。问题中的信息已经占满了他的大脑，这使得他一头雾水，对于问题的解答根本无法开始！他的大脑中甚至根本没有地方去存储这些额外的信息（例如，高为多少、成本为多少，等等）。
另外，当学生的认知能力被满负荷使用时，这个学生可能对于细小的错误也无法检查出来。他由于粗心所造成的错误率会急剧增加。实际上，学生犯了看上去是由于粗心大意所造成的过多的错误，究其根本原因是在解题的过程中，他们的认知能力被大大地“超载”了。
上面的问题仅仅是一个初等数学的问题。当学生们学到了代数学，或者是更高级的微积分的时候，认知超载的问题就会更加凸现出来。
亚洲体系如何处理认知负担过重的问题
前面我们曾经讨论过短期记忆只能一次记住大约7个左右的信息。但是你所知道的事实肯定远远不止7个。你可能知道7 000个，甚至更多的事实。
这些信息存储在你的长期记忆中。亚洲教育体系可以帮学生将信息存储在他们的长期记忆中，这是完全可以办到的。为了更加准确，亚洲教育体系更加侧重于强迫学生将信息存储在长期记忆中并在合适的时机使用这些记忆。
亚洲教育体系是卓有成效的，并且非常简单。从孩子们一开始说话，他们的数学训练就开始了。孩子们一直被要求记住一些数学事实并且每天都基于这些事实进行训练，训练使用很多的公式与概念（例如，三角形的面积、圆的周长、二次方程，等等）。
学生反复做一种类型的题目，直到他能在很短的时间内作出相同的题目为止。举例来说，学生可能每天都在做求圆柱体侧面积的问题。这样训练几周之后，学生再求一个圆柱体的侧面积，速度会得到极大提高。通过持续的训练，做题所需的信息就储存于他的长期记忆中了，一到用的上的时候，信息马上会显现出来。
在这种教育方式下，学生们不需要任何卓越的智力，只需要平均的智力水平，其实低于平均水平也是可以的。
事实胜于雄辩，我们来看看亚洲的学生是如何分析上述题目的吧。请记住，这些定理和公式在他们的头脑中是根深蒂固的，以至于他们在使用的时候几乎是不加思索的。他们已经做过相似的题目很多遍了，做题对他们来说就像是机器以自动的方式完成的一样。
以下是在前文中提到过的问题：
Fred想要把一个罐头瓶涂成红色。这个罐头瓶是圆柱体形状，并且它的高为20英寸，底面半径为10英寸。Fred想将这个圆柱体的侧面涂上3层涂料而将其顶面涂上4层涂料。如果每平方英寸涂料的价格是10美分，这个工作需要花费Fred多少美元才能完成？
亚洲学生会这样考虑这个问题：
计算出圆柱体底面的面积，并将结果乘以4；计算出圆柱体的侧面积，并将结果乘以3；将这两个结果相加，将相加所得的总数乘以10得到所需的美分数；将美分数除以100得到所求的美元数。
正确的数学计算步骤如下：2
π×10＝100π，这是圆柱体上底的面积，乘以4得到400π。
圆柱体的侧面积是2π×10×20＝400π；把这个结果再乘上3，我们得到1 200π；将这两个数字加在一起，我们得到400π＋1 200π＝1 600π；再将这个结果乘以10得到所需美分的数量，也就是16 000π美分；将这个结果除以100得到160π美元。请注意，π近似等于3．14。
算术和代数中的认知负担过重问题
我们已经在前面几个文字问题中说明过认知负担过重的情况。那真正的算术或者代数问题又如何呢？
我们看一个算术问题：
大多数成年人计算这个问题很直截了当。但你是否想过，如果你没记住九九乘法表的话，你会怎么办呢？那么你计算的第一步就不是7×5＝35了，而是改成了5＋5＋5＋5＋5＋5＋5＝35了，然后记下十位数字3，再计算7＋7＋7＋7（而不是4×7）而得到28，然后再像平常一样进行下去。这时，你甚至已经忘记了先前完成的工作，而不得不重新开始。换句话说，你已经达到了认知负担过重的地步。
这样犯下粗心大意错误的机会就会变得很大。你可以试着做一下以下的运算，那就是将45连续相加37次，记住，是相加而不是相乘。
对于更困难一些的问题又会怎么样呢？例如：
真的是有些棘手的问题。假如你不知道九九乘法表，这种计算将会异常困难。
我们继续假设你不会使用九九乘法表。那么，请做一下下面的题目：
这道题目变难了，不是吗？如果你不知道九九乘法表，这道题目就会很难入手。
好，我们现在来做一道代数问题：
这个题目与九九乘法表无关。但是如果一个人没有很好地记住九九乘法表的话，他就不会真正懂得如何将分数相加。因此这个人就永远不会懂得如何做上面的题目。他可能在短时间内记住做这道题目的方法，但是很快就会忘记，甚至等不到考试他就会把这道题的解法彻底忘记。
上面的问题是一道初学者水平的代数问题。更高级的问题往往需要学生将解决类似的问题（例如，乘法）仅仅作为解题的一步来处理。随着难度的上升，孩子们对于问题更加望洋兴叹，无从下手。长此以往，孩子们将会彻底对数学问题丧失耐心。孩子们只要一做题，认知负担过重问题就会出现。为了了解并且解决这一问题，他不得不将一些有用的素材（例如，圆的面积和周长公式等）长年保存在记忆中，但这事实上是不可能的。因此，学生无所选择，只能在尝试解决问题之前先学上若干年的数学。
正是因为亚洲教育体系的教育重点在于培养学生对于基本数学事实的长期记忆，在此教育体系之下的学生在求解数学问题的时候当然就不会存在认知负担过重的问题。事实上，亚洲教育体系比这更进一步。这个教育体系不仅仅强迫学生们记忆诸如九九乘法表这样的数学事实，还会要求学生们持续不断地训练基本题目。学生们对于前文中所提到的那些代数问题会感到是小菜一碟，他们不需要一开始就“解决这个问题”，而是练习与这个问题相类似的问题很多次，这会使得他们解题的过程像机器一样准确而迅速；这也使得这些数学问题对于他们而言易如反掌。
由于陌生而带来的距离感
你是否还记得这个问题：
当你看到一个奶牛的时候，用青蛙打它。
这比记住以下的问题要难得多：
当你看到一个terqp的时候，用srato打它。
这是为什么呢？其实以上这两句话具有相同的复杂度，第一句话尽管奇怪，但是对你来说还是有些意义的，而第二句话却毫无意义。你根本不能把第二句话所描述的场景展现在大脑中，除了死记硬背之外你没有任何方法记住它。也就是说，你可以记住这句话，但是你却无法明白你记住的是什么。这些信息超出了你能够理解的范围，也许你能记住，但是永远也不会理解。
我们来看看超出理解范围这件事情是如何影响数学解题的。举例来说，学生甲的数学能力很强，学生丁在数学方面的成绩较差。现在，我们给这两个人下面的公式：
圆的面积等于π乘以圆的半径的平方，π约等于3．141 59… 。
然后给他们以下的题目：
圆的半径是6，请计算圆的面积，并用π来表示。
两个学生应该进行如下的计算：
然而，实际的问题是这两个学生所做的事情却完全不同。学生甲（数学能力较强的那个学生）在开始做题之前，给这个问题画出了一个如下所示的图形：
学生甲知道半径的含义，也知道如何利用半径来计算圆的面积。如果问题中的条件改为圆的直径为6，那么学生甲将在脑海中构想出以下的图形。
学生甲会立即看出这是一个半径为3的圆并且利用上面的方法算出圆的面积。
而学生丁（数学能力较差的那个学生）的做法就截然不同。也许从某种程度上，学生丁会这样考虑：“我不知道也不想知道半径是个什么东西，我所需要知道的仅仅是如果有了半径的值，用它乘以它本身，然后乘以π就可以了。”
我把这种现象称为“由于陌生而带来的距离感”，由于这个学生对上述一些概念的陌生，从而产生了对这些概念的距离感。他对这些信息很陌生，仿佛这些信息是游离在他的感知世界之外的一种东西。当那个数学能力较强的学生看到一个比萨的时候，他会自觉地指出这个比萨有半径，并可以画出一个半径来。而数学能力较差的学生对于“半径”这个词的认识就仅仅停留在数学课堂上对它的描述而已，他甚至没有认识到他所看到的所有圆形都具有半径。
当一个问题中仅仅出现了直径而非半径的时候，学生丁会感到迷惑。常见的情况是，数学能力差的学生仅仅记住了半径是直径的一半这个事实而已，而没有在头脑中将它们构建起任何具体的联系。这不仅仅让学生对这个概念产生了距离感，而且加重了他记忆的负担。
随着数学本身变得越来越复杂，数学能力差的学生会对数学越来越疏远，他们每次考试都忙着记公式，而每次考试他们都距离通不过越来越近。公式对他们来讲什么也不是；他们对公式仅仅是重复性机械式的记忆，就像让你记住下面这句话似的：
当你看到一个terqp的时候，用srato打它。
亚洲教育体系是如何避免“距离感”的
在距离感的现象中，数学能力较差的学生采用重复性机械式的记忆来应付数学考试。我们在上一节中解释了为什么这种方法是有问题的。
与此同时，亚洲教育体系也是建立在重复性机械式记忆之上的。学生们经常被要求在弄懂公式的含义之前记住这些公式。一个九岁大的学生可能先记住二次方程的公式，而后才知道它的用处所在。可是这一向被我们认为是会产生距离感的。
然而，事实恰恰相反。信息在这些学生的头脑中却变得越来越完整，越来越丰满。
你是否还记得下面这句话？
当你看到一个terqp的时候，用srato打它。
当然，这句话还是毫无意义的，但是你对于这句话越来越熟悉了。
人的大脑是如何决定什么信息要吸收整合而什么信息要产生“距离感”的呢？我们的一种考虑是信息的相关性。相互之间有关联的信息更容易被吸收和整合。举例来说，你在本书中看到的信息比你从20世纪50年代的税收手册中看到的信息更容易吸收与整合。
我们的第二个考虑是信息的有趣程度。河豚鱼含有丰富的蛋白质，在日本是脍炙人口的精美食物，但是由于河豚鱼有毒性，被日本的皇室禁止食用。这则信息是有趣的，所以容易被理解和吸收，并成为人们的永久记忆。
与此相反，我们看一下下面这则消息：黑尾响尾蛇会分泌出有毒的分泌物，这种分泌物对人类是有危险的。比起上面那则消息，这则消息不太具有趣味性，因此容易被人遗忘（尽管这则消息更加简单一些）。
我们下一个考虑是关于信息的复杂程度的。越复杂的信息，越难以被消化和吸收。举例来说，我们很容易记住“当你看到一个奶牛的时候，用青蛙打它。”但是比较难以记住“当你看到一个奶牛的时候，用青蛙打它，除非这头奶牛身上有斑点，并且在这种情况下只有当周末的时候才用青蛙打它。”
最后一个考虑是信息的熟悉程度。事实证明，从某种程度上说，熟悉的信息比不熟悉的信息更容易被人记住。下面的这句话就是一个例子：
当你看到一个terqp的时候，用srato打它。
这句话依然是奇怪而无法理解的，但是你已经慢慢地记住这句话了。如果你天天面对这句话，天天读到这句话，即使你根本不知道它说的是什么，你也能把这句话记住。并且如果有一天你知道了这句话的含义，也就是这句话到底意味着什么，这句话就会深深地刻在你的脑海之中并成为你的长期记忆。
这也正是亚洲教育体系避免让学生产生对数学的距离感的方法。亚洲教育体系只是让学生的大脑做好准备去接受重要的信息进而形成他们的永久性记忆而已。一旦孩子们知道了如何用二次方程解决实际问题，二次方程的知识就深深地刻在了他们的脑海之中并很快成为他们的数学思维的一部分。
靠这种长期的反复的信息记忆，亚洲教育体系下的学生对于他们所记忆的信息已经达到了非常熟悉的地步，不会产生距离感了。这些记忆上的准备保证了孩子一旦知道了这些数学知识的用处所在，马上就能将这些数学知识形成自己的永久性记忆。因此，出乎意料的是，把这种重复性机械式的记忆作为训练工具，亚洲教育体系避免了孩子在短期记忆上的重复性机械式记忆，取而代之的是将这些数学知识转化成他们的永久性记忆。
知识分级以及知识分级所引起的错误
数学能力强的学生以及数学能力差的学生最大的差别之一就是他们对知识进行分级化梳理的时候。（例如，他们根据信息的重要程度对信息进行排序的方法。）
数学能力强的学生会在总体上对不同的概念和公式进行分级。举例来说，一个数学能力强的学生认为二次方程的公式是一个极其重要的公式，那么他就应该能够随时记起并使用这个公式。而那些相比而言不太重要的公式，例如符号的笛卡尔法则，享有的优先级就较低。数学能力强的学生可能要稍微想几秒钟才会想起这个定理，或者他根本没有记这个定理，只是需要的时候才去查找而已。类似地，数学能力强的学生将会永远记得如何将下面的式子进行因式分解：
然而，他可能需要时间来想一想如何将下面的式子进行因式分解：
即使是数学能力极强而且能够很快作出任何数学问题的学生，也会将自己学到的知识进行分级。举例来说，数学能力极强的学生做第一个问题的时候很快，可能只需要十分之一秒，但是做第二道题时速度就会下降很多，会花费两秒，换句话说，这之间有二十倍的差异。
另一方面，数学能力较差的学生会经常将知识错误地分级，或者他们根本不将知识进行分级。在第一个例子中，这个学生对于并不那么重要的知识点给予了过高的重视，而对重要的知识点给予了较低的重视程度。这样的话，在那些非重要的知识点上他可能比数学能力很强的学生还要熟练，但是在重要的知识点上却没有得到任何发展。这样一年下来，数学能力较强的学生记住了大约十个左右的关键概念并且可以将这十个概念运用得十分灵活，而数学能力差的学生只是似是而非地知道了一大堆无关紧要的数学事实而已。
没有进行很好的知识分级的学生应付一下平时的小测验还可以，但是考试时就一塌糊涂。直到他们参加考试为止，他们的脑海中都被那些不重要的事实和公式所填满，这些事实和公式究竟是什么意思可能他们都不知道。
这些学生常常在历史课上表现出众，因为他们有能力在几天或者是几个星期内记住大量的信息。然而，这种记忆的能力或者说学习方法根本不适用于数学的学习。因为他们只是可以将一大堆信息记住一段时间，而没有将这些信息进行分级。因此，他们以一种杂乱的、未分级的方法来获得信息，用同样的精力来对待重要的和次要的信息，最终会将这两种信息同时遗忘掉。
如果老师讲的知识点完全不重要，那么数学能力强的学生有时甚至比数学能力差的学生对这个知识点的理解还要差一些。他们本能地认识到这些信息是无关的，并且发现记住这些公式几乎是不可能的。
亚洲教育体系是如何处理知识分级问题的
美国的数学课和教科书很少对知识进行有效的分级。取而代之的是，很多课程和教科书都将一大堆重要和非重要的信息混合在一起。可能在一段时间内，学生们会学习因式分解的方法和技巧，这个知识点在数学中是极其重要的，而另一段时间他们又在学习统计学中著名的茎叶图，而茎叶图本身在数学的学习中并不那么重要（茎叶图是收集统计数据的基本方法）。数学能力强的学生已经培养了一种识别重要知识点的能力，所以他一见到重要的知识点就要透彻地搞懂，一见到非重点的知识点就一带而过。数学能力较差的学生就不具备这种能力，因此他们经常“挣扎”在数学课上。
另一方面，亚洲教育体系并不依靠某个学生自己的能力来对知识进行层次化。取而代之的是，他们直接用一个已经将信息进行过层次化的授课体系来教授学生。
正如我们之前讨论过的那样，亚洲教育体系采用的是长时间地对学生进行熏陶。然而，这并不是说亚洲体系是随机地熏陶学生。亚洲体系会要求学生时不时地练习一下。例如，时不时测试一下二次方程；时不时测试一下基本的导数和积分；时不时测试一下正弦函数、余弦函数以及正切函数的定义。请注意，他们并不是在对某个知识点进行大考之前才测试，这种测试是经常性的。一个十岁大的学生就可能测试过正弦函数的相关知识。他在上学期间关于正弦函数的首次大考也不会拖很长时间才进行。
然而，学校并不对次要的知识点经常性地进行测试。例如，对于统计学中茎叶图的案例（除非是专门考这个案例）就不会对大家进行测试。再比如，符号的笛卡尔法则（微积分预备知识之一）也不会对大家进行测试。这并不是说这些知识点不重要，而是说它们对于发展基础性的方法和技巧（例如，分数乘法或因式分解等）不是那么重要。
亚洲教育体系不是等待学生自己将信息进行层次化，而是靠不断强调重点内容以确保学生对信息进行正确的层次化。
假以时日，亚洲教育体系确实帮助学生们开发出了自己的知识层次化体系。由于重要的信息经常被强化，因此学生们培养了一种识别数学中重要知识点的直觉能力。当他们学习数学中其他内容的时候，就可以用已经增长了的知识分层的能力来对新的信息进行层次化处理。
亚洲教育体系如何确定学生是否学会了某个知识点
我们已经知道了亚洲教育体系如何使学生高效地解决问题，也知道了亚洲教育体系如何避免学生由于对知识陌生而产生的距离感以及确保学生对知识进行正确的分层，但是如何确定他们已经学会了相应的知识点呢？亚洲教育体系是如何确保他们真正学会了他们所做的事情呢？
随着你对一件事情越来越熟悉，你的精神和意识也就越容易接受它。对数学而言，学生更容易接受那些比较熟悉的知识。随着他们自觉不自觉地对这些话题进行探索，他们对这些话题的熟悉程度也就随之加深。
亚洲教育体系并不总是直接教授学生某些知识点，至少最初不是。亚洲教育体系并不是对相应的知识点作出详尽的说明，而是将精力集中于确保学生足够熟悉知识点以至于自己可以将其融会贯通。亚洲教育体系实际上也会对知识点给出解释，但是它更注重于学生是否掌握了这种学习的方法。举例来说，学生先学会了如何进行分数乘法，然后才学到为什么这种方法会奏效。
当学生知道了所学到的知识点的相应解释时，他已经对这个知识点掌握得相当熟练了。这就允许他将全部认知的能力放在弄懂一个问题上，而不是将其精力的一部分用来弄懂这些概念，另一部分用来学习这些机制和方法。
亚洲教育体系使学生有了依赖性
在刚开始的章节中，我们探讨了学生为何要学习数学。我的解释是数学发展了人们的心智，教会了人们分析问题和解决问题的方法和途径，诸如此类。但是，如果光从表面现象来看的话，亚洲教育体系似乎并没有做到这一点。它似乎把学生培养成了不假思索只会做题的机器。是的，亚洲教育体系下的学生只会快速地做某些数学题，但是对大多数人来说数学本身并不重要。重要的是数学发展了人们的心智。亚洲教育体系侧重于训练和磨练人们的心智。但这真的奏效吗？这真的发展了学生们的心智以及增长了他们的智慧吗？还是仅仅让学生们有了依赖性，而只会做几种特殊类型的题目呢？
这是亚洲教育体系所关心的最终的也是最重要的问题。对于知识点的反复磨练是必要的。练习也是必要的。记忆更是必要的。但是光有这些还不够。学生们还需要研究一些具有挑战性的问题。
具有挑战性的问题是那些让人们算上至少20分钟或者更甚者思考一周的问题。这些问题迫使学生们将他们所学的知识以一种新的方式综合起来并绞尽脑汁来做。这个过程使学生们变得更加聪明，并且不仅仅是数学，在其他方面也会做得更好。
给小孩子的富有挑战性的问题很好找：就找一些稍微高级一点的问题就可以了。举例来说，如果他们已经学会了一位数的乘法，那么可以让他们试着计算两位数的乘法，这足以让他们绞尽脑汁想一会儿了。其实孩子们是否能解出题目并不重要，重要的是，只要努力去思考，他们的智力就能得到锻炼和增长。
如果你精通数学，可以试着给那些年龄稍大一些的孩子们出一些富有挑战性的难题。但如果你不太懂数学的话，那么你可以使用一些其他的辅助资料，比如SAT Ⅰ和SAT Ⅱ（译者注：SAT考试是美国高中生进入美国大学必须参加的考试，也是世界各国高中生申请进入美国大学本科学习能否被录取以及能否得到奖学金的重要参考）的数学练习和数学测试题目。这些书中的练习很多，并且这些书在很多书店都可以买到。这些书每一节的习题中靠后面的部分一般都是本节中最难的习题。举例来说，如果SAT的书中某个章节有25道题目，那么第23题、24题和25题通常都是这一节中最难的题。
如何采用亚洲教育体系
以下是一些能够帮助你的孩子开始采用亚洲教育体系学习的一些准则：
1．每天找出一段时间来专门学习数学。最标准的是每天1小时，坚持每天专时专用学习数学。用此来补充数学作业的不足，要年复一年地坚持下来，当然也包括假期和周末。
2．从传统上来说，除了每天的数学练习之外，父母还要时不时地搞些小测验抽查一下，可以单纯考查孩子的数学知识，也可以出些数学题考查他们一下。这些考查未必非得用非常严肃的形式，平时就可以，比如坐车时或者吃饭时考查孩子们一些问题即可。
3．要准备的材料：可以用数学教材或者练习册上的习题。如果你的数学非常好，也可以使用芝加哥大学数学项目的材料，名称是《芝加哥数学》。这是一个“专家系统”式的图书，因为你必须足够懂数学才能使这个系统高效地运转起来。
4．狂热的献身精神。所有孩子（包括亚裔儿童）刚开始的时候都是比较抗拒亚洲教育体系的。他们可能会说他们的朋友之类的都没有额外的数学作业，并且可以为所欲为。请你坚持让你的孩子做这些额外的作业，并确保他们确实做了。你的孩子可能不喜欢这一切，但是他很快就能看到这些东西带给他的好处。
5．持续不断地复习所学过的东西：在这个过程之中，确保你要对学过的东西进行不断的重复。
6．专注于基础知识。一天中的每个小时都应该花在主要的问题上（比如分数加减法），而不是次要的问题上（例如，前面所说的茎叶图）。
7．学习的时间越多越好。每天学习两个小时要比每天学习一个小时要好。当然，三个小时就更好了。
8．经常提醒你的孩子，数学有利于发展他们的心智，而且做额外的练习会使他们比其他孩子更加聪明。我的很多学生自愿每周花上几个小时来做家庭作业以外的练习，因为他们知道这些额外的训练有益于他们自身，而并非有利于他人。
你应该从今天起就开始在亚洲教育体系下学习数学。只要你的孩子能说话就能开始这项练习，并且这个过程开始得越早越好。你既可以把这一切应用在一个17岁大的孩子身上，也可以用在一个成年人身上，都会起作用。实际上，我的很多年龄稍大的学生自愿把时间花在亚洲教育体系所要求的内容上，其效果和年轻的学生一样好。然而，对大多数年轻学生而言，你还是要主动促使他们干这些事情。他们不会喜欢这些练习，但是这些练习会使他们在数学乃至人生方面更加成功。
如何采用认知负担过重
亚洲教育体系可以避免使学生们的认知负担过重。有趣的是，在某些方面你确实使用了认知负担过重作为有力的认知动机。
假设一个孩子坚持用加法来进行乘法运算，而就是不记忆九九乘法表。举例来说，这个孩子计算19×6的方法就是将6连续加19次，也就是6＋6＋6＋6＋6＋6＋6＋6＋6＋6＋6＋6＋6＋6＋6＋6＋6＋6＋6。这种方法不但慢，而且麻烦，还有就是效率很低，惨不忍睹。经常地，这几乎无法说服这个孩子使用他所记住的某个数学事实。
父母和老师的想法是对的！真是那样的话，学生会觉得完全被打垮。他们一定会试图去寻找更好的方法，不然也太郁闷了。
3 自我感受和两极分化
情景之一：
你是一个七年级的新生，这是你今年第一堂数学课。老师在讲解着某些知识，而你却发现教室里的其他人比你学得要快。你能够解答出数学题来，但是你做得要比别人慢一些。在这堂课的最后，你会产生一种想法，那就是你在数学方面比别人要差。
第二天的课程会加强你的这个认识，因为你会觉得其他人确实看上去比你优秀。事实上，他们最多比你快5% ，但是在你看来，他们比你快了至少十倍。也就是这一阵（其实新学年刚刚开始两天），你就确定地认为你不擅长数学了。在本周的最后几天，你百分之百地确定了这些事情。实际上，你从此就认为自己的数学很糟糕，不会学有所成了。当老师给你一道富有挑战性的题目的时候，你几乎不会去试着做一做这道题就放弃了。其实这并不是你的本质。你是一个在数学学习中痛苦挣扎的孩子，你有哪些机会接触到难题呢？
当你做作业时，你经常心不在焉。在你的心目中，就像运动员搞体育运动，摇滚歌手唱歌那样，你认为把数学题做错也是天经地义的。
但是你经常能找到一些不符合你理论的证据。在一次数学测验中，10分满分的卷子你得了9分，而你们班的其他人都没有通过考试。但是由于你和你班上的其他人都认为你的数学很差，结果就连你自己也认为这“纯属意外”。人人都将这件事传为笑谈。他们笑的是一个数学呆瓜怎么可能考得比其他人好？甚至连你的父母也认为这是一场闹剧。
一次次地，你的数学老师说你的数学成绩很优异，并且你在数学能力方面并没有什么缺憾。当然，你的老师在这方面有些权威性。但是你已经习惯了以前若干年的经验，这些经验可能来自于你其他的老师或者朋友，他们认为你的数学很差。很显然，你顽固地认为那个赞赏你的老师的观点是错的而其他人都是对的。
情景之二：
你刚刚开始你七年级的学生生活，在你的第一堂数学课上老师所讲的课你妈妈去年夏天刚好教过你。你对老师讲的东西已经知道了，因此你对这些东西的理解比其他同学都快。你的所有同学都看到了，老师夸奖你的数学能力强。实际上，在这堂课最后，你就真的成了这堂课上最优秀的学生。这和同学及老师在刚上课时对你的看法不谋而合，也和你自己刚上课时对自己的看法如出一辙。等数学课上了一周，数学就真的成了你的强项了。
一次次地，你把作业中那些较难的数学题解决掉。但是班上其他人是否也能做出呢？就像运动员搞体育运动，摇滚歌手唱歌那样，你的使命就是把数学题做得比其他人要好，要快，并且你必须坚守这个使命。一个难题可能会花上你五个小时的时间，但你就是要把它做出来。
但是经常遇到的问题是，你的经历和你对自己“数学强人”的认识恰恰相反。可能在一次测验中，10分的测试你只得了5分，而班上其他同学至少得了8分。甚至平时最淘气的孩子都得了一个很好的成绩。每个人都觉得好笑，那个淘气的孩子对全世界宣布在这一时刻他比你聪明。太多的质疑接踵而至，就连你的父母都觉得这很可笑。你爸爸告诉你不要太拿这个测试当回事，这个测试就是一个笑料而已。当然，你并没把这次测试当回事，你认为那不是真实的你。
首先，在上述两个情境中发生了两件事情。情景一中的孩子通过和班上其他人的比较，对自己的能力有了一种觉察。请注意，自我认识是一种通过比较而得出的自我认知，而不是通过准确的测量。在数学课上饱受煎熬的孩子不会测量他的同学比他强多少，而只会认为自己是班上数学最差的学生。不管别的孩子做题比他快10秒钟还是10分钟，他始终是最后一名。
其次，在上述每种情境中，班级中的孩子们都自发地将班上的同学划分等级，分成数学好的学生和数学差的学生，这个档次的划分又强化了这些学生们的自我觉察。任何一个组织都会建立各种等级制度，甚至连身高都会成为划分等级的标准。被认为是最胖的孩子就是胖的，尽管他可能不是真的胖。被认为是最迟钝的孩子就是迟钝的，尽管他可能仅仅是比别人稍微迟钝一点而已。被认为是最聪明的孩子就是聪明的，尽管他可能仅仅是比别人稍微聪明一点而已。微小的差别被人为地夸大了，组织内部也划分出了不同的等级。
当然，一个好消息是，让一个孩子自认为是聪明的有时并不需要他真的比同伴们聪明很多，只需要稍微聪明一些就行了。一旦他和他的同学们认为他是一个数学好的学生，他的自我认识以及组织里的档次划分都会强化这种状况。
使用这种方法最简单的途径就是在暑假时提前学习一下下学期要学的东西，学上几周就有效。找到下学期用的教科书，浏览一下前几章的内容就可以了，这样一来，你的孩子在下学期就会比别的孩子稍微领先一点点，他就更有可能认为自己在数学方面比其他人优秀（他的老师和同学同样也会这样认为）。
然而，如果班上其他孩子也这样做的话，你就要做得更加努力一点以保持领先地位。这里有个小秘密，那就是100%的亚洲父母都在采用这种方法。亚裔学生能够在数学学习方面取得成功的一个最大的原因就是他们的父母让他们在暑假花了一定的时间（通常是每天一到两个小时）来学数学。
改变自我认识
暑假、寒假以及春假是改变孩子自我认识以及他在班级中地位的最佳时机。当其他孩子在假期中荒度时光的时候，你的孩子超过他们的机会就来了。如此照方抓药，开学的时候，你的孩子就会独占鳌头了。
同时，让你的孩子认为自己是那种在假期也可以工作的人。他逐渐会将额外的工作看成是他自己生命的一部分，并且这些额外的工作会使他走得比别人更远。
鸡头还是凤尾
有时父母有这样的问题，那就是把孩子放到一个竞争性强的学校，让孩子整天为了学习努力奋斗好，还是去一个差一点的学校让孩子做学习领先的人好呢？
首先，事实上绝不仅仅只有这两种选择。靠额外的训练就可以使你的孩子在好的学校中名列前茅。
但是，我们就暂且假设只有这两种选择。那到底让孩子做“鸡头”还是做“凤尾”呢？
正像我们讨论的自我认识的重要性那样，有一点重要的现实情况需要大家知道。在较差的学校中学习成绩靠前的学生会认为自己在数学方面很有优势，进而他会更加努力地学习，但是他会缺乏一些更加苛刻的训练，这种训练是好的学校可以提供的。简单说来，就是他没学的足够多以至于他并不是自己想象中那样聪明。这样的话，他在日后踏入社会与他人竞争时，很可能会失败。
奥林匹克运动会中的最后一名仍然是世界级水平的运动员。好学校的差一些的学生可能也会强于差学校的名次靠前的学生。当然，在好学校的话就要求学生们更加努力更加拼搏一些。所以当他们面对差学校中缺乏足够训练的学生时，超过他们就易如反掌了。
4 激励和奋斗：发展个人心智的艺术
如果老师教授得当，数学会提升人的心智，就像体育锻炼可以增强人们的肌肉一样。但不是所有的教授数学的方法都行之有效；实际上，最近才刚刚被采用的一些方法就适得其反。这些方法不仅没建立起孩子们的认知技巧，而且导致了他们能力的萎缩。
有三件事情可以发展人们的认知能力。第一件就是年龄的增长。即使接受的是最糟糕的教育，人类的生理的发展也会发展人们的认知能力，一个十六岁的成年人一般来说要比一个两岁大的儿童更加聪明。
第二件可以发展人们心智的事情就是对外在事物的接触。经常接触有趣的事物和问题的孩子能够自由地扩展他们的思路并探索新的思维模式。举一个简单的例子，玩魔方的孩子能够发展出更好的空间想象能力与三维推理能力。
第三种方法是激励动机。玩魔方的孩子可能会发展出很强的空间推理能力的基础，然而，如果没有很好的激励，他也不会把这种能力发挥到极致。如果他无法想出解决魔方问题的方法，就很有可能从此放弃这个东西。
发展个人动机的想法有两件事情是必要的。第一，必须有一个问题不容易解决，那么孩子绞尽脑汁想出解决这个问题的方法就会使他的心智有所发展。如果学生拿到的试题永远是靠他当前的水平很容易作出来的，那么他的心智也就谈不上得到更好的发展。可想而知，整天举一个只有半斤重的哑铃不会使肌肉得到增强，同样，整天做简单的数学题也不会使一个人的心智得到发展。
那些天资聪颖的学生的家长反而更容易忽略掉这一点，而仅仅让他们的孩子处在一种宽松的环境之下。这样反而使这些孩子没有用武之地。这就好像一个先天条件很适合当运动员的人没有经过刻苦的训练，就泯灭了他的天赋一样。
无论一个学生多么聪明，他都必须去做一些他最初不会做的富有挑战性的数学问题。如果他能够在五分钟之内解出一道题的话，这道题就不能算是一道富有挑战性的题目。那种富有挑战性的题目一般会花费一个人二十分钟到一周的时间来解决。
一旦你遇到一个确实难以解决的问题，你所需要的就是激励了。如果学生没有解决难题的激励，他必然会直接走开，对难题不理不睬。然而，如果你了解了如何激励你的孩子，你就会用正确合理的激励来促使他们做题。以下列出的几项就是会激励他们的事情：
1．渴望给人留下印象。如果你的孩子渴望给你留下一些深刻的
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