作者：苏继红
出版社：暨南大学出版社
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微积分Ⅱ (经济管理类课程教材)试读：
前言
本教材是继《微积分I》的后续内容。全书由五章组成，分别是第五章“不定积分”，第六章“定积分”，第七章“无穷级数简介”，第八章“多元函数”，第九章“微分方程与差分方程简介”。
本书是根据本科高等院校经济管理类专业微积分课程的教学大纲组织编写的，编入的都是最基本的微积分知识，强调掌握重要的基本概念、基本运算，同时又注重理论知识的应用。编写理念是从港澳台及海外华侨学生的特点、基础和知识体系结构出发，遵循以“教材适应学生”的原则，主要目的是希望读者在课外通过本教材，能够比较容易自学，做到无师自通，巩固课堂所学内容，从中较系统地获得必需的基础理论和常用的运算方法。
本教材的主要特点是参考吸收了国内外教材的优点，在保持经典微积分内容的系统性和完整性的前提下，力求通俗简明，主要表现在对定积分的应用以及将二重积分化为二次积分等内容的叙述上，从概念到运用都比传统教科书的编排更加循序渐进。教材采用大量的几何图解，直观明了地给读者带来数形结合的空间想象，便于发现数学思想的本质，有利于提高读者对数学实质的理解。在纯理论的学习中，适当降低了某些理论的深度。书中贯彻“学、练、反复，适当结合”的原则，每给一个重要、常用的概念，都举出相应的例题，同时给出【即学即练】及答案，每节练习题比《微积分I》增加了相应的参考答案，以便读者即时巩固检查所学内容。另外，书中除了设置通俗易懂的巩固性问题外，还配备拓展性、探索性等问题，以满足那些愿意深入学习的读者的需要。全书为学生理解数学的抽象概念提供了认识基础，也为后续专业课程的学习提供了必要的数学工具。
本书可作为经济管理类各专业广大自学者的教材或自学参考书，对全日制文科类专业的大学生，也是一本比较适合的参考书。
尽管我们力求能编出适合实际教学的教材，但由于水平有限和时间仓促，再加上教材是初版，书中难免有疏漏或错误之处，恳请各位读者、同仁多提宝贵意见，给予批评指正，使本书更加完善。
最后，我们非常感谢暨南大学教务处及数学系的大力支持以及暨南大学出版社的热情帮助和辛勤工作，使本书得以顺利出版。编者2015年1月第五章不定积分
通过前面章节的学习，我们已经能求已知函数的导数或微分，并初步用导数的知识来解决某些简单的问题。由给定函数求这个函数的导数或微分的问题构成了微积分学的微分学部分。在许多科学与技术的实际应用中，往往会遇到相反的问题，例如，已知质点变速运动的速度，如何求质点的运动方程。又如，如何求不规则平面的面积以及空间中的体积等问题，为解决这些问题产生了不定积分和定积分，它们构成了微积分学中的积分学部分。本章先学习不定积分，这也是后面学习第六章“定积分”的重要基础。5.1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念
我们知道已知质点运动方程s＝s（t），求质点在任意时刻的瞬时速度v，可归结为求路程函数s（t）对自变量t的导数，即v＝s′（t）。在实际问题中常常需要解决相反的问题：给定速度v是时间t的函数v＝v（t），要确定路程s与时间t的依赖关系。这样就需要由函数v＝v（t）还原出一个函数s＝s（t），使它满足对t的导数就是v，即v＝s′（t）。类似的问题还有，已知曲线上任意一点M（x，y）处的切线斜率为k＝k（x），要通过它还原出表示这条曲线的函数y＝f（x），此时要满足这条曲线在点x处的导数就是k，即k＝f′（x）。再如在经济问题中，已知边际成本函数MC＝C′（x），要求总成本函数，也就是要知道哪一个函数的导数等于MC，就是要还原出总成本函数本身C＝C（x），使得MC＝C′（x），等等。
以上三个问题，虽然其具体实际意义各不相同，但去掉它们的实际意义，在数学上，都可归结为同一问题，即由一个函数的导数还原出这个函数（原函数），这就是积分学的基本问题之一。下面我们给出一般原函数的概念。
1. 原函数的概念
定义5.1 设f（x）是定义在区间（a，b）内的已知函数，如果存在可导函数F（x），使对于任意x∈（a，b），都有F′（x）＝f（x）或dF（x）＝f（x）dx
则称F（x）是f（x）在（a，b）上的一个原函数。即对于任何满足F′（x）＝f（x）的函数F（x）和f（x），f（x）称为F（x）的导数，而F（x）则称为f（x）的原函数。
由定义可知找原函数与导数有着密切的联系。
例1 求下列函数的一个原函数。2（1）f（x）＝3x，x∈（-∞，＋∞） （2）f（x）＝cosx，x∈（-∞，＋∞）
解题分析：按原函数的定义5.1，要求已知函数f（x）的一个原函数，即要找出一个函数F（x），使得它求导数后能够等于这个已知函数f（x）。2
解：（1）由f（x）＝3x，设所求函数为F（x），因为F（x）＝2x时，应有32F′（x）＝（x）′＝3x3
所以，由原函数的定义，函数F（x）＝x在（-∞，＋∞）内是2f（x）＝3x的一个原函数。（2）由f（x）＝cosx，设所求函数为F（x），因为F（x）＝sinx时，应有F′（x）＝（sinx）′＝cosx
所以，由原函数的定义，F（x）＝sinx在（-∞，＋∞）内是f（x）＝cosx的一个原函数。【即学即练】
2. 原函数的个数与全体原函数的表示55x52
例3 从下列函数x-3，2＋x，2；logx，2＋1，x＋1中找出45x的原函数。4
解题分析：按原函数的定义，只要找出求导数后结果是5x的函4数，就都是5x的原函数，即若所求函数设为F（x），则F（x）应满4足F′（x）＝5x成立。5454
解：因为（x-3）′＝5x，（2＋x）′＝5x；2′＝0；2554
所以x-3，2＋x及x＋1都是5x的原函数。
再看下例。
例4 设函数f（x）＝sinx，x∈（-∞，＋∞），求f（x）＝sinx的一个原函数。
解：由于函数F（x）＝-cosx满足F′（x）＝（-cosx）′＝sinx，
所以F（x）＝-cosx是sinx的一个原函数。
我们可以知道（-cosx＋1）′＝sinx，说明-cosx＋1也是sinx的一个原函数，不难看出（-cosx＋2）′＝sinx，…，当C为任意常数时也有（-cosx＋C）′＝sinx，说明-cosx＋2，…，-cosx＋C都是sinx的原函数。这说明f（x）＝sinx的原函数不止一个。
一般地，如果函数f（x）有一个原函数F（x）即F′（x）＝f（x），则对于任意常数C都有［F（x）＋C］′＝F′（x）＋（C）′＝f（x）＋0＝f（x）
由此可得出，如果f（x）有原函数，则它的原函数不止一个，有无穷多个。下面我们讨论如何找出无穷多个原函数（全体原函数）的表示。
事实上，设f（x）的原函数存在，且函数F（x）和G（x）是f（x）在同一个区间上的任意两个原函数，那么它们的差F（x）-G（x），在该区间上是一个常数，则［F（x）-G（x）］′＝F′（x）-G′（x）＝f（x）-f（x）＝0（←F′（x）＝f（x），G′（x）＝f（x））
由《微积分I》第四章§4.1中拉格朗日（Lagrange）中值定理的推论4.2知道，导数恒为零的函数必为常数，于是F（x）-G（x）＝C（C为任意常数）
即 G（x）＝F（x）＋C
结论告诉我们，如果F（x）是f（x）的所有原函数，则f（x）任意一个原函数G（x）都可表示为F（x）＋C的形式，即当C为任意常数时，G（x）的集合｛F（x）＋C|-∞ 求原函数的过程显然是求导的逆过程，因此读者重温并熟练掌握导数的基本运算方法，是求原函数或所有原函数的关键，也是后面学习不定积分的关键。 由以上讨论可得求函数f（x）的所有原函数的参考步骤： 第一步，由定义5.1求出一个原函数F（x）； 第二步，写出所有原函数的表达式F（x）＋C（C为任意常数）。 例5 求函数cosx的全体原函数。 解题分析：也就是找出cosx一个原函数再加上一个任意常数C的形式。 解：因为（sinx）′＝cosx（←第一步，求原函数）， 所以sinx是cosx的一个原函数， 故cosx的全体原函数为sinx＋C（←第二步，写出所有原函数）。 在上面的讨论中，我们都假定f（x）的原函数是存在的，那么，函数f（x）要具备何种条件，才能保证它的原函数一定存在呢？可以证明，如果被积函数f（x）在某区间上连续，则在该区间上f（x）一定有原函数。（这个问题将在第六章§6.3节的定理6.4中给出） 注：（1）由于初等函数在其定义域内都是连续的，故初等函数在其定义域内必存在原函数（但其原函数不一定仍是初等函数）。（2）连续是存在原函数的充分条件，并非必要条件。【即学即练】求下列函数的全体原函数：（1）cosx-1 （2）0（答案：（1）sinx-x＋C（C为任意常数） （2）C（C为任意常数）） 通过求原函数，下面给出不定积分的定义。 3. 不定积分的概念 定义5.2 设F（x）是函数f（x）在区间（a，b）上的一个原函数，则f（x）的所有原函数F（x）＋C（C为任意常数）称为函数f（x）的不定积分，记作∫f（x）dx，即有∫f（x）dx＝F（x）＋C （5.1.1） 其中符号“∫”称为积分号，f（x）称为被积函数，∫f（x）dx称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数，取一切实数。 由定义5.2可得出简单结论：求一个函数的不定积分∫f（x）dx，就是求出这个函数的所有原函数。 注：（1）不定积分∫f（x）dx可以表示f（x）的任意一个原函数，积分号“∫”是一种运算符号，它表示对已知函数求其全体原函数。这里的“所有”就体现在任意常数C上，所以在求不定积分的结果时不能漏写积分常数C，它可取任意实数。（2）一个函数f（x）的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一组函数，而这一组函数之间，只是相差一个常数，利用已知导数来求出不定积分的过程是微分法的逆运算，称为不定积分法，简称不定积分。（3）由求不定积分的过程可得，检验积分结果是否正确，只要对结果求导，看它的导数是否等于被积函数，相等时结果是正确的，否则结果是错误的。 用定义5.2求函数f（x）的不定积分的参考步骤： 第一步，由定义5.1求出一个原函数F（x）； 第二步，写出不定积分的表达式∫f（x）dx＝F（x）＋C（C为任意常数）。2 例7 求函数3x的不定积分。23 解：（第一步）在例1中已经求出3x的一个原函数是x，（←∵32（x）′＝3x）23（第二步）所以∫3xdx＝x＋C（C为任意常数）。32 不定积分x＋C与导数3x的关系可以归纳成下图： 例8 求4x＋1的不定积分。22 解：因为（2x＋x）′＝4x＋1，所以2x＋x是4x＋1的一个原函数（←第一步），2 所以 ∫（4x＋1）dx＝2x＋x＋C（←第二步） 例9 求不定积分∫cosxdx。 解：因为（sinx）′＝cosx，所以sinx是cosx的一个原函数， 从而 ∫cosxdx＝sinx＋Cxx 例12 求不定积分∫edx＝e＋C。xxxx 解：因为（e）′＝e，所以e是e的一个原函数，xx 于是 ∫edx＝e＋C 注：为了方便起见，以后在不发生混淆的情况下，不定积分也称为积分。【即学即练】二、不定积分的性质 1. 导数与不定积分的关系（不定积分运算与导数（或微分）运算的互逆关系） 由（5.1.1）式可得到微分法与积分法关系的两个性质：（1）［∫f（x）dx］′＝f（x）或d∫f（x）dx＝f（x）dx （5.1.2）（2）∫F′（x）dx＝F（x）＋C或∫dF（x）＝F（x）＋C （5.1.3）（5.1.2）式表示不定积分的导数等于被积函数（或不定积分的微分等于被积表达式），（5.1.3）式表示一个函数F（x）的导数（或微分）的不定积分等于函数族F（x）＋C。（5.1.2）式的简单记法：“先积分后导数（微分），结果为函数形式不变”，即“d”与“∫”抵消。（5.1.3）式的简单记法：“先求导数（微分）后积分，结果为函数加上一个任意常数C的形式”，即若先“d”（或“求导”）后“∫”，则抵消后函数相差一个常数。 证：（1）设F（x）为f（x）的一个原函数，则F′（x）＝f（x），又由不定积分的定义 ∫f（x）dx＝F（x）＋C 所以 ［∫f（x）dx］′＝［F（x）＋C］′＝F′（x）＋0 ＝F′（x）＝f（x） 或由微分的定义，得d［∫f（x）dx］＝f（x）dx（2）因为F（x）就是F′（x）的一个原函数，所以得∫F′（x）dx＝F（x）＋C，或∫dF（x）＝F（x）＋C【即学即练】 2. 线性运算性质 性质1 ∫kf（x）dx＝k∫f（x）dx（k是常数，k≠0） （5.1.4） 即求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来。 证：（5.1.4）式等号右边求导，得［k∫f（x）dx］′＝k［∫f（x）dx］′＝kf（x） 而且k∫f（x）dx中含有一个任意常数，k∫f（x）dx是kf（x）的全部原函数，由定义5.2，得∫kf（x）dx＝k∫f（x）dx。 注：在性质1中条件k≠0，是必要的，否则若k＝0，有∫kf（x）dx＝∫0dx＝C（C为任意常数），而k∫f（x）dx＝0，两者并不相等，故只有k≠0时，（5.1.4）式才成立。 性质2 ∫［f（x）±g（x）］dx＝∫f（x）dx±∫g（x）dx （5.1.5） 即函数代数和的不定积分等于各个函数的不定积分的代数和。 证：对（5.1.5）式两端求导得［∫f（x）dx±∫g（x）dx］′＝［∫f（x）dx］′±［∫g（x）dx］′＝f（x）±g（x） 而且∫f（x）dx（或∫g（x）dx）中含有一个任意常数，由原函数的定义∫f（x）dx±∫g（x）dx是f（x）±g（x）的全部原函数，所以得∫［f（x）±g（x）］dx＝∫f（x）dx±∫g（x）dx 性质2可以推广到任意有限多个函数的代数和的情形， 由性质1和性质2可得到不定积分的线性运算性质： 注：例13中，在求和的积分中每一项的不定积分都含有一个任意常数，因为任意常数的和仍然是任意常数。因此，在以后的不定积分的计算中，不必将每项不定积分中的积分常数项都加上，而只需在最后积分结果中统一加上一个积分常数C即可。三、不定积分的几何意义 我们知道y′（x）代表曲线y＝f（x）在x点处的斜率函数，而曲线x＝ay＝f（x）在x＝a的斜率为y′（x）|，或写作f′（a），如图5-1-1所示。图5-1-1 一般地，求已知函数f（x）在某区间上的一个原函数F（x），在几何上就是要找出一条曲线y＝F（x），使曲线上横坐标为x的点处的切线斜率等于f（x），也就是满足F′（x）＝f（x）。这条曲线y＝F（x）称为f（x）的一条积分曲线，此时f（x）是F（x）在点（x，F（x））处的切线斜率。由于F（x）是f（x）的一个原函数，则f（x）的不定积分∫f（x）dx＝F（x）＋C是f（x）的全体原函数，所以对于给定的不同常数C，F（x）＋C表示坐标平面上的不同的积分曲线，因此不定积分∫f（x）dx的几何意义表示f（x）的一族曲线F（x）＋C，称为f（x）的积分曲线族，如图5-1-2所示。图5-1-2 积分曲线族具有这样的特点：在横坐标相同的x点处，曲线的切线是相互平行的，切线的斜率都等于f（x），而且积分曲线族在x点处它们的纵坐标只相差一个常数。因此，任意一条积分曲线都可以由曲线y＝F（x）沿y轴方向上、下平移得到。00 注：如果要求出这族曲线中通过某点（x，y）（称之为初始条件，一般由具体问题确定）的积分曲线，先由（5.1.3）式求出积分0000曲线y＝F（x）＋C，将（x，y）代入y＝F（x）＋C求出C，再将00C代入y＝F（x）＋C，就可得到积分曲线族中通过点（x，y）的那条积分曲线。 例14 设曲线过点（-1，2），并且曲线上任意一点处切线的斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程。图5-1-3 解：设所求曲线方程为y＝f（x），由题设条件，过曲线上任意一点（x，y）的切线斜率为f′（x）＝2x 上式两端求不定积分得∫f′（x）dx＝∫2xdx2 则f（x）＝x＋C（←等式左边结果由性质（5.1.3）），此曲线方2程y=x＋C代表斜率为2x的所有曲线族，又由于曲线过点（-1，2），2将点（-1，2）代入曲线方程，2＝（-1）+C，得C＝1，再将C＝1代22入f（x）＝x＋C得过点（-1，2）的曲线方程为y＝x+1，如图5-1-32中所示实线部分。当C＝-1，0，2时y＝x＋C的图像如虚线所示，可22见对于不同的C值，y＝x＋C的图像的形状与y＝x是完全相同的。例22如，f（x）＝x-1可由y＝x沿y轴方向向下平移一个单位得到。【即学即练】求通过点（0，1）的曲线y＝f（x），使它在点x处的切线斜率2为3x。3（答案：y＝x＋1）5.1 练习题x 6. 若∫f（x）dx＝2＋2x＋C（C为常数），求f（x）。 7. 求过点（0，2）的曲线y＝f（x），使它在x点处的切线斜率为2x。 8. 试求函数f（x）＝sinx通过点（0，1）的积分曲线方程。 9. 设∫xf（x）dx＝arctanx＋C，求f（x）。参考答案5.2 基本积分表一、基本积分表 因为求导（微分）与求不定积分互为逆运算，也就是说，有一个导数（微分）公式，反过来就有一个积分公式，因此我们将导数（微分）基本公式反过来看，就能得到下面的积分基本公式，以此为基础可计算大量的不定积分。常用的基本积分公式表（右边是微分公式对照表） 特别地，∫0dx＝C，因为d（C）＝0。 注：（1）上表左边的13个基本积分公式是计算不定积分的基础，很多复杂不定积分的计算，计算过程中总是要设法利用基本积分公式求得最后结果，因此基本积分公式是进行积分运算的基础，必须熟记。（2）切不可将公式中的积分变量固定记为x，而应该看成是对任意一个变量t，h，w等都是成立的，例如： 由∫sinxdx＝-cosx＋C，可有∫sinhdh＝-cosh＋C，∫sintdt＝-cost＋C，∫sinwdw＝-cosw＋C等都成立。 在下面解题注解中的积分公式简称公式。二、直接积分法 若所给定的不定积分，能直接利用基本积分公式计算出不定积分，或者通过利用不定积分的性质或者只需将被积函数作恒等变形，使之符合基本积分公式结构的要求，计算出不定积分，这样的方法通常称为直接积分法。 等于被积函数，所以计算结果是正确的。 读者自行完成检验。 此例告诉我们，当遇到被积函数实际上是幂函数，但常用分式或α根式表示时，应首先将它化为x的形式，然后再应用幂函数的积分公式（2）来求出不定积分。【即学即练】求下列不定积分：【即学即练】【即学即练】 例5、6、7的解法特点是考虑迎合分母，由分子结构适当恒等变形拆成两项，加（或减），再利用公式。
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]