作者：荆贺明 滕明利 司玉琴
出版社：中国铁道出版社
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五-制高职数学(第一册)试读：
前言
为适应我国高等职业技术教育蓬勃发展的需要，加速教材建设的步伐，根据教育部有关文件精神，考虑到高等职业技术院校基础课的教学应以应用为目的，以“必需、够用”为度，并参照《五年制高职数学课程教学基本要求》，由高等职业技术院校中从事高职数学教学的资深教师编写本套教材，可供招收初中毕业生的五年制高职院校的学生使用。
本套数学教材是按照高等职业技术学校的培养目标编写的，以降低理论、加强应用、注重基础、强化能力、适当更新、稳定体系为指导思想。在内容编排上，注重知识的浅层挖掘。从教学改革的要求和教学实际出发，教材将最基础部分的知识，从不同的起点、不同的层次、不同的侧面，进行了变通性强化、方法性强化和对比性强化，从而使基础知识得到充实、丰富和发展；注重培养学生的创新意识和实践能力，教材在内容的安排上注重培养学生基本运算能力、空间想象能力、数形结合能力、简单实际应用能力、逻辑思维能力；注重加强学法指导，教会学生学习，让学生在学习知识的同时，不断地改进学习方法，逐步掌握科学的思维方式；注重让学生参与实现教育目标的过程，寓教学方法于教材之中。
教材十分重视学生的认识过程和探索过程。例如，在概念、定理、公式后安排“想一想”内容，提出具有启发性的问题，让学生进行思考、讨论。又如，安排让学生根据要求自己编制题目的内容，以使学生动手动脑，把课堂教学变成师生的共同活动。再如，教材中的例题，除了给出解法外，还在解法前安排分析，解法后安排小结，为学生自学创造条件。在例题和习题的编排上有较大改革。主要是：把例题和习题的题量、难度进行量化；引进客观题，增加开放题和建模题等新题型；采用串联成组的方法，将发挥题目的个体功能转变成发挥题目的整体功能；选择富有代表性、启发性的题目，进行详尽透彻的分析，并在此基础上进行横向或纵向演变，最大限度地发挥题组的潜在功能；在适当位置设置“条件填充题”或“结论填充题”，以缩小知识跨度，减少学习困难。本教材具有简明、实用、通俗易懂、直观性强的特点，适合教师教学和学生自学。
本册为第一册，内容包括：集合、不等式、函数、指数函数与对数函数、任意角的三角函数。教材中每节后面配有一定数量的练习题和习题，每章后面配有思考和小结以及复习题，供复习巩固本章内容和习题课选用。
本册由荆贺明、滕明利、司玉琴任主编；俎瑞琴、杨超、康乐、陈业伟任副主编。具体编写分工如下：第1章、第2章由杨超编写，第3章、第4章由荆贺明编写，第5章由康乐编写，滕明利、俎瑞琴、司玉琴、陈业伟、李冬梅、殷婷协助以上编者编写。最后由荆贺明负责统稿。
由于编写水平有限，书中不足之处在所难免，我们衷心希望得到广大读者的批评指正，以使本书在教学实践中不断完善。
编者2017年7月第1章集合
集合是现代数学的基本语言，集合的概念在数学中非常重要，它是建造整个“数学大厦”的基础，使用集合观点，就能简洁、精确地表达各种数学对象以及它们之间的关系.1.1集合的概念
本节重点知识：
1.集合的概念.
2.集合分类.
3.元素与集合的关系.1.1.1 集合的概念
1.集合的概念
在初中数学中，我们已经接触过“集合”一词.
在初中代数学习数的分类时，就用到“正数的集合”“负数的集合”等.此外，对于一元一次不等式
2x+3>5
所有大于1的实数都是它的解.我们也可以说，这些数组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的 解集 .
在初中几何里学习圆时，说圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合.一般地，几何图形都可以看成是点的集合.
一般地，某些指定的对象集中在一起就成为一个 集合 ，简称 集 .集合中的每个对象叫做这个集合的 元素 .例如，“我院足球队的队员”组成一个集合，每一个队员都是这个集合的元素；又如，“大于3的整数”组成一个集合，每个大于3的整数都是这个集合的一个元素.
通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示集合，小写拉丁字母a，b，c，…表示元素.
2.集合分类
把含有有限个元素的集合叫做 有限集 .例如，所有大于2且小于10的奇数组成的集合；含有无限个元素的集合叫做 无限集 .例如，所有大于5的偶数组成的集合；不含任何元素的集合叫做 空集 ，记为∅，例如，方程x 2 +1=0的所有实数解组成的集合.
例1 下列集合中哪些是空集？哪些是有限集？哪些是无限集？（1）由26个英文字母组成的集合；（2）由小于8的正整数组成的集合；（3）由大于10的奇数组成的集合；（4）由平方等于-1的实数组成的集合.
分析 判断集合是有限集、无限集、空集的关键是看集合中元素的个数.
解 （1）因为集合的元素分别为A，B，C，…26个英文字母，所以这个集合为有限集；（2）因为集合的元素分别为1，2，3，4，5，6，7，共有7个元素，所以这个集合为有限集；（3）因为集合的元素分别为11，13，15，17，…有无数多个元素，所以这个集合为无限集；（4）因为集合中没有元素，所以这个集合是空集.
练一练
指出下列集合中哪些是空集？哪些是有限集？哪些是无限集？（1）由小于5的自然数组成的集合；（2）由大于11且小于100的整数组成的集合；（3）由等边三角形组成的集合；（4）由a，b，c，d，e，f，g组成的集合；（5）由0组成的集合.
3.集合中元素的特性
根据上述多个例子我们看到：（1）对于给定的集合，它的元素是确定的.也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.例如，由我院足球队的队员组成的集合，它的元素是确定的.（2）对于给定的集合，它的元素是互不相同的，每个元素不能重复出现.例如，由平方等于4的数组成的集合，它的元素只有两个，分别是2和-2.（3）对于给定的集合中的元素之间没有顺序关系，即集合中的元素相互交换顺序所得的集合与原来的集合是同一个集合.例如，由1，2，3组成的集合与由2，1，3组成的集合是同一个集合.
综上所述，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性.
例2 下列各题中所指的对象是否能组成集合？并说明理由.（1）大于3且小于11的偶数；（2）我国的小河流；（3）中国的直辖市；（4）学校里的高个子学生；（5）非常大的数.
分析 根据集合中元素具有确定性的特点，判断指定的对象能不能构成集合，关键是能否找到一个明确的标准.
解 （1）（3）都能组成集合，因为每个对象都是确定的.（2）（4）（5）都不能组成集合，因为没有确切的标准用来判断一条河流的“大小”；在“高个子”与“不是高个子”之间，没有规定身高界限；数目大小的程度也没有明确的标准.
练一练（1）举出两个能构成集合的实例，再举出两个不能构成集合的实例.（2）下列各组对象是否能够成集合？
①著名的数学家；
②方程x 2 -4=0的实数根；
③质量好的洗衣机；
④一次函数y=4x+1图像上的所有点；
⑤数轴上1～5之间所有的点；
⑥所有整数.
4.常用数集（1）全体非负整数组成的集合称为 非负整数集 （或自然数集），记作N；（2）全体正整数组成的集合称为 正整数集 ，记作N （或N*）；+（3）全体整数组成的集合称为 整数集 ，记作Z；（4）全体有理数组成的集合称为 有理数集 ，记作Q；（5）全体实数组成的集合称为 实数集 ，记作R.
如果上述数集中的元素仅限于正数，就在集合记号的右下角标以“+”号；若数集中的元素仅限于负数，就在集合记号的右下角标以“-”号.例如，Q 表示正有理数集，Z 表示负整数集.+-1.1.2 元素与集合的关系
一般地，如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A，如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A.
2是自然数，就说2属于N，记作2∈N.
-2不是自然数，就说-2不属于N，记作-2∉N.
例3 用符号∈或∉填空.（1）0______N； （2）0______N ； （3）+0______Z；（4）______Z； （5）5______R； （6）______Q；（7）______Q； （8）-5______Z .-
解 （1）∈； （2）∉； （3）∈； （4）∉； （5）∈； （6）∈；（7）∉； （8）∈.
注意符号“∈”“∉”是表示元素与集合之间的一种个体与整体的关系，在“∈”“∉”的两边分别是元素、集合.
练一练
判断下列各题所表示的关系是否正确：（1）1∈Z； （2）； （3）；（4）； （5）-5∈Z； （6）0∈Q .+习题1.1
1.指出下列各题中所指的对象是否能组成集合，并说明理由：（1）某职业高中高二计算机班性格开朗的女生；（2）本校篮球队的全体队员；（3）大于3且小于5的实数；（4）素数的全体；（5）大于10的自然数.
2.说出下面集合中的元素：（1）由大于1且小于5的偶数组成的集合；（2）由大于-2且小于10的整数组成的集合；（3）由小于5的自然数组成的集合；（4）由平方等于1的数组成的集合；（5）由12的正因数组成的集合.
3.用符号“∈”或“∉”填空：（1）11______Z； （2）0______N； （3）1.2______Z ；+（4）-0.9______Q； （5）______R； （6）______Q ；+（7）-3.14______R； （8）2π______N ； （9）+______R.
4.判断题（1）某校爱好足球的同学组成一个集合. （ ）（2）由1，2 0 ，2，3组成的集合有4个元素. （ ）（3）所有好看的图画组成一个集合. （ ）（4）不超过20的非负数组成的集合. （ ）（5）由0，1组成的集合与由1，0组成的集合是同一个集合. （ ）1.2集合的表示法
本节重点知识：
1.列举法.
2.描述法.
集合的元素有多有少，有的是有限集，有的是无限集，在不同的地方，使用集合研究问题的目的也各不相同，根据不同的需要，表示集合的方法也各不相同.经常使用的表示集合的方法有两种：
1.列举法
我们把“中国古代四大发明”组成的集合表示为{指南针，造纸术，活字印刷术，火药}，把“方程x 2 -9=0的所有实数根”组成的集合表示为{-3，3}.
像这样把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做 列举法 .
例1 用列举法表示下列集合：（1）小于8的所有自然数组成的集合；（2）方程x 2 =x的所有实数根组成的集合；（3）大于0且小于8的偶数组成的集合.
分析 题目中要求用列举法表示集合，需先分析集合中元素的特征及满足的性质，再一一列举出来满足条件的元素.
解 （1）小于8的所有自然数组成的集合{0，1，2，3，4，5，6，7}.
由于集合中元素具有无序性，因此集合可以有不同的列举方法.例如{7，6，5，4，3，2，1，0}.（2）方程x 2 =x的所有实数根组成的集合{0，1}.（3）大于0且小于8的偶数组成的集合{2，4，6}.
列举法表示的集合的种类：（1）元素个数少且有限时，全部列举，如{1，2，3，4}；（2）元素个数多且有限时，可以列举部分元素，中间用省略号表示，如{1，2，3，4，…，100}；（3）元素个数无限但有规律时，如自然数集N可以表示为{0，1，2，3，…}
用列举法表示集合时要注意以下几点：（1）元素间用“，”隔开，而不是用“、”隔开；（2）元素不能重复，满足元素的互异性；（3）元素排列没有顺序，满足元素的无序性；（4）对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号.
练一练
用列举法表示下列集合：（1）大于-2且小于10的所有整数组成的集合；（2）小于11的所有整数组成的集合；（3）方程x 2 =16的所有实数根组成的集合；（4）不大于10的所有正偶数组成的集合；（5）大于且小于的所有偶数组成的集合；（6）12的所有正因数组成的集合.
注意：
空集∅与集合{0}不同，∅指的是不含任何元素的集合；{0}是由一个元素0所组成的集合.
想一想（1）你能用自然语言描述集合{2，4，6，8，10}吗？（2）你能用列举法表示不等式x-2<5的解集吗？
2.描述法
我们不能用列举法表示不等式x-2<5的解集，因为这个集合中的元素是列举不完的.但是，我们可以用这个集合中元素所具有的共同特征来描述.
例如，不等式x-2<5的解集中所含元素的共同特征是：x∈R，且x-2<5，即x<7.所以，我们可以把这个集合表示为
{x|x<7，x∈R}
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征及取值（或变化）范围.
注意竖线“|”不能省略.集合中元素的共同性质可以用文字语言或符号语言描述.例如，由直线y=x+1上的点组成的集合，可以表示为：{P|P是直线y=x+1上的点}或{（x，y）|y=x+1}.
例2 用描述法表示下列集合：（1）大于-5的所有实数组成的集合；（2）{2，4，6，8，10}；（3）不小于-2的所有有理数组成的集合；（4）所有平行四边形组成的集合.
分析 用描述法表示集合时要先确定集合中元素的特征，再给出其满足的条件.
解 （1）设大于-5的实数为x，它满足条件x>-5，且x∈R，因此，用描述法表示为
A={x|x>-5，x∈R}；
当x的取值集合为R时，x∈R可省略不写，可写作A={x|x>-5}.（2）设这个集合中的元素为x，它满足条件x=2n，n<6，且n∈N ，因此，用描述法表示为+
B={x|x=2n，n<6，n∈N }；+（3）设不小于-2的有理数为x，它满足条件x≥-2，x∈Q，因此，用描述法表示为
C={x|x≥-2，x∈Q}；（4）设平面图形为x，它满足的条件是平行四边形，因此，用描述法表示为
D={x|x是平行四边形}.
描述法表示集合的条件：对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法.
用描述法表示集合时要注意以下几点：（1）写清楚集合的代表元素的符号；（2）说明集合中元素的共同属性；（3）不能出现未被说明的字母；（4）多层描述时，要准确使用“且”“或”；（5）所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容要简明、准确；（6）在不致引起混淆的情况下，用描述法表示集合还可以使用简单的形式，如{直角三角形}，{小于10的正整数}；（7）当x的取值集合为R时，x∈R可省略不写，如{x|x>2，x∈R}可写作{x|x>2}.
练一练
用描述法表示下列集合：（1）小于60的所有自然数组成的集合；（2）大于-2且小于10的所有实数组成的集合；（3）大于8的所有有理数组成的集合；（4）不小于的所有整数组成的集合；（5）{1，3，5，7，9}；（6）所有等腰三角形组成的集合.习题1.2
1.用列举法表示下列元素构成的集合：（1）小于12的所有正整数；（2）小于6的所有实数；（3）大于-5的所有负整数；（4）8的所有正因数；（5）大于0且小于20的所有偶数；（6）不等式x+2>3的所有解；（7）大于1且小于11的所有质数；（8）不大于12的所有正整数；（9）绝对值等于4的所有数；（10）立方等于-27的所有数.
2.用描述法表示下列元素构成的集合：（1）不大于2的所有有理数；（2）不小于-4的所有负整数；（3）不小于2的所有自然数；（4）大于21的所有有理数；（5）不等式x-5>-2的所有解；（6）四边形的全体；（7）大于3且小于9的所有实数；（8）平方等于16的所有数；
3.用适当方法表示下列元素构成的集合：（1）9的所有因数；（2）不等式x-2<1的所有解；（3）中华人民共和国国旗的颜色；（4）平方等于25的所有数；（5）梯形的全体；（6）绝对值等于11的所有数；（7）立方等于8的所有数；（8）方程x 2 -x-6=0的解集.
4.举出一个有限集和一个无限集，并把每个集合分别用列举法和描述法表示出来.1.3集合之间的关系
本节重点知识
1.子集.
2.真子集.
3.集合的相等.
观察下面两组集合，并试着找出它们之间可能存在的关系.（1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}.（2）设A为本校一年级（a）班全体学生组成的集合，B为本校一年级全体学生组成的集合.（3）C={x|x是三条边相等的三角形}，D={x|x是等边三角形}.
可以看出，在（1）中，集合A的任意一个元素都是集合B的元素，这时我们说集合A与集合B有包含关系，（2）中的集合A与集合B也有这种关系.
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集，记作
A⊆B（或B⊇A），
读作“A包含于B”（或B包含A）.
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.这样，上述集合A和集合B的包含关系，可以用图1-1表示.
当集合B不包含于集合A，或集合A不包含集合B时，则记作
B⊈A（或A⊉B），
图 1-1
根据定义可知，任何一个集合A，都是它本身的子集，即A⊆A.
我们规定空集是任意一个集合的子集，也就是说，对于任意集合A，都有∅⊆A.
注意 符号“⊆”表示的是集合与集合之间的关系，符号两边都是集合.
例1 用“⊆”“⊇”“⊈”填空.（1）{2，5}______{1，2，3，4，5}；（2）{x|x是四边形}______{x|x是菱形}；（3）{x|x 2 -4=0}______∅；（4）{x|x>5}______{6，7，8}；（5）{x|2
解 （1）⊆（2）⊇（3）⊇（4）⊇（5）⊆（6）⊈
想一想
符号“∈”与“⊆”的应用对象有什么不同？
练一练
用“⊆”“⊇”“⊈”填空.（1）{8，9}______Z； （2）N______{-2，0，8}；（3）Q______{0，2，π}； （4）{-5，0}______{-5，-3，0}；（5）______Q； （6）{0，-1}______{-1，2，3}；（7）{2，3，6}______{x|x是6的正因数}；（8）{x|x是8的正因数}______{0，1，2，4，8，10}；（9）{x| 2 =9}______{-3}； （10）{-1，0，1}______{x|x 2 -1=0}；（11）{x|x是等腰三角形}______{x|x是等边三角形}；（12）{x|x是四边形}______{x|x是梯形}；（13）{x|x>3，x∈R}______{x|x<5，x∈R}；（14）{x|-4
例2 写出集合A={0，1，2}的所有子集.
分析 集合A中有3个元素，那么任意1个，2个，3个元素组成的集合及空集都是集合A的子集.
解 集合A中所有子集分别是：{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，∅.
练一练
写出下列集合的所有子集：（1）A={2，3}； （2）A={s，t}；（3）A={0，2，3}； （4）A={a，b，c}；（5）A={x|x 2 =1}； （6）{x|x-3=1}；（7）A={x|-3 在（3）中，由于“三条边相等的三角形”是等边三角形，因此，集合C，D都是由所有等边三角形组成的集合.即集合C中任何一个元素都是集合D中的元素，同时，集合D中任何一个元素也都是集合C中的元素.也就是说，集合D的元素与集合C的元素是一样的. 如果集合A是集合B的子集（A⊆B），且集合B是集合A的子集（B⊆A），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作 A=B 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集，记作 例3 指出下面各集合之间的关系，并用Venn图表示. A={三角形}，B={等腰三角形}，C={等边三角形}，D={等腰直角三角形}. 解 （1）； （2）.（见图1-2） 图 1-2 例4 指出以下两个集合之间的关系：（1）A={1，3，5，7}，B={3，5}；（2）P={x|x 2 =4}，Q={-2，2}；（3）C={偶数}，D={整数}； 解 （1） （2）P=Q； （3）. 由上述集合之间的关系，可以得到下列结论：（1）任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；（2）对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.练习 1.写出集合A={-1，0}的所有子集和真子集. 2.判断下面集合之间的关系：（1）A={x|x 2 -1=0，B={-1，1}；（2）A={x||x|=3}；B={-3，3}；（3）A={1，2，3，4，5}；B={4，5，1}；（4）A={2，4，8}，B={x|x是16的正因数}. 3.用适当的符号填空.（1）0______{0，1，2}； （2）{0}______{0，1，2}；（3）0______{0}； （4）∅______{0}；（5）{1，2}______{2，1，0}； （6）{a，b，c}______{a，c}；（7）∅______{0}； （8）{x|x2-1=0}______∅；（9）{x|x>5}______{x|5 1.指出集合N，Z，Q，R之间的包含关系. 2.写出集合{0，1，2}所有的子集和真子集. 3.用适当的符号“∈”“∉”“⊆”“”“⊇”“”“=”填空（1）1______N； （2）______Q；（3）a______{a}； （4）{1}______{1，2}；（5）∅______{a}； （6）∅______{0}；（7）{b，c，d}______{c，d}； （8）{1，5}______{小于6的正整数}. 4.（1）已知{0，1，2，3，4}={0，1，2，3，a}，求a；（2）已知{0，1，2，3，4}={0，1，2，a，b}，求a，b；（3）已知{0，1，2，3，4}={0，1，a-2，3，4}，求a；（4）已知{0，1，2，3，4}={0，1，2，2a+1，4}，求a. 5.（1）已知集合A={0，2，a}，B={0，a 2 ，2}，如果A=B，求a的值；（2）已知集合A={2，3，2a-1}，B={2，a 2 ，3}，如果A=B，求a的值.1.4集合的运算 本节重点知识： 1.交集. 2.并集. 3.全集和补集.1.4.1 交集 我国马路上交通灯的颜色集合是 A={红，黄，绿}， 一种国产丝绸的颜色集合是 B={红，黄，蓝，白}. 其中交通灯与丝绸相同的颜色组成的集合是{红，黄}. 可以看出，{红，黄}是由集合A与集合B的公共元素组成的一个新的集合. 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的 交集 ，记做 A∩B， 读做“A交B”.即A∩B={x|x∈A，且x∈B}.可用图1-3所示的Venn图表示. 图 1-3 也就是说，交通灯和丝绸相同的颜色所组成的集合，就是原来两个集合的交集，即 {红，黄，绿}∩{红，黄，蓝，白}={红，黄}. 想一想 1.图1-4中没有阴影部分，那么A∩B是什么？ 图 1-4 2.下列关系式成立吗？（1）A∩A=A； （2）A∩∅=∅. 对于任何集合A，B，如果A⊆B则A∩B=A. 例1 已知A={1，3，5，7，9}，B={1，2，3}，求A∩B. 分析 观察两个集合的元素，找到属于集合A且属于集合B的元素. 解 A∩B={1，3} 例2 已知A={6的正因数}，B={8的正因数}，求A∩B. 分析 首先要分别求出6和8的正公因数，找出属于集合A且属于集合B的元素. 解 因为A={6的正因数}={1，2，3，6}，B={8的正因数}={1，2，4，8}，所以A∩B={1，2，3，6}∩{1，2，4，8}={1，2}. 例3 设A={x|x≥0}，B={x|x<5}，求A∩B. 分析 结合数轴进行解题.（将集合A，B分别在同一数轴中表示，重合部分用阴影表示，即A∩B）. 解 A∩B={x|x≥0}∩{x|x<5}={x|0≤x<5}. 如图1-5所示. 图 1-5 例4 设A={矩形}，B={菱形}，求A∩B. 解 A∩B={矩形}∩{菱形} ={有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形} ={正方形}. 练一练 在空格上填写适当的集合：（1）{1，2，3，4，5，6}∩{2，4，6，8，10}=______；（2）Q∩R=______；（3）Z∩Q=______；（5）{x|x<3}∩{x|x≥-5}=______；（5）{x|0 观察下列问题： 某校高一（1）班的同学只参加了学校的两个运动队，他们组成的集合分别是 A={参加校足球队的同学}，B={参加校田径队的同学}， 那么，这个班参加校运动队的同学的集合就是 C={参加校运动队的同学}. 显然，集合C是由集合A与集合B的所有元素合并在一起组成的集合. 又如：集合A={1，2，3，4}，集合B={1，3，5}，如果把集合A，B中所有元素合并在一起，也可以组成一个新的集合（重复的元素只写一次）. C={1，2，3，4，5}. 也就是说，集合C是由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合. 一般地，对于两个集合A与B，由属于A或属于B的所有元素组成的集合，叫做A与B的 并集 ，记做 A∪B， 读做“A并B”，即A∪B={x|x∈A或x∈B}. 上例中的集合C称为集合A与集合B的并集，即 C=A∪B={1，2，3，4}∪{1，3，5} ={1，2，3，4，5}. 集合A与B的并集A∪B，可用图1-6中的阴影部分表示. 图 1-6 想一想 下列关系式成立吗？（1）A∪A=A； （2）A∪∅=A. 对于任何集合A，B，如果A⊆B，则A∪B=B. 例5 已知A={1，2，3，4，5，6}，B={1，3，5}，求A∪B. 分析 观察两个集合的元素，找到属于集合A或属于集合B的所有元素. 解 A∪B={1，2，3，4，5，6}. 例6 已知集合A={x|-2≤x<3}，B={x|x>1}，求A∪B，并用数轴上相应的点集表示. 解 A∪B={x|-2≤x<3}∪{x|x>1} ={x|x≥-2}. 用数轴上的点集表示，即为图1-7所示的阴影部分. 图 1-7 练一练 在空格上填写适当的集合：（1）{1，3，5}∪{4，6，8}=______；（2）∅∪{1，2，3}=______；（3）{0}∪∅=______；（4）{x 2 -2x-3=0}∪{x|x 2 +3x+2=0}=______；（5）{x|2 在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围. 设集合S是某校高二（3）班同学的全体，集合A是班上所有参加校拔河比赛的同学的全体，而集合B是班上所有没参加校拔河比赛的同学的全体，那么这三个集合有什么关系呢？可以看出，集合S中含有集合A中或集合B中的所有元素，即A⊆S或B⊆S. 一般地，已知的每一个集合都是某一个集合S的子集，那么就称S为 全集 . 例如，在讨论有关实数的问题时，通常把{实数}作为全集，设S是一个集合，集合A是S的一个子集，（即A⊆S），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做 集合A在S中的补集 ，记做∁ A，读作“AS补”，即 ∁ A={x|x∈S且x∉A}.S 集合A在S中的补集∁ A，可用图1-8中的阴影部分表示，图中的S矩形内部表示全集S，圆内部分表示集合A. 由补集的定义可知（见图1-8），对于全集S的任意子集A，有 A∩∁ A=∅，A∪∁ A=S，∁ （∁ A）=A.SSSS 图 1-8 例7 设全集S={x|x≤8，x∈N}，A={1，2，3，4，5}，求∁ A及S∁ （∁ A）SS 分析 首先应根据已知确定全集的元素，然后再根据补集的定义进一步解题. 解 S={x|x≤8，x∈N}={0，1，2，3，4，5，6，7，8}， ∁ A={0，6，7，8}，∁ （∁ A）={1，2，3，4，5}.SSS
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