作者：赫尔曼·外尔
出版社：湖南科学技术出版社
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对称(20世纪罕见的通才！“数学散文”的创立者——赫尔曼·外尔，举世闻名的大家小书，关于对称的开拓性杰作！)试读：
总序
欢迎你来数学圈欢迎你来数学圈，一块我们熟悉也陌生的园地。
我们熟悉它，因为几乎每个人都走过多年的数学路，从123走到6月6（或7月7），从课堂走进考场，把它留给最后一张考卷。然后，我们解放了头脑，不再为它留一点儿空间，于是它越来越陌生，我们模糊的记忆里，只有残缺的公式和零乱的图形。去吧，那课堂的催眠曲，考场的蒙汗药；去吧，那被课本和考卷异化和扭曲的数学……忘记那一朵朵恶之花，我们会迎来新的百花园。“数学圈丛书”请大家走进数学圈，也走近数学圈里的人。这是一套新视角下的数学读物，它不为专门传达具体的数学知识和解题技巧，而以非数学的形式来普及数学，着重宣扬数学和数学人的思想和精神。它的目的不是教人学数学，而是改变人们对数学的看法，让数学融入大众文化，回归日常生活。读这些书不需要智力竞赛的紧张，却要一点儿文艺的活泼。你可以怀着360样心情来享受数学，感悟公式符号背后的理趣和生气。
没有人怀疑数学是文化的一部分，但偌大的“文化”，却往往将数学排除在外。当然，数学人在文化人中只占一个测度为零的空间，但是，数学的每一点进步都影响着整个文明的根基。借一个历史学家的话说，“有谁知道，在微积分和路易十四时期的政治的朝代原则之间，在古典的城邦和欧几里得几何之间，在西方油画的空间透视和以铁路、电话、远距离武器制胜空间之间，在对位音乐和信用经济之间，原有深刻的一致关系呢？”（斯宾格勒《西方的没落·导言》）所以，数学从来不在象牙塔，而就在我们的身边。上帝用混乱的语言摧毁了石头的巴比塔，而人类用同一种语言建造了精神的巴比塔，那就是数学。它是艺术，也是生活；是态度，也是信仰；它呈现多样的面目，却有着单纯的完美。
数学是生活。不单是生活离不开算术，技术离不开微积分，更因为数学本身就能成为大众的生活态度和生活方式。大家都向往“诗意的栖居”，也不妨想象“数学的生活”，因为数学最亲的伙伴就是诗歌和音乐。我们可以试着从一个小公式去发现它如小诗般的多情，慢慢找回诗意的数学。
数学的生活很简单。如今流行深藏“大道理”的小故事，却多半取决于讲道理的人，它们是多变的，因多变而被随意扭曲，因扭曲而成为多样选择的理由。在所谓“后现代”的今天，似乎一切东西都成为多样的，人们像浮萍一样漂荡在多样选择的迷雾里，起码的追求也失落在“和谐”的“中庸”里。数学能告诉我们，多样的背后存在统一，极致才是和谐的源泉和基础。从某种意义上说，数学的精神就是追求极致，它永远选择最简的、最美的，当然也是最好的。数学不讲圆滑的道理，也绝不为模糊的借口留一点空间。
数学是明澈的思维。在数学里没有偶然和巧合，生活里的许多巧合—那些常被有心或无心地异化为玄妙或骗术法宝的巧合，可能只是数学自然而简单的结果。以数学的眼光来看生活，不会有那么多的模糊。有数学精神的人多了，骗子（特别是那些套着科学外衣的骗子）的空间就小了。无限的虚幻能在数学里找到最踏实的归宿，它们“如龙涎香和麝香，如安息香和乳香，对精神和感观的激动都一一颂扬。”（波德莱尔《恶之花·感应》）
数学是浪漫的生活。很多人怕数学抽象，却喜欢抽象的绘画和怪诞的文学，可见抽象不是数学的罪过。艺术家的想象力令人羡慕，而数学家的想象力更多更强。希尔伯特说过，如果哪个数学家一旦改行做了小说家（真的有），我们不要惊奇—因为那人缺乏足够的想象力做数学家，却足够做一个小说家。略懂数学的伏尔泰也感觉，阿基米德头脑的想象力比荷马的多。认为艺术家最有想象力的，是因为自己太缺乏想象力。
数学是纯美的艺术。数学家像艺术家一样创造“模式”，不过是在用符号来创造，数学公式就是符号生成的图画和雕像。在比那石头还坚硬的数学的逻辑里，藏着数学人的美的追求。
数学是自由的化身，只有在数学中，人们才可以通过完全自由的思想达到自我的满足。不论王摩诘的“雪中芭蕉”还是皮格马利翁的加拉提亚，都能在数学中找到精神和生命。数学没有任何外在的约束，约束数学的还是数学。
数学是奇异的旅行。数学的理想总在某个永恒而朦胧的地方，在那片朦胧的视界，我们已经看到了三角形的内角和等于180度，三条中线总是交于一点且三分每一条中线；但在更远的地方，还有更令人惊奇的图景和数字的奇妙，等着我们去相遇。
数学是永不停歇的人生。学数学的感觉就像在爬山，为了寻找新的山峰不停地去攀爬。当我们对寻找新的山峰不再感兴趣时，生命也就结束了。
不论你知道多少数学，都可以进数学圈来看看。孔夫子说了，“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”只要“君子乐之”，就走进了一种高远的境界。王国维先生讲人生境界，是从“望极天涯”到“蓦然回首”，换一种眼光看，就是从无穷回到眼前，从无限回归有限，而真正圆满了这个过程的，就是数学。来数学圈走走，我们也许能唤回正在失去的灵魂，找回一个圆满的人生。
1939年12月，怀特海在哈佛大学演讲《数学与善》中说，“因为有无限的主题和内容，数学甚至现代数学，也还是处在婴儿时期的学问。如果文明继续发展，那么在今后两千年，人类思想的新特点就是数学理解占统治地位。”这个想法也许浪漫，但他期许的年代似乎太过久远—他自己曾估计，一个新的思想模式渗透进一个文化的核心，需要1000年—我们希望这个过程能更快一些。
最后，我们借从数学家成为最有想象力的作家的卡洛尔笔下的爱丽思和那只著名的“柴郡猫”的一段充满数学趣味的对话，来总结我们的数学圈旅行：“你能告诉我，我从这儿该走哪条路吗？”“那多半儿要看你想去哪儿。”猫说。“我不在乎去哪儿—”爱丽思说。“那么你走哪条路都没关系。”猫说。“—只要能到个地方就行。”爱丽思解释。“噢，当然，你总能到个地方的，”猫说，“只要你走得够
远。”
我们的数学圈没有起点，也没有终点，不论怎么走，只要走得够远，你就总能到某个地方的。李泳2006年8月草稿2019年1月修改
引言
本书共分为四讲，通过它们，我从对称等于比例之和谐这一模糊概念出发，先讲述各种对称形式的几何概念，即左右对称、平移对称、旋转对称、装饰对称和晶体对称等，再进一步介绍所有这些特殊形式下暗含的一般观念，亦即元素构型在自同构变换下的不变性。目的有两个：一是展示艺术和无机、有机自然界中广泛存在的对称性原则；二是一步步澄清对称概念的哲学数学意义。为达到第二个目的，我们需要理解对称和相对性理论的概念、理论，而书中的众多插图则能帮助我们达成第一个目的。
按照我的设想，本书的读者远远不局限于学者、专家。本书并不回避数学（否则将达不到目的），但我并没有对大多数数学问题作详细处理，特别是完全的数学解析。可以说，本书就是1951年2月我在普林斯顿大学瓦尼克桑讲座（Louis Clark Vanuxem Lectures）上所用的演讲稿，只不过稍加修改，并增添了附录中的两个数学证明。
本领域的其他著作，比如耶格（F.M.Jaeger）的经典著作《对称原理及其在自然科学中的应用讲座》（Lectures on the principle of symmetry and its applications in natural science，Amsterdam and London，1917），以及近期尼科勒（Jacque Nicolle）所撰的小册子《对称性及其应用》（La symétrie et ses applications，Paris, Albin Michel，1950），都只讨论了有关对称的一小部分内容，只不过更为详细。汤普森（D'Arcy Thompson）在巨著《论生长和形式》（On growth and form，New edition, Cambridge, Engl.，and New York，1948）中也只是顺带提到了对称。施派泽（Andreas Speiser）的《有限阶群论》（Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung，3.Aufl.Berlin，1937）及其他著作从美学和数学的角度对对称作了简要概括。汉比奇（Jay Hambidge）的《动态对称》（Dynamic Symmetry，Yale University Press，1920）与本书也不过是名称有所相像而已。本书最近的亲戚或许是1949年7月号的德文期刊《大学》中讨论对称的那部分内容（Studium Generale，Vol.2，pp.203—278：引作《大学》）。
书尾附有插图来源列表。
这里我想向普林斯顿大学出版社及各位编辑致以诚挚的谢意，就这本小书的出版，无论是内部协调，还是对外沟通，他们都给予了关照；也向普林斯顿大学致以同样的谢意，是他们在我从高等研究院退休前夕给了我留下绝唱的机会。赫尔曼·外尔1951年12月于苏黎世第一章左右对称
如果没有弄错的话，我们日常所说的对称（symmetry）有两层含义：其一，“对称的”，指比例适当、平衡良好；其二，“对称性”，指多个部分构成整体所遵循的协调性。美与对称紧密相连，因此，雕塑的和谐完美为古人所称道；写下了关于比例的著作并流传后世的波利克里托斯（Polykleitos）采用了这个词；丢勒跟随他的脚步，[1]定下了一套人体比例标准。从这层意义上讲，这一概念绝不局限于空间物体；其同义词“和谐”（harmony）更多地指的是声学和音乐方面而非几何上的对称。Ebenmass是希腊语symmetry一个很好的德语同义词；因为它还有“居中程度”的含义。根据亚里士多德（Aristotle）的《尼各马可伦理学》（Nicomachean Ethics），有德之人应在行动中努力达到这一状态，而盖伦（Galen）在《论气质》（De temperamentis）一书中将其描述为到两个极端等距的一种思想状态：σύμμϵτρov Öπϵρ Éκατρoυ τώv äκρωv'απÉχϵι。
天平的形象让人自然联想到现在日常所说的“对称”的第二层含义：左右对称（bilateral symmetry）。高等动物的身体结构显然具有这种对称性，特别是人体。左右对称完全是一种几何上的属性，与对称的第一层含义的模糊不清相反，这层含义是一种绝对精确的概念。一物体，一空间构型，如果在平面E的反射作用下回归自身，则称其相对于平面E是对称的。取垂直于E的任意直线l及l上的任意一点P，都存在唯一一点P'到平面的距离与P相同但位于平面E的另一侧（图1）。只有当P位于平面E上时，P才与P'重合。图1
关于平面E的反射是空间到自身的映射（mapping）S：P→P'，即将任意一点P变换为关于平面E的镜像P'。建立起将任意一点P与镜像P'关联起来的规则，就定义了一种映射。再举一例：绕竖直轴旋转30°，就把空间中的任意一点P变换到镜像P'，定义了一种映射。如果一个构型绕轴l的任意旋转都回归自身的话，则称该构型具有旋转对称性（rotational symmetry）。像反射、旋转这样的操作都是对称的几何概念，左右对称就是其中第一种对称。平面上的圆、空间中的球，因为具有完全的旋转对称性，被毕达哥拉斯学派（Pythagoreans）视为最完美的几何构型；亚里士多德认为天体是球形的，因为任何其他[2]形状都会有损它们的天赋完美性。正是基于这一理念，一首现代诗才把上帝称为“伟大的对称”：只因胡乱度过的未加珍惜的日子赋予了我完美的形骸，上帝，您伟大的对称，便赐我蚀骨欲望，痛苦随之油然而生。
对称，狭义地定义它也好，宽泛地定义它也罢，千百年来它都是人们试图借以理解并创造秩序、美和完美的一种概念。
本讲我们将按如下顺序讲述：首先我会详细探讨一下左右对称，并探讨它在艺术、有机和无机自然界中所扮演的角色。然后我们将沿着前述旋转对称的方向逐步扩展这一概念，先是局限在几何学的范围，之后通过数学抽象的过程再突破这些局限。最终得到具有更一般性的数学概念——隐藏在对称中的所有表现和应用之后的柏拉图概念。从某种意义上说，这是探讨所有理论知识的典型程序：我们从一些普通但模糊的原则（对称的第一层含义）出发，然后找到一个可以赋予该概念具体而精确的意义的重要事例（左右对称），由此出发更多地在数学构造和抽象而非哲学臆想的指导下，再次进行一般性拓展；运气好的话我们会得到一个至少像最初那个一样普适的概念。此时它可能已经失去了很多情感上的吸引力，但在思想领域获得了等量或更多的统一力量，而且是精确的，不是模糊的。
我用著名的希腊雕塑（公元前4世纪）——《祈祷男孩》（图2）——来开启关于左右对称的讨论，让你感受到这类对称在生活和艺术中的重要性，就像在标志中的重要性一样。或许有人会问，对称的美学价值是否依赖于它在生命中的价值：艺术家是否发现了大自然依据某种内在规律赋予众生命的那种对称性，之后再将大自然呈现出来的但并不完美的对称性予以复制并完美化？抑或对称的美学价值来自于其他方面？
我和柏拉图一样，倾向于认为数学概念是二者的共同起源：大自然所遵循的数学定律是大自然中对称性的起源，优秀艺术家对数学概念的直观认知是艺术中对称性的起源。不过我也承认，在艺术世界里，人体所呈现出的左右对称性也额外刺激了艺术家的对称意识。
在所有的古文化中，苏美尔人似乎对严格的左右对称或纹章对称（heraldic symmetry）拥有特别的兴趣。公元前2700年前后统治拉格什城（Lagash）的恩铁美那王（King Entemena）有一只著名的银瓶，瓶上有狮头鹰图案，鹰面朝观察者展开双翅，双爪各抓一只侧身的雄鹿，而雄鹿的面部则遭到一只狮子的攻击（上面图案中的雄鹿在下面的图案中换成了山羊，见图3）。鹰的严格对称性向其他动物延伸，其他动物只有出现双份才能保持对称性。之后不久，鹰就有了两个头，分别朝向左右两侧，对称性原则完全压倒了真实摹写大自然的原则。之后，这种纹章设计为波斯、叙利亚以及后来的拜占庭所继承，第一次世界大战之前的任何人都会记得沙俄和奥匈帝国军服上的双头鹰图案。图2图3图4
现在来看另一幅苏美尔人的图案（图4）。两个鹰头男人近乎对称但并不完全对称，为什么？平面几何里相对于竖直线l的反射也可以通过在空间里把平面绕轴l旋转180°来实现。注意他们的手臂，你会发现这两个怪人可以通过这样的旋转回归彼此；手臂在空间上的重叠使得平面画不再具有左右对称性。不过创作者为了强调左右对称性，让两人都半朝向观察者，并对两人的脚和翼做了安排：左侧那人的右翼下垂，右侧那人的左翼下垂。
巴比伦的圆柱形印石上的图案通常具有左右对称性。我记得是在前同事恩斯特·赫兹菲尔德（Ernst Herzfeld）的藏品中见到的这些样品，是神的侧面像，出于对称性考虑，把神的躯体水牛状的下半部分而非脑袋做了对称双份处理，从而就有了四条而非两条后腿。基督教时代的人们可能见过描摹圣餐情形的图案，类似于这只拜占庭圣餐碟（图5），上面两个对称的基督面对着他们的门徒。不过，这里的对称是不完全的，而且显然超出了普通意义，因为一侧的基督在分面包，另一侧的基督在倒红酒。图5图6图7
我要在苏美尔和拜占庭之间加入波斯：这些上了釉的斯芬克斯（图6）来自马拉松时代建造于苏萨城（Susa）的大流士宫。穿过爱琴海我们在梯林斯（Tiryns）的中央大厅发现了这样的地板样式（图7），成于后希腊时代的公元前1200年前后。深信历史连续性和依赖性的人会把这些美丽的海洋生物（海豚和章鱼）图案追溯至克里特岛的米诺斯文化，把左右对称性追溯至来自东方的影响力，比如上例中的苏美尔人。两千年后我们还能看到这种影响力，比如11世纪意大利托切罗（Torcello）的圆屋顶里圣坛上的这幅牌匾（图8）。在基督教中，很久以来从藤叶中的竖井里饮水的孔雀就是不朽的象征，而结构上的左右对称则具有东方特色。图8图9
与东方的艺术相反，西方的艺术像生活自身一样，往往会减缓、放松，甚至破坏严格的对称性。但是，不对称并不仅仅意味着缺乏对称性。甚至在不对称的设计中，人们也会觉得对称才是准则，只不过是受了非正规特色的影响才偏离了对称。我觉得，科尔内托（Corneto）特里克利尼姆（Triclinium），著名的伊特鲁里亚人（Etruscan）墓中的骑士图（图9）就是一个很好的例子。前面已经提到过两个基督分别发放面包和红酒的图像了。西西里岛蒙雷阿莱（Monreale）大教堂镶嵌的《耶稣升天图》（Lord’s Ascension，图10，成于12世纪）中，中间的两位天使护卫玛利亚的部分具有完美的对称性。[下一讲我们会讨论到镶嵌图上方和下方的装饰带。]拉文纳市（Ravenna）圣阿波利纳尔（San Apollinare）教堂里一幅更早的镶嵌画（图11）呈现出的对称性更不严格，基督两边是一个天使仪仗队。在蒙雷阿莱的镶嵌画里，玛利亚对称地抬起了双手，呈祈祷姿势；而这幅画里的天使仪仗队都只端着右手。下面这幅来自威尼斯圣马可（San Marco）教堂的拜占庭式浮雕圣像（图12）里的对称性就更明显一些。这是一幅祈祷像，当然，在上帝即将做出最终审判时两侧祈求怜悯的祈祷者不可能是彼此的镜像；因为上帝右侧站的是圣母玛利亚，左侧站的是施洗约翰。或许你会把耶稣受难图中十字架两侧的玛利亚和福音传播者约翰也视为破缺的对称。图10
显然，这里我们触及问题的本质了，左右对称的精确几何概念开始化解为模糊的均衡概念——平衡的设计，我们也是由此展开讨论[3]的。达格伯·弗赖（Dagobert Frey）在《论艺术中的对称问题》一文中写道：“对称意味着静止和约束，非对称意味着运动和放松；对称意味着秩序和规律，非对称意味着任意和随机；对称意味着刻板和限制，非对称意味着活力、玩乐和自由。”在所有把上帝和基督视为永恒的真理或正义的象征的地方，上帝和基督的图像都是对称的正面图而不是侧面图。可能是基于类似的原因，供礼拜用的公共建筑和房屋，不管是希腊神庙，还是基督教教堂，均采用对称设计。不过，确实也有哥特式大教堂的双塔是不对称的，比如沙特尔的大教堂。但实际上所有这种不对称都是教堂的历史造成的，也就是说教堂的塔建造于不同时期。后人不再满意前人的设计，这也可以理解；所以可称之为历史非对称性。有镜面存在，就会有镜像，不管是倒映风景的湖面，还是妇女照的镜子。大自然像画家一样利用这一主题。相信你会轻易想到类似的示例。我最熟悉的示例是霍德勒所画的席尔瓦普拉纳湖（Lake of Silvaplana），因为做研究时每天都会看到它。图11图12
在离开艺术转而讨论自然之前，先花几分钟时间考虑一下我们所谓的左右对称的数学哲学意义。从科学上讲，左和右没有内在的区别，不存在像男和女，或动物的前身和后身这样的对立性，需要人为地选择来确定哪边是左，哪边是右。但一个个体的左右确定之后，所有个体的左右也就都确定了。我需要把这点说得更清楚一些。空间中的左右讲的是旋转的方向。向左转指的是所转的方向与从脚到头的方向一[4]起构成左手螺旋。以从南极到北极的方向来考虑旋转轴时，地球的自转方向与旋转轴方向构成了左手螺旋，而以北极到南极的方向考虑旋转轴时，地球的自转则成了右手螺旋。有些晶体物质能将射进来的偏振光的偏振面向左或向右偏转，暴露了它们内在的不对称性，我们称之为旋光性。向左或向右偏转是相对于光的传播方向来说的。左右的这一特性，莱布尼茨给过一个术语，即“不可识别的”（indiscernible）。通过这些内容我们想表达的是，空间自身的结构不允许我们区分左旋和右旋，除非人为地选取。
我想把这一基础概念定义得更精确一些，因为整个相对性理论都建立在这一基础之上，而后者又是对称性的另一方面。按照欧几里得的理论，可以通过点与点之间的一些基本关系来定义空间的结构，比如A、B、C位于同一条直线上，A、B、C、D位于同一平面上，AB与CD等长，等等。或许空间结构最好的描述方式是亥姆霍兹采用的方式：只用图形全等这个概念。空间的一个映射S将其中每一点p映射为点p'：p→p'。一对映射S、S'：p→p'，p'→p，若其中一个是另一个的逆操作（即S将p映射为p'，而S'将p'映射回p，反之亦然），则称之为一对“——映射”或“——变换”。数学家把能保持空间结构的变换——如果按亥姆霍兹的方式来定义空间的结构，就意味着该变换将任意两个全等图形映射为两个全等图形——称为自同构（automorphism）。莱布尼茨认识到，这是相似性（similarity）这一几何概念的基础。自同构将一个图形映射为另一个“单独考虑的话与之无法区分”的图形（莱布尼茨语）。于是，我们说左和右实质上是相同的，指的就是：平面中的反射是一种自同构。图13
这样的空间是几何所研究的空间。但空间也是所有物理现象发生的媒介。物理世界的结构由自然界的众多规律来揭示，后者由某些基本量所构成的方程来表达，而这些基本量又是时间和空间的函数。如果这些规律在反射作用下并非完全不变的话，那我们就知道空间的物理结构“带有螺旋”。马赫（Ernst Mach）曾说过，少年时代得知平行于带有电流的导线的悬挂磁针（图14）会沿一定的方向（向左或向右）偏转时大为震惊。既然包括电流以及磁针南北极在内的所有几何和物理构型从表面上看相对于通过导线和磁针的平面E都是对称的，磁针就应像处于两堆相同干草之间的布里丹之驴那样，既不向左也不向右；就好比两侧等重的等臂天平，既不左歪也不右斜，只保持水平。但是，外表有时具有欺骗性。少年马赫的困惑在于，就关于E的反射对电流以及磁针南北极产生的影响下的结论过于仓促：几何体在对称变换下的表现我们已经知道，但还需要向大自然学习物理量的表现。这就是我们的发现：在关于E的反射下，电流方向保持不变，而南北磁极互换。当然，正是因为正负磁极本质上是相等的，这一重新建立左和右的等价性的出路才可能行得通。当你发现磁针的磁性源于绕磁针方向环流的分子电流后，一切疑惑都烟消云散。显然，在关于平面E的反射下，这种电流的方向发生了改变。图14
结果就是：在所有的物理学中，没有任何迹象表明左和右具有内在的差异。正如空间中所有的点、所有的方向都是等价的，左和右也是等价的。位置、方向、左右都是相对的概念。就相对性的这一问题，莱布尼茨与牛顿的代言人克拉克牧师曾在一次著名的论战中用神学的[5]语言进行了深入讨论。坚信绝对空间和绝对时间的牛顿认为，运动是上帝创造万物的证明；如若不然，就无法解释物体为何不沿别的方向运动。莱布尼茨不喜欢让上帝来做出缺乏“充分理由”的决定，他说：“空间自身就是某种东西的话，就无法解释上帝为何（在保持它们彼此间距和相对位置的前提下）把万物放在这些特殊位置上而非别处；比如，上帝为何不颠倒一下东和西，把万物按相反的顺序排列？另一方面，如果空间不过是事物之间空间上的次序和关系，那么上述两种状态（真实状态，以及变换位置后的状态）就没有什么区别……所以，完全没必要问为何上帝更喜欢某一种状态。”对左和右的深入[6]思考，让康德首次提出了直觉形式的空间和时间概念。康德的理解似乎是这样的：如果上帝最初的造物行动是创造了一只左手，那么这只手即便在没有参照物的时候也具有左的特性，而这种特性只能从直觉上理解，而不能从概念上理解。莱布尼茨反驳道：“即便上帝先造一只右手，在他看来仍没有什么区别。”创世的过程只有再前进一步才会出现差异。假如上帝不是先造一只左手再造一只右手，而是先造一只右手再造一只右手，那么他只是在第二步才改变了宇宙的方案，引入了与第一步相同而不是反相的手。
科学思维站在了莱布尼茨一边。神话思维则相反，这一思维用右和左来象征善和恶这样的对立体就说明了这一点。注意到right一词本身就有“正确”和“右”两层意义你就明白了。图15展示了西斯廷教堂屋顶上米开朗琪罗的名画《上帝创造亚当》的一个细节，可见右侧的上帝是用右手触碰了亚当的左手。
人们用右手握手。拉丁语中的“左”一词为sinister（凶），而纹章学中仍用sinister side来表示盾牌的左侧。Sinistrum一词同时也指邪[7]恶的事物，在通用英语中，这一拉丁词只有这一比喻义还在使用。与耶稣一起钉死在十字架上的两个囚犯中，只有右边的那个与耶稣一起升去了天国。《马太福音》第25章这样叙述最后的审判：“他把绵羊放在右边，山羊放在左边。然后国王对右侧说道：‘来吧，天父赐福于汝，令汝等继承创世时备下的王国’……然后又向左侧说道：‘你们这些被诅咒的，离开我，跳进为魔鬼及其使从准备的永恒之火里去！’”图15
我记得海因里希·沃尔夫林（Heinrich Wolfflin）在苏黎世作过一次题为“绘画中的左和右”的演讲，这篇演讲的精简版与他的另一篇
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]