作者：（英）尤金妮娅·程
出版社：中信出版社
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超越无穷大：一次跨越数学边界的冒险之旅试读：
题记
纪念萨拉·巴德尔（Sara Al-Bader）她教会我有限的生命里可以容纳无穷的爱序言
我讨厌机场。
我觉得机场让人特别有压力，拥挤而且吵闹。机场里总是充斥着过多的人、过多的队列、过少的作为和无处不在诱惑着我的不健康的食物。非常不幸的是，旅程总是从机场开始，这让我有一点儿害怕旅行。旅行应该是一个令人兴奋的有关发现的过程，坐着飞机去一个新的地方，应该是一段壮美而充满魔力的经历。但是机场和狭窄的经济舱座椅经常会毁掉这一切。
学习数学应该也算得上一段令人兴奋的发现之旅，同样壮美且充满魔力，尽管它的开端也经常会毁掉一切。因为一开始你总是会遇见大量的事实、公式、让人感到压力的测试和等待解决的乏味问题。
相较坐飞机，我喜欢乘船旅行。
我喜欢身处开阔的水面，感受风吹过我的脸庞，看着远处的楼群和海岸线，但是又不用靠近。我喜欢一直朝着地平线前进，但是又永远不会到达。我喜欢感受自然的力量，但是又不用完全受大自然的摆布。我不是一个水手，所以通常掌控船的另有其人。偶尔我会遇到一些能够操作的船，这样一来，能够发挥我自己的能力就成了一种奖励。我曾经划着一艘小的手划艇沿着包围着一座小小的法国城堡的护城河漫游，我也曾经沿着阿姆斯特丹的运河踩脚踏船，我还曾经沿着康河撑篙。不过，在一次失足落水之后，我就再也不到康河撑篙了，这和有些人最初在数学领域经历了一些挫折之后就再也不碰数学是一样的。我曾经在悉尼和洛杉矶乘船去看生活在离海岸很远的地方的大鲸鱼，也曾经在威尔士乘船去离海岸很远的地方看海豹和其他野生生物。我小的时候总会和家人一起坐着渡轮跨过英吉利海峡到法国度假，直到几乎不可能建成的欧洲之星变成现实。由此可见，我们人类是多么容易把之前看来几乎不可能的事情当作理所应当！
现在，我很少再为了到达某个目的地而乘船了。相反，我的目的就是享受乘船的过程，欣赏沿海风光和大自然，偶尔发挥一下我自己的能动性。一个例外就是泰晤士河上的渡轮，因为乘坐泰晤士河上的渡轮是伦敦市中心一种令人非常享受的通勤方式。它既能让乘客享受到乘船的乐趣，又能帮助乘客到达目的地。
在某种程度上，我喜欢抽象数学这件事和我喜欢乘船有点儿类似。对于我来说，这两者都超越了到达一个目的地的范畴，更多的是乐趣、锻炼头脑、与数学交流和欣赏数学之美。这本书是一个通往神秘而壮美的“无穷”世界的旅程。我们即将看到的风景会让我们大开眼界，惊叹不已，甚至有的时候会让我们觉得不可思议。我们将会沉浸在数学的魔力里，但是又不用完全受其摆布。我们将会朝着人类思想的地平线前进，但是又永远不会到达。 第一部分 旅程1 数学世界里的尼斯湖水怪
无穷就像尼斯湖水怪，以其令人惊叹的体型和难以捉摸的个性，吸引人们展开想象。无穷是一场梦，一个巨大的由无穷无尽的时间和空间所构成的迷幻世界。无穷是一个黑暗森林，在里面，你会遇见超越想象的生物、纠缠在一起的灌木丛和突然照射进来的阳光。无穷是一个环形，它在我们面前呈现为一个无穷无尽的螺旋。
我们的生活是有限的，我们的头脑是有限的，我们所处其中的世界也是有限的。但是我们仍旧能够瞥见我们周围的无穷。我小时候生活的房子中间有一个火炉，火炉上有一个烟囱。所有的房间都围绕着这个火炉连接在一起。这意味着我和妹妹可以一圈一圈地相互追逐，没有终点，感觉上就好像我们生活在一个无穷大的房子里一样。环形让人们可以在有限的空间里开启一个无穷的旅程。这个原理不仅仅被用在了孩子们的相互追逐上，还被用在了汽车赛道上和粒子对撞机上。
后来，我的母亲教我使用频谱计算机编程。直到现在，每当想起我最喜欢的计算机小程序时，我都还是会不由自主地笑出来。
10 打印输出“你好”
20 返回到10
这些计算机语句能够产生一个无穷无尽的循环。当然，这是一个抽象概念的循环，而不是一个物理上的循环。每到这种时候，我就会点击“开始”，然后非常兴奋地看着“你好”这个词在屏幕上滚动。因为我知道，除非我点击“结束”，否则这个过程就会永远重复下去。我是那种不会轻易感到厌烦的孩子。我每天都会这么做，而不觉得自己应该赶紧写一些更加有用的程序。不幸的是，这也使得我的编程能力从来没有真正进步过。无穷的耐心导致了一个奇怪的后果。
我的这个简短但能产生冗长的打印输出结果的抽象循环背后的原理是：程序会自己回到原点。自我索引让我们能够从另一个角度窥测无穷。分形是用和自身形状相同的形状构建的形状。当你把其中的一部分放大的时候，你看到的将是相同的形状。为了达到这一目的，这个形状的细节需要能够“永远”保持下去。毋庸置疑，这些细节一定会超越我们能够描绘和能够看到的极限。图1–1描绘了一些分形树和著名的谢尔宾斯基三角（Sierpinski triangle）的最初几级。图1–1
如果你把两面镜子对在一起，你看见的将不再仅仅是自己的镜像，还有你的镜像的镜像。你的镜像的镜像又会产生出自己的镜像。只要你调整镜子的角度，这些镜像就会一直叠加下去。每一个镜像都会比前面的镜像小，从理论上讲，它们会像分形一样“无穷”延续下去。
我们能够从环形和自我索引中看到无穷，同样也能从镜子里的镜像越来越小这件事情上看到无穷。孩子们为了能够让自己一直吃到蛋糕，每次都只吃剩余的蛋糕的一半。一群人在分享一个蛋糕的时候，都很谦让，不愿意吃最后的一块，所以每个人都吃剩余部分的一半。有人告诉我日语里有一个专门形容这个现象的词——“enryo no katamari”，意思就是大家都很谦让而不愿意吃的最后一点蛋糕。
我们并不确切地知道宇宙是不是无穷的。但是我喜欢抬头看教堂的尖塔，让自己相信塔尖的两侧是平行的，而这个塔无穷地冲往天际，直至无穷。我们的生活是有限的，但是不朽的传奇和神话故事能够穿越时间、跨越文化。
对于无穷，我们有如此多需要探索的，就像是尼斯湖波光粼粼的水面下可能藏着也可能没藏着的那个巨大的、古老的、神秘的怪物。这个被我们称为无穷的怪物到底是什么？当我们说“永远”这个听起来平淡无奇的词的时候，我们所指的到底是什么？在我们所生活的这个缺乏耐心的世界里，人们总是很夸张地使用“永远”这个词。可能我们刚在网络上等待了两分钟就会说，“我看起来要永远在线等待了！”如果网页三秒钟没有打开，我们就会说，“这个网页难道永远也打不开吗？”西班牙巴斯克的作家阿玛妮亚·家本桃修（Amaia Gabantxo）告诉我，在巴斯克语里，11对应的词是“hamaika”，这个词同时也有无穷的意思。我的一个来自巴斯克的朋友证实了这一点。他观察了一个橱柜，然后宣称里面有“4瓶2013年的、10瓶2014年的和许多瓶2015年的”自制果酱。很明显，超过10就会被认为是无穷了。我的研究领域是高维范畴理论。在这里，“高”通常意味着三维或者更多，其中也包含无穷。换句话说，从三到无穷都被囊括在了同一个字里。
我们在自己的平凡生活里思考的无穷可能是很梦幻且令人兴奋的，但是一经仔细研究，这些无穷就消失了。就好像彩虹一样，无论你怎样努力也没办法触摸到它。而且，这些无穷往往会造成矛盾、冲突、不可逾越的鸿沟和黑暗的陷阱。在后面的讨论中我们会看到，它们其实禁不起严格的逻辑检验。
数学的一个作用就是解释我们周围世界中出现的各种现象，特别是会在很多不同的地方发生的同样的现象。如果同一个观点能够联系很多不同的情形，数学家就会冲进来试图寻找能将这些情形统一起来的大一统的理论。一旦他们找到了这个理论，我们就能更好地理解这些情形背后的相同点。无穷就是这样的一个观点。它作为一个引人遐想的观点无处不在。它看起来好像也能像其他的数学观点一样最终被统一起来，就好像长度、体积或者数量一样。但是，为什么当我们把这些简单的数学概念延伸到无穷的时候就这么困难呢？这正是这本书的主旨：为什么这件事这么困难？数学家为此付出的努力最终带来了什么？在这个探索无穷的旅程中我们能看到什么？无穷的本能
无穷是一个很容易想象但是很难具体描述的概念。小孩子能够很快地理解无穷这个概念，而数学家们却花了几千年的时间从纯技术的层面遵循严格的逻辑论证无穷。下面是一些可能会让我们联想到无穷的事物。孩子们经常会产生这些关于无穷的联想：
无穷会永远持续下去。
无穷比最大的数字还要大。
无穷比我们能想到的任何巨大的事物都更大。
无穷加一，它还是无穷。
无穷加无穷，它还是无穷。
无穷乘以无穷，它依旧是无穷。
孩子们第一次接触无穷这个概念的时候可能会非常激动。他们学习从一数到十，再数到二十，然后学着数到一百、一千、一万、一亿。如果你问一个小孩最大的数字是多少，他们通常会说“一亿”。如果你接着问一亿零一是不是更大呢，他们的眼睛通常会因诧异而瞪大。
无论他们想到的是多大的数字，你都可以加上一然后获得一个更大的数字。说服他们接受这一点并不困难。这说明了一个道理，那就是，最大的数字是不存在的。数字可以一直加下去！但是，一共有多少个数字呢？无穷这个概念由此生成了。
也许一些孩子最初接触无穷这个概念是在电影《玩具总动员》中。他们听见巴斯光年说，“飞向无穷浩瀚的宇宙！”（“To infinity…and beyond!”）这个口号听着就很激动人心。但是，在我还是个孩子的时候，《玩具总动员》这个电影还没有制作出来。我是通过前面描述的循环、家里的物理回路和我最喜欢的计算机程序中的抽象循环来理解无穷的。
一旦孩子们开始思考无穷，他们就会提出很多非常难以回答的关于无穷的问题。无穷是什么？是一个数字吗？是一个地点吗？如果不是地点的话，我们怎么能像巴斯光年说的那样飞向无穷呢？
从孩子们在学校里听见无穷这个概念起，问题就开始了。一除以零是不是等于无穷？一除以无穷是不是等于零？如果无穷加上一还是无穷的话，那么无穷减去无穷是什么呢？
面对孩子们提出的这些看起来无法回答的数学问题，大人们可能会觉得难为情。因为大人们总会觉得自己需要知道所有的答案。但是数学教育家和创新者克里斯托弗·丹尼尔森说，学习的一个重要的方面就是能够提出新的问题，这比陈述新的事实更加重要。在数学领域，总会有更多的问题。即便是数学非常好的人或者在大学学习数学专业的人，甚至每天从事数学研究的数学家，也总会发现更多的尚且没有得到解答的关于无穷的问题。无穷的不可思议
下面是一些我最喜欢的令人费解的题目或结论。我们将会在后面的章节中探讨这些题目。如果你有一个有无穷房间的旅馆，而这个旅馆已经客满了，你是否还可以通过将每一个客人挪后一个房间来容纳下一个客人？如果一个彩票机里面有无穷多个号码球，你中奖的概率有多大？一些无穷比其他的无穷要大！无穷的袜子在某种程度上比无穷的鞋子多。如果我能够获得永生，那么我可以一直磨磨蹭蹭。你从甲地到乙地旅行，你需要经过两地之间的中点，然后经过剩余路程的中点，然后再经过剩余路程的中点，以此类推。剩余的路程永远有中点，那么你永远也到达不了你的目的地。是不是这样？循环小数0.9999…等于1。一个圆形是不是有无穷条边？为什么数学好的人也会在微积分上卡壳？是的，这里面也有一个关于无穷的问题。
无穷能够通过不同的方式激发任何年龄段、任何知识水平的人的热情。这本书将会带领大家探索无穷并且超越无穷。如果你仔细思考并且使用正确的方式思考的话，你就会理解确实存在超越无穷的可能，就像我们总有更多的可问的问题和更多的值得探索的事物一样。无穷不是一个物理上的地点，所以我们要经历的并不是一个物理上的旅程。你可以坐在原地和我一起体验这个旅程，因为这个旅程是抽象的。这个旅程将会通往一个深入的、杂乱的、神秘的、无边无际的世界。为什么
我们为什么要参与这个旅程？就像物理的旅程一样，抽象的旅程也有其存在的诸多意义。每个人都有自己的理由。也许你要在目的地做一件特别的事；也许终点处有非常好的风景；也许旅途中有美妙的景色；也许你喜欢行走或者攀爬所带来的物理体验，或者快速驾驶所带来的愉悦，又或者坐在火车上观看两边的田野向后飞掠所带来的静谧感（虽然我自己有关火车的经历往往牵涉延迟和恼怒的通勤者而不是静谧感，但是我们可以暂时把这些放在一边）；也许你喜欢探索未知的世界；也许你享受四处游荡，在陌生的城市迷路；也许你就是喜欢旅行，想要见识尽可能多的地方，因为“世界那么大，我想去看看”。
所有这些理由在抽象的世界中都有所对应。你要在目的地做一件特定的事——比如上班通勤，对应你脑中想要解决的一个特定的难题。这种抽象旅程的目的往往不是发现喜悦，而是完成任务。终点处的好风景对应我们通过研究获得的看待日常事物的新视角。旅途的美妙景色对应我们在研究过程中产生的神秘而美好的观点和看法。看着一个几乎不可能的观点逐渐被证实的喜悦，就像看到迷雾逐渐散去，大海开始在地平线上闪闪发光。我并不像很多人那样只是单纯地喜欢旅行，但是我有非常大的好奇心想要探索抽象的世界。我能够平静而顺从地接受这个世界上还有很多我没有去过的地方，但是当我遇到不能理解的观点时，我就会变得贪得无厌，想要探索一切。每当我瞥见自己不理解的事物时，我就会一门心思地扑上去。我喜欢让自己迷失在一个完全陌生的城市里，我也喜欢让自己迷失在一个陌生的观点里。虽然我竭尽所能地想要理解这些事物，但是我也乐于承认世界上的确存在一些人类无法理解的事物。事实上，我对此非常着迷。因为这意味着总有更多的事物存在。对我来说，这是一件美好的事情。如果有一天我们说“就这些了，没有更多了”，你不觉得这听起来有一些伤感吗？就像如果有一天，我说我已经尝遍了伦敦的每一个餐馆一样（当然这在事实上是不可能的）。总有一个你没有尝过的餐馆，同样的，总有一些我们还不理解的事物。
从一个奇怪的角度看，这本书一点儿都不像是关于无穷的。它讲[1]的是一个通往未知世界的惊喜之旅。儒勒·凡尔纳的《地心游记》并不是讲地心的，它讲的是一个不可思议的奇妙旅程：抽象的思考是怎样进行的，以及这类思考能帮助我们做什么。当我们开始产生一个有趣的想法时，这本书可以帮助我们找到这个想法的本质。就本书而言，它可能并不会解释所有的事情——没错，数学家也无法解释关于无穷的每一件事——但是它可以帮助我们搞清楚，借助无穷这个概念，我们可以做什么，不可以做什么。
这本书的第一部分将帮助我们弄懂无穷是什么。如果你问一个小孩子无穷是什么，他可能会说“它比任何数字都更加大”。这话没错，但还是没有告诉我们无穷是什么。就像“姚明比你见过的其他人都要高”并没有告诉我们姚明是谁一样。
在这本书的第二部分，我们将利用关于无穷的观点来审视我们周围的世界，看看这个难以捉摸的怪物都到过哪些地方。它存在于我们用来玩乐的镜子里，存在于我们追跑打闹的路径中，存在于我们的每一段旅程里，存在于我们无穷变幻的世界的每一个情景中。理解无穷是进入微积分领域的基础，而微积分，毫无例外地存在于我们现代生活的方方面面。
所以，对微积分稍有理解将有助于我们享受当代生活的方方面面。但我并没有把无穷的这些现实应用当作这本书的主要写作方向。数学有一个很沉重的负担，就是实用性。诗歌、音乐或者足球就没有这种负担。如果你问我这些知识有什么用的话，我就会说，它帮助我们发电，打电话，建造桥梁、道路和飞机，向城市提供生活用水，开发药物，挽救生命。但这并不是说因为你思考了这些问题，所以你可以使用这些产品，而是因为其他人思考了这些问题，所以我们才能使用这些产品。因此，这些应用并不是我思考这个问题的原因，也不是我想要讲述这个故事的原因。
即便你在5岁之后就不再学习任何关于无穷的知识了，你还是能够生活得一样好。但是对于我来说，数学的价值并不在于“过日子”，而在于数学的思维和研究为我们的思索带来了光明。学习数学真正的目的是转过头来更好地理解我们的生活。就像在空中飞得更高能够让我们看到更远的地方一样。
让我们开始这个旅程吧。
[1] 儒勒·凡尔纳（1828—1905），19世纪法国小说家、剧作家及诗人。——译者注2 希尔伯特旅馆实验
数学可以被想象成很多事物：一门语言、一种工具、一个游戏。当你努力做家庭作业或者准备考试的时候，它可能不那么像是一个游戏。但是对于我来说，做研究最令人兴奋的一个阶段就是开始一个新的项目的时候。因为在这个阶段，你可以针对不同的观点进行有趣的尝试。这有点儿像在厨房里尝试不同的调味品。这比之后你努力记下发明出来的配方以免第二次做出来的味道不一样要有趣得多。当然，这比努力记下配方以免别人无法复制出来更加有趣。
所以作为开端，我会介绍一些关于无穷的有趣的观点，借此我们可以活跃一下我们的头脑，探索一下哪些关于无穷的观点可能是正确的，而这些观点的推论又是什么。数学的基础是通过逻辑理解事物。我们会发现，当我们对于“无穷”的理解不精确的时候，逻辑会把我们带到我们不曾设想的奇怪地点。数学家们往往会尝试从不同的视角来感受什么可能是正确的或者错误的。当乐高最初被设计出来之前，设计者一定尝试过很多不同的模型，而后才定稿完成最终的美妙设计。
一个数学家的“玩具”应该像乐高一样，足够强大，能够用来搭建事物，同时足够灵活，能够用来尝试不同的可能性。如果我们关于无穷的模型让一些基础概念出现了矛盾，那么我们就必须回过头去重新审视我们的模型。在最初的游戏之后，我们可能会多次回到我们的模型面前，因为我们会发现我们对无穷的思考可能引发了各种各样的问题。当我们最终得到了一个牢固的逻辑的时候，我们所完成的模型可能会和最初的想象完全不同。这同样会带来一些我们之前不曾预期的结果。比如，一个奇怪的事实就是，无穷可能有很多不同的“尺寸”。换言之，一些事物会比另外一些事物“更加无穷”。这正是所有旅程的美妙之处——发现一些不曾预期的事物。
在之前的章节中，我列出了一些关于无穷的基本观点，比如：
无穷会永远持续下去。
这是不是意味着无穷是一种时间、空间，或者长度呢？
无穷比最大的数字还要大。
无穷比我们能想到的任何巨大的事物都更大。
现在，无穷又有点儿像一种尺寸了。或者，它也许是一种更加抽象的事物——一个数字，我们可以用这个数字来测量时间、空间、长度、尺寸，甚至任何我们想要测量的事物。接下来，我们会将无穷当作一种数字做进一步的研究。
无穷加一，它还是无穷。
换言之，∞+1=∞
这看起来更像是关于无穷的基本原则。如果无穷是最大的事物的话，加上一并不会让它变得更大——真的是如此吗？如果我们在等式两边都减去无穷呢？如果我们用大家熟悉的消除法，在等式两边都消除无穷，那么等式就变成了：1=0
这简直是一个灾难。一定有什么地方出错了。而下面的说法会导致更多的错误结果。
无穷加无穷，它还是无穷。
这看起来好像是说，∞+∞=∞
也就是说，2∞=∞
现在，如果我们将两边都除以无穷的话，那么等式就变成了：2=1
这成了另外一个灾难。现在，你几乎能猜到我们在思考最后一个观点的时候会发生什么。
无穷乘以无穷，它依旧是无穷。
如果我们把这句话写成一个等式的话，就是：∞×∞=∞
如果我们在等式两边都除以无穷的话，就相当于在等式两边各去掉一个无穷。等式就变成了：∞=1
这可能是所有结果中错得最离谱的一个。无穷代表着最大的事物，肯定不会是1这么小。
到底是什么地方错了呢？问题就在于，我们像处理一个寻常的数字那样处理无穷，而我们并不知道是不是能这样处理它。我们在这本书中将会首先学到的事情之一就是无穷不是什么。我们会发现无穷肯定不是一个寻常的数字，继而渐渐了解无穷可以是什么。这个旅程花费了数学家几千年的时间，其中牵涉数学领域的很多重大的发展，集合论和微积分就是其中很好的例证。
上面的故事的关键在于，虽然无穷的概念很好建立，但是我们必须非常小心地处理它，否则就会发生相当奇怪的后果。而这些都仅仅是开胃小菜。我们接下来会看见各种各样的伴随无穷发生的奇怪的事物，比如事物的无穷集合、有无穷个房间的旅馆、无穷双袜子、无穷条路径、无穷多的点心。其中一些奇怪的发现就像“1=0”一样，不仅仅奇怪，而且让人不满意。所以我们需要自己构建数学模型来避免这些情况。但是，也有其他一些奇怪的事物并不违背逻辑，它们仅仅是违背常理。这些奇怪的事物并不会给我们的逻辑带来问题，却会挑战我们的想象力和思维方式，就好像科幻小说作家所塑造的那些拥有无穷生命、永生不老的人，或者拥有无穷的速度，能够瞬间移动的人一样。拥有无穷多房间的旅馆
当我们开始教孩子们数字的时候，我们总会给他们一些实物帮助他们思考，或者我们会在他们吃一些可计数的食物时，教他们怎么计数，又或者，我们会教他们数自己吃了几勺子食物。
如果我们想要一勺一勺地数，一直数到无穷的话，那得花费非常多的时间。事实上，我们下面要介绍的几个例子确实有一点儿从一一直数到无穷的意味在里面。但是在做这些事情之前，我们还是先看一个已经是无穷的例子——一个拥有无穷多房间的旅馆。
想象一下，一个旅馆里面有无穷多个房间，房间的编号是1、2、3、4……直到无穷（见图2–1）。图2–1
现在假设你是这个旅馆的经理。你面对的情况是每个房间都住了客人，而你正沉醉在你所赚到的钱里面。这个时候，另外一个客人走了进来，要求开一个房间。一方面，旅馆已经住满了。另一方面，如果你能让每一个客人都往后挪一个房间的话……
这个有无穷多个房间的旅馆被称作希尔伯特旅馆。德国著名数学家戴维·希尔伯特使用这个栩栩如生的例子来描绘你开始思考无穷时可能遇到的问题。一个正常的旅馆只会有有限的房间，住满了就是住满了。面对下一个客人，你根本就没办法安排，除非搭一个临时建筑。然而，在一个拥有无穷多个房间的旅馆中，你可以让1号房间的客人搬到2号房间，让2号房间的客人搬到3号房间，让3号房间的客人搬到4号房间，以此类推，我们总是能让n号房间的客人搬到n+1号房间。因为我们有无穷多个房间，每一个n都有一个对应的n+1，所以每一个客人都有一个对应的新房间。这么做的话，1号房间就空出来了，新的客人就可以入住了（见图2–2）。图2–2
这看起来是一个悖论，但是论证过程并没有漏洞。唯一的问题就是这个结论与人们的直觉不相符。我们怎么能在已经完全住满的旅馆里再安排下一个客人呢？这和我们的直觉相悖的唯一原因就是我们太习惯于有限的旅馆了。当我们严肃地思考无穷，而不是模糊地想象无穷的时候，我们必须准备接受一些可能会显得有点儿奇怪的事物，甚至是看起来非常奇怪的事物。这也正是无穷的美妙之处。
我们想要做的是把“无穷”这个概念融入普通的数学中，而不改变其余的逻辑。就像科幻小说中永生不老的往往只有一个人，其他所有人都是有生老病死的普通人一样。一些奇怪的事情可能会发生，但是我们并不想因此而毁掉关于这个世界的一些基本事实。言下之意就是，我们并不希望因为将无穷和数学交织起来研究而发生“1=0”这样的事情。但是也许仍会有一些奇怪的新事物出现，就像这个拥有无穷多房间的旅馆一样。
希尔伯特旅馆并不会挑战现有的数学逻辑，它挑战的仅仅是我们关于旅馆的直觉。这个例子开拓了我们的眼界，让我们意识到，在无穷的情况下可能会发生的奇怪逸事。如果来了更多的客人呢？
如果来了第二位客人呢？很简单，我们可以让每个客人都多往后挪一个房间。现在，原来住在1号房间的客人搬到了3号房间，原来住在2号房间的客人搬到了4号房间，原来住在n号房间的客人搬到了n+2号房间。这就是数学的世界，我们不需要考虑搬房间所带来的麻烦，我们只要开开心心地知道每个客人都有房间住就好了。
如果这两位客人同时到达，我们可以从一开始就让所有的客人都往后挪两个房间。当然，如果是三位客人同时到达的话，我们可以让每个人都往后挪三个房间。以此类推，只要是有限数量的客人同时到达，我们都可以用这种办法安排（见图2–3）。
如果有无穷多的客人同时到达怎么办？我们不能让每个客人都往后挪无穷个房间。虽然这个方案听起来好像有点儿道理，因为我们有无穷多个房间。但是让我们考虑一下某位特定客人的具体情况，比如1号房间的客人。这位客人要搬到哪个房间去呢？“1+∞”号房间？这肯定不行，因为这就不是一个房间号。我们确实有无穷多个房间，但是每个房间还是有一个有限的房间号的。所以并不存在“1+∞”号房间，让1号房间的客人搬到“1+∞”号房间就等于这位客人还是没有地方可以去。如果我们不能告诉客人们他们应该搬到哪个房间去的话，那么我们就卡住了。图2–3
所以我们不得不表现得更加聪明一点儿。（处理数学问题经常需要我们更加聪明，这也是数学看起来很难的一个原因。）我们可以让每个客人都去房间号是原来房间号两倍的房间。这样，1号房间的客人就去了2号房间，2号房间的客人就去了4号房间，n号房间的客人就去了2n号房间。（见图2–4）这样就空出来无穷多个房间。我们怎么会知道这样能行呢？我们知道本来已经入住的客人都已经搬到双倍房间号的房间了，所以他们现在全都住在偶数号的房间里。换言之，所有奇数号的房间都已经空出来了，而这样的房间有无穷多个。图2–4
事实上，我们可以写一个指导手册来告诉每位客人在不同的情况下他们接下来的房间号是什么。但是这个单子将会非常长，完成它花费的时间也会非常多。所以一个简便的办法就是我们可以写一个公式。使用公式的好处就是可以避免花费过多的精力写一个过长的清单。下面就是这个指导手册的简化版：原来就已经在店里入住的客人：如果你住在n号房间，请搬到2n号房间。新来的客人：如果你是第n号客人，请入住2n–1号房间。
现在，每个人都知道自己的房间号了。我们可以再检查一下，保证不会出现两个人被分配到同样的房间的情况，除非客人在计算的时候出现了问题。
你可能会注意到，这种情况只有在新来的客人已经排了队的情况下才能成为现实。否则，不守规矩的客人就会扭作一团，上演数学版的房间争夺大战。新来的客人必须按照编号顺序排队才能到达他们被分配的房间。因为现在情况变得复杂了，所以我们之后将会花点儿时间讨论一下队列的问题。如果旅馆不止一层呢？
现在让我们假设我们的旅馆有两层，每一层都有无穷多个房间（见图2–5）。1楼有房间1、2、3、4……，2楼也有房间1、2、3、4……（更常见的编号方式是1楼有房间101、102、103、104……，2楼有房间201、202、203、204……，但是现在我们先不考虑这个问题）。图2–5
如果这个旅馆起火了呢？现在，我们需要把所有的客人都转移到马路对面的只有一层的希尔伯特旅馆（这个旅馆刚好完全是空的）。这也不是什么难题。我们可以让原本住在1楼的客人把自己的房间号乘以二然后减去一，这样这些客人就分别去了1号房间、3号房间、5号房间、7号房间……，就像上一个例子中讲的新到的客人一样。接下来，我们会让原本住在2楼的客人都把自己原本的房间号乘以二，就像上一个例子里面原本就已经在店里入住了的客人一样。这些客人会住进2号房间、4号房间、6号房间、8号房间……（见图2–6）。图2–6
从某种程度上讲，我们已经把“无穷×2”位客人装进了“无穷”个房间里。从数学上看，这和把新到达的无穷个客人安排进已经住满了的无穷多个房间的旅馆是一样的。
这个原则也可以应用到起了火的三层希尔伯特旅馆。唯一的不同就是，这次我们需要把“无穷×3”位客人安排进“无穷”个房间。所以我们需要把原本的房间号乘以三（见图2–7）。原本住在1楼的客人需要把自己的房间号乘以三，然后减去二。那么他们就会住到1号房间、4号房间、7号房间、10号房间……原本住在2楼的客人需要把自己的房间号乘以三，然后减去一。那么他们就会住到2号房间、5号房间、8号房间、11号房间……原本住在3楼的客人需要把自己的房间号乘以三。那么他们就会住到3号房间、6号房间、9号房间、12号房间……
你可以想象一下，所有的客人按照他们原本的楼层排成了3列长队。然后你按照他们排队的次序安排房间，依次安排每个队伍的第一个人入住新房间。这里，你必须注意留好同一层客人入住房间的号码间隔，稍有不慎，你就没有足够的房间安排所有人了。图2–7
像前面说的一样，我们可以为此写一个指导手册。正确的写作方式应该是下面这样的：原本住在1楼的客人：如果你的房间号是n，那么请搬到3n–2号房间。原本住在2楼的客人：如果你的房间号是n，那么请搬到3n–1号房间。原本住在3楼的客人：如果你的房间号是n，那么请搬到3n号房间。
如果我们先安排所有原本住在1楼的客人的话，我们就会说：原本住在1楼的客人：如果你的房间号是n，那么请搬到n号房间。
但是这样一来，我们是不是就没有房间安排原本住在2楼和3楼的客人了？
是的，已经没有了。因为每一个房间n都已经被原本住在1楼n号房间的客人占据了。这就是为什么我们要么得按照楼层顺序轮换安排客人，要么得在安排1楼的客人的时候给2楼和3楼的客人预留下房间，而不能先把1楼的客人按照原本的房间号安排进旅馆。
我希望你能够按照这个逻辑处理更多楼层的情况（见图2–8）。图2–8
但是如果有无穷层楼呢？现在，我们把希尔伯特旅馆想象成一座摩天大楼，楼层有第1层、第2层、第3层、第4层……，每个楼层都有1号房间、2号房间、3号房间、4号房间……。我们可以把这个建筑想象成“无穷乘以无穷”（见图2–9）。图2–9
如果这一回是这座摩天大楼起火，我们是不是就无计可施了呢？我们能不能把这栋摩天大楼里的客人转移到只有一层的希尔伯特旅馆呢？也许在现在的情况下，只有一层的希尔伯特旅馆看起来已经成了一个相当普通的概念。当我们一次又一次地锻炼我们的头脑的时候，就会出现这样的情况：原本非常令人诧异的事情变成了普普通通的事
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