作者：（日）永野裕之
出版社：北京时代华文书局
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如何唤醒数学脑套装共3册(唤醒数学脑+数学好的人是如何思考+写给全人类的数学魔法书)试读：
前言
你自认数学不够好吗？
因为工作的关系，时常有学生来向我咨询未来的升学方向。但有一种现象始终让我耿耿于怀，就是很多学生会因为数学（理科）不好而选择文科，或因为语文（文科）不好而选择理科。而区分文、理科的目的是为了区分出个人有兴趣的领域，而不是为了把个人不擅长的特定领域强化为一项既定的事实。我在提供升学意见时，一定会问学生：“你的梦想是什么？你喜欢什么科目？”
然后再根据学生的回答，一起思考哪一所大学、什么专业比较适合他，尽量不让文、理科干扰到他的升学方向。
你是如何选择的呢？
如果你是以将来的梦想或喜欢的科目为基准而选择文科，那么数学好不好基本上不会左右你的升学方向，又或者数学这个科目根本就难不倒你，至少你不会因为自己学文科，而在数学方面感到自卑。如果你是那种“名副其实”的文科生的话，那这本书恐怕对你没有太大帮助（话虽如此，若你愿意拨冗一读，我还是很高兴的）。
但是，如果你是因为想逃避数学才选择文科的话，就另当别论了。过去你在自称文科生的时候，是否会下意识地认为“因为我是学文科的，所以数学不好”？而现在你会愿意翻阅这本书，是不是因为觉得“如果能够以数学的逻辑来思考，或许会对工作或生活有所帮助”呢？
利用数学逻辑进行思考，确实能给生活带来方便，使我们更有创造力。如果你明明知道这个道理，却因为“反正我没那个天分”的想法而放弃，那就太可惜了。不过现在你可以放心，因为本书就是为了这样的你而存在的！
在这本书的一开始，我想先强调一件事：用数学逻辑进行思考并不需要任何天分。把数学思维活用于日常生活中，根本不需要什么特别的天分，除非你想成为全世界首屈一指的数学家。
接下来，读完这本书，你一定能学会如何以数学思维来思考。同时你也会明白，“因为我是学文科的，所以数学不好”这句话的“因为……所以……”之间毫无因果关系。从此以后，你不再是那个因为数学不好而选择文科的人，你可以大大方方地告诉别人：因为我对文科感兴趣，所以我选择文科。
学习数学的意义
我想所有对数学感到头痛的人，求学期间肯定都有过痛不欲生的经历：“为什么要逼我学数学？”
如果是语文或英语等科目，即使再怎么棘手，也很少有人会去怀疑学习这些科目的目的，但对于数学来说，很多学生无法理解学习它的意义。在此，我想向各位分享一句我经常引用的爱因斯坦的名言：“教育就是当一个人把在学校所学全部忘光之后剩下的东西。通过这股力量培养出能够独立思考、行动的人，并解决社会面临的各种问题。”
大部分人在步入社会以后，应该很少有机会去解一元二次方程、计算向量内积或是微分吧。如果学习数学只是为了熟悉这些计算技术，那么对大多数人来说的确没什么意义，只需针对那些工作上需要用到这些专业技术的人授课即可。可是几乎所有国家都把数学纳入义务教育的一环，这是为什么呢？
因为学习数学是一种培养逻辑思维能力的方式。一元二次方程或向量都只是用来锻炼逻辑思维的工具而已。“逻辑思维能力”是一种不分文理，所有人都应该具备的能力，这一点我想应该不会有人提出异议。在这个早已迈入国际化、信息化社会的时代，想要达到不说话就“心有灵犀一点通”的境界，几乎是一种幻想。当一群成长环境不同、想法不同的人聚在一起，试图解决各种以往未曾碰到过的问题时，自然必须具备理解他人想法、用自己的想法说服他人，以及任何情况下都能将问题抽丝剥茧、解疑释结的能力。逻辑思维能力就是实现这一切的基础能力，因此为了锻炼这种能力，所有人都必须学习数学。
语文能力才是数学能力的基础
在我的补习班中，所有数学不好却能在短期内提高成绩的学生，都有一个共同点，就是具备优异的语文能力，尤其是能够按照清楚的条理构建文章，或是能够将别人的话转换成自己的方式表达的人。由于他们在逻辑思维方面，本身已具备最基础的能力，因此能够迅速吸收我所传授的正确读书技巧，并且在短时间内提升数学能力。
反之，那些语文能力不佳的学生大多学习效果也不佳。不用说也知道，人类在思考事情时，使用的工具正是语言。如果缺乏一定程度的语文能力，自然无法建构出强而有力的逻辑思维。在此稍微岔开一下话题，我个人对于数学的早期教育或提前学习的必要性是充满怀疑的。就算比别人早一点儿学会微分，又有什么意义呢？如果不知道牛顿或莱布尼茨是在何种动力驱使下推导出微分的概念，以及这个概念又有怎样无人能及的贡献，那么学习微分是没有任何意义的。我个人强烈建议，与其盲目地让学龄前儿童提早学习算术或练习数学计算题，倒不如鼓励孩子多读书、积累丰富的经验，借此培养他们的好奇心，并提升整体的“语文能力”。能够用自己的语言进行完整的思考分析，不但对将来大有帮助，也是培养数学能力的基础。如果你将来想让自己的孩子考上东京大学，我希望你能将孩子培养成一个能够清楚向他人解释“为什么想进东大”“考上东大以后想做什么”的孩子，如此一来，他自然而然会具备相应的学习能力。
本书是特别为那些自认为数学不好的“标准文科生”所写的。因为我一直认为，擅长阅读或写作却不擅长数学是一件矛盾的事。不过我也深知那些讨厌数学的人，对于数学算式是多么地头疼，因此本书尽可能减少使用数学算式的频率，尽管不用数字或算式来传授数学思考的诀窍难度颇高，但为了证明扎实的语文能力是数学能力的基础，同时也为了让你了解学习数学的意义，我认为这是一件相当值得挑战的事情。
另外，通常不擅长数学的人，只要一听到“数学”二字，就会联想到复杂、困难，但数学其实是一门讲求简单与明了的学问。如果本书介绍的思维方式能让你觉得“其实数学挺简单的”，那么我的目的就达到了。
本书的使用方法
这是一本帮助觉得自己数学不行的人，唤醒与生俱来的数学力和逻辑思维能力的书。本书最大且唯一的目标，就是让你在读完本书时发现：“哇，原来我也有数学思维能力啊！”从而掌握运用数学来进行思考的方法。在本书中，我将“数学思考法”从七个方面进行了整理。①整理②顺序概念③转换④抽象化⑤具体化⑥逆向思维⑦对数学的美感
怎么样？其中至少有几项会让你想到：“啊，这种思考方式好像平常就在使用了。”对吧？我想再强调一次，数学并非专属于那些“有天分”的人。运用数学逻辑进行思考是任何人都做得到的事，甚至有许多人早已在无意识中就运用数学逻辑进行思考了。但是能不能“有意识地”运用数学逻辑进行思考，却是另外一码事。在无意识的情况下，我们如果不依赖“灵光一闪”和“直觉”等，就没有办法解决问题，也无法想出什么好主意，但如果能够了解如何运用数学逻辑进行思考，并且明确意识到这件事的话，不但能够顺利解决问题，而且必然能够开拓出他人眼中的崭新思维。同时，你说出口的话会格外具有说服力，让人想不侧耳倾听都难。在此我诚挚希望本书能够帮助你激发体内潜沉已久的数学力。永野裕之第1章 唤醒你的数学力
请思考下面的问题（抱歉！一开始就出题考你）。问题请在下面的括号中，填入正确的答案。甲、乙、丙三人正在接受面试，其中只有一人说的是真话，另外两人说的都是谎话。甲说：“乙在说谎。”从这句话可推知，（）肯定在说谎。
很像一道谜题吧？但这道经典的问题可是出自2004年庆应义塾大学环境情报学院的入学考试试题。而且值得一提的是，这是一道“数学”考题。这道题目的答案和解析过程如下：答案丙解析假设甲说的是真话，又因为说谎者有两人，即代表乙和丙在说谎；反之，假设甲在说谎，那么“乙在说谎”这句话即为谎话，故乙说的是真话。由于说谎者有两人，因此丙是另一位说谎者。根据以上两种情况可推知，不论是哪种情况，丙肯定是说谎者之一。
所谓的数学力，就是运用这种方式进行逻辑思考的能力。从数学力的根本来看，计算速度快、懂得解方程或推导问题，都只是微不足道的能力而已。为了让你实际体会这一点，本章将以“数学式”的形式，示范如何解答阅读理解的题目。接下来请舍弃先入为主的观念，跟着以下内容一起进入本章的重点。数学式的阅读理解法
在阅读理解文章的时候，文科生恐怕很少能意识到自己正在运用数学式的方法进行解析。但是，只要阅读理解的内容是议论文、说明文而非抒发个人感情的文章，那么应该自然而然就会以数学逻辑思考的方式阅读理解文章。
接下来的内容是日本大考中心测试（2012年语文正式测试）的阅读测试题。此处最重要的一点，就是排除所有个人的感情或想法，依据本文所提供的线索，以逻辑式的思维来解决问题。只要能够做到这一点，任何人都能得到正确答案，不需要所谓的“直觉”或“灵光一闪”。“逻辑”最大的魅力，就在于不论有没有特殊天分都能得到相同的结论。
第一题 请阅读以下文章，并回答下列问题（问题1～问题5，共50分）。
包含人类在内的所有生物，在其与环境之间，一律保持最适当的距离来生存。为了繁衍后代而寻找配偶、为了躲避寒暑或风雨而兴建坚固的居所或改变居住地来躲避敌人和驱逐竞争对手，这些都是生物为了维持生命而采取的行动。不过无论如何，生物从环境中觅食的行为，毋庸置疑是维持生命的最基本活动。
生物在从事这些维持生命的行为时，无疑都是以单独的个体为单位的。每个个体在各自固有的环境里，有时与同物种的其他个体合作，有时在与同物种其他个体或不同物种个体的竞争关系中确保自我的生存。在这样的情况下，（A）与某个体有关的其他个体自然也是构成该个体周遭环境的要素之一；除此之外，该个体本身的各种条件，例如饥饿、疲劳的程度、性欲、运动或感觉能力等，也属于环境要素中的“内部环境”。这样一想，我们实在很难明确定义个体与环境的连接点或边界究竟是什么。其中最具争议的要点在于：假如构成个体本身的各种条件也一律被视为环境，那么所谓的“个体”指的究竟是什么呢？假如此处所称之边界的“另外一边”是所谓的环境，那么边界的“这一边”又存在着什么呢？似乎也无法单纯说是该个体或有机体了。
复数的个体又如何呢？为了简化情况，此处就以彼此之间拥有合作关系的两个人——夫妻为例。即使是夫妻，两人绝对都是生存在各自固有世界的独立个体。我所生存的世界，累积了我从孩提时期以来的经验和记忆，而我的妻子也一样。我们不可能完全地同化，更不可能交换彼此的过去。不过任何一对夫妻一旦结婚，便开始拥有与其他夫妻完全不同、两人之间专属的回忆。而这样的默契会让两人在面对某些事情时，即使不刻意开口与对方商量，也能在无意识间形成一种采取共同行动的默契。就这个角度而言，将夫妻结合在一起视为单独的“个体”也是无妨。这一点同样也可以适用在一个家族、一群长年往来的朋友等具备共同利害关系的团体。人类以外的动物，例如鱼、鸟或社会结构井然有序的昆虫等，更明显存在着这种整个族群如单一个体般行动的现象。
换言之，即使是在这种“族群”的情况下，基本上还是因为每个个体都以族群的繁衍为目的，因此就如同单独个体试图维持生存的情况，这些复数个体也会确保在与环境的边界上维持最适当的接触。而此处同样无法单纯地把族群整体归进此边界的“这一边”。第一，和个体的情况不同，族群与环境之间已经不存在物理上的边界线；第二，就“构成族群的复数个体又分别是族群整体重要的内部环境”这一点来思考，应该很清楚情况绝对无法简单说明。构成族群的各个体的行动，绝不可能完全被族群整体的行动所同化，且每一个单独的个体又必须应付各自的需求。每一个个体都在各自与环境之间的交界面上独自维持着生命，同时又遵守着族群整体的行为模式，基本上不会出现任何个别行动破坏全体秩序的情况。
我们在前文中已知：生物个体或由个体的思维所组成的族群，在其与环境的交界面上进行的维持生命的活动，（B）具有令人难以想象的复杂结构。当这样的情况套用在自我意识强烈的人类身上时，其复杂程度更是大幅增加。举例而言，即使是一个在与外部环境接触面上行为较团结的家族，与动物相较之下，其家族内部的每个人仍然会表现出格外强烈的自我意识和自我主张。由于个人的行动而破坏家族整体和谐的情况也绝不在少数。此时，这种不存在于人类以外的生物身上的“自我”与自我以外的“其他人”之间的对决，明显比整个家族的和谐更为重要。除了家族之外，其他由人类组成的团体在各种场合会发生的情况其实也都大同小异，此处就不再一一列举。
关于人类的自我意识究竟是如何形成的，其实各种假设都有可能成立。不过无论是哪一种假说，自我意识肯定是“进化”的产物之一。所谓进化的产物，即代表它是为了生存目的而存在的。通过自我意识的形成，人类即可在与环境接触的过程中获得新战略。然而有些时候，原本该对生存有利的自我意识，却与同样以生存为目的的集体行动互相对立，这应该是（C）人类作为生物最大的悲剧吧。我们究竟该怎么做，才能够取回“自我意识”这项人类尊严最本质的意义呢？“我”的自我意识并非只是个体的个别意识而已。如果只是指单一个体意识到自己与其他个体之间是各自独立的存在，那么恐怕有许多动物都具备相同的能力。拥有明确个体识别能力的动物不在少数，而且识别其他个体和自我认知是同一种认知机制的一体两面。与此不同的是，人类意识自己为无可取代的“我”，并赋予这个第一人称代名词和其他个体完全不同次元的——与其他个体间的差异，以性质完全相异的特殊差异与他者作区别——独一无二的特权性意义。所谓的“我”并非等质空间内的任意一点，反而是如同圆心般，与外在所有的点本质上皆相异的特殊点。
在这种以“我”为名的自己与他人之间，也可以认为存在有精神分析中以“自我边界”的形式构成的边界线。一般所谓的“自他关系”，指的应该就是与这条边界线交会的心理上的关系。这条边界线被假定在两个领域之间，分别是“外部世界的其他人”和“内部世界的自己”。（D）不过这样的设定并不适合用来思考作为特异点的“我”。假如“我”是圆的中心的话，所有我以外的其他人都位于中心之外。就连“我”自己本身，都在意识到这一点的瞬间被推出中心之外。不过中心并没有所谓的内部。或者若将中心本身视为“内部”的话，中心的“内”与“外”的边界就是自己本身。“我”和他人的关系也是同样的道理，“我”占据了一个不合理的位置，因为“我”既身为“内”，又同时身为“内”和“外”的边界。因此所谓的“我”，其实也就等同于“自我边界”。
与等质空间中的边界线不同，生命空间中的个体与环境的边界并没有所谓“这一边”的“内部”概念。换言之，生物是活在本身与所有身外之物的交界处，即所谓的边界上的。当我们清楚地意识到并活在自己与他人的“边界”上时，就会产生人类特有的自我意识。而这种现象不仅发生在单独的个体身上，就连族群全体也是完全相同的情况。人类口中的“我”或“我们”，都有意识地活在与他人之间的边界上。
若将生命的行为投射在物理空间上，是否皆会形成所谓的边界呢？反之，存在于我们周遭世界的所有边界之中，可以说无论是空间上还是时间上的边界，总是会让人感受到生命的迹象。正因为有这样的迹象，才得以让边界的概念获得合理的解释，并存在于无穷无尽不可思议的场所吧。边界或许就是尚未成形的生命的——借用尼采的话就是“权力意志”的——居所吧。（摘自木村敏《自我边界》）问题1 请问划线部分A“与某个体有关的其他个体自然也是构成该个体周遭环境的要素之一”表达的是什么意思？请从选项①～⑤中挑选出最恰当的解释。①对特定个体而言，除了负责种族延续之外，在追求配偶时遇到的其他竞争个体也是环境的一部分。②对特定个体而言，除了竞争食物的对手之外，在生存上能互相协调的不同物种个体也属于环境的一部分。③对特定个体而言，除了饥饿和疲劳等生理现象之外，生态圈中各种欣欣向荣的植物也是环境的一部分。④对特定个体而言，除了气候等自然现象之外，在进行觅食等行为时交会的其他个体也是环境的一部分。⑤对特定个体而言，除了维持自我生命必要的自然空间之外，与其他个体共同生活的空间也是环境的一部分。
感觉很像是一篇说明文对吧？或许有人会觉得文章内容稍有难度。不过这种晦涩的表现方式，代表笔者试图运用逻辑来说明，因此如果能够运用逻辑来解读，要理解笔者的论点其实没有那么困难。
现在我们就来实际解题看看吧。
我想所有文章都有一个共同点，就是笔者会不断重复他想传达的讯息。话虽如此，这并不表示相同的内容会重复出现，大部分情况下，笔者会用换句话说的方式来重复他的论点。所谓的换句话说，有可能是纯粹改用其他表现方式，也有可能是提出具体的例子（引用）或是运用比喻。总而言之，就是转换（第三章的第③方面）自己的论点。而现代文的题目，大多可以利用这种转换解析法来解题。笔者的论点=其他表现方式=具体实例、引用=比喻
在解答这个问题时，同样先从寻找跟划线部分A相同叙述的内容开始。首先确认那句话前面的“在这样的情况下”（文章第九行）指的是什么情况。“这样的情况”即“有时与同物种的其他个体合作，有时在与同物种其他个体或不同物种个体的竞争关系中确保自我的生存”（文章第八行），此处所谓的“确保自我的生存”就是“维持生命的行为”（文章第七行）的另一种说法。另外，“维持生命的行为”的具体实例则列举在文章的第一段：“（第二行）为了繁衍后代而寻找配偶”“（第二行）为了躲避寒暑或风雨而兴建坚固的居所或改变居住地”“（第三行）躲避敌人和驱逐竞争对手”“（第四行）生物从环境中觅食”
根据以上汇总，可大致理清划线部分A前的“在这样的情况下”指的是什么内容。接下来我们终于可以转换划线部分A的各个部分了。首先是划线部分的主题，“与某个体有关的其他个体”（主题）=“同物种其他个体或不同物种个体”（文章第八行）
接下来，“该个体环境”=“配偶”“寒暑或风雨”“敌人”“觅食（的对象）”（文章第一段）
整理到这个步骤以后，再重新检查一遍答案的选项：
①过度局限于子孙或配偶×
②并不仅限于“能在生存上互相协调”的不同物种个体×
③以“植物”为主题×
⑤以“空间”为主题×
根据上述原因可推知，④是正解。为什么呢？只要像这样着眼于划线部分前的指示代名词和划线部分的内容变换并加以整理，那么我想在解题时，你一定可以很自信地推导出“正确答案”（不过偶尔也会有一些很让人头痛的陷阱题）。问题2 请问划线部分B“具有令人难以想象的复杂结构”所要表达的是什么意思呢？请从选项①～⑤中挑选出最恰当的解释。①即使是一个由外部环境看来属于单一个体的族群，构成其内部环境的各个体仍会谋求独立于族群之外，以维持其个体的存在。因此，内部环境经常充斥着紧张的关系。②即使是一个由外部环境看来属于单一个体的族群，在碰到要维持生命的实际状况时，内部个体的相互利害关系就会表露出来。因此，族群行为的统一性的内涵实际上经常处于变动的状态。③即使是一个由外部环境看来属于单一个体的族群，构成其内部环境的各个体依旧各自采取自由的行动。只是各自采取的行动总是能够协调出最适合整个族群的结果。④即使是一个由外部环境看来属于单一个体的族群，内部也有可能生成破坏整体秩序的个体。不过各族群在进行生命维持活动时，自然而然会封锁住这样的可能性。⑤即使是一个由外部环境看来属于单一个体的族群，构成其内部环境的各个体依然会按照各自的需求采取行动。尽管如此，族群并不会失去维持生命必须的秩序。
为了确保逻辑性，最重要的事情就是在检验结论前，先清楚地掌握前提或假设。如果不能遵循顺序（第三章的第②方面）的话，得出的结论便不足以为信。比如说，假设有一本杂志刊登了吸尘器的广告，广告标语是“在美狂销热卖”，但这并不能够保证该款吸尘器也适用于日本，因为那有可能是专门为了美国家庭所设计的产品。由于日本和美国的住宅形式大不相同，因此也必须慎重考虑其他方面。至于问题2的部分，我想只要把焦点着眼于前提，答案也就呼之欲出了。
由于划线部分的前面提到“我们在前文中已知”，因此这表示我们可以从前面的段落找到将划线部分换句话说的句子。前一段提到“在这种‘族群’的情况下”（文章第四段第一行）。前提“在这种‘族群’的情况下”=“人类以外的动物”（文章第三段第十行）
换言之，我们要注意的是，这一整段都是在谈论鱼、鸟和昆虫。此外，如果我们把焦点放在划线部分“复杂结构”的“复杂”二字上的话，可以用以下的方式变换：结论“复杂结构”=“无法单纯地把族群整体归进此交界的‘这一边’”（文章第四段第四行）=“就‘构成集团的复数个体又分别是族群整体重要的内部环境’这一点来考虑，应该很清楚情况绝对无法简单说明”（文章第四段第六行）
而关于“复杂”的内容则汇总在该段落（文章第四段）的最后：结论“每一个个体都在各自与环境之间的交界面上独自维持着生命，同时又遵守着族群整体的行为模式，基本上不会出现任何个别行动破坏整体秩序的情况。”
由于段末提到“不会出现”，因此我们可以确定这不是经过人类特有的“自我意识”所调整或强制的结果，而是在人类以外的动物身上自然发生的现象。
①本文中并未提及“各个体仍会谋求独立于族群之外，以维持其个体的存在”“内部环境经常充斥着紧张的关系”×
②本文中并未提及“内部个体的相互利害关系就会表露出来”“族群行为的统一性的内涵实际上经常处于变动的状态”×
③“各自采取的行动总是能够协调出最适合整个族群的结果”与自然发生的语意不符×
④“各族群在进行生命维持活动时，自然而然会封锁住这样的（破坏行动）可能性”也与自然发生的语意不符×
根据上述原因可推知，⑤是正解。这个问题的解法比较简单。问题3 请问划线部分C“人类作为生物最大的悲剧”是什么意思呢？请从选项①～⑤中挑选出最恰当的解释。①人类因为具备自我意识，所以能够以更适当的方式与环境接触，但在某些情况下，个体的意识与族群的目的之间会产生矛盾，甚至有可能造成族群分崩离析或威胁到个体存续。②人类因为具备自我意识，所以能够形成一个以维持强固族群为共同目的，且从未见于其他生物族群的社会。但在某些情况下，人类可能会为了维护族群整体的秩序而压抑个体的需求。③人类因为具备自我意识，所以更能够达成与环境之间的调和，但在某些情况下，遇到生存竞争的场面时，人类与其他生物对决的能力可能会减弱，甚至有可能危及种族的存续。④人类因为具备自我意识，所以懂得以战略性的方式保护自己不受其他生物侵扰，但在某些情况下，由于保护族群的意识过于强烈，因此会为了族群间的利害关系，而爆发其他生物族群所没有的斗争。⑤人类因为具备自我意识，所以能取得与环境之间更有利的接点，但在某些情况下，人类会给环境带来重大的改变，甚至陷入自主维持族群行动遭到威胁的严重事态中。
数学往往给人枯燥乏味、复杂难懂的印象，或许也有人对排列在一起的文字和数字持有冷硬的印象，但真正的数学绝非如此。数学是一种语言，也是一门非常美丽的学问。为了能够灵活运用这门美丽的学问，培养数学的美感（第三章的第⑦方面）就成了一件意义格外重大的事。我认为逻辑本身就已经很美了，但数学所具备的对称性、一致性等特点，不更是直接的美的象征吗？
在逻辑性的文章当中，有不少地方呈现出这种与数学相似的美。比如说，列出两组例子作对照的论述方法，是说明文中常见的结构，同时也呈现出结构上的对称性。关于问题3的部分，我们可以把焦点摆在这种对立结构（对称性）上。划线部分C提到“人类作为生物”，前一题所关注的焦点又是在讨论“人类以外的动物”，所以接下来，我们就拿人类以外的动物和人类来互相比较一下吧。
[人类以外的动物]“基本上不会出现任何个别行动破坏全体秩序的情况。”（文章第四段第十一行）对比
[人类]“原本该对生存有利的自我意识，却与同样以生存为目的的集体行动互相对立”（文章第六段第四行）
划线部分C“人类作为生物最大的悲剧”，指的是所有生物当中，只有人类会在“自我意识”与“集体行动”之间，产生“互相对立”的矛盾。
由于“自我意识”这个词不太容易理解，所以我们在此将它变换一下。“自我意识”=“‘进化’的产物之一”（文章第六段第二行）=“为了生存目的而存在”（文章第六段第三行）=“新战略”（文章第六段第四行）
接下来，我们就来检验一下答案的选项。
②“为了维护族群整体的秩序而压抑个体的欲求”，实际上完全相反×
③本文并未提到“人类与其他生物对决的能力可能会减弱”×
④本文并未提到“保护族群的意识过于强烈”×
⑤本文并未提到“环境带来重大的改变”×
故正确答案是①。问题4 划线部分D“不过这样的设定并不适合用来思考作为特异点的‘我’”，请问笔者是基于什么样的想法才判断不适合的呢？请从选项①～⑤中挑选出最恰当的解释。①若将人类的认知机能视为一种识别其他个体与自我的运作机制，那么前提就是自己与他人之间存在着一条绝对的边界线；然而若将自己的存在视为圆的中心，那么“我”的内部世界的意思就会改变，边界将成为一种相对存在的概念。②若以精神分析理论将“我”定位为世界上独一无二的自己，那么只要将边界线设定在等质空间内即可确保理论的成立，但由于自我意识的“我”位于边界线上，所以相对于他人，必然会把自己过度特权化。③若通过与他者所属的外部世界间的对立关系来定义自己，代表假说中存在着一个以边界相隔的空间上的内部世界，但拥有绝对独特性的“我”的自我意识，是一个没有内部空间的圆的中心，反而本身就是与他者之间的边界。④在个体的外部设定边界，确立出自己的绝对异质性的“我”的世界，是建立在被赋予特权的第一人称代名词的坚固基础上，但当其他人也用同样的语言确立内部世界时，边界就成为一种共有的概念。⑤把所有的他者置于外部世界、把自己牵制在内部世界所形成的“我”，在假说上存在着认知机能上的绝对边界线，但由于无法合理证明该内部世界里的自我意识本身就处于空间上的中心，因此反而只能说“我”就位于边界线上。
从小学升到初中后，数学这门科目最大的变化就是纳入了负数及文字的使用。尤其在运用抽象化（第三章的第④方面）的技巧时，把文字当作数字来使用，就会成为非常强大的武器。夸张点儿说，“数学无时无刻不在尝试把具体的事物抽象化”。因为抽象化成功的话，就能显现出事物的本质。当然，抽象化也可以通过文字以外的方式加以实现。其中典型的例子就是“图像化（模型化）”。
由于本题的题目本身就出现了边界线、圆等字眼，因此我想作者在书写时，脑海中可能也在将自己想说的话化为图像，就算不是这样，只要试着把文章图像化，就能在理解文章主旨时获得莫大的帮助。
最近越来越常听到人们提起“信息图表（infographic）”一词。所谓的信息图表，就是一组内含多种信息的图表，此处应该不用举例也知道，利用图或图表将概念可视化，有助于我们对事物的理解。
接下来，就让我们把划线部分D附近的内容画成一张图看看吧。“这条边界线被假定在两个领域之间，分别是‘外部世界的其他人’和‘内部世界的自己’”（文章第八段第三行），画成图的话就会像这样：
相对的，“假如‘我’是圆的中心的话，所有我以外的其他人都位于中心之外”（文章第八段第五行），画成图的话就会是这种感觉：
作者在此处提到“中心并没有所谓的内部”（文章第八段第七行），所以为了方便起见，上图把中心处涂成一个小黑点，不过所谓的“点”本来就是指“只有特定位置而没有大小的图形”（《大辞泉》），因此作者才会说“中心的‘内’与‘外’的边界就是自己本身”（文章第八段第八行）。接下来，如果把自己当作圆的中心的话，就会得到“所谓的‘我’，其实也就等同于‘自我边界’”（文章第八段第十一行）的结论。
现在我们来看看问题的选项吧。
①本文并未提到“‘我’的内部世界的意思就会改变”×
②本文并未提到“相对于他人，必然会把自己过度特权化”×
④本文并未提到“边界就成为一种共有的概念”×
⑤本文完全没讨论到“无法合理证明该内部世界里的自我意识本身就处于空间上的中心”等相关概念×
故正确答案为③。问题5 请就这篇文章的论述方向，从选项①～⑤中挑选出最恰当的解释。①首先，就单一个体与复数个体而言，在与环境交界面上的生命维持活动方面，阐明两者之间的差异。接着指出问题在于族群与自己的关系性。最后得出人类的自我意识只能存在于自己和他者的边界上的结论，并以将生命活动投影在物理空间上的方式加以论证。②首先，以族群全体或家族全体等群体为对象，考察其在与环境交界面上的生命维持活动。接着指出个体面对群体的关系会增加其复杂度。最后提到不仅是个体与个体之间，连个体在群体之中也同样存在于与他者的边界上，并将此意识为所谓的自己，对此结论加以验证。③首先，直接阐明所有生物都在其与环境的交界面上，通过保持最适当的距离来维系生命的结论。接着将开头的结论分别套用在个体和群体的情况下加以验证。最后，提出对生命在个体与环境边界上的活动观察，并再度呼应至开头的结论。④首先，分别以个体和群体为对象，考察其在与环境交界面上的生命维持活动。接着指出人类和其他生物相较之下，自我意识的存在会使群体和个体间的关系恶化。最后推导出人类会在意识到边界的同时产生自我意识，并在边界上进行生命行为的结论。⑤首先，针对在与环境交界面上的生命维持活动，提出该边界上究竟存在着什么样的问题。接着为了将问题简单化而着眼于自我意识的存在。最后推导出“我”、“我们”人类和所有生物，都只能在这个边界之处让生命活动完整成形的结论。
我会主张语文能力是数学能力的源泉，其中的依据就是“抓住重点”的能力是重要的语文能力之一。将多余的细节去除并掌握大方向，是一种整理信息（第三章的第①方面）的能力，也是一种捕捉本质的抽象化能力。
接下来，让我们参考截至上一题为止的内容，分别汇总一下每一段的重点吧。
第一段 所有生物都会在其与环境的交界面上进行维持生命的活动。
第二段 每个个体都会在与同物种其他个体或他种个体的竞争关系中采取追求生存的行动。
第三段 有时复数个体也会被视为“单一”个体。
第四段 人类以外的动物不会出现个别行动破坏全体秩序的现象。
第五段 人类在自我意识下采取的个别行动有可能破坏全体秩序。
第六段 作为进化产物的自我意识与维持生命的群体行动相互对立，是人类特有的悲剧。
第七段 人类的“我”是一个“特殊点”，具有独一无二的特权性意义。
第八段 “我”作为圆的中心，既是“内”也是边界本身。
第九段 人类因为意识到边界而产生“自我意识”。
第十段 所有边界上都有生命迹象和生命活动。
这一题其实不用检验其他选项也知道，正确答案是④。发现自己的数学力
怎么样？经过以上的解题过程，很多人应该说：“不用这么刻意思考也答得出来啊。”“真是多此一举。”
但反过来说，这正证明了你其实早已具备数学力。此外，那些从没意识到这种解题法的人可以试着回想一下，你在学生时期是不是明明很擅长语文，成绩却老是起伏不定呢？如果你从没意识到自己的数学力，那么即使你在无意识间用了逻辑思维进行思考，你也会以为自己只是按照直觉去解题罢了。
我们先来聊聊另一个话题。不知道你有没有听过斋藤秀雄这号人物呢？他是著名指挥家小泽征尔的老师，也是培养出山本直纯、岩城宏之、若杉弘、井上道义、秋山和庆和饭守泰次郎等杰出指挥家的名师。
这位斋藤老师所发明的“斋藤指挥法”，如今已以“Saito-method”之名普及至全世界的音乐学校，对于有志成为指挥家的人来说，是必学的经典教材。为什么斋藤指挥法能够成为全世界的标准呢？事实上，该指挥法本身几乎没有任何超群或独特之处。斋藤指挥法最划时代的创举，就是把以往指挥家几乎没意识到的手臂动作，赋予“拍”“弹”“平均运动”等名称，让指挥者意识到这些动作。如此一来，指挥者即可意识到自己的手臂如何运动，并得以明确地理解这个动作所传达的意思。以结果来说，乐手也可以理解指挥家的意图，因此斋藤指挥法便以“简单易懂的指挥法”确立了世界级的地位。
同理，如果能够清楚意识到过去在无意识中使用的数学力，你就能更切实、迅速地解析出最终的答案。
下一章将进入的主题是：究竟什么是数学力。第2章 什么是数学力？算术与数学是两码事
请问，当你听到“数学力”这个词时，会联想到什么呢？我想应该有很多人会朝比较笼统的方向去想，比如说：·能够快速且正确计算的能力·能够快速解答应用题的能力·能够快速解答数学谜题的能力
不过我认为这些能力跟数学力都没有关系。
每次跟几个朋友去吃饭，如果是AA制，总会有人问我：“永野，一个人平摊多少钱？”
此时我都会一阵心虚。朋友会这样问我，是因为他们觉得我是数学老师，心算肯定很厉害，但其实我算错的几率相当高。是的，我必须厚颜无耻地自首，我一点儿也不擅长心算……更确切地说，我本来就不太会算数。如果现在正在读这本书的你是我的朋友的话，请你以后别再让我心算了，每次算错时，你们那冷冰冰的眼神实在很伤人（泪）。
虽然听起来很像在找借口，不过数学能力其实并不等于计算能力。我知道的极为优秀的数学家或科学家当中，也有不擅长计算的人，甚至在我的印象中，这样的人也不在少数。当然我并不打算对我差劲的计算能力置之不理，毕竟作为一名数学老师，理当持续锻炼计算能力，以减少授课时出现计算错误的情况。不过我认为计算能力并不是必备的能力，尤其对成年人来说更是如此，因为现在随便都能买到计算器了，而且只要有智能手机的语音识别功能，光靠一张嘴也能知道计算的结果。
那么“快速解答应用题的能力”又如何呢？其实这也不足以说明一个人是否具备数学力。因为只要多接触各种题型，懂得将问题分门别类，然后套用既定的解法，就能够快速解答应用题……啊，我这样说好像有点儿太武断了，不好意思啊，但数学本来就不是一门讲求“速度”的学问。比如说著名的费马定理就是经过约350年的漫长光阴后，才终于被证明出来，期间应该有无数的数学家终其一生尝试证明此原理吧。那些无名的数学天才之所以能称得上是数学家，并不是因为他们能够迅速找出答案，而是因为他们拥有不屈不挠的精神，不超越前人绝不放弃。如果说费马定理这个例子太极端的话，那么1988年东大入学考试中出现的“传说中的难题”（与正四面体的正射影有关的问题），当时各补习班以最快速度公布的“最佳解答”也都大相径庭，类似这样的题目也几乎不可能“快速解答”。
另一方面，将已知的题型分门别类并加以解析，是计算机最擅长的工作之一，因此拥有这项能力的人在步入社会以后，并不会像学生时期那样受到肯定。我们人类所需具备的能力，是针对那些尚未建立算法（处理方式）的未知问题提出解答方案，即使无法解答也要找出解答的方向。这才是真正的数学力。
在现在这个信息化社会，任何事情都讲求速度。人们很容易认为能够立刻解答问题的人就是“聪明”的人。不过事实真是如此吗？如果把世界上存在的各种可能性都纳入考虑范围的话，肯定有很多问题是无法立刻解答的。
而实际站上教学第一线以后，我发现，不知道是不是因为孩子们在答题时向来被要求速度，所以大家越来越不习惯思考了。这是一件非常严重的事。我认为比起快速作答，深思熟虑更值得获得鼓励。
我有一位朋友T君，当年以“筑驹（筑波大学附属驹场高等学校）有史以来最顶尖的天才”之称进入东大。我和他相识于东大歌剧团，一年级的时候共同担任该社团的公关的职务。这位T君在我和他共同执行社团工作的过程中，真的非常“深思熟虑”。比如说，当我们要给各大学寄明信片通知演奏会的消息时，我只会直接提议：“反正只要有可能会来的，我们就全部都寄不就好了吗？”
但他却会针对每一所学校，仔细思考每张明信片的邮资是否真的能发挥相应的效果：“这所大学虽然有名为歌剧团的社团，但实际上却是玩音乐剧的……”
因此，我原本以为可以在五分钟内解决的事情，却花了将近一个小时才完成，不过最后的结果当然是取得了相当不错的效益。而且因为我们已经将资料整理在当时尚未普及的电子表格软件内，所以从第二次开始，我们俩甚至不需要碰面就可以迅速完成作业。妄下定论与数学力恰好是相对的，必要时花点儿时间耐心思考，是培养数学逻辑思维的重要方式。
接下来，我们继续看第三点“能够快速解答数学谜题的能力”吧。全日本最优秀的数学教师之一的安田亨老师，在《东大数学多拿一分的方法：理科篇》一书中提到：“头脑能够放入数学性事实的容量大小，是‘数学好不好’的重要原因之一。优秀的人脑中都有‘抽屉’，可以整齐地排列顺序，即使情况稍微复杂也不至于造成混乱。数学性的一步，步伐是很大的，但不擅长数学的人，容量通常很小，因此习惯一味地把眼前的事物化为公式，无视整体，只计算眼前的问题。”
这和我在教授数学时实际感受到的情况几乎一模一样。
一般来说，擅长数学的人都具有一种优秀的能力，称作“逻辑性的勇气”。即使站在看不见终点的入口，也有勇气朝着自己认为正确的方向前进。反之，不擅长数学的人只要站在看不见终点的入口，就很容易怯懦地认为“我恐怕做不到”而选择放弃。
举例来说，擅长数学的人在操作一台无法靠直觉理解的机器时，会靠着说明书彻底了解其功能；而不擅长数学的人大多下意识地排斥没有说明书就无法理解的机器，宁可选择像是iPhone或iPad等产品。当然，拥有优秀的直觉能力是一件很棒的事，能够迅速掌握别人需要花时间才能理解的事情，是一项不得了的才能。而且iPhone和iPad能够广受全世界欢迎最重要原因之一，就是来自它在操作上的直觉性，不过这却与数学所追求的目标完全相反。
能够以惊人的速度解开智力测验或数独的人，任谁都会觉得“头脑真好”吧。事实上，那些人具备了灵活的想象力和直觉力（我就没有这种天赋），而许多人也会因此以为“拥有直觉的人就是擅长数学的人，没有直觉的人就是不擅长数学的人。”
但这个观念其实大错特错。来自上天启示般的突发奇想，甚至连自己都不知道为什么会有这种念头的“直觉”，和数学力一点儿关系也没有。如果这种东西就叫作数学力的话，那我只能说几乎所有人都没有必要学数学了。至少，要在大学的入学考试中合格，或是在工作、生活中需要靠数学思维来解决问题时，并不需要什么特别的“直觉”，所以各位可以放心了。我们真正需要的并不是通过“直觉”比别人早一步找出答案的能力，而是无论碰到多么困难的问题，都能够一步一步以逻辑思维找到正确答案的能力。“滴水穿石靠的不是蛮力，而是持之以恒。”
这是古罗马哲学家卢克莱修（Titus Lucretius Carus）的名言。我认为这种滴水穿石的持续力，才是真正的数学力。
能够快速计算、能够按照题型正确解答应用题和擅长解答数学谜题（图形问题），都是算术当中相当重要的能力。没错，本节开头提到的三种能力并非数学力，而是“算术力”。从小学升上初中时，虽然面对的同样是数学算式，但科目名称却从“算术”改成“数学”（编者注：此指日本的情形），原因并不是为了让你体验到长大的滋味（笑）。算术和数学是两种貌同实异的学问。说得极端一点，算术是一门磨炼你如何“迅速且正确解答已知问题能力”的科目，数学则是一门“培养你解答未知问题能力”的科目。
算术力与我们的生活息息相关。凡是买东西时可以立刻算出该找多少零钱、理解股价指数的意义或是光靠不动产的广告就能对房屋的大小一目了然等，这些绝对都是生活中不可或缺的能力。不过数学所追求的并不是要我们能够迅速解答这种早已经有固定答案的问题。任何人都具备的数学力
每次用问卷调查的方式统计小学生最喜欢的科目时，数学和体育总是榜上有名。然而如果调查对象换成高中生的话，喜欢数学的人的比例绝对不高，反而永远稳居最讨厌科目的第一名（泪）。说起来实在可惜，但各位是不是也跟我一样，切身感受到世界上真的有很多讨厌数学的人呢？明明小学时数学这么受欢迎，为什么到了高中就反而讨人厌了呢？
用典型解法破解典型问题的小学数学，就像依照攻略的指示玩游戏一样。读了电玩游戏攻略上写的“往右边走有宝物”，按照指示就能获得宝物，这种喜悦是理所当然的。再者，游戏玩得好并不会获得大人的赞赏，而只要按照课堂上学到的方式在数学考试中取得高分，就能获得父母或老师的嘉奖，所以这当然是一件很开心的事。
然而升上初中后，状况可就不一样了。即使像小学一样，用同样的原则背诵解法，但是真正上了考场，也不一定能拿到高分，因为初中数学有很多题目光靠死记硬背是无法解决的，而且这种现象会随着年级的增加越来越明显。其实最后会对数学感到厌倦的人，一开始也曾经做过一番努力。如果做了两遍练习题，成绩还是不见起色的话，下一次就做三遍吧，做了三遍还是不行，下次就做四遍……可是成绩依然没有进步，努力得不到回报。另一方面，英语和历史等科目，通常只要稍微努力就能获得一定的成果。碰到这种情况，任谁都会心想：“也许我就是没有数学天分吧……”到最后会对数学感到厌倦，似乎也是情理之中的事。
近20年来，我累积了许多一对一指导数学的经验，对象大多是无法通过大班授课提高成绩的学生——简而言之，就是不擅长数学的人。就这一层意义而言，我过去的指导经验可以说是每天在与不擅长数学的学生“格斗”。而我在此必须肯定地说一句：数学力是任何人都拥有的能力。数学不好的人，并不是因为没有数学天分，而是因为用了学习算术的方法来学习数学。事实上，在我的补习班里，很多一开始在班上落后的学生，后来都在短时间内进步到班上的前几名（抱歉，我无意在此给我的补习班做宣传）。为什么会发生这种事呢？因为我的指导很厉害吗？不不不，绝对没有这种事。我所做的只是让学生停止死记硬背，尝试理解各单元的内容、公式和解法的意思，然后练习如何用稍微有别于以往的视角解读数学而已。如此一来，学生（尤其是语文能力优秀的学生）就会发现，解数学题并不需要特别的天分，只要使用自己原本就具备的能力即可。
我在第一章用阅读测验示范如何以数学式的方式解题，就是为了让各位读者注意到你本身其实早已具备了数学力。提升数学力的秘诀就是“停止背诵”
因为工作的关系，我时常被人问到这样的问题：“如何才能学好数学呢？”
这时我都会回答：“不要死记硬背。”
下一秒钟，对话一定会进入一段很奇妙的空白（笑）。毕竟那些不擅长数学的学生，大多认为学习数学就是死记公式和解法，所以这是正常现象。但从我过去的指导经验中，我很确定学习数学绝对不是死记硬背，反而越是死记公式或解法，越学不好，然后就会觉得数学很无聊，最后开始讨厌数学。
为什么会这样呢？
正如前文所述，我们学习数学的目的是培养逻辑思维。数学当中出现的函数、方程、向量和数列等，都只是用来培养逻辑思维的工具而已，而逻辑思维的锻炼只能靠我们用自己的头脑进行。对于似懂非懂的学问，如果从头到尾只打算死记硬背的话，等于是在拒绝思考。不用我说大家也知道，这绝对是养成逻辑思维的一大阻碍。
学好数学最应该具备的态度就是思考“为什么”，这也是学习数学的起点。
举个例子好了。吉卜力工作室的电影《儿时的点点滴滴》（编注：高田勋导演，又名《岁月的童话》）当中，有一段很经典的片段，是小学五年级的主角妙子，在向高中生的姐姐请教分数的除法。
妙子：“什么叫作‘用分数除分数’啊？”
姐姐：“什么？”
妙子：“个苹果除以，意思是不是就是把个苹果平均分给4个人，看每个人拿到的苹果呢？”
姐姐：“嗯？嗯……”
妙子：“所以（一边画苹果一边想）1、2、3、4、5、6，每个人有个。”
姐姐：“不对不对！你那是乘法！”
妙子：“为什么？如果是乘法的话，为什么数字会变少？”
姐姐：“把个苹果除以的意思是……（词穷）总之！你一直在讲苹果，害我搞不清楚啦！乘法就直接乘！除法就是把后面分数的分子分母颠倒过来的乘法，这样记就可以了！”
这段场景简直就是数学负面教育的缩影，虽然只有短短几句对话，却让我印象深刻。看过这部电影的人，想到自己也跟妙子的姐姐一样，无法说清楚分数的除法，恐怕也会面露苦笑吧。不过在小学数学中，并不需要解释为什么“分数的除法要颠倒分子分母”。正如前文所述，小学数学的学习目标是为了在日常生活中迅速计算出正确的答案，因此只要记住算法，然后按照规则计算即可。
但是，如果从数学式思考的角度检验分数的计算，就有必要清楚说明“为什么按照那种方式计算就能得到答案”，因为比起答案本身，学数学时更重要的是解答的过程。从这点来看，妙子可以说是充分具备学习数学的素养。
机会难得，我想在此解释一下“分数的除法要颠倒分子分母”的理由。如果对这部分没兴趣的朋友，接下来这几页内容可以直接跳过。
为什么分数的除法要颠倒过来？
分数究竟是什么？
说起来，分数究竟代表什么意思呢？看到这里，你可能会想：“不会吧？要从头开始解释吗？”但是，当我们在数学上遇到不懂的概念时，“追本溯源”是非常重要的一件事。所以接下来，请耐心地跟我一起探究其中的学问吧。
假设现在我们要计算：
1÷4
这个算式的意思就是“把1个东西分成4等份以后的其中1份”，没错吧？不过，由于我们无法用整数表示计算的结果，所以就把计算的结果写成。
如果把过程公式化的话，就会是这样：
把1个东西分成n等份以后的其中一份就是
这就是分数的定义。用数学式表示的话，就是：
没错吧？
分数的乘法
接下来，我们同样来确认一下分数的乘法。假如题目是：
请问其中的意义又该如何解读呢？
为了利用视觉帮助理解，我们来想想长方形的面积吧。如果把想成是一个长m、宽的长方形，并用面积来表示的话，就会得到下图的长方形：
试着把这个长方形放进1m×1m的正方形里。
结果我们可以看到，灰色的长方形相当于正方形纵切4等份、横切2等份后的其中3块。由于纵切4等份、横切2等份以后，整个正方形会变成8等份，因此灰色长方形的面积就等于3个。也就是：
换句话说：
没错吧？这也就表示这道题目可以这样计算：
所以结论就是，分数的乘法只要用分母乘分母、分子乘分子，即可得出答案。
这同样也可以用一般化的数学式表示：
用分数除以分数是什么意思？
在我们开始计算分数除以分数之前，先来思考以下这个算式的意思：
如果把它想成“把1分成等份”的话，头脑应该会觉得很混乱吧。这里我们可以采用除法的另一种含义，就是“把1以为单位来分，总共会得到几个（1是由几个所组成）？”
画成图的话就是：
所以答案就是3对吧？亦即：
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]