作者：傅建、肖兵 编
出版社：化学工业出版社
格式: AZW3, DOCX, EPUB, MOBI, PDF, TXT
材料成形过程数值模拟 第二版试读：
前言
前 言材料成形数值模拟技术在工业发达国家已得到较为广泛的认同与应用，它为材料成形方案制定、工模具设计、工艺参数优化、产品质量控制等方法和手段的变革带来意义深远的影响。设计人员和工艺人员可借助计算机平台仿真和预测材料成形过程中潜在的各种问题，及时修改和优化设计，以减少物理试验次数，缩短工模具开发周期，降低产品生产成本。
由于材料成形数值模拟技术涉及的学科领域较多，对专业综合基础理论及其应用的要求较高，所以，《材料成形过程数值模拟》或类似课程原来只面向研究生开设。然而，基于市场竞争加剧和劳动力成本压力，迫使部分企业开始逐渐重视本科毕业生掌握CAE技术的能力。但由于起步较晚、知识点较多、教学难度较大，以及过于偏重理论与数学公式推导等诸多因素，造成《材料成形过程数值模拟》或类似教材的内容不能很好地满足当前本科教学需要。考虑到本科层面的《材料成形过程数值模拟》教学主要是《材料成形CAD/CAE/CAM基础》或类似课程的延伸，且绝大多数高校将其作为专业选修（必选或任选）课对待，因此，本书在内容编排上，侧重于将学习材料成形过程数值模拟必须的基础理论与实用的专业知识及专业技能有机地结合，舍去过多的理论阐述和数学公式推导，为每一章增加若干可以举一反三的应用实例，使本科学生能够在较短的时间内，了解支撑材料成形数值模拟应用的基础理论与相关技术，初步熟悉借助CAE方法解决实际问题的基本思路及其过程，配合必要的上机实验，掌握1～2款主流CAE软件操作，为后续毕业设计和今后参加工作奠定某些基础。
本书共分7章，其中，第1章介绍材料成形过程数值模拟的基本概念、工程意义、应用现状及其发展趋势；第2章主要介绍有限元法和有限差分法的入门知识，以及应用数值方法模拟材料成形的若干技术问题；第3～7章则重点介绍数值模拟技术在金属铸造成形、冲压成形、锻压成形和焊接成形以及塑料注射成形中的应用，包括相关理论、数值方法、实现过程、应用案例等内容。为方便读者自学，在每一章后附有复习思考题。
本次再版主要修正了第1版中发现的问题，增添了一些新内容（例如第1章中的材料成形数值模拟发展趋势和第2章中的控制体积法简介），替换了部分数值模拟主流软件简介（例如第4、5、6、7章），统一了各章的编写风格（例如第4章中的概述），精简了个别章节的内容（例如第7章的7.4.1.1小节），改写了第5章的部分应用案例。
本书由西华大学材料科学与工程学院的傅建负责修编第1、2、5、7章并统稿，肖兵负责修编第3、4、6章。鉴于笔者水平有限，书中难免有不当之处，敬请读者和同行批评指正。编 者 2018年10月第一版前言
材料成形数值模拟技术在工业发达国家已得到较为广泛的认同与应用，它为材料成形过程研究、工模具设计、工艺参数优化、产品质量控制等方法和手段的变革带来意义深远的影响。设计人员和工艺人员可以借助计算机平台模拟和预测材料成形过程中潜在的各种问题，及时修改和优化设计，从而减少物理试验次数，缩短工模具开发周期，降低产品生产成本。
由于材料成形数值模拟技术涉及的学科领域较多，对专业综合基础理论及其应用的要求较高，所以，《材料成形过程数值模拟》或类似课程原来只面向研究生开设。但是，基于市场竞争加剧和劳动力成本压力，迫使部分企业开始逐渐重视本科毕业生掌握CAE技术的能力。由于起步较晚、知识点较多、教学难度较大，以及过于偏重理论与数学公式推导等诸多因素，造成《材料成形过程数值模拟》或类似教材的内容不能很好地满足当前本科教学需要。考虑到本科层面的《材料成形过程数值模拟》教学主要是《材料成形CAD/CAE/CAM基础》或类似课程的延伸，且绝大多数高校将其作为专业选修（必选或任选）课对待，因此，本书在内容编排上，侧重于将学习材料成形过程数值模拟必需的基础理论与实用的专业知识及专业技能有机地结合，舍去过多的理论阐述和数学公式推导，为每一章增加若干可以举一反三的应用实例，使本科学生能够在较短的时间内，了解支撑材料成形数值模拟应用的基础理论与相关技术，初步熟悉借助CAE方法解决实际问题的基本思路及其过程，配合必要的上机实验，掌握1～2个主流CAE软件操作，为后续毕业设计和今后参加工作奠定某些基础。
本书共分7章，其中，第1章介绍材料成形过程数值模拟的基本概念、工程意义、应用现状及其发展趋势；第2章主要介绍有限元与有限差分法的入门知识，以及应用数值方法模拟材料成形的若干技术问题；而第3～7章则重点介绍数值模拟技术在金属铸造成形、冲压成形、锻压成形、焊接成形以及塑料注射成形中的应用，包括相关理论、数值方法、实现过程、应用案例等内容。为方便读者自学，在每一章后还附有复习思考题。
本书由西华大学材料科学与工程学院和四川大学制造科学与工程学院共同完成，其中傅建编写第1、2、5章，彭必友编写第3、6章，曹建国编写第4、7章。此外，参加编写工作的还有四川工程职业技术学院张光明、成都航天模塑股份有限公司余玲。全书由傅建统稿。鉴于作者水平有限，书中难免有不当之处，敬请读者和同行批评指正。编 者 2009年5月第1章 绪论1.1 材料成形数值模拟的基本概念
以液态铸造成形、固态塑性成形和连接成形以及黏流态注射成形等为代表的材料加工工程是现代制造业的重要组成部分，材料加工不仅赋予成品件或半成品件几何形状，而且还决定其组织结构与使用性能。
材料成形数值模拟是计算机辅助工程分析（CAE）技术在材料成形领域的具体应用，其基本含义是指：将一个成形过程（或过程的某一方面）定义为由一组控制方程加上边界条件构成的定解问题，利用合适的数值方法求解该定解问题，从而获得对成形过程的定量认识。或者简而言之，材料成形数值模拟是指在计算机系统平台上利用数值方法仿真（虚拟）材料的成形过程（或过程的某一方面）。材料成形数值模拟的目的是帮助人们认识与掌握材料特性、成形方案、工艺参数、产品形状、模面结构、浇注系统、工装夹具、载荷输入等内外因素对材料成形质量和工模具寿命的影响；同时，为缩短成形制品与成形模具的开发周期、减少物理试模次数、优化现场成形工艺、选用成形设备、控制产品质量、降低生产成本，提供定量或定性数据支持。
材料成形数值模拟涉及工程力学、流体力学、物理化学、冶金学、材料学、材料成形原理、材料成形工艺、应用数学、计算数学，以及图形学、电磁学、软件工程和计算机技术等诸多相关学科，是多学科知识及技术的交叉与融合。当然，对于不同的材料成形领域（铸造、锻压、焊接、注射等）所涉及的学科种类会有所不同。
广泛的学科理论、合理的数学模型（数理方程）、高效的计算方法、准确的材料参数、严格的边界定义、可靠的检测手段、必要的物理实验，以及坚实的专业知识、丰富的现场经验和成熟的CAE系统是确保数值模拟技术在材料成形领域成功应用的关键。1.2 材料成形数值模拟的工程意义及应用现状1.2.1 工程意义
材料成形数值模拟的工程意义主要体现在辅助工模具开发和成形工艺设计等行业的工程技术人员完成下述三个方面的工作。（1）制定和优化材料成形方案与模具设计方案
①选择最佳成形工艺方法（例如：对于给定的金属制品，是采用压力成形、铸造成形，或是采用机械加工成形？如果采用压力成形，具体工艺方法是冲压、挤压、锻造或其他？）；
②制定成形工艺流程与工艺参数（例如：利用级进模成形制件的工步顺序安排、每一工步的冲压速度和压边力确定等），并对其流程及其参数进行优化，以提高成形能源和成形材料的利用率（例如：焊接热输入、热处理保温时间、冲压板料排样、模锻件飞边控制等）；
③确定或改进模具设计方案（例如：注射模具的型腔数及其布局、浇注系统类型及其结构、模温调节系统结构及其孔路布局等）；
④预测在已知条件（材料一定、结构一定、工艺方法和工艺参数一定）下，产品成形的可行性及其成形质量，为成形方案和模具设计方案的改进与优化提供依据；
⑤确定成形设备及其辅助设备必须具备的生产能力（例如：压铸机的锁型力、压射力、压射比压、压室直径等，同压铸机配套的保温电炉容量、炉膛温度等）；
⑥改善和优化成形制件的工艺结构（例如：板料拉深的最小圆角半径、模锻零件的最小脱模斜度等）。（2）解决工模具调试或产品试成形过程中的技术问题
成形工模具制造出来后需要进行一系列调试。调试目的：一是检查成形工模具的结构是否正确、各组成机构的动作次序是否合理，以及机构运动是否顺畅；二是检验成形工模具是否匹配成形设备和成形方案设计中拟定的工艺参数，能否生产出合格的成形制品。前者属于工模具的结构性调试，后者则为工模具与制品生产相结合的综合性调试。工模具的物理调试或制品试成形是一个费时、费事的反复迭代过程，利用材料成形数值模拟可以辅助现场人员迅速地、有针对性地发现和定位综合调试中存在的技术问题，提出相应的解决方案，缩短综合调试周期。（3）解决成形制品批量生产中的质量控制问题
成形制品在批量生产过程中，材料批次、环境条件、设备控制、人员操作等差异都将给产品质量的稳定性带来一定影响。对此，可利用材料成形数值模拟系统或其他CAE系统，仿真成形质量波动的生产现场，找出造成质量波动的关键因素，分析质量问题产生的原因，有针对性地进行成形质量控制。同时，还可利用材料成形数值模拟系统进一步优化产品的现场成形工艺参数，改善产品质量，提高生产效率，降低设备能耗等。
除此之外，还可将材料成形数值模拟技术与物理实验技术结合起来，研究新材料的成形特性，研究材料在模腔（例如：铸造、注塑、熔化焊）、模膛（例如：锻造、挤压）、凸凹模（例如：冲压）或其他特殊工模具（例如：轧制、拉拔等）中的流动过程、特点及其规律，研究材料成形中各物理场（例如：应力应变场、温度场、流动场等）的变化及其交互影响，以及研究成形（包括热处理）过程中的材料相变化与组织变化，等等。即把材料成形数值模拟技术作为现代理论研究和应用研究的重要辅助工具之一。1.2.2 应用现状（1）材料液态成形
材料液态成形数值模拟多应用于模拟液态金属重力铸造、高/低压铸造、熔模铸造、壳型铸造、离心铸造、连续铸造、半固态铸造等成形工艺方法中的充型、凝固和冷却过程，预测铸造缺陷（例如：缩孔、缩松、裂纹、裹气、冲砂、冷隔、浇不足），分析液/固（凝固、结晶）和固/固（含热处理）相变、铸件组织（相组成物和晶粒形貌及尺寸）、应力和变形以及金属模具寿命等，为工艺设计、模具设计和过程控制的调整与优化提供定量或半定量依据。
图1-1是某砂型铸件的充型过程模拟，根据对液态金属流动状况和液面变化的观察分析，可以了解是否有冲砂、裹气、充型不足等缺陷产生。图1-1 砂型铸造中的液态金属充型过程模拟
图1-2是模拟铸件的冷却凝固过程。通过观察，可以了解铸液的凝固顺序，发现缩孔、缩松、冷隔等铸造缺陷的潜在部位。图1-2 铸件冷却凝固过程模拟
图1-3是过冷度对Al-13Si铸造合金结晶组织的影响。由图可见，随凝固时合金液的过冷度ΔT增加，试样截面铸态组织由粗大的柱状晶转变成细小的纯等轴晶。该模拟结果对于控制铸件结晶的工艺条件、获取满意的微观组织及使用性能很有帮助。图1-3 过冷度ΔT对Al-13Si铸造合金结晶组织的影响（2）材料塑性成形
材料塑性成形的工艺方法很多，包括冲压、挤压、锻造、轧制、拉拔等。目前，数值模拟在金属板料冲压、金属块料锻造、挤压和轧制领域的应用较为成功。通过数值仿真实验，可以直观展示金属塑性成形过程中的材料流动、加工硬化、应力应变、回弹变形、动/静态再结晶、热处理相变等物理现象，揭示材料内部的微观组织形貌及其变化，考察对材料成形质量产生影响的温度、摩擦、模面结构、界面约束、加载速度等工艺条件，预测潜在的材料成形缺陷以及对应的工模具寿命。
图1-4是利用数值模拟软件仿真汽车覆盖件和骨架件的拉深过程（最终结果截图）。透过对未充分拉深区、起皱区和破裂区的分析，可以判断制件拉深成形质量，并结合材料成形极限图（FLD）了解制件内的应变状况及其分布，预测给定工艺条件（包括模面工艺结构、冲压速度、压边力等）下产生缺陷的趋势。图1-4 汽车覆盖件拉深成形
图1-5是对材料冲压成形件中已产生缺陷的仿真与再现，以便进一步定量分析和揭示产生缺陷的原因。图1-5 方形盒拉深过程中的边角破裂分析
图1-6是模拟钢轨的辊压成形过程。图1-6 钢轨的辊压成形模拟
图1-7是十字接头和伞形齿轮多工步精密模锻成形的仿真实例。在伞齿轮成形数值模拟实验中，根据锻件的轴对称结构特点，采用了对象简化分析技术（即先任意截取其中一个齿进行建模和求解，然后再按约束关系将该齿的分析结果移植到整个齿轮），以提高求解计算速度。图1-7 多工步精密模锻成形（左下方为锻件实物）（3）材料黏流态成形
材料黏流态成形主要指塑料熔体在黏流状态下的注射、挤出等成形。目前，材料黏流态成形数值模拟技术普遍应用在塑料注射成形领域，涉及的成形工艺方法有普通流道注射、热流道注射、气辅注射、双料注射、反应注射、微发泡注射和芯片注射封装等。通过对材料注射成形的数值模拟，了解成形方案、工艺参数、产品形状、模具结构、浇注系统、冷却水道等因素对材料成形质量和模具寿命的影响；并且在物理实验的支撑下，研究新材料（或不同填料成分）的注射成形性能、熔体在模腔中的流动和冷却规律、塑件分子取向、应力分布、翘曲变形等物理现象及其起因等。
图1-8是塑料熔体多腔注射的流道平衡分析。根据模拟分析结果，调整和优化各分流道截面尺寸，以确保熔体能够在同一时间内充满各个模腔。图1-8 多腔注射的流道平衡分析
图1-9是某电视机前罩的气辅注射成形模拟实例，通过观察分析模拟结果，确认气道设置是否合理、气辅参数是否满足成形质量要求。图1-9 电视机前罩的气辅注射成形（4）材料焊接成形
材料焊接成形是指利用焊接工艺方法将预先制备好的单个零部件或毛坯拼接（焊装）成产品或半成品（例如：用于钣金冲压的拼焊板）的过程。利用数值模拟技术分析焊接热过程（包括焊接热源的大小与分布、温度变化对热物理性能的影响、焊接熔池中的流体动力与传热、传质等）、焊接冶金过程（包括焊接熔池中的化学反应和气体吸收、焊缝金属的结晶、溶质的再分配和显微偏析、气孔、夹渣和热裂纹的形成、热影响区在焊接热循环作用下发生的相变和组织性能变化，以及氢扩散和冷裂纹等）、焊接应力应变（包括动态应力应变、残余应力与残余变形、拘束度与拘束应力等），以及对焊接结构的完整性进行评定（包括焊接接头的应力分布、焊接构件的断裂力学分析、疲劳裂纹的扩展、残余应力对脆断的影响、焊缝金属和热影响区对焊接构件性能的影响等）。
图1-10是利用数值模拟技术对某摩托车轮圈焊接过程进行仿真的最终结果（部分截图）。目的是评价产品的焊接变形、最小化残余应力，同时了解制件几何结构、材料特性和工艺参数对焊接质量的影响。图1-10 某摩托车轮圈的焊接分析
图1-11（a）是利用焊接方法组装产品的实例，图中被装配的各个零件均属钣金成形制品（当然也可是机械加工、铸造、锻造等制品）。图1-11（b）是对图1-11（a）实例的焊装应力进行数值模拟的结果，根据该结果可以预测焊接变形和焊接裂纹等缺陷。图1-11 焊接组装数值模拟举例1.3 材料成形数值模拟的发展趋势
下面列举的发展趋势有的已部分投入实际应用，有的仍在不断完善和深入研发之中。（1）模拟分析由宏观进入到微观
材料成形数值模拟的研究由建立在温度场、速度场、变形场基础上的旨在预测形状、尺寸、轮廓的宏观尺度模拟进入到以预测组织、结构、性能为目的的微观尺度模拟阶段，研究对象涉及结晶、再结晶、重结晶、偏析、扩散、气体析出、相变、组织组成物等微观层次，以及与微观组织相关的机械和理化性能等。（2）加大多物理场的耦合分析
加大多物理场的耦合与集成分析（包括：流动/温度、温度/速度/流变、电/磁/温度、温度/应力应变、温度/组织、应力应变/组织、温度/浓度/组织等物理场之间的耦合），以模拟真实复杂的材料成形过程。（3）拓宽在材料特种成形中的应用
在特种成形领域应用数值模拟技术相对于在基于温度场、流动场、应力/应变场的通用成形领域应用难度大，例如：铸造成形中的连续铸造、半固态铸造和电渣熔铸，锻压成形中的液压胀形、楔横轧和辊锻，焊接成形中的电阻焊、激光焊，塑料成形中的振荡注射、吹塑和热成形，以及金属粉末注射、粉末冶金压制等。可以确信，一旦各特种成形的理论研究与应用开发取得突破，利用数值模拟解决和研究特种成形技术问题的手段将会大大增加。（4）强化基础性研究
材料成形数值模拟基础性研究包括成形理论、数学模型、计算方法、应用技术、测试手段、材料特性和物理实验等研究，这些都是事关数值模拟结果真实性、可靠性、精确性，以及模拟速度、模拟效率的热点研究。（5）关注反向模拟技术应用
所谓反向模拟是指从最终产品的几何结构出发，结合成形工序或工步，一步步反推至原始毛坯的演绎过程。反向模拟技术主要用于固体材料塑性成形毛坯的推演，例如：冲压件展开、模锻件预成形。通过反向模拟，可以解决诸如成形材料利用率、毛坯形状优化等实际生产问题。目前，反向模拟技术在材料的冲压成形和锻造成形中均有所体现。（6）模拟软件的发展
面向产品开发、模具设计和成形工艺编制等技术人员，屏蔽过于繁杂的前处理操作（特别是网格划分、接触边界定义和求解参数设置等操作）；利用专业向导模块（例如：锻造开坯、冷挤压、热处理、模面设计、浇注系统设计和冷却水道布局等），简化分析模型的建立过程；加入专家系统等人工智能技术，帮助用户更快更好地关注和解决材料成形中的实质性问题而不被一些具体的工程分析术语和技能技巧所困扰；增加正交实验、方差分析等设计理论，在高性能计算机的支持下，较大范围地综合优化材料成形工艺参数等。（7）改进和优化计算方法
充分利用计算数学的最新研究成果，不断创新、改进或完善相关数值方法和计算方法，优化求解器内核，在现代计算机系统和互联网技术的支持下，提升计算能力，通过大规模或超大规模的并行计算和云计算，为解决现实生产中复杂多样的材料成形问题搭建更加快速、更加高效的数值仿真平台。（8）协同工作
利用计算机网络和产品数据模型（PDM）等先进技术，将基于过程仿真的成形工艺模拟与企业生产的其他系统要素有机集成，从而彻底实现从产品开发、模具设计、工艺优化到产品质量控制、技术创新、成本核算的全过程协同。此外，透过网格计算、远程服务和超文本格式分析报告，让分布在不同地域的产品设计师和模具开发师借助本地计算机系统迅速获取相关信息，在可视化环境中共同会商或解决某特定材料成形中遇到的技术难题。（9）模拟结果与设备控制关联
通过模拟结果与设备控制的关联，将优化的工艺参数直接输送给成形设备，实现控制参数的自动调整和成形过程的自动监测，以消除或减少结果判读、数据转换和人工设置的误差。复习思考题
1.材料成形数值模拟的基本含义和目的？
2.材料成形数值模拟技术的成功应用将取决于哪些因素？
3.材料成形数值模拟主要应用在哪些方面？
4.举例说明你在认识实习或生产实习中见到的材料成形数值模拟应用。
5.简述和补充材料成形数值模拟的发展趋势。第2章 有限元与有限差分法基础
有限元和有限差分是目前支撑CAE技术的两类主流数值方法，绝大多数材料成形数值模拟软件都是在这两种方法（或其中之一）基础上开发的或多多少少包含有这两种方法的成分。本章将介绍有限元法与有限差法的入门知识及其应用数值方法模拟材料成形的一些注意事项，以便为后续章节的学习打下基础。2.1 有限元法基础2.1.1 基本概念与技术优势（1）基本概念
有限元法（Finite Element Method，FEM）的中心思想是：将一个连续求解域（对象）离散（剖分）成有限个形状简单的子域（单元），利用有限个节点将各子域连接起来，使其分别承受相应的等效节点载荷（如应力载荷、热载荷、流速载荷等），并传递子域间的相互作用；在此基础上，借助子域插值函数和“平衡”条件构建各子域的物理场控制方程；将这些方程按照某种规则组合起来，在给定的初始条件和边界条件下进行综合计算求解，从而获得对复杂工程问题的近似数值解。其中，离散和子域（或曰分片）插值是有限元法的技术基础。
图2-1是对离散概念的图解说明。离散求解域的目的是为了将原来具有无限自由度的连续变量微分方程和边界条件转换成只含有限个节点变量的代数方程组，以方便计算机处理。图2-1 离散求解对象（域）
分片插值的概念可以借助图2-2加以说明。假设真实函数为曲线c，求解域为［a，b］。理论上讲，只要定义在［a，b］上的试探函1数（亦称插值函数）c具有足够高的阶次就能逼近真实函数c，但实21际上c对c局部特征的逼近并不理想。如果将求解域划分成若干长度21不等的小区间，则可在每一个小区间内用较低阶（例如一阶或二阶）的试探函数c来逼近c，并且通过适当调整求解域局部小区间的数量31或尺寸来提高逼近精度，从而获得真实函数c的近似解。1
通常，将构建子域物理场方程的过程称为“单元分析”，将在初边值条件支持下综合求解子域方程组的过程称为“整体分析”。因此，有限元法的中心思想又可简略描述为：离散求解域→单元分析→整体分析。
利用子域（单元体）离散连续求解域（实体模型或对象）的过程又被形象地称为网格划分，由此得到的离散模型被称为网格模型。图2-2 一维函数的整体插值与分片插值（2）技术优势
有限元法的技术优势主要体现在：该方法把连续体简化成由有限个单元组成的等效体（物理上的简化），针对等效体建立的基本方程是一组代数方程，而不是原先用于描述真实连续体的常微分或偏微分方程。由于不存在数学上的近似，故有限元法的物理概念清晰，通用性强，能够灵活处理各种复杂的工程问题。（3）应用有限元法求解工程问题的一般流程
图2-3为应用有限元法求解工程问题的一般流程。注意，图2-3中的载荷是广义的，视具体工程问题而定。例如：分析模拟塑料制件的注射模塑过程，其载荷主要为注射压力和注射速率；分析模拟汽车覆盖件的拉深过程，其载荷主要为拉深速率和压边力。此外，图中的几何模型仅仅是有限元模型的物理载体，只有将其他相关元素（单元、材料参数、载荷、初边值条件）加入到这个载体上，才会获得求解实际工程问题的有限元模型。图2-3 应用有限元法求解工程问题的一般流程2.1.2 有限元方程的建立与应用
针对不同工程问题构建的有限元方程（有限元模型）是有限元法应用的基础，而变分法和加权余量法是建立有限元方程的两类常用数学方法。本节将以求解平面弹性力学刚度问题和稳态热传导问题为例，分别介绍这两类方法的实施要点。2.1.2.1 预备知识（1）弹性力学基本方程
①平衡方程 当弹性体中任一质点上的应力达到平衡时，有Lσ+b=0 在（Ω域内） （2-1）式中 L——微分算子，对于平面问题；T
σ——应力，对于平面问题σ={σ σ τ}；xyxyT
b——体积力（一般为重力）向量，对于平面问题b={b b}。xy
②几何方程 几何方程表征质点位移与应变之间的关系ε=Lu （在Ω域内） （2-2）T式中 ε——应变，对于平面问题ε={ε ε γ}；xyxyT
u——质点位移矢量，对于平面问题u={u u}。xy
③本构方程 即材料的应力-应变关系σ=Dε （在Ω域内） （2-3）式中 D——弹性矩阵，对于平面问题；
E、μ——材料的弹性模量和泊松比。
④边界条件Γ=Γ+Γ （在Ω的边界上） （2-4）Fu式中 Γ——面力和集中力边界；F
Γ——位移边界。u（2）变分法
变分法的基础是变分原理，而变分原理是求解连续介质问题的常用数学方法之一。
例如：一维稳态热传导的定解问题 （2-5）式中 ϕ——未知温度场函数；
k——热导率；
Q（x）——沿x方向分布的热载荷，。
式（2-5）中的温度场ϕ可以借助傅里叶积分求得。
如果采用变分原理求解这类定解问题，则应首先建立定解问题的积分形式 （2-6）式中 u——未知函数；
F、E——特定算子；
Ω——连续求解域；
Γ——Ω的边界；
Π——泛函数（即未知函数u的函数）。
此时，如果连续介质问题有解u，则解u必定使泛函Π对于微小变化δu取驻值（极值），即泛函的“一阶变分”等于零δΠ=0 （2-7）
这就是所谓求解连续介质问题的变分原理。
可以证明：用微分方程加边界条件求解连续介质问题同用约束或非约束变分法求解连续介质问题等价。即一方面满足微分方程及其边界条件的函数将使泛函取得驻值（极值）；另一方面，从变分角度看，使泛函取得驻值（极值）的函数正是满足连续介质问题的微分方程及其边界条件的解。
应用变分法建立有限元方程的目的，就是将求微分方程的定解问题转变成求泛函的驻值问题，以方便试探函数的分片插值和分片积分（见图2-2）。（3）虚位移方程（位移变分方程）
虚位移方程是变分原理在求解弹性力学问题中的具体应用，它等价于几何微分方程和应力边界条件。所谓虚位移是指：在约束条件允许的范围内，弹性体内质点可能发生的任意微小位移。虚位移的产生与弹性体所受外力及其时间无关。
弹性体在外力的作用下发生变形，表明外力对弹性体做了功。若不考虑变形过程中的热损失、弹性体的动能和外界阻尼，则外力功将全部转换为贮存于弹性体内的位能（应变能）。根据能量守恒定律，有 （2-8）式中 δε——虚应变（即对应虚位移的任意可能应变），Tδε={δεδεδεδγδγδγ}；xyzyzzxxyT
δu——虚位移，δu={δu δv δw}；
Ω——弹性体内部；
Γ——Ω的面力边界（假设边界上无离散的集中力）；f，b——面力和体积力。
式（2-8）表明，外力（包括Ω内的体积力和边界上的面力）使弹性体内质点产生虚位移所做的功等于弹性体内部虚应变产生的能量。2.1.2.2 平面刚度问题（1）离散处理
假设分析对象（构件）的厚度尺寸非常小，可以近似将其处理成厚度为常数的平面问题。用三节点三角形单元离散该对象及其边界条件［图2-4（a）］，并从中任取一子域进行单元分析［图2-4（b）］。图2-4 离散后的分析对象 （a）与单元结构（b）
图2-4中，单元节点i、j、m按逆时针排布。（2）单元刚度分析
①单元位移与单元形函数 一个三节点三角形单元共有12个自由度（6个节点位移分量和6个节点转动分量），在线弹性范围内，6e个节点转动分量可忽略不计，由此给出单元位移a的向量表达式如下 （2-9）
求解离散后的平面刚度问题存在两种情况：a.位移分量是节点坐标的已知函数，对此可直接利用单元节点位移分量求出单元应变分量（几何方程），再由单元应变分量求出单元应力分量（本构方程），最后综合起来便可得到整个平面刚度问题的解；b.只有几个节点的位移分量已知，不能直接求出单元应变分量和应力分量。对于后者，为了利用节点位移表示单元应变和应力，必须构造一个位移模式（位移函数）。理论上，定义于某一闭区域内的任意函数总可被一个多项式逼近，所以位移函数常常取为多项式。现选用一次多项式作为三节点三角形单元的位移模式（位移插值函数），于是有 （2-10）式中 u、v——单元内任意一质点的位移分量；
a～a——待定系数。16
将三角形的三个节点坐标代入式（2-10），可得 （2-11）
应用克莱姆法则求解式（2-11），并化简 （2-12）式中 u、v——节点位移，k=i，j，m（下同）；kk
N（x，y）——三节点三角形单元的形函数（一个与单元类型k和单元内部节点坐标有关的连续函数），——三角形单元的面积；
a，b，c——与节点坐标有关的常数，a=xy-xy，b=y-y，kkkkjmmjkjmc=-x+x。kjm
用矩阵表示式（2-12），得： （2-13）式中 I——单位矩阵；
N——形函数矩阵；e
a——单元节点位移列矩阵。
式（2-12）和式（2-13）即为采用多项式插值构造的三节点三角形单元的位移模式，表明只要知道了节点位移，就能借助单元形函数求得单元内任意一质点的位移。换句话说，节点位移通过形函数控制整个单元内部的质点位移分布。
单元形函数具有以下两条基本性质。
a.在任一节点上，形函数满足
b.针对单元内任一质点，有N（x，y）+N（x，y）+N（x，y）=1ijm
②单元应变矩阵与应力矩阵 将式（2-13）代入几何方程（2-2），可得单元应变表达式 （2-14）式中 B——单元应变矩阵，其分块子矩阵为： （2-15）
再将单元应变表达式（2-14）代入本构方程式（2-3），可得单元应力表达式eeσ=Dε=DBa=sa （2-16）式中 s=DB=D［B B B］=［s s s］——单元应力矩阵，ijmijm其分块矩阵为： （2-17）式中 E、μ——材料常数，对于平面应力问题E=E，μ=μ，对于0000平面应变问题。
E，μ为材料的弹性模量和泊松。
由于应变矩阵B中的每一个非零元素均是由节点坐标决定的常数，而节点坐标为定值，所以应变矩阵B是常量矩阵。同理，应力矩阵s也是常量矩阵。这表明由式（2-14）和式（2-16）计算获得的单
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]